四元数详解

四元数简介——精选推荐

四元数简介在我之前，⽹上各个博客各⼤⽹站都有很多关于四元数的介绍与讲解！但我总结了⼀下接三个字：看不懂！说实话！这真的是实话！举个例⼦：1.旋转，应该是三种坐标变换——缩放、旋转和平移，中最复杂的⼀种了。

⼤家应该都听过，有⼀种旋转的表⽰⽅法叫四元数。

按照我们的习惯，我们更加熟悉的是另外两种旋转的表⽰⽅法——矩阵旋转和欧拉旋转。

矩阵旋转使⽤了⼀个4*4⼤⼩的矩阵来表⽰绕任意轴旋转的变换矩阵，⽽欧拉选择则是按照⼀定的坐标轴顺序（例如先x、再y、最后z）、每个轴旋转⼀定⾓度来变换坐标或向量，它实际上是⼀系列坐标轴旋转的组合。

那么，四元数⼜是什么呢？简单来说，四元数本质上是⼀种⾼阶复数（听不懂了吧。

），是⼀个四维空间，相对于复数的⼆维空间。

我们⾼中的时候应该都学过复数，⼀个复数由实部和虚部组成，即x = a + bi，i是虚数单位，如果你还记得的话应该知道i^2 = -1。

⽽四元数其实和我们学到的这种是类似的，不同的是，它的虚部包含了三个虚数单位，i、j、k，即⼀个四元数可以表⽰为x = a + bi + cj + dk。

那么，它和旋转为什么会有关系呢？怎么样，看得懂吗？反正⼩编是被现实胖揍⼀顿！那么，今天我们要怎么来介绍这个四元数呢？我们来最简单暴⼒的！重新定义⼀下这个怪物四元数！Quaternion（四元数）⽤于计算和表⽰Unity旋转。

它们计算紧凑⾼效，不受万向节死锁的困扰，并且可以很⽅便快速地进⾏球⾯插值。

Unity内部使⽤四元数来表⽰所有的旋转。

注意重点：1，不受万向节死锁的困扰。

2，⽅便快速地进⾏球⾯插值。

3， Unity内部使⽤四元数来表⽰所有的旋转。

好了，现在你得重定义应该是这样的：定义：Quaternion（四元数）⽤于计算和表⽰Unity旋转。

就像当初数学⽼师告诉你∏（pai）⽤来表⽰圆周率⼀样！你有探究过∏（pai）是怎么算出来的吗？但是你们是不是都知道怎么利⽤圆周率计算圆的⾯积呢？类似的，对于初学者的我们，最重要的是现在要学会和记住四元数的使⽤⽅法。

四元数

二.四元数与姿态阵之间的关系
3.由于 || Q || q0 2 q12 q2 2 q3 2 =1，所以：
q0 2 q12 q2 2 q3 2 R Cb 2(q1q2 q0 q3 ) 2(q q q q ) 1 3 0 2
2(q1q2 q0 q3 ) q0 q1 q2 q3 2(q2 q3 q0 q1 )
构造四元数：
q0 cos

2
2 q2 m sin 2 q3 n sin 2
q1 l sin

Q q0 q1i0 q2 j0 q3 k0 cos cos

2
(li0 mj0 bk0 ) sin

2

2
u R sin

2
二.四元数与姿态阵之间的关系
记：
rx ' r 'R r ' y rz '
rx rR r y rz
l uR m n
二.四元数与姿态阵之间的关系
0 n m rx r (u r ) R n 0 l y 0 m l rz
q0 2 q12 q2 2 q3 2 CbR 2(q1q2 q0 q3 ) 2(q q q q ) 1 3 0 2 2(q1q2 q0 q3 ) q0 q1 q2 q3 2(q2 q3 q0 q1 )
2 2 2 2
2(q2 q3 q0 q1 ) 2 2 2 2 q0 q1 q2 q3 2(q1q3 q0 q2 )
二.四元数与姿态阵之间的关系

四元数

此处仅讨论具有实数元素之四元数，并将以两种形式来描述四元数。其中一种是向量与纯量的结合，另一形式两个创建量（constructor）与双向量（bivector；i、j与k）的结合。
定义两个四元数：
其中表示矢量；而表示矢量。
跟复数、向量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来。加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律。
威廉·卢云·哈密顿
明确地说，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间，相对于复数为二维空间。
四元数是除环（除法环）的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与域是相类的。特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有逆元素。
四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。
不只如此，哈密顿还创造了向量的内外积。他亦把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个纯量和向量的组合。若两个纯量部为零的四元数相乘，所得的纯量部便是原来的两个向量部的纯量积的负值，而向量部则为向量积的值，但它们的重要性仍有待发掘。
哈密顿之后继续推广四元数，并出了几本书。最后一本《四元数的原理》（Elements of Quaternions）于他死后不久出版，长达八百多页。
非奇异表达（和例如欧拉角之类的表示相比）
比矩阵更紧凑（更快速）
单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。
所有单位四元数的集合组成一个三维球和在乘法下的一个群（一个李群）。是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群的双面覆盖，因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群和同构，是行列式为1的复酉 2×2矩阵的群。令为形为的四元数的集合，其中或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合是一个环，并且是一个格。该环中存在 24个四元数，而它们是施莱夫利符号为的正二十四胞体的顶点。

quaternionic analysis -回复

quaternionic analysis -回复什么是四元数分析（quaternionic analysis）？在数学领域中，四元数分析是一门研究四元数的性质、函数和它们的应用的分支学科。

本文将为读者详细介绍四元数及其分析的重要概念和应用。

首先，我们将从四元数的基本概念开始。

四元数是一种数学结构，由一个实部和三个虚部组成，通常表示为q = a + bi + cj + dk，其中a、b、c 和d是实数，而i、j和k是虚数单位。

四元数的基本特点是其虚数单位间的非交换性，即ij = -ji，以及其他虚数单位之间的类似关系。

四元数的分析理论涉及到了多变量函数、微积分和复变函数的概念。

与传统的复数域分析相比，四元数分析在虚数单位上引入了非交换性，从而使得函数的导数运算不再满足常规的运算规则。

因此，四元数分析开辟了一条新的研究路径，可以更准确地描述虚数单位之间的相互作用。

四元数分析的一个重要应用是将其推广到物理学中。

由于四元数能够更精确地描述空间旋转和三维运动，因此在刚体力学、相对论和自旋物理等领域中得到了广泛应用。

例如，四元数可以用来表示物体的姿态，通过进行四元数乘法来描述物体的旋转运动。

另一个重要的应用领域是计算机图形学。

四元数算术在计算机图形学中被广泛使用，它可以更高效地进行三维旋转和变换操作。

与传统的矩阵旋转相比，四元数旋转具有更快的计算速度和更小的数据存储需求，因此在虚拟现实、游戏开发和计算机动画等领域中被广泛采用。

四元数分析还与几何学和拓扑学等数学领域有着重要的联系。

例如，研究四元数函数的性质和奇点分布可以帮助我们更深入地理解复变函数的奇点和解析性等概念。

此外，四元数还与超复数、超复变函数和超解析函数等超几何学领域有着密切的关联。

总结起来，四元数分析是一门研究四元数的性质、函数和应用的学科，它将四元数的非交换性引入到函数和微积分的领域中，从而推动了数学和物理学等学科的发展。

四元数分析在物理学、计算机图形学和数学领域中都有广泛的应用，提供了更准确和高效的数学工具，为许多复杂问题的研究和解决提供了新的途径。

四元数详解四元数是一种数学概念，它在多个领域都有广泛的应用。

在计算机图形学中，四元数用于表示旋转变换。

下面我将以人类的视角来介绍四元数的定义、性质和应用。

四元数是一种扩展了复数的数学结构。

它由一个实部和三个虚部组成，可以写成q = a + bi + cj + dk的形式，其中a、b、c、d分别是实数，i、j、k是虚数单位。

与复数一样，四元数也有加法和乘法运算。

我们来看四元数的定义。

四元数的实部a对应于实数部分，而虚部bi + cj + dk对应于虚数部分。

四元数的加法定义很简单，就是将实部和虚部分别相加。

而乘法则稍微复杂一些，需要使用四元数的乘法规则：i² = j² = k² = ijk = -1。

通过这个规则，我们可以计算出两个四元数的乘积。

接下来，我们来探讨一下四元数的性质。

首先，四元数的加法满足交换律和结合律。

然而，四元数的乘法不满足交换律，即ab ≠ ba。

此外，四元数的乘法满足结合律，但不满足分配律。

这些性质使得四元数的运算有一些独特的特点。

四元数在计算机图形学中有广泛的应用。

由于四元数可以用于表示旋转变换，因此在三维游戏和动画中经常被用到。

与传统的欧拉角相比，四元数具有很多优点，例如不存在万向锁问题和旋转插值更加平滑。

因此，使用四元数可以提高计算机图形学的效率和质量。

除了计算机图形学，四元数还在其他领域有着重要的应用。

例如，在航空航天领域，四元数可以用于表示飞行器的姿态和旋转控制。

在物理学中，四元数可以用于描述粒子的自旋。

此外，四元数还可以用于解决某些数学问题，例如解四次方程和计算曲线的弯曲度。

四元数是一种重要的数学概念，具有广泛的应用。

它在计算机图形学、航空航天和物理学等领域都发挥着重要作用。

通过深入理解四元数的定义、性质和应用，我们能够更好地应用它们解决实际问题，推动科学技术的发展。

四元数有限域-概述说明以及解释

四元数有限域-概述说明以及解释1.引言1.1 概述四元数是一种数学结构，由四个实数构成，可以表示三维空间中的旋转和变换。

它在计算机图形学、机器人学和物理学等领域有着广泛的应用。

在传统的三维空间表示中，我们通常使用欧拉角或旋转矩阵来描述物体的旋转。

然而，这些表示方法存在一些缺点，比如欧拉角存在万向锁问题，旋转矩阵存在运算复杂和数值稳定性差的问题。

而四元数作为一种更加高效和稳定的表示方法，逐渐被应用到各个领域中。

四元数的优势在于其具备旋转和线性插值的可逆性、运算速度快、占用的内存空间小等特点。

同时，四元数的运算也相对简单，只需要进行四个实数的乘法和加法运算即可得到旋转的结果。

然而，四元数也存在一些局限性。

首先，四元数的概念对于一般人来说比较抽象和难以理解，需要一定的数学基础才能深入理解其原理。

其次，绕不同轴的旋转可以用不同的四元数表示，存在多个等效的表示方法，导致旋转的唯一性问题。

此外，四元数的运算并不能直接映射到物理世界的旋转运动，需要进行适当的转换。

未来，随着计算机图形学和机器人学等领域的发展，对于更加高效和准确的旋转表示方法的需求将不断增加。

四元数作为一种优秀的表示方法，其研究和应用将会进一步深入和广泛。

同时，结合其他数学理论和技术手段，继续改进和扩展四元数的应用范围也是未来的发展方向。

1.2文章结构文章结构:本文将分为引言、正文和结论三个部分来介绍四元数和有限域的相关内容。

- 引言部分将对本文的主题进行简要的概述，介绍四元数和有限域的基本概念和背景，并说明本文的目的和意义。

- 正文部分将分为两个子节：四元数的定义和性质、四元数在计算机图形学中的应用。

- 在四元数的定义和性质的部分，将介绍四元数的基本定义，包括四元数的表示形式和运算规则，以及四元数的基本性质，如共轭、模长等。

同时，将介绍四元数的加法、减法、乘法和除法运算规则，以及四元数的单位元、逆元等概念。

- 在四元数在计算机图形学中的应用的部分，将重点介绍四元数在旋转表示和插值、刚体变换、相机视角变换等方面的重要应用。

四元数概念

四元数概念四元数（Quaternions）是一种数学工具，它是由爱尔兰数学家 William Rowan Hamilton 于1843年发明的。

四元数被广泛应用于计算机图形和动画，机器人控制，摄影测量，化学和物理的研究中。

四元数具有复数的性质并且比复数更为丰富。

复数是由一个实部和一个虚部组成的，而四元数是由一个实部和三个虚部组成的。

四元数的定义如下：Quaternions = {a + bi + cj + dk | a, b, c, d∈R}i²=j²=k²=ijk=-1在四元数中，公式（1）具有一些有趣的特性，这使得四元数成为一种非常有用的工具。

其中一条是四元数具有完整的乘法结构，即使在虚部之间的乘法也是如此。

在计算机图形和动画应用中，四元数极为有用，因为它可以表示多种变换操作（如平移，旋转和缩放）。

q = cos(theta/2) + sin(theta/2)*(vi + vj + vk)这里，cos是余弦函数，sin是正弦函数，theta是旋转角度，v表示旋转轴的单位向量。

p + q = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)kkp = ka + kb*i + kc*j + kd*k这些运算遵循基本的加、减和乘法法则，类似于向量的运算。

这些规则具有一些有趣的性质，四元数的乘法不是可交换的，即pq≠qp。

四元数是一种非常有用的数学工具，尤其是在计算机图形和动画，机器人控制，摄影测量，化学和物理的应用中。

它包含了复数所具有的性质，并增加了第三个和第四个虚部，使得它更加丰富和灵活。

四元数还具有证明某些矢量不变性的作用。

对于一个物体的旋转，它的角速度可以通过四元数的导数来表示，这个导数有一个重要的应用，即可以证明质心不受任何外部力矩的影响而保持恒定，这被称为质点定则证明。

四元数还与矩阵有密切的联系。

事实上，四元数乘法可以被转换为矩阵运算，它的实部和虚部也可以被表示为一个4x4的旋转矩阵。

四元数的特征值分解

四元数的特征值分解四元数是一种扩展了复数的数学结构，它由一个实部和三个虚部组成。

在实际应用中，四元数常常被用来描述旋转、姿态等物理量。

而特征值分解则是一种重要的矩阵分解方法，它可以将一个矩阵分解为一组特征向量和特征值。

本文将介绍四元数的特征值分解方法。

一、四元数的定义四元数可以表示为$q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k$，其中$q_0,q_1,q_2,q_3$为实数，$i,j,k$为虚数，满足$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$。

四元数的加法和乘法定义如下：加法：$q_1+q_2=(q_{10}+q_{20})+q_{11}i+q_{12}j+q_{13}k$乘法：$q_1q_2=(q_{10}q_{20}-q_{11}q_{21}-q_{12}q_{22}-q_{13}q_{23})+(q_{10}q_{21}+q_{20}q_{11}+q_{12}q_{23}-q_{13}q_{22})i+...$二、对于一个实数矩阵$A$，它的特征值分解可以表示为$A=Q\Lambda Q^{-1}$，其中$Q$为特征向量矩阵，$\Lambda$为特征值矩阵。

类似地，对于一个四元数矩阵$Q$，它的特征值分解可以表示为$Q=V\LambdaV^{-1}$，其中$V$为特征向量四元数矩阵，$\Lambda$为特征值四元数矩阵。

特征向量四元数矩阵$V$的定义如下：$V=\begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \end{bmatrix}$其中$v_1,v_2,v_3,v_4$为四元数向量，满足$Qv_i=\lambda_iv_i$，其中$\lambda_i$为特征值四元数。

特征值四元数矩阵$\Lambda$的定义如下：$\Lambda=\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_4 \end{bmatrix}$其中$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$为特征值四元数。

四元数(quaternion)是用于旋转和拉伸向量的数学运算符_概述说明

四元数（quaternion）是用于旋转和拉伸向量的数学运算符概述说明1. 引言1.1 概述:四元数是一种用于旋转和拉伸向量的数学运算符。

它是在复数概念的基础上发展而来的，可以描述三维空间中的旋转和缩放操作。

四元数不仅可以比其他表示方式更简单地表示旋转和拉伸，并且具备较低的计算成本。

1.2 文章结构:本文将按照以下结构进行论述：首先，我们将介绍四元数的基本概念，包括其定义与表示方式，以及相关的运算法则。

接着，我们将探讨四元数在旋转中的应用，涵盖了四元数与旋转矩阵之间的对应关系以及描述航向、俯仰和滚动角度所使用的方法。

然后，我们将讨论四元数在拉伸中的应用，包括与缩放矩阵之间的联系以及非均匀缩放操作的实现方式。

最后，在结论和总结部分，我们将总结四元数在向量旋转和拉伸中的作用和优势，并展望其未来在实际应用方面可能面临的挑战。

1.3 目的:通过本文深入介绍四元数的基本概念以及在旋转和拉伸中的应用，我们旨在帮助读者更好地理解四元数的数学原理和实践意义。

对于研究领域涉及向量旋转和拉伸的科研人员和工程师而言，掌握四元数的知识将有助于提高其工作效率并推动领域的发展。

此外，我们也希望进一步讨论四元数在现实世界中可能的应用前景，并为未来研究方向和扩展应用提供启示。

通过深入了解四元数这一强大工具，我们有望为解决复杂问题、推动技术创新做出贡献。

2. 四元数的基本概念:2.1 四元数的定义与表示:四元数是一种扩展了复数的数学工具，它由一个实部和三个虚部组成。

一般来说，四元数可以用以下形式表示：q = a + bi + cj + dk其中，a为实部，bi、cj和dk为虚部，i、j和k是互相正交但非对易的单位向量。

2.2 四元数运算法则:在四元数中，加法和乘法运算符具有特定的规则。

四元数之间的加法按照分量进行操作，即实部相加后虚部相加。

而乘法运算更复杂，根据单位向量i、j和k 之间互相关系以及非对交性质进行计算。

具体来说，在四元数乘法中，普通数字遵循常规乘法规则，而单位向量与其他单位向量之间存在着乘积关系。

四元数的理论和应用

四元数的理论和应用四元数，又称四元数实数，是由英国数学家汉密尔顿于1843年创造的一个新颖的数学体系。

与复数具有类似性质，四元数可以表示3D空间的旋转、陀螺的转动以及电磁场的量子性质，因此在工程、物理学等学科中具有广泛的应用。

一、四元数的定义四元数可以看作是较为一般性的复数，是由一个实部和三个虚部构成的算子，记作q=a+bi+cj+dk，其中i,j,k是虚数单位，具有如下的性质：i² = j² = k² = ijk = -1。

二、四元数的计算1. 四元数的加减法：对于两个四元数q1=a1+b1i+c1j+d1k和q2=a2+b2i+c2j+d2k，我们可以进行加减法运算：q1 + q2 = (a1+a2) + (b1+b2)i + (c1+c2)j + (d1+d2)kq1 - q2 = (a1-a2) + (b1-b2)i + (c1-c2)j + (d1-d2)k2. 四元数的乘法：四元数的乘法需要按照虚部单位的乘法规则进行运算，即：i² = j² = k² = ijk = -1ii = -1, ij = k, ik = -jji = -k, jj = -1, jk = iki = j, kj = -i, kk = -1因此，两个四元数的乘积为：q1q2 = (a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2) + (a1b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2)i + (a1c2 - b1d2 + c1a2 + d1b2)j + (a1d2 + b1c2 - c1b2 + d1a2)k3. 四元数的共轭：四元数的共轭是把虚部单位i,j,k交换位置，且取反，即：q* = a-bi-cj-dk4. 四元数的模长：四元数的模长表示为：|q| = sqrt(qq*) = sqrt(a²+b²+c²+d²)三、四元数在旋转表示上的应用四元数是一种非常方便的表示3D旋转的工具，示例见下图。

闵可夫斯基四元数 -回复

闵可夫斯基四元数-回复什么是闵可夫斯基四元数？闵可夫斯基四元数是一种扩展了复数和三元数的数学结构，由俄罗斯数学家米哈伊尔·闵可夫斯基于1843年引入。

它是一个四元有序实数集{a,b,c,d}，其中a、b、c 和d 都是实数，并且满足以下规则:1. 四元运算：任意两个四元数相加、相减或相乘时，其结果仍为一个四元数。

这意味着闵可夫斯基四元数构成了一个代数结构。

2. 单位元：存在一个特殊的四元数单位元"1"，满足任意四元数与单位元相乘等于其本身。

即∀a,b,c,d ∈R，有(a,b,c,d) * (1,0,0,0) = (a,b,c,d)。

3. 加法和乘法分配率：对于任意四元数a = (a₁,a₂,a₃,a₄)，b = (b₁,b₂,b₃,b ₄) 和c = (c₁,c₂,c₃,c₄)，有：a * (b + c) = (a * b) + (a * c)，(b + c) * a = (b * a) + (c * a)。

4. 纯四元数：如果一个四元数中只有最后一个分量是非零，那么它就是一个纯四元数。

纯四元数可以表示为：xi = (0,0,0,1)，yj = (0,0,1,0)，zk = (0,1,0,0)。

这些规则使得闵可夫斯基四元数在几何代数、物理学和工程学等领域中得到了广泛的应用。

闵可夫斯基四元数的运算和性质如下：1. 加法运算：两个四元数相加时，分别对应分量相加。

例如，(a,b,c,d) + (e,f,g,h) = (a+e,b+f,c+g,d+h)。

2. 乘法运算：两个四元数相乘时，分别对应分量进行运算。

例如，(a,b,c,d) * (e,f,g,h) = (ae-bf-cg-dh,af+be+ch-dg,ag-bh+ce+df,ah+bg-cf+de)。

3. 共轭四元数：一个四元数的共轭四元数定义为实部不变，负虚部。

例如，共轭四元数(a,b,c,d) 的表示为(a,-b,-c,-d)。

四元数的初步总结

四元数的初步总结（一）四元数是最简单的超复数。

复数是由实数加上元素i组成，其中i^2=-1。

相似地，四元数都是由实数加上三个元素i、j、k组成，而且它们有如下的关系：i^2=j^2=k^2=ijk=-1,每个四元数都是1、i、j和k的线性组合，即是四元数一般可表示为a+bi+cj+dk，其中a、b、c、d是实数一、四元数引入的理论背景将实数域扩充到复数域，并用复数来表示平面向量，用复数的加、乘运算表示平面向量的合成、伸缩和旋转变换，这些观念已经在中学课程中学过了。

那么，很自然的问题就是，在三维，或更高维空间中是否也有复数的类似物？也就是说，像扩充实数那样，在复数域的基础上添加一个或几个新的元素，并且让它们跟原来的复数做加减乘除，是否就可以得到一个新的数集，并且其中的元素还可以像复数域那样做加、减、乘、除运算，并满足通常复数的那些运算律，包括加法和乘法的交换律与结合律、乘法对加法的分配律等待？更进一步，我们是否可以期望用这样的数来表示三维或更高维空间中的伸缩和旋转，就像用复数表示平面向量的伸缩旋转那样方便？把问题说得明确一些，即是说，我们是否可以像得到复数域那样，在复数域中再添加一个新的元素（因此也是在实数基础上添加两个元素和），得到一个类似于复数集合，这个集合中的元素当时就是普通的复数，当时就是普通的实数，并且通常数的加减乘除运算及其性质都可以在这个集合上保持，即满足：1、对于任意两个数，它们的和是唯一确定的。

2、对于任意两个数，它们的积是唯一确定的。

3、存在一个数0，它具有性质：对于任意a，均有a+0=a。

4、对于每一个数a，均存在数x，适合等式a+x=0。

5、加法适合交换律：a+b=b+a。

6、加法适合结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

7、乘法适合交换律：a·b=b·a。

8、乘法适合结合律：(a·b)·c=a·(b·c)。

9、乘法对加法适合分配律：a (b+c)=ab+ac 和(a+b)c=ac+bc。

四元数定义及重要性质

1 = q * q 。件，而且对于单位虚四元数有 q
q cos e sin ， q q 都能够表示成三角函数形式 q 四元数 q
的轴，于是其中单位矢量 e q q , q q12 q22 q32 称为四元数 q

(1.2)
p 的充要条件是 q0 p0 , q1 p1 , q2 p2 , q3 p3 。四元数 q
根据四元数的定义，可推导出四元数运算的若干性质： a）四元数与四元数的加减法四元数的加法运算：
p q0 p0 q p q
(1.3)
四元数的减法运算：
(1.6)
可以看出，四元数乘法不具有可交换性，当且仅当有一个四元数
qp 成立。为矢量或两个四元数的矢量部分共线时， pq
Re qp 。根据乘法的由式(1.6)可知，对于任意四元数， Re pq
定义，对虚四元数有如下性质：
pq qp 2 p q 2 Re pq qp 2 p q 2 Im pq pq r qp pq qp r 4 p q r 4 Re r Im pq pq
qT
(1.22)
对于多个四元数相乘，有：
1 Q q n 1 v q 1 Q q m 1 Q q n Q q m 1 v q vq 1 q n Q q n Q q m
(1.23)
Q, Q 矩阵还有如下性质：
(1.19)
进而得到：
q0 q 1 Q q q2 q3 q0 q * Q q 1 q2 q3 q1 q0 q3 q2

四元数-第1讲

四元数-第1讲
What-四元数
定义1：
若存在复数A=a+bi和C=c+di，构建Q=A+Cj并定义k=ij，因此生成
四元数空间H:
Q=a+bi+cj+dk
上式a,b,c,d为R；i,j,k为虚数单位向量；
ii=jj=kk=ijk=-1，ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j;右手法则
注：通过Q发现，实数、虚数、复数均属于四元数；
定义2：
四元数定义为标量与向量的和,第一部分是实数或标量，第二部分(加粗)
是虚数或向量,
四元数Q视作四维向量q，可表示实数和纯虚数；
2.How-四元数basis
基本运算法则:
+、、 1、 *、 ||.||、 -1(逆)、 normalized
2.1加法(+)：
对应位置相加，满足加法交换律和结合律；
p+q=q+p p+(q+r)=(p+q)+r
2.2乘法()：
不满足交换律(因叉乘导致，叉乘为零可交换)，满足结合律；
并满足对加法的分配律：
四元数乘法可转变为矩阵乘积：
注：
表示向量生成斜对称矩阵；
（向量叉乘）
2.3单元四元数([1,0,0,0]) ：
满足
2.4共轭(*)：
四元数共轭定义标量部分不变，向量（虚数部分）取相反数；
四元数与其共轭四元数相乘等于各部分平方和；
2.5范数(||.||):
定义如下，
2.6逆(-1):
四元数乘以四元数的逆等于单元四元数[1,0,0,0];
结合四元数共轭可知：
2.7单位四元数(normalized)：
范数等于1的四元数，结合上式可得，
单位四元数可作为方向/旋转操作符，这意味旋转逆操作可使用四元数共轭。

形象解说四元数

形象解说四元数By daode1212 2016-03-16前言:四元数（Quaternions）是由爱尔兰数学家哈密顿(William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年发明的数学概念。

复数、向量、矩阵都是数学中的基本要素，就如同编程中的数组、对象、集合那样。

四元数是一种超复数，是复数与三维向量的复合体。

四元数也有加法、减法、乘法、但是四元数的乘法不符合交换律（commutative law），即a*b <> b*a，而且，还有转置、规范化、共轭三种运算。

由于它在描述三维旋转、姿态方面的一些特有优点，所以在飞行器（飞机，火箭，导弹等），机器人姿态的控制中常用到。

数学手册中在代数结构的“群-环-域”中稍有点介绍，它属于不可交换的除环，称哈密顿四元数体。

以下是一些四元数运算的效果图：四元数理论创立人：William Rowan Hamilton,1805-1865一，四元数的几种表示形式:OpenTK中，为建立四元数提供了多种方式：public Quaternion(float x, float y, float z, float w)；public Quaternion(OpenTK.Vector3v, float w)；例如用Quaternion(float x, float y, float z, float w)：OpenTK.Quaternion q = new OpenTK.Quaternion(0.51f, -0.71f, 0.31f, 0.7071f);1, 四元数建构方式一：i^2=j^2=k^2=-1ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=jq=w+ix+jy+kz，i,j,k分别对应轴向量X(1,0,0),Y(0,1,0),Z(0,0,1)2, 四元数建构方式二：转动角之半+轴向量的方向余弦：3, 四元数建构方式三：转动角之半+单位球面上的点：二，四元数的模如q是四元数，OpenTK中有:1, q.Length;返回值是:2, q.LengthSquared;返回值是:，与点积（内积）q·q是一致的。

复数的意义——四元数

复数的意义——四元数如果说复数产生是为了更好地刻画方程的解，那么四元数的产生则完全是认为的。

所谓四元数是一种具有四个分量的复数的类似物，一般形式为p=a+bi+cj+dk其中a,b,c和d为实数；i,j和k类似虚数，满足：类似复数，定义p的共轭为p’=a-bi-cj-dk，于是，可以得到四元数的模为|p|2=pp’=a2+b2+c2+d2但是，与我们通常使用的乘法有根本性的差别是：这种运算是不满足交换律的，比如q是另一个四元数，那么在一般情况下，pq≠qp，这是人们创造的第一个不满足乘法交换律的数系。

四元数是英国数学家哈密尔顿发明的，为了这个发明他思考了15年，问题的要害就在于乘法交换律。

虽然至今为止也没有找到四元数的应用，可是四元数的发明过程使数学家明白了，在有些情况下不需要顾忌现实生活中的物理背景，凭借逻辑推理就可以构造出有意义的，合理的数学表达，通过这些表达促进数学的发展。

事实上，正是在四元数的启发下，才有了超复数，向量分析，矩阵代数以及抽象代数等数学的重要研究领域的出现。

因此，随着对复数认识的深化，人么也加强了对数学认识的深化，知道了除了从现实生活和生产实践中抽象概念和运算之外，还可以从已有的数学结构出发，抽象出新的概念和运算法则，通过逻辑推理来构建新的数学。

当然，数学研究的意义最终还需要现实的检验，正如爱因斯坦在1934年的著作《我眼中的世界》中所说：迄今为止，我们的经验已经使我们有理由相信，自然界是可想象的最简单的数学结构的实际体现。

我坚信，我们能够用纯粹数学的构造来发现概念以及把这些概念联系起来的定律，这些概念和定律是理解自然现象的钥匙。

经验可以提供合适的数学概念，但是数学概念无论如何都不能从经验中推导出来。

当然，经验始终是检验数学结构实用性的唯一标准，但是创造性的原理都存在于数学之中。

因此，在肯定的意义上，我认为纯粹思维能够把握实在，就像古人所想象的那样。

03.四元数

03.四元数四元数单位四元数可以⽤来描述三维空间中的旋转，它既是紧凑的，也没有奇异性。

⼀个四元数描述唯⼀⼀个空间旋转，但是⼀个空间旋转可以由互为相反数的两个四元数表⽰。

1.四元数四元数的定义四元数是由四个元构成的数Q(q0,q1,q2,q3)=q0+q1i+q2j+q3kq0,q1,q2,q3是实数，i,j,k是满⾜如下条件的单位向量i⊗i=−1,j⊗j=−1,k⊗k=−1 ⾃⼰与⾃⼰进⾏四元数乘结果为-1。

i⊗j=k,j⊗k=i,k⊗i=j按照i→j→k→i...的顺序两两作四元数乘可以得到下⼀个。

j⊗i=−k,k⊗j=−i,i⊗k=−j按照i→j→k→i...相反的顺序两两作四元数乘可以得到下⼀个的负。

⊗表⽰四元数乘法四元数的表达⽅式⽮量式Q=q0+q其中q0称四元数Q的标量部分，q称四元数Q的⽮量部分。

q是三维空间中的⼀个向量。

复数式Q=q0+q1i+q2j+q3k可视为⼀个超复数，Q的共轭复数记为:Q∗=q0−q1i−q2j−q3k三⾓式Q=cos θ2+u sinθ2式中，u为单位向量，即旋转轴。

θ为实数，即绕单位向量u的旋转⾓度。

指数式Q=e u θ2式中，u和θ同上。

矩阵式Q=q0 q1 q2 q3四元数的⼤⼩—范数四元数的⼤⼩⽤四元数的范数来表⽰：||Q||=q20+q21+q22+q23||Q||=1，则Q成为规范化四元数。

描述旋转的四元数成为规范化四元数。

规范化四元数参与旋转运动时要作归⼀化。

四元数的运算加法和减法：对应实部和虚部相加/减[]Q=q0+q1i+q2j+q3kP=p0+p1i+p2j+p3k则Q±P=(q0±p0)+(q1±p1)i+(q2±p2)j+(q3±p3)k乘法:合并同类项(根据向量i,j,k向量相乘规则)标量乘a Q=aq0+aq1i+aq2j+aq3k其中a为标量四元数乘P⊗Q=(q0+q1i+q2j+q3k)⊗(p0+p1i+p2j+p3k)=(p0q0−p1q1−p2q2−p3q3)+(p0q1+p1q0+p2q3−p3q2)i+(p0q2+p2q0+p3q1−p1q3)j+(p0q3+p3q0+p1q2−p2q1)k =r0+r1i+r2j+r3k写成矩阵形式r0r1 r2 r3=p0−p1−p2−p3p1p0−p3p2p2p3p0−p1p3−p2p1p0q0q1q2q3=M(P)Q或r0r1 r2 r3=q0−q1−q2−q3q1q0q3−q2q2−q3q0q1q3q2−q1q0p0p1p2p3=M′(Q)P注意：四元数乘法不满⾜交换律P⊗Q=M(P)Q≠M′(P)Q=Q⊗P 四元数乘法满⾜分配律和结合律P⊗（Q+R）=P⊗Q+P⊗RP⊗Q⊗R=(P⊗Q)⊗R=P⊗(Q⊗R)此外，还有(P⊗Q)∗=Q∗⊗P∗证明，略。

四元数理论框架

四元数理论框架一、四元数理论框架的基本定义：四元数是用以描述不同维次（ 3次或2次）空间的一个概念，它通常被称作是四维球体。

它实际上可以被视为是带有多余三个虚数值的三维复数。

我们将复数看成与2次幂、 1次幂、 - 1次幂和0次幂相关联的四个数组，它们组合起来构成四元数。

四元数理论建立于20世纪30年代末，数学家格罗滕迪克提出了四元数的想法并证明其真实性。

他使用矩阵工具证明了每个4元数都是正交的。

这个重要发现为解决一些悬而未决的问题奠定了基础，例如复数中所有的四元数到底有多少？欧拉乘积与相似对角线之间的关系等。

经过几十年后的许多数学家进一步的研究，四元数已经被认为是研究集合论的工具之一。

在所有这些关于四元数的证明中，唯一没有引入任何4元数的概念却依然可以证明其存在性的是查尔斯·西尔维斯特·谢瓦利埃（ charles silvaille）的著名证明，它最终导致了四元数集的诞生。

（三）四元数的三种类型： 1、四元数只能在-1维上分解； 2、在某些情况下，四元数可以在两维或多维空间上分解； 3、多维度上的四元数在本质上属于四元数群。

二、在低维度下，四元数可以分解为它的三个维度：负数：四元数中，所有大于0的偶数，全部属于负数的范畴，即包含1和-1。

整数：对于正数，所有正奇数全部属于整数范畴。

小数：对于负数，负偶数和负整数属于小数范畴。

零：由于0不属于任何维度，因此是唯一的非负数，所有非零整数都是0的倍数。

三、在高维度下，四元数可以分解为它的三个维度：两个维度：除去-1外，一切实数全部属于两个维度。

第三个维度：所有无限维的复数全部属于三个维度。

这就意味着四元数理论中的四元数的确是四维球体。

第四个维度：所有三维复数全部属于四元数群。

2、在某些情况下，四元数不能分解为它的三个维度。

举例如下：四元数可以分解为它的两个维度，但两个维度并不是直接相连的。

四、一个四元数可以同时是一个三元数和一个五元数，也可以既是一个三元数又是一个五元数。

四元数六种基本旋转序列

四元数六种基本旋转序列四元数是一种用来表示三维空间中旋转的数学工具，它由一个实部和三个虚部组成。

在计算机图形学和机器人学等领域中被广泛应用。

本文将介绍四元数的基本概念和六种基本旋转序列。

一、四元数的基本概念四元数可以表示为q = a + bi + cj + dk，其中a为实部，(b, c, d)为虚部。

虚部的三个分量分别对应了三维空间中的x、y、z轴。

四元数的加法和减法与复数类似，乘法具有非交换性，除法需要使用共轭四元数。

四元数除了可以表示旋转，还可以表示缩放和平移。

二、基本旋转序列在三维空间中，有六种基本旋转序列，即XYZ、XZY、YXZ、YZX、ZXY和ZYX。

它们表示了物体绕不同轴的旋转顺序。

下面将详细介绍每一种旋转序列的特点和应用。

1. XYZ旋转序列XYZ旋转序列表示先绕x轴旋转，然后绕y轴旋转，最后绕z轴旋转。

这种旋转序列在航空航天领域中应用广泛，可以描述飞机的姿态。

2. XZY旋转序列XZY旋转序列表示先绕x轴旋转，然后绕z轴旋转，最后绕y轴旋转。

这种旋转序列常用于机器人学中，可以描述机械臂的姿态。

3. YXZ旋转序列YXZ旋转序列表示先绕y轴旋转，然后绕x轴旋转，最后绕z轴旋转。

这种旋转序列常用于计算机图形学中，可以描述3D模型的姿态。

4. YZX旋转序列YZX旋转序列表示先绕y轴旋转，然后绕z轴旋转，最后绕x轴旋转。

这种旋转序列常用于航空航天领域，可以描述火箭的姿态。

5. ZXY旋转序列ZXY旋转序列表示先绕z轴旋转，然后绕x轴旋转，最后绕y轴旋转。

这种旋转序列常用于虚拟现实和游戏开发中，可以描述角色的姿态。

6. ZYX旋转序列ZYX旋转序列表示先绕z轴旋转，然后绕y轴旋转，最后绕x轴旋转。

这种旋转序列常用于航空航天领域，可以描述飞机的姿态。

四元数可以通过六种基本旋转序列来描述三维空间中的旋转。

不同的旋转序列适用于不同的应用领域。

在实际应用中，我们需要根据具体需求选择合适的旋转序列来描述物体的姿态。

四元数运算法则

四元数运算法则四元数是一种数学工具，用于表示三维空间中的旋转。

它由一个实部和三个虚部组成，可以描述旋转的方向和角度。

在计算机图形学和机器人学等领域中，四元数常用于旋转变换的计算。

本文将介绍四元数的运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。

一、四元数的定义和表示四元数可表示为q = w + xi + yj + zk，其中w为实部，xi、yj和zk为虚部，i、j和k为虚数单位。

实部和虚部可以是实数或复数。

二、四元数的加法两个四元数的加法定义为：q1 + q2 = (w1 + w2) + (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)k。

即实部相加，虚部相加。

三、四元数的减法两个四元数的减法定义为：q1 - q2 = (w1 - w2) + (x1 - x2)i + (y1 - y2)j + (z1 - z2)k。

即实部相减，虚部相减。

四、四元数的乘法两个四元数的乘法定义为：q1 * q2 = (w1w2 - x1x2 - y1y2 - z1z2) + (w1x2 + x1w2 + y1z2 - z1y2)i + (w1y2 - x1z2 + y1w2 + z1x2)j + (w1z2 + x1y2 - y1x2 + z1w2)k。

即实部相乘减虚部相乘。

五、四元数的除法两个四元数的除法定义为：q1 / q2 = q1 * q2的共轭 / q2 * q2的共轭。

其中，q的共轭表示将虚部取负数。

即实部相除，虚部相除。

六、四元数的模四元数的模定义为：|q| = sqrt(w^2 + x^2 + y^2 + z^2)。

即实部平方加上虚部平方的平方根。

七、四元数的单位化将一个非零四元数单位化，即将其模变为1，得到单位四元数。

单位四元数的定义为：q' = q / |q|。

八、四元数的共轭四元数的共轭定义为：q* = w - xi - yj - zk。

即实部不变，虚部取负数。

九、四元数的逆一个非零四元数的逆定义为：q^-1 = q* / |q|^2。

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