拉氏变换与反变换(严选内容)
拉氏变换与反变换
拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，那么 ()t f 的拉普拉斯变换定义为()()()0e d st F s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰式中， s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数)(s F 。
几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数 )(1t 的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为⎩⎨⎧≥<∆)0(1)0(0)(1t t t单位阶跃函数如图所示，它表示在 0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为0e 1d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-⎰stst st t t L s F 当 0)Re(>s ，则 0e lim →-∞→st t 。
所以[]s s s t L st 1)1(00e 1)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-（）图 单位阶跃函数 2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。
令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设，，则由欧拉公式，有所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞--∞⎰⎰t t s F st t stt d e e d e e j 21)(0j 0j 1ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞+-∞--⎰⎰t t stt s t s d e e d e j 210)j (0)j (ωω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∞+-∞--=+---0e j 10e j 1j21)j ()j (t s t s s s ωωωω22j 1j 1j 21ωωωω+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=s s s） 同理）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换在数学和工程领域中，拉普拉斯变换是一种非常有用的工具，它可以将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使一些复杂的微分方程和积分方程的求解变得更加简单。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的拉普拉斯变换及反变换。
拉普拉斯变换的定义是对于一个实值函数＼（f(t)＼），其拉普拉斯变换＼（F(s)＼）定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt＼其中＼（s ＝＼sigma ＋j\omega\）是一个复变量，＼（＼sigma\）是实部，＼（＼omega\）是虚部，＼（j\）是虚数单位。
下面我们来看一些常见函数的拉普拉斯变换：单位阶跃函数＼（u(t)＼），当＼（t ＜ 0\）时，＼（u(t) ＝ 0\）；当＼（t ＼geq 0\）时，＼（u(t) ＝ 1\）。
它的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}u(t) ＝＼frac{1}｛s}＼指数函数＼（e^｛at}＼），其拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}e^｛at} ＝＼frac{1}｛s a}＼正弦函数＼（sin(＼omega t)＼）的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}sin(＼omega t) ＝＼frac{＼omega}｛s^2 ＋＼omega^2}＼余弦函数＼（cos(＼omega t)＼）的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}cos(＼omega t) ＝＼frac{s}｛s^2 ＋＼omega^2}＼这些常见函数的拉普拉斯变换在解决实际问题中经常会用到。
那么，拉普拉斯反变换又是什么呢？拉普拉斯反变换就是将复频域中的函数＼（F(s)＼）转换回时域中的函数＼（f(t)＼）。
拉普拉斯反变换的计算通常比较复杂，但是对于一些常见的形式，我们可以通过一些方法来求解。
例如，对于形如＼（F(s) ＝＼frac{A}｛s a}＼）的函数，其反变换为＼（f(t) ＝ Ae^｛at}＼）。
拉氏变换与逆变换
则 L[ f1 (t ) f2 (t )] F1 (s)F2 (s)
3）卷积定理的应用
线性系统中如果 xo(t)是任意激励下的零状 态响应，xi(t)是任意激励，g(t)是系统的脉冲响 应，则：
xo(t) xi(t) g(t) Xo(S) Xi(S)G(S)
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常用函数拉氏变换表
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2
一、 拉普拉斯变换的定义：
❖ 设函数 f (t)若满足：
（1）当t 0 时，f (t) 0
（2）当t 0 时，实函数 f (t) 的积分
0
f
(t )e st dt
（s = + jω）
在s的某一域内收敛，则定义 f (t)的拉普拉斯变换为
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
t 0
s
7、终值定理
f () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
条件：sF(s)的所有极点都在[S]左半平面
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8、卷积定理
1）两个时域函数的卷积
f1(t) f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
2）卷积定理 设
L[ f1(t )] F1(s)
L[ f2 (t )] F2 (s)
] s p1
,
ck i
1{ i!
di dsi
[F (s)(s
p1)k ]}s p1
c1
(k
1
d k 1
{ 1)!
ds
k
1
[F (s)(s
p1 ) k
]}s p1
c j [F (s)(s p j )]s pj
式中：p j是F(s)的其余互异极点。（j k 1, , n)
全面完整的学习拉氏变换计算
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◇实例1 设系统微分方程为： 若xi(t)=1(t),初始条件分为x’o(0)，xo(0),试求 xo(t) 解：对微分方程左边进行拉氏变换：
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对方程右边进行拉氏变换：
从而
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◇叠加定理 □齐次性：L[αf(t)]=αL[f(t)],α为常数 □叠加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+b[f2(t)] a,b为常数； 显然，拉氏变换为线性变换。
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◇实微分定理
证明：由于
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所以： 同样有：
式中，f’(0),f”(0),……为f(t)的各阶导数在 t=0时的值
五、拉氏变换和拉氏反变换 ●拉氏变换 设函数f(t)(t≥0)在任一有限区间上分段连续， 且存在一正常数σ，使得 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω(σ, ω均为实数)
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称为拉普拉氏积分； F(s)称为函数f(t)拉普拉氏变换或象函数，它 是一个复变函数；f (t)称为F(s) 的原函数； L为拉氏变换的变换符号。 ●拉氏反变换
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◇F(s)含有共轭复数极点 假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、－p2， 其余极点均为各不相同的实数极点，则：
式中，A1和A2的值由下式求解
上式为复数方程，令方程两端实部、虚部 分别相等即可确定A1和A2的值
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常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换在工程和数学中是个非常实用的工具。
它不仅能帮助我们解决微分方程，还能简化许多复杂的问题。
今天我们就来聊聊常用的拉普拉斯变换和反变换，看看它们是如何发挥作用的。
一、拉普拉斯变换的基本概念1.1 定义拉普拉斯变换是一个积分变换，它将时间域的函数转换为复频域的函数。
简单来说，它把一个函数从“时间的世界”带到了“频率的世界”。
公式上，拉普拉斯变换可以表示为：\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt \]这里的 \( s \) 是复数变量，\( f(t) \) 是我们要变换的时间域函数，\( F(s) \) 则是变换后的结果。
1.2 性质拉普拉斯变换有几个重要的性质，比如线性性、时间延迟和微分等。
这些性质使得在实际应用中，可以灵活地对待不同类型的函数。
例如，线性性让我们可以把两个函数的变换简单相加，这对于解决复杂问题很有帮助。
二、常用的拉普拉斯变换2.1 单位阶跃函数单位阶跃函数 \( u(t) \) 是拉普拉斯变换中最常用的函数之一。
它的变换结果是：\[ \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s} \]这个简单的公式为很多工程应用奠定了基础，因为很多信号和系统可以用阶跃函数来描述。
2.2 指数函数另一个常见的函数是指数函数 \( e^{at} \)。
它的拉普拉斯变换结果为：\[ \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a} \]这在处理自然衰减或增长的过程时特别有用，比如在电子电路中，我们经常会遇到这种情况。
2.3 正弦和余弦函数正弦和余弦函数的拉普拉斯变换也很重要。
它们分别为：\[ \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \] \[ \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \]这些变换结果在振动分析和控制系统中应用广泛，帮助我们理解系统的频率响应。
拉氏变换和反变换公式
拉氏变换和反变换公式拉氏变换和反变换公式，这可真是数学领域里相当重要且有点“烧脑”的一部分内容。
咱先来说说拉氏变换，它就像是一个神奇的魔法工具，能把在时域里看起来复杂得让人头疼的函数，给变到复频域里，让咱们能更方便地分析和处理。
比如说，一个随时间变化得乱七八糟的信号，经过拉氏变换之后，可能就会变得有规律、好理解多啦。
我记得有一次给学生们讲拉氏变换的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这拉氏变换到底有啥用啊？感觉好难啊！”我笑着跟他说：“你就想象你要跑一段很长很乱的路，这路一会儿上坡一会儿下坡，一会儿还有石头挡着。
拉氏变换就像是给你变出一双翅膀，让你能从空中看这段路，一下子就清楚路的走向和特点啦！”这孩子似懂非懂地点点头。
那拉氏变换的公式呢，一般是对于一个函数 f(t) ，它的拉氏变换 F(s) 等于从 0 到正无穷对 e 的 -st 次方乘以 f(t) 进行积分。
这里的 s 是个复数，这公式看起来可能有点复杂，但其实只要多做几道题，多练习练习，也就慢慢熟悉了。
再来说说反变换，它就是把在复频域里的函数变回时域里的原来的样子。
就像是你把东西变到了另一个世界，现在又要把它给变回来。
反变换的公式也有不少方法可以求解，像部分分式展开法、留数法等等。
给大家举个例子啊，比如说有一个函数 F(s) = (s + 1) / (s^2 + 2s + 2) ，咱们要把它通过反变换变回时域里的函数 f(t) 。
首先，把 F(s) 进行部分分式展开，得到 F(s) = 1 / (s + 1 + i) + 1 / (s + 1 - i) ，然后根据反变换的公式和一些常见函数的拉氏变换对，就能求出 f(t) = e^(-t) cos(t) 。
在学习拉氏变换和反变换公式的过程中，大家可别着急，一步一个脚印，多做练习，多思考，慢慢地就能掌握这个神奇的工具啦！相信大家都能在数学的世界里越走越远，越学越厉害！。
拉氏变换与拉氏反变换
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n
1 2
e n t sinn 1 2 t
序号
f(t)
F(s)
1
17
1
2
e
n t
sin n 1 2 t 1
2
2
s s 2 n s
2 n
arctan
1 1 1
2
e n t sin n 1 2 t 1 2
二、拉氏反变换及其计算方法
（一）拉氏反变换的定义
已知象函数F(s)，求出与之对应的原函数f(t)就 称为拉氏反变换，计作 L1 F (s) f (t )
L [ F ( s )] f ( t )
1
2 j r j
1
r j
F ( s )e st ds
式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。 所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s) 在该点及其邻域不处处可导。
1 1 1 L1 1 2 tt L1 2 t L 2 ss s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式
B( s ) bm s m bm 1 s m 1 bm 2 s m 2 b1 s b0 F ( s) A( s ) an s n an1 s n1 an 2 s n 2 a1 s a0
1 s 2
( s pi )( s p j )
Ak An s pk s pn
Br ,1 , Ak ,, An 为实数,称留数
留数的方法可分为下面三种情况研究。
附+拉氏变换与拉氏反变换
+∞ 0−
f (t )e − st d
由象函数求原函数的变换称为拉普拉斯反变换， 由象函数求原函数的变换称为拉普拉斯反变换， 记为： 记为： 即：
f (t ) = L [ F ( s )]
F ( s ) ⇒ f (t ) = L−1 [F (s )] − −拉普拉斯反变换
f (t ) ⇒ F ( s ) = L[ f (t )] − −拉普拉斯变换
//
(0 )
+
d n f (t ) L = s n F ( s ) − s n −1 f (0 − ) − s n − 2 f ′(0 − ) n dt − ⋯ − f ( n −1) (0 − )
南昌大学机电学院
特别： 特别：
若初值 f ( 0 ) = f 则有：
(0 ) = ... = L [ f / (t )] = sF (s ) L [ f // (t )] = s 2 F (s ) L [ f (3 ) (t )] = s 3 F (s ) [ f (n ) (t )] = s n F (s ) L
/
( )
∞
0
f (t )e dt = ∫ e df (t )
− st − st 0
∞
令：u = e dv = df (t )
− st
du = − se dt v = f (t )
− st
南昌大学机电学院
则：L f (t ) = e
/
[
பைடு நூலகம்
]
− st
推广： 推广： L f
(t )] = s 2 F (s ) − sf (0 + ) − f / (0 + ) df (t ) / + 式中：f (0 ) = │
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2.5 拉氏变换与反变换
机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
2.5.1 拉普拉斯变换的定义
如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，那么 ()t f 的拉普拉斯
变换定义为
()()()0
e d st
F s L f t f t t ∞
-=∆⎡⎤⎣⎦⎰(2.10)
式中， s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数），
⎰
∞
-0
e st
称为拉普拉斯积分； )(s F 是
函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。
2.5.2 几种典型函数的拉氏变换
1.单位阶跃函数
)(1t 的拉氏变换
单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为
⎩⎨
⎧≥<∆)0(1
)0(0)(1t t t
单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为
0e
1d e )(1)](1[)(0
∞
-===-∞
-⎰
st st
s
t t t L s F 当 0)Re(>s ，则
e lim →-∞
→st t 。
所以
[]s s s t L st 1
)1(00e 1)(1=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-（2.11）
图2.7 单位阶跃函数
2.指数函数的拉氏变换
指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中
是常数。
令
则与求单位阶跃函数同理，就可求得
（2.12）
3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换
设
，
，则
由欧拉公式，有
所以
⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=
-∞--∞⎰⎰t t s F st t st t d e e d
e e j 21)(0j
0j 1
ωω ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=-∞+-∞--⎰⎰t t st t s t
s d e e d e j 210)j (0)j (ωω ⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∞+-∞--=
+---0e j 10e j 1j 21)j ()j (t s t s s s ωωωω
22j 1j 1j 21ωω
ωω+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=
s s s
(2.13）
同理
(2.14）
4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换
单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
其幅值和作
用时间的乘积等于1，即。
如图2.8所示。
图2.8 单位脉冲函数
单位脉冲函数的数学表达式为
其拉氏变换式为
此处因为时，，故积分限变为。
(2.15) 5.单位速度函数的拉氏变换
单位速度函数，又称单位斜坡函数，其数学表达式为
见图2.9所示。
图2.9 单位速度函数
单位速度函数的拉氏变换式为
利用分部积分法
令
则。