拉氏变换与反变换(严选内容)
拉氏变换与反变换
拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，那么 ()t f 的拉普拉斯变换定义为()()()0e d st F s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰式中， s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数)(s F 。
几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数 )(1t 的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为⎩⎨⎧≥<∆)0(1)0(0)(1t t t单位阶跃函数如图所示，它表示在 0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为0e 1d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-⎰stst st t t L s F 当 0)Re(>s ，则 0e lim →-∞→st t 。
所以[]s s s t L st 1)1(00e 1)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-（）图 单位阶跃函数 2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。
令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设，，则由欧拉公式，有所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞--∞⎰⎰t t s F st t stt d e e d e e j 21)(0j 0j 1ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞+-∞--⎰⎰t t stt s t s d e e d e j 210)j (0)j (ωω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∞+-∞--=+---0e j 10e j 1j21)j ()j (t s t s s s ωωωω22j 1j 1j 21ωωωω+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=s s s） 同理）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换在数学和工程领域中，拉普拉斯变换是一种非常有用的工具，它可以将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使一些复杂的微分方程和积分方程的求解变得更加简单。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的拉普拉斯变换及反变换。
拉普拉斯变换的定义是对于一个实值函数＼（f(t)＼），其拉普拉斯变换＼（F(s)＼）定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt＼其中＼（s ＝＼sigma ＋j\omega\）是一个复变量，＼（＼sigma\）是实部，＼（＼omega\）是虚部，＼（j\）是虚数单位。
下面我们来看一些常见函数的拉普拉斯变换：单位阶跃函数＼（u(t)＼），当＼（t ＜ 0\）时，＼（u(t) ＝ 0\）；当＼（t ＼geq 0\）时，＼（u(t) ＝ 1\）。
它的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}u(t) ＝＼frac{1}｛s}＼指数函数＼（e^｛at}＼），其拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}e^｛at} ＝＼frac{1}｛s a}＼正弦函数＼（sin(＼omega t)＼）的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}sin(＼omega t) ＝＼frac{＼omega}｛s^2 ＋＼omega^2}＼余弦函数＼（cos(＼omega t)＼）的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}cos(＼omega t) ＝＼frac{s}｛s^2 ＋＼omega^2}＼这些常见函数的拉普拉斯变换在解决实际问题中经常会用到。
那么，拉普拉斯反变换又是什么呢？拉普拉斯反变换就是将复频域中的函数＼（F(s)＼）转换回时域中的函数＼（f(t)＼）。
拉普拉斯反变换的计算通常比较复杂，但是对于一些常见的形式，我们可以通过一些方法来求解。
例如，对于形如＼（F(s) ＝＼frac{A}｛s a}＼）的函数，其反变换为＼（f(t) ＝ Ae^｛at}＼）。
拉氏变换与逆变换
则 L[ f1 (t ) f2 (t )] F1 (s)F2 (s)
3）卷积定理的应用
线性系统中如果 xo(t)是任意激励下的零状 态响应，xi(t)是任意激励，g(t)是系统的脉冲响 应，则：
xo(t) xi(t) g(t) Xo(S) Xi(S)G(S)
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常用函数拉氏变换表
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2
一、 拉普拉斯变换的定义：
❖ 设函数 f (t)若满足：
（1）当t 0 时，f (t) 0
（2）当t 0 时，实函数 f (t) 的积分
0
f
(t )e st dt
（s = + jω）
在s的某一域内收敛，则定义 f (t)的拉普拉斯变换为
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
t 0
s
7、终值定理
f () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
条件：sF(s)的所有极点都在[S]左半平面
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8、卷积定理
1）两个时域函数的卷积
f1(t) f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
2）卷积定理 设
L[ f1(t )] F1(s)
L[ f2 (t )] F2 (s)
] s p1
,
ck i
1{ i!
di dsi
[F (s)(s
p1)k ]}s p1
c1
(k
1
d k 1
{ 1)!
ds
k
1
[F (s)(s
p1 ) k
]}s p1
c j [F (s)(s p j )]s pj
式中：p j是F(s)的其余互异极点。（j k 1, , n)
全面完整的学习拉氏变换计算
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◇实例1 设系统微分方程为： 若xi(t)=1(t),初始条件分为x’o(0)，xo(0),试求 xo(t) 解：对微分方程左边进行拉氏变换：
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对方程右边进行拉氏变换：
从而
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◇叠加定理 □齐次性：L[αf(t)]=αL[f(t)],α为常数 □叠加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+b[f2(t)] a,b为常数； 显然，拉氏变换为线性变换。
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◇实微分定理
证明：由于
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所以： 同样有：
式中，f’(0),f”(0),……为f(t)的各阶导数在 t=0时的值
五、拉氏变换和拉氏反变换 ●拉氏变换 设函数f(t)(t≥0)在任一有限区间上分段连续， 且存在一正常数σ，使得 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω(σ, ω均为实数)
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称为拉普拉氏积分； F(s)称为函数f(t)拉普拉氏变换或象函数，它 是一个复变函数；f (t)称为F(s) 的原函数； L为拉氏变换的变换符号。 ●拉氏反变换
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◇F(s)含有共轭复数极点 假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、－p2， 其余极点均为各不相同的实数极点，则：
式中，A1和A2的值由下式求解
上式为复数方程，令方程两端实部、虚部 分别相等即可确定A1和A2的值
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常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换在工程和数学中是个非常实用的工具。
它不仅能帮助我们解决微分方程，还能简化许多复杂的问题。
今天我们就来聊聊常用的拉普拉斯变换和反变换，看看它们是如何发挥作用的。
一、拉普拉斯变换的基本概念1.1 定义拉普拉斯变换是一个积分变换，它将时间域的函数转换为复频域的函数。
简单来说，它把一个函数从“时间的世界”带到了“频率的世界”。
公式上，拉普拉斯变换可以表示为：\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt \]这里的 \( s \) 是复数变量，\( f(t) \) 是我们要变换的时间域函数，\( F(s) \) 则是变换后的结果。
1.2 性质拉普拉斯变换有几个重要的性质，比如线性性、时间延迟和微分等。
这些性质使得在实际应用中，可以灵活地对待不同类型的函数。
例如，线性性让我们可以把两个函数的变换简单相加，这对于解决复杂问题很有帮助。
二、常用的拉普拉斯变换2.1 单位阶跃函数单位阶跃函数 \( u(t) \) 是拉普拉斯变换中最常用的函数之一。
它的变换结果是：\[ \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s} \]这个简单的公式为很多工程应用奠定了基础，因为很多信号和系统可以用阶跃函数来描述。
2.2 指数函数另一个常见的函数是指数函数 \( e^{at} \)。
它的拉普拉斯变换结果为：\[ \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a} \]这在处理自然衰减或增长的过程时特别有用，比如在电子电路中，我们经常会遇到这种情况。
2.3 正弦和余弦函数正弦和余弦函数的拉普拉斯变换也很重要。
它们分别为：\[ \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \] \[ \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \]这些变换结果在振动分析和控制系统中应用广泛，帮助我们理解系统的频率响应。
拉氏变换和反变换公式
拉氏变换和反变换公式拉氏变换和反变换公式，这可真是数学领域里相当重要且有点“烧脑”的一部分内容。
咱先来说说拉氏变换，它就像是一个神奇的魔法工具，能把在时域里看起来复杂得让人头疼的函数，给变到复频域里，让咱们能更方便地分析和处理。
比如说，一个随时间变化得乱七八糟的信号，经过拉氏变换之后，可能就会变得有规律、好理解多啦。
我记得有一次给学生们讲拉氏变换的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这拉氏变换到底有啥用啊？感觉好难啊！”我笑着跟他说：“你就想象你要跑一段很长很乱的路，这路一会儿上坡一会儿下坡，一会儿还有石头挡着。
拉氏变换就像是给你变出一双翅膀，让你能从空中看这段路，一下子就清楚路的走向和特点啦！”这孩子似懂非懂地点点头。
那拉氏变换的公式呢，一般是对于一个函数 f(t) ，它的拉氏变换 F(s) 等于从 0 到正无穷对 e 的 -st 次方乘以 f(t) 进行积分。
这里的 s 是个复数，这公式看起来可能有点复杂，但其实只要多做几道题，多练习练习，也就慢慢熟悉了。
再来说说反变换，它就是把在复频域里的函数变回时域里的原来的样子。
就像是你把东西变到了另一个世界，现在又要把它给变回来。
反变换的公式也有不少方法可以求解，像部分分式展开法、留数法等等。
给大家举个例子啊，比如说有一个函数 F(s) = (s + 1) / (s^2 + 2s + 2) ，咱们要把它通过反变换变回时域里的函数 f(t) 。
首先，把 F(s) 进行部分分式展开，得到 F(s) = 1 / (s + 1 + i) + 1 / (s + 1 - i) ，然后根据反变换的公式和一些常见函数的拉氏变换对，就能求出 f(t) = e^(-t) cos(t) 。
在学习拉氏变换和反变换公式的过程中，大家可别着急，一步一个脚印，多做练习，多思考，慢慢地就能掌握这个神奇的工具啦！相信大家都能在数学的世界里越走越远，越学越厉害！。
拉氏变换与拉氏反变换
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n
1 2
e n t sinn 1 2 t
序号
f(t)
F(s)
1
17
1
2
e
n t
sin n 1 2 t 1
2
2
s s 2 n s
2 n
arctan
1 1 1
2
e n t sin n 1 2 t 1 2
二、拉氏反变换及其计算方法
（一）拉氏反变换的定义
已知象函数F(s)，求出与之对应的原函数f(t)就 称为拉氏反变换，计作 L1 F (s) f (t )
L [ F ( s )] f ( t )
1
2 j r j
1
r j
F ( s )e st ds
式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。 所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s) 在该点及其邻域不处处可导。
1 1 1 L1 1 2 tt L1 2 t L 2 ss s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式
B( s ) bm s m bm 1 s m 1 bm 2 s m 2 b1 s b0 F ( s) A( s ) an s n an1 s n1 an 2 s n 2 a1 s a0
1 s 2
( s pi )( s p j )
Ak An s pk s pn
Br ,1 , Ak ,, An 为实数,称留数
留数的方法可分为下面三种情况研究。
附+拉氏变换与拉氏反变换
+∞ 0−
f (t )e − st d
由象函数求原函数的变换称为拉普拉斯反变换， 由象函数求原函数的变换称为拉普拉斯反变换， 记为： 记为： 即：
f (t ) = L [ F ( s )]
F ( s ) ⇒ f (t ) = L−1 [F (s )] − −拉普拉斯反变换
f (t ) ⇒ F ( s ) = L[ f (t )] − −拉普拉斯变换
//
(0 )
+
d n f (t ) L = s n F ( s ) − s n −1 f (0 − ) − s n − 2 f ′(0 − ) n dt − ⋯ − f ( n −1) (0 − )
南昌大学机电学院
特别： 特别：
若初值 f ( 0 ) = f 则有：
(0 ) = ... = L [ f / (t )] = sF (s ) L [ f // (t )] = s 2 F (s ) L [ f (3 ) (t )] = s 3 F (s ) [ f (n ) (t )] = s n F (s ) L
/
( )
∞
0
f (t )e dt = ∫ e df (t )
− st − st 0
∞
令：u = e dv = df (t )
− st
du = − se dt v = f (t )
− st
南昌大学机电学院
则：L f (t ) = e
/
[
பைடு நூலகம்
]
− st
推广： 推广： L f
(t )] = s 2 F (s ) − sf (0 + ) − f / (0 + ) df (t ) / + 式中：f (0 ) = │
拉普拉斯变换及反变换ppt课件
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)
拉氏变换及拉氏反变换
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拉氏变换的定义
概述
对于利用微分方程表达的数学模型形式，采用 手工计算的方式求解是很烦琐的。利用拉氏变 换，可将微分方程转换为代数方程，使求解大 为简化，故拉氏变换是分析机电控制系统的基 本数学方法之一。在此基础上，进一步得到系 统的传递函数。
解：F(s)的部分分式为
Fs
s2
s1 5s6
s1
s2s3
k1 s2
k2 s3
k1
s
s2s13s2s2
s1 s3s2
1
k2
ss2s13s
3
s3
s 1 s2s3
2
f
t
L1Fs
L1s12
s
2 3
L1s12
L1s23
2e3t
e2t
拉氏反变换的部分分式展开法
X(s)=0含有共轭复根的情况
将 F 即s Y X s s p m s m s s p 1 m 1 s s m s 1 2 s p 1 s s n p 0
0 t
t <0 t≥0
由拉氏变换的定义得
L tt 0 t s e d t te s s0 t 0 e s s t d 0 te s sd t t s 1 2 e s0 t s 1 2
几种典型函数的拉氏变换
e 指数函数 at 的拉氏变换
L e a t e ae tsd t t e s a td t 1e s a t 1
求解。
拉氏变换的定义
定义
对于时间函数f（t），如果满足
当t<0时，f（t）=0；
拉氏变换与反变换
2.5 拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
2.5.1 拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间 为自变量的实变函数 ，它的定义域是 ，那么 的拉普拉斯变换定义为(2.10)式中， 是复变数，（σ、ω均为实数），称为拉普拉斯积分；是函数 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 为 的象函数，而称为的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数。
2.5.2 几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为当 ，则。
所以t ()t f 0≥t ()t f ()()()0e d stF s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰s ωσj +=s ⎰∞-0e st)(s F )(t f )(s F )(t f )(t f )(s F )(s F )(1t ⎩⎨⎧≥<∆)0(1)0(0)(1t t t 0=t 0e 1d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-⎰stst st t t L s F 0)Re(>s 0e lim →-∞→st t（2.11）图2.7 单位阶跃函数2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中是常数。
令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（2.12）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换设，，则由欧拉公式，有所以[]s s s t L st 1)1(00e 1)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞--∞⎰⎰t t s F st t st t d e e d e e j 21)(0j 0j 1ωω(2.13）同理(2.14）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
拉氏变换和反变换
第十三章拉普拉斯变换(Laplace Transformations)本章介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用；运算电路图的画法；用拉普拉斯变换分析电路。
§13-1 拉普拉斯变换定义教学目的：拉普拉斯变换的定义。
教学重点：拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件。
教学难点: 用拉普拉斯变换定义求几个常见函数的拉氏变换。
教学方法：课堂讲授。
教学内容：一、引言拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
二、拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为:e-st dt式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频率。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法。
F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
三、几个常见函数的拉氏变换1．2．§13-2 拉普拉斯变换的基本性质教学目的：本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
教学重点：拉普拉斯变换的性质。
教学难点: 用拉普拉斯变换的性质求得象函数。
教学方法：课堂讲授。
教学内容：一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。
根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。
唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。
唯一性的证明从略。
二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有：[证]：根据拉氏变换的定义可得[例]：求的拉氏变换。
拉氏变换与反变换 参考
2 机电控制工程数学基础本章主要内容、基本要求、重点和难点 主要内容(1) 复数及复数表示方法，复变函数概念。
(2) 初等函数定义，复变函数的导数。
(3) 复变函数积分，计算方法。
(4) 罗朗级数、留数定理。
(5) 拉氏变换定义、常用函数拉氏变换、拉氏变换性质、拉氏反变换。
基本要求(1) 了解复变量的表示方法，复变函数的概念，会计算留数。
(2) 了解拉氏变换定义，并用定义求常用函数的拉氏变换，会查拉氏变换表。
(3) 了解拉氏变换性质及其应用。
(4) 会用部分分式法，求拉氏反变换。
重点：复变函数表示方法；拉氏变换的定义；用拉氏变换的定义求常用函数的拉氏变换；拉氏变换性质及应用，用部分分式法求拉氏反变换。
难点：(1) 建立在复数域描述一个函数的概念。
而初学者习惯于时间函数。
通过拉氏变换这一数学工具将时间函数变为复域的函数，其优点是将微分方程变换为代数方程，使对系统的分析、综合方便。
(2) 拉氏变换性质的应用。
学习本章时，一般了解复变函数概念，复数表示方法；了解拉氏变换定义及其性质的推导过程，通过作习题，熟练掌握各性质的应用，为后继章节学习打下基础。
2.1 复变量及复变函数 (1) 复数的概念在学习初等代数时，已经知道在实数范围内，方程012=+x是无解的，因为没有一个实数的平方等于–1。
由于解方程的需要，人们引进一个新数j,称为虚单位，并规定12-=j从而j 是方程012=+x 的一个根。
对于任意二实数x,y 我们称jy x z +=为复数，其中x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作)()(z I y z R x m e ==当x=0 时, jy z =称为纯虚数;当y=0时, j x z 0+=,这时z 就是实数。
要注意复数与实数有一些不同,如:两个复数相等,必须它们的实部和虚部分别相等。
一般说来，任意两个复数不能比较大小。
(2) 复数的代数运算两个复数111jy x z +=，222jy x z +=1) 加减法的定义：)()()()(21212211y y j x x jy x jy x ±+±=+±+2) 乘法的定义)()())((211221212211y x y x j y y x x jy x jy x ++-=++3) 除法的定义设 0222≠+=jy x z22222212222*********y x y x y x j y x y y x x jy x jy x +-+++=++ 复数的运算和实数的情形一样，也满足交换律、结合律和分配律。
拉普拉斯变换及反变换62047
2、拉氏变换的运算法则 （1）线性定理
L[af (t) bg(t)] aF(s) bG(s)
（2）延迟定理
(t )
L[ f (t )] es F (s)
t
0
f (t)
f (t )
0
t
（3）位移定理
L[et f (t)] F (s )
L[et f (t)] et f (t)est dt 0
f (t) tsin t 1(t) et
t
0
0
0
t
L[sin t] 1
2j
0
(e
jt
e jt
)est dt
s2
2
（7）余弦函数
f (t) cost 1(t)
L[cost] 1 2
(e
0
jt
e jt
)est dt
s2
s
2
0
s
t
L[ 0
t 0
f
(t)dtn ]
1 sn
F(s)
（7）初值定
理
lim f (t) lim sF(s)
t0
s
f (0) lim sF(s) s
（8）终值定理
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
f () lim sF(s) s0
（9）象函数的微分性质
其中 br [F s (s p1)r ]sp1
…
br 1
{ d [Fs(s
ds
p1)r ]}s p1
br j
拉氏变换及反变换
n!
s an1
w
s a2 w 2
sa
s a2 w 2
指数函数的拉氏变换
三角函数的拉氏变换 （欧拉公式）
阶跃函数的拉氏变换
幂函数的拉氏变换
单位速度函数的拉氏变换 斜坡函数
单位脉冲函数拉氏变换 洛必达法则
单位加速度函数拉氏变换 抛物线函数
拉氏变换的主要运算定理
应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中， 因此，不需要初始条件就可得到微分方程的全 解。
如果所有的初始条件为零，微分方程的拉 氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。
s 1
s2
2et e2t t 0
例2 求
的Laplace 反变换
解 F (s) 1 1 s 1 (s 2)2
f (t) L1[ 1 ] L1[ 1 ]
s 1
(s 2)2
et te2t (t 0)
拉氏变换求解线性微分方程
将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
终值定理
原函数f(t)的稳态性质
sF(s)在s=0邻域内的性质
初值定理
拉氏反变换方法
部分分式法的求取拉氏反变换
F(s)
B(s) A(s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
.... bm1s .... an1s
bm bn
,m
n
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t)
第2章拉氏变换与反变换
第二章拉氏变换与反变换拉氏变换解微分方程，可将微积分运算转化为代数运算，且能表明初始条件的影响；采用拉氏变换，能将微分方程方便地转换为系统的传递函数，也便于设计控制系统。
一、拉氏变换的定义设f(t)是以时间t为自变量的实变函数，t 0 (定义律)，那么f(t)拉氏变换的定义为：F(s) L[f(t)] 0f(t)e st dt (2-1)式中：S是复变数：S Jw (可用点、向量、三角(指数)表示)e st dt ――拉氏积分F(s)——函数f(t)的拉氏变换，为一复变函数，也称象函数。
f(t)――原函数L――拉氏变换的符号拉氏反变换1 1 j stf(t) L [F(s)] —j F(s)e ds (2-2)式中：L 1拉氏变换的符号上二式表明：拉氏变换是在一定条件下，能将一个实数域中的实变函数转换成一个在复数域中与之等价的复变函数，反之亦然。
、几种典型函数的拉氏变换1 •单位阶跃函数1 (t )的拉氏变换如图所示，单位阶跃函数定义为1(t) 1表示在t=0时突然作用于系统的一个幅值为1的不变量。
拉氏变换为：1F(s) L[1(t)] 01(t)e st dt —e st0 s11 [0 (-)]-ss若幅值为K ,则3•正弦函数与余弦函数的拉氏变换 f (t) si nwtf (t) cos tL[K 1(t)]KS 其反变换为： f(t) L 1(t)2 •指数函数f (t) e f(t) e t1F(s)S11L [L e(t 0)的拉氏变换(2-4 )(2-5 )(2-6)(t 0)(2-7)单位阶跃函数(2-3)F(s)w S 2w 2(2-8 )F(s)S S 2w 2(2-9 )f(t)丄t 2(t 0)t 0F(s)1 S 3It7.幕函数的拉氏变换(2-13 )(2-14 )(2-15 )4 .单位脉冲函数3⑴的拉氏变换 如图所示，单位脉冲函数的数学表达式为：1/0 (t 0 和 t ) (t)1 lim —(0 t )(S) 1反变换：L 1[1] t5 •单位速度函数的拉氏变换(又称斜坡函数)其拉氏变换为反变换6 .单位加速度函数的拉氏变换其拉氏变换为0 £单位脉冲函数(2-10)f(t)0 (t 0) t (t 0)F(s)1 S 2(2-11)L 1S 2(t 0)(2-12)2 •微分定理若L[f (t)] F(s) 同理可得L d2f(t)dt22S2F(s) Sf (0) f (0)d3f(t)dt3S3F(s) S2f (0) Sf (0) f (0)d n f(t) dt n S n F(s) S n 1f (0) S n f (0) (n 1}(0)n!s n 1(2-16 )三、拉氏变换的主要定理1 .迭加定理拉氏变换是一种线性变化1）齐次性L[ f (t)] F (s) (2-17 )式中，为常数2）迭加性令L[f1(t)] F1(s), L[f2(t)] F2(S)则L[f1(t) f2(t)] F1(s) F2(s) (2-18 ) 也即L[ ,) f2(t)] F1(s) F2(s)d dt f(t)e st dt st stdf (t) e f(t) S0f (t)e st dtSF(s) f (0) (2-19 )若函数f(t)及其各阶导数的初始值均为零，则上式可变为: L[f (t)] SF(s)L[f (t)] S2F(s)L[f n(t)] S n F(s)3.积分定理若L[f (t)] F(s)则1 iL f(t)dt F(s) f ( 1)(0)S S式中f(1)(o)――积分f(t)dt在t=0时刻的值。
2.2拉氏变换及反变换
e
e
j
j
e
j
2j
e
2
e
可利用 L
e
t
1 t 的结果。
e L sin t 1 t L
j t
j t
e
2j
1 1 t 2j
1 1 s j s j
2 2
x y
其中：
F s F s
2
F
x
2
F
y
arctan
F F
y
x
复习复变量和复变函数
复数相加（减）：两个复数的实部和虚部分别相加得 和（差）的实部和虚部。 如：( 2 j 5) ( 4 j 7 ) ( 2 4 ) j (5 7 ) 6 j 1 2 复数相乘（除）：积的幅值等于两个复数幅值的乘积 （商），相角等于两个复数相角的和（差）。如：
例 ： L e -α t c o s ω t 求 解: 已知 L c o s ω t = s s +ω L e -α t c o s ω t = 2 2 s+ α
s+ α
2
+ω
2
5 延时定理
L x t 1t
x t 1 t
2-3 拉氏变换及反变换
—一种解线性微分方程的简便方法
是分析工程控制系统的基本数学方法
拉氏变换 时域微分方程 复变函数代数方程 拉氏反变换
复习复变量和复变函数
复数有实部和虚部，两部分都是常数。 5 如： 2 j 5 2 5 arg tan 2 复变量指复数的实部或虚部中含有变量。 如： s j 复变函数 F s 是 s 的函数，也有实部和虚 部。如：F s F j F F s F s
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2.5 拉氏变换与反变换
机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
2.5.1 拉普拉斯变换的定义
如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，那么 ()t f 的拉普拉斯
变换定义为
()()()0
e d st
F s L f t f t t ∞
-=∆⎡⎤⎣⎦⎰(2.10)
式中， s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数），
⎰
∞
-0
e st
称为拉普拉斯积分； )(s F 是
函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。
2.5.2 几种典型函数的拉氏变换
1.单位阶跃函数
)(1t 的拉氏变换
单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为
⎩⎨
⎧≥<∆)0(1
)0(0)(1t t t
单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为
0e
1d e )(1)](1[)(0
∞
-===-∞
-⎰
st st
s
t t t L s F 当 0)Re(>s ，则
e lim →-∞
→st t 。
所以
[]s s s t L st 1
)1(00e 1)(1=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-（2.11）
图2.7 单位阶跃函数
2.指数函数的拉氏变换
指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中
是常数。
令
则与求单位阶跃函数同理，就可求得
（2.12）
3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换
设
，
，则
由欧拉公式，有
所以
⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=
-∞--∞⎰⎰t t s F st t st t d e e d
e e j 21)(0j
0j 1
ωω ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=-∞+-∞--⎰⎰t t st t s t
s d e e d e j 210)j (0)j (ωω ⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∞+-∞--=
+---0e j 10e j 1j 21)j ()j (t s t s s s ωωωω
22j 1j 1j 21ωω
ωω+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=
s s s
(2.13）
同理
(2.14）
4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换
单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
其幅值和作
用时间的乘积等于1，即。
如图2.8所示。
图2.8 单位脉冲函数
单位脉冲函数的数学表达式为
其拉氏变换式为
此处因为时，，故积分限变为。
(2.15) 5.单位速度函数的拉氏变换
单位速度函数，又称单位斜坡函数，其数学表达式为
见图2.9所示。
图2.9 单位速度函数
单位速度函数的拉氏变换式为
利用分部积分法
令
则。