与或图搜索策略

G I
6
上述两种方法也可以结合起来使用,此时的图称为” 或 上述两种方法也可以结合起来使用 此时的图称为”与/或” 此时的图称为 树.
7
Q
Q1
Q2
Q11
Q12
Q13
Q11’
Q12’
Q13’
Q21
Q22
Q23
Q21’
Q22’
Q23’
图中的弧线表示所连边为“与”关系，不带弧边的边为或关 系。
8
初始节点s a c b
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3.4.1 与或树盲目搜索
一般搜索过程 广度优先搜索 深度优先搜索 举例
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或图的一般搜索过程 与/或图的 或图的
• 对于一个”与”节点,只有当其子节点全部为可解节点时 对于一个” 只有当其子节点全部为可解节点时, 节点 只有当其子节点全部为可解节点时 它才为可解节点,只要子节点 只要子节点中有一个为不可解节点,它就 它才为可解节点 只要子节点 是不可解节点; • 对于一个”或”节点 只要子节点中有一个是可解节点时 对于一个” 节点,只要子节点中有一个是可解节点时 只要子节点中有一个是可解节点时, 它就是可解节点,只有当全部都是 只有当全部都是不可解节点时,它才是不 它就是可解节点 只有当全部都是 可解节点. • 像这样由可解子节点来确定父节点、祖父节点等为可解节 可解子节点来确定父节点、 可解子节点来确定父节点 点的过程为可解标示过程 可解标示过程； 点的过程为可解标示过程；由不可解子节点来确定其父节 祖父节点等为不可解节点的过程为不可解标示过程 不可解标示过程； 点、祖父节点等为不可解节点的过程为不可解标示过程； • 在与/或树的搜索过程中将反复使用这两个过程，直到初 始节点（即原始问题）被标示为可解或不可解节点为止．
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3.4.2启发式与或树搜索
有序搜索 解树的代价 希望树 与或树的有序搜索过程 举例
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有序搜索
搜索都是从初始节点开始，先自上而下地进行搜索， 寻找终止节点及端节点，然后再自下而上地进行可解性标 记，一旦初始节点被标记为可解节点或不可解节点，搜索 就不再继续进行。 搜索都是按确定路线进行的，当要选择一个节点进行 扩展时，只是根据节点在与或树中所处的位置，而没有 根据节点在与或树中所处的位置， 根据节点在与或树中所处的位置 考虑要付出的代价，因而求得的解树不一定是代价最小的 考虑要付出的代价 解树，即不一定是最优解树 最优解树。 最优解树 为了求得最优解树，就要在每次确定欲扩展的节点时， 先往前多看几步，计算一下扩展这个节点可能要付出的代 价，并选择代价最小的节点进行扩展。像这样根据代价决 定搜索路线的方法称为与或树的有序搜索，它是一种重要 的启发式搜索策略。
5、若N不可扩展，则做下列工作：
(1)标记N为不可解节点，然后由它的不可解返回推断其先辈节点的不可解 性，并对其中的不可解节点进行标记。如果初始节点S0也被标记为不可解节 点，则搜索失败，表明原始问题无解，退出。否则 (2)删去OPEN表中那些具有不可解先辈的节点(因为其先辈节点已不可解，故 已无再考察这些节点的必要)，转步2；
4
与节点
与
只有解决所有子 问题，才能解决其父辈 问题的节点集合。 与关系集合中，各 个结点之间用一端小圆 弧连接标记。称为k－ 连接符 .
5
或节点
● 等价变换：利用同构或同态的等价变换,把它 变换为若干个较容易求解的新问题。若新问题中 有一个可求解,则就得到了原问题的解.
E B F
A
DBiblioteka Baidu
或
只要解决某个问 题就可解决其父辈问 题的节点集合。称为 1－连接符 .
(1,1,1)=>(1,2,2)
(1,2,2)=>(3,2,2)
(3,2,2)=>(3,3,3)
(1,1,1)=>(1,1,3)
(1,2,3)=>(1,2,2)
(3,2,1)=>(3,3,1)
(1,1,3)=>(1,2,3)
(3,2,2)=>(3,2,1)
(3,3,1)=>(3,3,3)
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在三阶梵塔问题中，共有七个终止节点，对应于七个 本原问题，它们是通过“分解”得到的。 若把这些本原问题的解按从左至右的顺序排列，就得 了原始问题的解： (1,1,1)=>(1,1,3) (3,2,2)=>(3,2,1) (1,1,3)=>(1,2,3) (3,2,1)=>(3,3,1) (1,2,3)=>(1,2,2) (3,3,1)=>(3,3,3) (1,2,2)=>(3,2,2)
目标 目标
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其它几个概念与术语
1. 本原问题 本原问题：不能再分解或变换,而且直接可解的子问 题。 2. 终止结点 终止结点：本原问题对应的节点。(可解节点) 3. 端节点 在与或图(树)中无子节点的节点。 端节点: 4. 与节点：一个节点的子节点如果是“与”关系，称~ 与节点 5. 或节点 或节点：一个节点的子节点如果是“或”关系，称~
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• 与或图搜索 与或图搜索：边扩展节点边确定初始节 点是否可解。一旦能够确定初始节点的 可解性，则搜索停止，并根据返回指针 从搜索树中得到一个解图(树)。
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1、把初始节点S0放入OPEN表； 2、移出为OPEN表的第一个节点N放入CLOSED表，并冠以序号n； 3、若节点N可扩展，则做下列工作： (1)扩展N，将其子节点配上指向父节点的指针后放入OPEN表尾部； (2)考察这些子节点中是否有终止节点。若有，则标记它们为可解节 点，并将它们也放入CLOSED表，然后由它们的可解返回推断其先辈 节点的可解性，并对其中的可解节点进行标记。如果初始节点也被 标记为可解节点，则搜索成功，结束。否则 (3)删去OPEN表中那些具有可解先辈的节点(因为其先辈节点已经可 解，故已无需再考察节点的必要),转步2； 4、若N不可扩展，则做下列工作： (1)标记N为不可解节点，然后由它的不可解返回推断其先辈节点的 不可解性，并对其中的不可解节点进行标记。如果初始节点S0也被 标记为不可解节点，则搜索失败，表明原始问题无解，退出。否则 (2)删去OPEN表中那些具有不可解先辈的节点(因为其先辈节点已不 可解，故已无再考察这些节点的必要)，转步2；
注意：终止节点一定是端节点，但端节点不一定是终 止节点。
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可解节点: 6. 可解节点:节点须满足下列 条件之一： (1) 终止节点是可解节点; (2)一个与节点可解，当且仅当其子节点全都可解； (3)一个或节点可解，只要其子节点至少有一个可解； 7.不可解节点: 不可解节点: 不可解节点 关于可解节点的三个条件全部不满足的节点称为不可 解节点。 8.解树 解树: 解树 由可解节点所构成,并且由这些可解节点可推出初 始节点(它对应于原始问题)为可解节点的子树.
t5 G 2 1 t4 F t3 E 1 D 2 3 B 2 1 2 c S0 2 5 A 6 t1
26 i=0
例：如图所示的与或树，其中包括两棵解树，一棵解树由S0，A， t1和t2组成；另一棵解树由S0，B，D，G，t4和t5组成。在些与或 树中，t1,t2,t3,t4,t5为终止节点；E，F是端节点，其代价均为∞； 边上的数字是该边的代价。 由右边的解树可得： 按和代价：h(A)=11, h(S0)=13 按最大代价：h(A)=6, h(S0)=8 由左边的解树可得： 按和代价：h(G)=3, h(D)=4， h(B)=6， h(S0)=8 按最大代价：h(G)=2, h(D)=3， h(B)=5， h(S0)=7
2
3
“分解 分解”和“等价变换 等价变换”概念 分解 等价变换
与/或树表示法：对于一个复杂的问题，可以通过“分解” 和“等价变换”两种手段相结合使用，得到一个图，这个 图就是与/或图。 ● 分解：把一个复杂问题分解为若干个较为简单的 子问题,每个子问题又可继续分解为若干个更为较为简单 的子问题,重复此过程,直到不需要再分解或不能解为止. 然后对每个子问题分别进行求解,最后把各子问题的解复 合起来就得到了原问题的解.
(1)扩展N，将其子节点配上指向父节点的指针后放入OPEN表的首部； (2)考察这些子节点中是否有终止节点。若有，则标记它们为可解节点，并 将它们也放入CLOSED表，然后由它们的可解返回推断其先辈节点的可解性， 并对其中的可解节点进行标记。如果初始节点也被标记为可解节点，则搜索 成功，结束。否则 (3)删去OPEN表中那些具有可解先辈的节点(因为其先辈节点已经可解，故已 无需再考察节点的必要),转步2；
1 3 2 4 5 t1
3) 4)
t4
t3 t2 A
5)
此时，closed 表就是由节点1,2,3,4,5和t1,t2,t3,t4构成的解树，如图中粗线所示。
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与／或树的深度优先搜索算法
1、把初始节点S0放入OPEN表； 2、移出为OPEN表的第一个节点N放入CLOSED表，并冠以序号n； 3 、如果节点N 的深度大于等于深度界限,则转第5部的第(1); 4、若节点N可扩展，则做下列工作：
与／或树的广度优先搜索算法
搜索成功后， 解树就记录在CLOSED表中。
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例：设有与或树如图，其中1号节点为初始节点,t1,t2,t3,t4 均为终止节点，A和B是不可解的端节点。采用广度搜索 策略进行搜索.
1) 2) 扩展节点1，得到2 和3号节点，依次放到OPEN 表尾部；2和3为非终止节点，接着扩展2号节点； 扩展2号节点，得到4号和t1节点。 t1为终止节点， 则为可解节点,放到closed表，再判断其先辈节点 的可解性； 扩展3号节点，得5和B节点，两者为非终止节点， B 继续扩展4号节点； 4号扩展后得到A和t2。t2为终止节点，标记为可 解节点，放入closed表中，这时其先辈节点4和2 也为可解节点，因4节点可解，故在OPEN表中删 去A； 扩展5号节点，得到t3和t4。由于t3和t4都为终止 节点(放入closed表)，故可推断出5，3都为可解 节点。故初始节点1为可解节点。搜索成功，结 束。
3.4 与或树搜索（问题归约法）
3.4.1 3.4.2 3.4.3
与或树的表示 与或树搜索 启发式与或树搜索
1
问题的与或图表示
在现实世界中，经常会遇到这样的问题： 在现实世界中，经常会遇到这样的问题：一 个问题可以有几种求解方法， 个问题可以有几种求解方法，只要其中一种方法 可以求解问题，则该问题被求解。也就是说， 可以求解问题，则该问题被求解。也就是说，对 求解该问题来说，方法之间是"或 的关系 的关系。 求解该问题来说，方法之间是 或"的关系。但在 用每一种方法求解时， 用每一种方法求解时，又可能需要求解几个子问 这些子问题必须全部求解， 题，这些子问题必须全部求解，才可能用该方法 求解原始问题。也就是说，这些子问题之间是"与 求解原始问题。也就是说，这些子问题之间是 与 "的关系。此类问题可以用与或图来表示。如下图 的关系。 的关系 此类问题可以用与或图来表示。 所示: 所示
(CBA) （1,1,1）（1,2,2） （1,2,2）（3,2,2） （3,2,2）（3,3,3） C B A
（1,1,1）
1,2,2
3,2,2
（3,3,3）
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举例(三阶梵塔)
与或树表示
(1)把A、B盘从1号杆移到2号杆；
(1,1,1)=>(3,3,3)
(2)把C盘从1号杆移到3号杆； (3)把A、B盘从2号杆移到3号杆；
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解树的代价
解树的代价就是树根的代价。树根的代价是从树叶开始自 下而上逐层计算求得的。 计算方法： 设h(x)表示节点x的代价，c(x,y)表示节点x到其 子节点y的代价(即边xy的代价),则: (1)若x是终止节点，h(x)=0; (2) 若x是或节点， h(x)=min{c(x,yi)+h(yi)}(1≤ i≤ n) (3) 若x是与节点x,则有两种计算公式 h(x)=∑{c(x,yi)+h(yi)} 称为和代价法； h(x)=max{c(x,yi)+h(yi)}(1≤ i≤ n)称为最大代价法，其中 y1，y2 ， y3 。。。。 yn是x的子节点。 (4)对非终止的端节点x, h(x)=∞
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可解性判别
1 3 2 4 B 5 t1
t4
t3 t2 A
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可解性判别
S0
A D
B C 3 G L M 3 0 0 2 2 2 E 2 H F
2
2
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例题
三阶梵塔
C B A
（1,1,1）
三元组
(i, j, k)
i 代表金盘C所在的杆号；j代表金盘B所在的 杆号；k代表金盘A所在的标号。
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