2009年1月数量方法试题及答案
北京应届2009行测答案及解析
2009年北京应届公务员录用考试《行政职业能力测验》试卷第一部分数量关系1.C.［解析］本题属于多级数列。
两两做商得到，所以下一项为30×＝25。
所以选择C选项。
【争议题】2.［解析］A、B有争议。
此题没有好的方法。
奇数项2，10，28，56是二级等差数列，偶数项若看成等差数列，则选A。
若看成规律与奇数项相同，即二级等差数列则选B。
不管哪种说法都很牵强，或许题目有误。
3.A.［解析］本题属于递推数列。
规律为：77－49＝28，28－16＝12，12－2＝10。
所以选择A选项。
4.D.［解析］本题属于递推数列。
规律为：。
所以选择D选项。
5.D.［解析］本题属于多级数列。
细分为三级等差数列。
第一次做差得到7，14，28，49，（），第一次做差得到7，14，21，（），这是一个等差数列，反推回去，得到所求数为28＋49＋99＝176，所以选择D选项。
6.C.［解析］本题属于数图推理。
规律为：第一行的三个数字之和为20，第二行的三个数字之和为30，第三行的三个数字之和为40。
所以选择C选项。
7.D.［解析］本题属于数图推理。
规律为：第三列数字的3倍＋第二列数字＝第一列数字。
所以？＝（63－9）÷3＝18。
所以选择D选项。
8.A.［解析］本题属于数图推理。
规律为：第三列数字＋第二列数字－1＝第一列数字。
所以？＝8＋7.2－1＝14.2。
所以选择A选项。
9.D.［解析］本题属于数图推理。
规律为：（第一列数字＋2）×第三列数字＝第二列数字。
所以？＝10.8÷2.7－2＝2。
所以选择D选项。
10.B.［解析］本题属于数图推理。
规律为：第一列数字的1/2倍＋第二列数字＝第三列数字。
所以？＝11÷2＋13.1＝18.6。
所以选择B选项。
11.D.［解析］本题考查的是等差数列的相关知识。
从上往下，各层的数目成等差数列，所以最下面一层有6＋（25－1）＝30根。
所以这堆圆木共有根。
2009年1月数量方法试题及答案
2009年1月高等教育自学考试中英合作金融管理专业考试数量方法试题（课程代码：00799）第一部分 必答题（满分60分）一、 单项选择题（本题包括1-20二十个小题，每小题1分，共20分） 1. 某保温瓶胆厂一年内各月产量的次品数为50 30 10 40 40 30 10 30 70 30 30 30 则该厂全年月次品数的众数是A. 10B. 30C. 40D. 50 2. 以下是根据10个销售员一个月销售某产品的数据作的茎叶图： 7 4 4 28 9 7 6 3 5 9 1 0 则销售数量的极差为A. 5B. 6C. 7D. 193. 随机抽取某大学6名大学生，对其收看某选秀节目的收视时间（单位：小时）做调查，得到样本数据为 0.5，0，1.2，4.3，1.2，2.3则大学生收看选秀节目的时间中位数为A. 0B. 0.5C. 1.2D. 1.674. 对某小学学生进行近视眼防治抽样调查，先将所有学生按年级划分，然后在各年级随机抽取学生班级，对抽中班级的所有学生进行调查，这种抽样方法属于A. 简答随机抽样B. 整群抽样C. 分层抽样D. 等距抽样5. 甲乙两人独立地先后射击目标一次，甲命中目标的概率为0.5，乙命中目标的概率为0.8，则目标被击中的概率为A. 0.3B. 0.4C. 0.9D. 16. 北京大学统计系06级3班共有60名同学。
至少有2名同学生日相同的概率为（一年按365天计算）A. 6060!365 B. 6036560365P C. 603653651P D. 60365601365P - 7. 振安商场黄金部营业员接待一位顾客并做成一笔生意的概率是0.4，在某天他接待了5位顾客，则做成3笔生意的概率是A. 3255(0.4)0.6CB. 50.4 C. 3525(0.4)0.6C D. 30.68. 红星游乐园入口处的每辆汽车的载客人数服从2λ=的泊松分布，今任意观察一辆到达公园门口的汽车，车中无乘客的概率为A. 2e - B. 2 C. 2e D. 22!e -9. 某食品超市的牛奶销售量服从正态分布，每天平均销售200公斤，标准差为20公斤。
2009考研数一真题及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.(1) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则 ( )(A) 11,6a b ==-. (B) 11,6a b ==. (C) 11,6a b =-=-. (D) 11,6a b =-=.(2) 如图,正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos kk D I y xdxdy =⎰⎰,则{}14max k k I ≤≤= ( )(A) 1I .(B) 2I .(C) 3I .(D) 4I .(3) 设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为 ( )(A) (B)(C)(D)(4) 设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞=,则 ( )(A) 当1nn b∞=∑收敛时,1n nn a b∞=∑收敛. (B) 当1nn b∞=∑发散时,1n nn a b∞=∑发散.(C) 当1nn b∞=∑收敛时,221n nn a b∞=∑收敛. (D) 当1nn b∞=∑发散时,221n nn a b∞=∑发散.(5) 设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为 ( )(A) 101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B) 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C) 111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D) 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (6) 设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3A B ==,则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为 ( ) (A) **32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. (B) **23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(C) **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(D) **23OA BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(7) 设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭,其中()x Φ为标准正态分布的分布函数,则EX = ( ) (A) 0. (B) 0.3. (C) 0.7. (D) 1.(8) 设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====.记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2zx y∂=∂∂ .(10) 若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+,则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .(11) 已知曲线(2:0L y x x =≤≤,则Lxds =⎰ .(12) 设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤,则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .(13) 若3维列向量,αβ满足2Tαβ=,其中T α为α的转置,则矩阵T βα的非零特征值为.(14) 设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k = .三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.(16)(本题满分9分)设n a 为曲线n y x =与()11,2,n y xn +== 所围成区域的面积,记11,n n S a ∞==∑2211n n S a ∞-==∑,求1S 与2S 的值.(17)(本题满分11分)椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是由过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. (Ⅰ)求1S 及2S 的方程； (Ⅱ)求1S 与2S 之间的立体体积. (18)(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)证明：若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A +→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.(19)(本题满分10分)计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z∑++=++⎰⎰,其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.(20)(本题满分11分)设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,ξξ,证明：123,,ξξξ线性无关. (21)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值. (22)(本题满分11分)袋中有1个红球,2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次,每次取一个球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(Ⅰ)求{}10P X Z ==；(Ⅱ)求二维随机变量(),X Y 的概率分布. (23)(本题满分11 分)设总体X 的概率密度为2,0,()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他, 其中参数(0)λλ>未知,12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ) 求参数λ的矩估计量；(Ⅱ )求参数λ的最大似然估计量.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分. (1) 【答案】(A)【解析】()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是0x →时的等价无穷小,则2200232000330()sin sin limlim lim ()ln(1)()sin 1cos sin lim lim lim 36sin lim 1,66x x x x x x x f x x ax x axg x x bx x bx x ax a ax a axbx bx bxa ax ab axb →→→→→→→--=-⋅---=---⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭等洛洛 即36a b =-,故排除B,C.另外,201cos lim3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故1,a =排除D. 所以本题选A.(2) 【答案】(A)【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.令(,)cos f x y y x =,24,D D 两区域关于x 轴对称,(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-,即被积函数是关于y 的奇函数,所以240I I ==；13,D D 两区域关于y 轴对称,(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==,即被积函数是关于x 的偶函数,所以{}{}1(,),013(,),012cos 0,2cos 0.x y y x x x y y x x I y xdxdy I y xdxdy ≥≤≤≤-≤≤=>=<⎰⎰⎰⎰所以正确答案为(A). (3) 【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()y f x =的图形可以看出,其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从而可得出下面几个方面的特征：① []1,0x ∈-时,()0F x ≤为线性函数,单调递增； ② []0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减；③ []1,2x ∈时,()F x 单调递增； ④ []2,3x ∈时,()F x 为常函数； ⑤ ()F x 为连续函数. 结合这些特点,可见正确选项为(D). (4) 【答案】C【解析】解法1 举反例：取(1)nn n a b ==-,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是收敛的,但111n n n n a b n ∞∞===∑∑发散,排除(A)；取1n n a b n ==,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是发散的,但2111n n n n a b n ∞∞===∑∑收敛,排除(B)；取1n n a b n ==,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是发散的,但224111n n n n a b n∞∞===∑∑收敛,排除(D),故答案为(C).解法2 因为lim 0,n n a →∞=则由定义可知1,N ∃使得1n N >时,有1n a <；又因为1nn b∞=∑收敛,可得lim 0,n n b →∞=则由定义可知2,N ∃使得2n N >时,有1n b <,从而,当12n N N >+时,有22n nn a b b <,则由正项级数的比较判别法可知221n nn a b∞=∑收敛.(5) 【答案】(A)【解析】根据过渡矩阵的定义,知由基12311,,23ααα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足：()12233112312311,,,,2310111,,220,23033M αααααααααααα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以此题选(A). (6) 【答案】(B)【解析】分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O⨯=-=⨯=（）,即分块矩阵可逆,且1116112366.1132O A O A O A O B B O B O B O A O O B O B B O B A O A O A O A *---******⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为(B).(7) 【答案】(C)【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭,所以 ()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭, 因此, ()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ ⎪⎝⎭⎰⎰.由于()x Φ为标准正态分布的分布函数,所以()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰,()()()()11221222222,x x x dx u u u du u u du u du +∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ ⎪⎝⎭''=Φ+Φ=⎰⎰⎰⎰()10.30.3500.3520.72x EX x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ=+⨯= ⎪⎝⎭⎰⎰.(8) 【答案】(B)【解析】(){}{0}{0}{1}{1}11{0}{1}2211{00}{1},22Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=由于,X Y 相互独立,所以11(){0}{}22Z F z P X z P X z =⋅≤+≤. (1) 当0z <时,1()()2Z F z z =Φ；(2) 当0z ≥时,11()()22Z F z z =+Φ,因此,0z =为间断点,故选(B).二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 【答案】12222xf f xyf '''''++ 【解析】12zf f y x∂''=+⋅∂, 21222212222zxf f yx f xf f xyf x y∂''''''''''=++⋅=++∂∂. (10) 【答案】(1)2x x e -+【解析】由常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+可知1x y e =,2x y xe =为其两个线性无关的解,代入齐次方程,有111222(1)010,[2(1)]020,x xy ay by a b e a b y ay by a a b x e a '''++=++=⇒++='''++=++++=⇒+=从而可见2,1a b =-=,非齐次微分方程为2y y y x '''-+=.设特解*y Ax B =+,代入非齐次微分方程,得2A Ax B x -++=,即11(2)202A A Ax A B x A B B ==⎧⎧+-+=⇒⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以特解*2y x =+,通解()122xy C C x e x =+++.把()()02,00y y '==代入通解,得120,1C C ==-.所以所求解为2(1)2x x y xe x x e =-++=-+.(11)【答案】136【解析】由题意可知,2,0y x x =≤≤,则ds ==,所以()21148Lxds x ==+⎰11386==. (12) 【答案】415π 【解析】解法1：()212222002124013500sin cos cos cos cos 42.3515z dxdydz d d d d d d πππππθϕρϕρϕρθϕϕρρϕρππΩ==-⎛⎫=⋅-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法2：由轮换对称性可知2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰2x dxdydz Ω=⎰⎰⎰2y dxdydz Ω⎰⎰⎰所以,()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππϕθϕΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14002214sin sin 33515d r dr d ππππϕϕϕϕπ==⋅⋅=⎰⎰⎰. (13) 【答案】2 【解析】2Tαβ=,()2T T βαββαββ∴==⋅,又由于0β≠,T βα∴的非零特征值为2.(14) 【答案】1-【解析】由于2X kS +为2np 的无偏估计量,所以22()E X kS np +=,即2222()()()E X kS np E X E kS np +=⇒+=2(1)1(1)(1)1 1.np knp p np k p pk p p k ⇒+-=⇒+-=⇒-=-⇒=-三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)【解析】 2(,)2(2)x f x y x y '=+,2(,)2ln 1y f x y x y y '=++.令(,)0,(,)0,x y f x y f x y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩解得唯一驻点1(0,)e .由于212(0,)1(0,)21(0,)11(0,)2(2)2(2),1(0,)40,11(0,)(2),xxexye yy eA f y e eB f xy eC f x e e y ''==+=+''===''==+= 所以 2212(2)0,B AC e e -=-+<且0A >. 从而1(0,)f e 是(,)f x y 的极小值,极小值为11(0,)f e e=-.(16)(本题满分9分)【解析】曲线n y x =与1n y x +=的交点为(0,0)和(1,1),所围区域的面积112111111()()001212n n n n n a x x dx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰, 111lim 1111111lim()lim(),2312222Nn nN n n N N S a a N N N ∞→∞==→∞→∞===-++-=-=+++∑∑22111211111111(1)22123456n n n n n S a n n n ∞∞∞-=====-=-+-++=-+∑∑∑ （）.考查幂级数1(1)n nn x n ∞=-∑,知其收敛域为(1,1]-,和函数为ln(1)x -+.因为2(1)()ln(1)n nn S x x x x n ∞=-==-+∑,令1x =,得2211(1)1ln 2n n S a S ∞-====-∑.(17)(本题满分11分)【解析】(I)椭球面1S 的方程为222143x y z ++=. 设切点为00(,)x y ,则22143x y +=在00(,)x y 处的切线方程为00143x x y y +=. 将4,0x y ==代入切线方程得01x =,从而032y ==±. 所以切线方程为142x y ±=,从而圆锥面2S 的方程为222(1)44x y z +-=,即222(4)440x y z ---=.(II)1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94π与部分椭球体体积V 之差,其中22135(4)44V x dx ππ=-=⎰. 故所求体积为9544πππ-=.(18)(本题满分11分) 【解析】(Ⅰ)取()()()()()f b f a F x f x x a b a-=---,由题意知()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()()()()()(),()()()()()().f b f a F a f a a a f a b af b f a F b f b b a f a b a -=--=--=--=-根据罗尔定理,存在(),a b ξ∈,使得()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=-,即()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)对于任意的(0,)t δ∈,函数()f x 在[]0,t 上连续,在()0,t 内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理()()000()0()0lim lim lim ()0t t t f t f f tf f t tξξ++++→→→-'''===-,其中()0,t ξ∈. 由于()0lim t f t A +→'=,且当0t +→时,0ξ+→,所以0lim ()t f A ξ+→'=,故(0)f +'存在,且(0)f A +'=.(19)(本题满分10分)【解析】取2221:1x y z ∑++=的外侧,Ω为∑与1∑之间的部分.()()()11322223322222222.xdydz ydzdx zdxdyI xy zxdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyxy zxy z∑∑-∑∑++=++++++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰根据高斯公式()13222200xdydz ydzdx zdxdydxdydz x y z∑-∑Ω++==++⎰⎰⎰⎰⎰ .()1122232222134.x y z xdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyxy zdxdydz π∑∑++≤++=++++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以4I π=.(20)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)对矩阵1()A ξ 施以初等行变换()11110221111111111012204220000A ξ⎛⎫-- ⎪---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可求得 2122122k kk ξ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.又2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,对矩阵21()A ξ 施以初等行变换()211110220122201000044020000A ξ⎛⎫-⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭,可求得 312a a b ξ⎛⎫-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其中,a b 为任意常数.(Ⅱ)解法1 由(Ⅰ)知12311122211,,102222ka ka kbξξξ--+--=-=-≠-, 所以123,,ξξξ线性无关.解法2 由题设可得10A ξ=.设存在数123,,k k k ,使得1122330k k k ξξξ++=, ①等式两端左乘A ,得22330k A k A ξξ+=,即21330k k A ξξ+=, ②等式两端再左乘A ,得2330k A ξ=,即310k ξ=.由于10ξ≠，于是30k =,代入②式,得210k ξ=,故20k =.将230k k ==代入①式,可得10k =,从而1,ξ23,ξξ线性无关.(21)(本题满分11分) 【解析】(Ⅰ)二次型f 的矩阵101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.由于01||01()((1))((2))111aE A aa a a a λλλλλλλ---=-=--+----+, 所以A 的特征值为123,1,2a a a λλλ==+=-.(Ⅱ)解法1 由于f 的规范形为2212y y +,所以A 合同于100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其秩为2,故 1230A λλλ==,于是0a =或1a =-或2a =.当0a =时,1230,1,2λλλ===-,此时f 的规范形为2212y y -,不合题意. 当1a =-时,1231,0,3λλλ=-==-,此时f 的规范形为2212y y --,不合题意. 当2a =时,1232,3,0λλλ===,此时f 的规范形为2212y y +. 综上可知,2a =.解法2 由于f 的规范形为2212y y +,所以A 的特征值有2个为正数,1个为零. 又21a a a -<<+,所以2a =.(22)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ) 12211{1,0}463(10)1{0}9()2C P X Z P X Z P Z ⋅========. (Ⅱ)由题意知X 与Y 的所有可能取值均为0,1,2.()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0,461112,0,0,1,36311,1,2,10,910,2,91,20,2,20,C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======故(,)X Y 的概率分布为(23)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)2202().x EX xf x dx x e dx λλλ+∞+∞--∞===⎰⎰令X EX =,即2X λ=,得λ的矩估计量为 12Xλ=. (Ⅱ)设12,,,(0,1,2,,)n i x x x x i n >= 为样本观测值,则似然函数为()12121,,,;,nii nx nn i i L x x x ex λλλ=-=∑=⋅∏11ln 2ln ln n ni i i i L n x x λλ===-+∑∑,由1ln 20n i i d L n x d λλ==-=∑,得λ的最大似然估计量为 22Xλ=.。
考研数学真题 2009年1月
2009年1月真题解析一、问题求解：第1～15小题，每小题3分，共45分.下列每题给出的A 、B 、C 、D 、E 五个选项中,有一项是符合试题要求的.请在答题卡上将所选项的字母涂黑.1.一家商店为回收资金，把甲、乙两件商品均以480元一件卖出，已知甲商品赚了20%，乙商品亏了20%，则商店盈亏结果为（）.（A ）不亏不赚（B ）亏了50元（C ）赚了50元（D ）赚了40元（E ）亏了40元【答案】E【考点】盈亏问题【解析】设甲、乙两件商品的成本价分别为,x y 元，则(120%)480,(120%)480,x y +=⎧⎨-=⎩解得400,600,x y =⎧⎨=⎩所以甲、乙两件商品的成本之和为1000x y +=元，而实际卖得的价格为480+480=960元，商店亏了1000-960=40元.2.某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为19:12，由于先增加若干名女运动员，使男女运动员比例变为20:13.后又增加了若干名男运动员，于是男女运动员比例最终变为30:19.如果后增加的男运动员比先增加的女运动员多3人，则最后运动员的总人数为（）.（A ）686（B ）637（C ）700（D ）661（E ）600【答案】B【考点】比例问题【解析】方法1：设先增加了x 名女运动员，后增加了3x +名男运动员，最初男女运动员分别有19k 和12k 人则有1920121319(3)301219kk x k x k x⎧=⎪⎪+⎨++⎪=⎪+⎩，解得7,20x k ==所以总人数为1920(73)12207637⨯+++⨯+=（人）.方法2：原来男:女19:12=;增加女运动员后，男:女20:13=,在该过程中男运动员数量没变,故男运动员数能被20和19整除,增加女运动员后，男:女20:13=,再增加男运动员后，男:女30:19=;在该过程中女运动员数量没变,故女运动员数能被13和19整除,.最小就1319247⨯=;又男:女30:19=⇒男1330390=⨯=，390247637+=.3.某工厂定期购买一种原料，已知该厂每天需用该原料6吨，每吨价格1800元.原料的保管费用平均每吨3元，每次购买原料支付运费900元.若该厂要使平均每天支付的总费用最省，则应该每（）天购买一次原料.（A ）11（B ）10（C ）9（D ）8（E ）7【答案】B【考点】均值不等式【解析】设应该每隔n 天购买一次原料则总费用1800663(12)900108009(1)900S n n n n n =⨯+⨯⨯++++=+++ ，所以平均每天的费用900108099S n n =++，根据平均值不等式可知当且仅当9009n n=即10n =时。
2009—数一真题、标准答案及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则(A)11,6a b ==-. (B)11,6a b ==. (C)11,6a b =-=-. (D)11,6a b =-=.（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max kk I ≤≤=(A)1I .(B)2I . (C)3I .(D)4I .（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)x(C)(D)（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则 （A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. （B ）当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. (D)当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. （6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为()A **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()B **23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =(A)0.(B)0.3. (C)0.7.(D)1.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为 (A)0.(B)1.(C)2.(D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.（9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y∂=∂∂ . （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .（11）已知曲线(2:0L y x x =≤≤，则Lxds =⎰ .（12）设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤，则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .（13）若3维列向量,αβ满足2Tαβ=，其中Tα为α的转置，则矩阵Tβα的非零特征值为 .(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = . 三、解答题：15~23小题，共94分. （15）（本题满分9分） 求二元函数()22(,)2ln f x y xy y y =++的极值.（16）（本题满分9分）设n a 为曲线ny x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积，记122111,n n n n S a S a ∞∞-====∑∑，求1S 与2S 的值.（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. （Ⅰ）求1S 及2S 的方程（Ⅱ）求1S 与2S 之间的立体体积. （18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.（19）（本题满分10分）计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰，其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.（20）（本题满分11分）设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足21A ξξ=的2ξ. 231A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ.（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关.（21）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.（Ⅰ）求{}10p X Z ==；（Ⅱ）求二维随机变量(),X Y 概率分布.（23）（本题满分11 分） 设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他，其中参数(0)λλ>未知，1X ，2X ,…n X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数λ的矩估计量； （Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则(A)11,6a b ==-. (B)11,6a b ==. (C)11,6a b =-=-. (D)11,6a b =-=.【答案】 A.【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除(D). 所以本题选（A ）. （2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max kk I ≤≤=(A)1I .(B)2I . (C)3I .(D)4I .【答案】 A.【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰；x{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为(A).（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增.③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为（D ）.（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. （B ）当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. (D)当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.【答案】C. 【解析】方法一：举反例：（A）取(1)nn n a b ==- （B ）取1n n a b n ==（D ）取1n n a b n==故答案为（C ）.方法二：因为lim 0,n n a →∞=则由定义可知1,N ∃使得1n N >时，有1n a <又因为1nn b∞=∑收敛，可得lim 0,n n b →∞=则由定义可知2,N ∃使得2n N >时，有1n b <从而，当12n N N >+时，有22n nn a b b <，则由正项级数的比较判别法可知221n nn a b∞=∑收敛.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】A.【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα=，则A 称为基12,,,n ααα到12,,,n ηηη的过渡矩阵.则由基12311,,23ααα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足 ()12233112311,,,,23M ααααααααα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭12310111,,22023033ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以此题选(A).（6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为()A **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()B **23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. 【答案】B.【解析】根据CC C E *=，若111,C C C CC C*--*==分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O ⨯=-=⨯=（），即分块矩阵可逆 11116601O B BO A OA O A OB B O B B O AO A O A **---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭1236132O B O B AO A O ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭故答案为（B ）.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =(A)0.(B)0.3. (C)0.7.(D)1.【答案】C.【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭， 所以()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭， 所以()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ ⎪⎝⎭⎰⎰而()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰，()()11221222x x x dx u u u du +∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ= ⎪⎝⎭⎰⎰ 所以00.3520.7EX =+⨯=.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为 (A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【答案】 B. 【解析】()()(0)(0)(1)(1)1[(0)(1)]21[(00)(1)]2Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=,X Y 独立1()[(0)()]2Z F z P X z P X z ∴=⋅≤+≤（1）若0z <，则1()()2Z F z z =Φ（2）当0z ≥，则1()(1())2Z F z z =+Φ0z ∴=为间断点，故选（B ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y∂=∂∂ . 【答案】"'"12222xf f xyf ++.【解析】''12z f f y x∂=+⋅∂，2"'""'"1222212222z xf f yx f xf f xyf x y ∂=++⋅=++∂∂. （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .【答案】2xy xe x =-++.【解析】由12()xy c c x e =+，得121λλ==，故2,1a b =-=微分方程为''2'y y y x -+=设特解*y Ax B =+代入，',1y A A ==220,2A AxB x B B -++=-+==∴ 特解 *2y x =+∴ 12()2xy c c x e x =+++把 (0)2y = ， '(0)0y =代入，得120,1c c ==- ∴ 所求2xy xe x =-++ （11）已知曲线(2:0L y x x =≤≤，则Lxds =⎰ .【答案】136【解析】由题意可知，2,,0x x y x x ==≤≤，则ds ==，所以()201148Lxds x ==+⎰11386==（12）设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤，则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .【答案】415π. 【解析】 方法一：2122220sin cos z dxdydz d d d ππθϕρϕρϕρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()21240cos cos d d d ππθϕϕρρ=-⎰⎰⎰30cos 1423515d πϕπϕπ=⋅-⋅=⎰方法二：由轮换对称性可知2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰2x dxdydz Ω=⎰⎰⎰2y dxdydz Ω⎰⎰⎰ 所以，()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππϕθϕΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14002214sin sin 33515d r dr d πππππϕϕϕϕ=⋅⋅=⎰⎰⎰（13）若3维列向量,αβ满足2Tαβ=，其中Tα为α的转置，则矩阵Tβα的非零特征值为 .【答案】2.【解析】2Tαβ=()2T T βαββαββ∴==⋅, T βα∴的非零特征值为2.(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = . 【答案】1-. 【解析】2X kS -+为2np 的无偏估计22()E X kX np -∴+=2(1)1(1)(1)11np knp p np k p pk p p k ∴+-=∴+-=∴-=-∴=-三、解答题：15~23小题，共94分. （15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. 【解析】2(,)2(2)0x f x y x y '=+= 2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=故10,x y e= =2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ = 则12(0,)12(2)xxef e ''=+，1(0,)0xyef ''=，1(0,)yy ef e ''=.0xxf ''>而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e=-.（16）（本题满分9分）设n a 为曲线ny x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积，记122111,n n n n S a S a ∞∞-====∑∑，求1S 与2S 的值.【解析】由题意，n y x =与n+1y=x 在点0x =和1x =处相交，所以112111111a ()()001212nn n n n xxdx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰， 从而1111111111S lim lim(-)lim()23122+22Nn nN N N n n a a N N N ∞→∞→∞→∞=====-++=-=++∑∑2211111111111111=)22+1232N 2N+123456n n n S a n n ∞∞-====--++-=-+-+∑∑（）（ 由2(1)1(1)2nn x x n-++-+ln(1+x)=x- 取1x =得22111ln(2)1()11ln 2234S S =--+=-⇒=-.（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. （Ⅰ）求1S 及2S 的方程（Ⅱ）求1S 与2S 之间的立体体积.【解析】（I ）1S 的方程为222143x y z ++=， 过点()4,0与22143x y +=的切线为122y x ⎛⎫=±- ⎪⎝⎭， 所以2S 的方程为222122y z x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（II ）1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94π与部分椭球体体积V 之差，其中22135(4)44V x dx ππ=-=⎰.故所求体积为9544πππ-=. （18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--. 根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足：在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====-故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（19）（本题满分10分）计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰，其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.【解析】2223/2()xdydz ydxdz zdxdy I x y z ∑++=++⎰⎰，其中222224x y z ++= 2222223/22225/22(),()()x y z x x x y z x y z ∂+-=∂++++① 2222223/22225/22(),()()y x z y y x y z x y z ∂+-=∂++++②2222223/22225/22(),()()z x y z z x y z x y z ∂+-=∂++++③ ∴①+②+③=2223/22223/22223/2()()()0()()()x y zx x y z y x y z z x y z ∂∂∂++=∂++∂++∂++ 由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）222211:.016x y z R R ∑++=<<有 1132223/233313434()3xdydz ydxdz zdxdyxdydz ydxdz zdxdy R dV x y z R R R ππ∑∑∑Ω++++====⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（20）（本题满分11分）设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭ 1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足21A ξξ=的2ξ. 231A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ.（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数.解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关. （21）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ） 若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =.（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. （Ⅰ）求{}10p X Z ==；（Ⅱ）求二维随机变量(),X Y 概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球12113324(10)9C P X Z C C ⨯∴====⋅.（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======（23）（本题满分11 分） 设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他，其中参数(0)λλ>未知，1X ,2X ,…,n X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求参数λ的矩估计量； （Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量【解析】 （1）由EX X =而22022ˆx EX x e dx X Xλλλλ+∞-===⇒=⎰为总体的矩估计量 （2）构造似然函数()()12111L ,.....,;;nii nnx nn i i i i x x f x x eλλλλ=-==∑==⋅⋅∏∏取对数11ln 2ln ln n ni i i i L n x x λλ===+-∑∑令111ln 222001n i n ni i i i i d L n n x d x x n λλλ====⇒-=⇒==∑∑∑ 故其最大似然估计量为2Xλ''=.。
数量方法试题及答案
2008年1月数量方法试题及答案课程代码：0799第一部分 必答题（满分60分）一、本题包括1—20二十个小题，每小题1分，共20分。
1、某汽车经销商测试了同一排量不同品牌的7种汽车的耗油量，这七种不同品牌的汽车耗油量数据（单位：升/百公里）分别为：5.1，6.5，7.8，9.1，10.4，11，13，则汽车耗油量的中文位数为( )A 、5.1B 、9.1C 、9.75D 、132( )A 、60%B 、80%C 、92%D 、100%3、随机抽样某市8个居民，对其收看世界杯足球赛的时间（单位：小时）进行调查，得到样本数据为 1.5，2.3，2.8，3.1，3.7，3.9，4.0，4.4，则居民收看世界杯足球赛时间的极差为( )A 、2.9B 、3.4C 、3.9D 、4.14、某公司10名员工的工龄（单位：年）分别是：0.5，0.5，1，2，2，3，3，6，7，则员工工龄的众数是( )A 、0.5B 、2C 、3D 、75、设A 、B 是互斥的两个事件，若P （A ）=0.6，P （A+B ）=0.8，则P （B ）等于( )A 、0.2B 、0.5C 、0.6D 、0.86、育新小学六年级三班共有50名同学，其中30名男同学，20名女同学。
从中随机选一名同学出席市少先队代表大会，该同学是女同学的概率为( )A 、2/5B 、3/5C 、2/3D 、4/57则a A 、1/4 B 、1/3 C 、1/2 D 、18、某保险业务员每6次访问有一次成功地获得签单（即签单成功率的概率为1/6），再一个正常的工作周内，他分别与36个客户进行了联系，则该周签单数的数学期望为( )A 、3B 、4C 、5D 、69、若顾客通过祥发超市结账处所花费的时间（单位：分钟）服从正态分布)2,6(2N ，则一个顾客通过结账处花费事件不超过7分钟的概率为（用）（∙n φ 表示）（ ） A 、）（5.0n φ B 、）（1n φ C 、）（2n φ D 、）（6n φ 10、某人每天再早七点至晚8点等可能到达公共汽车站，则其在7点10分到7点40分达到的概率为( )A 、0.1B 、0.4C 、0.5D 、0.611、设X 与Y 为两个随机变量，E （X ）=3，E （Y ）=-1，则E （3X-Y ）=（ ）A 、8B 、9C 、10D 、1112、某村有1000亩地，其中600亩水浇田，400亩旱田地。
1月自学考试数量方法试题及答案解析
2018年1月自学考试数量方法试题（课程代码0799）（考试时间165分钟，满分100分）注意事项：1、试题包括必答题与选答题两部分，必答题满分60分，选答题满分40分。
必答题为一、二、三题，每题20分。
选答题为四、五、六、七题，每题20分，任选两题回答，不得多选，多选者只按选答的前两题计分。
60分为及格线。
2、用圆珠笔或者钢笔把答案按题号写在答题纸上，不必抄写题目。
3、可使用计算器、直尺等文具。
4、计算题应写出公式、计算过程；计算过程保留4位小数，结果保留2位小数。
第一部分必答题（满分60分）（本部分包括一、二、三题，每题20分，共60分）一、本题包括1－20题共二十个小题，每小题1分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在括号内。
1．对于数据4,6，6,7，5,11,6，7,3，10，其众数和中位数分别为A．6,6B．6,7C．5,6D．5,72．上述数据的众数为A．国际金融B．8C．经济学和国际贸易D．63．如果一组数据分别为10,20,30和x，若平均数是30，那么x应为A．30B．50C．60D．804．下面是一组数据的茎叶图0 31 3 7 92 1 4该数据组的极差为A．1B．6C．7D．215．洁润公司共有员工80人，人员构成如饼形图所示：106107中级管理人员数为A ．4B ．8C ．54D ．146． 正方形骰子共有6面，分别为1,2，3,4，5,6点。
掷2次，其和为4的概率是 A ．361B ．181C ．121D ．917． 数学期望和方差相等的分布是A ．二项分布B ．泊松分布C ．正态分布D ．指数分布8． 如果随机变量X 的数学期望为1，则Y ＝2X －1的数学期望为 A ．4 B ．1 C ．3 D ．59． 某校为了了解学生的身高情况，从全部学生中随机抽取50名学生进行测量，这50个学生身高的数据是A ．总体B ．总体单元C ．样本D ．样本单元10． 关于抽样调查有以下说法 （1） 抽样调查以研究样本为目换 （2） 抽样调查结果是用于推断总体的 （3） 抽样调查适合于单元数较多的总体 （4） 抽样调查具有节省人力和物力的优点 其中正确的说法是 A ．（2）（3）（4） B ．（1）（3）（4） C ．（1）（2）（4） D ．（1）（2）（3）（4） 11． 若总体的标准差为σ，现按重复抽样方法从总体中抽出容量为n 的样本，则样本均值的标准差是A ．nσ B ．n σ C ．n 2σ D ．∑=-n i i x x n 12)(1 12．一项假设检验的原假设和备择假设为0H ：产品合格，1H ：产品不合格。
2009考研数一真题答案及详细解析
f(t)dt
I: > �f'.J<t)dt+ 八 t)dt�f (x) dx.'
又由定积分的几何意义知，『 g (x)dx>O,故 2<x<3 时 F(x)>O.故应选 D.
(4) C
解
I; 若令
an= bn=
(-l)n
嘉,则nl-im= a
n
=
O, n=
l
从收敛，却有
co
nI=;l a
n从
=
nI=;l — n1
1,1],
和函数为—
ln(l+x).
因为5 (x)=
= I;
(—l)n
X
n=
X
— ln(l+x),令
x= l,得
n= 2 n
S 2= n�= la 加一1 = S(1)= 1- ln 2.
(17) 解
(I)
椭球面 S1
的方程为X— 42
+
沪
+z 3
2 =
1.
。 设切点为
(x
口 Yo),
则
X—+
4
— y
y2dxdyd乏 ＝ 』之2dxdyd之，
{l
所以
w 上�+ ill f I I z'dxd:
。 。 。 上 2
六
(x' 二三） dxdydz� 3
亢 d0
sin钊'P'r'dr�±. 穴． 15
{l
03) 2
n 解 设入是P矿的非零特征值， 是属于入的特征向量，从而p矿T/=入1
由于入=/=-0, TJ =/=-0,故a可=l=-0.
2009年辽宁省公务员录用考试《行测》真题(数量关系)
2009年辽宁省公务员录用考试《行测》真题第四部分数量关系（共15题，参考时限15分钟）一、数字推理。
给出一个数列，但其中缺少一项，要求仔细观察数列的排列规律，然后从四个供选择的选项中选择你认为最合适，最合理的一项来填补空缺项，使之符合原数列的排列规律。
请开始答题：87.2， 4， 6， 9， 13， 19，（）A.28B.29C.30D.3188.-2， 1/2， 4， 2， 16，（）A.32B.64C.128D.25689.21， 28， 33， 42， 43， 60，（）A.45B.56C.75D.9290.1， 3， 0， 6， 10， 9，（）A.13B.14C.15D.17二、数学运算。
在这部分试题中，每道试题呈现一段表述数字关系的文字，要求你迅速准确地计算出答案，你可以在草稿纸上运算。
请开始答题：94.某公司计划购买一批灯泡，11W的普通节能灯泡耗电110度/万小时，单价20元；5W 的LED灯泡耗电50度/万小时，单价110元。
若两种灯泡使用寿命均为5000小时，每度电价格为0.5元。
则每万小时LED灯泡的总使用成本是普通节能灯泡的多少倍？（）A.1.23B.1.80C.1.93D.2.5895.某商场举行周年让利活动，单件商品满300减180元，满200减100元，满100减40元；若不参加活动则打5.5折。
小王买了价值360元，220元，150元的商品各一件，最少需要多少元钱？（）A.360B.382.5C.401.5D.41096．现在时间为4点分，此时时针与分针成什么角度？（）A．30度 B．45度 C．90度 D．120度97．由1、2、3组成的没有重复数字的所有三位数之和为多少？（）A．1222 B．1232 C．1322 D．133298．河道赛道场长120米，水流速度为2米/秒，甲船速度为6米/秒，乙船速度为4米/秒。
比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点出发，先顺水航行，问多少秒后甲、乙船第二次迎面相遇？（）A．48 B．50 C．52 D．5499．三边长均为整数且最大边长为2009的三角形共有多少个？（）A．1008016 B．1009020 C．1010025 D．2019045100．某天体沿正圆形轨道绕地球一圈所需时间为29.53059天，转速约1公里/秒。
2009年广东公务员考试行测真题之数量关系
2009年广东公务员考试行测真题之数量关系广东公务员考试公告一般为每年2月份出公告，3月份考试。
不管距离考试还有几个月、几个星期、还是几天，毕竟竞争激烈，考生如有意报考此次公务员考试，都应该有计划地进行复习备战。
为帮助广大考生备考，广东中公教育为大家整理发布了广东公务员考试题库，供参考。
更多政策及课程免费解答，请点击>>>在线咨询。
第一部分数量关系(共15题，参考时限15分钟)本部分包括两种类型的题目：一、数字推理。
共5题，每题1分，共5分。
给你一个其中缺少一项的数列，请你仔细观察数列的排列规律，然后从四个供选择的选项中选出你认为符合该数列规律的一项。
【例题】 1，3，5，7，9，( )。
A. 7B. 8C. 11D. 未给出【解答】正确答案是11，原数列是一个奇数数列，故应选C。
请开始答题：1.1，2，0，3，-1，4，( )。
A. -2B. 0C. 5D. 62.168，183，195，210，( )。
A. 213B. 222C. 223D. 2253.38，24，62，12，74，28，( )。
A. 74B. 75C. 80D. 1024.4，5，8，10，16，19，32，( )。
A. 35B. 36C. 37D. 385.A. 1B. 16C. 36D. 49二、数学运算。
共10题，每题1分，共10分。
请你利用所给条件，用简明准确的方法进行计算，在四个备选项中找到符合题干要求的一项。
【例题】 84.78元、59.50元、121.61元、12.43元以及66.50元的总和是( )。
A. 343.73元B. 343.83元C. 344.73元D. 344.82元【解答】正确答案为D。
实际上你只要把最后一位小数加一下，就会发现和的最后一位数是2，只有D符合要求。
就是说你应当动脑筋想出解题的捷径。
请开始答题：6.旅行社对120人的调查显示，喜欢爬山的与不喜欢爬山的人数比为5∶3;喜欢游泳的与不喜欢游泳的人数比为7∶5;两种活动都喜欢的有43人。
2009考研数学真题数一及解析
= lim
x →0
a 3 = −6b 意味选项 B，C 错误。
再由 lim =
x →0
1 − a cos ax 存在，应有 1 − a cos ax → 0( x → 0) ，故 a = 1 ，D 错误，所以选 A。 − 3bx 2
（ 2 ） 如 图 ， 正 方 形
{(x, y ) x ≤ 1, y ≤ 1} 被 其 对 角 线 划 分 为 四 个 区 域
【答案】B 【解析】由于分块矩阵 ⎜ ⎜
⎛0 ⎝B
−1
A⎞ 0 ⎟ 的行列式 0⎟ B ⎠
A = (−1) 2×2 A B = 2 × 3 = 6 ，即分块矩 0
阵可逆，根据公式 C* = C C ,
⎛0 ⎜ ⎜B ⎝
A⎞ 0 ⎟ = ⎟ 0⎠ B
∗
A⎛ 0 ⎜ 0⎜ ⎝B
A⎞ ⎟ 0⎟ ⎠
−1
⎛ 0 = 6⎜ ⎜ A −1 ⎝
P{Y = 0} = P{Y = 1} =
个数为（ ） （A）.0 (B).1
1 , 记 FZ ( z ) 为随机变量 Z=XY 的分布函数， 则函数 FZ ( z ) 的间断点 2
(C).2 (D).3
【解析】 FZ ( z ) = P( XY ≤ z ) = P XY ≤ z Y = 0 P (Y = 0 ) + P ( XY ≤ z Y = 1) P (Y = 1)
∗ ∗
⎛O ⎜ ⎜B ⎝
A⎞ ⎟ 的伴随矩阵为（ ） 0⎟ ⎠
⎛ O ⎝2A
∗
（A） ⎜ ⎜
3B ∗ ⎞ ⎟ O ⎟ ⎠
（B） ⎜ ⎜
⎛ O ⎝ 3A
∗
⎛ O 2B ∗ ⎞ ⎟ （C） ⎜ ∗ ⎟ ⎜ 2B O ⎠ ⎝
2009-数一标准答案及解析
= P( XY ≤ z ) = P( XY ≤ z Y= 0) P(Y= 0) + P( XY ≤ z Y= 1) P(Y= 1) FZ ( z ) 1 = [ P( XY ≤ z Y = 0) + P( XY ≤ z Y = 1)] 2 1 = [ P( X ⋅ 0 ≤ z Y = 0) + P( X ≤ z Y = 1)] 2
+∞
−∞
x −1 xΦ′ dx 2
∫
+∞
−∞
+∞ +∞ x −1 x −1 ′ ( u ) du 2 xΦ′ ( x ) dx = 0 ， ∫ xΦ′ dx = u 2 ∫ ( 2u + 1) Φ= −∞ −∞ 2 2
所以 EX = 0 + 0.35 × 2 = 0.7 . （ 8 ） 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 ， 且 X 服 从 标 准 正 态 分 布 N ( 0,1) ， Y 的 概 率 分 布 为
x −1 ， 2
0.7 x − 1 Φ′ ， 2 2
所以 EX =
∫
+∞
−∞
xF ′ ( x= )dx
∫
+∞
−∞
x − 1 x 0.3Φ′ ( x ) + 0.35Φ′ dx 2
= 0.3∫
而
+∞
−∞
xΦ′ ( x ) dx + 0.35∫
所以 I1
2
{( x , y ) y ≥ x ,0≤ x≤1}
∫∫
y cos xdxdy > 0 ；
梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 - 6 - 页 共 19 页
2009年1月数量方法试题及答案
2009年1月高等教育自学考试中英合作商务管理专业与金融管理专业考试数量方法试题 课程代码：0799第一部分 必答题（满分60分）一、 单项选择题（本题包括1-20二十个小题，每小题1分，共20分） 1. 某保温瓶胆厂一年内各月产量的次品数为50 30 10 40 40 30 10 30 70 30 30 30 则该厂全年月次品数的众数是A. 10B. 30C. 40D. 50 2. 以下是根据10个销售员一个月销售某产品的数据作的茎叶图： 7 4 4 28 9 7 6 3 5 9 1 0 则销售数量的极差为A. 5B. 6C. 7D. 193. 随机抽取某大学6名大学生，对其收看某选秀节目的收视时间（单位：小时）做调查，得到样本数据为 0.5，0，1.2，4.3，1.2，2.3则大学生收看选秀节目的时间中位数为A. 0B. 0.5C. 1.2D. 1.674. 对某小学学生进行近视眼防治抽样调查，先将所有学生按年级划分，然后在各年级随机抽取学生班级，对抽中班级的所有学生进行调查，这种抽样方法属于A. 简答随机抽样B. 整群抽样C. 分层抽样D. 等距抽样5. 甲乙两人独立地先后射击目标一次，甲命中目标的概率为0.5，乙命中目标的概率为0.8，则目标被击中的概率为A. 0.3B. 0.4C. 0.9D. 16. 北京大学统计系06级3班共有60名同学。
至少有2名同学生日相同的概率为（一年按365天计算）A. 6060!365B. 6036560365PC. 603653651PD. 60365601365P - 7. 振安商场黄金部营业员接待一位顾客并做成一笔生意的概率是0.4，在某天他接待了5位顾客，则做成3笔生意的概率是A. 3255(0.4)0.6CB. 50.4C. 3525(0.4)0.6CD. 30.68. 红星游乐园入口处的每辆汽车的载客人数服从2λ=的泊松分布，今任意观察一辆到达公园门口的汽车，车中无乘客的概率为A. 2e - B. 2 C. 2e D. 22!e -9. 某食品超市的牛奶销售量服从正态分布，每天平均销售200公斤，标准差为20公斤。
2009年四川公务员考试行测真题及解析
2009年四川省各级机关考试录用公务员和机关工作人员行政职业能力测验真题第一部分数量关系(共15 题，参考时限15 分钟)本部分包括两种类型的试题：一、数字推理：共5题。
给你一个数列，但其中缺少一或两项，要求你仔细观察数列具有规律，然后从四个供选项中选出你认为最合理的一项，来填补空缺项。
1. 2/3 3/2 4/3 3 8/3 ( )A 8/3 B16/3 C 6 D82. 2 3 6 11 20 ( )A.35 B 37 C 38 D 393. 1 2 3/2 8/3 15/8 ( )A 53/15B 52/15C 49/15D 48/154. 3 5 22 42 83 ( )A 133B 156C 163D 1645. 28 18 32 14 36 10 ( )A 42B 40C 6D 4二、数学运算：共10题。
你可以在草稿纸上运算，遇到难题，你可以跳过不做，待你有时间再返回来做。
6.甲乙两人在一条椭圆型田径跑道上练习快跑和慢跑，甲的速度为3M/S,乙的速度为7M/S，他们在同一点同向跑步，经过100S第一次相遇，若他们反向跑，多少秒后第一次相遇（）A 30B 40C 50 D707.有一堆钢管，最下面一层有30根，逐层向上递减一根，这堆钢管最少有多少根？（）A 450B 455C 460 D4658, [2-(5/4*4/7+1.25*3/7)]/0.375=( )A .2B 1C 0D -19甲乙丙三名羽毛球选手训练共用了48个羽毛球，其中甲比乙多用了4个，乙比丙多用了4个，他们三个用的羽毛球数之比为（）A 5：4：3B 6：5：4C 4：3：2D 3：2：110. 将参与社会活动的108名学生均分成若干小组，每组人数在8----30人之间，有多少种不同的分法（）A 3B 4C 5D 611 ,在长为8宽为6的矩形四角截去4个边长为1的小正方形，余下图形的周长为（）A 28B 30C 32 D3412, 某班35人外出春游，老师给了小明88元买冰激凌，买了两种口味，如果买20只巧克力味和15个草莓味的就差2元，买15个巧克力20个草莓的剩下3元，一只草莓味道的多少钱（）A 4B 3C 2D 1.513.一个等差数列共有2N-1项，所有奇数项的和为36，所有偶数项的和为30，那么N的值为（ )A 5B 6C 10 D1114.将4个颜色不同的球全部放入编号1和2的2个盒子，使放入每个盒子里的球数不小于盒子的编号，则不同的放球方法有多少种（）A.9 B 10 C 12 D1815.在三角形纸片ABC中C=90度，角A=30度，AC=6.折叠，使A与点B重合，折痕与AB.AC分别交与DE，折痕DE的长度为（）A .1B 2C 3D 4第二部分言语理解与表达(共30 题，参考时限29 分钟)本部分包括三种类型的试题：一、选词填空：共10 题，要求你从所给的四个选项中选出一个填空，使句子的意思表达得最准确。
2009年管理类联考真题数学部分
2009年1月真题解析一、问题求解：第1～15小题，每小题3分，共45分.下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中,有一项是符合试题要求的.请在答题卡上将所选项的字母涂黑.1.一家商店为回收资金，把甲、乙两件商品均以480元一件卖出，已知甲商品赚了20%，乙商品亏了20%，则商店盈亏结果为（）.（A）不亏不赚（B）亏了50元（C）赚了50元（D）赚了40元（E）亏了40元2.某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为19:12，由于先增加若干名女运动员，使男女运动员比例变为20:13.后又增加了若干名男运动员，于是男女运动员比例最终变为30:19.如果后增加的男运动员比先增加的女运动员多3人，则最后运动员的总人数为（）.（A）686（B）637（C）700（D）661（E）6003.某工厂定期购买一种原料，已知该厂每天需用该原料6吨，每吨价格1800元.原料的保管费用平均每吨3元，每次购买原料支付运费900元.若该厂要使平均每天支付的总费用最省，则应该每（）天购买一次原料.（A）11（B）10（C）9（D）8（E）74.在某实验中，三个试管各盛水若干克，现将浓度为12%的盐水10克倒入A管中，混合后，取10克倒入B管中，混合后再取10克倒入C管中，结果A、B、C三个试管中盐水的浓度分别为6%、2%、0.5%，那么三个试管中原来盛水最多的试管及其盛水量各是（）.（A）A试管，10克（B）B试管，20克（C）C试管，30克（D）B试管，40克（E）C试管，50克5.一艘轮船往返航行于甲、乙两码头之间，船在静水中的速度不变，则当这条河的水流速度增加50%时，往返一次所需的时间比原来将（）.（A）增加（B）减少半小时（C）不变（D）减少1小时（E）无法判断6.方程214x x -+=的根是（）.（A）5x =-或1x =（B）5x =或1x =-（C）3x =或53x =-（D）3x =-或53x =（E）不存在7.23x bx ++20bx c +=，则b 和c （A）2，68.若(1)x +122a a +++（A）312n -334n -9.在36（A）7731510.湖中有四个小岛，它们的位置恰好近似构成正方形的四个顶点.若要修建三座桥将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（）种.（A）12（B）16（C）13（D）20（E）2411.若数列{}n a 中，110(1),2n a n a ≠≥=，前n 项和n S 满足22(2)21n n n S a n S =≥-，则1{}nS 是（）.（A）首项为2，公比为12的等比数列（B）首项为2，公比为2的等比数列（C）既非等差也非等比数列（D）首项为2，公差为12的等差数列（E）首项为2，公差为2的等差数列C，则1S S +(A)12确14.若圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，则与此圆相切于劣弧AB 中点M（注：小于半圆的弧称为劣弧）的切线方程是（）.（A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）1y x =-+（D）2y x =-+（E）1y x =+15.已知实数,,,a b x y 满足21y a +=-和221x y b -=--，则33x y a b +++=（）.（A）25（B）26（C）27（D）28（E）29二、条件充分性判断：第16~25小题，每小题3分，共30分.要求判断每题给出的条件（1）和条件（2）能否充分支持题干所陈述的结论.A、B、C、D、E 五个选项为判断结果，请选择一项符合试题要求的判断，在答题卡上将所选项的字母涂黑.（A（B （C （D （E 16.2212a a +（1）数列{（217.A （1）A （2）A 18.log 1a x >．（1）1[2,4],12x a ∈<<（2）[4,6],12x a ∈<<19.对于使711ax bx ++有意义的一切x 的值，这个分式为一个定值．（1）7110a b -=（2）1170a b -=22（（（（（（23.22(28)(2)(226)0x x x x x ----->．（1）(3,2)x ∈--（2）[2,3]x ∈24.圆22(1)(2)4x y -+-=和直线(12)(1)330x y λλλ++---=相交于两点．（1）5λ=（2）2λ=25.{}n a 的前n 项和n S 与{}n b 的前n 项和n T 满足1919:3:2S T =．（1）{}n a 和{}n b 是等差数列（2）1010:3:2a b =。
2009年1-24题 数学真题解析
（A） cot x tan x C
（B） cot x tan x C
√（C） cot x tan x C
（D） cot x tan x C
解析：
cos 2x sin2 x cos2
dx x
=
cos2 x sin sin2 x cos2
更无法得出级数 un 收敛、发散的结论， n1
从而也无法得到
lim
n
un
0 的结论.
【2009，14】函数 1 展开成 (x 1) 的幂级数是： 3 x
(A)
n0
(1)n
(x 1)n 2n1
√ (B)
(x 1)n 2n1
n0
(C) ( x 1)n n0 2
用分离变量法求解得，
1 ay
x
c1 ，
利用条件
y
x0
1，得 c1
1 a
，所以
y
1， ax 1
两边积分，可得
y
1 a
ln
ax
1
c2
，
再利用条件 y
x0
0 ， c2
0 ，所以 y
1 ln a
ax 1 。
【2009，17】设 a1, a2 , a3 是三维列向量， A a1, a2 , a3 ,则不 A 相等的是：
1 x
√(C)
12 x2 sin x
(D)
1 x2
sin
2 x
解析: 由复合函数求导规则,
dy
1 11
dx
2009年考研数一真题及答案
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-.()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。
另外201cos lim3x a axbx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。
所以本题选A 。
（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=()A 1I .()B 2I . ()C 3I .()D 4I .【答案】A【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函x数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰；{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为A.（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D 【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
1月自考数量方法试题答案
做试题,没答案?上自考365,网校名师为你详细解答!20XX 年1月自考数量方法试题答案第一部分 必答题（满分60分）一、本题包括1－20题共二十个小题，每小题1分，共20分。
1． 某公司最近发出了10张订单订购零件，这10张订单的零件数（单位：个）分别为80,100,125,150,180，则这组数据的中位数是A ．100B ．125C ．150D ．180解答：中位数是将一组数按从小到大顺序排列好后恰好居中的一个数，若中间有两个数则求这两个数的平均数。
选：B(本题有些问题!明明只有5个数，确说10张订单!一般来说，如果题目出错了，那么无论回答如何都会得分的!!!)2． 从某公司随机抽取5个员工，他们的月工资收入（单位：元）分别为：1500,2200, 2300,3600,5400，则他们的平均月工资收入是A ．2000B ．2500C ．3000D ．3500解答：平均值问题，将所有的数相加，然后再被5除。
选：C3． 从某银行随机抽取10个储户，他们的存款总额（单位：万元）分别是：3,7，12,16,17,21,27,29,32,43，则存款总额的极差是A ．40B ．25C ．17D ．11 解答：极差是最大值与最小值之差。
选：A4． 某大学法律专业今年招收10名硕士研究生，他们的年龄分别为21,22,22,23,23,23,23,24,28,31，则入学年龄的众数是A ．22B ．23C ．24D ．25 解答：众数是出现次数最多的数。
选：B 5． 某事件发生的概率为101，如果试验10次，则该事件 A ．一定会发生1次 B ．一定会发生10次C ．至少会发生1次D ．发生的次数是不确定的解答：选：D 概率的发生总是不确定的。
这是练习册上的题。
05刚刚考过6． 一所大学的学生中有35%是一年级学生，26%是二年级学生。
若随机抽取一人，该学生不是一年级学生的概率为A ．0.26B ．0.35C ．0.65D ．0.74解答：是一年级学生的概率为 35%，则不是一年级学生的概率为1－35%＝0.65 选：C 7． 某银行有男性职工280人，女性职工220人，从中随机抽取1人是女职工的概率为8． 某一零件的直径规定为10厘米，但实际生产零件的直径可能有的超过10厘米，有的不足10厘米。
2009年广州市公务员《行测》真题之数量关系
2009年广州市公务员《行测》真题之数量关系一、数字推理：共5道题。
给你一个数列，但其中缺少一项，要求你仔细观察数列的排列规律，然后从四个供选择的选项中选出你认为最合理的一项，来填补空缺项。
例题：给你一个数列，便其中缺少一项，要求仔细观察数列的排列规律，然后选择你认为最合适的一个答案，你可以在草稿纸上运算。
（例题）2 4 6 8 （）A、9B、12C、14D、10【解答】正确答案为D，原数列是一个偶数数列。
请开始答题：1. 2,3,8,27,（）。
A. 112B. 110C. 90D. 812. 2，0，3,5,8,（）。
A. 13B. 15C. 16D. 203. 1,1,3,9,21,41,（）。
A. 49B. 57C. 64D. 714. 3,4,10,33,136,（）。
A. 685B. 424C. 314D.1495. 4,9,12,19,28,43,（）。
A. 47B. 59C. 66D. 69二、数学运算：共10道题。
你可以在草稿纸上运算，遇到难题，你可以跳过不做，待你有时间再返回来做。
例题：84．78元，59．50元、121．61元、12．43元以及66．50元的总和是：A．343．73 B．343．83 C．344．73 D．344．82【解答】正确答案为D。
实际上你只要把最后一位小数加一下，就会发现和的最后一位数是2，只有D符合要求。
就是说你应当动脑筋想出解题的捷径。
请开始答题：6. 计算（0.265××0.735）×54的值是（）。
A. 184B. 172C. 162D. 1447. 计算2.35×+（-0.25）÷的值是（）。
A. 11.65B. 9.65C. 11.75D. 12.758. 33÷70小数点后第1000位上的数字是（）。
A. 4B. 2C. 8D. 19. 某校共有三个兴趣小组，分别为体育、书法和美术。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2009年1月高等教育自学考试中英合作金融管理专业考试数量方法试题（课程代码：00799）第一部分 必答题（满分60分）一、 单项选择题（本题包括1-20二十个小题，每小题1分，共20分） 1. 某保温瓶胆厂一年内各月产量的次品数为50 30 10 40 40 30 10 30 70 30 30 30 则该厂全年月次品数的众数是A. 10B. 30C. 40D. 50 2. 以下是根据10个销售员一个月销售某产品的数据作的茎叶图： 7 4 4 28 9 7 6 3 5 9 1 0 则销售数量的极差为A. 5B. 6C. 7D. 193. 随机抽取某大学6名大学生，对其收看某选秀节目的收视时间（单位：小时）做调查，得到样本数据为 0.5，0，1.2，4.3，1.2，2.3则大学生收看选秀节目的时间中位数为A. 0B. 0.5C. 1.2D. 1.674. 对某小学学生进行近视眼防治抽样调查，先将所有学生按年级划分，然后在各年级随机抽取学生班级，对抽中班级的所有学生进行调查，这种抽样方法属于A. 简答随机抽样B. 整群抽样C. 分层抽样D. 等距抽样5. 甲乙两人独立地先后射击目标一次，甲命中目标的概率为0.5，乙命中目标的概率为0.8，则目标被击中的概率为A. 0.3B. 0.4C. 0.9D. 16. 北京大学统计系06级3班共有60名同学。
至少有2名同学生日相同的概率为（一年按365天计算）A. 6060!365 B. 6036560365P C. 603653651P D. 60365601365P - 7. 振安商场黄金部营业员接待一位顾客并做成一笔生意的概率是0.4，在某天他接待了5位顾客，则做成3笔生意的概率是A. 3255(0.4)0.6CB. 50.4 C. 3525(0.4)0.6C D. 30.68. 红星游乐园入口处的每辆汽车的载客人数服从2λ=的泊松分布，今任意观察一辆到达公园门口的汽车，车中无乘客的概率为A. 2e - B. 2 C. 2e D. 22!e -9. 某食品超市的牛奶销售量服从正态分布，每天平均销售200公斤，标准差为20公斤。
如果老板希望牛奶供不应求的概率不超过0.025，则该超市购进的牛奶量至少为（0(1.96)0.975Φ=） A. 200公斤 B. 220公斤 C. 239.2公斤 D. 240.2公斤 10. 某灯泡厂生产的灯泡寿命（小时）服从参数为15000λ=的指数分布，即其密度函数为150001,0()50000,0x e x f x x ⎧⎪=⎨⎪≤⎩则其生产灯泡的平均寿命为A. 5000小时B. 7000小时C. 8000小时D. 10000小时 11. 随机变量X 的均值EX=4，方差DX=4，则2()E x 为A. 8B. 16C. 20D. 32 12. 某公司共有100个存货分户账号，拟采用系统抽样抽取4个账户做样本，如果抽到的第一个样本单位的账户为第八号账户，则最后一个样本单位为第几号账户？ A. 23 B. 25 C. 58 D. 83 13. 某食品厂质量控制部门对咖啡的包装重量进行检测，经验知重量X 服从正态分布2(,)N μσ，现从流水生产线上随机取出16盒，测得平均重量500x =克，标准差s=20克，则μ的95%置信区间是A. 0.025(5005)t ±B. 0.025(5005(15))t ±C. 0.025(5005(16))t ±D. 0.025(5005(17))t ±14. 设12,,(3)n X X X n ≥…，是来自总体2(,)(0)N μσμ≠的样本，1111n i X n μ∙==∑，121()22X X μ∙=+，则 A. 1μ∙，2μ∙均为μ的无偏估计且1μ∙比2μ∙有效 B. 1μ∙，2μ∙均为μ的无偏估计且2μ∙比1μ∙有效 C. 1μ∙是μ的无偏估计，2μ∙不是μ的无偏估计D.2μ∙是μ的无偏估计，1μ∙不是μ的无偏估计15. 在假设检验中，拒绝原假设时A. 可能会犯第一类错误B. 可能会犯第二类错误C. 可能会犯第一类、第二类错误D. 不可能犯错误 16. 下列哪一个相关系数反映两个变量的线性相关程度高？A. 0.35B. 0.69C. 0.87D. 0.9117. 某企业2002-2006年的年产量（单位：吨）分别为20，25，31，40，44，则该企业的产量平均每年增长 A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 618. 物价水平上涨4%，则用同样多的人民币购买的商品数量减少了 A. 3.5% B. 3.85% C. 4% D. 6%19. 某投资银行以2003年为基础，到2006年投资额增长了1.5倍，则平均每年增长 A. 14.47% B. 25.99% C. 35.72% D. 38.6% 20. 下列属于派氏质量指数的是A.1100p q p q∑∑ B.1101p q p q∑∑ C.0100p q p q∑∑ D.1000p q p q∑∑二、本题包括21-24四个小题，共20分。
北京顺风旅游公园过去5年的销售额资料如下：为了解未来旅游收入的变化趋势，请你作如下分析： 21. 计算历年的平均销售额及销售额平均增长量；（5分）22. 按几何法计算销售额的平均增长速度，并预测2008年的销售额；（5分） 23. 用表中数据拟合直线趋势方程；（8分） 24. 根据直线趋势方程预测2009年的销售额。
（2分）三、本题包括25-28四个小题，共20分。
某地区劳动部门欲了解下岗工人中女性所占比例，随机抽选了360名下岗工人，其中200名为女性。
根据上述资料完成下列问题：25. 求下岗工人中女性比例的点估计值；（3分） 26. 能否认为下岗工人中女性比例超过50%？显著性水平0.050.05( 1.64)αα==；（7分） 27. 以95%的置信度估计该地区下岗工人中女性比例的置信区间；0.095( 1.96)α=；（5分）28. 在上述估计中若置信度不变，估计误差控制在1%以内，问至少抽取多少下岗工人作为样本进行抽查？（5分）第二部分 选答题（满分40）（本部分包括第四、五、六、七题，每题20分，任选两题回答，不得多选。
多选者只按答对的前两题计分。
）四、本题包括29-32四个小题，共20分。
某市嘉华世纪培训学校调查该校6-12岁的学生家庭情况，共抽查了50名学生，对其家长的学历、收入、年试根据以上资料进行分析：29. 人均收入水平在3000元以上的家庭有多少个？占全部家庭的比重有多大？（4分）30. 人均收入水平最高的家庭有几户，占全部家庭的比重有多大？试分析该样本数据的分布特点；（3分） 31. 试计算每户人均收入；（8分）32. 若由过去资料知道标准差为874.86，试计算变异系数。
（5分）五、本题包括33-36四个小题，共20分。
某航空公司从三个学校推荐的学生中选择两名服务员，推荐名单中，东方 学校有8名男同学、7名女同学，育英学校有10名男同学，5名女同学，京华学校有6名男同学，9名女同学。
航空公司的人力资源部随机选择一个学校，然后再依次随机选择两名同学。
33. 若选到的是东方学校，求第一次选到女同学的条件下第二次选到男同学的概率；（3分）34. 若选到的是东方学校，求第一次、第二次都选到女同学的概率；（5分）35. 求第一次选到女同学的概率；（7分）36. 已知第一次选到女同学，求第二次仍选到女同学的概率。
（5分）六、本题包括37-40四个小题，共20分。
远达运输公司的研究发现，本公司每年用予汽车的保养费用与汽车的使用年限有关，通过对9辆汽车的了解37. 绘制汽车使用年限与年保养费用的散点图；（3分）38. 计算汽车使用年限与年保养费用的相关系数；（5分）b的实际意义。
（8分）39. 求汽车年保养费用对使用年限的回归方程，并解释回归系数140. 本公司有10辆汽车的使用年限明年达到13年，试预测明年的汽车保养总费用。
（4分）七、本题包括41-44四个小题，共20分。
捷天电子有限公司在2006年财务分析中发现公司总成本比上年度有较大幅度的增长，为了找出总成本增长的原因，他们拟利用指数体系进行分析。
请你根据所给的资料，进行一下分析：42. 以基期总成本为权数，计算产量总指数，以及产量变动对总成本的影响；（8分）43. 利用指数体系，计算单位成本总指数，以及单位成本变动对总成本的影响；（5分）44. 利用指数体系，分析产量和单位成本变动对总成本的影响。
（4分）2009年1月数量方法试题参考答案一、 单项选择题1、B2、D3、无答案（应是Me=2.25）4、B5、C6、D7、C8、A9、C 10、A 11、C 12、D 13、B 14、B 15、A 16、D 17、D 18、B 19、 20、B 二、21、解：因为是时数列所以445060687960.2(5x ++++==百万元）79448.754-∆==平均增长量（百万元） 22、 1.158115.8%G x ==== 115.8%115.8%=-=所以平均增长速度2200879 1.158105.94=⨯=年的销售额（百万元）23、5991153018.81222()55515n xy x y b x x -⨯-⨯∑∑∑===-⨯-∑∑01301158.88.860.24420.255y x b y b x n n ∑∑=-=-=-⨯=-= 20.28.8y x ∧=+所以所求回归方程为24、200920.28.8890.6(y =+⨯=百万元） 三、25、解：2000.56(360p p ∧===女性的比例） 26、0.5因为不在区间内，说明女性的下岗比例超过50%。
27、20.56 1.960.560.051(0.5090.611)p p p z Q α=±=±=±⇒-女性比例的估计区间：28、222 1.960.496)()9450(0.01Qz α⨯===∆样本容量（人） 四、29、170.3434%50==人均3000元以上家庭有17户，其比例为：p= 30、220.044%50==人均收入最高的有户，其比例为：p= 人均收入在2000-3000之间居多数。
31、35002660xfx f=+=∑∑每户人均收入为：32、874.860.322660Q x V x=== 五、33、设第一次取到女同学为A ，第二次取到男同学为B ，48B/A 147=所以P （）=34、12A A 设第一次取到女同学为，第二次取到女同学为12121761P A A P(A )P(A /A )==15145=⨯所以（） 35、设第一次取到女同学为A ，2120212477()45444544165P A ∴=⨯+⨯= 36、设第一次取到女同学为A ，第二次取到女同学为B22/()21201652145(/)0.4577()454477165C C P AB P B A P A ⨯∴===⨯=⨯六、37、散点图（略） 38、相关系数：...(r ==略）39、...(122()n xy x yb n x x -∑∑∑==-∑∑略） 01...b y b x =-=（略）40、求出回归方程后，以x=3代入回归方程即可。