河北省2017—2018学年高一数学下学期期末考试试卷(二)

河北省2017—2018学年高一数学下学期期末考试试卷（二）
（理科）
（考试时间120分钟满分150分）
一、单项选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x≥﹣1}，则A∩B=（）
A．（﹣1，1] B．（﹣1，2）C．∅D．[﹣1，2]
2．直线y=﹣2x+3与直线y=kx﹣5互相垂直，则实数k的值为（）
A．B．2 C．﹣2 D．﹣1
3．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2，a3，2a1成等差数列，则该数列的公比为（）
A．1+B．1±C．﹣1 D．1
4．设a＞b＞0，c∈R，则下列不等式恒成立的是（）
A．a|c|＞b|c|B．ac2＞bc2C．a2c＞b2c D．＜
5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）
A．180 B．90 C．72 D．10
6．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，若=2，则△ABC的形状是（）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．不能确定
8．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
9．设实数x，y满足约束条件，则x2+（y+2）2的取值范围是（）
A．[，17] B．[1，17]C．[1，]D．[，]
10．已知函数f（x）=sin（2x+）（x∈R），下面结论错误的是（）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）是偶函数
C．函数f（x）的图象关于直线对称
D．函数f（x）在区间[0，]上是增函数
11．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）
A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）
C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）
12．在△ABC中，∠C=，∠B=，AC=2，M为AB中点，将△ACM沿CM折起，使
A，B之间的距离为2，则三棱锥M﹣ABC的外接球的表面积为（）
A．12πB．16πC．20πD．32π
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）
13．点（﹣1，2）到直线y=x的距离是______．
14．已知关于x的不等式﹣2x2+mx+n≥0的解集为[﹣1，]，则m+n=______．
15．已知△ABC是边长为1的正三角形，动点M在平面ABC内，若，，
则的取值范围是______．
16．函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．下列命
题正确的是______．
①“囧函数”的值域为R；②“囧函数”在（0，+∞）上单调递增；
③“囧函数”的图象关于y轴对称；④“囧函数”有两个零点；
⑤“囧函数”的图象与直线y=kx+b（k≠0）的图象至少有一个交点．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csinB=bcos C=3．
（I）求b；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，求c．
19．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN ⊥平面A1DC．
（1）求证：AD1⊥平面A1DC；
（2）求MN与平面ABCD所成的角．
20．在等差数列{a n}中，a1=1，又a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的公差；
（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，
且，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣C的正切值．
22．过点O（0，0）的圆C与直线y=2x﹣8相切于点P（4，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）在圆C上是否存在两点M，N关于直线y=kx﹣1对称，且以MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，说明理由．
参考答案
一、单项选择题
1．B．2．A．3．A．4．D．5．B 6．D．7．C．8．B 9．A．10．C．11．D 12．B．
二、填空题
13．答案为：．
14．答案为：0
15．答案为：[﹣1，﹣）
16．答案为：③⑤；
三、解答题
17．解：（1）要使函数的解析式有意义，
自变量x须满足：，可得﹣2＜x＜2．
故函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）的定义域为（﹣2，2）．
（2）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，
令t=4﹣x2，∵﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4，
∵y=lgx，为增函数，
∴f（x）的最大值为lg4，
∴m的取值范围为m＜lg4．
18．解：（Ⅰ）由正弦定理得sinCsinB=sinBcosC，
又sinB≠0，所以sinC=cosC，C=45°．
因为bcosC=3，
所以b=3．…
（Ⅱ）因为S=acsinB=，csinB=3，
所以a=7．
据余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=25，
所以c=5．…
19．（1）证明：由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，得CD⊥平面ADD1A1，
AD1⊂平面ADD1A1，
∴CD⊥AD1，
又AD1⊥A1D，且A1D∩CD=D，
∴AD1⊥平面A1DC；
（2）解：∵MN⊥平面A1DC，
又由（1）知AD1⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1，
∴AD1与平面ABCD所成的角，就是MN与平面ABCD所成的角，
∵D1D⊥平面ABCD，
∴∠D1AD即为AD1与平面ABCD所成的角，
由正方体可知，
∴MN与平面ABCD所成的角为．
20．解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，
因为a1=1，所以a n=1+d（n﹣1）…
又a1，a2，a5成公比不为1的等比数列，则…
所以（1+d）2=1×（1+4d），解得d=2或d=0（舍…
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
所以…
则…
21．解：方法1：（Ⅰ）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点∴F为AC中点又E是PC中点，在△CPA中，EF∥PA…
且PA⊆平面PAD，EF⊄平面PAD∴EF∥平面PAD…．
（Ⅱ）解：设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD
易知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF
∴∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角…．
Rt△FEM中，，所以．
故所求二面角的正切值为…．
方法2：另解：如图，取AD的中点O，连结OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD，
而O，F分别为AD，BD的中点，
∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．
∵，∴PA⊥PD，．
以O为原点，直线OA，OF，OP为x，y，z轴建立空间直线坐标系，
则有，，，，，
．
∵E为PC的中点，∴．
（Ⅰ）易知平面PAD的法向量为而，
且，∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）∵，∴
，
∴，从而PA⊥CD，又PA⊥PD，PD∩CD=D，
∴PA⊥平面PDC，而PA⊂平面PAD，∴平面PDC⊥平面PAD，
所以平面PDC的法向量为．
设平面PBD的法向量为．∵，
∴由可得，令x=1，则y=1，z=﹣1，
故，
∴，
即二面角B﹣PD﹣C的余弦值为，二面角B﹣PD﹣C的正切值为．
22．解：（1）由已知得圆心经过点P（4，0）、
且与y=2x﹣8垂直的直线上，
它又在线段OP的中垂线x=2上，所以求得圆心C（2，1），
半径为，
所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．…
（2）假设存在两点M，N关于直线y=kx﹣1对称，
则y=kx﹣1通过圆心C（2，1），求得k=1，
所以设直线MN为y=﹣x+b，代入圆的方程得
2x2﹣（2b+2）x+b2﹣2b=0．
设M（x1，﹣x1+b），N（x2，﹣x2+b），
又•=x1•x2+（b﹣x1）（b﹣x2）=2x1•x2﹣b（x1+x2）=b2﹣3b=0，解得b=0或b=3，这时△＞0，符合条件，
所以存在直线MN，它的方程为y=﹣x，或y=﹣x+3符合条件．…。