概率统计实验复习过程

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概率统计C复习大纲

概率统计C复习大纲
n 1 n 1 n 1 2 2 ( ) ( X ( 2 )样本方差: S X X i i X i2 nX 2 ) n i 1 n 1 i 1 n 1 i 1 2
重要结论: 若 X 1 , X 2 , X n 是取自总体 X , EX , DX 的简单随机样本,则 (1) EX , DX
' f h y h y , y D2 40 代入公式得: fY y X 0, y D2
(P73 A-3,5)
5. 理解二维随机变量的联合分布函数的定义,边缘分布函数的定义,以及会用联合分布函数表示二维随机变量落 在某个范围内的概率. ( P75 (2.6.1) ) (例如 P(X>a,Y>b)=1-P(X≤a)-P(Y≤b)+P(X≤a,Y≤b)=1-F(a,+∞)-F(+∞,b)+F(a,b) ) 6. 会求二维离散型 r.v. 的联合分布律,边际分布律。联合分布函数,条件分布律,会判断独立性。(P104 例 6 ) 7. 会求二维连续型 r.v. 的联合密度,联合分布,边际密度,边际分布, P



f ( z y, y )dy


f ( x, z x)dx ,P95 例 4,解法二)(P97 A-5)
xi pi E ( X ) i 1 xf ( x)dx
当X为离散型 当X为连续型
g ( xi ) pi E[ g ( X )] i 1 g ( x) f ( x)dx
定义 1: 分布: 若 X i N (0,1) 且独立,则
2 2
X
i 1
n
2 i

概率统计公式大全复习重点

概率统计公式大全复习重点

第一章随机事件和概率(1)排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事):m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。

(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

(5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用ω来表示。

基本事件的全体,称为试验的样本空间,用Ω表示。

一个事件就是由Ω中的部分点(基本事件ω)组成的集合。

通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是Ω的子集。

Ω为必然事件,为不可能事件。

不可能事件()的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。

(6)事件的关系与运算①关系:如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):BA⊂如果同时有BA⊂,AB⊃,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。

A、B中至少有一个发生的事件:A B,或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者BA,它表示A发生而B不发生的事件。

第一轮复习统计与概率教案及反思

第一轮复习统计与概率教案及反思

教案中考第一轮复习《统计与概率》第二节概率姓名:陈桂玲单位:河南省郑州市中牟县实验学校第一轮复习统计与概率第二节概率教学目标:知识目标:1、正确区分确定事件(包括不可能事件和必然事件)和不确定事件(随机随机)2、在确定的情境中了解概率的含义,运用列表法或画树状图法计算简单事件发生的概率。

3、通过实验,获得事件发生概率的估计值。

4、能用概率知识解决一些实际问题。

5、能用实验或模拟试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。

过程与方法:通过中考真题再现,在解决问题的过程中,让学生初步体会成功的喜悦,增强学习的自信心。

情感态度与价值观:通过解决实际问题,培养学生用数学思维方式解决问题,增强学生的学习数学的兴趣。

教学重点:运用列表法或画树状图法计算简单事件发生的概率。

教学难点:能用概率知识解决一些实际问题。

教学方法:启发式教学、讲练结合教具准备:多媒体课件教学过程:一、知识梳理考点再现考点一:确定事件与随机事件1、_______和________称为确定事件。

2、在一定条件下,__________的事件,叫做随机事件。

考点二:概率1、概率的定义。

一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数P附近,•那么这个常数P就叫做事件A的概率,记为P(A)=P.2、确定事件和随机事件的概率。

3、概率的计算。

列表法或画树状图法计算简单事件发生的概率考点三:频率与概率的关系是大量试验后频率趋于稳定的值,对于一个随机事件做大量试验时发现,随机事件发生的次数与试验次数的比总是在一个固定值附近摆动,这个固定的值叫做随机事件的概率,概率的大小反映随机事件的可能性的大小。

二、典例精析例1 (2010台州市).下列说法中正确的是( )A.“打开电视,正在播放《新闻联播》”是必然事件;B .某次抽奖活动中奖的概率为1001,说明每买100张奖券,一定有一次中奖; C .数据1,1,2,2,3的众数是3;D .想了解台州市城镇居民人均年收入水平,宜采用抽样调查. 例2(2010陕西省).某班毕业联欢会设计的即兴表演节目的摸球游戏,游戏采用一个不透明的盒子,里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球,这些球除数字外,其他完全相同,游戏规则是参加联欢会的50名同学,每人将盒子乒乓球摇匀后闭上眼睛从中随即一次..摸出两个球(......每位同学必须且只能摸一次)。

概率统计公式大全(复习重点)

概率统计公式大全(复习重点)

概率统计公式大全(复习重点)第一章随机事件和概率(1)排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。

(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用ω来表示。

基本事件的全体,称为试验的样本空间,用Ω表示。

一个事件就是由Ω中的部分点(基本事件ω)组成的集合。

通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是Ω的子集。

Ω为必然事件,Ø为不可能事件。

不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。

①关系:如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):BA⊂如果同时有BB⊃,则称事件A与A⊂,A事件B等价,或称A等于B:A=B。

A、B中至少有一个发生的事件:A Y B,或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者B A,它表示A发生而B不发生的事件。

概率论与数理统计复习

概率论与数理统计复习

自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统§1.1 随机事件1.随机现象:确定现象:太阳从东方升起,重感冒会发烧等;不确定现象:随机现象:相同条件下掷骰子出现的点数:在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等;其他不确定现象:在某人群中找到的一个人是否漂亮等。

结论:随机现象是不确定现象之一。

2.随机试验和样本空间随机试验举例:E1:抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况。

E2:掷一枚骰子,观察出现的点数。

E3:记录110报警台一天接到的报警次数。

E4:在一批灯泡中任意抽取一个,测试它的寿命。

E5:记录某物理量(长度、直径等)的测量误差。

E6:在区间[0,1]上任取一点,记录它的坐标。

随机试验的特点:①试验的可重复性;②全部结果的可知性;③一次试验结果的随机性,满足这些条件的试验称为随机试验,简称试验。

样本空间:试验中出现的每一个不可分的结果,称为一个样本点,记作。

所有样本点的集合称为样本空间,记作。

举例:掷骰子:={1,2,3,4,5,6},=1,2,3,4,5,6;非样本点:“大于2点”,“小于4点”等。

3.随机事件:样本空间的子集,称为随机事件,简称事件,用A,B,C,…表示。

只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。

必然事件:一定发生的事件,记作不可能事件:永远不能发生的事件,记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集,所以,随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理,并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。

(1)事件的包含和相等包含:设A,B为二事件,若A发生必然导致B发生,则称事件B包含事件A,或事A包含于事件B,记作,或。

性质:例:掷骰子,A:“出现3点”,B:“出现奇数点”,则。

注:与集合包含的区别。

相等:若且,则称事件A与事件B相等,记作A=B。

(2)和事件概念:称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件,或称为事件A与事件B的并,记作或A+B。

高考数学概率统计总复习教案

高考数学概率统计总复习教案

高考数学概率统计总复习教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高考数学概率统计总复习教案,希望能给大家带来帮助!一、山东高考体验(10山东))在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下:90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为(A)92 , 2 (B) 92 , 2.8 (C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8(09山东)一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆): 轿车A 轿车B 轿车C舒适型100 150 z标准型300 450 600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.(1) 求z的值.(2) 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;(3) 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.(10山东)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求的概率.二、抢分演练1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为,,由此得到频率分布直方图如图3,则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是.2. (2009年广东卷文)某单位200名职工的年龄分布情况如图2,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按1-200编号,并按编号顺序平均分为40组(1-5号,6-10号…,196-200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是。

概率与统计复习教案

概率与统计复习教案

概率与统计复习教案一、教学目标1. 回顾和巩固概率与统计的基本概念、原理和方法。

2. 提高学生运用概率与统计解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容1. 概率的基本概念:必然事件、不可能事件、随机事件。

2. 概率的计算:古典概率、条件概率、独立事件的概率。

3. 统计的基本概念:平均数、中位数、众数、方差、标准差。

4. 数据的收集与处理:调查方法、数据整理、数据可视化。

5. 概率与统计在实际应用中的例子。

三、教学方法1. 讲授法:讲解概率与统计的基本概念、原理和方法。

2. 案例分析法:分析实际应用中的例子,引导学生运用概率与统计解决实际问题。

3. 小组讨论法:分组讨论问题,培养学生的团队协作能力。

4. 练习法:布置课后作业,巩固所学知识。

四、教学准备1. 教学PPT:制作包含概率与统计基本概念、原理和方法的PPT。

2. 案例材料:收集实际应用中的概率与统计例子。

3. 作业题目:准备课后作业,涵盖本节课的主要内容。

五、教学过程1. 导入:回顾上节课的内容,引导学生进入本节课的学习。

2. 讲解概率的基本概念:必然事件、不可能事件、随机事件。

3. 讲解概率的计算:古典概率、条件概率、独立事件的概率。

4. 案例分析:分析实际应用中的例子,让学生体会概率与统计在生活中的应用。

5. 讲解统计的基本概念:平均数、中位数、众数、方差、标准差。

6. 讲解数据的收集与处理:调查方法、数据整理、数据可视化。

7. 小组讨论:分组讨论问题,培养学生的团队协作能力。

8. 课堂练习:布置课后作业,巩固所学知识。

9. 总结:对本节课的主要内容进行总结,提醒学生注意重点知识点。

10. 课后作业:布置作业,让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂提问:通过提问了解学生对概率与统计概念的理解程度。

2. 小组讨论:观察学生在讨论中的表现,评估他们的团队协作能力和问题解决能力。

3. 课后作业:检查学生作业完成情况,评估他们对课堂所学知识的掌握程度。

概率论与数理统计总复习-

概率论与数理统计总复习-

一. 二维离散型r.v.
概率统计-总复习-13
1. 联合分布律(2个性质)
P(Xxi,Yyj)pij,
2.联合分布函数(5个性质)
F ( x , y ) P X x , Y y
3.联合分布律与联合分布函数关系
F(x,y)pij, xixyjy
4. 边缘分布律与边缘分布函数
n
Xi


n
E( Xi )


i1 i1
D
n
Xi


n
D( Xi )
i1 i1
X1,,Xn 相互独立
常见离散r.v.的期望与方差
概率统计-总复习-27
分布 概率分布
期望 方差
参数p的 0-1分布
P (X 1 )p ,P (X 0) q
2. 联合分布函数(5个性质)
xy
F(x,y) p(u,v)dvdu
3.联合密度与联合分布函数关系 2F( x,y) p( x,y)
xy
4.边缘密度与边缘分布函数


p (x) p( x,y)dy p ( y) p( x,y)dx
X

Y

FX( x) F(x, ) FY ( y ) F(, y)

5.全概率公式:分解 P(B) P(Ai)P(B|Ai),B
i1
6.贝叶斯公式
P(Aj |B)
P(Aj )P(B| Aj )

,j
P(Ai )P(B|Ai )
i1
四. 概率模型
概率统计-总复习-6
1.古典概型: 摸球、放球、随机取数、配对
2. n重伯努利概型:

概率与统计专题复习策略

概率与统计专题复习策略

择. 要掌握思 维过程 .发 现解 决问题 的方 法 .达 到举

反三 的目的 。还要进行题后反思 .在大脑记忆中构
匿 (由 数据, 1 所给 ) 计算得如下频率分布 表:

建 良好 的数学认 知结构 ,形成条理化 、有序化 、网络 数 的内在联系 ,从形式结构 、数字特征 、图形 图表的位 频 数 置 特 点等 方 面 进行 联 想 和试 验 ,找 到知 识 的 “ 结 点 ”. 就是将实 际问题转化为纯数 学问题进行 训 频 再有 室
练 .以培养利用所学 知识解决实际问题的能力.
( )典 题 分 析 一
1 概 率 问题 . .
累 积 O 频 0 8

据 1, 1, ) 2, ) 5 0 [O 5 3, ) O 5 5 2 2 [ 3 3 4 [ 4 化 的有 机体系 ; ()培养应 用意识. 3 要挖掘知识之 间 段 [01)[5 O [0 5 2, ) 3, )[5 0 4, ) 计
空 距

Hale Waihona Puke 1 工人甲生产出次品数 s的期望和方差分别 解析l
为:
( )作 出频率分布表 ;() 1 2画出频率分布直方图.
如o 斋 斋= , =鲁 × ∽ D(.斋+-2 .--9  ̄- (.击+ 71- 1 -O O7 1 ) -× 0 7 9 --; x 0  ̄8
工人乙生产出次 品数 田的期望和方差分别为 :
等 于样本数据落在相应 区间上的频率 ,而频数等 于样 本容量与频率的乘积 ,所有小矩形的面积之和等于 1 .
不 能出现在第 4 ,因此恰好抛完 5 次) 次硬币 时赢 得
所 卡 是 的 率 音 恰 抛 5 有 片 A 概 是 争 奇, 好 完 次

《统计与概率》教案14篇

《统计与概率》教案14篇

《统计与概率》教案14篇《统计与概率》教案篇1设计说明根据本课时的复习内容和特点,依托教材提供的练习题,从以下两个层次进行复习。

1.引导学生按照指定的标准分类。

这一层次的复习,首先让学生按照颜色分类,采用小组讨论的方式,找出自己分类的数据,然后将数据填入统计表中,初步体会到整理数据的全过程。

在按照颜色分类的基础上,让学生自主完成按照形状进行分类,以巩固整理数据的方法。

2.引导学生按照自选的标准进行分类。

这一层次的复习过程能让学生体验到分类结果的多样性。

通过以上的复习设计,使学生会用简单的统计表、象形统计图来呈现整理的结果,并培养学生从多角度、多层次、多方位地看待事物的意识。

课前准备教师准备 PPT课件学生准备不同形状的平面图形若干教学过程⊙导入新课(课件出示不同形状的平面图形)师:同学们,这些图形都是我们学过的平面图形,谁能告诉大家它们的名称?(教师指名汇报)师:同学们的记忆力真好,今天我们就利用这些平面图形来复习有关分类与整理的知识。

设计意图:通过辨认平面图形,为复习课的展开奠定基础。

⊙复习梳理1.复习按照指定的标准分类。

(课件出示教材94页3题)师:这么多不同颜色、不同形状的卡片混在一起,你们能分别按照它们的颜色和形状把它们分一分吗?(1)按照颜色分类。

师:请同学们小组合作解决,要知道每种颜色的卡片分别有多少张,应该怎么办呢?(学生小组讨论)汇报讨论结果。

方法一:先分一分,再数一数。

先按照红、绿、蓝、黄、粉五种颜色把卡片分成五类,然后数出每一类的张数。

方法二:边数边画。

学生展示画的结果:方法三:用文字方式呈现分类的结果。

红色绿色蓝色黄色粉色5张 3张 6张 2张 4张师:请根据你们用不同方法分类整理的结果,把教材94页3题(1)中的表格填写完整。

(学生自主填写表格)师:根据表格中的数据,请你提出数学问题,并自主解答。

(学生之间根据数据互相提出问题,并解答)(2)按照形状分类。

师:根据按照颜色分类的方法,请同学们按照形状对这些卡片进行分类,并自主填写教材94页3题(2)中的表格。

课题专题复习第八单元《统计与概率》

课题专题复习第八单元《统计与概率》

课题:专题复习第八单元《统计与概率》第一课时数据的收集、整理与描述学科:数学教材版本:人教版年级:九年级单位:唐山市第中学编制人:日期:2014年1月14日合性的应用题探究一统计的方法命题角度:根据考察对象选取统计方法.例1 下列调查中,须用全面调查(普查)的是( )A.了解某市学生的视力情况 B.了解某市中学生课外阅读的情况C.了解某市百岁以上老人的健康情况 D.了解某市老年人参加晨练的情况方法点析:(1)下面的情形常采用抽样调查:①当受客观条件限制,无法对所有个体进行普查时,如考察某市中学生的视力;②当调查具有破坏性,不允许普查时,如考察某批灯泡的使用寿命;③当总体的容量较大,个体分布较广时,考察多受客观条件限制,宜用抽样调查.(2)抽样调查的要求:①抽查的样本要有代表性;②抽查样本的数目不能太少.探究二与统计有关的概念命题角度:1.总体、个体、样本;2.频数、频率.例2 [2013·内江 ]今年我市有近4万名考生参加中考,为了了解这些考生的数学成绩,从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析.以下说法正确的是( )A.这1000名考生是总体的一个样本 B.近4万名考生是总体C.每位考生的数学成绩是个体 D.1000名学生是样本容量方法点析:区分总体、个体、样本和样本容量,关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考察对象是相同的,所不同的是范围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目,不能带单位.探究三条形统计图、折线统计图、扇形统计图命题角度:条形统计图、折线统计图、扇形统计图的应用.例3 [2013·陕西]我省教育厅下发了《在全省中小学幼儿园广泛深入开展节约教育的通知》,通知中要求各学校全面持续开展“光盘行动”.某市教育局督导检查组为了调查学生对“节约教育”内容的了解程度(程度分为:“A—了解很多”,“B—了解较多”,“C—了解较少”,“D—不了解”),对本市一所中学的学生进行了抽样调查,我们将这次调查的结果绘制成以下两幅统计图.根据以上信息,解答下列问题:(1)(2)补全两幅统计图;(3)若该中学共有1800名学生,请你估计这所中学的所有学生中,对“节约教育”内容“了解较多”的有多少名?探究四频数分布直方图命题角度:频数分布表和频数分布直方图.例4 [2013·湛江] 2013年3月28日是全国中小学生安全教育日,某学校为加强学生的安全意识,组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛,从中抽取了部分学生成绩(得分取正整数,满分为100分)进行统计.请根据尚未完成的频率分四、课堂检测:1.(重庆中考)下列调查中,适宜采用全面调查(普查)方式的是()A.调查市场上老酸奶的质量情况B.调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命C.调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品D.调查我市市民对伦敦奥运会吉祥物的知晓率2.(浙江杭州中考)如图是杭州市区人口的统计图.则根据统计图得出的下列判断,正确的是()杭州市区人口统计图A.其中有3个区的人口数都低于40万B.只有1个区的人口数超过百万C.上城区与下城区的人口数之和超过江干区的人口数D.杭州市区的人口数已超过600万3.(山东济宁中考)空气是由多种气体混合而成的,为了简明扼要地介绍空气的组成情况,较好地描述数据,最适合使用的统计图是()A.扇形图B.条形图C.折线图D.直方图4.(上海中考)某校500名学生参加生命安全知识测试,测试分数均大于或等于60且小于100,分数段的频率分布情况如下表所示(其中每个分数段可包括最小值,不包括最大值),结合下表的信息,可得测试分数在80~90分数段的学生有5.(分布情况,随机抽取了100份试卷的成绩(满分为120分,成绩为整数),绘制成下图所示的统计图.由图可知,成绩不低于90分的共有__________人.100份“生活中的数学知识”大赛试卷的成绩频数分布直方图6.某乡镇举行歌咏比赛,组委会规定:任何一名参赛选手的成绩x满足:60≤x<1007.某县农民一直保持着冬种油菜的习惯,利用农闲冬种一季油菜.某县农业部门对2013年的油菜籽生产成本、市场价格、种植面积和产量等进行了调查请根据以上信息解答下列问题:(1)种植油菜每亩的种子成本是多少元?(2)农民冬种油菜每亩获利多少元?(3)2013年该县全县农民冬种油菜的总获利多少元?(结果用科学记数法表示)参考答案归类探究:例1: C例2: C例3:解:(1)抽样调查的学生人数为36÷30%=120(名).(2)B的人数:120×45%=54(名),C的百分比:24120×100%=20%,D的百分比:6120×100%=5%,补全两幅统计图如图所示.(3)对“节约教育”内容“1800×45%=810(名).例4:解:(1)200,70,0.12(2)补全后的频数分布直方图如下图:所以,安全意识不强的学生约有420人课堂检测:1.C A.数量较大,普查的意义或价值不大时,应选择抽样调查;B.数量较大,具有破坏性的调查,应选择抽样调查;C.事关重大的调查往往选用普查;D.数量较大,普查的意义或价值不大时,应选择抽样调查.故选C.2.D A.只有上城区人口数都低于40万,故此选项错误;B.萧山区、余杭区两个区的人口超过100万,故此选项错误;C.上城区与下城区的人口数之和低于江干区的人口数,故此选项错误;D.杭州市区的人口数已超过600万,故此选项正确.故选D.3.A 根据题意,得要求直观反映空气内组成情况,即各部分在总体中所占的百分比,结合统计图各自的特点,应选择扇形统计图.4.150 因为测试分数在80~90分数段的频率为1-0.2-0.25-0.25=0.3,所以学生有500×0.3=150.5.27 因为100-4-26-43=27(人).6.0.37.解:(1)1-10%-35%-45%=10%;110×10%=11(元).(2)130×3-110=280(元).(3)280×500 000=140 000 000=1.4×108(元).本课小结:我的收获新名词:新观点:新体验:新感受:我将改变我的:学生自己记录填写相应的内容并相互交流。

14-15(一)概率统计(多概率)复习资料

14-15(一)概率统计(多概率)复习资料

14-15(⼀)概率统计(多概率)复习资料14-15(⼀)概率统计(多概率)复习资料⼀、填空题('105'2=?)1. 古典概型(第⼀章)例:(1)2013-2014期末A ⼀1:掷两枚质地均匀的骰⼦,则点数之和为4的概率P = 1/12 .(2)2012-2013期末A ⼆1:袋中有3⽩1红共4只质量、⼤⼩相同的球,甲先任取⼀球,观察后放回;然后⼄再任取⼀球,则⼆⼈取相同颜⾊球的概率为(① 1016)(3)检2⼀1,2,3⼆.检4⼆2.2. 分布列和概率密度(第⼆章)例:(1)2012-2013期末A ⼀4:若随机变量X 的概率密度为 (),()x f x ae x -=-∞<<+∞,则=a 0.5 ;(0)P X == 0 .(2) 检5⼀3: 若随机变量X 的概率密度为 41,0()40,0x e x f x x -?>?=??≤?,则(4)P X ≤= ;(48)P X <<= .(3)检4⼀⼆1,3.检5⼀⼆.检7⼀⼆.检8⼀4.3. 数学期望与⽅差(第三章)例:(1)2013-2014期末A ⼀3,4:3.若随机变量X 服从泊松分布)(λP ,已知=)(X E 1,则λ= 1 , (2)D X = 4 .4.已知两个相互独⽴随机变量)9.0,10(~B X ,)1(~e Y ,则=-)2(Y X E 7 ,()D X Y -= 1.9 .(2)2012-2013期末A ⼀3,5:3. 若随机变量X 的概率函数为1.03.03.02.01.043210p X ,则()3P X >= 0.1 ;()E X = 2.1 .5. 若相互独⽴的随机变量X 与Y 满⾜1)(=X D ,4)(=Y D ,则=-)2(Y X D 8 .(3)检8⼀1,2,3,5,⼆三1.检11⼀1.检13⼀2.4. 协⽅差(第三章)例:(1)2013-2014期末A ⼀5:若~N(0,1),Y ~N(0,1)X ,相关系数41),(-=Y X R ,则(,)cov X Y =-1/4 ;=+)2(Y X D 4 . (2)检9⼆2:随机变量X 与Y 相互独⽴是0),cov(=Y X 的(充分)条件.(3)检9⼀2,3,⼆2.检11⼆3.5. 未知参数的矩估计(第六章)例:(1)检15⼀1:设总体~(6,)X B p ,n X X X ,,,21 为来⾃总体X 的样本,则未知参数p 的矩估计量为.(2)检15三2:设连续总体X 的概率密度函数为1,01( )0,x x f x θθθ-?<<=??;其他其中0θ>.n X X X ,,,21 为来⾃总体X 的样本,求未知参数θ的矩估计量.⼆、选择题('155'3=?)1. 随机变量的分布函数(第⼆章)例:(1)2013-2014期末A ⼆3:若随机变量X 的分布函数为)(x F ,则以下结论⼀定正确的是( A ).(2012-2013期末A ⼆2类似)A .()()()P a X b F b F a <≤=-;B .()()()P a X b F b F a <<=-;C . ()()()P a X b F b F a <<≠-;D . ()0P X a ==(2)检4⼆1:设随机变量X 的分布列为01230.10.30.40.2X p ,)(x F 为其分布函数,则)2(F = ( ③ ) ① 0.2 ② 0.4 ③ 0.8 ④ 1(3)检7⼆1:设X 的分布函数为)(x F ,则随机变量函数13+=X Y 的分布函数为①① 1()3y F -;② )13(+y F ;③ 1)(3+y F ;④ 31)(31-y F 2. 相关系数(第三章)例:(1)2012-2013期末A ⼆3:若随机变量X 与Y ⽅差存在,且满⾜1Y X =-,则相关系数=),(Y X R (②)① 1;② -1;③ 0.5;④ -0.5.3. 正态分布(第四章)例:(1)检11⼆1,2:1. 设随机变量2(,)X N µσ,则随σ的增⼤,概率{}P X µσ-<应(③).①单调增⼤;②单调减少;③保持不变;④增减不定.2. 设随机变量X 的概率密度为2(3) 4()x f x e +-=则服从标准正态分布的随机变量是(②).① 32X +;②;③ 32X -;④. 4. 统计量的分布(第五章)例:(1)2013-2014期末A ⼆2:设随机变量~(2)X t ,则2X 服从__B _.A .()22χB .()1,2FC .()2,2FD .()2,1F(2)2012-2013期末A ⼆5:设总体2~(,)X N µσ,X 为该总体的样本均值,则()P X µ>__④__.①14< ② 14= ③ 12> ④ 12= (3)检14⼀⼆(尤其注意⼀1⼆2).5. 待定例:有可能是条件概率和概率乘法公式;随机变量函数的分布;连续性随机变量概率密度;切⽐雪夫不等式;中⼼极限定理;最⼤似然估计;估计量的⽆偏性等(1)2013-2014期末A ⼀6:设123,,X X X 为来⾃总体X 的样本,123()X X X µθ=++是总体均值µ的⽆偏估计量,则θ= 1/3 .(2)检5⼆1,检10全部,检12⼆,检15⼆.三⾄九(或⼗)、计算与证明题('75)1. 条件概率和概率乘法公式。

概率统计公式大全复习重点

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概率统计公式大全复习重点在学习概率统计这门学科时,掌握各种公式是至关重要的。

这些公式不仅是解决问题的工具,更是理解概率统计概念的关键。

本文将为您梳理概率统计中的重点公式,帮助您更好地复习和掌握这部分知识。

一、随机事件与概率1、古典概型概率公式如果一个随机试验所包含的基本事件总数为 n,事件 A 所包含的基本事件数为 m,则事件 A 发生的概率为:P(A) = m / n2、几何概型概率公式设样本空间为几何区域Ω,事件 A 对应的区域为ω,则事件 A 发生的概率为:P(A) =ω 的测度/Ω 的测度3、条件概率公式设 A、B 是两个事件,且 P(B) > 0,则在事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的条件概率为:P(A|B) = P(AB) / P(B)4、乘法公式P(AB) = P(A|B)P(B) 或 P(AB) = P(B|A)P(A)5、全概率公式设 B₁, B₂,, Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分,且 P(Bᵢ) > 0(i = 1, 2,, n),A 是Ω 中的任意一个事件,则有:P(A) =∑ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)(i从 1 到 n)6、贝叶斯公式设 B₁, B₂,, Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分,且 P(Bᵢ) > 0(i = 1, 2,, n),A 是Ω 中的任意一个事件,在事件 A 已经发生的条件下,事件 Bᵢ发生的概率为:P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) /∑ P(Bₙ)P(A|Bₙ) (i从 1 到 n,k 从 1 到 n)二、随机变量及其分布1、离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量 X 的可能取值为 x₁, x₂,, xₙ,对应的概率为p₁, p₂,, pₙ,则概率分布为:P(X = xᵢ) = pᵢ(i = 1, 2,, n),且∑pᵢ= 12、二项分布如果随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布,记为 X ~ B(n, p),则概率质量函数为:P(X = k) = C(n, k) p^k (1 p)^(n k) (k = 0, 1, 2,, n)3、泊松分布如果随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布,记为 X ~P(λ),则概率质量函数为:P(X = k) =(e^(λ) λ^k) / k! (k = 0, 1, 2,)4、连续型随机变量的概率密度函数设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x),则分布函数为:F(x)=∫∞, x f(t) dt5、正态分布如果随机变量 X 服从参数为μ 和σ² 的正态分布,记为 X ~N(μ, σ²),则概率密度函数为:f(x) =(1 /(σ√(2π))) e^((x μ)² /(2σ²))三、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量 X 的数学期望为:E(X) =∑ xᵢ pᵢ(i 从 1 到 n)连续型随机变量 X 的数学期望为:E(X) =∫∞,+∞ x f(x) dx2、方差离散型随机变量 X 的方差为:D(X) =∑ (xᵢ E(X))² pᵢ(i 从 1 到n)连续型随机变量 X 的方差为:D(X) =∫∞,+∞ (x E(X))² f(x) dx3、标准差随机变量 X 的标准差为:σ(X) =√D(X)4、协方差设随机变量 X 和 Y,其协方差为:Cov(X, Y) = E((X E(X))(Y E(Y)))5、相关系数随机变量 X 和 Y 的相关系数为:ρ(X, Y) = Cov(X, Y) /(σ(X)σ(Y))四、大数定律和中心极限定理1、大数定律当 n 足够大时,样本均值X依概率收敛于总体均值μ,即:P(|Xμ| >ε) → 0 (n → ∞)2、中心极限定理设随机变量 X₁, X₂,, Xₙ 相互独立,且具有相同的分布和有限的数学期望μ 和方差σ²。

非常全面的概率论与数理统计复习材料

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例 2 从 1,2,…,9,这九个数中任取三个数,求:1 三数之和为 10 的概率 p1;2 三数之积
为 21 的倍数的概率 p2;
解:p1=错误!=错误!, p2= 错误!= 错误!
前提是如果在某一区域任取一 例 1 把长度为 a 的棒任意折成三段,求它们可以构成一个三角形的概率;
点,而所取的点落在中任意两 解:设折得的三段长度分别为 x,y 和 a-x-y,那么,样本空间,S={x,y|0xa,0ya,0a-x-ya};
A、A=
B、AB= C、A错误!=
D、B=错误!
运 A1,A2,…,An 构成的一个完备事件组或分斥指 A1,A2,…,An 两两互不相容,且错误!Ai=

交换律 A∪B=B∪A A∩B=B∩A 运
结合律 A∪B∪C=A∪B∪C A∩B∩C=A∩B∩C 算
分配律 A∪B∩C=AC∪BC A∩B∪C=A∪C∩B∪C 法
题 例 3 某物品成箱出售,每箱 20 件,假设各箱中含 0、1 件次品的概率分别为和,一顾客在购买时,他可以开箱,从箱中任取
三件检查,当这三件都是合格品时,顾客才买下该箱物品,否则退货;试求:1 顾客买下该箱的概率 ;
2 顾客买下该箱物品,问该箱确无次品的概率 ;
解:设事件 A0—箱中 0 件次品, A1—箱中 1 件次品,事件 B—买下该箱;由已知 PA0=, PA1=,
必然事件---每次试验中必定发生的事件; 不可能事件--每次试验中一定不发生的事件;
事 包含 AB 件 相等 A=B 之 对立事件,也称 A 的逆事件 间 互斥事件 AB=也称不相容事件 的 A,B 相互独立 PAB=PAPB 关
例 1 事件 A,B 互为对立事件等价于 D A、A,B 互不相容 B、A,B 相互独立 C、A∪B=Ω D、A,B 构成对样本空间的一个剖分 例 2 设 PA=0,B 为任一事件,则 C A、A= B、AB C、A 与 B 相互独立 D、A 与 B 互不相容

概率论与数理统计复习汇总

概率论与数理统计复习汇总

概率论与数理统计复习汇总第⼀章:概率论初步基本概念:随机事件、古典概率、条件概率、事件的独⽴性事件的关系与运算(结合集合论和⽂⽒图来学习)⼦事件(⼦集)、积事件(交集)、和事件(并集)、对⽴事件AB A B ∪A (补集)、差事件 ;A B AB A AB ?==? 互斥事件 AB =Φ事件发⽣:事件A 中⾄少有⼀个样本点出现.处理技巧:把稍微复杂点事件处理成简单的互斥事件的和 []A B A B A =?∪∪运算规律:德摩根律 ;AB A B A B AB ==∪∪加法原理:(分类),乘法原理:12m n n n +++ 12m n n n (分步)排列:全排列:;组合:,m m nnA P ,!n ,!m m m n nn P C C C m n mn ?==古典概型:满⾜以下两个特点的随机试验 ()An P A n Ω=1. 试验的样本空间中有有限的样本点;2. 每个样本点发⽣的可能性是相等.(对称性和均衡性) 例题1 计算下列概率题 (求概率前先设事件) 1. 抛两颗骰⼦,观察他们点数出现的情况, (1) 写出试验的样本空间;(2) 设两颗骰⼦点数相同,:A :B 两颗骰⼦点数和为5,求(),().P A P B 2. 袋⼦中有a 只⽩球,b 只红球,2个⼈依次在袋⼦中取⼀球,(1) 做有放回的抽样,求第⼆个⼈取得⽩球的概率;()aP A a b=+(2) 做⽆放回的抽样,求第⼆个⼈取得⽩球的概率;1(1)()11()(1)b a a a a b a a P A a b a b a b a b a b a b a b ()+=+==+++++++ 注:当箱⼦中奖券⾜够多时,摸奖不分先后;概率的公理化定义设E 是⼀个随机试验,S 是它的样本空间,对于E 中的每⼀个事件A 赋予⼀个实数,记为,称为事件的概率,如果他满⾜下列的假设:()P A A (1) (2) 对于0()P A ≤≤1;S 有()1;P S = (3) 设两两互不相容,则有12,,,,n A A A 1212()()()n n P A A A P A P A P A =+++∪∪∪∪ ()公理化定义的性质:(1) ()1();P A P A =? (2) ()0;P Φ=(3) 对任意的事件有 ,A B ()()(P A B P A P AB );?=? 差事件的概率(4) 对任意的事件有 ,A B ()()()();P A B P A P B P AB =+?∪概率的⼀般加法公式例题2 利⽤事件关系和运算及公理化定义计算下列概率1. 设,A B 是两个事件,已知1118(),(),(),42P A P B P AB ===(),P A B ∪求(),(),[()()].P AB P AB P A B AB ∪条件概率在事件B 发⽣前提下,事件发⽣的概率,记为A ()()()P AB P A B P B =. 乘法公式:()()()()()P AB P B P A B P A P B A ==或全概率公式和贝叶斯公式样本空间的⼀个划分:设为随机试验S S E 的样本空间,12,,,n B B B 为E 的⼀组事件,若(1);i j B B =Φ (2) 12,n B B B S =∪∪∪则称12,,,n B B B 为样本空间的⼀个划分.或者S 12,,,n B B B 为⼀个完备事件组.全概率公式:设设为随机试验S E 的样本空间,12,,,n B B B 为⼀个完备事件组,则有1122()()()()()()()n n P A P B P A B P B P A B P B P A B =+++i B 称为原因,A 称为结果;全概率公式由原因找结果;贝叶斯公式:由结果找造成的原因1122()()()()()()()()()()()i i i i n n P B P A B P AB P B A P A P B P A B P B P A B P B P A B ==+++ 注:不要盲⽬记公式,分析原因和结果例题3 计算下列概率1. 某商店收进甲⼚⽣产的产品300个,⼄⼚⽣产的同种产品200个,甲⼚⽣产产品的次品率为0.06,⼄⼚⽣产产品的次品率为0.05,求 (1) 任取⼀件产品为次品的概率是多少?(2) 已知取得的产品为次品,求此次品来⾃甲⼚⽣产的概率是多少?2. ⼈们为了了解⼀⽀股票未来⼀定时期内价格的变化,往往会去分析影响股票价格的基本因素,⽐如利率的变化. 现假设⼈们经分析评估知利率下降的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,⼈们估计,在利率下调的情况下,该⽀股票价格上涨的概率为80%,⽽在利率不变的情况下,其价格上涨的概率为40%,求该⽀股票上涨的概率.事件的独⽴性设是两个事件,若有,A B ()()()P AB P A P B =,则称事件是相互独⽴的.,A B 结论1:设是两个事件,若事件相互独⽴,则,A B ,A B ()(P A B P A =). 若事件,A B 相互独⽴,则,;,;,A B A B A B 也是相互独⽴的. 三个事件相互独⽴若事件满⾜,,A B C ()()();()()();()()();()()()();P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C P ABC P A P B P C ====则称事件相互独⽴.,,A B C 结论2:若事件相互独⽴,则其中任意12,,,n A A A (2)k k n ≤<个事件也相互独⽴;若事件相互独⽴,则中任意多个事件换成他们各⾃的对⽴事件,所得的个事件也相互独⽴. 12,,,n A A A 12,,,n A A A n 例题4计算下列概率1. 某⼀治疗⽅法对⼀个患者有效的概率为0.9. 今对3个患者进⾏了治疗,求对3个患者的治疗中,⾄少有⼀个是有效的概率. 设对各个患者的治疗效果是相互独⽴的.第⼆章:随机变量及其相关内容基本概念:随机变量、分布律、概率密度、分布函数随机变量:设随机试验的样本空间为{},()S e X X e ==是定义在样本空间上的实值单值函数,称S ()X X e =为随机变量. ( 样本点到数的对应法则) 随机变量的分类:离散型随机变量和连续型随机变量(基于的取值类型) ..r v 离散型随机变量取值为有限个或者⽆限可列个的随机变量分布律若..r v X 的取值为对应概率值为,即12,,,,n x x x 12,,,,n p p p {}1,2,k kP X x p k === 且满⾜:10;1,k k k p p ∞=≥=∑则称为{}1,2,k kP X x p k === ..r v X 的概率分布律,简称分布律常见的离散型随机变量的分布 (区分背景、分布律、记号)贝努利试验试验E 中只有两个结果,,A A ;n 重贝努利试验可以重复进⾏的,相互独⽴的贝努利试验 (搞清楚背景)01?分布 (1,)X B p ~X0 1kp 1p ? p⼆项分布 X :次试验中出现的次数取值:0, 分布律为n A 1,2,,n (,)X B n p ~或推导,验证是分布律{}(1)0,1,k kn k n P X K C p p k n ?==?= ,⼏何分布 X :直到出现经历的试验次数取值:1, A 2,,,n 分布律为:推导,验证是分布律1{}(1)1,,,n P X K p p k n ?==?= 例题1 计算下列概率题⽬1. 已知100个产品中有5个次品,现从中有放回地取3次,每次任取1个,求在所取的3个中恰有2个次品的概率.2. 某⼈进⾏射击,设每次射击的命中率为0.02,独⽴射击100次,记X 为击中⽬标的次数(1) 写出X 的分布律;(2) 恰好击中3次的概率;(3)求⾄少击中两次的概率。

中职数学概率与统计复习思路

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素 材 , 虑 到 教 学 实 际 和 学 生 的生 活 实 际 , 考 对 这 部 分 内 容 的 考 查 贴 近 考 考 高 生 的生 活 , 重 考 查 基 础 知 识 和 基 本 方 法 。 注 关键词 : 中职 概 率 与 统 计 复 习思 路
。 . .… 导=8-=源自 t 可112r r C2)8 C 丽 1 + (1 r - ( + +
数 学 题 , 年都 有 1 每 ~2道排 列 组 合题
例 1在 A OB 的 oA 边 上 取 m 个 点 , 0B 边 上 取 n个 点 ( 在 均
个球共有 n 2 6 - , 一 . 6种结果 ,由等 可能性事件 的概率 公式知 ,( ) = PA =

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除 。 点 外1连 同 。 点 共 r+ + , e n 1个 点 , 现任 取 其 中 三 个 点 为 顶 点 作 三角形, 作的三角形有( ) 可
0) 取 一 点 与 OB边 上 ( 包 括 0) 任 不 中任 取 一 点 , 0 点 可 构 造 一 个 与
的都 是 红 球 , 至 少有 1个 球 的号 码 是 偶 数 的 概 率 是 ( 且

21 0 0年 重 庆 大 纲 卷 试 题 中, 一 道 大 题 考 查概 率 或 统计 有
1经 典例题剖析
A 吉 ・

壶 D寺 -
解 析 : “ 到 的 都 是 红 球 , 至 少 有 1个 球 的 号 码 是 偶 数 ” 设 取 且 为 考点 一 排 列 、 合 的应 用 问 题 组 排 列 、 合 是 每 年 高 考 必定 考 查 的 内容 之 一 , 观 全 国成 人 高 考 事 件 A, A 包 含 的 有 利 事 件 有 m = C = 2种 , 组 纵 则 CC + 1 而从 中任 取两

概率统计公式大全(复习重点)

概率统计公式大全(复习重点)

第一章随机事件和概率(1)排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事):m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。

(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

(5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用ω来表示。

基本事件的全体,称为试验的样本空间,用Ω表示。

一个事件就是由Ω中的部分点(基本事件ω)组成的集合。

通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是Ω的子集。

Ω为必然事件,Ø为不可能事件。

不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。

(6)事件的关系与运算①关系:如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):BA⊂如果同时有BA⊂,AB⊃,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。

A、B中至少有一个发生的事件:A B,或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者BA,它表示A发生而B不发生的事件。

概率论与数理统计第1-3章复习资料

概率论与数理统计第1-3章复习资料

其中λ = n P 例2:在例1的试验中,求: (1)A=“点数和为奇数的概率”; (2)B=“点数不同的概率” 例3:某产品40件,其中有次品3件。现从其中任取3件, 求下列事件的概率: (1)A=“3件中恰有2件次品”;(111/9880) (2)B=“ 3件中至少有1件次品”(633/2964)
xi R , i 1 , , n , n 元函数
F ( x1 ,, xn ) P( X 1 x1 ,, X n xn ) ( 是 X 1 ,, X n ) 的分布函数。
(1)’
注:r, v 取值的规律称 r, v 的分布,分布函数是描 述 r, v 的概分布的主要方法之一。 (二)分布函数的性质: 一维:1、有界性:0 F ( X ) 1
m 4、由公式 P( A) 进行计算 n
(二)几何概型 所求概率为: P(A)=[A所包含的区域度量] / [样本空间的度量] (三)条件概率及其全概率公式 1、条件概率:若P(B) >0,则
P( A B) P( AB) P( B)
2、全概率公式 如果B1,…,Bn为一完备事件组,即满足: (1) B1,…,Bn两两不相容i=1, …,n;
例4:一盒装有10只晶体管,其中有4只次品,6只正品,随 机地抽取 1只测试,直到4只次品晶体管都找到。求最后 一只次品晶体管在下列情况发现的概率: (1)A=“在第 5 次测试发现”。(2/105) (2)B=“在第10次测试发现”。(2/5) 例5:将编号1,2,3的三本书任意地排列在书架上,求事件 A=“至少有一本书自左到右的排列顺序号与它的编号相同” 的概率。 例6:五个乒乓球,其中三个旧球,二个新球,每次取一个, 共取两次,以有放回和无放回两种方式求下列事件的概率: (1)A=“两次都取到新球”; (2)B=“第一次取到新球,第二次取到旧球”; (3)C=“至少有一次取到新球”。

概率复习课教案初中

概率复习课教案初中

概率复习课教案初中课程目标:1. 巩固学生对概率基本概念的理解;2. 加深学生对概率计算方法的掌握;3. 提高学生解决实际问题的能力。

教学内容:1. 概率的基本概念;2. 概率的计算方法;3. 实际问题中的应用。

教学过程:一、导入(5分钟)1. 复习概率的定义:概率是指某个事件发生的可能性。

2. 复习概率的取值范围:概率的取值范围在0到1之间,包括0和1。

二、概率的基本计算方法(15分钟)1. 复习必然事件的概率:必然事件的概率为1。

2. 复习不可能事件的概率:不可能事件的概率为0。

3. 复习随机事件的概率:随机事件的概率大于0且小于1。

4. 复习独立事件的概率:独立事件的概率等于各自概率的乘积。

三、实际问题中的应用(20分钟)1. 举例讲解如何运用概率解决实际问题,如抛硬币、抽奖、骰子等。

2. 让学生尝试解决一些简单的实际问题,如计算抛两次硬币出现正面的概率。

四、课堂练习(15分钟)1. 布置一些有关概率的练习题,让学生独立完成。

2. 对学生的练习进行讲解和指导,纠正错误。

五、总结与反思(5分钟)1. 让学生回顾本节课所学的内容,总结概率的基本概念和计算方法。

2. 强调概率在实际生活中的重要性,鼓励学生学会运用概率解决实际问题。

教学评价:1. 课堂练习的正确率;2. 学生对实际问题中概率应用的掌握程度;3. 学生对概率知识的综合运用能力。

教学资源:1. 概率的相关教材或教辅;2. 练习题;3. 教学PPT或黑板。

教学建议:1. 在课堂上鼓励学生积极参与,提问回答问题;2. 注重培养学生的动手能力,多让学生实际操作;3. 注重培养学生的逻辑思维能力,引导学生学会分析问题;4. 因材施教,针对不同学生的学习情况给予适当的指导。

概率统计复习讲义

概率统计复习讲义

第一讲 随机事件一 随机事件,事件间的关系及运算 1.样本空间和随机事件样本点,样本空间,随机事件,必然事件,不可能事件,基本事件. 2.事件关系和运算 ⑴事件的关系 ⑵事件的运算⑶运算律:交换律,结合律,分配律;对偶律: B A B A ⋂=⋃,B A B A ⋃=⋂;差事件的运算律例题 P5之例3、4;P6之5;练习册:第一章:选择题1,3, 二 概率的定义和性质 1.公理化定义(P8)2.概率的性质(P8.五个)⑴)(1)(A P A P -=; ⑵)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃; (3))()()()(B A P AB P A P B A P =-=-例题 P9之例2;P10之2、4;练习册:第一章:填1,2,选:2 三 古典概型和几何概型 1.nk P A P kz i z ==∑=1})({)(ω=中样本点总数中包含的样本点数ΩA2.)()()(Ω=σσA A P 例题 P11例1、3、4,P13之例7;P17之4、6、7、8;练习册:填3,计1,2 四 常用的计算概率的公式 1.条件概率 )()()|(A P AB P A B P =2.乘法公式 )()()()()(B A P B P A B P A P AB P ==3.全概率公式和贝叶斯公式(P20)例题 P17之例2、4、5,6—9;P 23之3、4、5、6;练习册:计3,4,5 五 事件的独立性1.定义及定理2:A 和B 相互独立⇔)()()(B P A P AB P ⋅= 例题 P26之例3、4;P29之1、2;练习册:填4,选42.贝努利试验 在n 重贝努利试验中,事件=k A {A 恰好发生k 次})0(n k ≤≤的概率为:k n nk n k p p C A P --=)1()(例题 P28之例7、8;P29之7;练习册:填5,第二讲 随机变量及其概率分布一 随机变量及离散型随机变量 1.随机变量 2.分布律3.常用的离散型分布⑴10-分布:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p pX 110~ ⑵二项分布:k n kk n p p C k X P --==)1()(),,2,1,0(n k =(3)泊松分布:),2,1,0(!)( ===-k e k k X P kλλ例题 P32之例1、3、5;P37之6,B 组1;练习册:填1、2、4,计1二 分布函数1.分布函数 )()(x X P x F ≤=)(+∞<<-∞x2.分布函数的性质(P38.四个)⑴0)(lim =-∞→x F x ;1)(lim =+∞→x F x ;(常用来确定分布函数中的未知参数)⑵)()()(a F b F b X a P -=≤<(常用来求概率) ⑶)(1)(a F a X P -=>例题 P38之例1、2;练习册:填3,选1三 连续型随机变量1.密度函数 ⎰∞-=xdt t f x F )()(2.密度函数的性质(P42.四个)⑴1)(=⎰+∞∞-dx x f ;(常用来确定密度函数中的参数)⑵⎰=≤<badx x f b X a P )()(;(计算概率的重要公式)⑶对R x ∈∀,有0)(==c X P (换言之,概率为0的事件不一定是不可能事件).3.常用连续型分布⑴均匀分布:⎪⎩⎪⎨⎧<<-=other bx a a b x f ,0,1)(⑵指数分布:⎩⎨⎧>=-other x e x f x ,00,)(λλ⑶正态分布:)0,(21)(222)(>=--σσμσπσμ都是常数,x ex f 标准正态分布)1,0(N :2221)(x ex f -=π标准化:设),(~2σμN X ,则σμ-=*X X )1,0(~N 。

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§13.6概率统计实验[学习目标]1. 会用Mathematica 求概率、均值与方差;2. 能进行常用分布的计算;3. 会用Mathematica 进行期望和方差的区间估计;4. 会用Mathematica 进行回归分析。

概率统计是最需要使用计算机的领域,过去依靠计算器进行统计计算,由于计算机的普及得以升级换代。

本节介绍Mathematica 自带的统计程序包,其中有实现常用统计计算的各种外部函数。

一、 样本的数字特征1. 一元的情况Mathematica 的内部没有数理统计方面的功能,但是带有功能强大的数理统计外部程序,由多个程序文件组成。

它们在标准扩展程序包集的Statistic 程序包子集中,位于目录D :\Mathematica\4.0\AddOns\StandardPackages\Statistics下。

通过查看Help ,可以找到包含所需外部函数的程序文件名。

在程序文件DescriptiveStatistics.m 中,含有实现一元数理统计基本计算的函数,常用的有:SampleRange[data] 求表data 中数据的极差(最大数减最小数)。

Median[data] 求中值。

Mean[data] 求平均值∑=ni i x n 11。

Variance[data] 求方差(无偏估计)∑=--ni i x x n 12)(11。

StandardDeviation[data] 求标准差(无偏估计)∑=--n i i x x n 12)(11。

VarianceMLE[data] 求方差∑=-ni i x x n 12)(1。

StandardDeviationMLE[data] 求标准差∑=-ni i x x n 12)(1。

实际上程序文件中的函数很多,这里只列出了最常用的函数,其它计算函数可以通过Help 浏览。

例1 给出一组样本值:6.5,3.8,6.6,5.7,6.0,6.4,5.3,计算样本个数、最大值、最小值、均值、方差、标准差等。

解:In[1]:= << Statistics `DescriptiveStatistics`In[2]:= data = {6.5,3.8,6.6,5.7,6.0,6.4,5.3};In[3]:=Length[data]Out[3]=7In[4]:=Min[data]Out[4]= 3.8In[5]:=Max[data]Out[5]= 6.6In[6]:=SampleRange[data]Out[6]= 2.8In[7]:=Median[data]Out[7]= 6.In[8]:=Mean[data]Out[8]= 5.75714In[9]:=Variance[data]Out[9]= 0.962857In[10]:=StandardDeviation[data]Out[10]= 0.981253In[11]:=VarianceMLE[data]Out[11]= 0.825306In[12]:= StandardDeviationMLE[data]Out[12]= 0.908464说明:在上例中,In[1]首先调入程序文件,求数据个数、最大值和最小值使用内部函数。

2.多元的情况在程序文件MultiDescriptiveStatistics.m中,含有实现多元数理统计基本计算的函数,常用的有:SampleRange[data] 求表data中数据的极差。

Median[data] 求中值。

Mean[data] 求平均值。

Variance[data] 求方差(无偏估计)。

StandardDeviation[data] 求标准差(无偏估计)。

VarianceMLE[data] 求方差。

StandardDeviationMLE[data] 求标准差。

Covariance[xlist,ylist] 求x,y的协方差(无偏估计)∑=---ni i i y y x x n 1))((11。

CovarianceMLE[xlist ,ylist] 求x ,y 的协方差∑=--n i i i y y x x n 1))((1。

Correlation[xlist ,ylist] 求x ,y 的相关系数∑∑∑===----n i n i n i i i i i y y x x y y x x11122)()(/))((。

实际上程序文件中的函数很多,这里只列出了最常用的函数,其它计算函数可以通过Help 浏览。

例2 给出4个样本值:{1.1,2.0,3.2},{1.3,2.2,3.1},{1.15,2.05,3.35},{1.22,2.31,3.33},计算样本个数、均值、方差、标准差等。

解:In[1]:= << Statistics `MultiDescriptiveStatistics `In[2]:= data = {{1.1,2.0,3.2},{1.3,2.2,3.1},{1.15,2.05,3.35},{1.22,2.31,3.33}};Length[data]Out[3]=4In[4]:=SampleRange[data]Out[4]= {0.2,0.31,0.25}In[5]:=Median[data]Out[5]= {1.185,2.125,3.265}In[6]:=Mean[data]Out[6]= {1.1925,2.14,3.245}In[7]:=Variance[data]Out[7]= {0.00755833,0.0200667,0.0137667}In[8]:=VarianceMLE[data]Out[8]= {0.00566875,0.01505,0.010325}In[9]:=CentralMoment[data ,2]Out[9]= {0.00566875,0.01505,0.010325}In[10]:=x=data[[All ,1]];y=data[[All ,2]];z=data[[All ,3]];In[11]:=Covariance[x ,y]Out[11]=0.0093In[12]:=Covariance[z ,z]Out[12]=0.0137667In[13]:=CovarianceMLE[y,y]Out[13]=0.01505In[14]:=Correlation[y,z]Out[14]=0.0521435In[15]:=Correlation[x,x]Out[15]=1.二、常用分布的计算在计算机出现以前,统计计算总是依赖一堆函数表。

使用本节介绍的函数可以取代查表,为实现各种统计计算的自动化做好了底层准备工作。

1.离散分布程序文件DiscreteDistributions.m中,含有用于离散分布计算的函数。

其中常用的离散分布有:BernoulliDistribution[p] 贝努利分布。

BinomialDistribution[n,p] 二项分布。

GeometricDistribution[p] 几何分布。

HypergeometricDistribution[n,M,N] 超几何分布。

PoissonDistribution[λ] 泊松分布。

DiscreteUniformDistribution[n] 离散的均匀分布。

NegativeBinomialDistribution[n,p] 负二项分布。

以上函数中的参数,既可以是数值的,也可以是符号的。

使用这些函数只能按用户给出的参数建立一个表达式,并不能返回任何其它结果。

真正进行计算的是下面的求值函数,它们使用以上的分布表达式作为一个参数。

常用的求值函数有:Domain[dist] 求dist的定义域。

PDF[dist,x] 求点x处的分布dist的密度值。

CDF[dist,x] 求点x处的分布函数值。

Quantile[dist,q] 求x,使CDF[dist,x]达到q。

Mean[dist] 求分布dist的期望。

Variance[dist] 求方差。

StandardDeviation[dist] 求标准差。

ExpectedValue[f,dist,x] 求E f(x)。

CharacteristicFunction[dist,t] 求特征函数φ(t)。

Random[dist] 求具有分布dist的伪随机数。

RandomArray[dist,dims] 求维数为dims的伪随机数的数组。

例3观察下面二项分布的各种基本计算。

In[1]:= << Statistics `DiscreteDistributions`In[2]:= b=BinomialDistribution[n,p]Out[2]=BinomialDistribution[n,p]In[3]:=Mean[b]Out[3]=npIn[4]:=Variance[b]Out[4]= n(1-p)pIn[5]:=CharacteristicFunction[b,t]Out[5]= (1-p+e it p)nIn[6]:=b=BinomialDistribution[10,0.3]Out[6]= BinomialDistribution[10,0.3]In[7]:=Domain[b]Out[7]= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}In[8]:=PDF[b,4]Out[8]= 0.200121In[9]:=CDF[b,3.9]Out[9]= 0.649611In[10]:=CDF[b,4]Out[10]= 0.849732In[11]:=Variance[b]Out[11]= 2.1说明:在上例中,首先调入程序文件。

In[2]用b表示具有符号参数的二项分布,这一步只是为了后面输入时方便,并非必需的,也可以使用嵌套省略这一步。

In[3]~In[5]进行的是符号运算,可以得到期望、方差等的一般公式。

这是本程序与一般统计软件的不同之处,充分体现了Mathematica的特色。

接下来给出具体的参数值,进行数值计算,这些计算取代了查表。

以下是一些更广泛、深入的例子。

例4观察下面离散分布的各种计算。

In[1]:= << Statistics `DiscreteDistributions`In[2]:= h=HypergeometricDistribution[n,M,N];Mean[h]MnOut[3]=NIn[4]:=Variance[h]Out[4]=N N N n N M Mn )1())(1(+-+-- In[5]:= p=PoissonDistribution[5];PDF[p ,2]Out[6]=5225e In[7]:=N[%]Out[7]=0.0842243In[8]:=PDF[p ,20] //NOut[8]=2.64121×10-7In[9]:=N[CDF[p ,20],20]Out[9]=0.99999991890749540112In[10]:=ExpectedValue[x^2,p ,x]Out[10]=30In[11]:=RandomArray[p ,{2,10}]Out[11]={{3,4,6,10,2,5,7,2,5,5},{4,3,2,11,5,4,2,2,4,6}}说明:在上例中表明,超几何分布的参数按我国教科书的习惯来表示,这里求出的期望和方差公式就与教科书上的相同了。

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