概率复习题

第一章复习题解答1. 某科技馆在某一星期里（7天）曾接待过3位专家来访.求这3位专家在同一天来访的概率.解：A=“三位专家同一天来访”，则173()0.02047C P A ==。

2.设B A ,是两随机事件，且()0.3,P A B -=（1）若B A ,互不相容，求()P A ； （2）若B A ,独立，1.0)(=B P ,求()P A ； （3）若(|)0.4P B A =，求()P A ； （4）若()0.7P A B ⋃=，求)(B P .解：（1）()()()P A B P A P AB -=-;因为B A 、互不相容，所以()0P AB =，()()0.3P A P A B =-=（2）因为B A ,独立，所以)()()(B P A P AB P =.)(9.01.0)()()()()()()()(3.0A P A P A P B P A P A P AB P A P B A P =⨯-=-=-=-=所以，.31)(=A P （3）()()0.4(|)()()P AB P A B P B A P A P A -===()0.3()0.750.40.4P A B P A -===（4）0.7()()()()()P A B P B P AB P B P A B =+=+=+-()0.7()0.70.30.4P B P A B =--=-=3.设某地区成年居民中肥胖者占10%, 不胖不瘦者占82%, 瘦者占8%, 又知肥胖者患高血压的概率为20%, 不胖不瘦者患高血压病的概率为10%, 瘦者患高血压病的概率为5%. （1）求该地区居民患高血压病的概率；"（2）现知该地区某一成年居民患有高血压病，求其是肥胖者的概率.解：（1）设321,,A A A 分别表示该地区居民为肥胖者、不胖不瘦者、瘦者，B 表示该地区居民患高血压病. 据全概率公式知：106.008.005.082.01.01.02.0)()|()()|()()|()(332211=⨯+⨯+⨯=++=A P A B P A P A B P A P A B P B P（2）据贝叶斯公式知：53/10106.0/]1.02.0[)(/)]()|([)(/)()|(1111=⨯===B P A P A B P B P B A P B A P第二章 复习题解答1.随机变量X ～⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤--=他其,020,sin 01,)(πx x A x x x f ，求：(1)A (2) X 的分布函数)(x F (3))40(π≤≤X P$解：(1)dx x A dx x ⎰⎰+=201-sin )(-1π，求得21=A . (2) X 的分布函数)(x F解：当1-<x 时，0)()()(==≤=⎰∞-xdt t f x X P x F当01≤≤-x 时，221)()()()(21x dt t dt t f x X P x F xx-=-==≤=⎰⎰-∞-当20π≤<x 时，2cos 12sin )()()()(001xdt t dt t dt t f x X P x F xx-=+-==≤=⎰⎰⎰-∞- 当x <2π时，12sin )()()()(2/001=+-==≤=⎰⎰⎰-∞-πdt tdt t dt t f x X P x F x因此：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<-≤≤---<=2,120,2cos 101,2211,0)(2ππx x x x x x x F（3）)40(π≤≤X P 4221)0()4(-=-=F F π. 2. 某地考生高考总成绩X ～2(400,100),N 现在要从20000名考生中择优录取1000人.当地考生若能被录取其成绩至少为多少分 ((1.64)0.95Φ=)。

解：设当地考生若能被录取其成绩至少为a 分,则-200001000)(=≥a X P ，由于X ～2(400,100),N 则200001000)100400(1)(1)(=-Φ-=<-=≥a a X P a X P ，95.0)100400(=-Φa又因为(1.64)0.95Φ=，所以64.1100400=-a ，564=a .3. 在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立的等1，2，3路汽车。

设每个人等车时间X （单位：分钟）均服从[0，5]上的均匀分布。

求三人中至少有两人等车时间不超过两分钟的概率。

解：设Y 表示甲、乙、丙三人中等车时间不超过2分钟的人数，则Y ～),3(p B .其中p 表示每个人等车时间不超过2分钟的概率，则4.051}2{20==≤=⎰dx X P p 所求概率352.04.06.04.0}2{333223=⨯+⨯⨯=≥C C Y P4. 随机变量 X ～)1,0(N ，Xe Y =，求随机变量Y 的概率密度函数)(yf Y . 解：随机变量Y 的分布函数dx ey X P y e P y Y P y F y yx X Y ⎰∞-=≤=≤=≤=>ln -2221)ln (}{}{)(0π时，当:0)(0=≤y F y Y 时，当对上两式两端对y 求导，可得⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,210,0)(2)(ln 2y e y y y f y Y π第3章 复习题解答1．已知随机变量X ，Y 的联合概率分布如下表（1）写出X 与Y 的边缘概率分布. （2）Y X ,是否相互独立为什么 (3) 写出XY , Y X -的分布 解：（1）X 与Y 的边缘概率分布为：（2）Y X ,不相互独立.因为04.0)01(==-=Y X P ，,0459.009.051.0)0()1(=⨯==-=Y P X P;所以，≠=-=)01(Y X P ，)0()1(=-=Y P X P 根据随机变量的独立的定义. Y X ,不独立. （3）的分布为：2. 已知随机变量X ，Y 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其它,0,0,6),()32(y x e y x f y x（1）求X 与Y 的边缘密度)(x f X 及)(y f Y （2）判断X 与Y 是否相互独立，为什么 解：（1）求X 与Y 的边缘密度)(x f X 及)(y f Y(当0≤x 时，00),()(===⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dy y x f x f X当0>x 时，x y x X e dy e dy y x f x f 20)32(26),()(-+∞+-+∞∞-===⎰⎰因此 ⎩⎨⎧≤>=-0,00,2)(2x x e x f xX当0≤y 时，00),()(===⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx dx y x f y f Y当0>y 时，y y x Y e dx e dy y x f y f 30)32(36),()(-+∞+-+∞∞-===⎰⎰因此 ⎩⎨⎧≤>=-0,0,3)(3y y e y f yY .（2）因为⨯)(x f X ),()(y x f y f Y =，因此X 与Y 相互独立.3. 设随机变量X 服从[1，2]上的均匀分布，Y 服从(5,4)N ，且X 与Y 相互独立。

!(1)写出随机变量X 的密度函数)(x f X 与Y 的密度函数)(y f Y （2）写出随机向量()Y X ,的联合密度函数(,)f x y ； (3) ()1,5P X Y >>解：(1)2(5)81,12()()0,y X Y x f x f y --≤≤⎧==⎨⎩，其他（2）由X Y 、独立，(,)X Y 的联合概率密度为8,12(,)()()0,X Y x f x y f x f y -⎧≤≤⎪=⋅=⎨⎪⎩2(y-5)其他（3）5511(1,5)(1)(5)1[1()]1222P X Y P X P Y ->>=>>=⨯-Φ=⨯= 4. 设随机变量],2,2[~-U Z 随机变量⎩⎨⎧->-≤=1,11,0Z Z X ，⎩⎨⎧>≤=1,11,0Z Z Y .（1）求),(Y X 的联合分布列； （2）说明Y X ,是否相互独立》解：（1）4)1()11()00(=-≤=≤-≤===Z P Z Z P Y X P ，， 0)()11()10(=Φ=≥-≤===P Z Z P Y X P ，，21)11()11()01(=≤≤-=≤-≥===Z P Z Z P Y X P ，， …41)1()11()11(=≥=≥-≥===Z P Z Z P Y X P ，， （2）(0,0)0.253/16(0)(0)P X Y P X P Y ===≠===，所以不独立；5. 假设随机变量Y 服从参数为1=λ的指数分布，令随机变量⎩⎨⎧>≤=kY 1k Y 0若若k X （2),1k =。

求1X 和2X 的联合概率分布 解：⎰---==≤=≤≤===11211)1()21()00(e dy e Y P Y Y P X X P y ，，)21()10(21=>≤===Y Y P X X P ，，⎰----==≤<=≤>===212121)21()21()01(e e dy e Y P Y Y P X X P y ，，⎰+∞--==>=>>===2221)2()21()11(e dy e Y P Y Y P X X P y ，，第四章 复习题解答1. 随机向量),(Y X 的联合分布如下表所示,求：{（1）关于X 、Y 的边缘分布; ?（2）)2(Y X D -..31.052.044.032.021.01)2(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-Y X E 2.101.0252.0164.092.041.01)2(2=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-Y X E)2(Y X D -=2)2(Y X E -2))2((Y X E --==.2． 某餐厅每天接待400名顾客，每位顾客的消费额（单位：元）是一个随机变量：期望值是60元、标准差是25元，且顾客的消费额是相互独立的。

利用中心极限定理计算该餐厅每天的营业额不少于23000元的概率．解：设该餐厅每天的营业额为X 元，一天接待400名顾客中第i 名顾客的消费额为i X 元,则60=i EX 元，25=i DX 元（400,...,2,1=i ）且∑==4001i iXX因此有 2400060400400=⨯==i EX EX 元，5002520400=⨯==i DX DX 元9772.0)2(2)(23000)()23000(=Φ≈⎪⎭⎫⎝⎛-≥-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-=≥DX X E X P DX EX DX X E X P X P 3．某电路中有10000盏灯，晚上每盏灯开着的概率为,且各灯开、关相互独立，用中心极限定理求晚上开着的灯的数目在4900至5100之间的概率.解：设晚上开着的灯的数目为X ，则)5.0,10000(~B X 且2500,5000==DX EX .因此，9546.01)2(2)2()2(2)(25100)(4900)51004900(=-Φ=-Φ-Φ≈⎪⎭⎫⎝⎛≤-≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-≤-=≤≤DX X E X P DX EX DX X E X DX EX P X P 即晚上开着的灯的数目在4900至5100之间的概率约为。