北京市西城区2019届高三4月统一测试(一模)理数试题【含答案解析】
北京市西城区2019届高三4月统一测试(一模)数学(理)试题word含答案
的直线与椭圆 W 相交于不同的两点 C , D （不与点 A, B 重合） .
（Ⅰ）当 n 0 ，且直线 CD x 轴时， 求四边形 ACBD 的面积； （Ⅱ）设 n 1 ，直线 CB 与直线 x 4 相交于点 M ，求证： A, D, M 三点共线 .
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
6．如图，阴影表示的平面区域 W 是由曲线 x y 0 ， x 2 y2 2 所围成的 . 若 点 P( x, y) 在 W 内（含边界），则 z 4 x 3y 的最大值和最小值分别为
（A） 5 2 ， 7 （B） 5 2 ， 5 2 （C） 7 ， 5 2 （D） 7 ， 7
平面 CDQ 平面 BEF ？若存在，求 出 BQ 的值，若不存在，说明理由．
BE
17．（本小题满分 13 分） 为培养学生的阅读习惯， 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化， 阅读经典名
著”活动 . 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各 10 名学生的阅读 量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无 法确认，在图中以 a 表示 .
16．（本小题满分 14 分） 如图，在多面体 ABCDEF 中，梯形 ADEF 与平行四边形 ABCD 所在平面互相垂
直， AF // DE ， DE
AD ， AD
BE ， AF
AD
1 DE
1 ， AB
2.
2
（Ⅰ）求证： BF // 平面 CDE ；
（Ⅱ）求二面角 B EF D 的余弦值；
（Ⅲ）判断线段 BE 上是否存在点 Q ，使得
那么实数 a 的取值范围是 ____．
12．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为 ____．
2019届北京市西城区高三4月统一测试(一模)数学(理)试题(解析版)
2019届北京市西城区高三4月统一测试（一模）数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，，则集合()A．B．C．D．【答案】B【解析】根据集合补集与交集定义求结果.【详解】，所以，故选：B【点睛】本题考查集合补集与交集定义，考查基本求解能力，属基本题.2．若复数，则在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】先根据复数除法法则得代数形式，再根据复数几何意义得结果.【详解】＝，对应的点为（），在第四象限故选：D【点睛】本题考查复数除法法则以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题. 3．执行如图所示的程序框图，则输出的k值为()A．4B．5C．7D．9【答案】D【解析】根据条件执行循环，输出结果.【详解】第1步：S＝－3，k＝3；第2步：S＝－，k＝5；第3步：S＝，k＝7；第4步：S＝2，k＝9，退出循环，此时，k＝9故选：D【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析判断能力，属基本题.4．下列直线中，与曲线C：没有公共点的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】先将直线参数方程化为直角坐标方程，再根据方程判断直线位置关系.【详解】消去参数t，得：2x－y＝4，所以，与直线平行，即没有公共点.故选：C【点睛】本题考查直线参数方程化为直角坐标方程以及直线位置关系，考查基本分析判断能力，属基本题.5．设均为正数，则“”是“”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据不等式性质化简不等式，再判断充要关系.【详解】由，为正数，得：，即，即，所以，有，即充分性成立，反过来，当时，有，化简，得：，必要性成立，所以，“”是“”的充要条件，故选：C【点睛】本题考查不等式性质以及充要关系，考查基本分析论证能力，属基本题.6．如图，阴影表示的平面区域是由曲线，所围成的.若点在内（含边界），则的最大值和最小值分别为()A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】根据目标函数表示直线，结合图象确定可行域，确定最优解，即得结果.【详解】目标函数化为：，画出的图象，并平移，如图，当平移到与圆相切时，目标函数在y轴上的截距最大，由圆心O到直线距离d＝，得z的最大值为,当平移到直线与圆的交点B时，目标函数在y轴上的截距最小，由，得B 点坐标为（－1，－1），所以，z的最小值为－7，故选：A【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基本题.7．团体购买公园门票，票价如下表：购票人数1~5051~100100以上门票价格13元/人11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为()A．B．C．D．【答案】B【解析】根据整除性确定员工人数可能情况，对应列方程，解方程组得结果.【详解】设市场部和生产部的员工人数分别为x，y，不妨设y＞x，因为990不能被13整除，所以，两个部门人数之和：x＋y≥51，（1）若51≤x＋y≤100，则11（x＋y）＝990，得：x＋y＝90（1）因为1290不能被13整除，所以x，y不在同一区间[1，50],从而1≤x≤50，51≤y≤100，所以13x＋11y＝1290（2）解（1）（2）得：x＝150，y＝－60，不符合题意,（2）若x＋y≥100，则9（x＋y）＝990，得：x＋y＝110（3）因为1290不能被11整除，所以1≤x≤50，51≤y由13x＋11y＝1290（4）或13x＋9y＝1290（5）解（3）（4）得：x＝40人，y＝70人，解（3）（5）得：y＝35人，（舍）所以，两部门人数之差为：y－x＝30人，故选：B.【点睛】本题考查利用整除性求不定方程整数解，考查分类讨论思想与基本求解能力，属中档题. 8．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为()A．B．C．D．【答案】B【解析】根据曲线对称性，利用曲线参数方程表示区域内两点间的距离，再根据二次函数性质求最值得结果.【详解】的参数方程为：（为参数）曲线是关于点（0，0）中心对称的图形，所以曲线上点（x0，y0）到原点距离为直径长的一半，d＝＝＝＝当时，d取得取大值为，所以，直径为3，故选：B.【点睛】本题考查曲线对称性以及二次函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.二、填空题9．在等比数列中，，，则数列的前n项和____．【答案】【解析】先根据等比数列通项公式求公比与首项，再根据等比数列求和公式求结果【详解】由，，得q＝2，，所以，＝故答案为：【点睛】本题考查等比数列通项公式以及求和公式，考查基本分析与求解能力，属基础题.10．设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为____．【答案】3【解析】根据双曲线几何条件列方程解得离心率.【详解】依题意，得：2a＝c－a，即a＝，所以，离心率故答案为：3【点睛】本题考查双曲线离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.11．函数的最小正周期____；如果对于任意的都有，那么实数a的取值范围是____．【答案】【解析】先根据辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求周期，最后根据正弦函数最值得实数a的取值范围.【详解】＝，最小正周期，依题意，知恒成立，所以，，即故答案为：；【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 12．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．【答案】【解析】先还原几何体，再根据四棱锥体积公式求结果.【详解】由三视图知该几何体如图，V＝＝故答案为：【点睛】本题考查三视图以及四棱锥的体积，考查基本分析求解能力，属基础题.13．能说明“若，则，其中”为假命题的一组，的值是___．【答案】答案不唯一，如，【解析】即举满足条件但不满足的例子.【详解】，时，满足，但不成立故答案为：答案不唯一，如，【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查基本分析求解能力，属基础题.14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，，.例如，图中上档的数字和.若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.【答案】32【解析】先确定每档可取的整数，再根据公差分类讨论，最后根据分类计数原理得结果.【详解】每档可取7到14中的每个整数，若公差为0，共有8种；若公差为±1，则共有12种；若公差为±2，则共有8种；若公差为±3，则共有4种；所以，不同分珠方法有：8＋12＋8＋4＝32种，故答案为：32【点睛】本题考查分类计数原理，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题15．在△中，已知，其中.（Ⅰ）判断能否等于3，并说明理由；（Ⅱ）若，，，求．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据余弦定理得，再根据余弦函数有界性作判断，（Ⅱ）根据余弦定理得，再根据条件解得，最后根据正弦定理得结果.【详解】（Ⅰ）当时，由题可知，由余弦定理，得．这与矛盾，所以不可能等于3.（Ⅱ）由（Ⅰ），得，所以.因为，，，所以，解得（舍）或.在△中，由正弦定理，得.【点睛】本题考查正余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.16．如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）根据线线平行得线面平行平面，平面，再根据线面平行得面面平行平面平面，最后由面面平行性质得结论，（Ⅱ）先根据面面垂直得线面垂直平面，再得线线垂直，类似可得进而建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面法向量，利用向量数量积得两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果，（Ⅲ）先设，再利用方程组解得平面法向量，最后根据两法向量数量积为零解得结果.【详解】（Ⅰ）由底面为平行四边形，知，又因为平面，平面，所以平面.同理平面，又因为，所以平面平面.又因为平面，所以平面（Ⅱ）连接,因为平面平面，平面平面，，所以平面.则.又因为，，，所以平面，则.故两两垂直，所以以所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以,，为平面的一个法向量.设平面的一个法向量为，由，，得令，得.所以.如图可得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.（Ⅲ）结论：线段上存在点，使得平面平面.证明如下：设，所以.设平面的法向量为，又因为，所以，，即令，得.若平面平面，则，即，解得.所以线段上存在点，使得平面平面，且此时.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.17．为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”.设，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为.在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为，试比较，，的大小.（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）根据平均数公式列不等式解得（Ⅱ）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，得分布列，最后根据数学期望公式得结果，（Ⅲ）根据方差表示数据稳定性，即可作出大小判断.【详解】（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为，乙组10名学生阅读量的平均值为.由题意，得，即.故图中a 的取值为或.（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人.由题意，随机变量的所有可能取值为：1，2，3.且，，.所以随机变量的分布列为：123所以.（Ⅲ）.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.18．设函数，其中．（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）极小值，极大值；（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）根据偶函数定义列方程，解得.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，（Ⅱ）先分离变量，转化研究函数，，利用导数研究单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的的取值范围．【详解】（Ⅰ）由函数是偶函数，得，即对于任意实数都成立，所以.此时，则.由，解得.当x变化时，与的变化情况如下表所示：00↘极小值↗极大值↘所以在，上单调递减，在上单调递增.所以有极小值，有极大值.（Ⅱ）由，得.所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.对函数求导，得.由，解得，.当x变化时，与的变化情况如下表所示：00↘极小值↗极大值↘所以在，上单调递减，在上单调递增.又因为，，，，所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.即当或时，函数在区间上有两个零点.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.19．已知椭圆:的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.（Ⅰ）当，且直线轴时，求四边形的面积；（Ⅱ）设，直线与直线相交于点，求证：三点共线.【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）根据条件得，再根据方程得，进而解得坐标，最后根据四边形形状求面积，（Ⅱ）先考虑特殊情形：直线的斜率不存在，具体求出坐标，即得结果，再考虑直线的斜率存在情况，设，，再用坐标表示，以及，最后利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简得.【详解】（Ⅰ）由题意，得，解得.所以椭圆方程为.当，及直线轴时，易得,.且,.所以，，显然此时四边形为菱形，所以四边形的面积为.（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，代入椭圆的方程，得，，易得的方程为.则,,,所以，即三点共线.当直线的斜率存在时，设的方程为，，，联立方程消去y，得.由题意，得恒成立，故，.直线的方程为.令，得.又因为，，则直线，的斜率分别为，，所以.上式中的分子，所以.所以三点共线.【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.20．如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.定义为第s行与第t行的积.若对于任意（），都有，则称数表为完美数表.（Ⅰ）当时，试写出一个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（1）见解析，（2）不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）根据定义确定一个解即可，（Ⅱ）先研究完美数表性质，再利用性质作变换，考虑前三行的情况，列方程组，最后根据所求解得矛盾，即证得结论，（Ⅲ）把作为研究对象，根据条件可得，根据定义可得.最后根据不等关系：证得结果.【详解】（Ⅰ）答案不唯一.如111（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表.根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即均变为，而均变为），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表.完美数表反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1,2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y列，前三行中“第1,3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z列，前三行中“第1行中的数为1，且第2,3行中的数为-1”的有w列（如上表所示），则由，得；由，得；由，得.解方程组，，，，得.这与矛盾，所以不存在10行10列的完美数表.（Ⅲ）记第1列前行中的数的和，第2列前行中的数的和，……，第n列前行中的数的和，因为对于任意的和，都有，所以.又因为对于任意（），都有，所以.又因为，所以，即.【点睛】解决新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用．。
2019年北京市西城区高三年级一模数学(理)试题和答案
北京市西城区高三统一测试数学（理科） 2019.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()UA B =（A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 （A ）4（B ）5（C ）7（D ）9输出 开始否 结束是4．下列直线中，与曲线C ：12,()24x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是 （A ）20x y += （B ）240x y +-= （C ）20x y -=（D ）240x y --=5. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的. 若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为（A ）52，7-（B ）52，52-（C ）7，52-（D ）7，7-7. 团体购买公园门票，票价如下表：W Oyx现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为 （A ）20 （B ）30 （C ）35 （D ）408. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为（A（B ）3（C ）（D ）4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在等比数列{}n a 中，21a =，58a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =____．10．设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．11．函数()sin2cos2f x x x =+的最小正周期T =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x a ≤，那么实数a 的取值范围是____．12．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____．13. 能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+，其中k ∈Z ”为假命题的一组α，β的值是___．14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c . 例如，图中上档的数字和9a =. 若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.侧(左)视图 正(主)视图俯视图 221三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，已知222a c b mac +-=，其中m ∈R . （Ⅰ）判断m 能否等于3，并说明理由；（Ⅱ）若1m =-，27b =，4c =，求sin A ．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，//AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，2AB =.（Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值； （Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求DABCEF出BQBE的值，若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a ，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量乙1 2 07 2 2 1 0 1 2 3 6 6 a8 6 2 1 0 1 2 4 4 甲的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆W :2214x y m m +=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）.（Ⅰ）当0n =，且直线CD ⊥x 轴时， 求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：,,A D M 三点共线.20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a =(,1,2,,)s t n =为第s 行与第t 行的积. 若对于任意,s t （st ），都有0st p =，则称数表A 为完美数表. （Ⅰ）当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表； （Ⅰ）设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，证明：kl n ≤.北京市西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准 2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C5．C 6．A 7．B 8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1122n --10．311． π；a 12．4313．答案不唯一，如110α=，20β= 14．32注：第11题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3m =时，由题可知 2223a c b ac +-=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，……………… 3分 得2223cos 22a cb B ac +-==． ……………… 4分这与cos [1,1]B ∈-矛盾，所以m 不可能等于3 . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得 1cos 22m B ==-，所以2π3B =. ……………… 7分因为b =4c =，222a c b ac +-=-， 所以216284a a +-=-，解得6a =-（舍）或2a =. ……………… 9分在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 11分得sin sina B Ab ===. ……………… 13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由底面ABCD 为平行四边形，知//AB CD ，又因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE . ……………… 2分 同理//AF 平面CDE ， 又因为ABAF A =，所以平面//ABF 平面CDE . ……………… 3分 又因为BF ⊂平面ABF ，所以//BF 平面CDE . ……………… 4分 （Ⅱ）连接BD ,因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，DE AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD . 则DE DB ⊥. 又因为DE AD ⊥，AD BE ⊥，DE BE E =，所以AD ⊥平面BDE ，则AD BD ⊥.故,,DA DB DE 两两垂直，所以以,,DA DB DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分 则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C -，(0,0,2)E ，(1,0,1)F ，所以(0,1,2)BE =-,(1,0,1)EF =-，(0,1,0)=n 为平面DEF 的一个法向量.设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由0BE ⋅=m ，0EF ⋅=m ，得20,0,y z x z -+=⎧⎨-=⎩令1z =，得(1,2,1)=m . ………………8分所以6cos ,||||3⋅<>==m n m n m n .如图可得二面角B EF D --为锐角，所以二面角B EF D --的余弦值为63.………………10分 （Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . ………………11分证明如下：设(0,,2)([0,1])BQ BE λλλλ==-∈，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-.设平面CDQ 的法向量为(,,)a b c =u ，又因为(1,1,0)DC =-，DA B C EyxzF所以0DQ ⋅=u ，0DC ⋅=u ，即(1)20,0,b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩……………… 12分若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0⋅=m u ，即20a b c ++=， …………… 13分 解得1[0,1]7λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =. 14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010+++++++++=，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010a a+++++++++++=. …………… 2分由题意，得981010a+>，即2a <. ……………… 3分 故图中a 的取值为0或1. …………… 4分 （Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人.由题意，随机变量X 的所有可能取值为：1，2，3. ……………… 5分且212335C C 3(1)C 10P X ⋅===，122335C C 3(2)C 5P X ⋅===， 3335C 1(3)C 10P X ===. 8分 所以随机变量的分布列为：………… 9分X所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=. …………10分 （Ⅲ）222102s s s <<. ………… 13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. ……… 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……… 8分对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分 由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. …… 11分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. … 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得244a m ==， 解得1m =. …………… 2分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ……………… 3分当0n =，及直线CD ⊥x 轴时，易得(0,1)C ,(0,1)D -. 且(2,0)A -,(2,0)B .所以||4AB =，||2CD =，显然此时四边形ACBD 为菱形，所以四边形ACBD 的面积为14242⨯⨯=. 5分（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W的方程，得C，(1,D ， 易得CB的方程为2)y x =-.则(4,M,(6,AM =,(3,AD =, 所以2AM AD =，即,,A D M 三点共线. ………… 7分 当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立方程22(1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. … 9分 由题意，得0∆>恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. ……… 10分 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--. 令4x =，得112(4,)2y M x -. ………… 11分 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ，则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， ……… 12分 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子 211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+121225()8kx x k x x k =-++22224482584141k k k k k k k -=⨯-⨯+++ 0=， 所以0AD AM k k -=.所以,,A D M 三点共线. ………… 14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）答案不唯一. 如： (3)分（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表A .根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1+均变为1-，而1-均变为1+），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. ……… 5分 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：x 共列y 共列z 共列w 共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w 列（如上表所示）， 则10x y z w +++= ○1由120p =，得x y z w +=+； ○2 由130p =，得x z y w +=+； ○3 由230p =，得x w y z +=+. ○4 解方程组○1，○2，○3，○4，得52x y z w ====. 这与,,,x y z w ∈N 矛盾，所以不存在10行10列的完美数表. …………… 8分 （Ⅲ）记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和122222l a a a X +++= ，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=，因为对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，所以12k X X X l ====. …………… 9分又因为对于任意,s t （st ），都有0st p =， 所以22212n X X X ln +++=. ……………… 11分又因为22222221212n k X X X X X X l k ++++++=≥，所以2ln l k ≥，即kl n ≤. ………… 13分。
北京市西城区2019届第一学期高三理科数学试题(5页)
北京市西城区2019届第一学期高三理科数学试题理科数学试题一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分）1.如图，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则复数2z =（ ）．A. 34i --B. 54i +C. 54i -D. 34i -2.当向量(2,2)a c ==-v v ，(1,0)b =v 时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）．A. 5B. 4C. 3D. 23.数列{}n a 的前n 项和n S ，若121(2)n n S S n n --=-≥，且23S =，则13a a +的值为（ ）．A. 1B. 3C. 5D. 64.“0x >”是“sin 0x x +>”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 326.如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数x y a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A. 1a b <<B. 1b a <<C. 1b a >>D. 1a b >>7.已知11,1,()ln ,01,x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x kx k =-+只有一个零点，则k 的取值范围是（ ）．A. (,1)(1,)-∞-+∞UB. (1,1)-C. [0,1]D. (,1][0,1]-∞-U 8.已知点A 在曲线2:(0)P y x x =>上，⊙A 过原点O ，且与y 轴的另一个交点为M ，若线段OM ，⊙A 和曲线P 上分别存在点B 、点C 和点D ，使得四边形ABCD （点A ，B ，C ，D 顺时针排列）是正方形，则称点A 为曲线P 的“完美点”．那么下列结论中正确的是（ ）．A. 曲线P 上不存在”完美点”B. 曲线P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1C. 曲线P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于12且小于1 D. 曲线P 上存在两个“完美点”，其横坐标均大于12 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9.若双曲线221y x m +=的一条渐近线的倾斜角为60︒，则m =__________． 10.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．若4c =，sin 2sin C A =，sin 4B =，则a =__________，ABC S =V __________． 11.已知直线1:(2)20l ax a y +++=，2:10l x ay ++=．若12l l P ，则实数a =__________．12.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．13.如图，线段2AB =，点A ，B 分别在x 轴和y 轴非负半轴上运动，以AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =．设O 为原点，则OC OD ⋅u u u v u u u v的取值范围是__________．14.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P ． （1）下列函数中具有性质P 的有__________．①()2f x x =-+ ②()sin ([0,2π])f x x x =∈ ③1(),((0,))f x x x x-+∈+∞ ④()ln(1)f x x =+ （2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是__________． 三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15.函数f(x)＝cos(πx＋φ)02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x0的值；(2)设g(x)＝f(x)＋f 13x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求函数g(x)在区间11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 16.甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分，两人4局得分情况如下：的（⊙）若从甲4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率．（⊙）如果7x y -=，从甲、乙两人4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为x ，求x 的分布列和数学期望．（⊙）在4局比赛中，若甲、乙两人平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值．（结论不要求证明）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形， AD BC P ，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====．（⊙）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF P 平面PAB ； （⊙）求二面角B PD A --的大小；（⊙）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥?若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由． 18.已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实常数）．（⊙）若1x =为()f x 的极值点，求实数a 的取值范围．（⊙）讨论函数()f x 在[1,]e 上的单调性． （⊙）若存在[1,e]x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围．19.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点．，Ⅰ）求椭圆的方程．，Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积．的的，Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得经MP ，MQ 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20.设函数21()51623f x x x =++，L 为曲线:()C y f x =在点11,12⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线． （⊙）求L 的方程．（⊙）当15x <-时，证明：除切点11,12⎛⎫- ⎪⎝⎭之外，曲线C 在直线L 的下方． （⊙）设1x ，2x ，3x ∈R ，且满足1233x x x ++=-，求123()()()f x f x f x ++的最大值．。
北京市西城区2019届高三下学期4月统一测试(一模)理科综合物理试卷 含解析
西城区高三统一测试理科综合1.已知氡222的半衰期为3.8天.那么4g的放射性物质氡222经过7.6天，还剩下没有发生衰变的质量为A. 2gB. 1gC. 0.5gD. 0g【答案】B【解析】【详解】根据衰变的半衰期公式，其中，n为半衰期的个数,，联立可得：；故选B.2.关于热学中的一些基本概念，下列说法正确的是A. 物体是由大量分子组成的，分子是不可再分的最小单元B. 分子间的斥力和引力总是同时存在的，且随着分子之间的距离增大而增大C. 分子做永不停息的无规则热运动，布朗运动就是分子的热运动D. 宏观物体的温度是物体内大量分子的平均动能的标志【答案】D【解析】【详解】A、物质是由分子组成的，分子是原子组成的，原子是不可再分的最小单元；故A错误.B、根据分子动理论可知分子间同时存在分子引力和分子斥力，引力和斥力都随分子间距离的减小而增大，随分子间距的增大而减小；故B错误.C、布朗运动是固体微粒的运动，不是分子的运动，但间接反映了液体分子的热运动；故C错误.D、大量分子的热运动的快慢用统计规律可得，则温度就是分子平均动能的标志；故D正确.故选D.3.如图所示，一颗卫星绕地球做椭圆运动，运动周期为T,图中虚线为卫星的运行轨迹，A，B，C，D是轨迹上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远。
B和D点是弧线ABC和ADC的中点，下列说法正确的是A. 卫星在C点的速度最大B. 卫星在C点的加速度最大C. 卫星从A经D到C点的运动时间为T/2D. 卫星从B经A到D点的运动时间为T/2【答案】C【解析】【详解】A、卫星绕地球做椭圆运动，类似于行星绕太阳运转，根据开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，则知卫星与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以卫星在距离地球最近的A点速度最大，在距离地球最远的C点速度最小，卫星在B、D两点的速度大小相等；故A错误；B、在椭圆的各个点上都是引力产生加速度，因A点的距离最小，则A点的加速度最大，故B错误.C、根据椭圆运动的对称性可知，则，故C正确.D、椭圆上近地点A附近速度较大，远地点C附近速度最小，则，；故D错误.故选C.4.一条绳子可以分成一个个小段，每小段都可以看做一个质点，这些质点之间存在着相互作用。
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。
2B。
√2C。
1D。
2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。
(2.-7)B。
(3.1)C。
(1.5)D。
(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。
5anB。
6anC。
7anD。
14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。
则函数g(x)的一个增区间是（）A。
(π/4.3π/4)B。
(3π/4.5π/4)C。
(5π/4.7π/4)D。
(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。
a>b+1B。
a>b-1C。
a^2>b^2D。
a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。
①④B。
②③C。
②④D。
①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。
6B。
8C。
10D。
128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。
336B。
510C。
1326D。
3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。
答案：1010.已知向量a=(1.b)。
b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。
2019届西城高三数学(理)试卷及答案
北京市西城区 2018 — 2019 学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2019.1第Ⅰ卷（选择题共 40 分）一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合 A = {x | x > 1} ，集合 B ={a + 2}，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(-∞, -1]（B ）(-∞,1]（C ）[-1, +∞)（D ）[1, +∞)2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（）（A ） y = x 2 +1（B ） y = e x - e - x（C ） y = lg | x |（D ） y =3. 设命题 p ：“若sin α = 1 ，则α = π”，命题 q ：“若a > b ，则 1 < 1 ”，则（）2 6 a b（A ）“ p ∧ q ”为真命题 （B ）“ p ∨ q ”为假命题 （C ）“ ⌝q ”为假命题（D ）以上都不对4. 在数列{a }中，“对任意的n ∈ N * ， a2 = a a ”是“数列{a }为等比数列”的（ ）nn +1n n +2n（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ） 充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ）（A ）16 + 2（B ）16 + 2正(主)视图侧(左)视图（C ） 20 + 2 （D ）20 + 2俯视图2 2x 2353 51 1⎨ ⎩不超过 4 千米的里程收费 12 元;超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5 千米则不收费，若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费）；当车程超过 4 千米时，另收燃油附加费 1 元.⎧ y - x ≤1, 6. 设 x ，y 满足约束条件⎪x + y ≤3, ⎪ y ≥m ,若 z = x + 3y 的最大值与最小值的差为 7，则实数m =（）（A ） 32 （B ） -3 2 （C ） 1 4（D ） - 1 47. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中 x （单位：千米）为行驶里程， y （单位：元）为所 收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1 处应填（ ）（A ）y = 2[x - 1] + 4 2 1开始输入 x（B ） y = 2[x -（C ） y = 2[x + ] + 52 1] + 42 是 x > 4否（D ） y = 2[x + 1] + 528. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E ， F 分别在边 AD ， BC 上，且 DE = 2AE ， CF = 2BF . 如果对于常数λ ，在正方形 ABCD 的四条边上，有且只有 6 个不同的点 P 使得PE ⋅ P F =λ 成立，那 么λ 的取值范围是（）（A ） (0, 7)（B ） (4, 7)（C ） (0, 4)（D ） (-5,16)ABFDPC输出 y结束y=12○1MNB OC第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题5 分，共30 分．9.已知复数z 满足z(1+i) =2 -4i，那么z = .10.在∆ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c. 若A =B ，a = 3，c = 2 ，则cos C = .x2 y211.双曲线C：-16 4=1的渐近线方程为；设F1, F2为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且| PF1|= 4 ，则| PF2 |= .12.如图，在∆ABC 中，∠ABC = 90 ，AB = 3 ，BC = 4 ，点O 为BC 的中点，A以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN = ；AM=.MC13.现有5 名教师要带3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2 人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有种.（用数字作答）⎧64,x≤0, 14.某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：C ）满足函数关系t =⎨⎩2kx+6 ,x > 0.且该食品在4 C 的保鲜时间是16 小时.已知甲在某日上午10 时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：○1 该食品在6C的保鲜时间是8 小时；○2 当x∈[-6,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少；○3 到了此日13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；○4 到了此日14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间.其中，所有正确结论的序号是.MAF三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13 分）已知函数 f (x ) = cos x (sin x +3 cos x ) -3， x ∈ R .2（Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设α > 0 ，若函数 g (x ) = f (x + α) 为奇函数，求α 的最小值.16．（本小题满分 13 分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标得0 分. 两人 4 局的得分情况如下：甲 6 6 9 9乙79xy（Ⅰ）若从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，求这 2 局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果 x = y = 7 ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为 X ， 求 X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出 x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠BCD = 135 ，侧面 PAB ⊥ 底面 ABCD ，∠BAP = 90 , AB = AC = PA = 2 , E , F 分别为BC , AD 的中点，点 M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证： EF ⊥平面PAC ；P（Ⅱ）若 M 为 PD 的中点，求证：ME // 平面PAB ；（Ⅲ）如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线ME 与平面 ABCD 所成的角相等，求PM的值.DPDBEC318．（本小题满分 13 分）已知函数 f (x ) = x 2-1，函数 g (x ) = 2t ln x ，其中t ≤1 ．（Ⅰ）如果函数 f (x ) 与 g (x ) 在 x = 1处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （Ⅱ）如果曲线 y = f (x ) 与 y = g (x ) 有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．19．（本小题满分 14 分）已知椭圆 C : x a 2+ y 2 b 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 2，点 A (1, ) 在椭圆 C 上. 2（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点 P 1 ， P 2 （两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1 ， OP 2在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.的斜率之积为定值？若存20．（本小题满分 13 分）在数字1, 2,, n (n ≥2) 的任意一个排列 A ：a , a ,中，如果对于i , j ∈ N *, i < j ，有a i > a j ，12那么就称(a i , a j ) 为一个逆序对. 记排列 A 中逆序对的个数为S ( A ) .如n =4 时，在排列 B ：3, 2, 4, 1 中，逆序对有(3, 2) ，(3,1) ，(2,1) ， (4,1) ，则S (B ) = 4 . （Ⅰ）设排列 C 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出S (C ) 的值；（Ⅱ）对于数字1，2， ，n 的一切排列 A ，求所有S ( A ) 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列 A ：a 1, a 2 ,, a n 中两个数字a i , a j (i < j ) 交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列 A '： b 1, b 2 ,, b n ，求证： S (A ) + S (A ') 为奇数.北京市西城区 2018 — 2019 学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2019.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.3 , a n21．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.9．-1- 3i11．y =±1x210．7912 12．13 - 291613．54 14．○1 ○4注：第11，12 题第一问2 分，第二问3 分.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13 分）（Ⅰ）解：f (x) = cos x(sin x +3 cos x) -32= sin x cos x +=1sin 2x +3(2cos2x -1)23cos 2x………………4 分2 2= sin(2x +π) ，............................................... 6 分3所以函数f (x) 的最小正周期T =2π=π............................................................................... 7 分2由2kπ -π≤2x +π≤2kπ+π，k ∈Z ，2 3 2得kπ -5π≤x≤kπ+π，12 12所以函数f (x) 的单调递增区间为[kπ-5π,kπ+π] ，k ∈Z ...................................... 9 分12 12（注：或者写成单调递增区间为(kπ -5π,kπ+π) ，k ∈Z . ）12 12（Ⅱ）解：由题意，得g(x) =f (x +α) = sin(2x + 2α+π) ，3因为函数g(x) 为奇函数，且x ∈R ，所以g(0) = 0 ，即sin(2α+π) = 0 ，......................................11 分3所以2α+π=kπ ，k ∈Z ，3解得α=kπ-π，k ∈Z ，验证知其符合题意.2 6又因为α> 0 ，C 3 2 所以α 的最小值为π ........................................................................................................... 13 分316．（本小题满分 13 分）（Ⅰ）解：记 “从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，且这 2 局的得分恰好相等”为事件 A ，………………1 分由题意，得 P ( A ) =2 = 1 ， 4所以从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，且这 2 局得分恰好相等的概率为1. ……4 分3 （Ⅱ）解：由题意， X 的所有可能取值为13 ，15 ，16 ，18 ，...................... 5 分 且 P ( X = 13) = 3 ， P ( X = 15) = 1 ， P ( X = 16) = 3 ， P ( X = 18) = 1，… ........ 7 分8 8 8 8所以 X 的分布列为：X 13 15 16 18 P381 83 81 8……………… 8 分所以E ( X ) = 13⨯ 3 +15⨯ 1 +16⨯ 3 +18⨯ 1= 15 .............................................................. 10 分 8 8 8 8 （Ⅲ）解： x 的可能取值为6 ， 7 ， 8 .......................................................................................... 13 分17．（本小题满分 14 分）（Ⅰ）证明：在平行四边形 ABCD 中，因为 AB = AC ， ∠BCD = 135 ，所以 AB ⊥ AC .由E , F 分别为BC , AD 的中点，得 EF //AB ，所以 EF ⊥ AC ................................................................................................................................ 1 分 因为侧面PAB ⊥底面 ABCD ，且∠BAP = 90 ，所以PA ⊥底面 ABCD ................................................................................................................... 2 分 又因为EF ⊂底面 ABCD ，所以 PA ⊥ EF ................................................................................................................................ 3 分 又因为 PA AC = A ， PA ⊂ 平面PAC ， AC ⊂ 平面PAC ，所以 EF ⊥ 平面PAC ................................................................................................................... 4 分| ME ⋅ m | = | ME ⋅ n | ⎩ （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点， F 分别为 AD 的中点，所以MF //PA ，又因为MF ⊄ 平面PAB ， PA ⊂ 平面PAB ， z所以MF // 平面PAB . ………………5 分PM同理，得 EF // 平面PAB .又因为MF EF =F ， MF ⊂ 平面MEF ， EF ⊂平面MEF ， ADF 所以平面MEF // 平面PAB ........................................ 7 分 又因为ME ⊂平面MEF ，BECxy所以ME // 平面PAB ................................................... 9 分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面 ABCD ， AB ⊥ AC ，所以 AP , AB , AC 两两垂直，故以 AB , AC , AP分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则 A (0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (0, 2, 0), P (0, 0, 2), D (-2, 2, 0), E (1,1, 0) ，所以PB = (2, 0, -2)， PD = (-2, 2, -2) ， BC = (-2, 2, 0)，..................... 10 分设 PM = λ (λ ∈[0,1]) ，则PM = (-2λ, 2λ, -2λ) ， PD 所以M (-2λ, 2λ, 2 - 2λ) ， ME = (1+ 2λ,1- 2λ, 2λ - 2)，易得平面 ABCD 的法向量m = (0, 0,1) ............................................................................................... 11 分 设平面 PBC 的法向量为n = (x , y , z ) ，由n ⋅ BC = 0 ， n ⋅ PB = 0 ，得⎧-2x + 2 y = 0,⎨2x - 2z = 0,令x = 1, 得n = (1,1,1) .............................................................................................................................................12 分 因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等，所以| cos < ME , m >|=| cos < ME , n >| ，即| ME | ⋅ | m | | ME | ⋅ | n |， ............... 13 分 所以 | 2λ - 2 |=| 2λ | ，3解得λ =3 - 2 3 ，或λ = 3 +23 （舍） ...................................... 14 分18.（本小题满分 13 分）t （Ⅰ）解：求导，得 f '(x ) = 2x ，g '(x ) = 2t， (x > 0) ． ............................. 2 分x由题意，得切线 l 的斜率k = f '(1) = g '(1) ，即k = 2t = 2 ，解得t = 1． ......... 3 分 又切点坐标为(1, 0) ，所以切线l 的方程为2x - y - 2 = 0 ． .................. 4 分 （Ⅱ）解：设函数h (x ) = f (x ) - g (x ) = x 2 -1- 2t ln x ，x ∈(0, +∞) ． ................. 5 分 “曲线 y = f (x ) 与 y = g (x ) 有且仅有一个公共点”等价于“函数 y = h (x ) 有且仅有一个零点”．2t 2x 2 - 2t求导，得h '(x ) = 2x - =6 分x x① 当t ≤0 时，由 x ∈(0, +∞) ，得h '(x ) > 0 ，所以h (x ) 在(0, +∞) 单调递增．又因为h (1) = 0 ，所以 y = h (x ) 有且仅有一个零点1，符合题意． .............. 8 分 ② 当t = 1时，当 x 变化时， h '(x ) 与h (x ) 的变化情况如下表所示：x(0,1)1 (1, +∞)h '(x )-+h (x )↘↗所以h (x ) 在(0,1) 上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增， 所以当 x = 1时， h (x ) min = h (1) = 0 ，故 y = h (x ) 有且仅有一个零点1，符合题意． ............................10 分③ 当0 < t < 1时，令h '(x ) = 0 ，解得 x = ．当 x 变化时， h '(x ) 与h (x ) 的变化情况如下表所示：x(0, t ) t ( t , +∞)h '(x ) -+h (x )↘↗所以h (x ) 在(0, t ) 上单调递减，在( t , +∞) 上单调递增，t 3 1 ⎩1所以当 x = 时， h (x ) min = h ( t ) ． .....................................11 分因为h (1) = 0 ， < 1，且h (x ) 在( t , +∞) 上单调递增，所以h ( t ) < h (1) = 0 .又因为存在 - 1 ， - 1 -1 - 1 -，e 2t ∈(0,1) h (e 2t ) = e t -1- 2t ln e 2t = e t > 0所以存在 x 0 ∈(0,1) 使得h (x 0 ) = 0 ，所以函数 y = h (x ) 存在两个零点 x 0 ，1，与题意不符.综上，曲线 y = f (x ) 与 y = g (x ) 有且仅有一个公共点时， t 的范围是{t | t ≤0 ，或t = 1} .………………13 分19．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）解：由题意，得 c=a3， a 2 = b 2 + c 2 ， ................................2 分 2 又因为点 A (1, 3) 在椭圆C 上，2所以 1 + a 2 3 4b 2= 1， ................................................... 3 分解得a = 2 ， b = 1 ， c = ，所以椭圆 C 的方程为 x 4 + y 2 = 1 .................................................................................... 5 分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为 x 2 + y 2 = 5 ................................................ 6 分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 x 2 + y 2 = r 2 (r > 0) .当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为 y = kx + m .................................................... 7 分⎧ y = kx + m ,⎪由方程组⎨ x 2 ⎪⎩ 4y 2= 1, 得(4k 2 +1)x 2 + 8kmx + 4m 2 - 4 = 0 ， ................ 8 分因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以∆ = (8km )2 - 4(4k 2 +1)(4m 2-4) = 0 ，即 m 2 = 4k 2 +1 .................................... 9 分⎧ y = kx + m , 由方程组⎨x 2 + y 2 = r 2 , 得(k 2 +1)x 2 + 2kmx + m 2 - r 2 = 0 ， ................ 10 分t + 22则∆ = (2km )2 - 4(k 2 +1)(m 2 - r 2) > 0 .设 P (x , y ) ， P (x , y ) ，则 x + x = -2km ， x ⋅ x =1 1 12 2 2 1 2 k 2+ 1 1 2m 2 - r 2k 2 + 1， .............. 11 分设直线OP 1 ， OP 2 的斜率分别为k 1 ， k 2 ，y y (kx + m )(kx + m ) k 2 x x + km (x + x ) + m 2所以k k =1 2 = 1 2 = 1 2 1 2x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2k 2⋅ = m 2 - r 2k 2+ 1+km ⋅ -2km+ m 2 k 2 + 1= m 2 - r 2 k 2m 2 - r 2k 2 + 1 2 2m 2 - r 2(4 - r 2 )k 2 +1 ， ...................... 12 分 将 m = 4k +1 代入上式，得k 1 ⋅ k 2 = 4k 2+ (1 - r 2 ). 4 - r 2 1 2要使得k 1k 2 为定值，则 4 = ，即r = 5 ，验证符合题意. 1 - r 2所以当圆的方程为 x 2 + y 2 = 5 时，圆与l 的交点 P , P 满足k k 为定值- 1.1 2 1 2当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为 x = ±2 ， 此时，圆 x 2 + y 2 = 5 与l 的交点 P , P 也满足k k =- 1. 4………………13 分1 2 1 24综上，当圆的方程为 x 2 + y 2 = 5 时，圆与l 的交点 P , P 满足斜率之积k k 为定值- 1.1 2 1 24………………14 分20．（本小题满分 13 分）（Ⅰ）解： S (C ) = 10 ；........................................................ 2 分（Ⅱ）解：考察排列 D d 1, d 2 ,d n 与排列 D 1：d n , d n -1,, d 2 , d 1 ，因为数对(d i , d j ) 与(d j , d i ) 中必有一个为逆序对（其中1≤i < j ≤n ），且排列D 中数对(d , d ) 共有C 2 = n (n -1) 个， ................................3 分 ijn2所以S (D ) + S (D ) =n (n -1) ........................................................................................................5 分12所以排列 D 与D 的逆序对的个数的算术平均值为 n (n -1) ................................................... 6 分14而对于数字 1，2，，n 的任意一个排列 A ： a 1, a 2 , , a n ，都可以构造排列 A 1 ：, d n -1, 1 2a , a , , a , a ，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为n(n -1) . n n-1 2 1 4所以所有S(A) 的算术平均值为n(n -1) .......................................................................................7 分4（Ⅲ）证明：○1 当j=i+1，即a i,a j相邻时，不妨设a i <a i+1 ，则排列A'为a1,a2 , ,a i-1,a i+1,a i ,a i+2 , ,a n ，此时排列A'与排列A：a1,所以S(A') =S(A) +1，a2, ,an 相比，仅多了一个逆序对(ai+1, ai) ，所以S(A) +S(A') = 2S(A) +1为奇数......................................... 10 分○2 当j≠i+1，即a i,a j不相邻时，假设a i , a j 之间有m 个数字，记排列A：a1,a2 , ,a i ,k1,k2 , ,k m ,a j , ,a n ，先将a i 向右移动一个位置，得到排列A1：a1,a2 , ,a i-1,k1,a i ,k2 , , , k m ,a j , ,a n ，由○1 ，知S(A1)与S(A)的奇偶性不同，再将a i 向右移动一个位置，得到排列A2：a1,a2 , ,a i-1,k1,k2 ,a i ,k3 , , k m ,a j , ,a n ，由○1 ，知S(A2)与S(A1)的奇偶性不同，以此类推，a i 共向右移动m 次，得到排列A m：a1,a2 , , k1,k2 , , k m ,a i ,a j , ,a n ，再将a j 向左移动一个位置，得到排列A m+1：a1,a2 , ,a i-1,k1, , k m , a j ,a i , ,a n ，以此类推，a j 共向左移动m+1 次，得到排列A2m+1：a1,即为排列A'，a2, ,aj,k1, ,km,ai, , an，由○1 ，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A 经过2m +1次的前后两数交换位置，可以得到排列A'，所以排列A 与排列A'的逆序数的奇偶性不同，所以S(A) +S(A') 为奇数.综上，得S(A) +S(A') 为奇数............................................ 13 分。
2019年北京西城区高三数学理科试题答案
北京市西城区高三模拟测试数学（理科）参考答案及评分标准 2019.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．A5．B 6．C 7．D 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1010．2214y x -=，2y x =± 11．4- 12．2 13．答案不唯一，如4n a n =- 14．① ③ 注：第10题第一问3分，第二问2分；第14题漏选、多选或错选均不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为π()cos(2)2sin cos 6f x x x x =-+ ππcos2cos sin 2sin sin 266x x x =++……………… 4分3sin 22x x =+π)6x =+. ……………… 6 分 所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. ……………… 8分（Ⅱ）由（Ⅰ），知π())6f x x =+，所以ππ5π())])366g x x x =++=+. …………… 10分 由π5ππ2π22π262k x k -+++≤≤，k ∈Z ， 得2ππππ36k x k -+-+≤≤， 所以()g x 的单调增区间为2ππ[π,π]36k k -+-+，k ∈Z . ……………… 13分 (注：单调区间写成开区间不扣分)16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将从A ，B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，记事件“甲手机为T 型号手机”为1M ，记事件“乙手机为T 型号手机”为2M ， 依题意，有1122()6123P M ==+，293()695P M ==+，且事件1M ，2M 相互独立. ……………… 2分 设“抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机”为事件M ，4分 （Ⅱ）由表可知：W 型号手机销售量超过T 型号的手机店共有2个，故X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 5分且032335C C 1(0)C 10P X ⋅===，122335C C 3(1)C 5P X ⋅===，212335C C 3(2)C 10P X ⋅===.……………… 8分 故5610325311010)(=⨯+⨯+⨯=X E . ……………… 10分 （Ⅲ）.92m s =……………… 13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在图1中，由2AE =，AF =，45A ∠= ，得AE EF ⊥.所以在图2中1A E EF ⊥. ……………… 1分 因为平面1A EF ⊥平面BCDEF ，平面1A EF 平面BCDEF EF =，所以1A E ⊥平面BCDEF . ……………… 3分 又因为CD ⊂平面BCDEF ，所以1A E CD ⊥. ……………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1,,EF ED EA 两两垂直，故以1,,EF ED EA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 5分 则(0,0,0)E ，(2,0,0)F ，(0,2,0)D ，(4,2,0)B ，(4,6,0)C ，1(0,0,2)A ，(2,3,1)M .所以(4,0,0)DB = ,(2,1,1)DM = .设平面MBD 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由0DB ⋅= m ，0DM ⋅= m ，得40,20,x x y z =⎧⎨++=⎩令1y =，得(0,1,1)=-m . (7)易得平面BCD 的法向量(0,0,1)=n . 所以cos ,||||⋅<>==m n m n m n . 由图可得二面角M BD C --为锐二面角，所以二面角M BD C --的大小为45. ……………… 9分 （Ⅲ）当N 为线段1A D 的中点（注：表述不唯一）时，平面//NEF 平面MBD . ……… 10分证明如下：由N 为线段1A D 的中点，得(0,1,1)N .所以(0,1,1)EN = ，又因为(2,0,0)EF = ，设平面NEF 的法向量为(,,)a b c =u ，由0EN ⋅= u ，0EF ⋅= u ，得0,20,b c a +=⎧⎨=⎩ 令1c =，得(0,1,1)=-u . ……………… 12分 又因为平面MBD 的法向量为(0,1,1)=-m ，所以=-m u ，即//m u ，所以平面//NEF 平面MBD . ……………… 14分解：（Ⅰ）求导，得()2ln f x x '=+， ……………… 1分 所以曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为00()2ln f x x '=+. ……… 3分 由题意，得02ln 1x +<，解得100e x -<<. ……………… 5分（Ⅱ）“1()()2f x k x -≥对(0,)x ∈+∞恒成立”等价于“当0x >时，1()()02f x k x --≥恒成立”. 令11()()()ln (1)22=--=+-+g x f x k x x x k x k ， ……………… 7分 求导，得()ln 2g x x k '=+-，由()0g x '=，得2e k x -=. ……………… 8分 随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在2(0,e )k -上单调递减，在2(e ,)k -+∞上单调递增.所以函数()g x 的最小值221(e )e 02k k g k --=-≥. ……………… 10分 令21()e 2k h k k -=-，则221(2)2e 02h -=⨯-=， 当2k =时，因为()g x 的最小值2(e )(1)0k g g -==，所以1()()2f x k x -≥对于0x >恒成立，符合题意； ……………… 11分 当2k >时，由22211()e e 022k h k --'=-<-<，得函数21()e 2k h k k -=-在(2,)+∞单调递减， 所以()(2)0h k h <=，故此时()g x 的最小值2(e )()0k g h k -=<，不符合题意.所以整数k 的最大值是2． ……………… 13分解：（Ⅰ）由题意，可知12p =，所以2p =. ……………… 1分 所以抛物线方程为24y x =，焦点为(1,0)F .不妨设00(,)A x y ，则0||15AF x =+=，解得04x =.代入抛物线方程，得04y =±，则点A 的坐标为(4,4)或(4,4)-，所以||OA = ……………… 3分故以OA 为直径的圆的方程为22(2)(2)8x y -+-=或22(2)(2)8x y -++=. …… 5分 （Ⅱ）结论：四边形OABC 不可能为等腰梯形. ……………… 6分 理由如下：假设四边形OABC 为等腰梯形，由题意，可知直线OA 的斜率k 存在且不为零，故设直线OA 的方程为y kx =，直线BC 的方程为(1)y k x =-，11(,)B x y ，22(,)C x y ， ……………… 7分 联立2,4,y kx y x =⎧⎨=⎩消去y ，得2240k x x -=， 解得0x =或24x k =， 所以点244(,)A k k ，线段OA 的中点M 的坐标为222(,)k k. ……………… 9分 联立2(1)4 y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=. 因为直线BC 过焦点(1,0)F ，斜率存在且不为0，所以0∆>恒成立，所以212224k x x k++=，121x x =. ……………… 11分 设线段BC 的中点为33(,)N x y ，则2123222x x k x k ++==，332(1)y k x k =-=，故2222(,)k N k k+. ………………12分 因为直线MN 的斜率22222022MN k k k k k k-==+-，OA 的斜率为k ，所以1MN k k ⋅≠-，故直线MN 与直线OA 不垂直.这与等腰梯形上下底中点的连线垂直于上下底矛盾， 所以四边形OABC 不可能为等腰梯形. ……………… 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）100(1,1,0)X =. ……………… 3分 （Ⅱ）假设,,i i i a b c 三个数中有2个为0，或三个数均为0. ……………… 4分（1）当,,i i i a b c 三个数中有2个为0时，显然i ≥1. 不妨设0(1)i i a b i ==≥，0i c ≠，则11||0i i i a a b --=-=，11||0i i i b b c --=-=，即111i i i a b c ---==. 这与11||0i i i c c a --=-≠矛盾； ……………… 6分（2）当,,i i i a b c 三个数均为0时，显然i ≥1.则11||0i i i a a b --=-=，11||0i i i b b c --=-=，11||0i i i c c a --=-=. 所以111i i i a b c w ---===（定值）.由000,,a b c 三数互不相等，得2i ≥，且122||i i i a a b w ---=-=，122||i i i b b c w ---=-=，122||i i i c c a w ---=-=. 不妨设222i i i a b c ---≤≤，则有22i i b a w ---=，22i i c b w ---=，22i i c a w ---=， 由222222()()i i i i i i b a c b c a -------+-=-，得2w w =， 所以0w =，即1110i i i a b c ---===.以此类推，可得2220i i i a b c ---===，3330i i i a b c ---===，，1110a b c ===，0000a b c ===， 这与000,,a b c 三个数互不相等矛盾，所以对于任意的i ∈N ，,,i i i a b c 三个数中至多有一个数为0. ……………… 8分 （Ⅲ）设,,i i i a b c 三个数中最大的为i m ,记作max{,,}i i i i m a b c =.因为1||i i i a a b +=-，1||i i i b b c +=-，1||i i i c c a +=-，且,,i i i a b c ∈N ,所以1i i m m +≤,其中=0123i ，，，，, 由题意，可知i m ∈N ,其中=0123i ，，，， 所以123,,,m m m 不可能单调递减，即必存在某个*k ∈N ，使得1k k m m +=. ……………… 10分 根据1k X +的定义，可得向量(,,)k k k k X a b c =中的三个数,,k k k a b c 中必有0. 由（Ⅱ）知,,k k k a b c 中有且仅有一个为0，不妨设0k a =，（1）若k k b c ≠，由题意，不妨设0k k b c <<，则1||=k k k k a a b b +=-，1||=k k k k k b b c c b +=--，1||=k k k k c c a c +=-，1k k k m m c +== 所以2111||max{,}k k k k k k k a a b b c b m ++++=-<-<，同理21k k b m ++<，21k k c m ++<， 所以21k k m m ++<.又因为i m ∈N ，所以此种情形不可能一直出现（至多出现1k m +次）.所以一定能找到某个*j ∈N ，使得j j b c =. ……………… 12分（2）若k k b c =，由题意，得(0,,)k k k X b b =，1(,0,)k k k X b b +=，2(,,0)k k k X b b +=，3(0,,)k k k X b b +=，所以存在正整数t k =，使得3t t X X +=.综上，存在正整数t ，使得3t t X X +=. ……………… 13分。
2019年北京西城区高三数学理科试题
17．（本小题满分 14 分）
如图 1，在平行四边形 ABCD 中， E ， F 分别为 AD ， AB 的中点， AD 4 ， AB 4 2 ，
A 45 ． 将 △AEF 沿 EF 折起到 △A1EF 位置，使得平面 A1EF 平面 BCDEF ，如图 2． 记
A1C 的中点为 M ．
0.25
1月1日 2月1日 3月1日 4月1日 5月1日 日期
图 ○3
.
数学（理科）
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三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分） 已知函数 f (x) cos(2x π) 2sin xcos x . 6 （Ⅰ）求函数 f (x) 的最小正周期； （Ⅱ）将函数 f (x) 的图象向左平移 π 个单位，得到的图象对应的函数解析式为 g(x) ，求 g(x) 3 的单调增区间.
B
C
图2
（Ⅰ）若曲线 y f (x) 在点 (x0, f (x0 )) 处的切线的斜率小于 1，求 x0 的取值范围； （Ⅱ）设整数 k 使得 f (x)≥k(x 1) 对 x (0,) 恒成立，求整数 k 的最大值．
2
19．（本小题满分 14 分）
已知抛物线W ： y2 2 px 的准线方程为 x 1，焦点为 F , A 为抛物线W 上异于原点 O 的
54 曲线的渐近线方程为____. 11．在△ ABC 中，若 a 2b ， b 2c ，则三个内角中最大角的余弦值为____．
12. 某三棱锥的三视图如图所示，则在该三棱锥表面的四个三角形中，等腰三角形的个数为____．
21 正(1主)视图1
2019年北京市西城区高三期末理科试卷及答案
北京市西城区2019—2019学年度第一学期期末考试数学试题（理）本试卷分第I 卷和第n 卷两部分，共 150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸 上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第I 卷（选择题共40分）、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项. i 1 i -1-i 2 2[1,4] B . [1,5]4 C . H,4]56.已知a,b ，R .下列四个条件中，使 a b 成立的必要而不充分的条件是 （）复数C .丄丄2 22. 已知圆的直角坐标方程为y 2 -2y = 0 . 在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,5. A .= 2cos J B .『=2sin v已知向量a = ( .. 3,1), b = (0,-2).若实数A . (.3, -1)B . (-1^ ,3) 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为A . 3B . -6C .10D . -15k 与向量c 满足a • 2b = k c , C . (-、3,-1)x"已知点P （x, y ）的坐标满足条件 y 乞2,2x y - 2 _0,那么x 2取值范围是= _2sin v则c 可以是（(-1,，3)4 D . [：,5]5该圆的方程为 3. 4. y 2的A. a b-1 B . a b 1 C . |a| |b|7 •某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A . 88B .3B. 4 4C. —3&已知点A(-1, -1).若曲线G 上存在两点B,C ，使△ ABC为正三角形，则称 G 为-型曲线.给定下列三条曲线:13 .在"BC 中，三个内角A ，B 'C 的对边分别为a 'b &若，B 蔦14 .有限集合P 中元素的个数记作 card(P).已知card(M ) =10 , M , B ^ M , Ap| B,■ 2b① y --x3(0^x ^3)；1③ y (x 0). x其中，-型曲线的个数是A . 0B .1②y = .2—x 2 ( —、、2 乞XE O);( )C . 2D . 3第H 卷(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.19.函数f(x)= -------------- 的定义域是 _______ .log 2 x10 .若双曲线x 2 —ky 2 =1的一个焦点是(3,0)，则实数k= __________ 11.如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线.PA PB右——=——，贝U ——=.BC2 BC12 .已知｛a n ｝是公比为2的等比数列，若a^ a^ 6，则a 1 = 2a2III,sin 」5“i+i+i«炖观图且card(A) =2 , card(B) = 3 .若集合X满足A X M，则集合X的个数是__________________ ；若集合丫满足YGM，且AuY , BUY，则集合Y的个数是 ____________•(用数字作答)三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=J3sin2x+sin xcosx , x引n, n .2(I)求f (x)的零点；(n)求f (x)的最大值和最小值.16.(本小题满分13分)盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.(I)从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；(n)从盒中随机抽取2个零件，使用.后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X，求X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A1BQ1中，AB二BC = 2AA , ■ ABC =90 , D是BC的中点.(I)求证：A,B //平面ADC1；(n)求二面角C j - AD -C的余弦值;(川)试问线段AB上是否存在点E，使AE与DC1成60角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由.18.(本小题满分13分)2 2x y已知椭圆C:二2=1 (a b 0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为a b(I)求椭圆C的方程；(n)设经过点F的直线交椭圆C于M , N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0, y。
【2019西城一模】北京市西城区2019届高三一模试卷-数学理
北京市西城区2019年高三一模试卷数 学（理科） 2019。
4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<≤,{|1}B x x =<，则集合()UA B =（ ）（A ）(,2]-∞(B ）(,1]-∞（C)(2,)+∞（D ）[2,)+∞2. 已知平面向量(2,1)=-a ，(1,1)=b ，(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为（ ） （A ）2（B)12（C ）114（D ）114-3．在极坐标系中，过点π(2,)2且与极轴平行的直线方程是（ ) （A ）2ρ=（B)2θπ=(C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为( ) （A ）4 (B ）16 （C ）256 （D ）3log 165．下列函数中,对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ） （A ）()sin =f x x（B ）()sin cos =f x x x（C ）()cos =f x x （D ）22()cos sin =-f x x x6． “8m <"是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D ）既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ) （A ）3 （B ）4(C ）5（D ）68。
北京市西城区2019届高三下学期4月统一测试(一模)理科综合物理试卷 含解析
西城区高三统一测试理科综合1.已知氡222的半衰期为3.8天.那么4g的放射性物质氡222经过7.6天，还剩下没有发生衰变的质量为A. 2gB. 1gC. 0.5gD. 0g【答案】B【解析】【详解】根据衰变的半衰期公式，其中，n为半衰期的个数,，联立可得：；故选B.2.关于热学中的一些基本概念，下列说法正确的是A. 物体是由大量分子组成的，分子是不可再分的最小单元B. 分子间的斥力和引力总是同时存在的，且随着分子之间的距离增大而增大C. 分子做永不停息的无规则热运动，布朗运动就是分子的热运动D. 宏观物体的温度是物体内大量分子的平均动能的标志【答案】D【解析】【详解】A、物质是由分子组成的，分子是原子组成的，原子是不可再分的最小单元；故A错误.B、根据分子动理论可知分子间同时存在分子引力和分子斥力，引力和斥力都随分子间距离的减小而增大，随分子间距的增大而减小；故B错误.C、布朗运动是固体微粒的运动，不是分子的运动，但间接反映了液体分子的热运动；故C错误.D、大量分子的热运动的快慢用统计规律可得，则温度就是分子平均动能的标志；故D正确.故选D.3.如图所示，一颗卫星绕地球做椭圆运动，运动周期为T,图中虚线为卫星的运行轨迹，A，B，C，D是轨迹上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远。
B和D点是弧线ABC和ADC的中点，下列说法正确的是A. 卫星在C点的速度最大B. 卫星在C点的加速度最大C. 卫星从A经D到C点的运动时间为T/2D. 卫星从B经A到D点的运动时间为T/2【答案】C【解析】【详解】A、卫星绕地球做椭圆运动，类似于行星绕太阳运转，根据开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，则知卫星与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以卫星在距离地球最近的A点速度最大，在距离地球最远的C点速度最小，卫星在B、D两点的速度大小相等；故A错误；B、在椭圆的各个点上都是引力产生加速度，因A点的距离最小，则A点的加速度最大，故B错误.C、根据椭圆运动的对称性可知，则，故C正确.D、椭圆上近地点A附近速度较大，远地点C附近速度最小，则，；故D错误.故选C.4.一条绳子可以分成一个个小段，每小段都可以看做一个质点，这些质点之间存在着相互作用。
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北京市西城区高三统一测试
数学（理科）
2019.4
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．设全集U R ，集合{|02}A x x ，{3,1,1,3}B ，则集合()U A B
e （A ）{3,1}（B ）{3,1,3}
（C ）{1,3}（D ）{1,1}
2．若复数1i
2i z ，则在复平面内z 对应的点位于
（A ）第一象限（B ）第二象限
（C ）第三象限（D ）第四象限
3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为
（A ）4
（B ）5
（C ）7
（D ）9
4．下列直线中，与曲线C ：12,
()24x t t y t 为参数没有公共点的是
（A ）20x y （B ）240
x y （C ）20x y （D ）240
x y 5. 设,,a b m 均为正数，则“b a ”是“a m a
b m b ”的
（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
6．如图，阴影表示的平面区域W是由曲线0
x y所围成的. 若
x y，222
点(,)
z x y的最大值和最小值分别为
P x y在W内（含边界），则43
（A）52，7
（B）52，52
（C）7，52
（D）7，7
7. 团体购买公园门票，票价如下表：
购票人数1~50 51~100 100以上
门票价格13元/人11元/人9元/人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为
（A）20（B）30
（C）35（D）40
8. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422
x y围成的平面区域的直径为
（A）432（B）3
（C）22（D）4。