等差数列1
等差数列一1-2
等差数列一数列中每两个相邻数的差相等，像这样的一列数，我们称它为等差数列。
一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③2，4，6，8，10，12，14…④3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为a n，an。
又称为数列的通项，a1；又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项.等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2项数=（末项—首项）÷公差+1末项=首项+（项数—1）×公差首项=末项—（项数—1）×公差1：已知等差数列的第3项是8，第8项是23，那么这个等差数列的首项是多少？2：一列数是按2、5、8、11、14、……规律排列的一串数，问其中的第1995项是多少？3：有一个等差数列：9、12、15、18……、2004，这个数列共有多少项？4：求等差数列：1+6+11+16…….的第61项5：所有被9除余1的数从大到小排成一排，则第十项是多少？6：、已知一个等差数列的第五项为16，第12项为44，求（1）这个数列的首项是多少？公差是多少？（2）这个数列的第2002项是多少？（3）这个数列前100项的和是多少？7：等差数列3、5、7、……..的第10项是几？，第100项是几？8：已知等差数列的第一项是12，第六项是27，它的公差是几？9：计算下面数列的和：（1）1+2+3+4+……+199+200（2）1+3+5+7+……197+199（3）5+10+15+……90+95+100（4）191+187+183+179+……+111（5）23+23×2+23×3+23×4+23×5+……+23×23（6）（2002+2000+1998+……+4+2）—（2001+1999+1997+……+3+1）（7）（2009+2007+…+3+1）—（2008+2006+2004+…+4+2）（8）2005+2004+2003-2002-2001-2000+…+7+6+5-4-3-2+1(9) 100-99+98-97+…+4-3+2-1等差数列一检测题1：已知等差数列3、6、9、15、……..中，45是这个数列的（）项。
等差数列
数列专题（一）——等差数列1．等差数列定义：⇔∈=-+为常数d N n d a a n n ),(*1数列}{n a 为等差数列。
2．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 3．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 4．等差数列的性质公式： （1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+； （3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=；（4）n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，则数列,...,,232m m m m m S S S S S --也是等差数列. 基础题1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.82.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于 。
3.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2,11952-=+-=a a a ，则当n S 取最小值时，n 等 于（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 64.（15年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=5.（15年新课标2文科）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，36,963==S S ，则._______987=++a a a 提高题1.（15年新课标2理科）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．2.已知等差数列}{n a 中，若,0,031110119<⋅<+a a a a 且数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（ ） A. 20 B. 17 C. 19 D. 213.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，且满足35124,2a a a a a n n n -=-=++，则7S =（ ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 214.在等差数列}{n a 中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 125.设n n T S ,分别是等差数列}{},{n n b a 的前n 项和，且5959=T S ，则35b a的值为_________.6.（15年福建文科）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．7.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .一、等差数列3．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 2．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 3．等差数列的性质公式： （1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+； （3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=. 基础题2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 答案：C5.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于 。
高一数学等差数列1(201909)
二．应用
例1．已{a知n}
数列令bn
a
n
1
2满.
a1
4,a n
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 (n a n 1
2),
足
（1）求证：数列 {bn} 为等差数列； （2）求数列 {an} 的通项公式.
分析：由等差数列的定义，要判断{b n }是不是等差数列，
am an ap aq. 性质4：设 n N* ，则a1 an a2 an1 a3 an2 . 性质5：设 c, b 为常数，若数列{an}为等差数列，则数
列 {an b}及 {c an b}为等差数列. 性质6：设 p, q 为常数，若数列{an} 、{bn}均为等差数列，
等差数列
一、等差数列的性质 已知数列{an} 为等差数列，那么有 性质1：若 m,p,n(m,p,n N*)
am,ap,an
成等差数列，则
证明：根据成等等差差数数列列的. 定义， m,p,n成等差数列,
p m n p, (p m)d (n p)d.
ap am an ap.
即 a m , a p , a n 成等差数列.证毕.
如 a1, a6 , a11 成等差数列，a3, a6 , a9 成等差数列.
性质2：设 k,m N* ，则 ak , akm , a k2m , 成等差数列. 性质3：设m,n,p,q N*，若 m n p q, 则
只要看 bn bn1(n 2)是不是一个与n 无关的
常数就行了.
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等差数列公式的原理(一)
等差数列公式的原理(一)等差数列公式的原理解析什么是等差数列等差数列是数学中常见的一种数列，其特点是每个数与它的前一个数的差值都是相等的。
例如：1，3，5，7，9就是一个等差数列，其中公差为2。
等差数列的表示假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。
则，等差数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d推导等差数列通项公式我们可以通过数学归纳法来推导等差数列的通项公式。
首先，我们假设当n=1时，等差数列的第一项为a₁。
这是一个已知条件。
然后，我们假设当n=k时，等差数列的第k项为aₙ。
这也是一个已知条件。
接下来，我们来推导等差数列的第k+1项aₙ₊₁。
根据等差数列的定义，第k+1项与第k项之间的差值为公差d。
所以，第k+1项为aₙ + d。
因此，我们可以得到等差数列的通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d这个公式能够表示等差数列中任意一项的值。
等差数列的求和公式除了通项公式，等差数列还有一个常用的求和公式，可以用来求等差数列前n项的和。
设等差数列前n项的和为Sₙ。
根据等差数列的性质，可将等差数列分别从首项到末项以及从末项到首项相加，得到：2Sₙ = (a₁ + aₙ) + (a₂ + aₙ₋₁) + (a₃ + aₙ₋₂) + … + (aₙ + a₁)由于每一对括号中的两项相加都等于公差d，所以可以将上式变为：2Sₙ = n(a₁ + aₙ)进一步整理，得到等差数列的求和公式：Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)这个公式可以依据等差数列的首项、末项和项数，轻松求得等差数列前n项的和。
总结等差数列的公式是数学中常见且重要的工具，通过通项公式，我们可以快速计算等差数列中任意一项的值。
而求和公式则帮助我们轻松求得等差数列前n项的和。
掌握了等差数列的公式，可以帮助我们更好地理解和应用数学。
以上就是等差数列公式的原理的相关解析。
参考资料： - 等差数列 - 等差数列通项公式推导 - 等差数列求和公式的推导。
等差数列(1)PPT课件
解： a1
5, d 9 (5) 4, an 401 ,
5 (n 1) (4)
401 因此，
解得
n 100
练一练
a4 15 ,
an a1 (n 1)d
a7 27, a10 39
问题2：思考根据规律填空 你能求出该数列的通项公式吗？ (3) 1，4，7，10，13，16，( 19),( 22)……
a4 10 7 3 1 3 3
…… an 1 (n 1) 3
a3 7 4 3 1 2 3
a2 4 1 3
a20 ?
5.2.1 等差数列的概念
问题1
用正方形积木（棱长为3cm）垒台阶模 型.第一层用6块积木，第二层用5块积 木……第六层用1块积木.
（1）试写出从下到上每级台阶距地面的高 度所构成的数列. （2）每一层所用的积木个数构 成的数列
请观察：
d=3
（1）从下至上每级台阶距地面的高度所构成的数列3，6，9，12 d=1 ，15，18 （2）每一层所用的积木个数构成的数列1, 2, 3, 4, 5, 6
a a (n 1)d
归纳得:
n
1
通项公式：an a1 (n 1)d .
用一下
an a1 (n 1)d
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解： a1
8 , d 5 8 3, n 20 ,
a20 8 (20 1) (3) 49
例2
在等差数列中,已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d. an a1 (n 1)d 解：由题意可知
高三数学等差数列1(201911整理)
等差数列{an} (6)a1=20,an=54,Sn=999,求d,n (7)d=1/,n=37,Sn=629求a1,an (8)a1=5/6,d=-1/6,Sn=-5求n,an (9)d=2,n=15,an=-10,求a1,Sn
满足下列条件数列{an}是否成等差数列。
(1)Sn=n2-3n
(2){an}是等差数列，{bn}是等差数列
10{an+a}
20{kan}
30{kan+b}
40{an+bn} 50{a3n+1} 60{2an}
70n+k}
80a1+a2+..+ak,ak+1+ak+2+…a2k,…
等差数列（1）
等差等比抓首公；看清下标用性质。 五个元素三基本；求和项数很重要。 细心翻译常联想；心中公式是关键。
定义:
a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d
0增
d
0常
0减
判断 :
1、定义法：an-an-1=d
2、递推公式：an-an-1= an+1-an 2an=an-1 +an+1
理解：an am d nm
等差数列{an} (1)a1=2,d=3,n=10,求an (2)a1=3,an=21,d=2求n (3)a1=12,a6=27,求d (4)d=-1/3,a7=8,求a9 (5)a5=-1,a8=2,求a1,d,an
求和
Sn=a1+a2+a3+…+an (项较少时用之方便)
(3) {an}是正数等比数列，则数列{logan}
在数列{an}中，a1=1,a2=2/3,且 1/an-1+1/an+1=2/an(n>1)则这个数 列的通项公式
高三数学等差数列1
求和
Sn=a1+a2+a3+…+an (项较少时用之方便)
s1
an=
sn
sn1
n 1
( 项和关系式)
n2
Sn
1 2
n(a1
an )
1 2
(a2
an1 )
1
1
na1 2 n(n 1)d nan 2 n(n 1)d
d 2
n2
(a1
d 2
等差数列（1）
等差等比抓首公；看清下标用性质。 五个元素三基本；求和项数很重要。 细心翻译常联想；心中公式是关键。
定义:
a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d
0增
d
0常
0减
判断 :
1、定义法：an-an-1=d
2、递推公式：an-an-1= an+1-an 2an=an-1 +an+1
80a1+a2+..+ak,ak+1+ak+2+…a2k,…
(3) {an}是正数等比数列，则数列{logan}
在数列{an}中，a1=1,a2=2/3,且 1/an-1+1/an+1=2/an(n>1)则这个数 列的通项公式
利用递推公式判断{1/an}是 等差数列
通项公 式： an=a1+(n-1)d (迭代或累加)
4、递增数列{an}中，若 a2+a4=16,a1.a5=28,则an=？
5、数列｛an｝中，a1=2，an＋1 －an=3n（n∈N*）,则数列的通项 为an=？
《等差数列》(1)孙明
等差数列的定义
一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一 项与它的前一项的差等于同一个常数，那 么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫 做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表 示。
定义的符号表示是：an - an-1=d(n≥2,n∈N), 这就是数列的递推公式。
通项公式的推导
设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d, 那么数
列{an}的通项公式是什么？
所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d
例1： （1）求等差数列8，5， 2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差 数列 –5,-9 ,-13…的项?如果是， 是第几项，如果不是，说明理由。
练习
• 已知等差数列{an}中, a5=9, a15=19, 求a10的值。
本课小结
* 等差数列的定义 * 通项公式及其应用
* 等差中项
an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
课后作业
• 课本 P40 习题2.2 A组 • 课时作业 P63 思考题4. 5.
判断正误
• A.一个数列的每一项与它前一项的差等于同一个 常数，则这数列为等差数列。
• B.一个数列任意两项的差等于同一个常数,则这个 数列为等差数列.
• C.一个数列从第二项开始,每一项与它前一项的差 等于一个常数,则这数列为等差数列.
• D.一个数列从第二项开始,每一项与它前一项的差 等于同一个常数,则这数列为等差数列.
商城职高 孙明
（1）从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，组成的数列为： 0，5，10，15，20，25，…….
（2）在2000年悉尼奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目，该 项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重（单位：kg），组 成数列为：48，53，58，63. （3）水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期 放 水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m， 自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起， 到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位m）组成的数 列为：18，15.5，13，10.5，8，5.5. （4）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即 不把利息加入本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式 是：本利和＝本金×(1＋利率×存期）.按活期存入10 000元钱， 年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元） 组成的数列为：
等差数列1
等 差 数 列【专题解析】项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1通项公式：第n项=首项+（n－1）×公差求和公式：总和=（首项＋末项）×项数÷2【例1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？1、 等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2、 有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？3、 已知等差数列1001，996，991，986，26，…，11.这个等差数列共有多少项？【例2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？1、 求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
2、 一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？3、 一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？4、 求等差数列398，396，394，392，……的第100项。
【例3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
（1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60【例4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
（1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200（3）9+18+27+36+…+261+270【例5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)（3） （1+3+5+...+199）－（2+4+6+ (98)家 庭 作 业1、 有一个等差数列：9，12，15，18.…，2004.这个等差数列共有多少项？2、 已知等差数列1000，994，988，982，…，400.这个等差数列共有多少项？3、 求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
等差数列1
一、知识梳理；1.等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d 表示。
数学语言：d a a n n =--1 ）2(≥n 或d a a n n =-+1 n (≥1)2.等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= 或 d m n a a m n )(-+=3.等差中项：由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项。
（因为a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A ）所以就有 2ba A +=4.等差数列的常见性质：若数列{}n a 为等差数列，且公差为d ，则此数列具有以下性质：1.()d m n a a m n -+=；2.若q p n m +=+（*,,,N q p n m ∈），则q p n m a a a a +=+；练习：判断正误①1，2，3，4，5是等差数列； （ ） ②1，1，2，3，4，5是等差数列； （ ） ③数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； （ ） ④数列3,2,1,---a a a a 是公差为1-a 的等差数列； （ ） ⑤数列{}12+n 是等差数列； （ ） ⑥若c b b a -=-，则c b a ,,成等差数列； （ ） ⑨等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差。
（ ） 二、例题讲解：例一：1、求等差数列8、5、2… …的第20项2、401-是不是等差数列5-、9-、13-… …的项？如果是，是第几项？练习：１、求等差数列10、８、６… 的第２０项。
２、－20是不是等差数列０、3.5、－7… 的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
３、等差数列｛n a ｝中，已知：105=a 3112=a 求1a 和d已知：65=a8=a 求14a已知：961=+a a 74=a 求3a 、9a例二：已知{}n a 是等差数列，17,582==a a ,求数列的公差及通项公式。
小学等差数列1课件
（41-1）÷4+1=11项 两两分组之后，还剩下中间项为(1+41)÷2=21 和为21×11=231
和=中间项×项数
【铺垫】(★★)
计算下面数列的和。 2＋5＋8＋11＋14＋17＋20＝______。
有中间项吗？
中间项为11，项数为7，和为 中间项×项数=11×7=77
当然是19-1=18（个）呀！
所以95-5=90是18个公差，所以公差等于90÷18=5
第30项等于5+（30-1）×5=150
305-5=300是多少个公差呢？ 300÷5（公差）=60 所以305是60+1=61项0.
铺垫 1＋5＋9＋13＋17＋21＋25＋29＝_____。
仔细观察，这些数字有什么规律呢？
（2）同样的，每一项比前一项少5，那么第13项比第 一项少了12个5，那么末项是
121-（13-1）×5=61
【例2】(★★★)
一个等差数列的首项是5，第19项等于95，那么这个 等差数列的公差＝_____；第30项＝______，305是 这个数列的第_____项。
想一想，第19项和首项之间相差几个公差呢？
例4(★★) 计算下面各个数列的和。 ⑴1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝______； ⑵1＋2＋3＋4＋…＋98＋99＋100＝______；
根据前面几道题，我们可以总结出来，等差数列的求和公 式为（首项+末项）×项数÷2
（1）和=（1+10） ×10 ÷2=55
（2）和=（1+100） ×100 ÷2=5050
等差数列（一）
【课前】（★） 请观察下面的数列，找规律填数字。
①4，8，12，16，20，_2_4__； ②7，10，13，16，__1_9__，__2_2__； ③220，190，160，130，__1_0_0_； ④104，94，84，74，__6_4_，54。
等差数列(1)
那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
（五）小综合
在等差数列｛an｝中已知a5=10, a12=31, 求a1、d及an 解： 由an=a1+(n－1)d 得 a5=a1+4d=10 a1=－2 a12=a1+11d=31 d=3 an=－2+(n－1)· 3=3n－5 猜想：任意两项an和am之间的 知识延伸： 由定义，可知： 证明：∵am=a1+(m－1)d a6=a5+d ∴an=a1+(m－1)d+(n－m)d a7=a6+d=a5+2d=a5+(7－5)d =a1+(n－1)d a8=a7+d=a5+3d=a5+(8－5)d ∴本题也可以这样处理： … 由a12=a5+(12－5)d a12=a5+(12－5)d 得 31=10+7d d=3
五、要点扫描：
本节课主要学习 ①等差数列的定义：“从第2 项起，后项 减前一项差为常数” ②通项公式： an=a1+(n－1)d （ n∈N*）
六、作业：
P118 1, 2, 4, 5, 6, 8
另：已知两个等差数列5，7，9，…和 3, 6， 9，…共有100项。 求这两个数列相同项的个数。
； / 北京包装设计 产品包装设计 包装设计公司 ； 2019年01月24日18:48:52 ；
当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。 这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数 列{an}的通项公式。
三、巩固通项公式 an=a1+(n－1)d (n∈N*)
（一）求通项an
公差为1的等差数列求和公式
公差为1的等差数列求和公式等差数列是数学中的重要概念之一，它是指一个数列中任意两个连续的数之间的差都相等。
而公差为1的等差数列则是指每两个连续的数之间的差都为1。
在数学中，我们经常需要求解等差数列的和，而对于公差为1的等差数列，有一个简洁而又实用的求和公式。
下面我们将来介绍这个公式，并通过实例来说明其应用。
假设我们有一个公差为1的等差数列，首项为a，末项为b，共有n 个项。
那么该等差数列的和可以通过下面的公式来计算：S = (n/2) * (a + b)其中，S表示等差数列的和，n表示等差数列的项数，a表示首项，b表示末项。
这个公式的推导过程可以通过数学归纳法来证明。
首先，当n=1时，显然等差数列的和就是首项a本身。
然后，假设当n=k时，等差数列的和为Sk = (k/2) * (a + b)成立。
那么当n=k+1时，等差数列的和可以表示为Sk+1 = Sk + (k+1) = (k/2) * (a + b) + (k+1) = ((k/2) + 1) * (a + b) = ((k+2)/2) * (a + b)。
可以看出，Sk+1也满足等差数列求和公式。
因此，根据数学归纳法，我们可以得出当n为任意正整数时，等差数列的和都可以使用公式S = (n/2)* (a + b)来计算。
下面我们通过一个具体的例子来说明这个公式的应用。
例子1：求公差为1的等差数列1, 2, 3, 4, 5的和。
根据公式S = (n/2) * (a + b)，其中n为5，a为1，b为5，代入公式计算得：S = (5/2) * (1 + 5) = 2.5 * 6 = 15因此，公差为1的等差数列1, 2, 3, 4, 5的和为15。
通过上述例子可以看出，使用公差为1的等差数列求和公式可以简洁地得到等差数列的和，而不需要逐个相加。
这在实际应用中具有重要意义，特别是当等差数列的项数较多时，使用公式可以大大提高计算效率。
除了公差为1的等差数列，对于任意公差的等差数列，我们也可以通过稍作变形来求解其和。
四年级下册同步培优：等差数列一人教版
例1：观察以下数列：（1）2、4、6、8、...、18； （2）1、4、7、10、...、28。
判断：他们是等差数列吗？公差是多少？
（2）1、4、7、10、. 例1：观察以下数列：（1）2、4、6、=和
例3：有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加1根，共堆了10层。
和=（首项+末项）×项数÷2
（61-1）÷3=20 20个公差
项数：20+1=21
（200-10）÷10=19 19个公差 项数：19+1=20
老师刚写完题目，高斯就把解题用的小石板交给老师，过了很久其他同学才写出答案。
判断：他们是等差数列吗？公差是多少？
（末项-首项）÷（项数-1）=公差 例1：观察以下数列：（1）2、4、6、8、.
3、6、9、12、15、18、21、24、27、30 （1+78）×12÷2=474
例3：有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加1根，共堆了10层。
故事就是讲的高斯10岁时的事，当时数学老师 项数=（末项-首项）÷公差+1
判断：他们是等差数列吗？公差是多少？
判断：他们是等差数列吗？公差是多少？
出了一道数学题：1+2+3+...+100。老师刚写 末项=首项+公差×（项数-1）
例3：有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加1根，共堆了10层。 （末项-首项）÷（项数-1）=公差
等差数列1
等差数列（一）【知识·规律·方法】1、数列：按照某种规律排列的一串数叫数列，数列中的数称为项，第一个数叫做第一项，又叫做首项，第二个数叫做第二项……以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项，项的个数叫做项数。
如：2,4，6,8,10…,100，就是数列。
2,4,6等叫做数列的项。
其中的2是第一项（或叫首项），4是第二项，100为末项。
一共有50个数，项数即为50。
2、等差数列：一个数列中，如果从第二项起，每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫等差数列。
后项与前项的差叫做这个数列的公差（用d表示）。
如等差数列：4,7,10,13,16,19,22，首项是4，末项是25，每一个后项与前项的差是3（也就是公差为3）。
3、规律与方法：等差数列中的基本公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1首项=末项－公差×（项数－1）末项=首项＋公差×（项数－1）总和=（首项＋末项）×项数÷2公差=（末项－首项）÷（项数－1）奇数项等差数列的和=中间项×项数【范例·解析·拓展】例1、判断下列各数列是否是等差数列，如果是，请指出首项、末项和公差。
（1）1,2,3,4,5,6；（2）3,3,3,3,3,3；（3）2,4,8,16,32,64；（3）0,10,20,30,40,50；（4）1,4,9,16,25,36；（5）2,4,6,8,10,12；例2、求等差数列5,7,9,11…的第20项。
试一试、在等差数列5,9，13，…中，401是第几项？例3、已知数列1,4，7,10，…。
此数列的第100项是多少？451是此数列的第几项？例4、如果一个等差数列的第4项是21，第6项是33，它的第8项？例5、在121、221两数之间插入一个数，使其成为一个等差数列。
试一试、在12与60之间插入3个数，使这5个数成等差数列。
例6、在50个数组成的等差数列的和为：…＋43＋45＋47＋…＋97＋99=2500。
第1节 等差数列
【例2】 (2018新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知
a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通项公式;
【解析】 (1)设{an}的公差为d,由题意得3a1 3d 15. 由a1 7得d 2.所以{an}的通项公式为an 2n 9.
(2)求Sn,并求Sn的最小值. (2)由(1)得Sn n2 8n (n 4)2 16. 所以当n 4时, Sn取得最小值,最小值为 16.
1,
a100 a10 90d 98,故选C.
14.(2018广东潮州二模)在我国古代著名的数学专著《九章算术》
里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二
十五里,良马初日行一百零三里,日增一十三里;驽马初日行九十七
里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:几日相逢 ( )
【答案】 15 【解析】 由等差数列的等和性,可知a1 a4 a2 a3, 2(a2 a3 ) 30,a2 a3 15.
11.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,则其通项公式an=
;
若它的第k项满足5<ak<8,则k=
.
【答案】 2n 10;8 【解析】
a1
9d
1 2
9
19 2
, 故选B.
13.(2016新课标Ⅰ卷,理)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,
则a100=
()
A.100
B.99
C.98
D.97
【答案】C
【解析】 S9
9(a1 2
a9 )
9a5
27, a5
等差数列1
求通项公式的关键步骤：
求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由 此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出 方程求解的思想方法，称 。 这是数学中的常用思想方法之一。
练一练
在等差数列{an}中，
(1) 已知a4=10, a7=19,求a1与d. (2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12. 解： (1)由题意知， a4=10＝a1+3d 解得: a1=1 a7=19＝a1+6d 即等差数列的首项为1,公差为3 (2)由题意知， a3=9＝a1+2d a9=3＝a1+8d d=3
四 个 实 例 从第二项起，后一项与前一项的差是5。
我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列： 0，5， 10 ，15 ，20 ，… ① 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比 从第二项起，后一项与 赛项目。该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列 5。 （单位：kg）： 48 ，53，58，63. 前一项的差是 ② 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清 库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为 18m，自然放水每天 从第二项起，后一项与 水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工 前一项的差是-2.5。 作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）： 18，15.5，13， 10.5，8，5.5. ③
所以等差数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d
例题 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项； （2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项? 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。 分析（1）由给出的等 解：(1)由题意得： 差数列前三项，先找 a1=8,d=5-8=-3,n=20 到首项a1,求出公差d, ∴这个数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d=-3n+11 写出通项公式，就可 以求出第20项a20. ∴a20=11-3×20=-49
等差数列(1)
等差数列(1)教学目标（1）理解等差数列的概念；（2）能用定义判断数列是否为等差数列，能用等差数列有关知识解决相应的问题；（3）会求等差数列的公差及通项公式。
教学重点，难点掌握等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式、等差中项公式教学过程一．问题情境1．情境：观察下列数列：：4，5，6，7，8，9，10，……； ①3，0，3-，6-，……， ②第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004 ③某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元，以后每分钟收话费0.1元，那么通话费按从小到大的次序依次为：0.2,0.20.1,0.20.12,0.20.13,++⨯+⨯ ④如果1年期储蓄的月利率为1.65%，那么将10000元分别存1个月， 2个月 ， 3个月 ， …… 12个月，所得的本利和依次为100001000016.5,1000016.52,1000016.512++⨯+⨯ ， ⑤2．问题：上面这些数列有何共同特征？二．建构概念1．等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥．思考：（1）你能再举出一些等差数列的例子吗？（2）判断下列数列是否为等差数列：①1，1，1，1，1； ②4，7，10，13，16； ③3,2,1---，1，2，3。
（3）求出下列等差数列中的未知项：①3，a ，5； ② 3，,b c ，9-（4）已知等差数列{}n a ：4，7，10，13，16 ，如何写出它的第100项100a ？2．等差数列的通项公式：已知等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，求n a三、应用例1．在等差数列{}n a 中，已知310a =，928a =，求12a ．例2．某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。
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等差数列的例题1
（2） –401是不是等差数列 -5，-9，-13，… 的项？如果是，是第几项？
解： a
因此，
1
5, d 9 (5) 4, an 401 ,
401 5 (n 1) (4)
n 100
an a1 (n 1)d
解得
答：这个数列的第100项是-401.
由此可知 an a1 (n 1)d
公式成立。
n N
等差数列的通项公式
an a1 (n 1)d
dn (a1 d )
d=0, 常数列；
当d≠0时，这是关于n的一个一次函数。
d>0, 递增数列； d<0, 递减数列；
首项是1，公差是2的 无穷等差数列的通项 公式是
3.2 等差数列
复习
次序 1 .数列： 按一定的次序排成的一列数叫
做数列。 2.写出下列数列的通项公式：
（1） 2，4，6，8…
an 2n
（2）1，4，9，16，25，36 …
1 1 1 1 （3） ， ， ， 2 4 8 16
an n
2
n
( 1) an n 2
观察与思考 ：下面的几个数列相邻两项有什么共同点： (1) (2) (3) 5，5，5，5，5，5，… 4，5，6，7，8，9，10. 2，0，-2，-4，-6，…
等差数列的例题1
等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ，an , a1 , n ,d 这四个变量 ， 知道其
中三个量就可以求余下的一个 量.
等差数列的例题2 a 在等差数列 a 中， 5 10, a12 31
n
,
求 首项 a1 与公差
解：
d .
a5 a1 4d 10 a12 a1 11d 31
an
9 8 7 6 5
an 2n 1
4
3 2 1
0
1
2 3 4
5
n
Байду номын сангаас
等差数列的例题1
（1）求等差数列8，5，2，…的第20项。
解： a1
8, d 5 8 3, n 20,
a20 8 (20 1) (3) 49
an a1 (n 1)d
练习1
d 2 0
（6）-5，-4，-3
（7） 1,
d 1
2,
3,
4,...
（不是） （不是）
（8） 1， 2，4，7，11
练习2
填上适当的数，组成等差数列
-1 （1） 1，0 , ——
（2）____，2，4 0 1 7 （3）_____,3 ,5 ,____ 1 (4) –1 ,_____, 3
0，
a7 6 , 求： （1）a1 6
（2）an
，
d -2
；
；
2n 8
（3）10是不是这个数列中的项？ 如果是，是第几项？如果不是说明 理由。
4、等差数列1，-1，-3，-5 ，…，-89，它的 项数是 46
5、在等差数列 {an } 中,
则 a1
-8
a2 5, a6 a4 6,
d=0,常数列；d>0, 递增数列；d<0, 递减数列
如果一个数列是等差数列，那么该数 列的通项公式一定能写成 an pn q （p,q是常数）的形式。
课后思考：
如果一个数列的通项公式能写成 an pn q （p,q 是常数）的形式， 那么这个数列是不是等差 数列呢？
等差数列的作业
公差 d=0 公差 d=1 公差 d= -2
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的 第2项 同一个常数 前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差 数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 字母d表示。
判断下列数列是否是等差数列? 如果是等差 数列，说出公差是多少?
（1）1，2，4，6，8 （2）2，4，6，8 （3）1，-1，1，-1 （4）0, 0, 0, 0,… （5）1，1/2，1/3，1/4 （不是） （ 是 ） （不是） （ 是 ）d （不是） （ 是 ）
解得
d 3
a1 2
练习3
1. 求等差数列2，9，16，…的第10项；
a10 2 (10 1) 7 65
2. 求等差数列0，-7/2，-7…的第n项；
7 7 7 an 0 n 1 n 2 2 2
3、在等差数列 {an } 中，已知 a4
114页习题3.2： 1、2
祝同学们
快乐 自信 成功
6、等差数列 {an }中，a4
3a1 , ak 9a1
则
k 13
小结：
1、等差数列的概念：
an an 1 d (n 2, n N ）
或
an 1 an d n N ） （
2、等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d dn (a1 d )
已知等差数列{ an } 的首项是 a1 ,公差是 d . a 写出 a2 、 3 ,并试着推导出 an .
解： 因为
an
是等差数列，它的公差为d.所以有 = (a1 d ) d
a2 a1 d
a3 a2 d
a1 2d
两边都等于a1 ，
a4 a3 d (a1 2d ) d 当 n 3d 时，等式 a1 1 a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d