第4章 与或图搜索

解图的定义：
• 是由能解节点构成的一个子图，是包含一节点（n） 到目的(终)节点集合（N）的、连通的能解节点的子 图. • 在一个与或图 G 中，从节点 n 到节点集 N 的解图 记为 G， G 是 G 的子图. 1．若 n 是N的一个元素，则G由单个节点n组成； 2．若 n 有一个指向节点集 {n1…,nk} 的外向连接 符 K，使得从每一个节点 ni 到 N 有一个解图 (i=1,…,k)，则 G由节点 n，连接符 K，以及 {n1 ,…,nk}中的每一个节点到 N 的解图所组成； 3．否则 n 到 N 不存在解图. • 如果 n=s 为初始节点，则解图为所求解问题的解图.
4 与或图启发式搜索算法 AO*
• 假设：G；G；h(n)是从节点 n 到一组终叶节点的 一个最优解图的一个代价估计，评价函数q(n)=h(n) AO*过程: 1.建立初始搜索图，G:=s，计算 q(s)=h(s)，IF GOAL(s) THEN M(s,SOLVED)； 2. Until s 已标记为 SOLVED, do: 3. Begin 4. G := FIND(G)；根据连接符标记（指针）找出一 个待扩展的侯选局部解图G（连接符在11步标记） 5. n := G 中的任一非终节点; 选一个当前节点 6. EXPAND(n),生成子节点集{ni}，如果 ni G， G:= ADD({ni},G),计算 q(nArtificial Intelligence i)=h(ni)，IF GOAL(ni) THEN M(ni, SOLVED);
k(n, N)= Cn+ k(n1, N)+…+ k(ni, N)
• 具有最小耗散值的解图称为最佳解图，其值 也用 h*(n) 标记。 Artificial Intelligence
• 例：从节点 n 开始，正确选择一个外 向连接符，一直进行下去直到产生的 每一个后继节点成为集合N中的一个元 素为止。下图给出了 n0 →{n7，n8}的 三个解图（耗散值分别为 8，7，5）.
h(n0)=3
AO*搜索算法的过程
• • • • • • 主要步骤 第4步(G’) 第5步(n) 第6步 第7步(S) 第11步 • • • • • • 第1循环 (n0) (n0) (n1,n5,n4) (n0) 比较,选 n0→n1; n1 不可解; • • • • • • 第2循环 n0→n1 (n1) (n2,n3) (n1) 1) 比较,选 n1→n3; n3 不可解; 2)比较,选 n0→n5, n4; n5, n4不可 解; • 1) 加n0 → S; 2)无; • • • • • • 第3循环 • n0→n5, n4 • (n5) • (n6,n7,n8) • (n5) • 比较,选 • n5→n7, n8; 改指针; n7, n8可解, n5 可解 第4循环 n0→n5, n4; (n4) (n5,n8) (n4) 1)比较,选 n4→ n8; n8可解, n4 可解; 2) n4 , n5可 解; n0可解.
• 定义：与或图就是包含与节点和或节点 的图，即存在超弧的图，也称为超图. • 超图与状态空间图有什么区别？ 与或图是一种更一般的图. • 定义：一超弧所相关的边数（K）被称为 该超弧的度，实现的连接称为K-连接. • K—连接符：从一个父节点指向一组含有 K个后继节点的节点集.
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• 问题: 假定我们已经会求矩形的面积，现在要求 如图所示的五边形的面积。 • 方法分析: 五边形的面积转化为矩形面积。
①
I 1
III ③
2 II
3
②
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求解步骤：
① 求五边形面积 求 1面积 求 I面积 求 2面积 求 II面积 求 3面积 求 III面积 求• 面积 ③ I 1 2 II III ③ 3
②
求• 面积 ①
求• 面积 ②
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小结:
• 问题归约法: 当问题复杂时，可把初始问题分解成若 干简单的子问题，若子问题仍复杂，可再进一步分解， 直到这些子问题的解可直接得到。这种问题的描述和 求解方法，称为~. • 本原问题: 可直接解答的问题称为~ ，它是不必证明 的、自然成立的. • 归约法的组成： 1）一个初始问题的描述； 2）一组把问题变成子问题的算子 (分解或转换)； 3） 一组本原问题的描述 • 不同的算子对应不同的关系,从而使问题归约的描述 可用一个与或图的结构来表示. Artificial Intelligence
7 S:={n}; 建立含 n 的节点集合S.（已扩展待修正） 8 Until S为空, do: 9 Begin (m为S中任一节点) 10 REMOVE(m, S),当 mc{S};（m→mc ,从底层开始修正） 11 修改 m 的耗散值 q(m): 对 m 指向节点集 (n1i， n2i, … nki) 的每一个连接符 i 分别计算qi, qi(m)=Ci+q(n1i)+…+q(nki), 并取 q(m):= min qi (m); 加(或修正)指针到 min qi (m) 的连接符上. IF M(nji, SOLVED) THEN M(m, SOLVED);（j=1，2，…， k）若该连接符的所有子节点都是能解的,则m也能解. 12 IF M(m, SOLVED) (q(m) q0(m)) THEN ADD(ma, S); m 能解或修正的耗散值与原先估算q0不同,则把m的所有先 辈节点ma添加到S中. （能解或修正向上传递） 13 end (与8匹配) 14 end (与2匹配) Artificial Intelligence
二次循环后 (5) n0 n2 4 (2) n5
n4 (1)
2
0 n8
n7 0
四次循环后
不带括号的数是启发函数h(n)值,带括号数是估价函数q（n）的修正值； 短箭头用来标记连接符，标明侯选局部解图；已经标注SOLVED的节点 用黑心圆来表示。
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讨论
• 当节点n无后继节点? 在第11步中对 m (n)赋 一个高的 q 值(会传递到s), 从而排除了含有 n的子图被当作候选局部解图的可能性. • 在 G’ 中存在多个非终节点时,选择什么样的 节点先扩展? 一般选择最能导致该局部解图耗 散值发生较大变化的节点先进行扩展, 可促使 及时修改局部解图的标记. • 同A算法类似,若 s→N 存在解图,当 h(n) ≤ h*(n)且h(n)满足单调限制条件时(对n到其子 节点的每一连接符均需要满足),则 AO* 一定 能找到最佳解图.
n0 n1 n2 n3 n5 n6
n7
与或图
• 在与或图中，节 点 n0 有两个连接 符：1-连接符指 n4 向节点 n1；2-连 接符指向节点集 合{n4、n5}； • 对于节点 n0 来讲， n1 可称为或节点， n8 n4、n5 可称为与 节点。
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AO*搜索算法过程分析
• 两个过程的重复:
–自上而下的图生长过程（4-6步）: 先通过有标 记的连接符，找到目前为止最好的一个局部解 图，然后对其中一个非终节点进行扩展，并对 其后继节点赋估计耗散值和加能解标记. –自下而上的估价函数值的修正、连接符的标记 和SOLVED的标注过程(7-12): 耗散值的修正从 刚被扩展的节点n开始，其修正耗散值q(n)取所 有估计值中最小的一个，然后根据耗散值递归 计算公式逐级向上修正其先辈节点的耗散值.只 有下层节点耗散值修正后，才可能影响到上一 层节点的耗散值，如此一直修正到初始节点.
2 与或图
• 与节点：把单个问题分解为几个子问题来求解。只 有当所有子问题都有解，该父辈节点才有解。表示 一种 “与” 关系。 • 或节点：同一问题被转换为几种不同的后继问题。 只要有一个后继问题有解，则原问题有解。表示一 种 “或” 关系。
P P
R (a)
Q
R (b)
Q
• 与节点由与运算连接（超弧），如图（a）. Artificial Intelligence • 或节点由或运算连接，如图（b）.
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n0 n1 h(n1)=2 n3 h(n3)=4
n2 h(n2)=4
n6 h(n6)=2
n7 h(n7)=0
• 例: 各节点启发值如 图，k-连接符的耗散值 = k, 求最佳解图. • 应用 AO* 算法，经 n4 四个循环，可找到解图. h(n4)=1 n5 • 在第一次循环扩展节 h(n5)=1 点 n0；然后,依次扩展 节点 n1、n5、n4。 • 在节点 n4 被扩展之 n8 后，节点 n0 便被标注 h(n8)=0 SOLVED，此时，通过向 下跟踪有标记的连接符， 便获得了解图. Artificial Intelligence
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• 定义：不能解节点的递归定义为:
1．没有后裔的非终节点是不能解的节点； 2．若非终节点有 “或” 子节点时，当且仅 当所有子节点均不能解时，该非终节点才不 能解； 3．若非终节点有 “与” 子节点时，当至少 有一子节点不能解时，该非终节点才不能解.
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3 与或图搜索
• 含义：在与或图上执行搜索的过程，其目的在于标明 起始节点是有解的，即，搜索不是去寻找到目标节点 的一条路径，而是寻找一个解图。 • 定义：一个节点被称为能解节点，其递归定义为： 1．终节点是能解节点（直接与本原问题相关联）； 2．若非终节点 有 “或” 子节点时，当且仅当其子 节点至少有一个能解 ，该非终节点才能解； 3．若非终节点有 “与” 子节点时，当且仅当其子 节点均能解，该非终节点才能解。