2018年秋九年级数学图形的相似23.3相似三角形23.3.2相似三角形的判定1作业课件新版华东师大版
23.相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定PPT课件(华师大版)
=
20°，
求∠CAE 的大小.
A
解： AB BC AC ，
AD DE AE
E
∴ △ABC ∽ △ADE.
D
∴ ∠BAC =∠DAE.
B
C
又∠DAC 是公共角，
∴ ∠CAE = ∠BAD = 20°.
课堂小结
类似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相 等的两个三角形类似.
类似三角形的判定定理3 三边成比例的两个 三角形类似.
类似三角形的判定定理2、3的推导过程，掌握 类似三角形的判定定理2、3并能灵活应用.
• 学习难点：
类似三角形的判定定理的推导及应用.
新课导入
现在要判断两个三角形类似有哪几种方法？ 有两种方法：（1）根据定义；（2）两角分 别相等的两个三角形类似.
探索
视察教材图23.3.10，如果
C
有一点 E 在边 AC上移动，那么 B
∴ △ADE ≌ △A1B1C1.
∴ △ABC ∽ △A1B1C1.
类似三角形的判定定理2 两边成比例且 夹角相等的两个三角形类似.
例4 证明图中△AEB 和 △FEC 类似.
证明
AE = 54 = 1.5， B FE 36
BE = 45 = 1.5，
45
CE 30
AE = BE .
FE CE
谢谢欣赏
第2课时 类似三角形的判定（2）
华东师大版 九年级数学上册 上课课件
• 学习目标：
1. 掌握类似三角形的判定定理2：两边成比例且 夹角相等的两个三角形类似；
2. 掌握类似三角形的判定定理3：三边成比例的 两个三角形类似.
3. 能根据条件，灵活应用类似三角形的判定定 理，正确判断两个三角形类似.
23.3.2 相似三角形的判定——利用角的关系 华师大版数学九年级上册课件
（来自教材）
知1－导
2、常见的相似三角形类型： (1) 平行线型：如图(1)，若DE∥BC，则，△ADE∽△ABC. (2) 相交线型：如图(2)，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC. (3)“子母”型：如图 (3)，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.
我们在判断两个三角 形全等时，使用了哪 些方法？判定三角形 相似是否有类似的方
法？
知1－导
让我们先从最常见的三角尺开始. 观察你和同伴的直角三角尺，同样角度（30°与 60°，或45°与45°)的三角尺看起来是相似的.这样 从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角 形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实 是这样吗？
知1－导
知识点 1 用两角对应相等判定两三角形相似
回顾
你还记得八年级上学期学习全等三角形的判定时，曾就
边与角分类考察的几种不同情况吗？它们是:两边一角，两角
一边，三角，三边.从这几种情况出发，我们得到了一些重要
的判定三角形全等的方法. 那么，对于相似三角形的判定，是否
也存在类似的分 类与判定方法呢？
知识点 2 判定两直角三角形相似
知2－讲
【例2】 如图23.3.8，在Rt△ABC和Rt△A ′ B ′ C ′中， ∠C
与 ∠C ′都是直角， ∠ A = ∠ A ′ .
求证： △ABC ∽ △A ′ B ′ C ′.
证明：∵ ∠C= ∠C ′=90°. ∠A=∠A′，
∴△ABC ∽ △A ′ B ′ C ′ （两角分别相等的两个三角
∠3＝∠B＋∠1，∠FAD＝∠4＋∠2，根据已知条件可 得到∠3＝∠FAD，∠1＝∠2，从而得到∠B＝∠4，可 得△ABF∽△CAF.
23.3相似三角形(1)平行线判定三角形相似
由相似三角形对应边成比例及
DP＝AD－AP 即可求得 AP 的长．
解：∵∠A＝∠D，∴AB∥CD. ∴△ABP∽△DCP. AP AB ∴DP＝DC. 8 80 AP ∵AB＝8，CD＝14，AD＝20，∴ ＝ .∴AP＝11. 20－AP 14
例题解析
例2
如图，在△ABC中，点D是边AB三等分点， DE∥BC,DE=5，求BC的长。 A
②过点D作DF∥AC交BC于F点。 ∵DE∥BC， ∴DECF是平行四边形， ∴CF=DE ∵DE∥BC，
AE AD AC AB
又∵DF∥AC CF AD AB BC 而CF=DE
又∵
AD AE AB AC
F
DE AD AE BC AB AC
而∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C. ∴△ADE∽△ABC
在相似多边形中，最简单的是相似三角形。
1、相似三角形：对应边成比例、对应角相等 的三角形
读作“相似于”。
A 如图，两个三角形相似， 记作：
是相似三角形。相似用符号“∽”来表示，
A'
ABC ∽ A ' B ' C '
读作：
C B
B'
C'
ABC 相似于A ' B ' C '
2、相似比：相似三角形对应边的比叫做
知识点 2 利用平行线判定三角形相似
平行于三角形一边的直线，和其他两边 （或两边的延长线）相交所构成的三角形与 原三角形相似． D A E A D B “A”字形 E B C C “X”字形
∵DE∥BC, ∴△ADE∽ △ABC ∵DE∥BC, ∴△ADE∽ △ABC
【跟踪训练】 1．如图 27-2-4，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别与 AB，
23.3.2相似三角形的判定(2)
23.3.2相似三角形的判定（2）（重点练）一、单选题1．（2018·江苏）如图，已知是P 是△ABC 的边AB 上一点，则在下列四个条件中，不能作为判定△ACP 与△ABC 相似条件的是 （ ）A ．∠ACP =∠B B ．∠A PC =∠ACB C ．AP AC AC AB =D ．CP AC BC AB=2．（2019·全国九年级单元测试）如图，在ABC V 中，D 、E 分别是边AC 、AB 上的点，下列命题中，假命题是（ ）A ．若AD DE AC BC =，则ADE V 与ABC V 相似B ．若AD AE DC EB =，则ADE V 与ABC V 相似C ．若AD AE AB AC =，则ADE V 与ABC V 相似D ．若ADE B Ð=Ð，则ADE V 与ABC V 相似3．（2019·合肥市金湖中学）如图，点D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，添加下列条件仍不能判断△ADE 与△ABC 相似的是( )A ．DE ∥BCB ．∠ADE=∠ACBC ．AD DE AB BC =D ．AD AE AC AB=4．（2021·叙州区双龙镇初级中学校九年级期末）如图，已知DAB CAE Ð=Ð，那么添加一个条件后，依然无法判定ABC D ∽ADE D （ ）A ．AED C Ð=ÐB ．D B Ð=ÐC ．AB AC AD AE =D ．AD DE AB BC=5．（2019·全国九年级期中）如图，已知ABC V 和DEC V 的面积相等，点E 在BC 边上，DE //AB 交AC 于点F ，AB 6=，EF 4=，则DF 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．（2018·全国九年级单元测试）如图，要判定ABC V 与AED V 相似，欲添加一个条件，下列可行的条件有（ ）①::AE BE AD DC =；②::AE AD AC AB =；③::AD AC DE BC =；④180BED C o Ð+Ð=；⑤BED C Ð=Ð．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2019·山东）如图,在ABC D 中,60B Ð=°,3AB =,5BC =,将ABC D 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2020·酒泉市第二中学九年级期中）如图，要使ABC ACD D D :，需补充的条件不能是（ ）A ．ADC ACBÐ=ÐB ．ABC ACD Ð=ÐC ．AD AC AC AB =D ．AD BC AC DC×=×二、填空题9．（2021·湖北九年级期末）如图，在ABC V 与ADE V 中，90C AED =Ð=o ∠，点E 在AB 上，若只添加一个条件便能判定ABC DAE V :V ，则添加的条件是____．10．（2021·湖南）如图，点P 在ABC D 的边AC 上，要判断ABP ACB D D :，还请你添加一个条件：__________．11．（2021·全国九年级专题练习）如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①ABC V ；②CDB △；③DEB V ；其中能与ABC V 相似的是_________．（ABC V 除外）12．（2020·浙江杭州市·九年级期末）（1）把长为8cm 的线段进行黄金分割，较长线段的长是__________．（2）若点C 是线段AB 的黄金分割点，则AC BC=_________．（3）如图，////AD EF BC ，则图的相似三角形共有_______对．13．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在ABC V 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，试添加一个条件：_____，使得ADE V 与ABC V 相似．（任意写出一个满足条件的即可）14．（2021·全国九年级课时练习）如图，若()AB BC AC AD AE==，则BAC DAE V V ∽．15．（2021·全国九年级课时练习）ABC V 的三边长分别为6、8、12，111A B C △的三边长分别为2、3、2.5，222A B C △的三边长分别为6、3、4，则ABC V 与______相似．16．（2021·全国九年级专题练习）如图，△ABC 与△DEF 的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC __________△DEF （在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定不相似”）．17．（2021·全国九年级专题练习）如图，AC 与BD 相交于点O ，在△AOB 和△DOC 中，已知OA OB OD OC=，又因为________，可证明△AOB ∽△DOC ．18．（2020·全国九年级课时练习）如图：点M 是Rt ABC V 的斜边BC 上不与B 、C 重合的一定点，过点M 作直线截ABC V ，使截得的三角形与原ABC V 相似，这样的直线共有________条．19．（2018·全国九年级单元测试）如图，已知，90ACB ADC Ð=Ð=o ，3BC =，4AC =，要使ABC ACD V V ∽，只要CD =________．20．（2021·河南洛阳市·九年级期末）如图，在ABC V 与AEF V 中，AB AE =，BC EF =，B E Ð=Ð，AB 交EF 于点D ，给出下列结论．①AFC C Ð=Ð；②DF CF =；③ADE FDB △∽△；④BFD CAF Ð=Ð．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．21．（2020·湖南）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有_____对．22．（2021·河北）如图，在Rt△ABC的直角边AC上有一任意点P（不与点A、C重合），过点P 作一条直线，将△ABC分成一个三角形和一个四边形，则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有_____条．23．（2021·湖北黄石·九年级）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③4sin5BQPÐ=；④2BGEECFGS S=V四边形．正确序号是________．24．（2021·全国九年级专题练习）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是__．25．（2021·辽宁鞍山·）如图，AD BC ^，垂足为C ，BF BC ^，点P 为线段BC 上一动点，连接AP ，过D 作DE AP ^交BF 于E ，连接PE ，若4AC BC ==，1CD =，则PE 长的最小值为______．三、解答题26．（2021·全国九年级课时练习）如图，已知90,6,3,5,15,25B E AB BF CF DE DF Ð=Ð=°=====．求证：ABC DEF ∽△△．27．（2021·全国九年级课时练习）如图，D 、E 、F 分别是ABC V 的三边BC,CA,AB 的中点．求证：DEF ABC ∽△△．28．（2021·辽宁鞍山市·九年级期末）如图，将△ABC 绕点A 旋转得到△ADE ，连接BD ，CE ．求证：△ADB ∽△AEC ．29．（2021·浙江杭州·翠苑中学九年级）（1）如图1，在ABC V 中，75A Ð=°，80B Ð=°，25C Ð=°，请在图1中作一条直线，使得ABC V 被分成两个等腰三角形，并在图中标注出相应的角度．（2）如图2，在两个不相似的Rt ABC V 和Rt DEF △中，90C F Ð=Ð=°，60A Ð=°，70D Ð=°，直线a 和直线b 将ABC V 和DEF V 分别分为两个三角形，并使ABC V 的两部分能分别与DEF V 的两部分相似．请在图中作出直线a 和直线b ，并标注出相应的角度．30．（2021·全国九年级课时练习）如图，已知四边形1111A B C D ∽四边形2222A B C D ，问111A B C △与222A B C △相似吗？为什么？31．（2021·全国九年级专题练习）如图，已知点P 是边长为4的正方形ABCD 内一点，且PB ＝3，BF ⊥BP ，垂足是B ．请在射线BF 上找一点M ，使以点B 、M 、C 为顶点的三角形与△ABP 相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）32．（2020·全国九年级课时练习）如图，在△ABC 和△ADB 中，∠ABC ＝∠ADB ＝90°，AC ＝5，AB ＝4，当BD 的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？33．（2020·浙江九年级期末）如图，已知P 是菱形ABCD 中CD 边上一点，AP 交对角线BD 于点E ，将ADP D 沿AP 翻折得AFP D ，FP 交边BC 于点G ，//FP BD ．=；（1）求证：DE BGAP=，求FG的长．（2）若:1:3CP DP=，7。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。
在几何学中，相似三角形是一种重要的概念，它帮助我们理解和解决很多与三角形相关的问题。
本文将介绍相似三角形的判定方法以及它们的性质。
一、相似三角形的判定方法1. AAA判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形相似。
即如果两个三角形的各个内角对应相等（即对应角相等），那么它们是相似的。
2. AA判定法：如果两个三角形的两个内角分别相等，并且它们的对应边成比例，则这两个三角形相似。
即如果两个三角形的两个角对应相等，并且对应边成比例，那么它们是相似的。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一组对边成比例，并且其中一组对边夹角相等，则这两个三角形相似。
即如果两个三角形的两组对边成比例，并且夹角对应相等，那么它们是相似的。
二、相似三角形的性质1. 边长比：在相似三角形中，任意两对对应边的比值相等。
换句话说，如果两个三角形相似，那么它们的三条边的比值是相等的。
2. 高度比：在相似三角形中，任意两对对应高度的比值相等。
两个相似三角形的高度比等于对应边长比的倒数。
3. 面积比：在相似三角形中，任意两对对应面积的比值等于边长比的平方。
4. 角度比：在相似三角形中，任意一对对应角的比值相等。
换句话说，如果两个三角形相似，那么它们的三个角的比值是相等的。
5. 相似三角形的角平分线三等分：在相似三角形中，若一个角的两边与另一个角的两边成比例，则这两个角的角平分线相互平行。
6. 重心的性质：在相似三角形中，两个相似三角形的重心在同一直线上。
7. 相似三角形的垂心：在相似三角形中，两个相似三角形的垂心在同一直线上。
8. 相似三角形的外心：在相似三角形中，两个相似三角形的外心在同一直线上。
三、应用举例1. 比例问题：利用相似三角形的性质可以解决很多比例问题。
例如，已知一座塔的阴影与杆子的阴影的比值等于塔的高度与杆子高度的比值，通过相似三角形的比例关系可以求解塔的高度。
23.3.3 相似三角形的性质(5) 华东师大版数学九年级上册教案
23.3.3相似三角形的性质一、学情分析本班学生已经建立了学习小组，经历了很多合作学习的过程，所以学生参与有关性质探究活动的热情应该比较高，但是基于本班学生平常学习的状况，部分学生的逻辑推理能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力还有待提高，期待在小组学习中，通过互助学习解决这部分同学的困惑。
二、教案1、教材分析本节教学内容是本章的重要内容之一。
本节内容是在完成对相似三角形的判定条件进行研究的基础上，进一步探索研究相似三角形的性质，从而达到对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究。
从知识的前后联系来看，相似三角形可看作是全等三角形的拓展，相似三角形的性质研究也可看成是对全等三角形性质的进一步拓展研究。
另外相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，也是研究圆中线段关系的有效工具。
2、教学目标1．经历“直观感觉――尝试猜想――合情推理――知识应用”的活动过程，探索相似三角形的性质，并会用相似三角形的性质解决相应的数学问题。
2．通过运用相似三角形的性质解决简单问题，进一步发展合情推理能力和初步的逻辑推理能力。
3．在探究中，开发、培养学生的逻辑推理能力，进一步发展学生的探究意识。
3、重点难点重点：探索并掌握相似三角形的性质，并进行简单运用难点：探索相似三角形性质的过程。
4、授课类型：新授课5、学法指导运用观察猜想、合作探究、总结归纳等方法来解决问题6、教学课时：1课时7、教学过程（详案）个人智慧展示一、知识引入相似三角形有何性质？想一想：在三角形中，除了边，角，还有哪些量？思考: 如果两个三角形相似，那么以上这些量之间有什么关系呢？设计意图：本环节采用开门见山，以旧知识引入本节课的当分猜想：当两三角形相似时，相应高、中线、角平分线的比与相似比有什么关系？设计意图：引导学生对全等三角形的对应边和对应线段的比的分析，通过分析发现规律，并由此猜想相似三角形的相应，相似比满足吗？相似三角形面积的比等于相似比的平方设计意图：对相似三角形面积之比的证明既需要运用三角形面积公式，又需要运用相似三角形对应高之比与对应边之比等于相似比的结论，使新旧知识有机地结合在一起，增强了学，分别等于多少？设计意图：提升运用的给出，作为课后思考，鼓励学生整合所学习的知识，也体现了分层教学，照顾学有余力的同学。
华师大版数学九年级上册23.3《相似三角形的应用》参考教案
23.3.4 相似三角形的应用教学目标：知识与技能：会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度。
自己设计方案测量高度，体会相似三角形在解决问题中的广泛应用。
过程与方法：通过利用相似解决实际问题，进一步提高学生应用数学知识的能力。
情感态度价值观：让学生体会数学来源于生活，应用于生活，体验数学的功用教学重点：构建相似三角形解决实际问题。
教学难点：把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形解决。
教学准备：皮尺、测量标杆、电子白板课型：新授课教学过程：一、复习1. 相似三角形有哪些性质?2．如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF，(1) △DEF与△ABC相似吗?为什么?(2)假设DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少?二、例题讲解第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长。
人们从很早开场，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度。
例1:古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根长度的木棒O′B′，比拟棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝l，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB。
这实际上与上述问题是一样的。
例2．我军一小分队到达某河岸，为了测量河宽，只用简单的工具，就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一岸上选点B和C，使AB⊥BC，然后选点E，使EC⊥BC，用眼睛测视确定BC和AE的交点D，例1图例2图此时如果测得BD ＝118米，DC ＝61米，EC ＝50米，就能算出两岸间的大致距离AB 。
分析：如图23，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选定点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后，再选点E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D ．此时如果测得BD ＝118米，DC ＝61米，EC ＝50米，求两岸间的大致距离AB ．解 ：∵ ∠ADB ＝∠EDC ，∠ABC ＝∠ECD ＝90°，∴ △ABD ∽△ECD 〔如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似〕，∴CDBDEC AB =， 解得 CDECBD AB ⨯=7.966150118≈⨯=〔米〕．答：两岸间的大致距离为米．这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进展测量的方法．例3：如图23：D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且∠ADE ＝∠C ． 求证： AD·AB ＝AE·AC ． 证明∵ ∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ △ADE ∽△ACB 〔如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似〕．∴ABAEAC AD =， ∴ AD·AB ＝AE·AC ． 三、课堂练习1．到操场上用例1的方法测量旗杆的高，并与同伙交流看看计算结果是否大致上一样。
23.3.2相似三角形判定定理1
Ｄ Ｅ
例4、如图， △ABC中，D，E分别是AB，AC
上的点，且
AD AB AE AC
那么你能得出那些结论？
A
(1)△ADE∽ △ABC (2) ∠ADE=∠ABC (3)DE∥BC
D
E
DE AD (4) BC AB
B
C
作业： 1、如图1，已知DE // BC,则△ ADE ∽△ ABC
30 0 30 0
如图4-17,D,E分别是△ ABC边AB,AC上的点 ,DE∥BC. A （1）图中有哪些相等的角? （2）找出图中的相似三角形, D E 并说明理由; （3）写出三组成比例的线段.
B C
解:(1) ∵ DE∥BC
∴ ∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
(2) △ ADE∽ △ABC.
A’
(2 ） 是
E
E
B
C
B’
C’
A
D
C
(3) 否
是 ( 4 ) △ ACE与 △BCD相似吗？
判断正误：
1.有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似(√ ) 2.所有的直角三角形都相似。 （× ） 3.两个等腰直角三角形相似。 （ √ ） 4.顶角相等的两个等腰三角形相似. （√ ） 5. 有一个角相等的两个等腰三角形相似. （×）
C
B/
C/
例2、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角
三角形和原三角形相似。
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。 求证：ΔACD ∽ ΔABC ∽ ΔCBD 。 证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900， ∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。 同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。 C
九年级相似三角形知识点总结
九年级相似三角形知识点总结在九年级的数学课堂上，我们学习了很多与几何形状有关的知识，其中一个重要的内容就是相似三角形。
相似三角形是指两个具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在本文中，我们将对九年级相似三角形的知识点进行总结，希望能够帮助同学们更好地理解和应用这些知识。
1. 相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
如果两个三角形满足这两个条件，我们可以说它们是相似的。
2. 相似三角形的判定在判断两个三角形是否相似时，我们可以使用以下几种方法：（1）AA相似判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。
（2）SAS相似判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且有一个对应边的比例相等，则它们是相似的。
（3）SSS相似判定法：如果两个三角形的三条边的比例都相等，则它们是相似的。
通过掌握这些判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。
3. 相似三角形的性质相似三角形具有一些特殊的性质，这些性质对于解决与相似三角形相关的问题非常有帮助。
（1）相似三角形的对应边比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边之间的比例相等。
具体来说，如果两个三角形的对应边分别为a、b、c和d、e、f，那么有a/b=c/d=e/f。
（2）相似三角形的角度比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角度之间的比例相等。
具体来说，如果两个三角形的对应角度分别为A、B、C和A'、B'、C'，那么有A/A'=B/B'=C/C'。
（3）相似三角形的高线比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应高线之间的比例相等。
具体来说，如果两个三角形的对应边分别为a、b、c和d、e、f，那么有h(a)/h(d)=h(b)/h(e)=h(c)/h(f)，其中h(x)表示与边x相对应的高线的长度。
第23章 23.3 3.相似三角形的性质
A．9 C.12
B．10 D．13
8．某校计划在一块三角形的空地上修建一个面积最大的正方形水池，使
得水池的一边在△ABC的边BC上，△ABC中，边BC＝60m，高AD＝30m.
则水池的边长应为( B )Βιβλιοθήκη A．10mB．20m
C.30m
D．40m
9．(青海中考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝
13．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝ 40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形 EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与HG 的交点为M. (1)求证：AAMD ＝HBCG； (2)求这个矩形EFGH的周长． (1)证明：∵HG∥BC，∴△AHG∽△ABC.∵AM为△AHG的高，AD为△ ABC的高，∴AAMD ＝HBCG；
解：设△ABC的周长为x，则△ADE的周长为x－16.因为
AD AB
＝
AE AC
，∠EAD
＝∠CAB，所以△EAD∽△CAB，所以
x－16 x
＝
AD AB
＝
3 5
，解得x＝40，所以
△ABC和△ADE的周长分别是40和24.
7．如图，在△ABC中，EF∥BC，AEEB＝12，S梯形BCFE＝8，则S△ABC是( A )
5．(北京中考)如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点．若S△CMN ＝1，则S四边形ABNM＝ 3 .
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 12:46:07 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/52021/9/52021/9/5Sep-215-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/52021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021
华师大版-数学-九上-23.3.2 相似三角形的判定2 教案
23.3.2相似三角形的判定2教学目标：（一）教学知识点1．掌握三角形相似的判定方法2.3．2．会用相似三角形的判定方法2.3来判断、证明及计算．（二）能力训练要求1．通过自己动手并总结推出相似三角形的判定方法2.3，培养学生的动手操作能力，总结概括能力．2．利用相似三角形的判定方法进行判断，训练学生的灵活运用能力．（三）情感与价值观要求1．通过探索相似三角形的判定方法，体现数学活动充满着探索性和创造性．2．通过对判定方法的探索，发展学生思维的灵活性，进一步培养逻辑推理能力，领会分类思想．教学重点：相似三角形判定方法2.3的推导过程，掌握判定方法2.3并能灵活运用．教学难点：判定方法的推导及运用教学方法：探索——总结——运用法Ⅰ．创设问题情境，引入新课师：现在我们已经有两种方法可以判定两个三角形相似，一种是定义，一种是预备定理，除此之外，是否还有其他的办法来判定两个三角形相似？这一问题就是本节课我们需要研究的问题．Ⅱ．讲授新课师：下面我们只从边的方面去考虑．我们在学习全等三角形的判定方法中，也有只用边来进行判断的，即SSS公理．大家能不能用类比的方法，猜想只用边来判定三角形相似的方法呢？生：三边对应成比例的两个三角形相似．师：下面我们就来验证一下．1．相似三角形的判定方法2．师：前面两种判定方法我们都是只从角或只从边的方面去考虑的，下面我们要从两方面来考虑．还是要类比全等三角形的判定方法，在全等的判定方法中有ASA，SAS，AAS，其中ASA.AAS我们就不用考虑了，因为我们已经有判定方法2，下面来验证SAS，大家还是先猜想，然后再验证．生：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．师：好，下面我们还是由大家自己推导吧．请看投影片师：请大家按照上面的步骤进行，同时还要采取不同的组取不同的k值法．生：按照要求作出的△ABC与△A′B′C′中，有∠B=∠B′，∠C=∠C′，因此根据判定方法1可知，△ABC∽△A′B′C′．师：大家同意吗？生：同意．师：好，我们又探索出一个相似三角形的判定方法，即两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．2．相似三角形的判定方法3：三边对应成比例的两个三角形相似．投影片师：大家可以按照上面的步骤进行，这里的k由自己定，为了节约时间，请大家一个组取一个相同的k值，不同的组取不同的k值，好吗？生：好．师：经过大家的亲身参与体会，你们得出的结论是什么呢？生：结论为∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′△ABC∽△A′B′C′,理由是：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′B A AB ''=C B BC ''=A C CA '' 根据相似三角形的定义可知：△ABC ∽△A ′B ′C ′．师：其他组的同学的结论相同吗？生：相同．师：经过大家的探讨，我们又掌握了一种相似三角形的判定方法，即三边对应成比例的两个三角形相似．3．想一想师：下面验证SSA ，即两边对应成比例，其中一边的对角对应相等，这两个三角形相似吗？在全等三角形的判定中SSA 就不成立．大家还可以仿照上面的验证过程来进行推导，下面是小明和小颖分别画出的一个满足条件的三角形，由此你能得到什么结论？生：从上面的图中可以得出结论：有两边对应成比例，其中一边的对角相等的三角形不相似．4．做一做师：在这两节课中我们已经学完了一般相似三角形的判定方法，下面请大家总结一下有几种方法．5．议一议如图，△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？你有哪些判断方法？生：【答案】△ABC ∽△A ′B ′C ′．判断方法有．1．两角对应相等的两个三角形相似．2．两边对应成比例且夹角相等．3．定义法．Ⅲ．课堂练习依据下列各组条件，判定△ABC 与△A ′B ′C ′是不是相似，并说明为什么．（1）∠A =120°,AB =7 cm,AC =14 cm,∠A ′=120°,A ′B ′=3 cm,A ′C ′=6 cm,（2）AB =4 cm,BC =6 cm,AC =8 cm,A ′B ′=12 cm,B ′C ′=18 cm,A ′C ′=24 cm ．【答案】（1）∵C A AC B A AB ''='',37=37614= ∴C A AC B A AB ''='' 又∵∠A =∠A ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似）（2）∵B A AB ''=124=31，C B BC ''=186=31,C A AC ''=248=31 ∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC '' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（三边对应成比例，两三角形相似）Ⅳ．课时小结本节课主要探讨了相似三角形的两种判定方法，即三边对应成比例与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．培养了大家的探索精神，同时让学生懂得了数学活动充满着探索与创新，学习的目的是能运用学过的知识去解决问题，在这里就是能利用判定方法进行有关证明．。
徐闻县六中九年级数学上册 第23章 图形的相似23.3 相似三角形23.3.2 相似三角形的判定第2
第2课时 相似三角形的判定(2)1．掌握相似三角形的判定定理2：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．2．掌握相似三角形的判定定理3：三条边对应成比例的两个三角形相似．3．能依据条件，灵活应用相似三角形的判定定理，正确判断两个三角形相似．重点相似三角形的判定定理2，3的推导过程，掌握相似三角形的判定定理2，3并能灵活应用．难点相似三角形的判定定理的推导及应用．一、情境引入 复习1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法：(1)根据定义；(2)有两个角对应相等的两个三角形相似．2．如图，在△ABC 中，点D ，E 是AB ，AC 上的三等分点(即AD ＝13AB ，AE ＝13AC)，那么△ADE 与△ABC 相似吗？你用的是哪一种方法？由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量得什么后可以判断它们是否相似？【教学说明】可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例，无论哪一种，都应肯定他们是正确的，要求同学们说出是应用哪一种方法判断出的．二、探究新知同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE∽△ABC.从已知条件看，△ADE 与△ABC 有一对对应角相等，即∠A＝∠A(是公共角)，而一个条件是AD ＝13AB ，AE ＝13AC ，即是AD AB ＝13，AE AC ＝13，因此AD AB ＝AEAC .△ADE 的两条边AD ，AE 与△ABC 的两条边AB ，AC 对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗？我们再做一次实验，观察教材图，如果有一点E 在边AC 上，那么点E 应该在什么位置才能使△ADE 与△ABC 相似呢？图中的两个三角形的一组对应边AD 与AB 的长度的比值为13，将点E 由点A 开始在AC上移动，可以发现当AE ＝13AC 时，△ADE 与△ABC 相似，此时AD AB ＝AE AC. 猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并有夹角相等，那么这两个三角形相似．你能否用演绎推理的方法证明你的猜想？教师在此引导学生证明上述猜想，并在小组内交流，让学生归纳总结出判定定定理2. 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似，你能画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？(画顶角与底角相等的两个等腰三角形)∠B＝∠B′，AB A′B′＝ACA′C′.教师再展示课件，由学生自主完成．例1 如图，在△ABC 中，点D ，E 是AB ，AC 上的点，AB ＝7.8，AD ＝3，AC ＝6，CE ＝2.1，试判断△ADE 与△ABC 是否会相似，小张同学的判断理由是这样的：解：∵AC＝AE ＋CE ， 而AC ＝6，CE ＝2.1， ∴AE ＝6－2.1＝3.9，∵AD AB ≠AEAC ，∴△ADE 与△ABC 不相似． 你同意小张同学的判断吗？请你说说理由． 解：小张同学的判断是错误的． ∵AD AC ＝36，AE AB ＝3.97.8＝12，∴AD AC ＝AE AB， 而∠A 是公共角，∠A ＝∠A，∴△ADE ∽△ACB.请同学们再做一次实验，看看如果两个三角形的三边都成比例，那么这两个三角形是否相似？看课本69页“做一做”．通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简单地说就是，三边成比例的两个三角形相似．教师可根据上述结论，再展示例2，可由学生自主完成，教师点评．例 2 在△ABC 和△A′B′C′中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝10 cm ，A ′B ′＝18 cm ，B ′C ′＝24 cm ，A ′C ′＝30 cm ，试判定它们是否相似，并说明理由．解：∵AB A′B′＝AC A′C′＝BC B′C′＝13， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. 三、练习巩固教师展示课件，引导学生自主完成，学生代表在黑板上展示，教师点评． 1．如图，△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．第1题图第2题图2．如图，已知AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，∠BAD ＝20°，求∠CAE 的大小．【答案】1.解：△ADE 与△ABC 相似． 理由：∵AD AB ＝22＋4＝13，AE AC ＝ 2.52.5＋5＝13， ∴AD AB ＝AE AC . 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE ∽△ABC. 2．解：∵AB AD ＝BC DE ＝ACAE，∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE， 又∠DAC 是公共角， ∴∠CAE ＝∠BAD＝20°. 四、小结与作业 小结1．相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 2．相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似． 3．根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似． 布置作业从教材相应练习和“习题23.3”中选取．本节课通过复习上节课学习的相似三角形的判定定理入手，提出新问题引入新课，再通过学生动手测量、猜想结论并证明等活动中的体验，完成对相似三角形的判定定理2，3的认识，加深对判定定理的理解．教学过程中，强调学生自主探究和合作交流，经历观察、实验、猜想、证明等思维过程，从中获得知识与技能，培养学生的综合能力．抛物线形问题1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=-2x2 B．y=2x2 C.212y x=-D 、212y x=第1题第2题2、如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（）A.2316h t=-B.2316h t t=-+C.2118h t t=-++D.21213h t t=-++3.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）A.2254y x=B.2254y x=-C.2425y x=-D.2425y x=第3题第4题4、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A.4米B.3米C.2米D.1米5.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为第5题第6题第7题第8题6、如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A距地面OA为1m，球路的最高点为B（8，9），则这个二次函数的表达式为 ___________ ，小孩将球抛出约 ___________米。
九年级数学相似三角形知识点
九年级数学相似三角形知识点相似三角形是九年级数学中的重要知识点之一，本文将详细介绍相似三角形的概念、判定方法及性质。
一、概念相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
两个三角形相似的条件为对应角相等，并且对应边成比例。
记作△ABC∽△DEF。
二、判定方法1.角-角-角（AA）判定法若两个三角形的三个角分别相等，则它们一定相似。
2.角-边-角（ARJ）判定法若两个三角形的一个角相等，另一个角相等，且夹在已知边之间的两边成比例，则它们一定相似。
3.边-角-边（SAS）判定法若两个三角形的两边分别成比例，夹角相等，则它们一定相似。
注意：边-边-边（SSS）判定法不能判断两个三角形是否相似，因为只有边成比例不能保证角相等。
三、性质1.对应角相等性质相似三角形的对应角相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2.对应边成比例性质相似三角形的对应边成比例，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
其中，k为比例因子，代表两个相似三角形的对应边之比。
3.周长比例性质相似三角形的周长之比等于任意一条对应边之比。
4.面积比例性质相似三角形的面积之比等于任意一条对应边平方的比。
5.高比例性质相似三角形的高之比等于任意一条对应边之比。
四、相似三角形的应用1.测量难以直接获取的长度利用相似三角形的边比例性质，可以通过测量一些直接长度，求解难以直接获取的长度，如高度、距离等。
2.解决图像与实物的相似问题在制图中，根据相似三角形的比例性质，可以将实物缩小或放大绘制，保持图像与实物相似，从而达到简化和便于研究的目的。
3.解决间接测量问题利用相似三角形的性质，可以通过测量一些已知长度和角度，间接计算出难以直接测量的距离或高度。
4.解决图形的包含和相似问题通过相似三角形的判定方法，可以判断一个三角形是否包含在另外一个三角形中，以及两个图形是否相似。
总结：相似三角形是九年级数学中的重要知识点，通过角-角-角、角-边-角和边-角-边三种判定方法，我们可以判断两个三角形是否相似。
华师大版九年级数学上23.3.3《相似三角形的性质》教学设计
（二）讲授新知
1.性质一：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
-通过几何画板动态展示相似三角形的性质一，让学生直观感知。
-设想一：设计具有启发性的问题，如“相似三角形的对应角有什么关系？”“对应边长是否成比例？”等，引导学生进行探究。
-设想二：组织学生分组讨论，鼓励他们提出自己的猜想，并运用已有知识进行验证。
3.创设互动式课堂，让学生在合作交流中掌握知识，提高解决问题的能力。
-设想一：开展小组合作学习，让学生在讨论、分享中加深对相似三角形性质的理解。
-提高题：结合其他知识点，综合运用相似三角形的性质解决问题。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学的内容，总结相似三角形的性质。
-性质一：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
-性质二：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2.教师点评，强调重点，解答学生的疑问。
2.实践应用题：设计一道实际生活中的相似三角形问题，要求学生运用所学性质进行分析和解答。
-例如，测量学校旗杆的高度，通过测量旗杆影子的长度和角度，利用相似三角形的性质求解。
-学生需要将问题解决过程详细记录，包括思路分析、步骤实施和结果验证。
3.拓展思考题：提供一道综合性的相似三角形问题，鼓励学有余力的学生挑战。
华师大版九年级数学上23.3.3《相似三角形的性质》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握相似三角形的基本性质，理解并运用这些性质解决实际问题。
23.3.2相似三角形的判定定理(23)课件华东师大版九年级数学上册
BC B' C'
8 12.8
5， 8
∴△ABC∽△A′B′C′.
5.如图△ABC为锐角三角形，BD，CE分别为AC，AB边上的高.
求证：△ADE∽ △ABC.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
E
A D
∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A= 90°.
O
∴ ∠ABD= ∠ACE.
又∵ ∠A= ∠A，∴△ ABD ∽ △ ACE. B
A
两边成比例且夹角相等
如果相等的角不是成比 例的两边的夹角，那么 这两个三角形还相似吗？
4 cm 3.2 cm
A′
如图，4∶2=3.2∶1.6，∠B=∠B′，
B 50°C
2 cm B′ 50°
1.6 cm 但两个三角形不相似.
C′
例4 证明图中的△AEB∽△FEC相似.
1. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使
相似比
已知△ABC和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.
(1)AB=3，BC=4，AC=6. DE=6，EF=8，DF=9.
不相似
(2)AB=4，BC=8，AC=10. DE=20，EF=16，DF=8.
相似
(3)AB=12，BC=15，AC=24. DE=16，EF=20，DF=30.
不相似
使得由点B，O，C组成的三角形与△AOB相似(不包括全等)．
4. 已知 AB = 10，BC = 8 ，AC = 16，A′B′ = 16，B′C′ = 12.8， C′A′ = 25.6，试说明△ABC∽△A′B′C′.
解：∵
AB A' B'
10 16