概率论与数理统计本科模拟试题一

模拟试题一
一、 填空题（每空3分，共45分）
1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。

P( A ∪B) = 。

2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为
1
9
，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；
3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；
4、已知随机变量X 的密度函数为：
,0
()1/4,020,2
x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩
, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ； 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ；
7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，
~(3)Y t =
；
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，1
1n
i i X X n ==∑为
样本均值，则θ的矩估计量为： 。

9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；
二、 计算题（35分）
1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：
1,
02
()2
0,
x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它
求：1）{|21|2}P X -<；2）2
Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为
1/4,
||,02,(,)0,
y x x x y ϕ<<<⎧=⎨
⎩其他
1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；
3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：
1,
0(),000
x
e x x x θϕθθ
-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩
X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。

1）求参数θ的极大似然估计量ˆθ；
2）验证估计量ˆθ是否是参数θ的无偏估计量。

三、 应用题（20分）
1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。

如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。

现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？ 2．（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5‰，假定有害物质含量X 服从正态分布。

现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：
0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)？ 附表：
0.9750.950.9750.950.9750.951.96 1.65,4 2.776,4 2.132, 2.571,4 2.015,()()(5)()t t t t u u ======
答案（模拟试题一）
四、填空题（每空3分，共45分）
1、0.8286 ，0.988 ；
2、2/3 ；
3、
142
126
6
11
12
C C⨯
，
6
12
6
6!
12
C
；
4、1/2, F(x)=
1
,0
2
1
,02
24
1,2
x
e x
x
x
x
⎧
≤
⎪
⎪
⎪
+<≤
⎨
⎪
>
⎪
⎪⎩
，{0.51}
P X
-<<=0.5
31
42
e-
-；
5、p = 1/3，Z=max(X,Y)的分布律：Z 0 1 2
P 8/27 16/27 3/27；
6、D(2X-3Y)= 43.92, COV(2X-3Y, X)= 3.96 ；
7、当k
~(3) Y t =；
8、θ的矩估计量为：2X。

9、[9.216，10.784]；
五、计算题（35分）
1、解1）
9 {|21|2}{0.5 1.5}
16 P X P
X
-<=-<
<=
2）
(0 ()
0,0
1
,04
4
0,
X X
Y
y y
y
y
ϕϕ
ϕ
+> =
≤
⎩
⎧
≤≤
⎪
=⎨
⎪⎩其它
3）
45 (21)2121
33 E X EX
-=-=⨯-=
2、解：1）1,
02,02()(,)420,0,
x X x
x dy x x x x y dy ϕϕ+∞
--∞⎧⎧<<<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩
⎩
⎰⎰其它
其它
2||11
,
||2
(2||),
||24
()(,)40,
0,
y Y dx y y y y x y dx ϕϕ+∞
-∞⎧⎧<-<⎪⎪===⎨⎨⎪
⎪⎩⎩⎰⎰其它其它 2）显然，(,)()()X Y x y x y ϕϕϕ≠，所以X 与Y 不独立。

又因为EY=0，EXY=0，所以，COV(X,Y)=0，因此X 与Y 不相关。

3）
22()(,)1
1,04,044280,
0,Z z z x z x dx
z dx z z ϕϕ+∞
-∞
=-⎧⎧<<-<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩
⎰⎰其它
其它
3、解1）1
121
1
1
(,,,,)n
i
i
i x x n
n n
i L x x x e
e
θ
θ
θθθ
=-
-=∑=
=
∏
12ln (,,,,)ln n nx
L x x x n θθθ
=--
令
2ln 0d L n nx
d θθθ
=-+= 解出：ˆX θ= 2）ˆE EX EX θ
θ=== ˆθ
θ∴是的无偏估计量。

六、 应用题（20分）
1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。

如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。

现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？ 解：设事件A1，A2，A3，A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于3/10，1/5，1/10和2/5，事件B 表示“迟到”，
已知概率{|},1,2,3,4i P B A i =分别等于1/4，1/3，1/2，0 则4
1
{)()(|)i i i P B P A P B A ==
=
∑23
120
111()(|)9(|)()23P A P B A P A B P B =
=，222()(|)8
(|)()23P A P B A P A B P B ==
333()(|)6(|)()23P A P B A P A B P B =
=，444()(|)
(|)0()
P A P B A P A B P B ==
由概率判断他乘火车的可能性最大。

2．（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5‰，假定有害物质含量X 服从正态分布2(,)N a σ。

现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：
0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)？ 解：0:0.5H a ≤（‰），1:0.
5H a >
拒绝域为：00.95(4)}x t χ=> 计算0.5184,0.018x s ==
0.952.2857(4)t t =
=>， 所以，拒绝0H ，说明有害物质含量超过了规定。

附表：
0.9750.950.9750.950.9750.951.96 1.65,4 2.776,4 2.132, 2.571,4 2.015,()()(5)()t t t t u u ======。