线性代数综合练习题

线性代数综合练习题（一）

一、单项选择题

1. 对于n 阶可逆矩阵A ，B ，则下列等式中（ ）不成立. (A) ()1

1

1---⋅=B A AB (B) ())/1()/1(1

1

1---⋅=B

A

AB

(C)

()1

11

---⋅=B

A

AB (D)

()AB AB /11

=-

2. 若A 为n 阶矩阵，且03=A ，则矩阵=--1)(A E （ ）.

（A ）2A A E +- （B ）2A A E ++ （C ）2A A E -+ （D ）2A A E -- 3. 设A 是上（下）三角矩阵，那么A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线元素为（ ）. (A) 全都非负 （B ） 不全为零 （C ）全不为零 （D ）没有限制

4. 设 3

3)(⨯=ij a A ，⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+++=13

3312

321131

131211

232221a a a a a

a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=10

0001010

1

P ，⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝

⎛=10

1010

001

2P ，那么（ ）. （A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12 5. 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示. （A ）至少有一个向量 （B ）没有一个向量 （C ）至多有一个向量 （D ）任何一个向量 6. 若⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=21

25314

3212A ，其秩=)(A R （ ）. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

7. 若方程b AX =中，方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）. （A ）b AX =必有无穷多解 （A ）0=AX 必有非零解 （C ）0=AX 仅有零解 （D ）0=AX 一定无解 8. 若A 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）. （A ）1-A （B ）A 2 （C ）4A （D ）T A 9. 若满足条件（ ），则n 阶方阵A 与B 相似.

（A ）B A = （B ）)()(B R A R = （C ）A 与B 有相同特征多项式 （D ）A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同 二、填空题

1. 若向量组321,,ααα线性无关，则向量组321211,,αααααα+++是线性 .

2. 设A 为4阶方阵，且3)(=A R ，*A 是A 的伴随阵，则0=*X A 的基础解系所含的解向量的个数是 .

3. 设A 为n 阶正交阵，且0>A ，则=A .

4. 设()2,1,11-=α，()5,

,

22k =α，()1,

6,

13-=α线性相关，则=k .

5. 设⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=30

0050

004A ，则=--1)2(E A . 6. 设三阶方阵A 有特征值4，5，6，则=A ，T A 的特征值为 ，1

-A

的特征值为 .

三、计算题

1. 计算行列式

b

a b

b

b

b b a b b b b b a b b b b b

a ----+----+

2. 已知矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=20

0012

021A ，求10A . 3. 设三阶方阵A 满足i i i A αα= )3,2,1(=i ，其中

T

)2,2,1(1=α，T )1,2,2(2-=α，T )2,1,2(3--=α，求A .

4. λ取何值时，非齐次线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=-+=+-=-+1

610522321

321321x x x x x x x x x λλ （1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解.

四、证明题

1. 设A 为n 阶可逆阵，E A A =2

.证明A 的伴随阵A A =*.

2. 若A ，B 都是n 阶非零矩阵，且0=AB .证明A 和B 都是不可逆的.

第二章练习题（二）

一、填空题

1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=--*123A A .

2. n 阶实矩阵A 若E AA T =，则A 称为正交矩阵.设B A,都是n 阶正交矩阵，若0=+B A ，则=+B A .

3. 设⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=10

0020

101A ，则=-+-)9()3(21E A E A . 4. 设3阶矩阵B A,满足关系式：

BA A BA A +=-61

，且⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=714

13

1

000

00

A ， 则=

B . 5. 已知A B AB =-，其中⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=200012

021B ，则=A . 6. 设B A,都是3阶方阵，其中⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-=21

0301

000B ，若有3阶可逆方阵P ，使得PB AP =，则行列式=+E A .

7. 设α为3维列向量，T α是α的转置，若⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝

⎛----=11

1111111

T

αα

，则=ααT 。 8. 设A 为m 阶可逆矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，则分块对角矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=B O

O A

C 也可逆，且其逆矩阵=-1

C

。

二、选择题

1 设B A,为n 阶方阵，O A ≠且O AB =，则（ ）.

（A ）O B = （B ）0=B 或0=A （C ）O BA = （D ）2

22)(B A B A -=-

2. 设A 是)1(>n n 阶矩阵，*

A 是A 的伴随矩阵，若2=A ，则=*3A （ ）.