2019届江西南昌市高三上学期摸底调研数学(理)试卷【含答案及解析】
江西省南昌市2019届高三上学期0模(理科)数学试卷
— 高三理科数学第1页(共4页) —2019届ncs0607摸底调研考试理 科 数 学本试卷共4页，23小题，满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合3{|0},{|1x M x N x y x -=≥==-，则()M N =R A. (1,2] B. [1,2] C. (2,3] D. [2,3]2．若复数1i1iz a -=+为纯虚数，则实数a 的值为A. 1-B. 1C. 0D. 123．同学们，化归与转化的数学思想很重要，比如要证明命题:p “若1ea ≥，则e xa x ⋅≥”，我们可以证明命题A. “若e xa x ⋅<，则1e a <” B. “若e xa x ⋅≤，则1e a <” C. “若e x a x ⋅<，则1e a ≤” D. “若1ea <，则e xa x ⋅<”4．已知向量(1,2),(4,)a b m =-=-，若a //b ，则实数m 的值为A. 8-B. 2-C. 2D. 8 5.若函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则 A. 函数()f x 有1个极大值点，1个极小值点 B. 函数()f x 有0个极大值点，1个极小值点 C. 函数()f x 有1个极大值点，0个极小值点 D. 函数()f x 有0个极大值点，0个极小值点6．已知函数()ln(1)f x x =--，函数()g x 的图像与()f x 的图像关于直线1x =对称，则(3)g = A. ln 2- B. ln 2 C. 0 D. ln 3-7．如图，曲线y =与x 轴、直线1x =围成区域M ，在边长为1的正方形OABC 中随机取一点，则该点在区域M 内的概率为A.31B.32C.43D.65— 高三理科数学第2页(共4页) —8.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则()3f π=A. B. 1C.9．已知等差数列{}n a 的公差0d <，前n 项和为n S ，若5610S a =，则当n S 最大时，n = A.8 B.9 C.7或8 D.8或9 10．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =ABC ∆的面积S =且A b B a C c cos cos cos 2+=，则b =A.B.C.D. 11．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上第一象限内一点，满足120PF PF ⋅=，延长2PF 交双曲线右支于点Q ，若1||:||5:12PF PQ =，则双曲线的离心率为 A.125 B. 135C. 3D. 312．已知函数3(4),62()2||,223(4),26f x x f x x x f x x -+-≤<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪-<≤⎩，函数1()2g x x x =+，则方程()()0f x g x -=的所有根之和为A. 0B.12C. 1D. 2 二．填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分. 13．5)2(x -的展开式中，x 的系数为 ．14．已知实数,x y 满足不等式组30200x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则13x z y +=+的取值范围是 ．15．如图是某几何体的三视图，网格中小正方形边长为1，其中主视图中矩形的高为4，俯视图是钝角三角形，且钝角所对的边长为3，则该几何体的体积为 ．16．ABC ∆中，030,3A BC ∠==，点D 满足2BD DC =，则线段AD 的最大值为 ．— 高三理科数学第3页(共4页) —三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.(12分)如图，已知单位圆上的点))sin(),(cos(),sin ,(cos ββαα--B A ，))sin(),(cos(βαβα++C ，)0,1(D .（Ⅰ）若30,90==βα，求|||,|CD AB ； （Ⅱ）试证明两角和的余弦公式： .sin sin cos cos )cos(βαβαβα-=+18. (12分)人们通过手机、电视等方式关注十九大盛况.某调査网站从观看十九大的年龄在15岁至65岁的电视观众中随机选出100人，将这100人按年龄分组：第1组)25,15[，第2组)35,25[，第3组)45,35[，第4组)55,45[，第5组]65,55[，得到频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）求a 的值，并计算电视观众的平均年龄（各组数据用中点值代替）（结果四舍五入到整数）；（Ⅱ）若电视观众的年龄X 近似服从正态分布2(,)N μσ， 用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差.已知 样本标准差11≈s .（ⅰ）预估3000名电视观众中年龄在30岁以上的人数； （结果四舍五入到整数）（ⅱ）若从电视观众中任选5人，记年龄在41岁以上的 人数为Y ，求随机变量Y 的分布列和期望.附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974.P X μσμσ-<<+=19. (12分)如图，四棱锥E ABCD -中，,ADE BEC ∆∆和CDE ∆均是边长为2的正三角形，且平面ADE ⊥平面EDC ，平面BCE ⊥平面EDC . （Ⅰ）求证：//AB 平面EDC ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值.— 高三理科数学第4页(共4页) —20．(12分)如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，焦距为4，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为C ，当l 的斜率存在时，直线AB 和BC 的斜率之积为21-. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求三角形OBC 面积的最大值．21. (12分)已知函数()()ln()f x x a x a =++，[0,)x ∈+∞，a 为实数. （Ⅰ）当1a =时，证明：x x f ≥)(；（Ⅱ）若不等式2()xe f x x x ≥+恒成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (10分)曲线212:,:2cos sin +40.3C C πθρρθθ=-+=（Ⅰ）将12,C C 化为普通方程； （Ⅱ）已知12,C C 交于,A B ，求||.AB23．[选修4—5：不等式选讲] (10分)已知函数()|1|||.f x x x a =+++ （Ⅰ）若2a =-，解不等式()5f x ≤；（Ⅱ）若()21f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.。
江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题 含解析
NCS20190607项目第一次模拟测试卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式简化集合M，再由对数的运算性质求出N，再由交集的运算求出（∁R M）∩N．【详解】∵x2﹣4＞0，∴x＜﹣2或x＞2，∴M＝（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∵log2x＜1，∴0＜x＜2，∴N＝（0，2），∴∁R M＝[﹣2，2]，∴（∁R M）∩N＝（0，2）．故选：B．【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，以及一元二次不等式的解法、对数的运算性质，属于基础题．2.已知复数的实部等于虚部，则( )A. B. C. -1 D. 1【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出a的值．【详解】∵z的实部等于虚部，∴，即a＝﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.已知抛物线方程为，则其准线方程为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．【详解】抛物线x2＝-2y的准线方程为：y，故选：C．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，熟记抛物线的简单几何性质是关键，是基本知识的考查．4.已知为等差数列，若，，则( )A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．【详解】∵{a n}为等差数列，,∴，解得＝﹣10，d＝3，∴＝+4d＝﹣10+12＝2．故选：B．【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.如图所示算法框图，当输入的为1时，输出的结果为( )A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．【详解】当x＝1时，x＞1不成立，则y＝x+1＝1+1＝2，i＝0+1＝1，y＜20不成立，x＝2，x＞1成立，y＝2x＝4，i＝1+1＝2，y＜20成立，x＝4，x＞1成立，y＝2x＝8，i＝2+1＝3，y＜20成立，x＝8，x＞1成立，y＝2x＝16，i＝3+1＝4，y＜20成立x＝16，x＞1成立，y＝2x＝32，i＝4+1＝5，y＜20不成立，输出i＝5，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】由三视图可知该几何体是由一个正三棱柱（其高为6，底面三角形的底边长为4，高为）截去一个同底面的三棱锥（其高为3）所得，则该几何体的体积为；故选：D．【点睛】本题考查简单几何体的形状与三视图的对应关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题.7.2021年广东新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】基本事件总数n6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，由此能求出他们选课相同的概率．【详解】今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则基本事件总数n6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，∴他们选课相同的概率p．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，准确计算基本事件总数和选课相同包含的基本事件数是关键，是基础题.8.已知，，：“”，：“”，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先作出不等式：“|x|1”，“x2+y2≤r2”表示的平面区域，再结合题意观察平面区域的位置关系即可得解【详解】“|x|1”，表示的平面区域如图所示:平行四边形ABCD及其内部，“x2+y2≤r2”，表示圆及其内部由p是q的必要不充分条件，则圆心O（0，0）到直线AD：2x+y﹣2＝0的距离等于，则0，故选：A．【点睛】本题考查不等式表示的平面区域及图象之间的位置关系，熟练运用直线与圆的位置关系是关键，属中档题．9.已知在上连续可导，为其导函数，且，则( )A. B. C. 0 D.【答案】C【解析】【分析】根据条件判断函数f（x）和f′（x）的奇偶性，利用奇偶性的性质进行求解即可．【详解】函数f（﹣x）＝e﹣x+e x﹣f'（1）（﹣x）•（e﹣x﹣e x）＝f（x），即函数f（x）是偶函数，两边对x求导数得﹣f′（﹣x）＝f′（x）．即f′（﹣x）＝﹣f′（x），则f′（x）是R上的奇函数，则f′（0）＝0，f′（﹣2）＝﹣f′（2），即f′（2）+f′（﹣2）＝0，则f'（2）+f'（﹣2）﹣f'（0）f'（1）＝0，故选：C．【点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题.10.已知平面向量，，，，若对任意的实数，的最小值为，则此时( )A. 1B. 2C.D. 或【答案】D【解析】【分析】由题知，终点分别在圆上，画出图形，由最小值，确定，的夹角，再利用模长公式求解即可.【详解】由题知，终点分别在以2和1为半径的圆上运动，设的终点坐标为A(2,0),的终点为单位圆上的点B，最小时的终点有可能为如图上B、C两点处，即过A做单位圆切线切点为B时，此时AB=,此时，的夹角为，因此=，延长BO交单位圆于C，此时，的夹角为，因此，故选：D【点睛】本题考查向量的模，向量的几何意义，数形结合思想，准确确定取最小值时，的夹角是关键，是中档题.11.已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设P（），则Q（2，），当≠0时，求出两直线方程，解交点的横坐标为，利用|x0|范围，得|x|范围，当＝0时，求得|x|＝1即可求解.【详解】设P（），则Q（2，2），当≠0时，k AP，k PM，直线PM：y﹣（x﹣），①直线QB：y﹣0（x），②联立①②消去y得x，∴，由||＜1得x2＞1，得|x|＞1，当＝0时，易求得|x|＝1，故选：A．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，两直线交点问题，准确计算交点坐标是关键，属中档题．12.杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【详解】n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n，可得当n＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135，由于最右侧为2，3，4，5，……，为首项是2公差为1的等差数列，则第16行的第16项为17，则杨辉三角形的前18项的和为S18＝218﹣1，则此数列前135项的和为S18﹣35﹣17＝218﹣53，故选：A．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】利用函数的性质得f （5）＝f（2）＝f（﹣1），由此能求出f（5）的值．【详解】∵函数，∴f （5）＝f（2）＝f（﹣1）＝（﹣1）2﹣2﹣1．故答案为：．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为__________．【答案】【解析】【分析】作出符合题意的图形P﹣ABC，取底面中心O，利用直角三角形POC容易得解．【详解】如图，正三棱锥P﹣ABC中，O为底面中心，不妨设PC＝1，∵侧面为等腰直角三角形，∴BC，∴OC，∴OP，∴sin∠PCO，故答案为：．【点睛】此题考查了直线线与平面所成角，熟练运用线面关系找到所求角，准确计算是关键，是基础题．15.已知锐角满足方程，则__________．【答案】【解析】【分析】化简已知等式，利用同角三角函数基本关系式可求3sin2A+8sinA﹣3＝0，解得sinA的值，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【详解】∵锐角A满足方程3cosA﹣8tanA＝0，可得：3cos2A＝8sinA，∵cos2A+sin2A＝1，∴3sin2A+8sinA﹣3＝0，解得：sinA，或﹣3（舍去），∴cos2A＝1﹣2sin2A＝1﹣2．故答案为：．【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式的应用,二倍角公式，一元二次方程的解法，熟记三角函数基本公式，准确计算是关键，属于基础题．16.定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】画出几何图形，运用边的关系转化为求周长的最值，结合正余弦定理及基本不等式求解即可.【详解】设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为M,P,N分别为半圆上的动点，则PM≤+GF= +=，当且仅当M,G,F,P共线时取等；同理：PN ≤MN≤,又外接圆半径为1，，所以,∴BC=a=2sin=,由余弦定理解b+c≤2,当且仅当b=c=取等；故故答案为【点睛】本题考查正余弦定理，基本不等式，善于运用数形结合思想运用几何关系转化问题是关键，是难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.函数（，）的部分图像如下图所示，，，并且轴.（1）求和的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据函数过A，C两点，代入进行求解即可．（2）根据条件求出B的坐标，利用向量法进行求解即可．【详解】（1）由已知，又，所以，所以（3分）由，即，所以，，解得，，而，所以.（2）由（Ⅰ）知，，令，得或，k∈Z，所以x＝6k或x＝6k+1，由图可知，．所以，所以，所以．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数余弦值的计算，利用向量法以及待定系数法是解决本题的关键．18.如图，四棱台中，底面是菱形，底面，且，，是棱的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出⊥BD．BD⊥AC．从而BD⊥平面AC，由此能证明．（2）如图，设AC交BD于点O，以O为原点，OA、OB、OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角E﹣﹣C的余弦值．【详解】证明：（1）因为⊥底面ABCD，所以⊥BD．因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面A．又由四棱台ABCD﹣知，，A，C，四点共面．所以BD⊥．（2）如图，设AC交BD于点O，依题意，∥OC且＝OC，所以O∥C，且O＝C．所以O⊥底面ABCD．以O为原点，OA、OB、OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则，由，得B1（）．因为E是棱BB1的中点，所以E（）,所以（），（﹣2，0，0）．设（x，y，z）为平面的法向量，则，取z＝3，得（0，4，3），平面的法向量（0，1，0），又由图可知，二面角E﹣A1C1﹣C为锐二面角，设二面角E﹣A1C1﹣C的平面角为θ，则cosθ，所以二面角E﹣A1C1﹣C的余弦值为．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.市面上有某品牌型和型两种节能灯，假定型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年.新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业.经了解，型20瓦和型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装.已知型和型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换.（用频率估计概率）（1）若该商家新店面全部安装了型节能灯，求一年内恰好更换了2支灯的概率；（2）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由.【答案】（1）；（2）应选择A型节能灯.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可知用频率估计概率，得m型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为，从而一年内一支B型节能灯在使用期间需更换的概率为，由此能求出一年内5支恰好更换了2支灯的概率．（2）共需要安装5支同种灯管，选择A型节能灯，一年共需花费5×120+3600×5×20×0.75×10﹣3＝870元；选择B型节能灯，由于B型节能灯一年内需更换服从二项分布，一年共需花费元，由此能求出该商家应选择A型节能灯．【详解】（1）由频率分布直方图可知，B型节能灯使用寿命超过3600小时的频率为0.2，用频率估计概率，得B型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为.所以一年内一支B型节能灯在使用期间需更换的概率为，.所以一年内支恰好更换了支灯的概率为..（2）共需要安装支同种灯管，若选择A型节能灯，一年共需花费元；若选择B型节能灯，由于B型节能灯一年内需更换服从二项分布，故一年需更换灯的支数的期望为支，故一年共需花费元.因为，所以该商家应选择A型节能灯.【点睛】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，熟记频率分布直方图性质，准确计算是关键，是中档题．20.如图，椭圆：与圆：相切，并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，，与交于两点，与圆的另一交点为，求面积的最大值，并求取得最大值时直线的方程.【答案】（1）；（2）面积的最大值为，此时直线的方程为.【解析】【分析】（1）由题意可得b＝1，a﹣1，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据l2⊥l1，可设直线l1，l2的方程，分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值．【详解】（1）椭圆E与圆O：x2+y2＝1相切，知b2＝1；又椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为，即椭圆中心O到椭圆最远距离为，得椭圆长半轴长，即；所以椭圆E的方程：（2）①当l1与x轴重合时，l2与圆相切，不合题意．②当l1⊥x轴时，M（﹣1，0），l1：x＝1，，此时．…（6分）③当l1的斜率存在且不为0时，设l1：x＝my+1，m≠0，则，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（2m2+3）y2+4my﹣1＝0，所以，所以．由得，，解得，所以，所以，因为，所以，当且仅当时取等号．所以（）综上，△ABM面积的最大值为，此时直线l1的方程为．【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力21.已知函数（为自然对数的底数，为常数，并且）.（1）判断函数在区间内是否存在极值点，并说明理由；（2）若当时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）无极值点；（2）0.【解析】【分析】（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可；（2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数k的最小值即可．【详解】（1），令，则f'（x）＝e x g（x），恒成立，所以g（x）在（1，e）上单调递减，所以g（x）＜g（1）＝a﹣1≤0，所以f'（x）＝0在（1，e）内无解．所以函数f（x）在区间（1，e）内无极值点．（2）当a＝ln2时，f（x）＝e x（﹣x+lnx+ln2），定义域为（0，+∞），，令，由（Ⅰ）知，h（x）在（0，+∞）上单调递减，又，h（1）＝ln2﹣1＜0，所以存在，使得h（x1）＝0，且当x∈（0，x1）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，当x∈（x1，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0．所以f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，+∞）上单调递减，所以．由h（x1）＝0得，即，所以，令，则恒成立，所以r（x）在上单调递增，所以，所以f（x）max＜0，又因为，所以﹣1＜f（x）max＜0，所以若f（x）＜k（k∈Z）恒成立，则k的最小值为0．【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等知识，属于中等题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于点，求的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线的参数方程的转换，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．【详解】（1）由参数方程，得普通方程，所以极坐标方程.（2）设点对应的参数分别为，将代入得得所以,直线l（t为参数）可化为，所以.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数.（1）求证：；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由绝对值不等式性质得即可证明；（2）由去绝对值求解不等式即可.【详解】（1）因为，所以.,即（2）由已知，①当m≥-时，等价于,即，解得所以②当m<-时，等价于，,解得-3≤m≤5,所以-3≤m<综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式恒成立问题，熟练运用零点分段取绝对值，准确计算是关键，是中档题.。
2019-2020年南昌一模：江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题-附答案精品
青霄有路终须到，金榜无名誓不还！
2019-2019年高考备考
江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数
11212i i
+++（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．35 B ．35i C ．35- D ．35i - 2.若集合{|12}A x x =<<，{|,}B x x b b R =>∈，则A B ⊆的一个充分不必要条件是（ ）
A ．2b ≥
B ．12b <≤
C ．1b ≤
D ．1b <
3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则（ ）
A ．4x =，22s <
B ．4x =，22s >
C ．4x >，22s <
D ．4x >，22s >
4.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）
A ．2213632x y +=
B ．22198x y +=
C ．22195x y +=
D ．22
11612
x y += 5.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12
，则1a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．12 D ．14
6.已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是（ ）。
2019-2020学年江西省南昌市高三上学期开学摸底考试 数学理
2019-2020学年江西省南昌市高三上学期开学摸底考试数学理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项最符合题意。
）1．已知集合，，则 ( )A. B. C. D.2．已知复数的实部和虚部相等，则A. B.C. D.3．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条件是（）A. x＜0B. x≥0C. x∈{－1，3，5}D. x≤－或x≥34．若，则=（）A. 1B.C.D.5．某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程，其中，，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（）A. 17B. 18C. 19D. 206．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（）A. B. C. D.7．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）.A. A B. B C. C D. D8．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.9．函数,则（）A. B.C. D. 的大小关系不能确定10．函数的定义域和值域都是，则（）A. 1B. 2C. 3D. 411．已知与都是定义在上的奇函数，且当时，（），若恰有4个零点，则正实数的取值范围是（）A. ；B. ；C. ；D. ．12．已知定义在上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，（），当时，的最小值为3，则a 的值等于（）A. B. e-2 C. 2 D. 1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
请将答案填在答题纸的对应位置上。
）13．已知集合，,若A∩B=B，则实数a 的取值范围为；14．已知,则15.已知正实数满足，则的最大值为16．已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解,则满足条件的所有实数的取值集合为_________．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分12分)已知命题，命题。
2019-2020学年江西省南昌市高三(上)9月摸底数学试卷(理科)试题及答案
2019-2020学年江西省南昌市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合3{|0}1x M x x -=-…，{|N x y =，则()(R M N =ð )A ．(1，2]B ．[1，2]C ．(2，3]D ．[2，3]2．复数z 满足11ii z+=-，则||(z = ) A ．2iB ．2C ．iD ．13．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．公比不为1的等比数列{}n a 中，若15m n a a a a =，则mn 不可能为( ) A ．5B ．6C ．8D ．95．已知一组样本数据点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，⋯，6(x ，6)y ，用最小二乘法得到其线性回归方程为ˆ24y x =-+，若数据1x ，2x ，3x ，⋯，6x 的平均数为1，则1236y y y y +++⋯+等于( )A ．10B ．12C ．13D ．146．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,2)M -，(1,0)N ，动点P 满足||||PM ON PN =，则动点P 的轨迹方程是( ) A ．24y x =B ．24x y =C ．24y x =-D ．24x y =-7．已知二元一次不等式组20,20220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩………表示的平面区域为D ，命题p ：点(0,1)在区域D 内；命题q ：点(1,1)在区域D 内．则下列命题中，真命题是( ) A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝8．已知ABC ∆的垂心为H ，且3AB =，5AC =，M 是BC 的中点，则(HM BC = )A ．5B ．6C ．7D ．89．圆22:10160C x y y +-+=上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( )A．B ．55(,)32C ．55(,)42D．1)10．已知正实数a ，b ，c 满足：221211()log ,()log ,log 23a b a b c c ===，则( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<11．自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机．二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如98765432110(521)1202020202021202021=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+022(1000001001)⨯=．我国数学史上，对数制研究不乏其人，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：7761⨯=，7652⨯=，7543⨯=，⋯，请类比二进制与十进制转化的运算，数2(1010011100)对应八进制数为( )A ．8(446)B ．8(1134)C ．8(1234)D ．8(4321)12．函数22()()(x f x x ax e ax a e =--+为自然对数的底数，a R ∈，a 为常数）有三个不同零点，则a 的取值范围是( ) A ．1(,0)e-B ．(,0)-∞C ．1(,)e-+∞D ．(0,)+∞二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．61)x展开式中的常数项是 （用数字作答）．14．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()0f x f x -+=，(0)f =，则(10)f 等于 ． 15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21a =，2122(3)n n n S S S n --+=+…，则3a 的值为 ．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，垂直于棱1AA 的截面分别与面对角线1A D ，1A B ，1C B ，1C D 相交于点E ，F ，G ，H ，则四棱锥1A EFGH -体积的最大值为 ．三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的所对边分别为a ，b ，c ，其中c =，2sin(2)3C π-=．（Ⅰ）若a =，求角A ； （Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值．18．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===，E 是BC 的中点，F 是1A E 上一点，且13A F FE =． （Ⅰ）证明：AF ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求二面角11B A E B --余弦值的大小．19．某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额3000元）、专业二等奖学金（奖金额1500元）及专业三等奖学金（奖金额600元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次．图（1）是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图(2)是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图．（Ⅰ）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；（Ⅱ）若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列22⨯联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？（Ⅲ）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和期望．2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>四个顶点中的三个是边长为的等边三角形的顶点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线y kx m =+与圆2222:3b O x y +=相切且交椭圆E 于两点M ，N ，求线段||MN 的最大值．21．已知函数()2(1)(axe f x x ln x e a =+-+为自然对数的底数，a 为常数，且0)a ≠ （Ⅰ）若函数在1x =处的切线与直线0ex y -=平行，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在(0,)+∞上存在单调递减区间，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,([0,2)2sin x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，α为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换2,x x y y '=⎧⎨'=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ为极径，θ为极角）． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线:(0)OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线:(0)2OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211||||OA OB +的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数21()|||1|(0)a f x x x a a +=-+->，()4|1|g x x =-+． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x …的解集包含[1，2]，求a 的取值集合．2019-2020学年江西省南昌市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合3{|0}1x M x x -=-…，{|N x y =，则()(R M N =ð )A ．(1，2]B ．[1，2]C ．(2，3]D ．[2，3]【解答】解：集合3{|0}{|11x M x x x x -==<-…或3}x …，{|{|20}{|2}N x y x x x x ===-=厔，则{|13}R M x x =<…ð， 所以(){|12}[1R M N x x ==剟ð，2]．故选：B ． 2．复数z 满足11ii z+=-，则||(z = ) A ．2iB ．2C ．iD ．1【解答】解：依题意，因为复数z 满足11ii z+=-， 所以21(1)12i i z i i ++===-， 所以||1z =， 故选：D ．3．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由面面垂直的定义知，当l β⊥”时，“αβ⊥”成立， 当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件， 故选：B ．4．公比不为1的等比数列{}n a 中，若15m n a a a a =，则mn 不可能为( )A ．5B ．6C ．8D ．9【解答】解：公比不为1的等比数列{}n a 中，由15m n a a a a =， 则156m n +=+=，1m ∴=，5n =；或5m =，1n =；此时5mn =． 2m =，4n =；或4m =，2n =；此时8mn =． 3m n ==．此时9mn =．因此mn 不可能为6． 故选：B ．5．已知一组样本数据点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，⋯，6(x ，6)y ，用最小二乘法得到其线性回归方程为ˆ24y x =-+，若数据1x ，2x ，3x ，⋯，6x 的平均数为1，则1236y y y y +++⋯+等于( )A ．10B ．12C ．13D ．14【解答】解：设样本数据点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，⋯，6(x ，6)y 的样本中心点为(x ，)y ，则1x =，代入线性回归方程ˆ24yx =-+中，得2142y =-⨯+=， 则1236612y y y y y +++⋯+==． 故选：B ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,2)M -，(1,0)N ，动点P 满足||||PM ON PN =，则动点P 的轨迹方程是( ) A ．24y x =B ．24x y =C ．24y x =-D ．24x y =-【解答】解：（1）设动点(,)P x y ，(1,2)M -，(1,0)N ， 则(1,2)PM x y =---，(1,)PN x y =--， 动点P 满足||||PM ON PN =，|1|x --=，所以2222121x x x x y ++=-++，整理得：24y x =，故动点P 的轨迹C 的方程为：24y x = 故选：A ．7．已知二元一次不等式组20,20220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩………表示的平面区域为D ，命题p ：点(0,1)在区域D 内；命题q ：点(1,1)在区域D 内．则下列命题中，真命题是( ) A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝【解答】解：把点(0,1)代入不等式20x y +-…不成立，故命题p 为假命题； 把点(1,1)代入不等式组20,20220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩………成立，故命题q 为真命题．p q ∴∧、()p q ∧⌝、()()p q ⌝∧⌝为假命题；()p q ⌝∧为真命题．故选：C ．8．已知ABC ∆的垂心为H ，且3AB =，5AC =，M 是BC 的中点，则(HM BC = ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：ABC ∆的垂心为H ，且3AB =，5AC =，M 是BC 的中点， 不妨取特殊三角形如图：A 、H 重合，(3,0)B ，(0,5)C ， 3(2M ，5)2， (3,5)BC =-，则3(2HM BC =，5)(32-，9255)822=-+=．故选：D ．9．圆22:10160C x y y +-+=上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A．B ．55(,)32C ．55(,)42D．1)【解答】解：圆22:10160C x y y +-+=可化为22(5)9x y +-=，圆22:10160C x y y +-+=上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，∴圆心到双曲线渐近线的距离大于2且小于4，由对称性不妨取双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线为by x a =，即0bx ay -=，24∴<<，即524a c <<， 解得：5542c a <<．即双曲线离心率的取值范围是55(,)42．故选：C ．10．已知正实数a ，b ，c 满足：221211()log ,()log ,log 23a b a b c c ===，则( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【解答】解：作图如下：如图：1b a <<，01c <<，所以c b a <<． 故选：B ．11．自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机．二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如98765432110(521)1202020202021202021=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+022(1000001001)⨯=．我国数学史上，对数制研究不乏其人，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：7761⨯=，7652⨯=，7543⨯=，⋯，请类比二进制与十进制转化的运算，数2(1010011100)对应八进制数为( )A ．8(446)B ．8(1134)C ．8(1234)D ．8(4321)【解答】解：234792(1010011100)1212121212668=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 6688834÷=⋯， 838103÷=⋯， 10812÷=⋯， 1801÷=⋯，故(10)(8)6681234= 故选：C ．12．函数22()()(x f x x ax e ax a e =--+为自然对数的底数，a R ∈，a 为常数）有三个不同零点，则a 的取值范围是( )A ．1(,0)e-B ．(,0)-∞C ．1(,)e-+∞D ．(0,)+∞【解答】解：()0f x =时，22()0x x ax e ax a --+=，()()0()()0x x x x a e a x a x a xe a ---=⇒--=，得x a =或x a xe =，函数()f x 有三个不同零点，则y a =与()x g x xe =有两个不同的交点，而()(1)x x x g x e xe e x '=+=+， 令()0g x '=，1x =-，(,1)x ∈-∞-，()0g x '<，(1,)x ∈-+∞，()0g x '>， 所以11()(1g x g e e--=-=-…，函数()g x 大致图象如下：y a =与()g x 的图象有两个交点的范围1(e-，0)．故选：A ．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．61)x展开式中的常数项是 240 （用数字作答）．【解答】解：设61)x 展开式的常数项是661()rr r C x--则621rr x x --=，2r ∴=，所以常数项是240 故答案为：24014．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()0f x f x -+=，(0)f =，则(10)f 等于【解答】解：()f x 是R 上的偶函数，且(2)()0f x f x -+=，(2)()f x f x ∴-=-，()(2)()f x f x f x ∴-=-+=； (4)()f x f x ∴+=， ()f x ∴的周期为4，又(0)f =，则(2)f =，∴(10)(224)(2)f f f =+⨯==故答案为：15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21a =，2122(3)n n n S S S n --+=+…，则3a 的值为 3 ．【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21a =，2122(3)n n n S S S n --+=+…，当3n =时，31222S S S +=+，整理得123112222a a a a a a +++=++，解得33a =． 故答案为：3．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，垂直于棱1AA 的截面分别与面对角线1A D ，1A B ，1C B ，1C D 相交于点E ，F ，G ，H ，则四棱锥1A EFGH -体积的最大值为3． 【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，垂直于棱1AA 的截面分别与面对角线1A D ，1A B ，1C B ，1C D 相交于点E ，F ，G ，H ，////EF BD GH ∴，11////EH A C GF ，EF GH =，EH GF =，11BD A C ⊥，∴四边形EFGH 是矩形，11BD A C ==设1A 到平面EFGH 的距离为3t ，01t <<，则EF =，)EH t =-， ∴四棱锥1A EFGH -体积：2313)18183V t t t t =⨯⨯⨯-=-，(01)t <<，23654V t t ∴'=-，由0V '=，解得23t =，（舍去0)t =， 当2(0,)3t ∈时，0V '>，当2(3t ∈，1)时，0t '<，∴当23t =时，四棱锥1A EFGH -体积取最大值： 2322818()18()333max V =⨯-⨯=．故答案为：83．三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的所对边分别为a ，b ，c ，其中c =，2sin(2)3C π-=．（Ⅰ）若a =，求角A ； （Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）2sin(2)3C π-=，∴可得sin(2)3C π-=， (0,)2C π∈，2(33C ππ∴-∈-，2)3π， 233C ππ∴-=，可得3C π=，∴3=sin A =， 又a c <， 03A C π∴<<=，4A π∴=．（Ⅱ）在ABC ∆中，由2222cos c a b ab C =+-，可得2212a b ab ab =+-…， 1sin 2ABC S ab C ∆∴=…，当且仅当a b =，即三角形为等边三角形时，等号成立，ABC ∴∆面积的最大值为．18．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===，E 是BC 的中点，F 是1A E 上一点，且13A F FE =． （Ⅰ）证明：AF ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求二面角11B A E B --余弦值的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AE ，AF ，在ABC ∆中，11sin12022AB AC BC AE ⨯⨯⨯︒=⨯⨯，即112222AE ⨯⨯=， 解得1AE =，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AA AE ∴⊥，Rt △1A AE 中，1AA =，1AE =，12A E ∴=，12EF ∴=， 1A EAE EF AE=，AFE ∴∠是直角，1A E AF ∴⊥， E 是BC 中点，且ABC ∆是等腰三角形，AE BC ∴⊥，1AA BC ⊥，BC AF ⊥，1BC A E E =，AF ∴⊥平面1A B C ．（Ⅱ）解：AE BC ⊥，如图以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，tan 60AEBE ==︒，(B ∴，0，0)，1(0A ，1，(0E ，0，0)，1(B ，(EB =，1(0EA =，1，1(EB =，设面1BA E 的法向量(n x =，y ，)z ，面11B A E 的法向量(m x =，y ，)z ，则1300n EB n EA y ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，取1z =，得(0n =，1)， 1130m EB m EA y ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1z =，得(1m =，1)， 设二面角11B A E B --的平面角为θ， 则||cos ||||545m n m n θ===．∴二面角11B A E B --．19．某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额3000元）、专业二等奖学金（奖金额1500元）及专业三等奖学金（奖金额600元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次．图（1）是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图(2)是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图．（Ⅰ）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；（Ⅱ）若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列22⨯联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？（Ⅲ）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和期望．2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【解答】解：（Ⅰ）获得三等奖学金的概率为：(0.0080.0160.04)50.15(0.040.0560.016)50.4(0.0160.008)50.40.32++⨯⨯+++⨯⨯++⨯⨯= 0.32500160∴⨯=．故这500名学生获得专业三等奖学金的人数为160人．（Ⅱ）每周课外学习时间不超过35小时的“非努力型“学生有：500(0.0080.0160.040.560.016)5440⨯++++⨯=人，其中获得一、二等奖学金学生有500(0.0080.0160.04)50.05500(0.040.0560.016)5(0.250.05)92⨯++⨯+⨯++⨯⨯+=，每周课外学习时间超过35小时称为“努力型“学生有5000.1260⨯=人， 其中获得一、二等奖学金学生有60(0.350.25)36⨯+=人， 22⨯列联表如图所示：2500(348369224)42.3610.8344060128372K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关． （Ⅲ）X 的所有可能取值为：3000，1500，600，0(3000)(0.040.040.0560.016)50.05(0.0160.08)50.250.068P X ==+++⨯⨯++⨯⨯=，(1500)(0.0080.0160.04)50.05(0.040.0560.016)50.25(0.0160.005)50.350.156P X ==++⨯⨯+++⨯⨯++⨯⨯=(600)0.32P X ==(0)10.0680.1560.320.556P X ==---=，X 的分布列为：()30000.06815000.1566000.3200.556630E X =⨯+⨯+⨯+⨯=元20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>四个顶点中的三个是边长为的等边三角形的顶点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线y kx m =+与圆2222:3b O x y +=相切且交椭圆E 于两点M ，N ，求线段||MN 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中一个构成等边三角形，所以a =，b =3a =，所以椭圆E 的方程为22193x y +=； （Ⅱ）圆22:2O x y +=，因为直线y kx m =+与圆22:2O x y +=相切，=，即222(1)m k =+，联立方程22390y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩，得222(13)63(3)0k x kmx m +++-=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，122613kmx x k +=-+，21223(3)13m x x k -=+，由弦长公式21212|||()MN x x x x =-=+=，将222(1)m k =+，2222222(22)(71)12(9322)(22)(71)32||6613kkk k k kMNk++++--++===+…当且仅当222271k k+=+，即215k=时等号成立，弦长||MN21．已知函数()2(1)(axef x x ln x ea=+-+为自然对数的底数，a为常数，且0)a≠（Ⅰ）若函数在1x=处的切线与直线0ex y-=平行，求a的值；（Ⅱ）若()f x在(0,)+∞上存在单调递减区间，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数()2(1)(axef x x ln x ea=+-+为自然对数的底数，a为常数，且0)a≠，2()11axf x ex'=+-+，(1,)x∈-+∞，由f'（1）a e=，知a e e=，所以1a=，（Ⅱ）由题知：(0,)x∈+∞时，2()101axf x ex'=+-<+有解，当[1x∈，)+∞时，2()101axf x ex'=+->+恒成立，不存在单调递减区间；当(0x∈、1)时，2()101axf x ex'=+-<+有解等价于11xln axx-->+有解，设1()1xx ln axxϕ-=-+，22()1x axϕ'=--，(0,1)x∈，因为(0,1)x∈，2221x<--，①当2a-…时，22()01x axϕ'=-<-恒成立，1()1xx ln axxϕ-=-+在(0,1)x∈单调递减，()(0)0xϕϕ<=恒成立，不符合题意；②当2a<-时，21aa+<<，当x∈，22()01x axϕ'=->-，1()1xx ln axxϕ-=-+在x∈上单调递增，()(0)0xϕϕ>=，即11xln axx-->+，综上所述，2a<-；（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,([0,2)2sin x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，α为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换2,x x y y '=⎧⎨'=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ为极径，θ为极角）． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线:(0)OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线:(0)2OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211||||OA OB +的值． 【解答】解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为2cos ,([0,2)2sin x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，α为参数），转换为直角坐标方程为224x y +=．经过伸缩变换2,x x y y'=⎧⎨'=⎩得到曲线1C ，得到22416x y '+'=，转换为极坐标方程为2222cos 4sin 16ρθρθ+=．（Ⅱ）线:(0)OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线:(0)2OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，则2221cos sin 164ββρ=+，即2221cos sin ||164OA ββ=+， 同理22222cos ()sin ()1sin cos 22||164164OB ππββββ++=+==+，所以2211115||||16416OA OB +=+=． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数21()|||1|(0)a f x x x a a +=-+->，()4|1|g x x =-+． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x …的解集包含[1，2]，求a 的取值集合． 【解答】解：（1）当1a =时，23,2()|2||1|1,1223,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=⎨⎪-+<⎩剟． ()3f x …，∴2332x x -⎧⎨>⎩…或2331x x -+⎧⎨<⎩…，3x ∴…或0x …，∴不等式的解集为{|3x x …或0}x …； （2）不等式()()f x g x …的解集包含[1，2]，21|||1|4|1|a x x x a +∴-+--+…在[1，2]上恒成立．0a >，∴212a a+…， ∴2113a x x x a +-+--…，即14a x a +-…在[1，2]上恒成立， ∴1(4)422min a x a+-=-=…，1a ∴=，a ∴的取值范围为{1}．。
江西省南昌市2019届高三上学期开学摸底考试数学理试题Word版含答案
江西省南昌市2019届高三上学期开学摸底考试数学理试题本试卷共4页，23小题，满分150分. 考试时间120分钟.一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足(1i)2z +=，则复数z 的虚部为A ．1B ．1-C ．iD ．i - 2．设集合{}|21A x x =-≤≤，{}22|log (23)B x y x x ==--，则AB =A ．[2,1)-B ．(1,1]-C ．[2,1)--D ．[1,1)-3．已知1sin 3θ=，(,)2πθπ∈，则tan θ= A ．2- B．C．4- D．8-4．执行如图所示的程序框图，输出的n 为A ．1B ．2C ．3D ．45．设变量,x y 满足约束条件10220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩， 则32z x y =-的最大值为A ．2-B ．2C ．3D ．4 6．已知m ,n 为两个非零向量，则“m 与n 共线”是“||⋅=⋅m n m n ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A.23 B. 43 C.2 D. 838．函数sin()26x y π=+的图像可以由函数cos 2xy =的图像经过A ．向右平移3π个单位长度得到 B ．向右平移23π个单位长度得到C ．向左平移3π个单位长度得到 D ．向左平移23π个单位长度得到9．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在 前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种10．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆满足90AB ACB =∠=o，PA 为球O的直径且4PA =，则点P 到底面ABC的距离为AB ．C D ．11. 已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，且满足||2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =uu r uu r，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为A ．3B ．2 D ．3-12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线by x a=恰为线段2PF 的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为A B二．填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.13．高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，，8. 现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机 抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为 . 14．二项式52()x x-的展开式中3x 的系数为 .15．已知ABC ∆的面积为,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，3A π=，则a 的最小值为 .16．已知函数2ln(1),0,()=3,0x x f x x x x +>⎧⎨-+≤⎩，若不等式|()|20f x mx -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为 ．三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．(12分)已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，记(*)n n n b a S n N =∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T .微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK 或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：50018001（1）若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯（2）如果从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中随机抽取3人，设抽取的女性有X 人，求X 的分布列及数学期望()E X ．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．(12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=o，BAC ∠60CAD =∠=o，PA ⊥平面ABCD ，2,1PA AB ==.设,M N 分别为,PD AD 的中点. （1）求证：平面CMN ∥平面PAB ；（2）求二面角N PC A --的平面角的余弦值.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若54OM ON k k ⋅=，求原点O 到直线l 的距离的取值范围.21．(12分)设函数2()ln 2(,)f x x mx n m n =--∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有最大值ln 2-，求m n +的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），直线2C 的方程为3y x =，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程；（2）若直线2C 与曲线1C 交于,P Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值.23．[选修4—5：不等式选讲](10分)设函数()|23|f x x =-. （1）求不等式()5|2|f x x >-+的解集；（2）若()()()g x f x m f x m =++-的最小值为4，求实数m 的值.江西省南昌市2019届高三上学期开学摸底考试数学理试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合13．45 14. 10- 15. [3--三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17.【解析】（1）∵122n n S +=-， ∴当1n =时，1111222a S +==-=； 当2n ≥时，11222n n nn n n a S S +-=-=-=，又∵1122a ==， ∴2nn a =. ………………6分 （2）由（1）知，1242n n n n n b a S +==⋅-，∴1232311232(4444)(222)n n n n T b b b b +=++++=++++-+++124(14)4(12)24242141233n n n n ++--=⨯-=⋅-+--. ………………12分18.【解析】（1∴240(131278) 2.5 2.70620202119K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， ∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关. ………………6分（2）由（1）知，从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中男性6人，女性2人， 现从中抽取3人，抽取的女性人数X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为0，1，2，363820(0)56C P X C ===， 12263830(1)56C C P X C ===， 12623186(2)56C C P X C ===， …………9分 ∴X 的分布列如下：∴2030()012.5656564E X =⨯+⨯+⨯= 19.【解析】（1）证明：∵,M N 分别为,PD AD 的中点， ………………12分 则MN ∥PA .又∵MN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB .在Rt ACD ∆中，60,CAD CN AN ∠==o，∴60ACN ∠=o.又∵60BAC ∠=o ， ∴CN ∥AB .∵CN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴CN ∥平面PAB . ………………4分 又∵CN MN N =I ， ∴平面CMN ∥平面PAB . ………………6分 （2）∵PA ⊥平面ABCD，∴平面PAC ⊥平面ACD ，又∵DC AC ⊥，平面PAC I 平面ACD AC =，∴DC ⊥平面PAC ， 如图，以点A 为原点，AC 为x 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系， ∴(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,23,0)A C P D ，N，∴(1,3,0),(1,3,2)CN PN =-=-，设(,,)x y z =n 是平面PCN 的法向量，则0CN PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即020x x z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取=n ， 又平面PAC 的法向量为(0,CD =，∴cos ,|||CD CDCD ⋅===n n n |， 由图可知，二面角N PC A --的平面角为锐角，∴二面角N PC A --…………12分20.【解析】（1）设焦距为2c ，由已知2c e a ==，22b =，∴1b =，2a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ………………4分 （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=， 依题意，222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，①2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++， ………………6分 2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，若54OM ON k k ⋅=，则121254y y x x =， 即121245y y x x =，∴2212121244()45k x x km x x m x x +++=，∴222224(1)8(45)4()404141m kmk km m k k --⋅+⋅-+=++， 即222222(45)(1)8(41)0k m k m m k ---++=，化简得2254m k +=，②………………9分由①②得226150,5204m k ≤<<≤， ………………10分∵原点O 到直线l的距离d =，∴2222225941114(1)k m d k k k -===-++++， 又∵215204k <≤，∴2807d ≤<， ∴原点O 到直线l的距离的取值范围是. ………………12分 21.【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2114()4mx f x mx x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '>， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m >时，解()0f x '>得0x <<，∴()f x在上单调递增，在)+∞上单调递减. ………………6分 （2）由（1）知，当0m >时，()f x在上单调递增，在)+∞上单调递减.∴max 111()2ln 2ln ln 2422f x f m n m n m ==⋅-=----=-， ∴11ln 22n m =--， ∴11ln 22m n m m +=--，令11()ln 22h m m m =--，则121()122m h m m m -'=-=，∴()h m 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增，∴min 11()()ln 222h m h ==， ∴m n +的最小值为1ln 22. ……………………12分22.【解析】（1）曲线1C的普通方程为22((2)4x y +-=，即22430x y y +--+=，则1C的极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ--+=， …………………3分∵直线2C 的方程为3y x =， ∴直线2C 的极坐标方程()6R πθρ=∈. …………………5分（2）设1122(,),(,)P Q ρθρθ，将()6R πθρ=∈代入2cos 4sin 30ρθρθ--+=得，2530ρρ-+=，∴123ρρ⋅=， ∴12|||| 3.OP OQ ρρ⋅== …………………10分23.【解析】（1）∵()5|2|f x x >-+可化为|23||2|5x x -++>，∴当32x ≥时，原不等式化为(23)(2)5x x -++>，解得2x >，∴2x >； 当322x -<<时，原不等式化为(32)(2)5x x -++>，解得0x <，∴20x -<<；当2x ≤-时，原不等式化为(32)(2)5x x --+>，解得43x <-，∴2x ≤-.综上，不等式()5|2|f x x >-+的解集为(,0)(2,)-∞+∞. …………………5分（2）∵()|23|f x x =-，∴()()()|223||223|g x f x m f x m x m x m =++-=+-+-- |(223)(223)||4|x m x m m ≥+----=，∴依题设有4||4m =，解得1m =±. …………………10分。
江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题
19．(本小题满分 12 分) 市面上有某品牌 A 型和 B 型两种节能灯，假定 A 型节能灯使用寿命都超过 5000 小时. 经销商对 B 型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：
某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年.新店面需安装该品牌 节能灯 5 支（同种型号）即可正常营业.经了解，A 型 20 瓦和 B 型 55 瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安 装. 已知 A 型和 B 型节能灯每支的价格分别为 120 元、25 元，当地商业电价为 0.75 元/千瓦时.假定该店面正常 营业一年的照明时间为 3600 小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换.（用频率估计概率） （Ⅰ）若该商家新店面全部安装了 B 型节能灯，求一年内恰好更换了 2 支灯的概率； （Ⅱ）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由.
2
B. 4e2－4 e
2
C. 0
D. 4e2
10. 已知平面向量 a，b，a＝ (2cos，2sin )，b＝(cos，sin )，若对任意的正实数 ，| a－b|的最小值为 3 ， 则此时| a－b|＝ A.1 B. 2 C.
2
D.
3
11.已知 A（－ 3 ，0)，B ( 3 ，0) ，P 为圆 x 2y2＝1 上的动点， AP PQ ，过点 P 作与 AP 垂直的直线 l 交 直线 QB 于点 M ，则 M 的横坐标范围是
2
（Ⅱ）若不等式 f (2) 16 恒成立，求实数 m 的取值范围．
理科数学参考答案及评分标准
BCCBC DDACD AA
1 13． 2 3，
14.
3 3
7 15. 9
2019年9月江西省南昌市普通高中2020届高三上学期开学摸底调研考试(零模)数学(理)试题(解析版)
根据复数的运算法则，求得复数 ，即可得到复数的模，得到答案。
【详解】由题意，复数 ，解得 ，所以 ，故选D。
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
3.已知平面 内一条直线 及平面 ，则“ ”是“ ”的（ ）
【详解】双曲线 的一条渐近线为 ，
圆 ，圆心 ，半径
因为圆 上有且仅有两点到 的距离为1，
所以圆心 到 的距离 的范围为
即 ，
而
所以 ，即
故选C项.
【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离，双曲线的渐近线，求双曲线的离心率，属于中档题.
10.已知正实数 满足： ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由 ，根据等比数列的性质，可得 ，且 ，
所以 可能值为 或 或 ，
所以 不可能的是6，故选B。
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中熟记等比数列的性质是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
5.已知一组样本数据点 ，用最小二乘法求得其线性回归方程为 .若 的平均数为 ，则 （ ）
绝密★启用前
江西省南昌市普通高中
2020届高三年级上学期开学摸底调研考试(零模)
数学(理)试题
(解析版)
2019年9月
本试卷共4页，23小题，满分150分.考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.
2019年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x|x2﹣4＞0}，N＝{x|log2x＜1}，则（∁R M）∩N＝（）A．∅B．（0，2）C．（﹣2，2）D．[﹣2，2）2．（5分）已知复数z＝的实部等于虚部，则a＝（）A．﹣B．C．﹣1D．13．（5分）已知抛物线方程为x2＝2y，则其准线方程为（）A．y＝﹣1B．x＝﹣1C．D．4．（5分）已知{a n}为等差数列，若a2＝2a3+1，a4＝2a3+7，则a5＝（）A．1B．2C．3D．65．（5分）如图所示算法框图，当输入的x为1时，输出的结果为（）A．3B．4C．5D．66．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．14C．16D．207．（5分）2021年广东新高考将实行3+1+2模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率（）A．B．C．D．8．（5分）已知r＞0，x，y∈R，p：“|x|+≤1”，q：“x2+y2≤r2”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是（）A．（0，]B．（0，1]C．[，+∞）D．[2，+∞）9．（5分）已知f（x）在R上连续可导，f′（x）为其导函数，且f（x）＝e x+e﹣x﹣f'（1）x•（e x﹣e﹣x），则f'（2）+f'（﹣2）﹣f'（0）f'（1）＝（）A．4e2+4e﹣2B．4e2﹣4e﹣2C．0D．4e210．（5分）已知平面向量，，＝（2cosα，2sinα），＝（cosβ，sinβ），若对任意的正实数λ，|﹣λ|的最小值为，则此时|﹣|＝（）A．1B．2C．D．11．（5分）已知A（﹣，0），B（，0），P为圆x2+y2＝1上的动点，，过点P 作与AP垂直的直线l交直线QB于点M，则M的横坐标范围是（）A．|x|≥1B．|x|＞1C．|x|≥2D．|x|≥Z 12．（5分）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623﹣﹣1662）是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列前135项的和为（）A．218﹣53B．218﹣52C．217﹣53D．217﹣52二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设函数，则f（5）的值为．14．（5分）侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为．15．（5分）已知锐角A满足方程3cos A﹣8tan A＝0，则cos2A＝．16．（5分）定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．已知锐角三角形的三个顶点A，B，C，在半径为1的圆上，且∠BAC＝，分别以△ABC各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和△ABC构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的最大值是．三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）函数的部分图象如图所示，A（0，），C（2，0），并且ABx∥轴．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）求cos∠ACB的值．18．（12分）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）求证：AA1⊥BD；（Ⅱ）求二面角E﹣A1C1﹣C的余弦值．19．（12分）市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5000小时．经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业．经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时．假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换．（用频率估计概率）（Ⅰ）若该商家新店面全部安装了B型节能灯，求一年内恰好更换了2支灯的概率；（Ⅱ）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．20．（12分）如图，椭圆E：与圆O：x2+y2＝1相切，并且椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点N（1，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与E交于A，B两点，l2与圆O 的另一交点为M，求△ABM面积的最大值，并求取得最大值时直线l1的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（﹣x+lnx+a）（e为自然对数的底数，a为常数，且a≤1）．（Ⅰ）判断函数f（x）在区间（1，e）内是否存在极值点，并说明理由；（Ⅱ）若当a＝ln2时，f（x）＜k（k∈Z）恒成立，求整数k的最小值．选考题：共10分.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C的极坐标方程；（Ⅱ）设点M（2，1），直线l与曲线C相交于点A，B，求|MA|⋅|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+m2|+|x﹣2m﹣3|．（Ⅰ）求证：f（x）≥2；（Ⅱ）若不等式f（2）≤16，对于任意x恒成立，求实数m的取值范围．2019年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵x2﹣4＞0，∴x＜﹣2或x＞2，∴M＝（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∵log2x＜1，∴0＜x＜2，∴N＝（0，2），∴∁R M＝[﹣2，2]，∴（∁R M）∩N＝（0，2）．故选：B．2．【解答】解：∵z＝的实部等于虚部，∴，即a＝﹣1．故选：C．3．【解答】解：抛物线x2＝2y的准线方程为：y＝﹣，故选：D．4．【解答】解：∵{a n}为等差数列，a2＝2a3+1，a4＝2a3+7，∴，解得a1＝﹣10，d＝3，∴a5＝a1+4d＝﹣10+12＝2．故选：B．5．【解答】解：当x＝1时，x＞1不成立，则y＝x+1＝1+1＝2，i＝0+1＝1，y＜20不成立，x＝2，x＞1成立，y＝2x＝4，i＝1+1＝2，y＜20成立，x＝4，x＞1成立，y＝2x＝8，i＝2+1＝3，y＜20成立，x＝8，x＞1成立，y＝2x＝16，i＝3+1＝4，y＜20成立x＝16，x＞1成立，y＝2x＝32，i＝4+1＝5，y＜20不成立，输出i＝5，故选：C．6．【解答】解：根据三视图知，该几何体是直三棱柱去掉一个三棱锥，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为：V＝V三棱柱﹣V三棱锥＝×4×2×6﹣××4×2×3＝20．故选：D．7．【解答】解：今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则基本事件总数n＝＝6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，∴他们选课相同的概率p＝＝．故选：D．8．【解答】解：“|x|+≤1”，“x2+y2≤r2”表示的平面区域如图所示，由p是q的必要不充分条件，则圆心O（0，0）到直线AD：2x+y﹣2＝0的距离小于等于＝，即0，故选：A．9．【解答】解：函数f（﹣x）＝e﹣x+e x﹣f'（1）（﹣x）•（e﹣x﹣e x）＝f（x），即函数f（x）是偶函数，两边对x求导数得﹣f′（﹣x）＝f′（x）．即f′（﹣x）＝﹣f′（x），则f′（x）是R上的奇函数，则f′（0）＝0，f′（﹣2）＝﹣f′（2），即f′（2）+f′（﹣2）＝0，则f'（2）+f'（﹣2）﹣f'（0）f'（1）＝0，故选：C．10．【解答】解：﹣λ＝（2cosα﹣cosβ，2sinα﹣sinβ）∴|﹣λ|＝＝＝≥若cos（α﹣β）≤0，则当λ＝0时||有最小值，而λ≠0，故不成立．∴cos（α﹣β）＞0∴当λ＝2cos（α﹣β）时||有最小值，∴＝∴4﹣4cos2（α﹣β）＝3cos（α﹣β）＝，∴λ＝2cos（α﹣β）＝1∴|﹣|＝||＝故选：D．11．【解答】解：设P（x0，y0），则Q（2x0+，y0），当y0≠0时，k AP＝，k PM＝﹣，直线PM：y﹣y0＝﹣（x﹣x0），①直线QB：y﹣0＝（x﹣），②联立①②消去y得x＝，∴x0＝，由|x0|＜1得x2＞1，得|x|＞1，当y0＝0时，易求得|x|＝1，故选：A．12．【解答】解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n＝＝2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n＝，可得当n＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135，由于最右侧为2，3，4，5，……，为个首项是2公差为1的等差数列，则第16行的第16项为17，则杨辉三角形的前18项的和为S18＝218﹣1，则此数列前135项的和为S18﹣35﹣17＝218﹣53，故选：A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：∵函数，∴f（5）＝f（2）＝f（﹣1）＝（﹣1）2﹣2﹣1＝．故答案为：．14．【解答】解：如图，正三棱锥P﹣ABC中，O为底面中心，不妨设PC＝1，∵侧面为等腰直角三角形，∴BC＝，∴OC＝，∴OP＝，∴sin∠PCO＝，故答案为：．15．【解答】解：∵锐角A满足方程3cos A﹣8tan A＝0，可得：3cos2A＝8sin A，∵cos2A+sin2A＝1，∴3sin2A+8sin x﹣3＝0，解得：sin A＝，或﹣3（舍去），∴cos2A＝1﹣2sin2A＝1﹣2×＝．故答案为：．16．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得＝2，BC＝，由余弦定理设AB＝c，AC＝b，3＝b2+c2﹣2bc cos，即3＝b2+c2﹣3bc，即3bc＝（b+c）2﹣3，即（b+c）2﹣3≤3（）2，∴b+c≤2，当且仅当b＝c的等号成立，如图．各别中点设为D，E，F为三个半圆的圆心，假设圆D和圆E上两点G，F之间连线最长，则必过D，E，∵任意任取两点I，J，连接DI，DJ，EJ，则FG＝DF+DE+DG＝DI+DE+EJ＞DI+DJ＞IJ，连线最大，则必过任意两圆的圆心FG＝DF+DE+DG＝（b+c+）≤，当且仅当b＝c等号成立，故答案为：三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（Ⅰ）由已知，又，所以，所以………（3分）由f（2）＝0，即，所以，k∈Z，解得，k∈Z，而，所以．………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，得或，k∈Z，所以x＝6k或x＝6k+1，由图可知，．………（8分）所以，所以，………（10分）所以．……………………………………………（12分）18．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC1⊥底面ABCD，所以CC1⊥BD．因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1．………（3分）又由四棱台ABCD﹣A1B1C1D1知，A1，A，C，C1四点共面．所以BD⊥AA1．………（5分）解：（Ⅱ）如图，设AC交BD于点O，依题意，A1C1∥OC且A1C1＝OC，所以A1O∥CC1，且A1O＝CC1．所以A1O⊥底面ABCD．以O为原点，OA、OB、OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则，由＝，得B1（﹣）．因为E是棱BB1的中点，所以E（﹣）．………（8分）所以＝（），＝（﹣2，0，0）．设＝（x，y，z）为平面EA1C1的法向量，则，取z＝3，得＝（0，4，3），平面A1C1C的法向量＝（0，1，0），又由图可知，二面角E﹣A1C1﹣C为锐二面角，设二面角E﹣A1C1﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝，所以二面角E﹣A1C1﹣C的余弦值为．19．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：B型节能灯使用寿命超过3600小时的频率为0.0010×200＝0.2，用频率估计概率，得m型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为．所以一年内一支B型节能灯在使用期间需更换的概率为，．………（3分）所以一年内5支恰好更换了2支灯的概率为..………（5分）（Ⅱ）共需要安装5支同种灯管，若选择A型节能灯，一年共需花费5×120+3600×5×20×0.75×10﹣3＝870元；………（7分）若选择B型节能灯，由于B型节能灯一年内需更换服从二项分布，故一年需更换灯的支数的期望为支，………（9分）故一年共需花费元．………（11分）因为967.5＞870，所以该商家应选择A型节能灯．………………………………………（12分）20．【解答】解：（Ⅰ）椭圆E与圆O：x2+y2＝1相切，知b2＝1；……………………………（2分）又椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为，即椭圆中心O到椭圆最远距离为，得椭圆长半轴长，即；所以椭圆E的方程：…（5分）（Ⅱ）①当l1与x轴重合时，l2与圆相切，不合题意．②当l1⊥x轴时，M（﹣1，0），l1：x＝1，，此时．…（6分）③当l1的斜率存在且不为0时，设l1：x＝my+1，m≠0，则，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（2m2+3）y2+4my﹣1＝0，所以，……………（8分）所以．由得，，解得，…………（9分）所以，所以＝，……………（10分）因为，所以，当且仅当时取等号．所以（）综上，△ABM面积的最大值为，此时直线l1的方程为．……………（12分）21．【解答】解：（Ⅰ），令，则f'（x）＝e x g（x），恒成立，所以g（x）在（1，e）上单调递减，所以g（x）＜g（1）＝a﹣1≤0，所以f'（x）＝0在（1，e）内无解．所以函数f（x）在区间（1，e）内无极值点．（Ⅱ）当a＝ln2时，f（x）＝e x（﹣x+lnx+ln2），定义域为（0，+∞），，令，由（Ⅰ）知，h（x）在（0，+∞）上单调递减，又，h（1）＝ln2﹣1＜0，所以存在，使得h（x1）＝0，且当x∈（0，x1）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，当x∈（x1，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0．所以f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，+∞）上单调递减，所以．由h（x1）＝0得，即，所以，令，则恒成立，所以r（x）在上单调递增，所以，所以f（x）max＜0，又因为，所以﹣1＜f（x）max＜0，所以若f（x）＜k（k∈Z）恒成立，则k的最小值为0．选考题：共10分.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（θ为参数），得普通方程（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4，所以极坐标方程ρ2﹣8ρcosθ﹣6ρsinθ+21＝0．（Ⅱ）设点A、B对应的参数分别为t1、t2，将直线l的参数方程为（t为参数），转换为（t为参数），代入（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4，得到：，所以：t1t2＝4．则：|MA||MB|＝|t1t2|＝4．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝|x+m2|+|x﹣2m﹣3|≥|（x+m2）﹣（x﹣2m﹣3）|，所以f（x）≥|m2+2m+3|＝（m+1）2+2≥2．……………（5分）（Ⅱ）由已知，f（2）＝m2+2+|2m+1|，①当m≥﹣时，f（2）≤16等价于m2+2m+3≤16，即（m+1）2≤14，解得，所以；……………（7分）②当时，f（2）≤16等价于m2﹣2m+1≤16，解得﹣3≤m≤5，所以．……………（9分）综上，实数m的取值范围是．……………（10分）。
2019届江西省南昌市高三第一次模拟考试理科数学试卷【含答案及解析】
2019届江西省南昌市高三第一次模拟考试理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. ] 设复数z 1 ，z 2 在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1 =1+i，则z 1 z 2 =A. -2 _________B. 2 _________C. 1一i _________D. 1+i2. 已知集合A={x|y= ），B= {x| y=ln（1-x）}，则A B=A. [0,1]______________B. [0,1)______________C. (一∞,1]____________________ D. (一∞,1)3. ] 已知命题p：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：函数y=x 3 +sinx的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是A. p q____________________________B. p q______________C. ( p)( q)____________________ D. p ( q)4. ] 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )，(x 3 ，y 3 )，(x 4 ，y 4 )，(x 5 ，y5 )．根据收集到的数据可知x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =150，由最小二乘法求得回归直线方程为 = 0.67x+ 54.9，则y 1 +y 2 +y 3 +y 4 +y 5 的值为A.75B.155.4______________________________C.375___________________________________D.466.25. ] (x 2 一x+1) 3 展开式中x项的系数为A.-3____________________________________B. -1______________________________ C.1 _________________________________ D.36. ] 从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为A. ________________________B. _________________________________C.___________________________________ D.7. ] 若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为A. ____________________________B. ____________________C.1______________________________ D. 28. 甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有l门不相同的选法共有A. 30种________B. 36种C. 60种D. 72种9. 已知抛物线C：y 2 =8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP=3FQ，则|QF|=A. _________________________________B.___________________________________ C.3 ________________________ D.210. 如图网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为A. 1 ____________________B. 2___________C. 3 ____________________D. 411. 已知点P在直线x+3y-2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M(x 0 ，y 0 )，且y 0 <x 0 +2，则的取值范围是A. [一，0）_____________________________________B. （一，0）C. （一，+∞）D. （一∞，一）（0,+∞)12. 已知函数f(x)的定义域为D，若对于 a，b，c∈D，．f(a)，f (b)，f(c)分别为某个三角形的三边长，则称f(x)为“三角形函数”．给出‘F列四个函数：①f(x)=lnx(x>1)，②f(x)=4+sinx，③f(x)= (1≤x≤8)，④f(x)= ，其中为“三角形函数”的个数是A. 1 ________________________B. 2 ____________________C. 3______________________________ D. 4二、填空题13. 已知向量a=(1， )，向量a，c的夹角是，a c=2，则|c|等于____________________________ 。
【精选五套高考模拟卷】2019年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2019年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A．∅B．（0，1] C．（0，1）D．（1，+∞）2．若复数，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．67．已知函数的周期为π，若f（α）=1，则=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（）A．B．C．D．9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．7010．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．3211．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则∠AFB的最大值为（）A．B． C． D．12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f（x）=lnx﹣x+1，若函数g （x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为．14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和T2n．18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2019年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算2019年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校2019年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X 的分布列及数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD为正三角形．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；（Ⅱ）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值．20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2（x＞0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．2019年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A．∅B．（0，1] C．（0，1）D．（1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由对数函数的定义域求出A，由函数的值域求出B，由补集和交集的运算求出答案，【解答】解：由题意知，A={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），又，则B={y|y≥1}=[1，+∞），即C U B=（﹣∞，1），所以A∩（C U B）=（0，1），故选C．2．若复数，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：，故选：C．3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α=+2π，β=，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件，故选：D．4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg【考点】线性回归方程．【分析】根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D错误．故选：D．5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，利用离心率为2，求出m的值．【解答】解：因为圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，所以离心率为，故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．6【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的S，i的值，即可得出跳出循环时输出S的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：由，当i=7时，进入循环，得，当i=8退出循环，输出，故选：B．7．已知函数的周期为π，若f（α）=1，则=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的周期求出ω的值，再化简f（α+）并求值．【解答】解：因为函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=Asin（2x+φ），又f（α）=Asin（2α+φ）=1，∴f（α+）=Asin[2（α+）+φ]=Asin（2α+3π+φ）=﹣Asin（2α+φ）=﹣1．故选：B．8．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得AB，利用余弦定理，可得结论．【解答】解：因为圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得：∴由余弦定理有，故选D．9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．70【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．【分析】设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，列出方程组求得甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．【解答】解：设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，则，解得x=72，y=32，z=4．∴甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．故选：B．10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，即可得出结论．【解答】解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，等于，故选A．11．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则∠AFB的最大值为（）A．B． C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．【解答】解：因为，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以．在△AFB中，由余弦定理得：=．又．所以，∴∠AFB的最大值为，故选D．12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f（x）=lnx﹣x+1，若函数g （x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】确定函数为偶函数则其周期为T=2，函数在x∈[1，2]为减函数，作出函数的图象，得出当x＜0时，要使符合题意则，根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．即可得出结论．【解答】解：因为函数f（2﹣x）=f（x）可得图象关于直线x=1对称，且函数为偶函数则其周期为T=2，又因为，当x∈[1，2]时有f'（x）≤0，则函数在x∈[1，2]为减函数，作出其函数图象如图所示：其中，当x＜0时，要使符合题意则根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．综上所述，实数m的取值范围为，故选A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为120 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得出．【解答】解：根据题意（1+2x）6（1+y）5=，∴xy3的系数为=120，故答案为：120．14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量投影的定义，利用数量积的运算求出对应的值即可．【解答】解：单位向量的夹角为，，则在上的投影是：||cos＜，＞==•=（2﹣）•=2﹣•=2﹣1×1×1×cos=．故答案为：．15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由圆锥及圆柱的几何特征可得，该几何体由两个底面相待的圆锥和圆柱组合而成，其中圆柱和圆锥的高均为1，代入圆柱和圆锥的体积公式，即可得到答案．【解答】解：由图中数据可得：，S圆柱侧=π×2×1=2π，．所以几何体的表面积为．故答案为：．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，推导出．从而等差数列后三项和为．法一：设x=2cosα，y=2sinα，利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值．法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，由此能求出这个等差数列后三项和的最大值．【解答】解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则x+y=a+c=2b，∴．则等差数列后三项和为=．（另解：由等差数列的性质有x+y=a+c=2b，所以．）方法一：因为x2+y2=4，设x=2cosα，y=2sinα，所以．方法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，所以当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，此时，即，∴．故答案为：．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和T2n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据题意、等差数列的性质以及通项公式列出方程，求出公差d，由等差数列的通项公式求出a n；（Ⅱ）由（I）化简b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，利用并项求和法和等差数列的前n项和公式求出数列{b n}的前2n 项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即3a2=a5，则3（1+d）=1+4d，解得d=2﹣﹣﹣﹣﹣所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以=4[12﹣22+32﹣42+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=﹣4（1+2+3+4+…+2n﹣1+2n）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2019年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算2019年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校2019年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X 元，求X 的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（I ）利用直方图的性质即可得出．（Ⅱ）由题可知，X 的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，利用二项分布列的概率与数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可估算2019年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为： （0.1+0.2）×365=0.3×365=109.5≈110（天）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由题可知，X 的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 则：，，，，，，．∴X的分布列为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=9000（元）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD为正三角形．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；（Ⅱ）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，推导出AD⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAD．（Ⅱ）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：有∴在△ABD中，有AB2=AD2+BD2，即AD⊥BD又因为平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，∴BD⊥平面PAD．﹣﹣﹣﹣﹣解：（Ⅱ）由平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD，得PE⊥平面ABCD．如图所示，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由条件AD=DC=BC=2，则AE=DE=1，，．则D（0，0，0），E（1，0，0），，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在等腰梯形ABCD中，过点C作BD的平行线交AD延长线于点F如图所示：则在Rt△CDF中，有，DF=1，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（另解：可不作辅助线，利用求点C坐标）∴，，设平面PDC的法向量则，取，则y1=1，z1=﹣1，∴面PDC的法向量．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣同理有，，设平面PBE的法向量则，取y2=1，则，z2=0，∴面PBE的法向量．﹣﹣设平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角为θ，∴．即平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意得a=4﹣2c，由椭圆的离心率，得a=2c，求出a，b，由此能示出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，联立直线和直线可得点，猜想点G在直线x=1上，对猜想给予证明，得到点G在定直线上x=1上．法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），由B，M，N三点共线，得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0，再由A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．法三：设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．【解答】解：（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意可知：，即a=4﹣2c①又因为椭圆的离心率，即a=2c②联立方程①②可得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3所以椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解：（Ⅱ）解法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，则联立直线和直线可得点据此猜想点G在直线x=1上，下面对猜想给予证明：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0由韦达定理可得，（*）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为直线，，联立两直线方程得（其中x为G点的横坐标）即证：，即3k（x1﹣4）•（x2﹣2）=﹣k（x2﹣4）•（x1+2），即证4x1x2﹣10（x1+x2）+16=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将（*）代入上式可得此式明显成立，原命题得证．所以点G在定直线上x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，因为B，M，N三点共线，所以，整理得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又A1，M，G三点共线，有：①又A2，N，G三点共线，有：②，将①与②两式相除得：即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0即代入得：解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法三：由题意知l与x轴不垂直，设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，则，，，由A1，M，G三点共线，有：①由A2，N，G三点共线，有：②①与②两式相除得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2（x＞0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，从而求出最小值的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=2e x+（2x﹣4）e x+2a（x+2）=（2x﹣2）e x+2a（x+2），依题意：当x＞0时，函数f'（x）≥0恒成立，即恒成立，记，则=，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以，所以；﹣﹣﹣（Ⅱ）因为[f'（x）]'=2xe x+2a＞0，所以y=f'（x）是（0，+∞）上的增函数，又f'（0）=4a﹣2＜0，f'（1）=6a＞0，所以存在t∈（0，1）使得f'（t）=0且当a→0时t→1，当时t→0，所以t的取值范围是（0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又当x∈（0，t），f'（x）＜0，当x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，所以当x=t时，．且有由（Ⅰ）知，在（0，+∞）上单调递减，又，g（1）=0，且，故t∈（0，1），∴，t∈（0，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣记h（t）=e t（﹣t2+t﹣2），则h'（t）=e t（﹣t2+t﹣2）+e t（﹣2t+1）=e t（﹣t2﹣t﹣1）＜0，所以h（1）＜h（t）＜h（0），即最小值的取值范围是（﹣2e，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述，实数a的值为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由绝对值的几何意义知，由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，（x）在单调递减，在单调递增，利用函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）由题f（x）≤2﹣|x﹣1|，即为．而由绝对值的几何意义知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，∴，即0≤a≤4．∴实数a的取值范围[0，4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图可知f（x）在单调递减，在单调递增，∴，得a=﹣4＜2（合题意），即a=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2019年3月15日Administrator A d m i n i s t r a t o r aC h i n a 爅-; " 鄇,侧视方向ABCA 1B 1C1DCBA数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题(图片版)
NCS20190607 项目第一次模拟测试理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案BCCBCDDACDAA二、填空题 : 本大题共 4 小题 , 每小题 5 分，满分 20 分．13． 114.3 15. 716.332392三．解答题：共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 17 题 -21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22 题、 23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分． 17．【解析】（Ⅰ）由已知 f (0) 2 sin3 ，又 | |，所以，所以 f ( x)2 sin( x) ⋯⋯⋯ 3 分233由 f (2)0 ，即 2sin(2) 0 ，所以 23k ， kZ ，k3解得， kZ ，而 0，所以.⋯⋯⋯ 6 分2362（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f ( x)2 sin(x ) ， 令 f ( x) 3 ，3 32得x 2k或 x2kZ ，33 ， k3 333所以 x6k 或 x 6k 1 ，由图可知，B(1, 3) .⋯⋯⋯ 8 分 所以 CA ( 2,3), CB( 1, 3) ，所以 | CA |7, |CB | 2 ，⋯⋯⋯ 10 分所以 cosACBCA CB 55 7⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分.|CA || CB |2 7 1418．【解析】（Ⅰ）证明：因为 CC 1 底面 ABCD ，所以 CC 1BD .因为底面 ABCD 是菱形，所以 BD AC .又 AC CC 1 C ，所以 BD平面 ACC 1 .⋯⋯⋯ 3 分又由四棱台 ABCDA 1B 1C 1D 1 知， A 1 , A, C, C 1四点共面 .所以 BDAA 1 .⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）如图，设AC 交 BD 于点 O ，依题意， A 1C 1 // OC 且 A 1C 1 OC ，所以 A 1O // CC 1 ，且 A 1OCC 1 . 所以 A 1O底面 ABCD .以 O 为原点， OA,OB,OA 1 所在直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 .则 A(2 3,0), A 1 (0,0,4), C 1( 2 3,0,4), B(0,2,0) ，由 A 1B 11AB 得， B 1 ( 3,1,4) .因为 E 是棱 BB 1 的中点，所以 E(3 , 3 ,2) .⋯⋯⋯ 8 分22 2所以 EA 1 ( 3,3,2), A 1C 1 ( 2 3,0,0) .n 1x y z ) 为平面 EA 1C 1n 1 A 1C 10, ，即2 3x 0,设 的法向量，则3 3 ，( , ,n 1 EA 1xy 2z 02 2取 z3 ，则 n 1 ( 0,4,3) .又因为 n 2(0,1,0) 为平面 A 1C 1C 的法向量，所以 cosn 1, n 2n 1 n 24E A 1C 1 C 为锐二面角，| n 1 || n 2 | ， 又由图可知，二面角5所以二面角 EA 1C 1 C 的余弦值为4. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分5B 型节能灯使用寿命超过3600 小时的频率为 0.2 ，19．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，用频率估计概率，得B 型节能灯使用寿命超过3600 小时的概率为 1.4 ，.5所以一年内一支 B 型节能灯在使用期间需更换的概率为⋯⋯⋯ 3 分5所以一年内 5 支恰好更换了支灯的概率为2421 3322 C 5 ( 5 )( 5 ) 625 ..⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）共需要安装 5 支同种灯管，若选择 A 型节能灯，一年共需花费 5 120 3600 5200.75 103870 元；⋯⋯⋯ 7 分若选择 B 型节能灯，由于B 型节能灯一年内需更换服从二项分布B(5, 4) ，545故一年需更换灯的支数的期望为4 支，⋯⋯⋯ 9 分5故一年共需花费 (545) 25 3600 5 55 0.75 10 3967.5 元 .⋯⋯⋯ 11 分5因为 967.5 870 ，所以该商家应选择 A 型节能灯 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分20．【解析】（Ⅰ）椭圆 E 与圆 O ： x y 1b 1； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分22相切，知2又椭圆 E 上动点与圆 O 上动点间距离最大值为26，即椭圆中心 O 到椭圆最远距离为6 ，22得椭圆长半轴长 a6 ，即 a23 ；22所以轨迹 E 的方程为2x 2y21 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分3（Ⅱ）①当 l 1 与 x 轴重合时， l 2 与圆相切，不合题意 .②当 l 1x 轴时， M ( 1,0) ， l 1 : x1 ， | AB |3 ，此时 S ABM1 2 3 2 2 323 .⋯ 6 分3③当 l 1 的斜率存在且不为0 时，设 l 1 : xmy 1， m 0 ，则 l 2 : x1 y1，x my1, m设 A(x 1, y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ，由 2x2y2 1 得， (2m23) y24my1 0 ，所以 | AB | 1 m2| y 2y 1 | 2 3 m2 1 2m 21 .2m 23由x111) y2 20 ，解得 y M2m⋯⋯⋯⋯ 9 分2 my 1,得， (2ym 2，x y 21mm1所以 | MN | 11 | y M |21 ，m 2m2所以 S ABM1| AB || MN | 1 2 3 m 2 1 2m 2 1222 2m 23 m 212 3 2m 2123，⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分2m 2322 12m2m21因为 2m2221 1， 所以 2m 12m 22 2 ，1当且仅当 m2时取等号 .所以 S ABM6 2 362（ 2 ）23综上， ABM 面积的最大值为6，此时直线 l 1 的方程为 x2 y 1.⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21221．【解析】（Ⅰ） f ( x) e x(ln x x a 1) ，⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分1 x令 g(x) ln x x a 1, x (1, e) ，则 f ( x) e xg ( x) ，xg (x) x 2 x 1 0 恒成立，所以 g(x) 在 (1, e) 上单调递减，⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分x 20 ，所以 f ( x) 0 在 (1, e) 内无解 .所以 g( x) g(1) a 1所以函数 f ( x) 在区间 (1, e) 内无极值点 .⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）当 aln 2 时， f ( x) e x( x ln x ln 2) ，定义域为 (0,) ，f ( x)e x(ln xx1 ln2 1) ，令 h( x) ln x x 1 ln 2 1，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 x h( 1) 1 x由（Ⅰ）知， h( x) 在 ( 0, ) 上单调递减，又 0 ， h(1) ln 2 1 0 ，(1,1) ，使得 h(x 1 ) 2 2所以存在 x 1 0 ，且当 x (0, x 1) 时， h(x) 0 ，即 f ( x) 0 ，2当 x (x 1, ) 时， h( x) 0 ，即 f (x) 0 .⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分 所以 f (x) 在 (0, x 1 ) 上单调递增，在 ( x 1, ) 上单调递减，所以 f (x) max f ( x 1 )e x1( x 1ln x 1 ln 2) .⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分由 h(x 1 )0 得 ln x 1 x 11ln 2 1 0 ，即 ln x 1 x 1ln 2 11，所以 f (x 1) ex 1(11) ， x 1 ( 1,1)⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分x 12令 r (x) e x(11), x ( 1,1) ，则 r ( x) e x( 121 1) 0 恒成立，所以 r (x) 在 ( 1,1) 上x 2x x 2单调递增，所以er ( 1) r (x) r (1)0 ，所以 f ( x)max0，⋯⋯⋯ 11 分2111e又因为 f (e 2(ln 2 ln 2)1 ，) 2 22所以 1 f (x )max 0 ， 所以若 f ( x) k (k Z ) 恒成立，则 k 的最小值为 0 . ⋯12 分22．【解析】（Ⅰ）由参数方程x 4 2 cos，得普通方程 (x - 4)2 + ( y - 3)2 = 4 ，y 3 2 sin所以极坐标方程 r2- 8r cosq-6r sin q + 21= 0 .⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 （Ⅱ）设 点 A, B 对应的参数分别为t 1 、 t 2 ， 将x 2 t ,y 1 代入得 ( x - 4)2 + ( y - 3)2= 43tt2( 3 1)t1 0 ， 所以 t 1t 21，⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分x1x 2 t ,2(2t),2直线 l:（ t 为参数）可化为，13y3ty 1(2t )2所以 | MA | | MB || 2t 1 || 2t 2 | 4| t 1t 2 | 4 .⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分23．【解析】（Ⅰ）因为 f ( x) = | x + m 2 | + | x - 2m- 3|? | ( x m 2) - ( x - 2m - 3)|， 所以 f (x) | m 22m 3| (m1)22 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）由已知，f(2)m 22| 2 1 |，m①当 m1 时， f (2) ￡16 等价于 m 22m 316 ，即 (m 1)214 ，2解得 141m14 1 ，所以1 m14 1；⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分21②当 m时， f (2) ￡16 等价于 m 22m 1 16 ，2解得 3 m 5，所以 3 m1 .⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分2综上，实数 m 的取值范围是 [ 3, 14 1] .⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分。
【市级联考】江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题(原卷版)
NCS20190607项目第一次模拟测试卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则( )A. B. C. D.2.已知复数的实部等于虚部，则( )A. B. C. -1 D. 13.已知抛物线方程为，则其准线方程为( )A. B. C. D.4.已知为等差数列，若，，则( )A. 1B. 2C. 3D. 65.如图所示算法框图，当输入的为1时，输出的结果为( )A. 3B. 4C. 5D. 66.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.7.2021年广东新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( )A. B. C. D.8.已知，，：“”，：“”，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.9.已知在上连续可导，为其导函数，且，则( )A. B. C. 0 D.10.已知平面向量，，，，若对任意的实数，的最小值为，则此时( )A. 1B. 2C.D. 或11.已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )A. B. C. D.12.杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为( )A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数，则的值为__________．14.侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为__________．15.已知锐角满足方程，则__________．16.定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.函数（，）的部分图像如下图所示，，，并且轴.（1）求和的值；（2）求的值.18.如图，四棱台中，底面是菱形，底面，且，，是棱的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.19.市面上有某品牌型和型两种节能灯，假定型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年.新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业.经了解，型20瓦和型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装.已知型和型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换.（用频率估计概率）（1）若该商家新店面全部安装了型节能灯，求一年内恰好更换了2支灯的概率；（2）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由.20.如图，椭圆：与圆：相切，并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，，与交于两点，与圆的另一交点为，求面积的最大值，并求取得最大值时直线的方程.21.已知函数（为自然对数的底数，为常数，并且）.（1）判断函数在区间内是否存在极值点，并说明理由；（2）若当时，恒成立，求整数的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上. 22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于点，求的值.23.已知函数.（1）求证：；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.。
江西省南昌市2019届高三上学期调研测试卷(数学理)
江西省南昌市2019届高三上学期调研测试卷（数学理）数 学 (理科)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分． 第I 卷考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，34π3V R =那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)kk n kn n P k C p p -=-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|ln }A x y x ==，集合{2,1,1,2}B =--，则A B =A ．(1,2)B ．{1,2}C ．{1,2}--D ．(0,)+∞2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz = A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ．2i -+3．若函数2()()f x x ax a =+∈R ，则下列结论正确的是 A ．存在a ∈R ，()f x 是偶函数 B ．存在a ∈R ， ()f x 是奇函数C ．对于任意的a ∈R ，()f x 在(0,＋∞)上是增函数D ．对于任意的a ∈R ，()f x 在(0,＋∞)上是减函数 4．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆， 那么这个几何体的体积为A ．32πB ．2πC ．3πD ．4π5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S -=，，则数列{}n a 的公差是A ．12 B ．1 C ．2 D ．36．若下框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．9k =B ．8k ≤C ．8k <D ．8k > ]7．已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4,最小值为0,最小正周期为π2，直线π3x =是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是A.π4sin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.π2sin 223y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ C.π2sin 423y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ D.π2sin 426y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭8．设⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=],1[,1]1,0[,)(22e x x x x x f （其中e 为自然对数的底数），则⎰2)(e dxx f 的值为A ．43B ．35C ．37D ．389．设圆C 的圆心在双曲线2221(0)2x y a a -=>的右焦点上，且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线:30l x y -=截得的弦长等于2，则a =A 146 C 2 D ．210．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD —A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱A1D1始终与水面EFGH 平行；④当1E AA∈时，AE BF +是定值. 其中正确说法是A ． ①②③B ．①③C ．①②③④D ．①③④二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在题中横线上．11．函数f(x)=229log (1)x x --的定义域为_________.12．已知O 为坐标原点，点(3,2)M ，若(,)N x y 满足不等式组104x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则OM ON ⋅的最大值为__________. 13.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若2,11===AA AC AB ,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
江西省南昌市2019学年度高三第一次模拟测试(数学理)
江西省南昌市2019学年度高三第一次模拟测试数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。
考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
若在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式： 样本数据n x x x ,,,21 的标准差 锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n L 13V Sh x 其中为样本平均数S 其中为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V Sh 2344,3S R V R 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．右图是计算函数ln(),20,232,3x x x y x x的值的程度框图， 在①、②、③处应分别填入的是 （ ）A ．ln(),0,2x y x y yB ．ln(),2,0x y x y yC ．0,2,ln()x y y y xD ．0,ln(),2x y y x y2．下列命题中是假命题的是 （ ）A ．存在,,tan()tan tan R 使B ．对任意20,lg lg 10x x x 有C ．△ABC 中，A>B 的充要条件是sin sin A BD ．对任意,sin(2)R y x 函数都不是偶函数3．设集合20{|(3106)0,0}x P x t t dt x ，则集合P 的非空子集个数是 （ ）A ．2B ．3C ．7D ．84．甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表如下，若甲、乙小组的平均成绩分别是X 甲，X 乙，则下列结论正确的是 （ ）A ．X 甲>X 乙，甲比乙成绩稳定B ．X 甲>X 乙，乙比甲成绩稳定C ．X 甲<X 乙，甲比乙成绩稳定D ．X 甲<X 乙，乙比甲成绩稳定5．若()2sin()f x x m ，对任意实数t 都有()(),()3888f t f t f 且，则实数m 的值等于（ ） A ．—1 B ．±5C ．—5或—1D ．5或1 6．若9()x y x 按的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且1,0,x y xy x则的取值范围是（ ） A ．1(,)5 B ．4[,)5 C ．4(,]5 D ．(1,)7．在棱长不a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，则点C 到平面A 1DM 的距离为 （ ）A ．63a B ．66a C ．22a D ．12a 8．抛物线22(0)y px p 焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，交准线于C 点，点A 在x 轴上方，AK ⊥l ，垂足为K ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则△AKF 的面积是 （ ）A ．4B ．33C ．43D ．89．定义12a b ab ka，则方程0x x 有唯一解时，实数k 的取值范围是（ ） A ．{5,5}B ．[2,1][1,2] UC ．[5,5]D ．[5,1][1,5] U 10．函数()(2010)(2011)f x x x 的图象与x 轴、y 轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是（ ） A ．（0，1） B ．2010(0,)2009 C ．2011(0,)2010 D ．1(0,)2第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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2019届江西南昌市高三上学期摸底调研数学（理）试
卷【含答案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 集合，，则
（）
A． B． C．
D．
2. 已知复数（其中是虚数单位），那么的共轭复数是（）
A． B． C． D．
3. 展开式中第3项的二项式系数为（）
A．6 B．-6 C．24 D．-24
4. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
5. 一次选拔运动员，测得7名选手的身高（单位：）分布茎叶图如图，测得平均身高为177 ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为，那么的值为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
6. 命题“ ，”的否定是（）
A． B．
C． D．
7. （）
A. 0
B.
C.
D. 1
8. 若定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（）
A． B．________
C． D．
9. 已知一个几何体的三视图如图所示，若该几何体外接球的表面积为，则
（）
A．1 B． C． D．2
10. 若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（）
A． B． C．2 D．
11. 设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：
，，，给出下列结论：（1）；（2）
；（3）是数列中的最大项；（4）使成立的最大自然数等于4031，其中正确的结论为（）
A．（2）（3） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）
12. 如图，在四面体中，已知，，那么在面
内的射影必在（）
A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部
二、填空题
13. 已知平面向量，，若与垂直，则实数
________________________ .
14. 已知数列的通项为，则数列的前50项和
________________________ .
15. 已知满足，且的最大值是最小值的-2倍，则
的值是________________________ .
16. 直线经过点且与曲线相切，若直线不经过第四象限，则直线的方程是________________________ .
三、解答题
17. 在中，已知 .
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的值.
18. 如图，直三棱柱中，，，点
在线段上.
（1）若是中点，证明：平面；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值。
19. 某校高一年级学生身体素质体能测试的成绩（百分制）分布在内，同时
为了了解学生爱好数学的情况，从中随机抽取了名学生，这名学生体能测试成绩
的频率分布直方图如图所示，各分数段的“爱好数学”的人数情况如表所示.
（1）求的值；
（2）用分层抽样的方法，从体能成绩在的“爱好数学”学生中随机抽取6人
参加某项活动，现从6人中随机选取2人担任领队，记体能成绩在内领队人数
为人，求的分布列及数学期望.
20. 已知椭圆短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的
直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上任意一点作圆的切线，与椭圆交于两点，以为直径的圆是否过定点，如过，求出该定点；不过说明理由.
21. 已知函数的函数图象在点处的切线平行于轴. （1）求函数的极值；
（2）若直线与函数的图象交于两点，求证： .
22. 如图，在中，，平分，交于点，过点作交于点 .
（1）求证：；
（2）已知，，求的长.
23. 将圆每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线
.
（1）写出的参数方程；
（2）设直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求：过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.
24. 设函数 .
（1）解不等式；
（2）若，使得，求实数的取值范围.
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】
第23题【答案】
第24题【答案】。