高三月考试卷(卢启恭)

2010~2011学年度高三第一次质量检查数学（理科）试题（命题：卢启恭）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．集合A ＝{y ∈R |y ＝lg x ，x >1}，B ＝{－2，－1,1,2}，则下列结论中正确的是( D )A ．A ∩B ＝{－2，－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0)C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－2，－1}2．若集合M ＝{0,1,2}，N ＝{(x ，y )|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x 、y ∈M }，则N 中元素的个数为( C )A ．9B ．6C ．4D ．23．函数f (x )＝lg 1－x 2的定义域为( B )A ．[0,1]B ．(－1,1)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x 1，x 2(x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|恒成立”的只有( A )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝|x |C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝x 2 5．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 ( A )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3[答案] A6．若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a ＝( D ) A.12 B. 2 C.22D ．2 7．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝ ( B ) A ．－5 B ．－15 C.15D ．5 8．(08·山东)设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为 ( A )A ．3B ．2C ．1D ．－19．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图，其中a 、b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是 ( B )10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ， x <0，(a －3)x ＋4a ， x ≥0.满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是( C )A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(0，14] D ．(－∞，3) 11．函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)＝ ( C )A ．13B ．2 C.132 D.21312．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则f (－3)等于 ( C )A ．2B ．3C ．6D ．9第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0ln x ，x >0，则g (g (12))＝________.[答案] 12 14．函数y ＝log 0.5(4x 2－3x )的定义域为________．[答案] [－14，0)∪(34，1] 15．用一根为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应分别为________．[答案] 3m,1.5m16．(08·辽宁)设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)的所有x 之和为________．[答案] －8三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋1－a a －x(a ∈R 且x ≠a )的定义域为[a －1，a －12]时，求f (x )的值域．[解析] f (x )＝－(a －x )＋1a －x ＝－1＋1a －x， 当a －1≤x ≤a －12时，－a ＋12≤－x ≤－a ＋1， ∴12≤a －x ≤1，∴1≤1a －x ≤2，∴0≤－1＋1a －x≤1. 即f (x )的值域为[0,1]．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13ax 3＋bx 2＋cx (其中a ≠0)，且f ′(－2)＝0. (1)若f (x )在x ＝2处取得极小值－2，求f (x )的单调区间；(2)令F (x )＝f ′(x )，若F ′(x )>0的解集是A ，且A ∪(0,1)＝(－∞，1)，求a c的最大值． [解析] (1)∵f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －4b ＋c ＝0，4a ＋4b ＋c ＝0，8a ＋12b ＋6c ＝－6.解得b ＝0，a ＝38，c ＝－32. ∴f ′(x )＝38x 2－32≥0，得x ≥2或x ≤－2. 同理f ′(x )＝38x 2－32≤0， 得－2≤x ≤2. 即函数f (x )的单调减区间是[－2,2]，增区间是(－∞，－2]和[2，＋∞)．(2)∵f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ＝F (x )，F (－2)＝4a －4b ＋c ＝0，∴4b ＝4a ＋c .F ′(x )＝2ax ＋2b ＝2ax ＋4a ＋c 2>0，∴2ax >－4a ＋c 2. 当a >0时，F ′(x )>0的解集是⎝⎛⎭⎫－4a ＋c 4a ，＋∞，显然不满足A ∪(0,1)＝(－∞，1)， 当a <0时，F ′(x )>0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－4a ＋c 4a ， 若满足A ∪(0,1)＝(－∞，1)，则0<－4a ＋c 4a≤1， 解得－14<a c ≤－18. ∴a c 的最大值为－18. 19．(本小题满分12分)某商场根据以往销售统计资料，预计2009年从1月起前x 个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p (x )件与月份x 的近似关系是p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)，该商品的进价q (x )元与月份x 的近似关系是q (x )＝150＋2x (x ∈N *，且x ≤12)．(1)写出今年第x 月的需求量f (x )件与月份x 的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？[解析] (1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37；当2≤x ≤12时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且2≤x ≤12)． 验证x ＝1符合f (x )＝－3x 2＋40x ，∴f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *且1≤x ≤12)．(2)该商场预计销售该商品的月利润为g (x )＝(－3x 2＋40x )(185－150－2x )＝6x 3－185x 2＋1400x (x ∈N *,1≤x ≤12)，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5，x ＝1409(舍去)． 当1≤x <5时，g ′(x )>0，当5<x ≤12时，g ′(x )<0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3125(元)．综上可知，5月份的月利润最大是3125元．20．(本小题满分12分)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)已知集合P ＝{－1,1,2,3,4,5}，Q ＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)在区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －8≤0x >0y >0内随机任取一点(a ，b )． 求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．[解析] (1)∵a ∈P ，∴a ≠0.∴函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a， 要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2b a≤1，即2b ≤a . 若a ＝1，则b ＝－2，－1；若a ＝2，则b ＝－2，－1,1；若a ＝3，则b ＝－2，－1,1；若a ＝4，则b ＝－2，－1,1,2；若a ＝5，则b ＝－2，－1,1,2.所求事件包含基本事件的个数是2＋3＋3＋4＋4＝16.∴所求事件的概率为1636＝49. (2)由条件知a >0，∴同(1)可知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )|⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8≤0a >0b >0，为△OAB ，所求事件构成区域为如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8＝0a －2b ＝0.得交点D ⎝⎛⎭⎫163，83， ∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13. 21．(本小题满分12分)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)． [解析] 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2160×100002000x ＝560＋48x ＋10800x(x ≥10，x ∈N *)， f ′(x )＝48－10800x 2， 令f ′(x )＝0得x ＝15.当x >15时，f ′(x )>0；当0<x <15时，f ′(x )<0，因此当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2000.答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1(a >0，且a ≠1)的图象关于原点对称． (1)求m 的值；(2)判断f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并利用定义证明．[解析] (1)m ＝－1.(2)f (x )＝log a x ＋1x －1， 当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．证明：设1<x 1<x 2，则x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)>0， ∴x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1>0. 当a >1时，log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(1，＋∞)上单调递减．当0<a <1时，log a x 1＋1x 1－1<log a x 2＋1x 2－1， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增．。