非正弦周期函数的有效值和平均功率
合集下载
29第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算(课堂PPT)
uL _ c LuC_ C
d
40.03cos(71t) 31.12cos(91t) V
求电流 i 和电阻吸收的平均功率P 。
解：电路中的非正弦周期电压已分解为傅立叶级数形式。
电流相量一般表达式为：
•
•
•
I m(k)
U sm(k )
Z k1
U sm( k )
R jk1L j
根据迭加定理，按k=1，2，…的顺序，依次求解如下：
第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算
§１３－５ 对称三相电路中的高次谐波 重点：
１、有效值、平均值和平均功率 ；
２、非正弦周期电流电路的计算 。
1
一、知识回顾
１、非正弦周期信号 ２、傅里叶级数
2
１、非正弦周期信号
（１）、非正弦周期信号
1
k1C
14
Z k1 3
j 0.429k
21 k
31
j 0.143k
7 k
(k )
arctan 0.143k
7 k
(阻抗角)
•
I m(k)
1 3
c
os(
k
)
•
U
sm
(
k
)
(k)
P(k )
1 2
I2 m(k )
•R
1.5
I
2 m
(
k
)
k 1
(1) 81.70 o (容性)
•
I m(1) 13.47 81.70 o A P(1) 272 .33W
（２）、谐波分析法
a、傅里叶级数的分解 b、应用叠加定理分别计算各项 c、叠加得到响应
第13章 非正弦周期电流电路 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率
5
)
周期性方波波形分解 直流分量 t
三次谐波
基波 t
五次谐波 七次谐波 t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
iS
Im
t
T/2 T
等效电源
i i i IS0
s1
s3 s5
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5
t
)
IS0
is1
T/2 T/4
O T/4
T/2 t T/2 t T/2 t
13.3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
(1)正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。
2
0 sin ktd(t) 0
k整数
2
0 cos ktd(t) 0
（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
1
31C
3 106
is131000103100s12in
3 106 t 0.33 K
31L 3 106 103 3kΩ
Z (31 )
(R R
jXL3)( j( XL3
jXC3) XC 3)
374.5
89.190
U 3
IS3 Z(31 )
)
(R R
jXL5)( jXC5) j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
U 5 I5s Z (51 ) 20 106
)
周期性方波波形分解 直流分量 t
三次谐波
基波 t
五次谐波 七次谐波 t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
iS
Im
t
T/2 T
等效电源
i i i IS0
s1
s3 s5
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5
t
)
IS0
is1
T/2 T/4
O T/4
T/2 t T/2 t T/2 t
13.3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
(1)正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。
2
0 sin ktd(t) 0
k整数
2
0 cos ktd(t) 0
（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
1
31C
3 106
is131000103100s12in
3 106 t 0.33 K
31L 3 106 103 3kΩ
Z (31 )
(R R
jXL3)( j( XL3
jXC3) XC 3)
374.5
89.190
U 3
IS3 Z(31 )
)
(R R
jXL5)( jXC5) j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
U 5 I5s Z (51 ) 20 106
1非正弦周期量的有效值
63非正弦周期电流电路的分析rc1010100101010089159图62例63图二次谐波u单独作用时rc并联电路对二次谐波的复阻抗为电阻电压二次谐波的极大值相量851599010rcrc2m63非正弦周期电流电路的分析电阻电压二次谐波的极大值相量851599010rcrc2m9453sin53rc1010101063非正弦周期电流电路的分析电阻电压四次谐波的极大值相量为7990rc4m92026sin026t的直流分量二次谐波和四次谐波叠加得sin026sin53cos026cos5363非正弦周期电流电路的分析上述分析表明交流分量的响应所占的比例甚小谐波次数越高响应分量的比例越小
70 40 U 1002 V 115.1V 2 2
2 2
6．2．2 非正弦周期量的平均值
1. 平均值 非正弦周期函数的平均值定义为周期函数在一个周期内的绝对值的平 均值。周期电流的平均值为 1 T I av i (t ) dt T 0 同样，周期电压的平均值为 2. 周期量的测量 对于同一非正弦量，当我们用不同类型的仪表进行测量时，就会得出 不同的结果。 （1）如用磁电系仪表测量，其读数为非正弦量的直流分量； （2）如用电磁系或电动系仪表测量，其读数为非正弦量的有效值。 （3）如用全波整流磁电系仪表测量，其读数为非正弦量的绝对平均值。
非正弦信号可分为周期性的和非周期性的两种。含有周期性非正弦信 号的电路，称为非正弦周期性电流电路。
6．1非正弦周期量的产生和分解
(a)方波
(b)脉冲波 图6.1非正弦周期波形
(c)锯齿波
2. 非正弦周期量的分解 将非正弦电压（电流）分解为一系列不同频率的正弦量之和，然后对 不同频率的正弦量分别求解，再根据线性电路的叠加原理进行叠加，就可 以得到电路中实际的稳态电流和电压。这就是分析非正弦周期电流电路的 基本方法，称为谐波分析法。 实质上就是把非正弦周期电路的计算化为一系列正弦电路的计算 设周期函数f（t）的周期为T，角频率ω＝2π/T，则其分解为傅里叶级 数为
70 40 U 1002 V 115.1V 2 2
2 2
6．2．2 非正弦周期量的平均值
1. 平均值 非正弦周期函数的平均值定义为周期函数在一个周期内的绝对值的平 均值。周期电流的平均值为 1 T I av i (t ) dt T 0 同样，周期电压的平均值为 2. 周期量的测量 对于同一非正弦量，当我们用不同类型的仪表进行测量时，就会得出 不同的结果。 （1）如用磁电系仪表测量，其读数为非正弦量的直流分量； （2）如用电磁系或电动系仪表测量，其读数为非正弦量的有效值。 （3）如用全波整流磁电系仪表测量，其读数为非正弦量的绝对平均值。
非正弦信号可分为周期性的和非周期性的两种。含有周期性非正弦信 号的电路，称为非正弦周期性电流电路。
6．1非正弦周期量的产生和分解
(a)方波
(b)脉冲波 图6.1非正弦周期波形
(c)锯齿波
2. 非正弦周期量的分解 将非正弦电压（电流）分解为一系列不同频率的正弦量之和，然后对 不同频率的正弦量分别求解，再根据线性电路的叠加原理进行叠加，就可 以得到电路中实际的稳态电流和电压。这就是分析非正弦周期电流电路的 基本方法，称为谐波分析法。 实质上就是把非正弦周期电路的计算化为一系列正弦电路的计算 设周期函数f（t）的周期为T，角频率ω＝2π/T，则其分解为傅里叶级 数为
电路原理10.3.1非正弦周期电流电路的功率 - 非正弦周期电流电路的功率,非正弦周期电流电路的计算
+
i(3)
U R
uab uab(0) + uab(1) + uab(3)
[(U + 110 2)sin(t - 90o ) + 110 2 sin(3t - 180o )]V
由功率表读数，可得
P I 2R (U )2 R U 2
R
R
U PR 220 2 V
uab [330 2 sin(t - 90o ) + 110 2 sin(3t -180o )]V
k 1
k 1
U0 I0 + U0 Ikmcos(k1t + ik ) + I0 Ukmcos(k1t + uk )
k 1
k 1
i
+ Ukmcos(k1t + uk ) Ikmcos(k1t + ik )
+
k 1
k 1
u
N
该一端口吸收的平均功率定义为 P 1
T
p(t )dt
T0
-
P
I
0(0)
2A
I&1(1) I&2(1)
18.55 - 21.8o 5.5556.31o A
A
I&0(1)
20.43
-
6.38o
A
I&1(3) I&2(3)
6.4 - 20.19o A 4.4756.57o A
I&0(3)
8.6110.17o
A
把以上求得的基波分量、三次谐波分量化为瞬时值，属于同一
返回 上页 下页
非正弦周期电流电路
u(3) 70.7cos(31t + 30o )V，XL(1) 2Ω，XC(1) 15Ω，R1 5，R2 10
电路与电工基础项目6.3 非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率
i(t) I0 Inm sin(nt in ) n 1
当电压、电流取关联参考方向时，则此二端口 吸收的瞬时功率为
8
pt utit U0
1
Unm sinnt nu I0
1
Inm sinnt ni
模块六 非正弦周期电流电路
•项目6.1 非正弦周期量 •项目6.2 非正弦周期量的谐波分析 •项目6.3 非正弦周期量的有效值、平均 值 和平均功率 •项目6.4 非正弦周期电流电路的计算
1
模块六 非正弦周期电流电路
【知识目标】 了解非正弦周期量分解为傅立叶级数的方法，了解 频普的概念。掌握应用谐波分析法计算非正弦周期电流 电路。掌握非正弦周期电流电路中的有效值、平均值以 及有功功率的计算。了解波形因数和不同测量仪表读数 的含义。 【技能目标】 1．学会非正弦周期量的有效值、平均值、平均功率的 计算。 2．学会对非正弦周期电流电路的分析和计算方法。 【课时安排】6课时。
注意，非正弦周期量的有效值和最大值之间不 存在 1 的关系。
2
6
6.3.2 平均值、整流平均值
• 在工程实践中经常用到平均值的概念，以电
流 i 为例，其定义由下式表示：
T
Iav
1 T
T 0
Im
sint dt
4 T
4 0
s in tdt
0.637Im
0.898I
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值
• 电压和电流的有效值分别用相应的大写字 母U 、I 表示。 根据周期量有效值的定义，有效值
4
I 1 T i2d t
T0
将 i(t) 按照傅里叶级数形式展开，则有
当电压、电流取关联参考方向时，则此二端口 吸收的瞬时功率为
8
pt utit U0
1
Unm sinnt nu I0
1
Inm sinnt ni
模块六 非正弦周期电流电路
•项目6.1 非正弦周期量 •项目6.2 非正弦周期量的谐波分析 •项目6.3 非正弦周期量的有效值、平均 值 和平均功率 •项目6.4 非正弦周期电流电路的计算
1
模块六 非正弦周期电流电路
【知识目标】 了解非正弦周期量分解为傅立叶级数的方法，了解 频普的概念。掌握应用谐波分析法计算非正弦周期电流 电路。掌握非正弦周期电流电路中的有效值、平均值以 及有功功率的计算。了解波形因数和不同测量仪表读数 的含义。 【技能目标】 1．学会非正弦周期量的有效值、平均值、平均功率的 计算。 2．学会对非正弦周期电流电路的分析和计算方法。 【课时安排】6课时。
注意，非正弦周期量的有效值和最大值之间不 存在 1 的关系。
2
6
6.3.2 平均值、整流平均值
• 在工程实践中经常用到平均值的概念，以电
流 i 为例，其定义由下式表示：
T
Iav
1 T
T 0
Im
sint dt
4 T
4 0
s in tdt
0.637Im
0.898I
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值
• 电压和电流的有效值分别用相应的大写字 母U 、I 表示。 根据周期量有效值的定义，有效值
4
I 1 T i2d t
T0
将 i(t) 按照傅里叶级数形式展开，则有
第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算 PPT课件
布置作业
１、Ｐ３４１ １３－６ 思考题： １、Ｐ３４２ １３－７
１３－８ 预习：§１４－１ §１４－２
（３）、函数的对称性
偶函数、奇函数、镜对称函数
a、计时起点与相位的关系 b、计时起点与函数的奇偶性 c、傅里叶级数的收敛性
第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算 §１３－５ 对称三相电路中的高次谐波
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
U1m(0) 100V (直流分量) U1m(2) 3.55 175.21o V U1m(4) 0.171 177.69o V
§１３－５ 对称三相电路中的高次谐波
１、三类对称组：正序、负序和零序组。 ２、线电压中不含零序对称组谐波分量。 ３、星形负载中的情况（有无中线）。 ４、三角形负载中的情况
１、有效值 ２、平均值 ３、平均功率
１、有效值
任一周期电流 i 的有效值定义为：
I
1 T
T
0
i 2dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数：
i I0 Ikm cos(k1t k ) k 1
代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
I
1 T
T
0 [I0
Ikm cos(k1t k )]2 dt
1
k1C
Z k1 3
j 0.429k
21 k
31
j 0.143k
7 k
(k )
arctan 0.143k
7 k
(阻抗角)
•
I m(k)
1 3
c
os(
k
)
•
非正弦周期信号的分解及有效值、平均功率
k 1
k 1
式中： k uk ik
可见：非正弦周期电流电路的平均功率为直流分量的功率
与各次谐波单独作用时的平均功率之和。
同时可知：不同次的谐波电流与电压之间，只能构成瞬时 功率，不能构成平均功率。只有同次谐波的电流与电压之间， 才能既构成瞬时功率，又构成平均功率。
P181 [例6 －1] 求电动系电压表v、电 流表A和功率表W的读数。
解：电压表读数是u的有效值
U 102 (141.4)2 ( 28.28)2 102.5V
加，波形比较接近方波， 次谐波的叠加，更接近
但起伏较大
原方波，还有些小的起伏
方波电流信号的傅里叶级数为:
f
(t)
4Im
sin t
1 sin 3t
3
1 sin 5t
5
1 sin kt
k
其中k取奇数，取多少项为好依计算要求的精确度而定。
分解出来的各次谐波，随着 频率的增加振幅衰减。这种规律 体现在频谱图中。方波信号的频 谱图见右图。
内容简介
本教材理论推导从简，计算思路交待详细，概念述 明来龙去脉，增加例题数量和难度档次，章节分 “重计 算”及“重概念”两类区别对待，编排讲究逐步引深的 递进关系，联系工程实际，训练动手能力，尽力为后续 课程铺垫。借助类比及对偶手法，语言朴实简练，图文 印刷结合紧密，便于自学与记忆，便于节省理论教学时 数。适用于应用型本科及高职高专电力类、自动化类、 机电类、电器类、仪器仪表类、电子类及测控技术类专 业。
3
1 sin(5t)+...+ 1 sin(kt)+...]
5
k
名称
全波整 流波
波形图
傅立叶级数
非正弦周期函数的有效值和平均功率38页PPT
非正弦周期函数的有效值和平均功率
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
非正弦周期函数的有效值和平均功率
iS
Im 2
2Im
(s in t
1 sin 3t
3
iS
Im
1 sin 5t )
5
T/2 T
t
代入已知数据： Im 157 μA, T 6.28 μs
上页 下页
直流分量
I0
Im 2
157 2
78.5μA
基波最大值
I1m
2Im
2 157 3.14
100 A
三次谐波最大值 五次谐波最大值
iS3
C
3L 3106 103 3kΩ
＋ R
L u3
－
Z(3 ) (R jXL3)( jXC 3) 374.5 89.19
R j( XL3 XC 3)
U 3
IS 3
Z(3 )
33.3 106 2
90 374.5
89.19
12.47 179.2mV 2
上页 下页
（d）五次谐波作用 iS5 20sin(5106 t)A
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
周期性方波波形分解
直流分量
基波
t
t
三次谐波
五次谐波 t
七次谐波
上页 下页
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
直流分量+基波
直流分量
基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
上页 下页
iS
Im
T/2 T
t
等效电源
非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计算
T /2
0
ak
2
2
0
iS (t ) cos kt d (t )
2I m 1 sin kt 0 0 k
11
bk
Im
1
2
0
iS (t ) sin ktd(t )
1 ( cos k t ) 0 k
若k为偶数，bk=0
2I m 若k为奇数， bk k
2
0
k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值 设 i (t ) I 0 则有效值:
1 T 2 I i dt 0 T 1 T 0
1 I T 0
T
I
k 1
km
cos( k1t k )
T
I 0 I km cosk1t k dt k 1
k 1
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
9
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
式中：A0——直流分量
Akm cos( k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率
2
2 2 I 2 I I cos k t I cos k t 0 0 km 1 k 1 k dt km k 1 k 1
18
1 T 2 2 I I 0 I km cos 2 k1t k 2 I km I jm cosk1t k cos j1t j dt T 0 k 1 k , j 1 k j
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
k
)
其中:
A
0
： 恒定分量 (直流分量)
： 一次谐波。
A 1 m cos( t 1 )
也称为基波分量。
A km cos( k 1 t k )
k 2 ,3 , 4 ,
称为高次谐波（如2次谐波、3次谐波等等）。
二、 频谱(图):
(1) 幅度频谱： (2) 相位频谱：
A km k 1
(sin t
1 3
sin 3 t )
f(t) A
O
t
O
t
f1 ( t )
f 1 (t) 4 A /
4A
sin t
f 3 ( t) A
f3 (t )
4A
(sin t
1 3
sin 3 t
1 5
sin 5 t )
O
t
O
t
f (t ) f3 (t )
电容对低频电流有抑制作用, 电感对低频电流起分流作用。
12-6
付里叶级数的指数形式
一、 付里叶级数的指数形式：
付里叶级数的指数形式：
f (t )
其中：
ck 1 T
k
cke
jk 1 t
T
f (t )e
jk 1 t
dt
0
二、 说明：
因为： 且：
A km cos( k 1 t k ) 1 2 A km e
P
k 1
U k I k cos k Leabharlann pk ok
p
k o
k
第6章 非正弦周期信号电路
14
第 6 章 非正弦周期信号电路
15
第 6 章 非正弦周期信号电路
当k为奇数时， 当k为偶数时， 由此可得
16
第 6 章 非正弦周期信号电路
例 6.2 求图6.4所示周期信号的傅立叶级数展开式。
17
第 6 章 非正弦周期信号电路
图 6.4 例 6.2 图
18
第 6 章 非正弦周期信号电路
第 6 章 非正弦周期信号电路
第 6 章 非正弦周期信号电路
6.1 非正弦周期信号及分解 6.2 非正弦周期信号的频谱 6.3 非正弦周期信号的有效值、 平均值和平均功率 6.4 非正弦周期电路的计算
1
第 6 章 非正弦周期信号电路
6.1 非正弦周期信号及分解
6.1.1 非正弦周期信号 工程实际中经常遇到非正弦周期信号，如电子示波器中
47
第 6 章 非正弦周期信号电路
同理，电压平均值的表示式为 (6-10)
比较式(6-3)、(6- 6)、(6-9)可以看出，非正弦交流电路 中的直流分量、有效值和平均值是三个不同的概念，应加以 区分。
48
第 6 章 非正弦周期信号电路
例6.6 已知半波整流电压的最大值为150 V，若分别用电 磁式电压表、磁电式电压表和全波整流式电压表对其进行测 量，求各电压表的读数。
28
第 6 章 非正弦周期信号电路
画一个直角坐标，以谐波角频率kω为横坐标，在各谐波 角频率所对应的点上，作出一条条垂直的线叫做谱线。如果 每条谱线的高度代表该频率谐波的振幅，这样画出的图形称 为振幅频谱图，如图6.9所示。
29
第 6 章 非正弦周期信号电路
图 6.9 振幅频谱图
30
第 6 章 非正弦周期信号电路
第 6 章 非正弦周期信号电路
15
第 6 章 非正弦周期信号电路
当k为奇数时， 当k为偶数时， 由此可得
16
第 6 章 非正弦周期信号电路
例 6.2 求图6.4所示周期信号的傅立叶级数展开式。
17
第 6 章 非正弦周期信号电路
图 6.4 例 6.2 图
18
第 6 章 非正弦周期信号电路
第 6 章 非正弦周期信号电路
第 6 章 非正弦周期信号电路
6.1 非正弦周期信号及分解 6.2 非正弦周期信号的频谱 6.3 非正弦周期信号的有效值、 平均值和平均功率 6.4 非正弦周期电路的计算
1
第 6 章 非正弦周期信号电路
6.1 非正弦周期信号及分解
6.1.1 非正弦周期信号 工程实际中经常遇到非正弦周期信号，如电子示波器中
47
第 6 章 非正弦周期信号电路
同理，电压平均值的表示式为 (6-10)
比较式(6-3)、(6- 6)、(6-9)可以看出，非正弦交流电路 中的直流分量、有效值和平均值是三个不同的概念，应加以 区分。
48
第 6 章 非正弦周期信号电路
例6.6 已知半波整流电压的最大值为150 V，若分别用电 磁式电压表、磁电式电压表和全波整流式电压表对其进行测 量，求各电压表的读数。
28
第 6 章 非正弦周期信号电路
画一个直角坐标，以谐波角频率kω为横坐标，在各谐波 角频率所对应的点上，作出一条条垂直的线叫做谱线。如果 每条谱线的高度代表该频率谐波的振幅，这样画出的图形称 为振幅频谱图，如图6.9所示。
29
第 6 章 非正弦周期信号电路
图 6.9 振幅频谱图
30
第 6 章 非正弦周期信号电路
邱关源《电路》笔记及课后习题(非正弦周期电流电路和信号的频谱)【圣才出品】
第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱13.1 复习笔记一、非正弦周期函数的傅里叶分解1．周期函数分解为傅里叶级数设周期函数f（t）＝f（t＋kT）（k＝0，1，2…），T为周期。
若给定的f（t）满足狄里赫利条件，那么它就能展开成一个收敛的傅里叶级数，其数学表达式为其中，各个参数的表达式如下A0＝a0φk＝arctan（－b k/a k）2．周期函数的谐波定性分析定性判断周期函数存在哪些谐波成分，然后具体计算各次谐波的幅值与相位。
（1）f（t）为奇函数，即f（t）＝－f（－t），f（t）的展开式中只能含有奇函数，即（2）f（t）为偶函数，即f（t）＝f（－t），f（t）的展开式中只含有偶函数，即（3）f（t）为奇谐波函数，即f（t）＝－f（t±T/2），f（t）的展开式中只含奇次谐波，即（4）f（t）为偶谐波函数，即f（t）＝f（t±T/2），f（t）的展开式中只含直流分量和偶次谐波，即二、有效值、平均值和平均功率1．非正弦周期电流电路的有效值和平均值设非正弦周期电流其有效值、平均值的计算方法如表13-1-1所示。
表13-1-1注：①非正弦周期电流平均值等于此电流绝对值的平均值；②正弦量平均值I av＝0.898I。
2．非正弦周期电流电路的功率计算（1）非正弦周期电流电路的瞬时功率为（2）非正弦周期电流电路的平均功率为其中，φk＝φuk－φik，k＝1，2…。
即平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和。
（3）非正弦周期电流电路的视在功率：S＝UI。
三、非正弦周期电流电路的计算在非正弦周期激励电压、电流或外施信号作用下，分析和计算线性电路的方法，主要利用傅里叶级数展开法——谐波分析法。
计算步骤：（1）把已知的非正弦周期电压u（t）或电流i（t）展开成傅里叶级数，高次谐波取到哪一项，要根据所需准确度的高低而定；（2）应用叠加定理对直流分量和各次谐波分量单独作用计算；（3）将第二步所得结果在时域中进行叠加，即得最后所需要的结果。
电工基础第八章 非正弦周期电流电路
3.视在功率
非正弦电流电路的视在功率定义为电压和电流有效值的乘积，即
S UI U02 U12 ... Uk2 ... I02 I12 ... Ik2 ...
注意:视在功率不等于各次谐波视在功率之和。
第四节 非正弦周期电流电路的分析
非正弦周期电路稳态电路的分析计算采用谐波分析法。 其理论依据是线性电路的叠加定理。
交流量的平均值，也称绝对平均值或整流平均值。即
Irect
1 T
T
i dt
0Leabharlann 1T Urect T
u dt
0
第三节 非正弦周期电流电路中的有效值、平均值、平均功率
三、非正弦电流电路的功率
1.平均功率（有功功率） 根据平均功率的定义式:
P 1
T
p(t)dt
T0
可得非正弦电流电路的平均功率为
f (t) a0 (a1 cost b1 sin t) (a2 cos 2t b2 sin 2t) ...
(ak cos kt bk sin kt)
a0 (ak cos kt bk sin kt) k 1
a0
,
a k
,
bk
为傅里叶系数，可按下面各式求得
第四节 非正弦周期电流电路的分析
例８－3 已知图中u（t）=［１0+100 2 sint+50 2 sin（3t+30）］V，
L=2，1/C=15，
R1=5， R2=10 。
求:各支路电流及它们
的有效值；
电路的有功功率。
图8-4 例8-3图
第四节 非正弦周期电流电路的分析
解：因为电源电压已分解为傅里叶级数，可直接计算各次谐波作用下的
非正弦电流电路的视在功率定义为电压和电流有效值的乘积，即
S UI U02 U12 ... Uk2 ... I02 I12 ... Ik2 ...
注意:视在功率不等于各次谐波视在功率之和。
第四节 非正弦周期电流电路的分析
非正弦周期电路稳态电路的分析计算采用谐波分析法。 其理论依据是线性电路的叠加定理。
交流量的平均值，也称绝对平均值或整流平均值。即
Irect
1 T
T
i dt
0Leabharlann 1T Urect T
u dt
0
第三节 非正弦周期电流电路中的有效值、平均值、平均功率
三、非正弦电流电路的功率
1.平均功率（有功功率） 根据平均功率的定义式:
P 1
T
p(t)dt
T0
可得非正弦电流电路的平均功率为
f (t) a0 (a1 cost b1 sin t) (a2 cos 2t b2 sin 2t) ...
(ak cos kt bk sin kt)
a0 (ak cos kt bk sin kt) k 1
a0
,
a k
,
bk
为傅里叶系数，可按下面各式求得
第四节 非正弦周期电流电路的分析
例８－3 已知图中u（t）=［１0+100 2 sint+50 2 sin（3t+30）］V，
L=2，1/C=15，
R1=5， R2=10 。
求:各支路电流及它们
的有效值；
电路的有功功率。
图8-4 例8-3图
第四节 非正弦周期电流电路的分析
解：因为电源电压已分解为傅里叶级数，可直接计算各次谐波作用下的
13.3 有效值、平均值和平均功率
③将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
返回 上页 下页
2. 计算举例
例1 方波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000pF Im 157μA、 T 6.28μs
iS
R C
u
解 (1) 方波信号的展开式为：
L
iS
Im 2
2Im π
(sin t
1 sin 3t
μA
1
1
0.33k
31C 3106 1000 1012
iS 3
R C
u
31L 3106 103 3kΩ
L
Z
(31)
(R R
jXL3)( j( XL3
jXC 3) XC 3)
374.5
89.190
U3
IS 3
Z
(31 )
33.3
sin
5
106 t
μA
（2） 对各次谐波分量单独计算：
（a) 直流分量 IS0 作用
IS0 78.5μA
IS0
Ru
电容断路，电感短路
U0 RIS0 20 78.5106 1.57mV
返回 上页 下页
（b)基波作用 is1 100sin106t μA
1
1
1kΩ
1C 106 1000 1012
1
T
T 0
I
2 km
cos2 (k1t
k
)dt
1 2
2 0
I
2 km
cos 2
(k1t
返回 上页 下页
2. 计算举例
例1 方波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000pF Im 157μA、 T 6.28μs
iS
R C
u
解 (1) 方波信号的展开式为：
L
iS
Im 2
2Im π
(sin t
1 sin 3t
μA
1
1
0.33k
31C 3106 1000 1012
iS 3
R C
u
31L 3106 103 3kΩ
L
Z
(31)
(R R
jXL3)( j( XL3
jXC 3) XC 3)
374.5
89.190
U3
IS 3
Z
(31 )
33.3
sin
5
106 t
μA
（2） 对各次谐波分量单独计算：
（a) 直流分量 IS0 作用
IS0 78.5μA
IS0
Ru
电容断路，电感短路
U0 RIS0 20 78.5106 1.57mV
返回 上页 下页
（b)基波作用 is1 100sin106t μA
1
1
1kΩ
1C 106 1000 1012
1
T
T 0
I
2 km
cos2 (k1t
k
)dt
1 2
2 0
I
2 km
cos 2
(k1t
有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算
最后按时域形式迭加为：
i 13.47cos(1t 81.70o ) 14.47cos(31t 62.30o )
15.41cos(51t 34.41) ...
P P(1) P(3) P(5) P(9) 1337 .63W
２、举例：例１３－３
例13-3 图示电路中L=5H，C=10µF，负载电阻R=2KΩ，电源us
p ui [U0 Ukm cos(k1t uk )][I0 Ikm cos(k1t ik )]
k 0
k 0
式中u、i取关联参考方向。
平均功率为：
不同频率的正弦电压和电流
P
1 T
T
0
pdt
乘积的积分为零（即不产生平均 功率）；同频的正弦电压、电流 乘积的积分不为零。
P U0 I0 U1I1 cos 1 U2 I2 cos 2 Uk Ik cos k
uL _ c LuC_ C
d
40.03cos(71t) 31.12cos(91t) V
求电流 i 和电阻吸收的平均功率P 。
解：电路中的非正弦周期电压已分解为傅立叶级数形式。
电流相量一般表达式为：
•
•
•
I m(k)
U sm(k )
Z k1
U sm( k )
R jk1L j
根据迭加定理，按k=1，2，…的顺序，依次求解如下：
（３）、函数的对称性
偶函数、奇函数、镜对称函数
a、计时起点与相位的关系 b、计时起点与函数的奇偶性 c、傅里叶级数的收敛性
第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算 §１３－５ 对称三相电路中的高次谐波
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2. 计算举例 例1
方波信号激励的电路。求u, 已知： R 20、 L 1mH 、C 1000 pF I m 157 μA、 T 6.28s
＋
iS
C
R L
u
－
解 （1）已知方波信号的展开式为： Im 2Im 1 iS (sin t sin 3t 2 3 1 sin 5t ) 5
电容断路，电感短路:
R
6
＋ U0 －
U 0 RI S 0 20 78 .5 10 1.57 mV
（b）基波作用 i S 1 (100 sin 10 t )A
6
＋
1 1 6 1k 12 C 10 1000 10
iS1
C
R L
u1
－
L 10 10 1k
0 Im cos(kt ) 0 2 I m k k
K为偶数
K为奇数
上 页 下 页
ak
2
2
0
i S (t ) cos(kt ) d (t )
2Im sin( kt ) 0 0 k
i S 的展开式为：
Im 2Im 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5t ) 2 3 5
（2） 对各次谐波信号分别应用相量法进行分析计算；
注意：将表示不同频率正弦电流相量或电压相量 （a）对于直流分量作用时 C 相当于开路、L 相于短路; 直接相加是没有意义的。
（b）在各次谐波频率单独作用下的 XL、XC 不同。 （3） 将以上计算结果转换为正弦量； （4） 对时域正弦量进行迭加。
上 页 下 页
I
2 2 I0 Ik k 1
2 2 2 I 0 I1 I 2
上 页
下 页
3. 非正弦周期函数的平均值
若
i ( t ) I 0 I k m cos(kt k )
k 1
则其平均值为：
I av
1 T
T
0
i ( t ) dt
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。
按上式可求得正弦电流的平均值为：
I av
1 T
T
0
4Im I m cos(t ) dt T
T 4 0
T 4 0
cos(t )dt
4Im [sin(t )] 0.637 I m 0.898 I T 它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
k 1
I0 [ I k m cos(kt k )]2 2 I 0 I k m cos(kt k ) 2 I k m I p m cos(kt k ) cos( pt p )
上 页
下 页
利用三角函数的性质：
1 T
T
0
2 2 I 0 dt I 0
1 T 2 1 2 2 2 I k m cos ( kt k )dt I k m I k T 0 2 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分 1 T 0 2 I 0 I k m cos(kt k )dt 0 T 量有效值平方和的平方根。 1 T 0 2 I k m I p m cos(kt k ) cos( pt p )dt 0 T ( k p)
（c）三次谐波作用 i S 3
100 sin( 3 106 t )A 3
＋
1 1 0.33k 6 12 3C 3 10 1000 10
iS 3
C
R L
u3
－
3L 3 106 103 3kΩ
( R jX L 3 )( jX C 3 ) Z ( 3 ) 374.5 89.19 R j ( XL 3 XC 3 )
上 页 下 页
bk k arctan( ) ak
系数的计算
1 A0 a0 T ak
T
0
f ( t )dt
1
2
0
f ( t ) cos(k1t ) d (1t )
bk
1
2
0
f ( t ) sin( k1t ) d (1t )
求出A0、ak、bk便可得到原函数 f (t) 的展开式。
T/2
T
上 页
t
下 页
例
解
周期性方波信号的分解
图示矩形波电流在一个周期内 的表达式为：
iS
Im
T/2 T t
I m i S (t ) 0
T 0 t 2 T t T 2
Im 1 T 1 T /2 直流分量： I 0 0 i S (t ) dt T 0 I m dt 2 T 1 2 谐波分量： bk 0 i S (t ) sin( kt )d (t )
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
( k uk ik )
U 0 I 0 U1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2
P0 P1 P2 Nhomakorabea上 页下 页
13.4 非正弦周期交流电路的计算
1. 计算步骤
（1） 利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干项不 同频率的谐波信号；
k 1
上 页 下 页
f ( t ) A0 Akm cos(k1t k )
k 1
也可表示成：
f (t ) a0 [ak cos(k1t ) bk sin( k1t )]
k 1
系数之间的关系为
A0 a0
2 2 Akm a k bk
a0 A0 a k Akm cos k bk Akm sin k
第十三章 非正弦周期电流电路
重点
1. 周期函数分解为傅里叶级数 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率 3. 非正弦周期电流电路的计算 4. 滤波器电路
下 页
13.1 非正弦周期信号
在实际应用中不一定都是正弦电路，经常会遇到非正 弦周期的电源和信号。在电子技术、自动控制、计算机和 无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦 波形。 如果电路存在非线性元件，即使电源或信号源是正弦 信号，电路中也将产生非正弦的周期电压和电流。
iS 5
C
R L
u5
－
5L 5 106 103 5kΩ
( R jX L5 )( jXC 5 ) Z (5 ) 208.3 89.53 R j ( XL5 XC 5 )
Im
矩形波的频谱图
T/2
T
t
o
3 5 7
Im 2Im 1 1 iS [sin t sin 3t sin 5t ] 2 3 5
为了表示一个周期函数分解为傅立叶级数后包含哪 些频率分量以及各分量所占的比重，可用长度与各次谐 波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依 次排列起来，成为幅度频谱（线频谱）。
直流分量+基波 直流分量
基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
上 页 下 页
等效电源
iS
Im
T/2
T
t
IS0
iS1
iS 3
iS 5
Im 2Im 1 1 iS [sin t sin 3t sin 5t ] 2 3 5
IS0
iS1
iS 3
iS 5
上 页 下 页
Akm
iS
上 页 下 页
利用函数的对称性可简化系数的确定
f (t)
（1）偶函数
f (t ) f ( t )
（2）奇函数
bk 0
－T/2
f (t)
T/2
t
f (t ) f ( t )
ak 0
－T/2
f (t)
T/2
t
（3）奇谐波函数
T f (t ) f (t ) 2
a2 k b2 k 0
电流源各频率的谐波分量为：
I S 0 78.5A
i S 1 100 sin 106 t A
i S 3 33.3 sin( 3 106 )t A
i S 5 20 sin( 5 106 )t A
上 页 下 页
（2） 对各种频率的谐波分量单独计算 （a）直流分量 IS0 作用 I S 0 78.5A IS0
上 页
下 页
4. 非正弦周期交流电路的平均功率
u( t ) U 0 U k m cos(kt uk )
k 1
i ( t ) I 0 I k m cos(kt i k )
k 1
1 T P u idt T 0 平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率 利用三角函数的性质，得：
33.3 106 U 3 I S 3 Z ( 3 ) 90 374.5 89.19 2 12.47 179.2 mV 2
上 页
下 页
6 （d）五次谐波作用 i S 5 20 sin( 5 10 t )A
＋
1 1 0.2k 6 12 5C 5 10 1000 10
6 3
XL>>R
Z ( )
( R jX L ) ( jX C ) X L X C L 50k R j( X L X C ) R RC
100 106 5000 3 I Z ( ) U1 90 50 10 90 mV S1 2 2 上页 下页