[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测3
高三数学期末易错题盘点
高三数学期末易错题盘点题目1：选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
若f(x)在x = 1处取得最小值，则a的值为（）A. 1B. -1C. 0D. -2题目2：填空题：设a、b是实数，且a^2 + b^2 = 1，求证：|a + b| ≤ 1题目3：判断题：在等差数列中，若公差为正，则数列的项数越多，数列的和越大。
（）题目4：解答题：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的导数，并求出导数在x = 2时的值。
题目5：选择题：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的顶点坐标。
（）A. (1, 4)B. (2, 1)C. (3, 0)D. (4, -1)题目6：填空题：已知等差数列的前n项和为S_n，求S_n的表达式。
题目7：判断题：在二次函数中，若函数的对称轴是x = 1，则函数的顶点坐标为(1, 0)。
（）题目8：解答题：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，求f(x)的导数，并求出导数在x = 2时的值。
题目9：选择题：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，求f(x)的极值点坐标。
（）B. (2, 1)C. (3, 0)D. (4, 1)题目10：填空题：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，求f(x)的导数，并求出导数在x = 2时的值。
题目11：判断题：在等比数列中，若首项为正，公比为负，则数列的项数越多，数列的和越小。
（）题目12：解答题：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的导数，并求出导数在x = 2时的值。
题目13：选择题：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的顶点坐标。
（）A. (1, 4)B. (2, 1)D. (4, -1)题目14：填空题：已知等差数列的前n项和为S_n，求S_n的表达式。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B = ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B = 易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。
解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B = 知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当Bφ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a=或15。
综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。
ＡＢ时，【练1】已知集合{}2|40A x x x =+=、()22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是。
答案：1a=或1a ≤-。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知()22214y x ++=,求22x y +的取值范围【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x 的函数最值求解，但极易忽略x、y 满足()22214y x ++=这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。
高考高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测4
考点-4 数 列数列的概念 等差数列等比数列 差与等比数列的综合 数列与解析几何、函数、不等式的综合 数列的应用数列的概念 等差数列与等比数列 数列的通项与前n 项和 递推数列与不等式的证明 有关数列的综合性问题 数列的实际应用 数列与图形 经典易错题会诊命题角度 1 数列的概念1．(典型例题)已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1,(n ≥2)，则｛a n ｝的通项a n =_________.[考场错解] ∵a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1，∴a n-1=a 1+2a 2+3a 3+…+(n-2)a n-2，两式相减得a n -a n-1=(n-1)a n-1，∴a n =na n-1.由此类推： a n-1=(n-1)a n-2，…a 2=2a 1，由叠乘法可得a n =2!n [专家把脉] 在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑n 的范围．当n=1时，a 1=21与已知a 1=1，矛盾．[对症下药] ∵n ≥2时，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1① 当n ≥3时，a n-1=a 1+2a 2+3a 3+…+(n-2)·a n-2② ①-②得 a n -a n-1=(n-1)·a n-1∴当n ≥3时，1-n na a =n ，∵a n =1-n n a a ·21--n n a a ·．．．·22334a a aa a ∙∙=n·…·4·3×a 2=2!n a 2，∵a 2=a 1=1∴当n ≥2时，a n =2!n . 当n=1时，a 1=1故a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=).2(2!)1(1n n n2．(典型例题)设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是________. [考场错解]∵S n =2)13(1-n a =31)31(1--n a ,∴此数列是等比数列，首项是a 1，公比是3，由a 4=a 1·34-1，∴a 1=2．[专家把脉] 此题不知数列｛a n ｝的类型，并不能套用等比数列的公式．而答案一致是巧合．[对症下药]∵a 4=S 4-S 3=21a (34-1)-21a (33-1)=54，解得a 1=2． 3.(典型例题)已知数列｛a n ｝满足a 1=1，a n =3n-1+a n-1(n ≥2)．(1)求a 2，a 3；(2)求通项a n 的表达式．[考场错解] (1)∵a 1=1，∴a 2=3+1=4，a 3=32+4=13． (2)由已知a n =3n-1+a n-1，即a n -a n-1=3n-1即a n 成等差数列，公差d=3n-1．故a n =1+(n-1)·3n-1．[专家把脉] (2)问中a n -a n-1=3n-1，3n-1不是常数，它是一个变量，故不符合等差数列的定义．[对症下药] (1)∵a 1=1，∴a 2=4，a 3=32+4=13．(2)由已知a n -a n-1=3n-1，故a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=3n-1+3n-2+…+3+1=213-n . 4．(典型例题Ⅲ)等差数列｛a n ｝中，a 1+a 2+a 3=-24，a 18+a 19+a 20=78，则此数列前20项和等于 ( )A.160 B ．180 C. 200 D ．220[考场错解] 由通项公式a n =a 1+(n+1)d.将a 2,a 3，a 18，a 19，a 20都表示成a 1和d.求a 1、d ，再利用等差数列求和，选C ．[专家把脉] 此方法同样可求得解．但解法大繁，花费时间多，计算量大故而出错，应运用数列的性质求解就简易得多．[对症下药] B 由公式m+n=2P ⇒a m +a n =2ap?(只适用等差数列)即可求解．由a 1+a 2+a 3=-24，可得：3a 2=-24 由a 18+a 19+a 20=78，可得：3a 19=78 即 a 2=-8，a 19=26又∵S 20=2)(20201a a +=10(a 2+a 19)=180 2．(典型例题)若｛a n ｝是等差数列，首项a 1＞0，a 2003+a 2004>0，a 2003·a 2004＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是 ( )A.4005 B ．4006 C.4007 D.4008[考场错解] ∵a 2004+a 2003>0，即2a 1+2002d+2003d>0，(a 1+2002d)(a 1+2003d)<0，要使S n >0．即使na 1+2)1(-n n d ＞0．这样很难求出a 1，d.从而求出最大的自然数 n.故而判断a 2003>0，a 2004<0，所以前2003项为正，从第2004项起为负，由等差数列的n 项和的对称性使S n ＞0．故而取n=4005使S n >0．[专家把脉] 此题运用等差数列前n 项的性质及图象中应注意．a 2003>0，a 2004<0． 且忽视了这两项的大小．[对症下药] B ∵a 1>0，a 2003+a 2004>0，a 2003·a 2004＜0，且｛a n ｝为等差数列 ∴{a n }表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a 2003是绝对值最小的正数，a 2004是绝对值最大的负数(第一个负数)，且|a 2003|＞|a 2004|∴在等差数列｛a n ｝中，a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0，S 4006=2)(400640061a a +＞0 ∴使S n ＞0成立的最大自然数n 是4006．3．(典型例题)设无穷等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n . (Ⅰ)若首项a 1=23，公差d=1，求满足S k2=(S k )2的正整数k;(Ⅱ)求所有的无穷等差数列｛a n ｝；使得对于一切正整数中k 都有S k2=(S k )2成立．[考场错解] (1)当a 1=23,d=1时，S n =21n 2+n ，由S k2=(S k )2得21k 4+k 2=2221⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k ，即k=0或k=4． ∴k ≠0．故k=4．(Ⅱ)由对一切正整数k 都有S k2=(S k )2成立． 即k 2a 1+2)1(22-k k d=(ka 1+d k k 2)1(-)2即(a 1-21a )k 2-adk 2(k-1)+2d k 2(k 2-1)-42d k 2(k-1)2=0对—切正整数k 恒成立． 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-0,0,01211d d a a a 求得a 1=0或1，d=0 ∴等差数列a n =｛0,0,0,…｝，或a n =｛1，1，1，…｝．[专家把脉] (Ⅱ)中解法定对一切正整数k 都成立．而不是一切实数．故而考虑取k 的特值也均成立．[对症下药] (Ⅰ)当a 1=23,d=1时，S n =na 1+.212)1(232)1(2n n n n n d n n +=-+=-由Sk 2=(S k )2,得21k 4+k 2=(21k 2+k)2，即k 3)141(-k =0.又k ≠0，所以k=4．(Ⅱ)设数列｛a n ｝的公差为d ，则在S k2=(S k )2中分别取k=1,2,得⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯⨯=⎪⎩⎪⎨⎧==)2.()2122(2344)1(,.)(,)(211211224211d a d a a a S S S S 即 由（1）得a 1=0或a 1=1. 当a 1=0时，代入（2）得d=0或d=6.若a 1=0,d=0,则a n =0,s n =0,从而S k2=(S k )2成立；若a 1=0,d=6,则a n =6(n-1),由S 3=18，（S 3）2=324,S 9=216知S 9≠(S 3)2，故所得数列不符合题意.当a 1=1时,代入(2)得 4+6b=(2+d)2解得d=0或d=2.若a 1=1,d=0,则a n =1,S n =n,从而S k2=(S k )2成立；若a 1=1,d=2,则a n =2n-1,S n =1+3+…+（2n-1）=n 2,从而S k2=(S k )2成立.综上,共有3个满足条件的无穷等差数列:①{a n }：a n =0,即0，0，0，…；②{a n }:a n =1,即1，1，1，…；③{a n }:a n =2n-1,即1，3，5，….4.(典型例题)已知数列{a n }的各项都是正数,且满足:a 0=1,a n+1=21a n ·(4-a n ),n ∈N. (1)证明a n ＜a n+1＜2,n ∈N.(2)求数列{a n }的通项公式a n.[考场错解] 用数学归纳法证明：（1）1°当n=1时，a 0=1,a 1=21a 0（4-a 0）=23,∴a 0＜a 1＜2,命题正确. 2°假设n=k 时有a k-1＜a k ＜ 2.则n=k+1时，a k -a k+1=21a k-1(4-a k-1)-21a k (4-a k )=2(a k-1-a k )-21(a k-1-a k )(a k-1+a k )=21(a k-1-a k )(4-a k-1-a k ).而a k-1-a k ＜0. 4-a k-1-a k ＞0,∴a k -a k-1＜0.又a k-1=21a k (4-a k )=21[4-(a k -2)2]＜2.∴n=k+1时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有a n ＜a n+1＜2. (2)a n+1=21a n (4-a n )=21[-(a n -2)2+4].∴2(a n+1-2)=-(a n -2)2∴a n+1-2=21(a n -2)2令b n =a n -2,∴b n =-(21)1+2+…+2n-1·n b 21又∵b 1=a 1-2=-21.∴b n =-(21)2n+2n-1.即a n =2-(21)2n+2n-1.[专家把脉] 在（Ⅱ）问中求b n 的通项时，运用叠代法.最后到b 0而不是b 1.[对症下药]（Ⅰ）同上，方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，a 0=1,a 1=21a 0(4-a 0)=23,∴0＜a 0＜a 1＜2;2°假设n=k 时有a k-1＜a k ＜2成立，令f(x)= 21x(4-x),f(x)在[0，2]上单调递增，所以由假设有：f(a k-1)＜f(a k )＜f(2),即21a k-1(4-a k-1)＜21a k (4-a k ) 21×2(4-2),也即当x=k+1时 a k ＜a k+1＜2成立，所以对一切n ∈N,有a k ＜a k+1＜2 (2)下面来求数列的通项：a n+1=21a n (4-a n )=21[-(a n -2)2+4],所以2（a n+1-2）=-(a n -2)2令b n =a n -2,则b n =-2121-n b =-21(-2122-n b )2=-21·(21)2221-n b …=-（21）1+2+…+2n-1b 2n ，又b n =-1,所以b n=-(21)2n-1,即a n =2+b n =2-(21)2n-1专家会诊1.要善于运用等差数列的性质：“若m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q ”；等差数列前n 项和符合二次函数特征.借助二次函数性质进 行数形结合法解等差数列问题.2.会运用一般与特殊的逻辑思维,利用满足条件的特值求相关参数的值,学会分析问题和解决问题. 考场思维训练1 在等差数列{a n }中,若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则a 9-31a 11的值为 ( ) A.14 B.15 C.16 D.17 答案： C 分析：略。
高考数学典型易错题会诊(下)
高考数学典型易错题会诊（下）命题角度 3空间距离1．（典型例题）在空间中，与一个△ABC 三边所在直线距离都相等的点的集合是 （ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．三条直线D ．四条直线[考场错解]设该点为P ，且P 在平面ABC 上的射影为O ，因为P 到△ABC 三边所在直线距离都相等，所以O 到△ABC 的三边直线的距离都相等，即O 为△ABC 的内心，所以本题中符合条件的点在过0且与平面ABC 垂直的直线上，所以选A 。
[专家把脉] 在平面上与一个三角形三边所在直线等距离的点不只内心一个，实际任意两个角的外角平分线的交点（我们称其为傍心）也符合到三角形三边所在直线等距离[对症下药] 设该点为P ，且P 在平面ABC 上的射影为O ，因为P 到△ABC三边所在直线距离都相等，所以O 到△ABC 的三边所在直线的距离都相等，即O 为△ABC 的内心或傍心，所以本题中符合题意的点在过内心或傍心且与平面ABC 垂直的直线上，这样的直线有4条，所以选D 。
2． （典型例题）如图10-15，在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP 。
（1）求直线AP 与平面BCC 1B 1所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）设O 点在平面D 1AP 上的射影为H ，求证：D 1H ⊥AP ；（3）求点P 到平面ABD 1的距离。
[考场错解] 第（3）问：∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴AB ⊥面BCC 1B 1，∴BP ⊥AB ，∴BP 即为P 到平面ABD 1的距离，在Rt △BCP 中，BP=17[专家把脉] 线面垂直的判定有误，错解中BP ⊥AB ，但BP 与平面ABD 1不垂直，所以P 到平面ABD 1的距离不是BP 。
正解一：（1）如图10-16，连接BP ，∵AB ⊥平面BCC 1B 1，∴AP 与平面BCC 1B 1所成的角就是∠APB 。
高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测(下)5
高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测（下）5命题角度2数列的极限（典型问题x2 n=}）a．b．3c．4d．5【考场误解】C。
≓X1=4∴x2=2，x3=（x1+x2）=3，x4=（2+3）=，x5=（3+）=n从趋势xn？2.因此，选择C[专家把脉]通过有限项看趋势，并不能准确描述极限。
[对症下药]B从xn=（xn-1+xn-2），2x3=x2+x1，2x4=X3+x2，2x5=X4+X3，？，2xn=XN-1+XN-2，两边之和为：2xn+XN-1=2x2+x1，两边取极限，2x1=4+2，‡x1=32.(05，浙江高考卷)lim1?2?3nn212n??x11,xn=(xn-1+xn-2),n=3,4,?.若limxn.=2,则x1=22n??32121252125211,?.当412=（）a、 2B。
4C。
D.0[考场误解]dlim1？2.3.nn2n=lim（n？1n2？2n2？1121？林？林林？0n??n2n??n2n??nnn23[专家把脉]无穷数列的和的极限不能求极限的和。
[对症下药]lim(1?n)n2n2nlimn?11?.N2n23。
（典型示例）如果已知序列{log2（an-1）}（n∈ n*）是一个等差序列，A1=3，A2=5n??lim(111)=()a2?a1a3?a2an?1?an3212a．2b．c．1d．【考场误解】d∵ A1=3，A2=5∴log2（a1-1）=1。
log2（a2-1）=2。
∴an-1=2n。
an=2an+1。
∴n??lim1an?1?a.11111)?? a2？a1a3？a2an？1ana2？A12因此，LIM（n）？[expert’s pulse]无穷项序列和的极限应该变成有限项序列的极限，极限和是无法得到的。
[对症下药]c∵a1=3,a2=5.∴log2(a1-1)=1,log2(a2-1)=2.∴an-1=2n,an=2n+1.111 a2？1a3？a2an？1.一∴? 122? 212n？1.2n11[1？（）n]1112？？2.N212221? 2.12? 22 一∴lim(n??111)a2?a1a3?a2an?1?an11[1?()n]2=lim2=11n??1?24(典型例题)计算：lim3n?1?2n3n?2n?1n??=___________。
高中数学经典易错题会诊与试题预测
高中数学经典易错题会诊与试题预测（十二）考点12排列、组合、二项式定理►正确运用两个基本原理►排列组合►二项式定理►在等可能性事件的概率中考查排列、组合►利用二项式定理解决三项以上的展开式问题►利用二项式定理证明不等式经典易错题会诊命题角度1正确运用两个基本原理1．（典型例题）已知集合A=B={1，2，3，4，5，6，7}，映射f:A→B满足f(1)<f(2)<f(3)<f(4),则这样的映射f 的个数为（）A．C47A33B．C47C．77D．C7473[考场错解] ∵f(1)<f(2)<f(3)<f(4)，且f(1)<f(2)<f(3)<f(4)的值为{1，2，3，4，5，6，7}中的某4个，∴这样的映射有C47个，∴选B[专家把脉] C47中的任何一种方法都没有完成组成映射这件事情，因为只找到1、2、3、4的象，而5、6、7的象还没有确定。
[对症下药] 由映射的定义f(1) f(2) f(3) f(4)的值应为{1，2，3，4，5，6，7}中的某4个，又f(1)<f(2)<f(3)<f(4) ∴f(1) f(2) f(3) f(4)的大小已定，∴1、2、3、4的象的可能为C47，5、6、7三个元素的象每一个都有7种可能，∴有73种可能。
根据分肯计数原理，这样的映射共有C47·73个。
∴选D。
2．（典型例题）8人进行乒乓球单打比赛，水平高的总能胜水平低的，欲选出水平最高的两人，至少需要比赛的场数为__________（用数字作答）[考场错解] 每两人之间比赛一场，需要比赛C28=28场，填28场；或第一轮分成4对进行比赛，负者被淘汰，胜者进入第二轮，需4场比赛；第二轮分成2对进行比赛，胜者为水平最高的两人，需2场比赛。
∴至少需要比赛6场，填6。
[专家把脉] 前一种解法的错误是没有看清题意，“至少”没有理解好；后一种解法的错误是没有选出水平最高的两人，错误地认为这种淘汰赛最后的两人就是水平最高的两人，实际上第二名有可能在第一轮或第二轮就被第一名淘汰了。
高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测(下)
高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测（下）目录考点7 不等式经典易错题会诊命题角度1 不等式的概念与性质命题角度2 均值不等式的应用命题角度3 不等式的证明命题角度4 不等式的解法命题角度5 不等式的综合应用探究开放题预测预测角度1 不等式的概念与性质预测角度2 不等式的解法预测角度3 不等式的证明预测角度4 不等式的工具性预测角度5 不等式的实际应用考点8 直线和圆经典易错题会诊命题角度1 直线的方程命题角度2 两直线的位置关系命题角度3 简单线性规划命题角度4 圆的方程命题角度5 直线与圆探究开放题预测预测角度1 直线的方程预测角度2 两直线的位置关系预测角度3 线性规划预测角度4 直线与圆预测角度5 有关圆的综合问题考点9 圆锥曲线经典易错题会诊命题角度1 对椭圆相关知识的考查命题角度2 对双曲线相关知识的考查命题角度3 对抛物线相关知识的考查命题角度4 对直线与圆锥曲线相关知识的考查命题角度5 对轨迹问题的考查命题角度6 考察圆锥曲线中的定值与最值问题探究开放题预测预测角度1 椭圆预测角度2 双曲线预测角度3 抛物线预测角度4 直线与圆锥曲线预测角度5 轨迹问题预测角度6 圆锥曲线中的定值与最值问题考点10 空间直线与平面经典易错题会诊命题角度1 空间直线与平面的位置关系命题角度2 空间角命题角度3 空间距离命题角度4 简单几何体探究开放题预测预测角度1 利用三垂线定理作二面角的平面角预测角度2 求点到面的距离预测角度3 折叠问题考点11 空间向量经典易错题会诊命题角度1 求异面直线所成的角命题角度2 求直线与平面所成的角命题角度3 求二面角的大小命题角度4 求距离探究开放题预测预测角度1 利用空间向量解立体几何中的探索问题预测角度2 利用空间向量求角和距离考点12 排列、组合、二项式定理经典易错题会诊命题角度1 正确运用两个基本原理命题角度2 排列组合命题角度3 二项式定理探究开放题预测预测角度1 在等可能性事件的概率中考查排列、组合预测角度2 利用二项式定理解决三项以上的展开式问题预测角度3 利用二项式定理证明不等式考点13 概率与统计经典易错题会诊命题角度1 求某事件的概率命题角度2 离散型随机变量的分布列、期望与方差命题角度3 统计探究开放题预测预测角度1 与比赛有关的概率问题预测角度2 以概率与统计为背景的数列题预测角度3 利用期望与方差解决实际问题考点14 极限经典易错题会诊命题角度1 数学归纳法命题角度2 数列的极限命题角度3 函数的极限命题角度4 函数的连续性探究开放题预测预测角度1 数学归纳法在数列中的应用预测角度2 数列的极限预测角度3 函数的极限预测角度4 函数的连续性考点15 导数及其应用经典易错题会诊命题角度1 导数的概念与运算命题角度2 导数几何意义的运用命题角度3 导数的应用探究开放题预测预测角度1 利用导数的几何意义预测角度2 利用导数探讨函数的单调性预测角度3 利用导数求函数的极值和最考点16 复数经典易错题会诊命题角度1 复数的概念命题角度2 复数的代数形式及运算探究开放题预测预测角度1 复数概念的应用预测角度2 复数的代数形式及运算考点7不等式不等式的概念与性质均值不等式的应用不等式的证明不等式的解法不等式的综合应用不等式的概念与性质不等式的解法不等式的证明不等式的工具性不等式的实际应用经典易错题会诊命题角度1不等式的概念与性质1．(典型例题)如果a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是 ( )A ．ab>acB ．c(b-a)>0C ．cb 2<ab 2D ．dc(a-c)<0[考场错解] A ∵b>c ，而ab ，ao 不一定成立，原因是不知a 的符号．[专家把脉] 由d>b>c ，且ac<0．则。
高考高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测1
考点-1集合与简易逻辑YT CUO TI TAN JIU TI KAI FANG TI集合的概念与性质集合与不等式集合的应用简易逻辑充要条件集合的运算逻辑在集合中的运用集合的工具性真假命题的判断充要条件的应用经典易错题会诊命题角度1 集合的概念与性质1．(典型例题)设全集U=R，集合M=｛x|x＞1｝，P=｛x|x2＞1｝，则下列关系中正确的是( )A.M=P B．P⊂MC.M⊂P D．C UM P=ø[考场错解] D[专家把脉] 忽视集合P中，x＜-1部分．[对症下药] C ∵x2＞1 ∴x＞1或x＜-1．故M⊂P．2．(典型例题)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=｛a+b|a∈P，b∈Q｝，若P｛0，2，5｝，Q=｛1，2，6｝，则P+Q中元素的个数是（）A．9 B．8C．7 D．6[考场错解] A P中元素与Q中元素之和共有9个．[专家把脉]忽视元素的互异性，即和相等的只能算一个．[对症下药] B P中元素分别与Q中元素相加和分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个．3．(典型例题)设f(n)=2n+1(n∈N)，P=｛l，2，3，4，5｝，Q={3，4，5，6，7},记Pˆ=｛n∈N|f(n) ∈P｝，Qˆ=｛n∈N|f(n) ∈则(Pˆ C N Qˆ) (Qˆ C N Pˆ)等于 ( )A．｛0，3｝ B．｛1，7｝C．｛3，4，5｝ D．｛1，2，6，7｝[考场错解] D P C N Q=｛6，7｝．Q C N P=｛1，2｝．故选D．[专家把脉]未理解集合Pˆ的意义.[对症下药] B ∵Pˆ =｛1，3，5｝．Qˆ=｛3，5，7｝．∴Pˆ C N Qˆ=｛1｝. Pˆ C N Qˆ=｛7｝．故选B．4．(典型例题)设A、B为两个集合，下列四个命题：①A B⇔对任意x∈A,有x ∉B；②A B⇔ A B=ø;③A B ⇔ A B;④A B⇔存在x∈A, 使得x∉B.其中真命题的序号是_____.[考场错解]∵A B，即A不是B的子集，对于x ∈A，有x∉ B;A B=ø，故①②④正确．[专家把脉]对集合的概念理解不清．∵A B，即A不是B的子集，但是A，B可以有公共部分，即存在x∈ A，使得x∉ B.不是对任意x ∈A,有x ∉B，故④正确．“A B”是“任意x ∈A，有x∉B”的必要非充分条件．②同①.[对症下药] 画出集合A ，B 的文氏图或举例A=｛1，2｝，B=｛2，3，4｝，故①、②均不成立，③A ｛1，2，3｝，B=｛1,2｝,∴A B 但B ⊆A ，故也错.只有④正确，符合集合定义．故填④ 5．(典型例题Ⅰ)设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误的是 ( ) A ．（C I A ） B=I B ．(C I A) (C I B)=IC ．A (C I B)=øD ．(C I A) (C I B)= C I B[考场错解] 因为集合A 与B 的补集的交集为A ，B 的交集的补集．故选D ．[专家把脉] 对集合A ，B ，I 满足A ⊆B ⊆I 的条件，即集合之间包含关系理解不清． [对症下药] 如图是符合题意的韦恩图.从图中可观察A 、C 、D 均正确，只有B 不成立．或运用特例法，如A=｛1，2，3｝，B=｛1，2，3.4｝，I=｛1，2，3，4，5｝．逐个检验只有B 错误． 专家会诊1．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x ∈P}，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，充分运用数形结合(数轴，坐标系，文氏图)或特例法解集合与集合的包含关系以及集合的运算问题，直观地解决问题．2．注意空集ø的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ，则有A=ø或A ≠ø 两种可能，此时应分类讨论．考场思维训练1 全集U=R ，集合M={1，2，3，4}，集合N=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤121|x x ，则M (C U N)等于 ( ) A ．{4} B ．{3，4}C ．{2，3，4}D ． {1，2，3，4} 答案：B 解析：由N={},12|,121|+≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤x x N x x 得C U N={}{}4,3)(,12|=⋂∴+N C M x x U 2 设集合M={x|x=3m+1，m ∈Z}，N=y|y{=3n+2，n ∈Z}，若x 0∈M,y 0∈N ，则x 0y 0与集合M,N 的关系是 ( )A.x 0y 0∈M B ．x 0y 0∉M MM C.x 0y 0∈N D ．x 0y 0∉N 答案： C 解析：∵x o..2)23(32369)23)(13(,23,,130C N n m mn n m mn n m y x n y N y m x M o o o o 故选∈+++=+++=++=∴+=∴∈+=∴∈3 设M={x|x4a ，a ∈R}，N={y|y=3x，x ∈R}，则 ( ) A ．M ∩N=Ø B ．M=NC. M ⊃ND. M ⊂N 答案：B 解析：M={}{}{}B N y y x x M R a x x a 选.0|0|,4|=>=>==∈=4 已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab,a 、b ∈A 且a ≠b}，则B 的子集的个数是 ( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．15答案：解析：{},6,0=B 它的子集的个数为22=4。
高三数学易错立体几何多选题 易错题专项训练学能测试试题
高三数学易错立体几何多选题 易错题专项训练学能测试试题一、立体几何多选题1．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ）A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MATB ．当)3,2x ∈时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCDC ．若使点M 在平面ABCD 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥M HAB -6322++【答案】BCD 【分析】对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x --，验证当)3,2x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21233V x x =⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为2323r =++【详解】对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误； 对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥．若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=- 当)3,2x ∈时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD故B 正确；对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，(3x ∈，所以()22222221223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当223x x =-，即6x =时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =因为AHB ，MHB 都是直角三角形，所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点，所以1R =，由等体积法，可求得内接圆半径为2323r =++，故61322R r ++=，故D 正确．故选：BCD ． 【点睛】本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．2．已知图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，分别沿着AB 、BC 、CD 、DA 把ABF 、BCG 、CDH △、DAE △向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）A ．AEF 是正三角形B ．平面AEF ⊥平面CGHC ．直线CG 与平面AEF 2D ．当2AB =时，多面体ABCD EFGH -的体积为83【答案】AC【分析】取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ，证明出OH ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出EF ，可判断A 选项的正误，利用空间向量法可判断BC 选项的正误，利用几何体的体积公式可判断D 选项的正误. 【详解】取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ， 在图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，则1122CH GH EH DH ===，O 为CD 的中点，OH CD ∴⊥，平面CDH ⊥平面ABCD ，平面CDH 平面ABCD CD =，OH ⊂平面CDH ，OH ∴⊥平面ABCD ，在图1中，设正方形EFGH的边长为()0a >，可得四边形ABCD 的边长为2a ， 在图1中，ADE 和ABF 均为等腰直角三角形，可得45BAF DAE ∠=∠=， 90BAD ∴∠=，∴四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，O 、M 分别为CD 、AB 的中点，则//OC BM 且OC BM =，且90OCB ∠=，所以，四边形OCBM 为矩形，所以，OM CD ⊥，以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()2,,0A a a -、()2,,0B a a 、()0,,0C a 、()0,,0D a -、(),,E a a a -、()2,0,F a a 、(),,G a a a 、()0,0,H a .对于A选项，由空间中两点间的距离公式可得AE AF EF ===，所以，AEF 是正三角形，A 选项正确；对于B 选项，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，(),0,AE a a =-，()0,,AF a a =，由111100m AE ax az m AF ay az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11z =，则11x =，11y =-，则()1,1,1m =-， 设平面CGH 的法向量为()222,,n x y z =，(),0,CG a a =，()0,,CH a a =-， 由222200n CG ax az n CH ay az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取21z =-，可得21x =，21y =-，则()1,1,1n =--，()22111110m n ⋅=+--⨯=≠，所以，平面AEF 与平面CGH 不垂直，B 选项错误；对于C 选项，6cos ,323CG m CG m a CG m⋅<>===⨯⋅， 设直线CG 与平面AEF 所成角为θ，则sin 63θ=，23cos 1sin θθ=-=，所以，sin tan 2cos θθθ==，C 选项正确； 对于D 选项，以ABCD 为底面，以OH 为高将几何体ABCD EFGH -补成长方体1111ABCD A B C D -，则E 、F 、G 、H 分别为11A D 、11A B 、11B C 、11C D 的中点，因为2AB =，即1a =，则1OH =，长方体1111ABCD A B C D -的体积为2214V =⨯=，11211111113326A A EF A EF V S AA -=⋅=⨯⨯⨯=△，因此，多面体ABCD EFGH -的体积为111044463ABCD EFGH A A EF V V V --=-=-⨯=， D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.3．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 内（含边界）一点．（ ） A ．若13A P P 点有且只有一个B ．若12A P =，则点P 的轨迹是一段圆弧C ．若1//A P 平面11BD C ，则1A P 长的最小值为2D ．若12A P =且1//A P 平面11B DC ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面的面积为23π【答案】ABD 【分析】选项A ，B 可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD 上，1A P 长的最大值为2；结合以上条件点P 与B 或D 重合，利用12sin 60A P r =︒，求出63r =，进而求出面积. 【详解】对A 选项，如下图：由13A P =，知点P 在以1A 为球心，半径为3的球上，又因为P 在底面ABCD 内（含边界），底面截球可得一个小圆，由1A A ⊥底面ABCD ，知点P 的轨迹是在底面上以A 为圆心的小圆圆弧，半径为22112r A P A A =-=，则只有唯一一点C满足，故A 正确；对B 选项，同理可得点P 在以A 为圆心，半径为22111r A P A A =-=的小圆圆弧上，在底面ABCD 内（含边界）中，可得点P 轨迹为四分之一圆弧BD .故B 正确；对C 选项，移动点P 可得两相交的动直线与平面11B D C 平行，则点P 必在过1A 且与平面11B D C 平行的平面内，由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD上，则1A P 长的最大值为12A B =，则C 不正确； 对选项D ，由以上推理可知，点P 既在以A 为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又在线段BD 上，即与B 或D 重合，不妨取点B ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面为11A BC 的外接圆，利用2126622,,sin 603A B r r S r ππ==∴=∴==︒.故D 正确.故选：ABD 【点睛】（1）平面截球所得截面为圆面，且满足222=R r d +（其中R 为球半径，r 为小圆半径，d 为球心到小圆距离）；（2）过定点A 的动直线平行一平面α，则这些动直线都在过A 且与α平行的平面内.4．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点C ．1AA 与平面ABCD 所成角大于45 D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为63【答案】AC 【分析】对A ，分别计算()21++AA AB AD 和2AC ，进行判断；对B ，设BD 中点为O ，连接1A O ，假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，应得10⋅=O AB A ，计算10⋅≠O AB A ，即可判断1A 在底面ABCD 上的射影不是线段BD 的中点；对C ，计算11,,A A AC AC ，根据勾股定理逆定理判断得11⊥A A AC ，1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，再计算1tan ∠A AC ；对D ，计算1,AC BD 以及1BD AC ⋅，再利用向量的夹角公式代入计算夹角的余弦值. 【详解】对A ，由题意，11111cos602⋅=⋅=⋅=⨯⨯=AA AB AA AD AD AB ，所以()2222111112221113262++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯=AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ，AC AB AD =+，所以()222221113=+=+⋅+=++=AC AB ADAB AB AD AD ，所以()()22126++==AA AB AD AC ，故A 正确；对B ，设BD 中点为O ，连接1A O ，1111111222=+=+=++AO A A AO A A AC A A AD AB ，若1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，则1A O ⊥平面ABCD ，则应10⋅=O AB A ，又因为21111111111110222222224⎛⎫⋅=++⋅=-⋅+⋅+=-+⨯+=≠ ⎪⎝⎭O AB A A AD AB AB AA AB AD AB AB A ，故B 错误；对D ，11,BD AD AA AB AC AB AD =+-=+，所以()()2211=2,=3=+-=+AD A B A AB AC AB AD D ()()2211111⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅=AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD ABAB AD BD，111cos ,2⋅<>===B AC D BD BD AC ACD 不正确；对C，112==AC BD ，在1A AC 中，111,===A A AC AC 22211+=A A AC AC ，所以11⊥A A AC ，所以1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，又1tan 1∠=>A AC ，即145∠>A AC ，故C 正确；故选：AC【点睛】方法点睛：用向量方法解决立体几何问题，需要树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比；同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解.5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱AB 、1CC 的中点，1MB P 的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题正确命题的序号是（ ）A ．平面1MB P 1ND ⊥ B ．平面1MB P ⊥平面11ND AC ．1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值 D ．1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形是三角形 【答案】BC 【分析】取N 与P 重合，结合勾股定理可判断A 选项的正误；利用面面垂直的判定定理可判断B 选项的正误；分点P 在棱1CC 、11C D 上运动两种情况讨论，利用三角形的面积公式可判断C 选项的正误；取点P 与点1C 重合，判断1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形形状，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，如下图所示：当点P 与点N 重合时， 若1ND ⊥平面1MB P ，1B N ⊂平面1MB P ，则11ND B N ⊥，由勾股定理可得2211115D N C N C D =+=，同理可得15B N =，1122B D =，2221111B N D N B D ∴+≠，则1ND 与1B N 不垂直，假设不成立，A 选项错误；对于B 选项，取1BB 的中点E ，连接1A E 、EN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB CC ，且E 、N 分别为1BB 、1CC 的中点， 则11//B E C N 且11B E C N =，所以，四边形11B ENC 为平行四边形，则11//EN B C 且11EN B C =，1111//A D B C 且1111A D B C =，所以，11//A D EN 且11A D EN =，所以，四边形11A END 为平行四边形，所以，11//A E D N ，111A B BB =，1B E BM =，11190A B E B BM ∠=∠=，所以，111Rt A B E Rt B BM ≅△△，所以，111B A E BB M ∠=∠，所以，111111190A EB BB M A EB B A E ∠+∠=∠+∠=，190B FE ∴∠=，所以，11B M A E ⊥，11A D ⊥平面11AA B B ，1B M ⊂平面11AA B B ，111B M A D ∴⊥， 1111A D A E A =，11A D 、1A E ⊂平面11ND A ，1MB ∴⊥平面11ND A ，1MB ⊂平面1MB P ，所以，平面1MB P ⊥平面11ND A ，B 选项正确；对于C 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a .若点P 在棱1CC 上运动时，1MB P 在底面ABCD 上的射影为MBC △， 此时，射影图形的面积为21224MBCa a S a =⋅=△； 若点P 在棱11C D 上运动时，设点P 在底面ABCD 上的射影点为G ，则G CD ∈， 且点G 到AB 的距离为a ,1MB 在底面ABCD 内的射影为MB ，则1MB P 在底面ABCD 内的射影为MBG △，且21224MBGa a S a =⋅⋅=△.综上所述，1MB P 在底面ABCD 内的射影图形的面积为定值，C 选项正确； 对于D 选项，当点P 与1C 重合时，P 、1B 两点在平面11D C CD 上的射影重合， 此时，1MB P 在侧面11D C CD 上的射影不构成三角形，D 选项错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.6．已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ） A ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒B ．点A 到平面BCD 的距离为3C ．四面体ABCDD ．动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60︒，则点P 的轨迹是椭圆 【答案】BC 【分析】在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P 的轨迹为双曲线方程即可得D 错误. 【详解】取BD 中点E ,连接,AE CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误；在四面体ABCD 中，过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重心，因为所有棱长均为2,AF ==即点A 到平面BCD ,故B 正确；设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径， 因为11433A BCD BCD BCD V S AF S OF -=⋅=⨯⋅△△，所以4AF OF =，即OF AO =所以四面体ABCD 的外接球体积334433V R OA ππ===,故C 正确；建系如图：0,0,,0,,033A C ⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设(,,0)P x y ，则,,AP x y AC →→⎛⎛== ⎝⎭⎝⎭，因为cos 60AP AC AP AC →→→→⋅=24192y +=，即833y +，平方化简可得：2240039y x y ---，可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误. 故选：BC ．【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.7．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（ ）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD 'B ．存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC ．若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，||104A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ23【答案】ABC 【分析】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即可判断出结论. 对于C ，12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+.对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确. 对于C.12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：可得AM ⊥平面BCDE ， 则22223111010()1()21cos120222A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠，因此C 不正确；对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得3λ=()f λ取得最大值()31231339f λ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，因此D 正确.综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.8．如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则（ ）A ．若//MN 平面PAB ，则//AB RQ B ．存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQC ．存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+= D ．111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 13SC PC =时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断； 对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A ， 若//MN 平面PAB ，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ，又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，∴//MN RQ ，点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，∴MN ⊂平面ABC ，又//MN 平面PAB ，平面ABC平面PAB AB =，∴//MN AB ， ∴//AB RQ ，故A 正确； 对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即13SC PC =， 此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明： 在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ，∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，点O 为ABC 的中心，//MN AB ，∴由正三角形中的性质，易得23CN CM a ==， 在CNS 中，23CN a =，13SC a =，3SCN π∠=，∴由余弦定理得，SN a ==， ∴222249SC SN a CN +==，则SN PC ⊥， 同理，SM PC ⊥，又SM SN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，∴PC ⊥平面SRQ ，∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，故B 正确； 对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=， 设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=，∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，∴PC AB ⊥，又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上，∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立， 故C 错误； 对于选项D ，易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ， 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数， 则点S 到PQR 的距离为sin PS α， 又13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQRV PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅， 又13sin 234PSRSPS PR PS PR π=⋅=⋅， 13sin 234PSQS PS PQ PS PQ π=⋅=⋅， 13sin23PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅，()S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅，∴()3sin 12PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅， ∴111sin d PQPRPSα++=为常数，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.。
(完整版)高中数学易错题(含答案)
高中数学易错题一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．52．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=06．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是_________．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是_________．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_________．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为_________．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是_________．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为_________．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为_________．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=_________．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．高中数学易错题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，进而求得x和y的关系式，进而表示出xy的表达式，利用二次函数的性质求得xy的最大值．解答：解：如图，设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，即=4，所以4x=12﹣3y，y=，求xy最大，也就是那个矩形面积最大．xy=x•=﹣•（x2﹣3x），∴当x=时，xy有最大值3故选B．点评：本题主要考查了三角函数的几何计算．解题的关键是通过题意建立数学模型，利用二次函数的性质求得问题的答案．2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：直接利用正弦定理，两角差的正弦函数，即可求出三角形的外接圆的直径即可．解答：解：由正弦定理可知：====．故选D．点评：本题是基础题，考查三角形的外接圆的直径的求法，正弦定理与两角差的正弦函数的应用，考查计算能力．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：数形结合；转化思想．分析：画出图形，利用点到直线的距离之间的转化，三角形两边之和大于第三边，求出最小值与最大值．解答：解：由题意△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，在图（1）中，d=CE+PE+PF＞CD==，在图（2）中，d=CE+EP+FP＜CE+EG＜AC=4；∴d的取值范围是；故选D．点评：本题是中档题，考查不等式的应用，转化思想，数形结合，逻辑推理能力，注意，P为△ABC内任一点，不包含边界．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，利用正弦定理以及双曲线的定义化简即可得到答案．解答：解：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，由双曲线的定义可知BC﹣AB=2a=10，c=6，===；故选D．点评：本题是基础题，考查双曲线的定义，正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：通过向量求出直线的斜率，利用点斜式方程求出最新的方程即可．解答：解：过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的斜率为﹣，所以所求直线的方程为：y+2=﹣（x﹣1），即：3x+4y+5=0．故选C．点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，注意直线的方向向量与直线的斜率的关系，考查计算能力．6．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④考点：三角形中的几何计算；恒过定点的直线．专题：应用题．分析：①由于基本不等式等号成立的条件不具备，故的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程，求出它与两坐标轴的交点，根据条件可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④若△ABC中，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形．解答：解：①∵≥2=2，（当且仅当x=0时，等号成立），故当x＞0时，的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程为y﹣3=k（x﹣2），它与两坐标轴的交点分别为（2﹣，0），（0，3﹣2k），根据直线与两坐标轴围成的面积为13=，化简可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条，故②正确．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=cos2（x﹣）=sin[﹣（2x﹣）]=sin（）=﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形，故④正确．故选B．点评：本题基本不等式取等号的条件，过定点的直线，三角函数的图象变换，诱导公式的应用，检验基本不等式等号成立的条件，是解题的易错点．二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是[，4]．考点：向量在几何中的应用；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：设三边分别为a，b，c，利用正弦定理和余弦定理结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长．欲求x+y+z的取值范围，利用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离将求x+y+z的范围转化为，然后结合线性规划的思想方法求出范围即可．解答：解：△ABC为Rt△ABC，且∠C=90°，设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，∵（1）÷（2），得，令a=4k，b=3k（k＞0）则∴三边长分别为3，4，5．以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x+3y﹣12=0．设P点坐标为（m，n），则由P到三边AB、BC、AB的距离为x，y，z．可知，且，故，令d=m+2n，由线性规划知识可知，如图：当直线分别经过点A、O时，x+y+z取得最大、最小值．故0≤d≤8，故x+y+z的取值范围是．故答案为：[]．点评：本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算、简单线性规划思想方法的应用，综合性强，难度大，易出错．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=4．考点：二倍角的余弦；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：首先根据三角形的面积公式求出b的值，然后将所给的式子写成+=3进而得到acosC+ccosA+a+c=6，再根据在三角形中acosC+ccosA=b=2，即可求出答案．解答：解：∵S=absinC=asinC∴b=2∴acos2+ccos2=3∴+=3即a（cosC+1）+c（cosA+1）=6∴acosC+ccosA+a+c=6∵acosC+ccosA=b=2∴2+a+c=6∴a+c=4故答案为：4．点评：本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算，解题的关键是巧妙的将所给的式子写成+=3的形式，属于中档题．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先根据求得sin（A+B）的值，进而求得sinC的值，根据同角三角函数的基本关系求得cosC，根据韦达定理求得a+b和ab的值，进而求得a2+b2，最后利用余弦定理求得c的值．解答：解：∵，∴sin（A+B）=∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=∴cosC==∵a，b是方程的两根∴a+b=2，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=8∴c===故答案为：点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，余弦定理的应用，韦达定理的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：构造以BC为正三角形的外接圆，如图满足，即可观察推出|AM|的取值范围．解答：解：构造以BC为正三角形的外接圆，如图，显然满足题意，由图可知红A处，|AM|值最大为，A与B（C）接近时|AM|最小，所以|AM|∈．故答案为：．点评：本题考查三角形中的几何计算，构造法的应用，也可以利用A的轨迹方程，两点减距离公式求解．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．考点：棱柱的结构特征；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．解答：解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为1或．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2；再分∠A=30°以及∠C=30°两种情况分别求出对应的面积．解答：解：因为2，转化为边长和角所以有2acosB=c可得：cosB==⇒a2=b2⇒a=b=2．当∠A=30°=∠B时，∠C=120°，此时S△ABC=×2×2×sinC=；当∠C=30°时，∠A=∠B=75°，此时S△ABC=×2×2×sinC=1．故答案为：或1．点评：本题主要考查余弦定理的应用以及三角形中的几何计算．解决本题的关键在于利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据AB=AC可推断出B=C，进而利用三角形内角和可知cosA=cos（π﹣2B）利用诱导公式和二倍角公式化简整理，把cosB的值代入即可．解答：解：∵AB=AC，∴B=C∴cosA=cos（π﹣2B）=cos2B=2cos2B﹣1=﹣1=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，二倍角公式的应用．考查了学生综合运用三角函数基础知识的能力．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为x+y+z=3．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接，进而分别表示出三角形三部分的面积，相加应等于总的面积建立等式求得x+y+z的值．解答：解：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接根据面积那么：ax+ay+az=ah所以x+y+z=h因为等边三角形的边长为2，所以高为h=3所以x．y．z所满足的关系是为：x+y+z=3故答案为：3点评：本题主要考查了三角形中的几何计算．考查了学生综合分析问题的能力和转化和化归的思想．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=2，则可以利用勾股定理求得AD的长．解答：解：（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA=AC=2，∵∠OAD=90°，∠D=30°，∴AD=•AO=．故答案为：．点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用含有30°角的直角三角形的性质，本题是一个基础题．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用三个内角成等差数列求得A，根据，∠B=30°求得C，然后利用tan30°=表示出a，代入三角形面积公式求得b．解答：解：三角形ABC中，三个内角A，B，C成等差数列A+B+C=3A=180°∴∠A=60°∵∠A=30°，∴C=90S=ab=∵tan30°=∴a=∴b=故答案为：点评：本题主要考查了三角形的几何计算．考查了学生基础知识综合运用的能力．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设出BD，利用余弦定理分别在△ABC，△ABD中表示出AB，进而建立等式求得b﹣x=2acosC代入四边形ABCD的面积表达式中，利用正弦函数的性质求得问题的答案．解答：解：设BD=x，则由余弦定理可知b2+a2﹣2abcosC=AB2=a2+x2+2axcosC∴b﹣x=2acosC．∵S=（absinC）﹣（axsinC）=a（b﹣x）sinC=a2•sin2C，∴当C=时，S有最大值．点评：本题主要考查了三角形的几何计算．注意灵活利用正弦定理和余弦定理以及其变形公式．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数关系及三角形内角的范围可求；（2）利用正弦定理可知b=2a，再利用余弦定理，从而求出a、b的值，进而可求面积．解答：解：（1）由题意，，∴（2）由sinB=2sinA可知b=2a，又22=a2+b2﹣2abcosC，∴a=1，b=2，∴点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式，灵活运用正弦、余弦定理求值，是一道基础题题．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题；综合题．分析：（1）由三角形的面积公式，结合余弦定理求出的值，进而有sinA=．（2）利用，结合正弦定理，求出b+c的值，利用三角形的面积公式和基本不等式求出面积的最大值．解答：解：（1）得进而有（2）∵，∴即所以故当b=c=8时，S最大=．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用余弦定理和题设等式求得cosA的值，进而求得A．（2）利用正弦定理把题设中的正弦转化成边的关系，进而求得bc的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（1）因为b2+c2﹣a2=2bccosA=bc所以所以（2）因为sin2B+sin2C=2sin2A所以b2+c2=2a2=2因为b2+c2﹣a2=bc所以bc=1所以=点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．注意挖掘题设中关于边，角问题的联系．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？考点：三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由题意画出简图，设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h，利用三角形相似建立方程解德；（2）由题意当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E，则DE长即为所求的影长，利用三角形相似建立方程求解即可．解答：解：如图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ，并设C、D分别为A、B灯的底部．由题中已知得MN=PQ=1.6m，NQ=5m，CD=10m（1）设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h∵△CMN∽△CBD，即⇒又△PQD∽△ACD即⇒由①②式得x=2.5m，h=6.4m，即路灯高为6.4m．（2）当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E．则DE长即为所求的影长．∵△DEH∽△CEA⇒⇒解得DE=m，即他在A路灯下的身影长为m．点评：此题考查了学生理解题意的能力，还考查了利用三角形相似及方程思想求解变量及学生的计算能力．22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）求AB长，关键是求sinB，sinC，利用已知条件可求；（2）根据三角形的面积公式，故关键是求sinA的值，利用sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC可求解答：解：（1）设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为．∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故所求面积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题的考点是三角形的几何计算，主要考查正弦定理得应用，考查三角形的面积公式，关键是正确记忆公式，合理化简．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）先根据正弦定理以及大角对大边求出角C，再根据三角形内角和为180°即可求出角A．（2）分情况分别代入三角形的面积计算公式即可得到答案；（3）直接根据前两问的结论填写即可．解答：解：（1）∵，…（2分）∵c＞b，C＞B，∴C=60°，此时A=90°，或者C=120°，此时A=30°…（2分）（2）∵S=bcsinA∴A=90°，S=bcsinA=；A=30°，S=bcsinA=．…（2分）（3）点评：本题主要考查三角形中的几何计算．解决本题的关键在于根据正弦定理以及大角对大边求出角C．24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．考点：三角形中的几何计算；解三角形．专题：计算题；数形结合．分析：（1）由正弦定理知===2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．解答：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°===2R⇒b=2sinA=∵A为锐角∴A=30°，B=45°∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1cosC=＜0∴a2+b2＜c2＜（2R）2即a2+b2＜4R2（8分）（3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在当时，A=90，△ABC存在且只有一个∴c=当时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个∴c=2RsinC=2Rsin2AC=当时，∠B总是锐角，∠A可以是钝角，可是锐角∴△ABC存在两个∠A＜90°时，c=∠A＞90°时，c=点评：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a，b两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据∥和两向量的坐标可求得，利用正弦定理把边转化成角的正弦，然后利用两角和公式化简整理求得cosA的值，进而求得A（Ⅱ）把A的值代入，利用两角和公式整理后，利用正弦函数的性质求得2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．解答：解：（Ⅰ）由得．由正弦定理得，．∴．∵A，B∈（0，π），∴sinB≠0，，∴．（Ⅱ）解：∵∴2cos2B+sin（A﹣2B）==，．2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值为点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，正弦定理的应用和两角和公式的化简求值．注意综合运用三角函数的基础公式，灵活解决三角形的计算问题．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．考点：正弦定理的应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）由已知结合正弦与余弦定理=化简可求b，由余弦定理可得，cosA=代入可求cosA，及A（2）代入三角形的面积公式可求解答：解：（1）∵∵∴=化简可得，b2﹣2b﹣8=0∴b=4由余弦定理可得，cosA==∴；（2）==点评：本题主要考查了解三角形的基本工具：正弦定理与余弦定理的应用，解题的关键是具备综合应用知识解决问题的能力27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简（2a+c）cosB+bcosC=0，得到三角形的角的关系，通过两角和与三角形的内角和，求出B的值；（Ⅱ）通过S=，利用B=以及a+c=4，推出△ABC面积S的表达式，通过平方法结合a的范围求出面积的最大值．解答：解（Ⅰ）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0得2sinACcosB+sin（C+B）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0，因为sinA≠0，所以cosB=﹣，又B为三角形的内角，所以B=．（Ⅱ）因为S=，由B=及a+c=4得S===，又0＜a＜4，所以当a=2时，S取最大值…（3分）点评：本题是中档题，考查三角形面积的最值，三角形的边角关系，三角函数的公式的灵活应用，考查计算能力．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由，推出，利用坐标表示化简表达式，结合余弦定理求角C；（2）利用（1）中c2=a2+b2﹣ab，应用正弦定理和基本不等式，求三角形ABC的面积S的最大值．解答：解答：解：（1）∵∴且，由正弦定理得：化简得：c2=a2+b2﹣ab由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC∴，∵0＜C＜π，∴（2）∵a2+b2﹣ab=c2=（2RsinC）2=6，∴6=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），所以，．点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．。
高中数学高考复习易错题分类易错题示例试题
高中数学高考复习易错题分类易错题示例 试题2019.091,求函数y=63422-+++x x x x 的值域2,已知(x+2)2+42y =1,求x 2+y 2的取值范围。
3,已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+a 1)2+(b+b 1)2的最小值。
4,甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （km/h ）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a 元。
（1） 把全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？5,已知集合A=｛x x 2+(p+2)x+1=0, p ∈R ｝,若A ∩R +=φ。
则实数P 的取值范围为 。
6,已知集合A={x| －2≤x ≤7 }, B={x|m+1＜x ＜2m －1｝，若A ∪B=A ，则函数m 的取值范围是_________________。
A ．－3≤m ≤4B ．－3＜m ＜4C ．2＜m ＜4D ． m ≤47,命题“若△ABC 有一内角为3π，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题是（ ）A ．与原命题真值相异B ．与原命题的否命题真值相异C ．与原命题的逆否命题的真值不同D ．与原命题真值相同8,函数y=3472+++kx kx kx 的定义域是一切实数，则实数k 的取值范围是_____________9,判断函数f(x)=(x －1)x x-+11的奇偶性为____________________10,设函数f(x)=132-+x x ,函数y=g(x)的图象与函数y=f －1(x+1)的图象关于直线y=x 对称，则g （3）=_____________11,方程log 2(9x －1－5)－log 2(3x －1－2)－2=0的解集为___________________-12,x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件13,已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =a n －1(a 0,≠∈a R ),则数列｛a n ｝_______________A.一定是A ·PB.一定是G ·PC.或者是A ·P 或者是G ·PD.既非等差数列又非等比数列14,A ·P ｛a n ｝中, a 1=25, S 17=S 9,则该数列的前__________项之和最大，其最大值为_______。
数学经典易错题会诊与高考试题预测3
经典易错题会诊与2012届高考试题预测(三)考点-3 函数 (2)二次函数的图象和性质的应用指数函数与对数函数的图象和性质的应用 函数的应用二次函数闭区间上的最值的问题 三个“二次”的综合问题含参数的对数函数与不等式的综合问题 经典易错 会诊命题角度1 二次函数的图象和性质的应用1．(典型例题)已知向量a=(x 2，x+1)，b=(1-x ，t)若函数f(x)=ab 在区间(-1，1)上是增函数，求t 的取值范围．[考场错解] 依定义f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t ，则f ′(x)=-3x 2-2x+t.若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上恒有f ′≥0 t ＞3x 2-2x 在区间(-1，1)上恒成立．设g(x)= 3x 2-2x=3(x-31)2-31，∴当x=31时，[g(x)]min =-31∴t ≥-31即t 的取值范围是[-31,+∞].[专家把脉] 上面解答由t ≥3x 2-2x 在区间(-1，1)上恒成立得t 大于或等于3x 2-2x 的最小值是错误的．因为若t ≥[g(x)]min 只能说存在一个x 的值能使t ≥3x 2-2x 成立，但不能保证x 在(-1，1)上的每一个值都能使t ≥3x 2-2x 成立．因而t 应大于或等于g(x)在(-1，1)上的最大值．[对症下药] 解法1：依定义f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t.则f ′(x)=-3x 2+2x+t(-1,1)上是增函数，则f ′(x)=-3x 2+2x+t ≥0在 (-1，1)上恒成立，即t ≥3x 2-2x 在(-1，1)上恒成立．设g(x)=3x 2-2x=3(x-31)2-31．∵对称轴为x=31．∴g(x)<g(-1)=5．因而要t ≥g(x)在(-1，1)上恒成立．∴t ≥5．即t 的取值范围是[5，+∞]．解法2：依定义f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x2+tx+t,f ′(x)=-3x 2+2x+t ， 若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上恒有 f ′(x)≥0，∵f ′(x)的图像是开口向下的抛物线． ∴当且仅当⇒⎩⎨⎧≥-=-'≥-='05)1(01)1(t f t f t ≥5时，f ′(x)在(-1，1)上满足f ′(x)>0．即f(x)在(-1，1)上是增函数．故t 的取值范围是[5，+∞]．2．(典型例题)已知函数f(x)=ax-23x 2的最大值不大于61，又当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41时，f(x)≥81.(1)求a 的值;(2)设0<a 1＜21，a n+1=f(a n )，n ∈N *，证明：a n ＜11+n . [考场错解] 第(1)问，∵f(x)=ax-23x 2=-23(x-31a)2+62a ．∴62a ≤61，即a 2≤1⇒-1≤a ≤1 ①又当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41时,f(x)≥81，即f(x) ≥81在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41上恒成立⇔81≤f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41上的最小值为f(41)∴f(41)≥81．即a a ⇒≥-813234≥87. ②综合，①，②知87≤a ≤1．[专家把脉] 上面解答错在f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41的最小值的计算上，由①得-1≤a ≤1．∴3a ∈(-31,31)，∴对称轴x=3a 离端点21较远，因此,f(x)的最小值应是f(21).而不是f(41).[对症下药] (1)由于f(x)=ax-23x 2=-23(x-2a )2+62a ∴f(x)的最大值为62a .∴62a ≤61,即a 2≤1．∴-1≤a ≤1又x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41时，f(x)≥81，即f(x)≥81在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41上恒成立．∴81≤[f(x)]min .由①得-1≤a ≤1．∴-31≤a ≤31.∴f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41上的最小值为f(21)=2a -83.∴-2a≥83．解得a ≥1 ②由①,②得a=1.(2)(i)当n=1时,0＜a 1<21，不等式0<a n <11+n 成立.因f(x)>0，x ∈(0，32)，所以0<a 2=f(a 1)≤61＜31.故n=2时，不等式也成立.(ⅱ)假设n=k(k ≥2)时，不等式0＜a k ＜11+k 成立，因为f(x)=x-23x 2的对称轴x=31知f(x)在[0，31]上为增函数，所以0<a k <11+k ≤31得0<f(a k )<f(11+k )于是有0<a k+1<11+k -23·21)2()1(24212121)1(122++++-+=+-+++k k k k k k k k. 所以当n=k+1时，不等式也成立.根据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任何n ∈N *，不等式a n ＜11+n 成立. 3．(典型例题Ⅰ)已知函数f(x)的二项式系数为a ，且不等式f(x)>-2x 的解集为(1，3)．(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解 (2)若f(x)的最大值为正数，求a 的取值范围． [考场错解] (1)设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)．∵f(x)+2x=ax 2+(b+2)x+c>0的解集．为(1，3)，∴1、3是方程ax 2+(b+2)x+c=0的两根，∴⎩⎨⎧=--=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯==+=+-.3243314312a c ab ca a b∴f(x)=ax 2-(2+4a)x+3a ①由方程f(x)+6a=0得ax 2-(2+4a)x+9a=0 ②∵方程②有两个相等的根，∴△=[-(2+4a)]2-4a ·9a=0即 5a 2-4a-1=0，解得a=1或a=-51.∴f(x)的解析式为f(x)=x 2-6x+9或f(x)=- 51x 2-56x-53.(2)由f(x)=ax 2-(2+4a)x+3a=a(x-aa 21+)2-aa a 142++可得f(x)的最大值为-aa a142++． 令-aa a 142++>0⇔a(a+2+3)(a+2-3)<0解得0<-2-3或-2+3<a<0．故当f(x)的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(-∞，-2-3)∪(-2+3，0)．[专家把脉] 上面解答由f(x)+2x ＞0的解集为(1，3)．忽视了隐含条件a ＜0．所以(1)应舍去a=1．另外第(2)问若没有a ＜0这个条件，也不能说f(x)的最大值是-aa a 142++，从而很不容易求得a 的范围．[对症下药] (1)∵f(x)+2x ＞0的解集为(1，3),∴f(x)+2=a(x-1)(x-3)且a<0，因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax 2-(2+4a)x+3a ①由方程f(x)+6a=0得ax 2-(2+4a)x+9a=0 ②因为方程②有两个相等的根，∴△=[-(2+4a)]2-4a ·9a=0．即5a 2-4a-1=0，解得a=1或a=-51.由于a ＜0，舍去a=1．将a=-51代入①得f(x)的解析式为f(x)=- 51x 2-56x-53.(2)由f(x)=ax 2-2(1+2a)x+3a=a(x-221a +)2-aa a142++及a ＜0，可得f(x)的最大值为-a a a 142++.由⎪⎩⎪⎨⎧++-.00142 a a a a ， 解得a ＜-2-3或-2+3＜a<0．专家会诊利用二次函数图像可以求解一元二次不等式和讨论一元二次方程的实根分布情况，还可以讨论二次函数在闭区间上的最值．对于根的分布问题，一般需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x=-ab 2与区间端点的关系．另外，对于二次函数在闭区间上的最值要抓住顶点的横坐标与闭区间的相对位置确定二次函数的单调性进行求解.考场思维训练1 若函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数f(1+x)=f(-x)，则下面不等关系成立的是 ( )A ．f(2)>f(0)>f(-2)B ．f(-2)＞f(2)＞(0)C ．f(0)＞f(-2)＞f(2)D. f(-2)＞f(0)>f(2)答案：B 解析：由f(1+x)=f(-x)得f(x)的对称轴x=21∵b=-1. ∴f(2)=2+c,f(-2)=6+c,f(0)=c. ∴f(-2)>f(2)>f(0).2 若函数y=x 2-2x+3在闭区间[0，m]上有最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围是__________.答案：[1,2]解析：y=(x+1)2+2是以直线x=1为对称轴开口向上、其最小值为2的抛物线，又∵f(0)3.结合图象易得，2≥m ≥1. ∴m 的取值范围是[1，2].3 设函数f(x)=ax 2+bx+1(1，b ∈R)．(1)若f(-1)=0，则对任意实数均有f(x)≥0成立，求f(x)的表达式． 答案：解析：（1）∵f(-1)=0⇒a-b+1=0⇒b=a+1,又∵对任意实数均有f(x) ≥0成立，⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-=∆>∴.2104)1(004022b a a a a a b a ∴f(x)=x 2+2x+1.(2)在(1)的条件下，当x ∈[-2，2]时，g(x)=xf(x)-kx 是单调递增，求实数k 的取值范围．答案： g(x)=xf(x)-kx=x(x 2+2x+1)-kx=x 3+2x 2+(1-k)x,g ′(x)=3x 2+4x+1-k ≥0在[-2，2]上恒成立⇒g ′(x)在[-2，2]上的最小值g ′(x)(-.31,0)32-≤∴≥k )4 已知二次函数f(x)=(lga)x 2+2x+4lga 的最大值为3，求a 的值． 答案：解析：原函数式可化为f(x)=lga a aa x lg 4lg 1)lg 1(2+-+由已知，f(x)有最大值3，∴lga<0并且.3lg 4lg 1=+-a a整理得4（lga ）2-3lga-1=0解得lga=1,lga=.101000410.41lg .0lg .4141==∴-=<-a a a 故取 命题角度 2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用 1．(典型例题)函数y=e ｜lnx ｜-|x-1|的图像大致是 ( ) [考场错解] 选A 或B 或C[专家把脉] 选A ，主要是化简函数y=e ｜lnx ｜-|x-1|不注意分x ≥1和x<1两种情况讨论，选B ，主要是化简时错误地认为当，x<1时，e ｜lnx ｜-|x-1|=-x1.选C ，主要时当x ≥1时化简错误．[对症下药] D ∵f(x)=e｜lnx ｜-|x-1|=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+)1(,1)1(,11x x x x 作出其图像即可2．(典型例题)在y=2x ，y=log 2x ，y=x 2，y=cos2x 这四个函数中，当0<x 1<x 2<1，使f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x >2)()(21x f x f +恒成立的函数的个数是 ( )A.0 B ．1 C ．2 D ．3 [考场错解] C[专家把脉] 对四个函数图像不熟悉导致错误．由题设条件知F(x)在(0，1)上是凸函数，认为y=log 2x 和y=cos2x 在(0，1)上是凸函数．其实y=cos2x 在(0，4π)是凸函数，在(4π，1)是凹函数.[对症下药] B 根据条件，当0<x 1<x 2<1，使f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+221x x >2)()(21x f x f +恒成立知f(x)在(0，1)上是凸函数，因此只有y=log 2x 适合．y=2x 和y=x 2在(0，1)上是函数．y=cos2x 在(0，4π)是凸函数，但在(4π，1)是凹函数，故选B ．3．(典型例题)若函数f(x)=log a (2x 2+x)(a>0且a ≠1)在区间(0, 21)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为 ( ) A.(-∞，-41) B ．(-41，+∞)C ．(0，+∞)D ．(-∞，-21)[考场错解] 选A 或C[专家把脉] 选A ，求f(x)的单调区间时没有考虑函数定义域导致错误；选C ，求复合函数的单调区间时没有注意内、外层函数均递减时，原函数才是增函数．事实上 (0，+∞)是f(x)的递减区间．[对症下药] D ∵f(x)=log a (2x 2+x)(a>0且a ≠1)在区间(0，21)内恒有f(x)>0，若a>1，则由f(x)>0 x>21或x<-1．与题设矛盾.∴0<a<1．设ϕ(x)=2x 2+x=2(x+41)2-81.ϕ(x)>0⇒x>0或x<-21 .∴f(x)在(-∞，-21)内是增函数．4．(典型例题)已知函数f(x)=ln(e x +a)(a>0)(1)求函数y=f(x)的反函数y=f -1(x)及f(x)的导数f ′(x)．(2)假设对任意x ∈[ln(3a)，ln(4a)]．不等式｜m-f-1(x)｜lnf ′(x)<0成立．求实数m 的取值范围．[考场错解] (1)由y=f(x)=ln(e x +a)得x=ln(e y -a)．∴f -1(x)=ln(e x-a)(x>lna)，f ′(x)=[ln(e x+a)]′=.a e e x x +(2)由｜m-f -1(x)｜+ln[f ′(x)]<0得-ln.a e e x x ++ln(e x -a)<m<ln(e x -a)+ln.a e e x x+在(ln(3a)，ln(4a))上恒成立．设h(x)=ln(e x-a)+ln .a e e x x +. S(x)=-ln.a e e x x ++ln （e x -a)．即m ＜[h(x)]mni .且m ＞[S(x)]max∵S(x)，h(x)=ln(e x-a)+ln(1+xe a )在[ln(3a)，ln(4a)]上是增函数．∴[h(x)]min =ln(2a)+ln 34=ln(38a)．[S(x)]max =ln(3a)-ln 45=ln(512a)∴ln(512a)<m<ln(38a)．[专家把脉] 错在第(2)问h(x),S(x)在(ln(3a)，ln(4a))上是增函数没有根据．应用定义法或导数法判定后才能用这一结论． [对症下药] (1)由y=f(x)=ln(e x +a)得x=ln(e y -a)∴y=f -1(x)=ln(e x-a)(x>lna)，f ′(x)=.a e e x x+.(2)解法 1 由｜m-f -1(x)｜+ln(f ′(x))<0得-ln.a e e x x ++ln(e x -a)<m<ln(e x -a)+ln ．即对于x ∈[ln(3a)，ln(4a)]恒有ae a e e x x x +-)(<em ＜xx e a e 22)(- ①设t=e x ，u(t)=at a t t +-)(，v(t)=ta t22-，于是不等式①化为u(t)<e m <v(t)，t ∈[3a ，4a]当t 1<t 2,t 1,t 2∈[3a ，4a]时 u(t 2)-u(t 1)=at a t t +-222)(-at a t t +-111)(=))((])()[(212212112a t a t a t t a t t t t ++-++-＞0.v(t 2)-v(t 1)=222t at --121t at -=211221221)()(t t t t a t t t t -+-=2122121))((t t a t t t t +->0∴u(t)，v(t)在[3a ，4a]上是增函数．因此，当t ∈[3a ，4a]时，u(t)的最大值为u(4a)= 512a ，v(t)的最小值为v(3a)=38a ，而不等式②成立，当且仅当u(4a)<e m <v(3a)．即512a<e m <38a ，于是，得ln 512a<m<ln(58a)．解法2 由｜m-f -1(x)｜+ln(f ′(x))<0得 ln(e x -a)-ln(e x +a)+x<m<ln(e x -a)+ln(e x +a)-x ． 设ϕ(x)=ln(e x -a)-ln(e x +a)+x ， r(x)=ln(e x -a)+ln(e x +a)-x ，于是原不等式对于x ∈[ln(3a)，ln(4a)]恒成立等价于ϕ (x)<m<r(x)． ③由ϕ′(x)=ae e ae e xx xx +--+1,ae e ae e x r xx xx ++-=')(-1．注意到0<e x -a<e x <e x +a ，故有ϕ′(x)>0，r ′(x)>0，从而可知ϕ (x)与r(x)均在[ln(3a)，h(4a)]上单调递增，因此不等式③成立，当且仅当 ϕ(ln(4a))<m<r(ln(3a))，即ln(512a)＜m<ln(38a)．专家会诊论由指数函数和对数函数构成的复合函数的单调性时，首先要弄清复合函数的构成，然后转转化为基本初等函数的单调性加以解决，注意不可忽视定义域，忽视指数和对数的底数对它们的图像和性质起的作用.考场思维训练 1 已知函数f(x)=e21(e x +e 2-x)(x<1)(其中e 为自然对数的底数)，则( ) A ．f-1(21)<f -1(23) B ．f-1(21)＞f -1(23)C.f -1(23)<f -1(2) D.f -1(23)＞f -1(2) 答案： D 解析：f(x)=.).2()23(.],1[)(,)1,(1)(,),0(,)1)((211112D f f x f x f e t t e x ee e e x x x 选上是减函数在性相在各自的定义域上单调由于反函数的两个函数上是减函数且在则上是减函数则令--->∴+∞∴-∞≥∈=<+2 已知f(x)=a x +log a (x+1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 ( ) A.41 B.21 C ．2 D ．4答案： B 解析：f(x)=a x +log a (x+1)是单调递增（减）函数. (∵y=a x 与y=log a (x+1)单调性相同).且在[0，1]的最值分别在端点处取得，最值之和：f(0)+f(1)=a o +log a 1+log 22=2, ∴log a 2+1=0, ∴a=∴.21选B.3 对于0<a<1，给出下列四个不等式 ( ) ①log a (1+a)＜log a (1+a1) ②log a (1+a)＞loga(1+a1) ③a 1+a<aa11+④a 1+a>aa11+其中成立的是 ( )A.①与③B.①与④C.②与③ D ．②与④ 答案： D 解析：.),11(log )1(log .log .111,11,10111a a a a x xa a a aa a y y a a a a a ++>+>+∴==+<+∴<<∴<<均为减函数与而 选D 。
高三数学易错数列多选题 易错题自检题学能测试试卷
高三数学易错数列多选题 易错题自检题学能测试试卷一、数列多选题1．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若11a >，公比1q ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59T T =，则必有141T =B ．若59T T =，则必有7T 是n T 中最大的项C ．若67T T >，则必有78T T >D ．若67T T >，则必有56T T >【答案】ABC 【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，以及等比数列的性质，逐项分析，即可求解. 【详解】由等比数列{}n a 可知11n n a a q -=⋅，由等比数列{}n a 的前n 项积结合等差数列性质可知：()1211212111111123n n n n n n n n a a q a q a qa a T a a a q a q--+++-=⋅⋅⋅==⋅=对于A ，若59T T =，可得51093611a q a q =，即42611a q =，()71491426211141a q q T a ∴===，故A 正确；对于B ，若59T T =，可得42611a q =，即13211a q=，又11a >，故1q <，又59T T =，可知67891a a a a =，利用等比数列性质知78691a a a a ==，可知67891,1,1,1a a a a >><<，故7T 是n T 中最大的项，故B 正确；对于C ，若67T T >，则61572111a q a q >，即611a q <，又10a >，则1q <，可得76811871T T a a q a q <=<=，故78T T >，故C 正确； 对于D ，若67T T >，则611a q <，56651T a T a q ==，无法判断其与“1”的大小关系，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及等差数列前n 项和公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和性质及等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于较难题.2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.3．如图，已知点E 是ABCD 的边AB 的中点，()*n F n ∈N为边BC 上的一列点，连接n AF 交BD 于n G ，点()*n G n ∈N 满足()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+⋅，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．313a =B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--【答案】AB 【分析】化简得到()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，根据共线得到1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，计算123n n a +=-，依次判断每个选项得到答案. 【详解】()()112232n n n n n n G D a G A a G A G B +=⋅-+⋅+， 故()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，,n n G D G B 共线，故1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，11a =，故1342n n a -+=⨯，故123n n a +=-.432313a =-=，A 正确；数列{}3n a +是等比数列，B 正确；123n n a +=-，C 错误；2124323412nn n S n n +-=-=---，故D 错误.故选：AB . 【点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.4．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．20202020a = B ．()12n n n S += C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-< 【答案】ABD 【分析】可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12n n n S +=得出n a n =，代入212n n n n a b a a ++=中可得()112n b n n =++.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明1334n T n ≤-<.【详解】由题意得，12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112n n +⋅=，且当1n =时也成立，∴ ()12n n n S +=，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确； ∴ ()()()211111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 又n T n -随着n 的增加而增加， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，C 错误，D 正确， 故选：ABD. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．5．已知数列{}n a ，{}n b 满足，11a =，11n n n a a a +=+，1(1)n n b n a =+，若23100100122223100b b b T b =++++，则（ ） A ．n a n = B ．1n n b n =+ C ．100100101T =D ．10099100T =【答案】BC 【分析】 先证明数列1n a 是等差数列得1n a n =，进而得1(1)1n nn b n a n ==++，进一步得()211111n b n n n n n ==-++，再结合裂项求和得100100101T =. 【详解】 解:因为11nn n a a a +=+,两边取倒数得: 1111n n a a +=+,即1111n na a ,所以数列1n a 是等差数列,公差为1,首项为111a ,故()1111n n n a =+-⨯=,所以1n a n=,所以1(1)1n n nb n a n ==++，故()211111n b n n n n n ==-++，所以31002100122211112310022334100101b b b T b =++++=++++⨯⨯⨯11111111100122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故BC 正确，AD 错误； 故选：BC 【点睛】本题考查数列通项公式的求解，裂项求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明数列1na 是等差数列，进而结合裂项求和求解100T .6．已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-，则下列说法正确的是（ ）A ．342n a n =-B ．16S 为n S 的最小值C ．1216272a a a +++=D ．1230450a a a +++=【答案】AC 【分析】利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a +++=+----16302S S =-可计算后否定D.【详解】1133132a S ==-=,()()()2213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,对于1n =也成立，所以342n a n =-，故A 正确；当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<,n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=，故C 正确；121617193300()a a a S a a a +++=+----2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）54490454=-=， 故D 错误. 故选：AC.【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前 k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.7．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式n nn a ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．10711S a =B ．2021201920182a a a =+C ．202120202019S S S =+D ．201920201S a =-【答案】AB 【分析】选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可判断.选项D.由()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.【详解】因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为()()()()()123324354652122n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.故选：AB. 【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.8．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---【答案】BCD 【分析】 由已知可得11222n n n n S n S nS n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122 (2)212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S nS n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,二、平面向量多选题9．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为,BC PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法正确的是（ ） A ．EG PG ⊥ B ．EG BC ⊥ C ．//FG BC D ．FG EF ⊥ 【答案】ABD 【分析】取,,PA a PB b PC c ===，以{},,a b c 为基底表示EG ，FG ，EF ，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案. 【详解】如图，设,,PA a PB b PC c ===，则{},,a b c 是空间的一个正交基底， 则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，取AB 的中点H ，则22111()33233PG PH a b a b ==⨯+=+， 1121111,3333333EG PG PE a b b c a b c BC c b =-=+--=--=-，11113333FG PG PF a b b a =-=+-=，1121133333EF PF PE b c b c b ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭，∴0EG PG ⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC R λλ≠∈，C 不正确；0FG EF ⋅=，D 正确.故选:ABD.【点睛】本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.10．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 【答案】BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=22(1)(2)10m n -+-(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．。
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考点-3 函数 (二)二次函数的图象和性质的应用指数函数与对数函数的图象和性质的应用 函数的应用二次函数闭区间上的最值的问题 三个“二次”的综合问题含参数的对数函数与不等式的综合问题 经典易错 会诊命题角度1 二次函数的图象和性质的应用1．(典型例题)已知向量a=(x 2，x+1)，b=(1-x ，t)若函数f(x)=ab 在区间(-1，1)上是增函数，求t 的取值范围．[考场错解] 依定义f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t ，则f ′(x)=-3x 2-2x+t.若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上恒有f ′≥0⇔t ＞3x 2-2x 在区间(-1，1)上恒成立．设g(x)= 3x 2-2x=3(x-31)2-31，∴当x=31时，[g(x)]min =-31 ∴t ≥-31即t 的取值范围是[-31,+∞].[专家把脉] 上面解答由t ≥3x 2-2x 在区间(-1，1)上恒成立得t 大于或等于3x 2-2x 的最小值是错误的．因为若t ≥[g(x)]min 只能说存在一个x 的值能使t ≥3x 2-2x 成立，但不能保证x 在(-1，1)上的每一个值都能使t ≥3x 2-2x 成立．因而t 应大于或等于g(x)在(-1，1)上的最大值．[对症下药] 解法1：依定义f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t.则f ′(x)=-3x 2+2x+t(-1,1)上是增函数，则f ′(x)=-3x 2+2x+t ≥0在 (-1，1)上恒成立，即t ≥3x 2-2x 在(-1，1)上恒成立．设g(x)=3x 2-2x=3(x-31)2-31．∵对称轴为x=31．∴g(x)<g(-1)=5．因而要t ≥g(x)在(-1，1)上恒成立．∴t ≥5．即t 的取值范围是[5，+∞]．解法2：依定义f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x2+tx+t,f ′(x)=-3x 2+2x+t ，若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上恒有 f ′(x)≥0，∵f ′(x)的图像是开口向下的抛物线． ∴当且仅当⇒⎩⎨⎧≥-=-'≥-='05)1(01)1(t f t f t ≥5时，f ′(x)在(-1，1)上满足f ′(x)>0．即f(x)在(-1，1)上是增函数．故t 的取值范围是[5，+∞]．2．(典型例题)已知函数f(x)=ax-23x 2的最大值不大于61，又当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41时，f(x)≥81. (1)求a 的值;(2)设0<a 1＜21，a n+1=f(a n )，n ∈N *，证明：a n ＜11+n . [考场错解] 第(1)问，∵f(x)=ax-23x 2=-23(x-31a)2+62a．∴62a ≤61，即a 2≤1⇒-1≤a ≤1 ①又当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41时,f(x)≥81，即f(x) ≥81在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41上恒成立⇔81≤f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41上的最小值为f(41)∴f(41)≥81．即a a ⇒≥-813234≥87. ② 综合，①，②知87≤a ≤1．[专家把脉] 上面解答错在f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41的最小值的计算上，由①得-1≤a ≤1．∴3a∈(-31,31)， ∴对称轴x=3a 离端点21较远，因此,f(x)的最小值应是f(21).而不是f(41). [对症下药] (1)由于f(x)=ax-23x 2=-23(x-2a )2+62a ∴f(x)的最大值为62a .∴62a ≤61,即a 2≤1．∴-1≤a ≤1又x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41时，f(x)≥81，即f(x)≥81在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41上恒成立．∴81≤[f(x)]min .由①得-1≤a ≤1．∴-31≤a ≤31.∴f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41上的最小值为f(21)=2a -83.∴-2a ≥83．解得a ≥1 ②由①,②得a=1.(2)(i)当n=1时,0＜a 1<21，不等式0<a n <11+n 成立.因f(x)>0，x ∈(0，32)，所以0<a 2=f(a 1)≤61＜31.故n=2时，不等式也成立.(ⅱ)假设n=k(k ≥2)时，不等式0＜a k ＜11+k 成立，因为f(x)=x-23x 2的对称轴x=31知f(x)在[0，31]上为增函数，所以0<a k <11+k ≤31得0<f(a k )<f(11+k )于是有0<a k+1<11+k -23·21)2()1(24212121)1(122++++-+=+-+++k k k k k k k k. 所以当n=k+1时，不等式也成立.根据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任何n ∈N *，不等式a n ＜11+n 成立. 3．(典型例题Ⅰ)已知函数f(x)的二项式系数为a ，且不等式f(x)>-2x 的解集为(1，3)． (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解 (2)若f(x)的最大值为正数，求a 的取值范围．[考场错解] (1)设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)．∵f(x)+2x=ax 2+(b+2)x+c>0的解集．为(1，3)，∴1、3是方程ax 2+(b+2)x+c=0的两根，∴⎩⎨⎧=--=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯==+=+-.3243314312a c a b ca ab ∴f(x)=ax 2-(2+4a)x+3a ①由方程f(x)+6a=0得ax 2-(2+4a)x+9a=0 ②∵方程②有两个相等的根，∴△=[-(2+4a)]2-4a ·9a=0即 5a 2-4a-1=0，解得a=1或a=-51.∴f(x)的解析式为f(x)=x 2-6x+9或f(x)=- 51x 2-56x-53. (2)由f(x)=ax 2-(2+4a)x+3a=a(x-a a 21+)2-a a a 142++可得f(x)的最大值为-aa a 142++．令-aa a 142++>0⇔a(a+2+3)(a+2-3)<0 解得0<-2-3或-2+3<a<0．故当f(x)的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(-∞，-2-3)∪(-2+3，0)． [专家把脉] 上面解答由f(x)+2x ＞0的解集为(1，3)．忽视了隐含条件a ＜0．所以(1)应舍去a=1．另外第(2)问若没有a ＜0这个条件，也不能说f(x)的最大值是-aa a 142++，从而很不容易求得a 的范围．[对症下药] (1)∵f(x)+2x ＞0的解集为(1，3),∴f(x)+2=a(x-1)(x-3)且a<0，因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax 2-(2+4a)x+3a ①由方程f(x)+6a=0得ax 2-(2+4a)x+9a=0 ②因为方程②有两个相等的根，∴△=[-(2+4a)]2-4a ·9a=0．即5a 2-4a-1=0，解得a=1或a=-51.由于a ＜0，舍去a=1．将a=-51代入①得f(x)的解析式为f(x)=- 51x 2-56x-53. (2)由f(x)=ax 2-2(1+2a)x+3a=a(x-221a +)2-aa a 142++及a ＜0，可得f(x)的最大值为-a a a 142++.由⎪⎩⎪⎨⎧++-.00142 a a a a ， 解得a ＜-2-3或-2+3＜a<0． 专家会诊利用二次函数图像可以求解一元二次不等式和讨论一元二次方程的实根分布情况，还可以讨论二次函数在闭区间上的最值．对于根的分布问题，一般需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x=-ab2与区间端点的关系．另外，对于二次函数在闭区间上的最值要抓住顶点的横坐标与闭区间的相对位置确定二次函数的单调性进行求解.考场思维训练1 若函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数f(1+x)=f(-x)，则下面不等关系成立的是 ( )A ．f(2)>f(0)>f(-2)B ．f(-2)＞f(2)＞(0)C ．f(0)＞f(-2)＞f(2)D. f(-2)＞f(0)>f(2) 答案：B解析：由f(1+x)=f(-x)得f(x)的对称轴x=21∵b=-1. ∴f(2)=2+c,f(-2)=6+c,f(0)=c. ∴f(-2)>f(2)>f(0).2 若函数y=x 2-2x+3在闭区间[0，m]上有最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围是__________.答案：[1,2]解析：y=(x+1)2+2是以直线x=1为对称轴开口向上、其最小值为2的抛物线，又∵f(0)3.结合图象易得，2≥m ≥1. ∴m 的取值范围是[1，2].3 设函数f(x)=ax 2+bx+1(1，b ∈R)．(1)若f(-1)=0，则对任意实数均有f(x)≥0成立，求f(x)的表达式．答案：解析：（1）∵f(-1)=0⇒a -b+1=0⇒b=a+1,又∵对任意实数均有f(x) ≥0成立，⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-=∆>∴.2104)1(004022b a a a a a b a ∴f(x)=x 2+2x+1.(2)在(1)的条件下，当x ∈[-2，2]时，g(x)=xf(x)-kx 是单调递增，求实数k 的取值范围．答案： g(x)=xf(x)-kx=x(x 2+2x+1)-kx=x 3+2x 2+(1-k)x,g ′(x)=3x 2+4x+1-k ≥0在[-2，2]上恒成立⇒g ′(x)在[-2，2]上的最小值g ′(x)(-.31,0)32-≤∴≥k )4 已知二次函数f(x)=(lga)x 2+2x+4lga 的最大值为3，求a 的值． 答案：解析：原函数式可化为f(x)=lga a aa x lg 4lg 1)lg 1(2+-+由已知，f(x)有最大值3，∴lga<0并且.3lg 4lg 1=+-a a整理得4（lga ）2-3lga-1=0解得lga=1,lga=.101000410.41lg .0lg .4141==∴-=<-a a a 故取 命题角度 2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用1．(典型例题)函数y=e ｜lnx ｜-|x-1|的图像大致是 ( ) [考场错解] 选A 或B 或C[专家把脉] 选A ，主要是化简函数y=e ｜lnx ｜-|x-1|不注意分x ≥1和x<1两种情况讨论，选B ，主要是化简时错误地认为当，x<1时，e ｜lnx ｜-|x-1|=-x1.选C ，主要时当x ≥1时化简错误．[对症下药] D ∵f(x)=e｜lnx ｜-|x-1|=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+)1(,1)1(,11x x x x 作出其图像即可2．(典型例题)在y=2x，y=log 2x ，y=x 2，y=cos2x 这四个函数中，当0<x 1<x 2<1，使f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+221x x >2)()(21x f x f +恒成立的函数的个数是 ( ) A.0 B ．1 C ．2 D ．3[考场错解] C[专家把脉] 对四个函数图像不熟悉导致错误．由题设条件知F(x)在(0，1)上是凸函数，认为y=log 2x 和y=cos2x 在(0，1)上是凸函数．其实y=cos2x 在(0，4π)是凸函数，在(4π，1)是凹函数.[对症下药] B 根据条件，当0<x 1<x 2<1，使f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+221x x >2)()(21x f x f +恒成立知f(x)在(0，1)上是凸函数，因此只有y=log 2x 适合．y=2x和y=x 2在(0，1)上是函数．y=cos2x 在(0，4π)是凸函数，但在(4π，1)是凹函数，故选B ． 3．(典型例题)若函数f(x)=log a (2x 2+x)(a>0且a ≠1)在区间(0,21)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为 ( ) A.(-∞，-41) B ．(-41，+∞) C ．(0，+∞) D ．(-∞，-21)[考场错解] 选A 或C[专家把脉] 选A ，求f(x)的单调区间时没有考虑函数定义域导致错误；选C ，求复合函数的单调区间时没有注意内、外层函数均递减时，原函数才是增函数．事实上 (0，+∞)是f(x)的递减区间．[对症下药] D ∵f(x)=log a (2x 2+x)(a>0且a ≠1)在区间(0，21)内恒有f(x)>0，若a>1，则由f(x)>0 x>21或x<-1．与题设矛盾.∴0<a<1．设ϕ(x)= 2x 2+x=2(x+41)2-81.ϕ(x)>0⇒x>0或x<-21 .∴f(x)在(-∞，-21)内是增函数．4．(典型例题)已知函数f(x)=ln(e x +a)(a>0)(1)求函数y=f(x)的反函数y=f -1(x)及f(x)的导数f ′(x)．(2)假设对任意x ∈[ln(3a)，ln(4a)]．不等式｜m-f-1(x)｜lnf ′(x)<0成立．求实数m 的取值范围．[考场错解] (1)由y=f(x)=ln(e x +a)得x=ln(e y -a)．∴f -1(x)=ln(e x-a)(x>lna)，f ′(x)=[ln(e x+a)]′=.a e e x x +(2)由｜m-f -1(x)｜+ln[f ′(x)]<0得-ln .a e e xx ++ln(e x -a)<m<ln(e x-a)+ln.a e e xx +在(ln(3a)，ln(4a))上恒成立．设h(x)=ln(e x-a)+ln .a e e x x +. S(x)=-ln .a e e x x ++ln （e x-a)．即m ＜[h(x)]mni .且m ＞[S(x)]max∵S(x)，h(x)=ln(e x-a)+ln(1+xe a)在[ln(3a)，ln(4a)]上是增函数．∴[h(x)]min =ln(2a)+ln 34=ln(38a)． [S(x)]max =ln(3a)-ln 45=ln(512a) ∴ln(512a)<m<ln(38a)． [专家把脉] 错在第(2)问h(x),S(x)在(ln(3a)，ln(4a))上是增函数没有根据．应用定义法或导数法判定后才能用这一结论．[对症下药] (1)由y=f(x)=ln(e x +a)得x=ln(e y -a)∴y=f -1(x)=ln(e x-a)(x>lna)，f ′(x)=.a e e x x +.(2)解法1 由｜m-f -1(x)｜+ln(f ′(x))<0得-ln .a e e x x ++ln(e x -a)<m<ln(e x-a)+ln ．即对于x ∈[ln(3a)，ln(4a)]恒有ae a e e xx x +-)(<em ＜xx ea e 22)(- ①设t=e x，u(t)=a t a t t +-)(，v(t)=ta t 22-，于是不等式①化为u(t)<e m<v(t)，t ∈[3a ，4a] 当t 1<t 2,t 1,t 2∈[3a ，4a]时 u(t 2)-u(t 1)=at a t t +-222)(-a t a t t +-111)(=))((])()[(212212112a t a t a t t a t t t t ++-++-＞0.v(t 2)-v(t 1)=222t a t --121t a t -=211221221)()(t t t t a t t t t -+-=2122121))((t t a t t t t +->0∴u(t)，v(t)在[3a ，4a]上是增函数．因此，当t ∈[3a ，4a]时，u(t)的最大值为u(4a)= 512a ，v(t)的最小值为v(3a)=38a ，而不等式②成立，当且仅当u(4a)<e m<v(3a)． 即512a<e m <38a ，于是，得ln 512a<m<ln(58a)． 解法2 由｜m-f -1(x)｜+ln(f ′(x))<0得ln(e x -a)-ln(e x +a)+x<m<ln(e x -a)+ln(e x+a)-x ．设ϕ(x)=ln(e x -a)-ln(e x+a)+x ，r(x)=ln(e x-a)+ln(e x+a)-x ，于是原不等式对于x ∈[ln(3a)，ln(4a)]恒成立等价于ϕ (x)<m<r(x)． ③ 由ϕ′(x)=ae e ae e xx xx +--+1,ae e ae e x r xx xx ++-=')(-1．注意到0<e x-a<e x<e x+a ，故有ϕ′(x)>0，r ′(x)>0，从而可知ϕ (x)与r(x)均在[ln(3a)，h(4a)]上单调递增，因此不等式③成立，当且仅当 ϕ(ln(4a))<m<r(ln(3a))，即ln(512a)＜m<ln(38a)． 专家会诊论由指数函数和对数函数构成的复合函数的单调性时，首先要弄清复合函数的构成，然后转转化为基本初等函数的单调性加以解决，注意不可忽视定义域，忽视指数和对数的底数对它们的图像和性质起的作用.考场思维训练1 已知函数f(x)=e 21(e x +e 2-x)(x<1)(其中e 为自然对数的底数)，则 ( ) A ．f -1(21)<f -1(23) B ．f -1(21)＞f -1(23)C.f -1(23)<f -1(2)D.f -1(23)＞f -1(2)答案： D 解析：f(x)=.).2()23(.],1[)(,)1,(1)(,),0(,)1)((211112D f f x f x f e t t e x ee e e x x x 选上是减函数在性相在各自的定义域上单调由于反函数的两个函数上是减函数且在则上是减函数则令--->∴+∞∴-∞≥∈=<+2 已知f(x)=a x+log a (x+1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 ( ) A.41 B. 21C ．2D ．4 答案： B 解析：f(x)=a x +log a (x+1)是单调递增（减）函数. (∵y=a x 与y=log a (x+1)单调性相同).且在[0，1]的最值分别在端点处取得，最值之和：f(0)+f(1)=a o +log a 1+log 22=2, ∴log a 2+1=0, ∴a=∴.21选B.3 对于0<a<1，给出下列四个不等式 ( )①log a (1+a)＜log a (1+a 1) ②log a (1+a)＞loga(1+a1) ③a 1+a <a a 11+④a 1+a>a a 11+其中成立的是 ( )A.①与③B.①与④C.②与③ D ．②与④ 答案： D 解析：.),11(log )1(log .log .111,11,10111a a a a x xa a a aa a y y a a a a a ++>+>+∴==+<+∴<<∴<<均为减函数与而 选D 。