搜索树

合集下载

搜索树的基本操作方法

搜索树的基本操作方法
搜索树是一种有序的二叉树数据结构，常用于存储和搜索数据。

基本的操作方法包括插入、删除和查找。

1. 插入操作(insert)：向搜索树中插入新节点。

从根节点开始遍历搜索树，如果待插入节点值小于当前节点值，则继续向左子树搜索；如果待插入节点值大于当前节点值，则继续向右子树搜索；直到找到一个空位置，将待插入节点插入到该位置。

2. 删除操作(delete)：删除指定节点。

先在搜索树中找到待删除节点，根据不同情况进行处理：
a) 如果待删除节点没有子节点，直接删除它。

b) 如果待删除节点只有一个子节点，将子节点替代待删除节点的位置。

c) 如果待删除节点有两个子节点，则寻找待删除节点的前驱节点或后继节点来替代该节点。

前驱节点是指比待删除节点值小的最大节点，后继节点是指比待删除节点值大的最小节点。

可以选择使用前驱节点或后继节点来替代待删除节点。

3. 查找操作(search)：在搜索树中查找指定值的节点。

从根节点开始遍历搜索树，如果要查找的值等于当前节点值，则返回该节点；如果要查找的值小于当前节点值，则继续向左子树搜索；如果要查找的值大于当前节点值，则继续向右子树搜索。

如果找到了匹配节点，则返回节点；如果搜索到空节点（未找到匹配节点），则返回空值。

以上是搜索树的基本操作方法，对于不同的搜索树实现，可能会有一些其他特定的操作方法。

二叉搜索树定义

二叉搜索树定义二叉搜索树（Binary Search Tree，简称BST）是一种常用的数据结构，它是一个二叉树，其中每个节点的值都大于其左子树中的任意节点的值，且小于其右子树中的任意节点的值。

BST的定义如下：1. 每个节点最多有两个子节点，分别为左子节点和右子节点；2. 若某节点的左子树不为空，则其左子树中的每个节点值都小于该节点的值；3. 若某节点的右子树不为空，则其右子树中的每个节点值都大于该节点的值；4. 没有重复节点的情况下，所有左子树的节点值都小于右子树的节点值。

下面我们来详细讨论BST的特性和示例。

BST的特性：1. 在BST中，对于任意一个节点，其左子树中的所有节点都小于它的值，右子树中的所有节点都大于它的值。

2. 由于BST是一个二叉树，因此对于每个节点，其左子树和右子树都是BST。

3. BST的中序遍历结果是一个递增的有序序列。

4. 对于BST的搜索、插入和删除操作，平均时间复杂度为O(logn)，其中n为树中节点的数量。

示例：下面是一个示例的BST：```5/ \3 7/ \ \2 4 9```在这个示例中，根节点的值为5，它的左子节点为3，右子节点为7。

左子节点的左子节点为2，右子节点为4。

右子节点的右子节点为9。

根据BST的定义，我们可以观察到该树的每个节点的值都符合左<根<右的规律。

对于这个BST，其中序遍历的结果为2, 3, 4, 5, 7, 9，它们正好是递增的有序序列。

BST的使用场景：BST常用于需要快速搜索、插入和删除操作的场景，比如在数据库中存储有序数据，或者在构建字典、索引等数据结构时都可以使用BST。

在红黑树和AVL树等平衡二叉搜索树中，也是以BST为基础进行的扩展和优化。

总结：二叉搜索树是一种常用的数据结构，其定义明确了每个节点与其子节点的大小关系。

在BST中，左子树的节点值都小于根节点的值，右子树的节点值都大于根节点的值。

BST的特性使得它非常适用于搜索、插入和删除等操作，同时其中序遍历结果是有序的。

动态规划-最优二叉搜索树

动态规划-最优⼆叉搜索树摘要：本章介绍了⼆叉查找树的概念及操作。

主要内容包括⼆叉查找树的性质，如何在⼆叉查找树中查找最⼤值、最⼩值和给定的值，如何找出某⼀个元素的前驱和后继，如何在⼆叉查找树中进⾏插⼊和删除操作。

在⼆叉查找树上执⾏这些基本操作的时间与树的⾼度成正⽐，⼀棵随机构造的⼆叉查找树的期望⾼度为O(lgn)，从⽽基本动态集合的操作平均时间为θ(lgn)。

1、⼆叉查找树⼆叉查找树是按照⼆叉树结构来组织的，因此可以⽤⼆叉链表结构表⽰。

⼆叉查找树中的关键字的存储⽅式满⾜的特征是：设x为⼆叉查找树中的⼀个结点。

如果y是x的左⼦树中的⼀个结点，则key[y]≤key[x]。

如果y是x的右⼦树中的⼀个结点，则key[x]≤key[y]。

根据⼆叉查找树的特征可知，采⽤中根遍历⼀棵⼆叉查找树，可以得到树中关键字有⼩到⼤的序列。

介绍了⼆叉树概念及其遍历。

⼀棵⼆叉树查找及其中根遍历结果如下图所⽰：书中给出了⼀个定理：如果x是⼀棵包含n个结点的⼦树的根，则其中根遍历运⾏时间为θ(n)。

问题：⼆叉查找树性质与最⼩堆之间有什么区别？能否利⽤最⼩堆的性质在O(n)时间内，按序输出含有n个结点的树中的所有关键字？2、查询⼆叉查找树⼆叉查找树中最常见的操作是查找树中的某个关键字，除了基本的查询，还⽀持最⼤值、最⼩值、前驱和后继查询操作，书中就每种查询进⾏了详细的讲解。

（1）查找SEARCH 在⼆叉查找树中查找⼀个给定的关键字k的过程与⼆分查找很类似，根据⼆叉查找树在的关键字存放的特征，很容易得出查找过程：⾸先是关键字k与树根的关键字进⾏⽐较，如果k⼤⽐根的关键字⼤，则在根的右⼦树中查找，否则在根的左⼦树中查找，重复此过程，直到找到与遇到空结点为⽌。

例如下图所⽰的查找关键字13的过程：（查找过程每次在左右⼦树中做出选择，减少⼀半的⼯作量）书中给出了查找过程的递归和⾮递归形式的伪代码：1 TREE_SEARCH(x,k)2 if x=NULL or k=key[x]3 then return x4 if(k<key[x])5 then return TREE_SEARCH(left[x],k)6 else7 then return TREE_SEARCH(right[x],k)1 ITERATIVE_TREE_SEARCH(x,k)2 while x!=NULL and k!=key[x]3 do if k<key[x]4 then x=left[x]5 else6 then x=right[x]7 return x（2）查找最⼤关键字和最⼩关键字根据⼆叉查找树的特征，很容易查找出最⼤和最⼩关键字。

人工智能中的蒙特卡罗树搜索算法

人工智能中的蒙特卡罗树搜索算法随着人工智能的不断发展，各种算法也不断涌现。

其中，蒙特卡罗树搜索算法是一种在游戏和决策中广泛应用的算法。

本文将会介绍蒙特卡罗树搜索算法的基本原理和应用场景。

1. 蒙特卡罗树搜索算法的基本原理蒙特卡罗树搜索算法是一种基于蒙特卡罗模拟的搜索算法，能够在感知时间内找到每个可能的行动，以及每个行动的可能结果。

该算法依赖于随机化计算，通过大量模拟实验获取每个决策的成功率及其期望回报。

蒙特卡罗树搜索算法是通过创建搜索树，不断拓展每个节点来实现的。

该算法的基本步骤如下：首先，我们需要构建搜索树。

搜索树的根节点表示我们的当前状态，每个子节点表示我们执行某一行为后的状态。

其次，我们需要进行蒙特卡罗模拟。

在每个节点处，我们需要使用随机数生成器模拟一些行动，通过大量模拟实验获取每个决策的成功率及其期望回报。

随后，我们要从当前的节点开始扩展搜索，以生成搜索树的枝条。

我们在树叶处运行模拟，所得的奖励值将传递回已经访问的各级节点。

最后，根据得到的每个子节点期望价值，我们可以选择选择最优的子节点行为。

当我们选择子节点时，需要计算每个子节点的平均值，并考虑平均值约束的置信度，以便更好地选择下一个子节点。

2. 蒙特卡罗树搜索算法的应用场景蒙特卡罗树搜索算法具有广泛的应用场景。

最常见的应用之一是在游戏中，特别是在棋类游戏中。

例如，中国象棋和围棋都可以通过蒙特卡罗树搜索算法进行智能对弈。

此外，在决策问题中也可以采用蒙特卡罗树搜索算法。

例如，在互联网广告中，需要确定哪些广告应该在哪些位置上展示，以最大化投资回报。

蒙特卡罗树搜索算法可以通过生成树来搜索各种广告组合，以找到最佳结果。

总之，蒙特卡罗树搜索算法已经成为了人工智能中的重要算法之一。

它的基本原理是通过随机化计算，获取每个决策的成功率及其期望回报，并通过搜索树在时间感知的条件下找到每个可能的行动以及每个行动的可能结果。

在游戏、决策等领域中广泛应用。

b+树查找原理

B+树（B+-tree）是一种平衡的多路搜索树，广泛应用于数据库和文件系统等领域。

B+树的特点是在每个内部节点上存储一定数量的关键字，并将节点分为多个子树。

通过这种方式，B+树能够保持相对平衡，使得查找、插入和删除等操作的时间复杂度接近于O(log n)。

B+树查找原理如下：
1.从根节点开始，按照B+树的结构特性，沿着树的路径向下查找。

2.根据待查找的关键字与节点中关键字的比较结果，选择合适的子树进行查
找。

3.重复步骤2，直到找到目标节点或者查找到叶子节点。

4.如果在叶子节点上找到了目标关键字，则返回该关键字。

如果未找到，则
返回空或者表示查找失败。

B+树的查找过程是自顶向下的，每次查找都会访问一定数量的节点。

在B+树中，所有记录节点都是按键值的大小顺序存放在同一层的叶节点中，并且各叶节点指针进行连接。

这种设计使得B+树在查找过程中能够快速定位到目标关键字所在的叶子节点，并利用指针连接关系进一步查找其他相关记录。

因此，B+树的查找性能相对稳定，不会出现像链表那样的最坏情况。

最优二叉搜索树

8
2 最优二叉搜索树
xal
wan wil wen wim wul xem yo xul yu m
zol zom
yon
zi
A
A代表其值处于代表其值处于wim和wul之间的可能关键码集合代表其值处于和之间的可能关键码集合
9
2 最优二叉搜索树
在二叉搜索树中搜索一个元素x 在二叉搜索树中搜索一个元素
1 2 3 2 (c) (d) (a) (b) (e) 1 3 1 2 1 3 2 1 2 3
• 设每个内、外结点检索的概率相同：pi=qi=1/7，设每个内、外结点检索的概率相同：，求每棵树的平均比较次数（成本）。求每棵树的平均比较次数（成本）。 • 若P1=0.5, P2=0.1, P3=0.05, q0=0.15, q1=0.1, q2=0.05, q3=0.05，求每棵树的平均比较，次数（成本）。次数（成本）。 13
2 最优二叉搜索树
在检索过程中，每进行一次比较，就进入下面一层，在检索过程中，每进行一次比较，就进入下面一层， • 对于成功的检索，比较的次数就是所在的层数加。对于成功的检索，比较的次数就是所在的层数加1。 • 对于不成功的检索，被检索的关键码属于那个外部结对于不成功的检索，点代表的可能关键码集合，点代表的可能关键码集合，比较次数就等于此外部结点的层数。点的层数。
6
2 最优二叉搜索树
2、最优二叉搜索树、
存在的两个问题 1 在实际中也会遇到不成功检索的情况。在实际中也会遇到不成功检索的情况。不成功检索的情况 2 在实际中，不同标识符会有不同的检索概率。在实际中，不同标识符会有不同的检索概率。不同的检索概率 • 对给定的标识符集合，希望给出构造二分搜索对给定的标识符集合，树的方法，使得所构造的二分搜索树具有最优树的方法，使得所构造的二分搜索树具有最优的性能。的性能。

AVL树数据结构的特点与使用场景

AVL树数据结构的特点与使用场景AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，它在插入或删除节点时会通过旋转操作来保持树的平衡，以确保树的高度始终保持在较小的范围内。

AVL树得名于其发明者Adelson-Velsky和Landis，是一种高度平衡的二叉搜索树，具有快速的查找、插入和删除操作的特点。

在本文中，将介绍AVL树数据结构的特点以及其在实际应用中的使用场景。

一、AVL树的特点1. 自平衡性：AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，任何时刻，AVL 树的任意节点的左右子树的高度差不超过1。

当插入或删除节点后，AVL树会通过旋转操作来保持树的平衡，以确保树的高度始终保持在较小的范围内，从而保证了查找、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)。

2. 高度平衡：由于AVL树的自平衡性，使得树的高度相对较低，这样在进行查找操作时，平均查找时间较短，提高了搜索效率。

3. 严格平衡：AVL树是一种严格平衡的二叉搜索树，任何时刻，AVL树的任意节点的左右子树的高度差不超过1，这种严格平衡性保证了AVL树的高度始终保持在较小的范围内，使得其在各种操作下都能保持高效性。

4. 插入和删除操作复杂度低：由于AVL树的自平衡性，插入和删除节点时需要进行旋转操作来保持树的平衡，但这些旋转操作的时间复杂度为O(log n)，因此插入和删除操作的复杂度仍然为O(log n)，保证了操作的高效性。

二、AVL树的使用场景1. 数据库索引：在数据库系统中，AVL树常被用作索引结构，用于加速数据库的查找操作。

由于AVL树具有快速的查找、插入和删除操作，能够保持树的平衡，因此在数据库索引中得到广泛应用。

2. 编辑器中的自动补全功能：在文本编辑器或代码编辑器中，常常需要实现自动补全功能，AVL树可以用来存储单词或代码片段，通过快速查找实现自动补全功能，提高编辑效率。

3. 路由表：在网络路由中，需要快速查找目标地址对应的路由信息，AVL树可以用来存储路由表，通过快速查找实现高效的路由转发，提高网络传输效率。

B树与B树数据结构中的多路搜索树

B树与B树数据结构中的多路搜索树B树是一种常见的数据结构，被广泛应用于数据库和文件系统中，用于高效地存储和检索大量数据。

B树是一种多路搜索树，其特点是每个节点可以拥有多个子节点，相比于二叉搜索树，B树能够减少树的高度，减少查找所需的IO次数，提高检索效率。

一、B树的基本概念B树是一种平衡的多路搜索树，其每个节点可以包含多个子节点。

B树的定义如下：1. 根节点至少有两个子节点。

2. 每个非叶子节点有m个子节点，其中m满足：[m/2] ≤ 子节点个数≤ m。

3. 每个非叶子节点的子节点个数比关键字个数多1。

4. 所有叶子节点都在同一层。

B树的节点结构包含关键字和指向子节点的指针。

通过这种结构，B树能够在每个节点存储更多的关键字，减少树的高度，提高检索效率。

二、B树的插入操作在B树中插入一个新的关键字时，需要按照以下步骤进行：1. 从根节点开始，沿着树向下查找插入位置。

2. 如果插入位置所在节点的关键字数量未达到上限，则直接插入。

3. 如果插入位置所在节点的关键字数量已达到上限，则进行节点分裂操作：a. 将该节点的关键字按中间位置分成两部分，中间位置的关键字上移至父节点。

b. 将左右两部分关键字分别作为两个新节点的关键字。

c. 更新父节点的指针，指向新的子节点。

4. 重复以上步骤，直到插入到叶子节点。

B树的插入操作保持了树的平衡性，确保了树的高度始终在可接受范围内。

三、B树的删除操作在B树中删除一个关键字时，需要按照以下步骤进行：1. 从根节点开始，沿着树向下查找待删除关键字所在位置。

2. 如果待删除关键字在非叶子节点上，则找到其前驱或后继关键字替换，并递归删除替换关键字。

3. 如果待删除关键字在叶子节点上：a. 直接删除该关键字。

b. 如果删除后节点关键字数量小于下限，则进行节点合并操作：- 如果相邻兄弟节点关键字数量大于下限，则从兄弟节点借一个关键字。

- 如果相邻兄弟节点关键字数量也小于下限，则进行节点合并，合并后删除父节点中的关键字。

7.3-B-树-1-m叉搜索树的定义及性质

7.3 B-树1m叉搜索树的定义及性质2B-树的定义及性质3B-树的搜索4B-树的插入5B-树的删除PART ONE m叉搜索树的定义及性质m叉搜索树43 783947 53 649936四叉搜索树图中的方块代表空树。

空树也称为失败结点，因为这是当搜索某个关键字值不在树中时到达的子树。

失败结点中不包含元素，失败结点不是叶子结点！m叉搜索树的递归定义定义m叉搜索树或者是空m叉搜索树，或者是一棵满足下列特性的树：⑴根结点最多有m棵子树，并具有如图所示结构：其中Pi 是指向子树的指针，ki是元素的关键字值，n表示该结点所含元素的个数，且1≤n<m。

⑵Ki <K i+1, 1 ≤ i<n (结点中的关键字是有序递增的)⑶子树Pi 上的所有关键字值都大于Ki，小于Ki+1, 0<i<n。

⑷子树P0上的所有关键字值都小于K1，子树Pn 上的所有关键字值都大于Kn。

⑸子树Pi （0 ≤ i≤ n）也是m叉搜索树。

k1k2 … k i k i+1…. k nP0P1P2P i+1P nP i43 783947 53 649936m(m=4)叉搜索树示例从定义中可以得到：（1）一个m 叉搜索树的结点中，最多存放m-1个元素和m 个指向子树的指针；（2）每个结点中包含的元素个数比它包含的指针数少1。

12 30 45 56 77 84 92(a)结点示例(b) 结点结构k 1k 2 … k i k i+1…. k nP 0P 1P 2P i+1P nP i为什么要有m叉搜索树？内搜索:当集合足够小，可以驻留在内存中时，相应的搜索方法称为内搜索。

外搜索：如果文件很大，以至于计算机内存容不下时，它们必须存放在外存中。

在外存中搜索给定关键字值的元素的方法称为外搜索。

内存中集合用二叉平衡树表示。

外存中，集合可以用一种特殊的m叉搜索树--B-树来表示。

典型的磁盘存取时间是1ms ~10ms，而典型的内存存取时间是10ns~100ns。

详细讲解树结构的种类

树结构是一种在计算机科学和数学中常见的数据结构，它由节点（node）和连接节点的边（edge）组成。

树结构具有层次性、分支性和唯一性的特点。

以下是一些常见的树结构的种类：1. 二叉树（Binary Tree）：-每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

-二叉树可以是空树，也可以是非空树。

2. 二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）：-二叉树的一种特殊形式，对于每个节点，其左子树的所有节点都小于该节点，右子树的所有节点都大于该节点。

-这种性质使得在BST 中进行搜索、插入和删除操作具有较高的效率。

3. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree，A VL树）：-一种二叉搜索树，保持平衡性，即任何节点的左右子树的高度差不超过1。

- A VL树的平衡性确保在进行搜索、插入和删除操作时，树的高度保持较小，提高了性能。

4. B树（B-tree）：-一种多路搜索树，常用于数据库和文件系统中，具有良好的平衡性能。

-每个节点可以包含多个子节点，B树的阶数定义了每个节点中子节点的最大数量。

5. 红黑树（Red-Black Tree）：-一种自平衡的二叉搜索树，确保在进行插入和删除操作后树的高度保持相对较小。

-节点被标记为红色或黑色，通过一些规则保持平衡性。

6. Trie树（字典树，Trie Tree）：-一种树形结构，用于存储关联数组，其中的键通常是字符串。

- Trie 树的每个节点表示一个键的字符，从根节点到某个节点的路径构成一个键。

7. 哈夫曼树（Huffman Tree）：-一种用于数据压缩的二叉树，通过树的形状和编码规则实现对频率较高的字符使用较短的编码，提高压缩效率。

8. N叉树（N-ary Tree）：-每个节点可以有多个子节点，而不仅限于两个子节点。

-常见的例子是XML文档的表示和文件系统的目录结构。

这些树结构的种类在不同的场景和应用中具有不同的优势，选择适合特定问题的树结构对于解决问题和提高算法效率非常重要。

平衡二叉树和二叉排序树（二叉搜索树）区别

平衡⼆叉树和⼆叉排序树（⼆叉搜索树）区别
平衡⼆叉树是⼀种⼆叉搜索树。

其可以保证在log2(n)的时间内找到节点，⽽普通的⼆叉搜索树在最坏情况下性能近似与链
表，所⽤时间为log(n)。

常⽤的平衡⼆叉树有AVL树和红⿊树其算法的难点在于插⼊删除节点后树的旋转
平衡⼆叉树 ----> O(log2(n))
普通⼆叉搜索树 ----> O(n)
在⼆叉搜索树的插⼊和删除运算中，采⽤平衡树的优点是：使树的结构较好，从⽽提⾼查找运算的速度。

缺点是：是插⼊和删除运算变得复杂化，从⽽降低了他们的运算速度。

对⼆叉搜索树删除节点⽽引起的不平衡性进⾏的操作⽐插⼊节点的情况要复杂，在此就不再论述了。

操作系统的设计也有⽤到哦
很多数据库的实现是基于更复杂的平衡⼆叉树
可以⾃⼰实现⼀个集合或者map,统计单词出现的次数
stl的map/set都在⽤
普通⼆叉搜索树最坏情况是只有左边⼀个分⽀，如1-2-3-4-5（5在最上⾯，1在左下⾓），但是平衡⼆叉树可以调整。

为1-2-3-4-5（3在最上⾯，1在左下⾓，5在右下⾓）。

平衡⼆叉树 ----> O(log2(n))
普通⼆叉搜索树 ----> O(n)
所以平衡⼆叉树的搜索性能⽐⼆叉搜索树（⼆叉排序树）好。

B树深入了解B树的特点及应用场景

B树深入了解B树的特点及应用场景B树：深入了解B树的特点及应用场景B树是一种自平衡的搜索树数据结构，广泛应用于文件系统和数据库等高性能的存储系统中。

它具有独特的特点，能够有效地支持高效的数据插入、删除和查找操作，并在实际应用场景中发挥重要作用。

本文将深入探讨B树的特点以及其应用场景。

一、B树的特点1. 多路平衡搜索树：B树是一种多路平衡搜索树，每个节点可以包含多个关键字及对应的数据项。

相对于二叉搜索树来说，B树的每个节点可以有更多的子节点，这使得B树的平衡性更好，降低了树的高度。

2. 节点的最大关键字数：B树中每个节点的最大关键字数目取决于树的阶数，称为m阶B树。

即每个节点可以存储的关键字个数范围在[ceil(m/2)-1, m-1]之间。

3. 顺序访问性：B树中的节点按照关键字的大小有序排列，因此可以实现对数据的顺序访问。

对于数据库等存储系统来说，这是非常重要的特点。

比如在SQL查询中，可以通过B树的顺序访问特性来提高查询效率。

4. 一致性比较：B树中的节点采用一致的比较逻辑，所有节点的结构和操作方式都相同。

这使得B树的操作规则简单明确，易于实现和理解。

5. 自平衡：B树通过节点分裂和合并来维持平衡性。

当节点中的关键字数目超过阶数上限时，会进行分裂操作；相反，当节点中的关键字数目低于阶数下限时，会进行合并操作。

这样可以保持B树的高度平衡，提高查找效率。

二、B树的应用场景1. 文件系统：B树广泛应用于文件系统中，能够高效地组织和管理大量的文件和目录。

在文件系统中，每个节点代表一个磁盘块，节点中的关键字代表文件名或目录名，指针指向对应的文件或目录位置。

B树的平衡性和顺序访问性能够提高文件的读写效率，保证文件系统的高性能和稳定性。

2. 数据库索引：B树在数据库中常被用来构建索引结构，提供高效的数据查找和操作。

数据库中的索引可以快速定位元组的位置，提高查询速度。

B树的高度平衡和顺序访问特性使得索引的维护和查询操作更高效。

最优二叉查找树

最优⼆叉查找树最优⼆叉树也就是哈夫曼树，最优⼆叉树和最优⼆叉查找树是不⼀样的。

我们说⼀下他们的定义最优⼆叉树：给你n个节点，每⼀个节点有⼀个权值wi。

我们设⼀棵树的权值是所有节点的权值乘于每⼀个节点的深度，但是我们可以构造出来许多⼆叉树，我们称构造出来的那个权值最⼩的⼆叉树就是我们找的最优⼆叉树求解最优⼆叉树：(1) 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有⼀个结点)；(2) 在森林中选出两个根结点的权值最⼩的树合并，作为⼀棵新树的左、右⼦树，且新树的根结点权值为其左、右⼦树根结点权值之和；(3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加⼊森林；(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩⼀棵树为⽌，该树即为所求得的哈夫曼树。

最优⼆叉查找树：给定n个节点的值key，假设x是⼆叉搜索树中的⼀个结点。

如果L是x的左⼦树的⼀个结点，那么L.key ≤ x.key。

如果R是x的右⼦树的⼀个结点，那么R.key ≥ x.key。

使⽤<key1,key2,key3....keyn>表⽰，且我们设定key1<key2<key3<keyn。

对于n个节点都有⼀个访问概率pi，使⽤<p1,p2,p3....pn>表⽰。

还有未找到访问点概率qi，我们使⽤<q0,q1,q2,q3....qn>表⽰。

例如访问到[-∞,key1)的概率是q0，访问到(key1,key2)的概率是q1，，，，访问到(keyn,∞)的概率是qn。

我们设定[-∞,key1)区间为d0，(key1,key2)区间为d1，，，，(keyn,∞)区间是dn。

所以是不会出现对于i,j(1<=i,j<=n)满⾜keyi==keyj的情况出现我们需要把2*n+1个节点放在⼀个⼆叉树上，其中n个节点是keyi，还有n+1个节点di。

最后形成的⼆叉树中叶节点肯定是di。

且∑n i=1pi+∑n i=0qi=1假定⼀次搜索的代价等于访问的结点数，也就是此次搜索找到的结点在⼆叉搜索树中的深度再加1。

蒙特卡洛搜索树的主要核心思想

蒙特卡洛搜索树的主要核心思想蒙特卡洛树搜索又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在上世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。

传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡洛树搜索方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

这也是以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。

当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。

这就是蒙特卡罗方法的基本核心思想。

蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。

它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。

可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。

1、构造或描述概率过程对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。

即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。

2、实现从已知概率分布抽样构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。

最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。

随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。

搜素树算法在搜索问题中的应用

搜素树算法在搜索问题中的应用搜索问题在计算机科学领域中具有广泛的应用，例如在图像处理、自然语言处理、游戏开发等领域中都有着重要的作用。

而搜素树算法作为一种高效的搜索算法，也在搜索问题中发挥着重要的作用。

一、搜素树算法的原理搜索树是一种数据结构，它可以用来表示一个搜索问题的解空间。

搜索树具有以下性质：1.每个结点表示一个可能的解；2.根节点表示初始状态，叶子结点表示终止状态；3.每个结点都有未扩展的子节点（即未搜索到的可能的解）；4.搜索过程中，每次只能扩展一个节点，即选择一个可能的解进行扩展。

搜索树的目标是在搜索过程中找到最优解或可行解。

为了减少搜索的时间和空间复杂度，我们需要将搜索树进行优化。

搜索树优化的一个关键是剪枝，即在搜索树的生长过程中，剪去不可能含最优解的分支，从而减少搜索的时间和空间复杂度。

剪枝的方式有很多种，其中一种常见的方式是使用启发函数（Heuristic function）。

启发函数是一种用来估计某个节点到最优解的距离的函数。

通过使用启发函数，我们可以选择先搜索距离最优解最近的节点，从而剪去不可能含最优解的分支。

这种方式被称为"最佳优先搜索"（Best First Search）。

最佳优先搜索采用的优先队列进行节点的排序。

对于每个节点来说，我们都可以根据启发函数估计这个节点到最优解的距离，将队列中距离最短的节点出队进行扩展。

二、搜索树算法在搜索问题中的应用搜索树算法在搜索问题中的应用非常广泛，以下是几个例子：1.旅行商问题旅行商问题是指一个旅行商人需要在多个城市之间旅行，每个城市之间的距离不同，旅行商人需要找到一条最短的路径，使得每个城市只经过一次。

使用搜索树算法可以很好地解决旅行商问题。

我们可以将初始状态设置为起点，终止状态设置为起点，通过搜索树的搜索过程，找到一条最短的路径。

2.八数码问题八数码问题是指一个3x3的棋盘上有8个数字和一个空格，要求通过移动数字，从初始状态到达目标状态。

12.蒙特卡洛搜索树

什么是蒙特卡洛搜索树？蒙特卡洛搜索树（Monte Carlo Tree Search，简称MCTS）是一种基于随机模拟的搜索算法，常用于解决具有高度不确定性和大规模状态空间的决策问题，如棋类游戏和博弈问题。

MCTS的核心思想是通过模拟大量的随机游戏来评估每个可能的行动的潜在价值，并根据这些评估来选择最优的行动。

它将搜索过程建模为一棵搜索树，其中每个节点代表一种可能的游戏状态，每个边代表一次行动。

MCTS包括四个基本步骤：选择（Selection）、扩展（Expansion）、模拟（Simulation）和回溯（Backpropagation）。

1. 选择（Selection）：从根节点开始，根据一定的策略选择一个子节点进行扩展。

通常采用上界置信区间（Upper Confidence Bound，UCB）算法来选择子节点，该算法结合了已有统计信息和未知性的探索因子。

2. 扩展（Expansion）：在选择的节点上扩展一个或多个未被访问过的子节点，以增加树的规模。

3. 模拟（Simulation）：从扩展的子节点开始，使用随机模拟的方法进行快速游戏模拟（通常称为回合或者rollout），直到达到游戏结束状态。

4. 回溯（Backpropagation）：将游戏结果反向传播到根节点，并更新每个节点的统计信息，例如访问次数和获胜次数。

这些统计信息用于计算UCB算法中的探索因子，以便在下一次选择步骤中做出更好的决策。

通过不断的选择、扩展、模拟和回溯的过程，MCTS不断改善对可能行动的评估，最终找到一个最优的行动。

蒙特卡洛搜索树在AlphaGo等人工智能系统中取得了显著的成功，并在多个棋类游戏和博弈问题上达到或超越人类水平的表现。

它的优势在于对大规模状态空间进行高效搜索和评估，并且能够在不断的迭代中进行改进，逐步提高决策的质量。

假设我们要解决一个教育中的决策问题，例如学生课程选择。

假设在一所学校中，有一些学生可以选择不同的课程，每个课程有不同的学分和难度，学生选择的课程应该满足以下条件：课程总学分达到要求、难度分散以及尽可能满足学生的兴趣。

检索树的实验报告

一、实验目的1. 理解检索树（也称为二叉搜索树）的基本概念和原理。

2. 掌握检索树的构建方法，包括插入、删除和查找操作。

3. 通过实验验证检索树在实际应用中的效率和效果。

二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.83. 开发环境：PyCharm三、实验原理检索树是一种特殊的二叉树，它的特点是左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值，右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值。

通过这种特性，检索树可以快速地对数据进行插入、删除和查找操作。

四、实验内容1. 检索树的构建2. 检索树的插入操作3. 检索树的删除操作4. 检索树的查找操作5. 检索树的应用五、实验步骤1. 定义树节点类```pythonclass TreeNode:def __init__(self, key):self.left = Noneself.right = Noneself.val = key```2. 定义检索树类```pythonclass BinarySearchTree:def __init__(self):self.root = Nonedef insert(self, key):if self.root is None:self.root = TreeNode(key)else:self._insert(self.root, key)def _insert(self, node, key):if key < node.val:if node.left is None:node.left = TreeNode(key)else:self._insert(node.left, key) else:if node.right is None:node.right = TreeNode(key) else:self._insert(node.right, key)def delete(self, key):self.root = self._delete(self.root, key)def _delete(self, node, key):if node is None:return nodeif key < node.val:node.left = self._delete(node.left, key)elif key > node.val:node.right = self._delete(node.right, key)else:if node.left is None:return node.rightelif node.right is None:return node.leftmin_larger_node = self._find_min(node.right)node.val = min_larger_node.valnode.right = self._delete(node.right, min_larger_node.val) return nodedef _find_min(self, node):while node.left is not None:node = node.leftreturn nodedef search(self, key):return self._search(self.root, key)def _search(self, node, key):if node is None:return Falseif key == node.val:return Trueelif key < node.val:return self._search(node.left, key)else:return self._search(node.right, key)```3. 实验验证```pythonbst = BinarySearchTree()bst.insert(50)bst.insert(30)bst.insert(20)bst.insert(40)bst.insert(70)bst.insert(60)bst.insert(80)print("查找 30 的结果：", bst.search(30)) # 输出：Trueprint("查找 80 的结果：", bst.search(80)) # 输出：Trueprint("查找 100 的结果：", bst.search(100)) # 输出：Falsebst.delete(20)print("删除 20 后查找 20 的结果：", bst.search(20)) # 输出：False```六、实验结果与分析1. 检索树的构建：通过定义树节点类和检索树类，实现了检索树的构建。