第四节 用拉氏反变换解常微分方程
常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程
03 拉普拉斯变换的逆变换
定义与性质
定义
逆变换是拉普拉斯变换的逆过程，将 拉普拉斯变换后的函数还原为原函数。
性质
逆变换具有线性性、时移性、微分性、 积分性和相似性等性质，这些性质在 求解常微分方程时具有重要作用。
逆变换的求解方法
表格法
通过查表或计算公式，将拉普拉 斯变换后的函数还原为原函数。 这种方法适用于已知拉普拉斯变 换函数的简单情况。
幂级数法
通过幂级数展开，将拉普拉斯变 换后的函数展开为无穷级数，然 后逐项积分得到原函数。这种方 法适用于较为复杂的拉普拉斯变 换函数。
积分法
通过积分运算，将拉普拉斯变换 后的函数进行积分，得到原函数。 这种方法需要熟练掌握积分运算 和拉普拉斯变换的性质。
04 拉普拉斯变换法的优缺点
优点
高效性
对于一些复杂或难以直接求 解的常微分方程，拉普拉斯 变换法能够提供一种简洁、 高效的求解方法。
普适性
拉普拉斯变换法适用于各种 类型的初值问题，具有广泛 的适用性。
易于计算
拉普拉斯变换的逆变换相对 容易计算，使得求解过程相 对简单。
可处理多变量问题
通过引入偏导数，拉普拉斯 变换法可以处理多变量微分 方程，这是其他方法难以做 到的。
缺点
不易理解物理意义
拉普拉斯变换将原始的微分方程转换为复 平面上的函数，这使得初学者不易理解其
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性、 微分性、积分性和复共轭性等性质， 这些性质使得求解常微分方程变得更 为简便。
拉普拉斯变换的应用
求解常微分方程
通过拉普拉斯变换，可以将常微分方程转化为代数方程，从而简化求 解过程。
系统分析
在控制工程和信号处理等领域，拉普拉斯变换被广泛应用于系统分析 和系统设计。
(完整word版)现代控制原理习题答案
第一章自动控制的一般概念一．是非题1．开环控制是一种反馈控制（×）2．开环控制的稳定性比闭环控制的稳定性要好（×）3．线形系统的主要特点是具有齐次性和叠加性(√)4．线性定常系统的各项系数是与时间有关的 (×）5．闭环控制的控制精度在很大程度上由形成反馈的测量元件的精度决定的（√)6．自动控制就是采用控制装置使被控对象自动的按给定的规律运行,使被控对象的一个或数个物理量能够在一定的精度范围内按给定的规律变化（√)7．自动控制系统有两种最基本的控制形式即开环控制，闭环控制(√）二．选择题1．下述(D）不属于对闭环控制系统的基本要求。
(A)稳定性（B）准确性（C）快速性 (D）节能性2．自动控制系统一般由(D）组成（A）输入和输出（B）偏差和反馈 (C）控制量和扰动（D）控制器和被控对象3．在组成系统的元件中，（A）,即为非线形系统(A)只要有一个元、器件的特性是非线形的（B）有且只有一个元、器件的特性是非线形的（C）两个及两个以上的元、器件的特性是非线形的（D）所有的元器件的特性都是非线形的4．古典控制理论形成于(D）（A）2000年前 (B)1000年前（C）100年前（D）20 世纪20—40年代 5．对于一个自动控制、系统的性能要求可以该概括为三个方面：(A）快速性和准确性（A）稳定性（B）定常性（C）振荡性（D）抗干扰性6．传递函数的概念除了适用于定常系统之外，还可以描述(A）系统（A）线形时变（B）非线性定常（C）非线形时变（ D )以上都不是 7．在控制系统中被控制的物理量是被控量,直接改变被变量的元件称为（A)(A）执行元件 (B)控制元件（C）调节器（D）测量元件8．在通常的闭环控制系统结构中，系统的控制器和控制对象共同构成了(B）(A）开环传递函数（B）前向通道（C）反馈通道（D）闭环传递函数 9．下面数学模型中（D）是线形定常系统的外部描述（A）传递函数（B)微分方程 (C）频率特性（D）前面三种都是三．填空题1．自动控制系统的两种最基本形式即开环控制 ,闭环控制。
7.4 拉氏变换的应用举例
由例7-19可知，用拉氏变换解常系数线性
微分方程的方法的运算过程如图7-6：
常系数线性 微分方程 作拉氏变换 象函数的 代数方程 解代数方程 象原函数 求拉氏逆变 （微分方程的解） 换 图7-6 象函数
例7-20 求微分方程 y 3 y 2 y 2e
t
满足初值条件 y(0) 2，y(0) 1 的解． 解 对所给微分方程的两边分别作拉氏变
第4节 拉氏变换应用举例
下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中
的应用．
例7-19 求微分方程 x(t ) 2 x(t ) 0 满足 初值条件x(0)=3的解． 解 第一步 ,对方程两边取拉氏变换,并设 L[x(t)]=X(p).
L[ x' ( t ) 2 x(t )] L[0]
L[ x(t )] 2 L[ x(t )] 0 pX( p) x(0) 2 X ( p) 0
将初始条件x(0)=3代入上式，得
( p 2) X ( p) 3
这样，原来的微分方程经过拉氏变换 后，就得到了一个像函数的代数方程．
第二步
3 . 解出X(p): X ( p) p2
第三步 求象函数的拉氏逆变换： 3 1 1 x( t ) L [ X ( p)] L [ ] 3e 2 t p2 这样就得到了微分方程的解 x(t ) 3e
1 t 7 2t t y( t ) e 4e e 3 3
用拉氏变换还可以解常系数线性微分 方程组．
2 2 p 5p5 2 即( p 3 p 2)Y p1
解出 Y ，得
2 p2 5 p 5 Y ( p 1)( p 2)( p 1)
将上式分解为部分分式
常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程
x (n1) 0
a1[s n1 X
(s)
sn2 x0
s n3 x0
x (n2) 0
]
an1[sX (s) x0 ] an X (s) F (s)
(sn a1sn1 an1s an ) X (s) F (s) B(s)
X (s) F(s) B(s) A(s)
x(t) L1[ X (s)] L1[ F (s) B(s)] A(s)
拉普拉斯变换法.. /Laplace Transform /
1
拉普拉斯变换 ..
含义：..
简称拉氏变换 .. 从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换
用途与优点
对一个实变量函数作拉氏变换， 并在复数域中进行运算， 再将运算结果作拉普拉斯反变换 来求得实数域中的相应结 果，往往比直接在实数域计算容易得多。
s2
s 1
19
例 7 求 x 3x 3x x 1 满足初始条件
0
L[x(t)] sX (s) x0
L[x(n) (t)]
sn
X
(s)
sn1x0
s n2 x0
sx0(n2)
x (n1) 0
17
x(n) a1x(n1) an1x an x f (t)
给(4.32)两端施行Laplace Transform
sn
X
(s)
s n1 x0
sn2 x0
sx0(n2)
应用：
求解线性微分方程 在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合…
2
拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路： ..
对常微分方程进行拉氏变换法， 得代数方程，求解 再反变换获取原方程的解 ..
问题： 1. 什么是拉氏变换 2. 拉氏变换的基本性质 3. 什么是拉氏逆变换 4. 如何用拉氏变换求解微分方程….
(整理)拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程
拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为L[f(t)]=F(s)=式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
拉普拉斯变换的基本性质本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。
根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。
唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。
唯一性的证明从略。
二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有证根据拉氏变换的定义可根据拉氏变换的定义可得例求的拉氏变换。
解三、时域导数性质（微分性质）例应用时域导数性质求的象函数。
四、时域积分性质（积分规则）例：求单位斜坡函数及的象函数。
五、时域平移性质（延迟性质）作业：书后习题1、2、3、4。
课后记事：注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。
常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。
8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页）教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。
教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。
常微分方程拉氏变换法求解常微分方程课件
求解得到的代数方程，得到$F(s)$的表达式。
解出常微分方程的解
要点一
反变换求解
通过反拉氏变换将$F(s)$还原为$f(t)$，从而得到常微分方 程的解。
要点二
验证解的正确性
将得到的解代入原常微分方程进行验证，确保解的正确性。
06
总结与展望
总结
拉氏变换法的优势
拉氏变换法在求解常微分方程时 具有明显的优势，它可以将复杂 的微分方程转化为代数方程，大 大简化了求解过程。
通过逐一求解一阶常微分方程，拉氏变换法可以应用于高阶微分方程的求解。
拉氏变换法的缺点
计算量大
在应用拉氏变换法求解常微分方程时，需要进行复 杂的积分和代数运算，计算量较大。
对初值条件敏感
对于某些常微分方程，初值条件的微小变化可能导 致拉氏变换法的失效。
不易理解
拉氏变换法的概念较为抽象，不易被初学者理解。
与其他方法的结合
可以考虑将拉氏变换法与其他数值方法或解析方法结合，以更有效 地求解各种类型的微分方程。
实际应用价值
随着科学技术的不断发展，常微分方程在各个领域的应用越来越广 泛，因此拉氏变换法在实际应用中也将发挥更大的作用。
感谢观 看
THANKS
信号处理中，拉氏变换法可以用于分析信号的滤波、调制 和解调等过程，优化信号处理效果。
04
拉氏变换法的优缺点
拉氏变换法的优点
求解过程简化
拉氏变换法可以将复杂的常微分方程转化为简 单的代数方程，从而简化了求解过程。
适用于多种初值条件
拉氏变换法可以处理多种初值条件，使得该方 法具有更广泛的适用性。
可应用于高阶微分方程
拉氏变换法求解一阶常微分方程
拉普拉斯变换求解微分方程
拉普拉斯变换求解微分方程拉普拉斯变换可以把微分方程转化为代数方程。
由于现在是在利用拉氏变换求解微分方程，所以我们暂时不关注拉普拉斯变换中比较细节的方面。
利用拉氏变换解微分方程的基本方法就是把以 t 为变量的函数变换到以 s 为变量的代数函数，而这个过程会把微分项转换为代数式，这样我们就可以求解不含微分项的方程了。
最后再利用拉普拉斯逆变换，把关于 s 的函数变换回关于 t 的函数，就完成了微分方程的求解。
不过我们要先有几样趁手的工具——常用函数的拉普拉斯变化对以及微分的拉普拉斯变换：L[f(t)]=F(s) 表示对 f(t) 进行拉普拉斯变换的结果是 F(s) ，反之， L−1[F(s)]=f(t)表示的是对 F(s) 进行拉普拉斯逆变换得到了函数 f(t) .常用函数的拉普拉斯变换（对应的逆变换也成立）：L[1]=1sL[tm]=m!sm+1L[eat]=1s−aL[cosat]=ss2+a2L[sinat]=as2+a2L[eatf(t)]=F(s−a)拉普拉斯变换是具有线性性质的，也就是说， L[αf(t)+βg(t)]=αL[f(t)]+βL[g(t)] . 逆变换也具有线性性质。
对公式两侧同时进行拉普拉斯逆变换就可以得到逆变换的公式，比如第一个式子： L−1[L[1]]=L−1[1s] ，整理一下就能得到 L−1[1s]=1 .微分的拉普拉斯变换（需要知道原函数已经各阶导数在0处的值）：L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−...−s0f(n−1)(0)式中的 F(s) 是一个未知的函数，是需要我们解出来的。
百闻不如一见，来看例题。
先来一个简单的例题。
例1：求解微分方程 yt′=t,y(0)=1解：第一步，对方程两侧同时进行拉普拉斯变换，即 L[yt′]=L[t] 得到 sY(s)−y(0)=1s2 .第二步，带入初值 y(0)=1 ，得到 sY(s)−1=1s2 .第三步，求解 Y(s) .这时候我们把第二步得到的式子看成一个普通的代数式就可以，很容易解得 Y(s)=1s3+1s 。
自动控制原理--用拉氏变换求解线性微分方程
R
u0 uc (t)
u0
C uc uc0
u0 1et Rc
uc(0) et Rc t
应用拉a)氏变换法求解微分b方) 程的步骤归纳如下：
（1）对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，将微分方 程变成关于的代数方程；
（2）整理代数方程，求得待求函数的拉氏变换表达式；
（3）对拉氏变换式进行反变换得到待求函数的时域表达 式，即微分方程的解。
压
uc
(0)，求开关瞬时闭合后T 电容R 的端电压u0uc
t 。
uc (t)
u0
C uc uc0
u0 1et Rc
uc(0) et Rc
解：网络的微分方程为 RC 两边进行拉氏变换得 sRCU
cd(aus)dc)t(t)RCuucC(t()0)uU0
C
(s)
1 s
U
0
(s)b)
t
所以
U (s) U0 RC U (0)
1．线性性质
设F1(s) L f1(t) ，F2(s) L f2(t)，a，b 均为常数，则有
Laf1(t) bf2(t) aL f1(t)bL f2(t) aF1(s) bF2(s)
2．微分性质
若L f (t) F(s) ，则有 L f '(t) sF (s) f (0)
3．积分性质
F (s)
s1）m1
s s1 s sm1
s sn
… cm1
lim
s s1
d ds
(s
s1 ) m
F (s)
cm j
1 dj lim
j! ss1 ds j
(s s1)m F(s)
…
c1
1
常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程
(sn a1sn1 an1s an ) X (s) F (s) B(s)
X (s) F(s) B(s) A(s)
x(t) L1[ X (s)] L1[ F (s) B(s)] A(s)
18
用拉氏变换求微分方程实例
例5 求 dx x e2t 满足初始条件 x(0) 0的特解
或
L[ f (n) (t)] sn L[ f (t)] sn1 f (0)
sn2 f (0) f (n1) (0)
10
3 象函数的微分性质
F(s) L[ f (t)]
F (s) test f (t)dt
0
F (n) (s) (1)n t nest f (t)dt
F (s)
s2
s3 3s
的Laplace
2
反变换
解
F (s)
s2
s3 3s
2
(s
s3 1)(s
2)
2 1 s 1 s 2
f (t) L1[F (s)] L1[ 2 ] L1[ 1 ]
s 1
s2
2et e2t t 0
14
F (s) F1 (s) Fn (s)
并假定 Fi (s) 的拉普拉斯变换容易求得，即
Fi (s) L[ fi (t)] 则 L1[F (s)] L1[F1(s)] L1[Fn (s)]
f1(t) fn (t)
13
拉普拉斯逆变换实例
例3 求
应用：
求解线性微分方程 在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合
2
信号系统第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的
举例4.4:
已 知 F (s)s(s s 2 1 )3, 求 其 逆 变 换
解 ： F (s)(sk 1 1 1 )3 (sk 1 2 1 )2 (s k 1 3 1 ) k s 2 令 F 1(s)(s1)3F(s)s s2
举例4.4:
解：其中k11 F1(s) s p1
s2
3
s s1
k12
d ds
F1 ( s )
s p1
s (s 2) 1
s2
s 1
2
举例4.4:
解 ： k13
1 2
d2 ds2
F1 ( s )
s p1
k2
sF (s) s0
1 2
4s s4
s 1
2
s2 ( s 1) 3 s 0 2
F (s)(s３ 1 )3(s２ 1 )2(s２ １ )－ ２ s
其 中 K1i (i 11)!d dsii 11F1(s)sp1
得 多 重 根 部 分 的 逆 变 换 L 1 ：
fc(t) (kK111)!tk1ep1t L
K1i t e ki p1t (k i)!
L K1kep1t u(t)
例题4－4
三、留数法
f(t)21j
jF(s)estds,
1j2 5
s 1j2
即 k 1 , 2A jB ,(A 1 5 ,
B 2 ) 5
k０(s1js2 2) (s31j2)
7 5
s2
举例4.3:
1j2 1j2 解 ： F(s) 5 5 5 5
7
s1j2 s1j2 5(s2)
Q1,2
A1, B 2
5
5
f(t) 2 e t 1 5 c o s(2 t) 5 2 sin (2 t) 7 5 e 2 t u (t)
2-4 第四节 控制系统的微分方程及线性化方程
第四节 控制系统的微分方程及线性化方程一、基本概念1、系统的微分方程——在时域内用来描述系统及其输入、输出三者之间的动态关系的数学模型。
（包括系统动态方程、运动方程或动力学模型）2、建立微分方程——根据支配系统动态特性的各种物理规律（力学、电学、液压等各种原理和规律），明确输入（一般为已知函数）和输出（一般作待求的未知函数），列出微分方程，并整理为标准形式（含输出项在等式左边，含输入项在等式右边，并按微分降幂排列）。
二、系统分类1、线性系统可用线性微分方程描述的系统。
（1）线性定常系统—线性微分方程中的系数与时间无关的系统。
（2）线性时变系统—线性微分方程中的系数与时间相关的系统。
特点：可应用线性加原理，分别处理各项输入引起的输出，最后将结果叠加。
2、非线性系统必须用非线性微分方程描述的系统，不能使用叠加原理。
本课程属经典控制论范畴，主要研究线性定常系统！三、微分方程的建立1、位移系统中元件的复阻抗（1）弹簧)的正方向相同，无论时受压还是受拉，都有：()()=f t Kx t即： ()()=F s Kx s（K为弹簧刚度系数）（为速度阻尼系数） B（M为质量）输入：()f t作用力 输出：()x t线位移根据牛顿第二定律F ma =设质量块正方向移动()x t ，()f t 作用力要克服弹簧和阻尼器的阻力K f 和B f 。
即：()()()()()K B f t f f maf t Kx t Bx t Mx t −−=⇒−−=移项标准化：()()()()Mxt Bx t Kx t f t ++=J K ——扭转弹簧刚度系数（N m ⋅/）rad τ——外加力矩（N m ⋅）J B ——转动粘性阻尼（/） N m s ⋅⋅rad 解：输入为力矩τ，输出为转角()t θ 根据转矩公式：M J ε=⋅力矩τ要使系统进行转动的话，必须克服弹簧和阻尼器的阻力矩。
()()()()J J J J K t B w J K t B t J t τθετθθ−⋅−⋅=⋅⇒−⋅−⋅= θ整理得：()()()J JJ t B t K t θθθτ+⋅+⋅= 例3：已知电机转矩为，负载转矩为m T L T ，为齿轮齿数，为各轴系粘性转动动阻尼系数，为各轴系转动惯量，i Z i B i J i θ为各轴系的角位移。
拉普拉斯变换及其应用
两边同时积分：
ln(
uc
Us)
t RC
c1
e e 两边再同时取指数： ln(uc Us )
( t RC)c1
整理得：uc Us e( t RC) ec1 并令：c2 ec1
则有： uc Us e( t RC) c2
将初始条件：t=0时，Ｕc(0-)=0代入上式，可得： c2 U s
(
RCs
1)U
c
(s)
U
s
1 s
单位阶跃函数的Laplace变换
整理，可得：
Uc (s)
Us
1 s(1 RCs)
Us(
A s
B) 1 RCs
U
s
[
A(1 RC ) s(1 RCs)
s(1
Bs RCs
)
]
U
s
A ( ARC B)s s(1 RCs)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
例 求 2的s 原1 函数。 s(s 1)
解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：
2s 1 A B s(s 1) s s 1
其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得：
A B A(s 1) Bs (A B)s A
s s 1 s(s 1)
s(s 1)
比较以上两式的分子，可得： A
2. K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。
即: L[Kf (t)] KL( f (t) KF(s)
3. 在零初始条件下，即：f (0) f ' (0) f n1(0) 0
则：L[ f n (t)] snF(s)
上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的 n
拉氏变换微分积分推导
拉氏变换微分积分推导
拉氏变换是一种将时间域函数转换为复频率域函数的数学工具。
它在信号处理、控制理论以及电路分析等领域有着广泛的应用。
拉氏变换的核心思想是将一个时间域函数表示为复数域的积分。
通过拉氏变换，我们可以将一个复杂的微分方程转化为一个简单的代数方程，从而便于分析和求解。
拉氏变换的公式为：
F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞]f(t)e^(-st)dt
其中，F(s)表示拉氏变换后的函数，f(t)表示原函数，s表示复频率。
通过拉氏变换，我们可以将微分方程转化为代数方程。
这样做的好处是，我们可以通过代数方程来分析系统的稳定性、频率响应等性质。
同时，拉氏变换还可以用于解决初始值问题，即通过已知的初始条件来求解微分方程。
在控制理论中，拉氏变换可以用于分析系统的传递函数和频率响应。
通过对系统的输入和输出进行拉氏变换，我们可以得到系统的传递函数。
传递函数可以描述系统对不同频率的输入信号的响应情况，从而帮助我们设计稳定的控制系统。
在电路分析中，拉氏变换可以用于求解电路中的电压和电流。
通过对电路中的电压和电流进行拉氏变换，我们可以得到电路的复频率响应，从而帮助我们分析电路的稳定性和频率特性。
拉氏变换是一种强大的数学工具，可以帮助我们解决复杂的微分方程和分析系统的性质。
它在信号处理、控制理论和电路分析等领域有着重要的应用。
通过深入理解和应用拉氏变换，我们可以更好地理解和解决实际问题。
用拉氏变换法解线性微分方程
用拉氏变换法解线性微分方程一 基本定义若函数f(t)，t 为实变量，线积分∫ f(t)e -st dt (s 为复变量)存在，则称其为f(t)的拉氏变换，记为F(s)或£[f(t)]，即F(s)=£[f(t)]=∫ f(t)e -st dt常称：F(s)→f(t)的象函数；f(t) →F(s)的原函数。
二 基本思路用拉氏变换解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算三10 F(s)=£[f(t)]= ∫ f(t)e -st dt =∫ 1 e -st dt =1/s2、单位斜坡函数 f(t)=t1(t)= t t ≥00 t<0F(s)=£[f(t)]=∫ t e -st dt =1/s ²3、等加速度函数∞∞0 ∞0 ∞0 ∞tf(t)= 1/2 t ² t ≥0 0t<0F(s)=∫1/2 t²e -st dt =1/s ³ 4、指数函数t ≥0t<0F(s)=∫1/2 t ²e -st dt =1/(s-α) 5、正弦函数f(t)= sinwt t ≥0 0 t<0F(s)=∫sinwte -st dt=w/(s ²+w ²) 四 拉氏变换的几个法则对于一些简单原函数，可根据拉氏变换定义求象，但对于较复杂的原函数，必须用到下面几个定理求取其象函数：1、线性定理若：£[f 1(t)]=F 1(s) ，£[f 2(t)]=F 2(s)(a 、b 为常数) 则 £[a f 1(t)+bf 2(t)]=aF 1(s)+bF 2(s)2、微分定理 若：£[f(t)]=F(s)则 £[d ⁿf(t)/dt ⁿ]=sⁿF(s) - ∑s n-i-1 f (i) (0)t∞0 t∞∞ 0n-1i=0式中f (i) (0)为f(t)及其各阶导数在t=0时的值 若 f (i) (0) = 0 （a=1，2，…n ）则 £[dⁿf(t)/dtⁿ] =sⁿF(s)3、积分定理若：£[f(t)]=F(s) ， 在零初始条件下： 则 £[∫…∫f(t)dtⁿ]=1/sⁿF(s)4、位移定理（延时定理） 若：£[f(t)]=F(s)则 时域：£[f(t-t 0)1(t-t 0)]=F(s)eS 域：£[f(t)e ] = F(s+α)5、初值与终值定理若：£[f(t)]=F(s) ，且f(t)的拉氏变换存在， 则 f(0)=limf(t)=lim sF(s) f(∞)=limf(t)=lim sF(s) 例：求阶跃函数 f(t)=A 1(t) 的象函数 解：F(s)=£[A1(t)]= A £[1(t)]=A1/s 例：求脉冲函数δ(t) 的象函数 解： ∵δ(t) = d1(t)/dt ∴应用微分定理（初零）得：F （s ）=£[d1(t)/dt]=sF(s)=s 1/s=1-αt-st o-αtt →0 t →∞s →∞ s →0例：求f(t) = e sinwt 的拉氏变换 解：应用位移定理，F （s ）=£ [e sinwt] =w/[(s+α)²+w ²] 五 拉普拉斯反变换定义：若£-¹[F(s)]=f(t)=1/（2πj ）∫F(s)edt ，则称上式为F(s)的拉氏反变换。
拉氏变换求解二阶常系数非齐次微分方程
拉氏变换求解二阶常系数非齐次微分方程在数学中，拉氏变换方法是一种非常重要的工具，可以用来求解二阶常系数非齐次微分方程。
本文将详细介绍拉氏变换的原理及其在求解非齐次微分方程上的应用。
首先，我们需要了解什么是拉氏变换。
拉氏变换是一种将函数从时域转换到频域的数学工具。
对于一个函数$f(t)$，其拉氏变换为$F(s)$，表示为$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$，其中$s$是复数域上的变量。
通过拉氏变换，我们可以将一个函数从时域转换到频域，使得原来复杂的微分方程在频域中变得更简单。
接下来，我们来看一般形式的二阶常系数非齐次微分方程$ay''(t)+by'(t)+cy(t)=f(t)$，其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(t)$为已知函数。
我们的目标是求解$y(t)$，在拉氏变换中，我们可以通过将方程两边进行拉氏变换来实现这一目标。
首先，我们可以将方程两边的每一项进行拉氏变换，得到$a\mathcal{L}[y''(t)]+b\mathcal{L}[y'(t)]+c\mathcal{L}[y(t)]=\mathcal{L}[f(t)]$。
接着，我们需要计算每一项的拉氏变换。
根据拉氏变换的定义，我们可以得到$a[s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)]+b[sY(s)-y(0)]+cY(s)=F(s)$，其中$Y(s)=\mathcal{L}[y(t)]$是$y(t)$的拉氏变换，$y(0)$和$y'(0)$是$y(t)$的初始值。
现在，我们可以将上述方程重新整理，得到$as^2Y(s)+bsY(s)+cY(s)-ay(0)s-ay'(0)-by(0)=F(s)$。
进一步整理可得到$(as^2+bs+c)Y(s)=F(s)+ay(0)s+by(0)+ay'(0)$。
用拉普拉斯变换方法解微分方程
拉普拉斯变换是解常系数线性微分方程中经常采用的一种较简便的方法.其基本思想是,先通过拉普拉斯变换将已知方程化成代数方程,求出代数方程的解,再通过逆拉普拉斯变换,得到所求数值问题的解.一拉普拉斯变换的概念定义设函数f(t)的定义域为[0,+∞),若广义积分∫0+∞f(t)e-pt dt对于p在某一范围内的值收敛,则此积分就确定了一个参数为p的函数,记作F(p),即F(p)=∫0+∞f(t)e-pt dt函数F(p)称为f(t)的拉普拉斯变换(或称为f(t)的象函数),表示为F(p)=L[f(t)].若F(p)是f(t)的拉氏变换,则称f(t)为F(p)的拉氏逆变换(或F(p)的象原函数),记作L-1[F(p)].例1 求指数函数f(t)=e at(t≥0,a是常数)的拉氏变换.解根据定义,有L[e at]=∫0+∞e at e-pt dt=∫0+∞e-(p-a)t dt这个积分在p＞a时收敛,所以有L[e at]=∫0+∞e-(p-a)t dt=1/(p-a) (p＞a) (1)例2 求一次函数f(t)=at(t≥0,a是常数)的拉氏变换.解L[at]=∫0+∞ate-pt dt=-a/p∫0+∞td(e-pt)=-[at/p e-pt]0+∞+a/p∫0+∞e-pt dt根据罗必达法则,有lim t0+∞(-at/p e-pt)=-lim t0+∞at/pe pt=-lim t0+∞a/p2 e pt上述极限当p＞0时收敛于0,所以有lim t0+∞(-at/pe-pt)=0因此L[at]=a/p∫0+∞e-pt dt=-[a/p2e-pt]0+∞=a/p2(p＞0) (2)例3 求正弦函数f(t)=sinωt(t≥0)的拉氏变换.解L[sinωt]=∫0+∞sinωte-pt dt=[-1/(p2+ω2) e-pt(psinωt+ωcosωt]0+∞=ω/(p2+ω2) (p＞0)(3)用同样的方法可求得L[cosωt]=p/(p 2+ω2) (p ＞0) (4) 二 拉普拉斯变换的基本性质三 拉普拉斯变换的逆变换四 拉普拉斯变换的应用2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。
4拉氏反变换方法：
F (s)
(s
1 p1)(s
p2)
s2
(
p1
1 p2)s
p1
p2
s2
2s
1
(
2
w2)
(s
1 )2
w2
(s
w )2
w2
1 w
sin
wt
e
t
1 w
3，当解出 s 为重根，即 D(s) (sa)n ，用凑分法分解。
例：F
(s)
s2
1 (s 1)
as s2
b
c s
d s 1
(as
b)(s
1)
cs(s
s
2
13
s
1 1
f t t2 et et 1t
3、典型信号拉氏变换
f (t)
F (s)
f (t)
(t) 1
eat
u (t )
1 s
sin wt
tn
n!
cos wt
s n 1
F (s)
1 sa
w s2 w2
s s2 w2
f (t)
tn eat
F (s)
n!
( s a ) n 1
若F(s)不是有理真分式，则化为 多项式与真分式之和。
例2：已知 Fs
1
s2 2s 3 s 2
，求其反变换。………
解：令F
s
as b
s2 2s
3
s
c
2
a 1 ,b 0, c 1
3
3
F
(s)
1 3
s
2
s 2s
3
1 3
s
1
2
拉斯变换解微分方程.doc
§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。
例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种.一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。
现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49) 且(2-50)所以(2-51) 说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。
设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。
当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。
在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。
因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。
由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。
所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。
为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为 (2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为 ( 2-56) 为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58) 拉氏变换为 (2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。
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机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-16：求如下函数的拉氏反变换
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第二章 拉普拉斯变换的数学方法
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第二章 拉普拉斯变换的数学方法
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第二章 拉普拉斯变换的数学方法
A3 A1 A2 S S 2 S 3
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第二章 拉普拉斯变换的数学方法
S 0
1 A1 S S S 2S 3
1 6
1 1 S 2 S 2 A2 S S 2S 3 2 1 S 3 S 3 1 S S 2S 3 3 1 1 1 Y (S ) 6 2 3 1 1 2 t 1 3t y t e e S S 2 S 3 6 2 3 A3
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；
应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
机械工程控制基础
例2-19:
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-22：求如下函数的拉氏反变换
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-23：求如下函数的拉氏反变换 练习2-24：求如下函数的拉氏反变换
练习2-25：求如下函数的拉氏反变换
练习2-26：求如下函数的拉氏反变换
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-15：求如下函数的拉氏反变换
1 2 t 1 3t e e 2 3
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练 习
练习2-15：求如下函数的拉氏反变换
练习2-16：求如下函数的拉氏反变换
练习2-17：求如下函数的拉氏反变换
练习2-18：求如下函数的拉氏反变换
练习2-19：求如下函数的拉氏反变换 练习2-20：求如下函数的拉氏反变换 练习2-21：求如下函数的拉氏反变换
练习2-25：求如下函数的拉氏反变换
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