《归纳、类比、演绎推理》课件
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实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行 对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他 方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式， 类比推理是否正确是需要证明的。
归纳、类比、演绎推理
复习回顾：
1.推理：从一个或几个已知命题得出另一
个新命题的思维过程。 前提 －－－推理所依据的命题. 推理 结论 －－－根据前提所得到的命题.
2.合情推理
归纳推理
类比推理
3、归纳推理的定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征, 归纳推理： 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实推演出一般性的结论的推理,称为归纳 推理(简称归纳).
4、归纳推理的思维过程如下：
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到 一般的推理。
5、归纳推理的一般模式: S1具有P, S2具有P, …… Sn具有P, (S1,S2,…,Sn是A类事物的对象）
所以A类事物具有P
6、归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；
火星
地球
相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部 分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。 地球上有生命 猜想 火星上可能有生命
上述推理是怎样的一个过程呢？（步骤）
情景创设：
3.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇.
4.利用平面向量的本定理类比得到空间向量的 基本定理.
纠正典型错误
⑴ 归纳推理的结论不一定正确
2 1 5, 2 1 17, 2 1 257, 2 1 65 537 都是质数
24 23 22
21
费马猜想：任何形如
2 1(n N ）的数都是质数．
*
2n
反例 F 225 1 4294967297 5
641 6700417, 并不是素数。
……
六条直线相交，最多有几个交点？
……
n条直线相交，最多有几个交点？
2 2 3 3 4 4 练习 4： 已 知 2 2 ， 3 3 ， 4 4 ， 3 3 8 8 15 15 a a ， 若 6 6 ， (a, b均 为 实 数 ） ， 请 推 测 a __ b __ b b
’
例1：类比平面内直角三角形的勾股定 理,试给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个 “斜面” S
归纳推理：归纳推理的前提是几个已知的特殊现 象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该 结论超越了前提所包容的范围，是从特殊到一般 得命题的猜测，是否正确是需要证明的。
猜想 猜想
不等式
a>b a>b
猜想
a+c>b+c ac>bc a2>b2
a>b
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
构建数学：
通过例1，你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d .
2. 凸n边形有多少条对角线？
凸四边形有2条对角线，
凸五边形有5条对角线， 比凸四边形多3条；
凸六边形有9条对角线， 比凸五边形多4条；
……
凸n边形有多少条对角线？
猜想：凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线。由此，凸n边形 对角线条数为2+3+4+5+…+(n-2).
3.在同一平面内，两条直线相交，有一个交点； 三条直线相交，最多有几源自文库交点？ 四条直线相交，最多有几个交点？
构建数学：
类比推理的定义:
类比推理：根据两个（或两类）对象之间在
某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方 面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比 推理.(简称：类比)
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的特点:
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特 殊属性.即类比推理是由特殊到特殊的推理． 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发 现的功能.
类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想；
数学应用：
例1：试根据等式的性质猜想不等式的性质. 解：等式与不等式有不少相似的属性，例如：
等式
a+c=b+c (2) a=b ac=bc (3) a=b a2=b2等等 (1) a=b
情景创设1： 从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班 （后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次 去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这 桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
情景创设2：
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
7、归纳推理的几个特点:
1.归纳推理是依据特殊现象推断一般现象,因而,由 归纳推理所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推 断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.结论是否 真实，还需经过逻辑证明和实践证明，因此它不能 作为数学证明工具。 3.归纳推理的前提是特殊的情况,因而归纳推理是 立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳推理是 一种具有创造性的推理，通过归纳得到的猜想可作 为进一步研究得起点，帮助人们发现问题和提出问 题。
数学巩固：
1. 观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：
(1)
1 1 , 2 2
1 1 2 , 2 6 3
1 1 1 3 , 2 6 12 4
1 1 1 1 4 , 2 6 12 20 5
(2) 1＝1，1-4＝－（1+2），1-4+9＝1+2+3， 1-4+9-16＝－（1+2+3+4），……
类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行 对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他 方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式， 类比推理是否正确是需要证明的。
归纳、类比、演绎推理
复习回顾：
1.推理：从一个或几个已知命题得出另一
个新命题的思维过程。 前提 －－－推理所依据的命题. 推理 结论 －－－根据前提所得到的命题.
2.合情推理
归纳推理
类比推理
3、归纳推理的定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征, 归纳推理： 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实推演出一般性的结论的推理,称为归纳 推理(简称归纳).
4、归纳推理的思维过程如下：
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到 一般的推理。
5、归纳推理的一般模式: S1具有P, S2具有P, …… Sn具有P, (S1,S2,…,Sn是A类事物的对象）
所以A类事物具有P
6、归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；
火星
地球
相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部 分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。 地球上有生命 猜想 火星上可能有生命
上述推理是怎样的一个过程呢？（步骤）
情景创设：
3.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇.
4.利用平面向量的本定理类比得到空间向量的 基本定理.
纠正典型错误
⑴ 归纳推理的结论不一定正确
2 1 5, 2 1 17, 2 1 257, 2 1 65 537 都是质数
24 23 22
21
费马猜想：任何形如
2 1(n N ）的数都是质数．
*
2n
反例 F 225 1 4294967297 5
641 6700417, 并不是素数。
……
六条直线相交，最多有几个交点？
……
n条直线相交，最多有几个交点？
2 2 3 3 4 4 练习 4： 已 知 2 2 ， 3 3 ， 4 4 ， 3 3 8 8 15 15 a a ， 若 6 6 ， (a, b均 为 实 数 ） ， 请 推 测 a __ b __ b b
’
例1：类比平面内直角三角形的勾股定 理,试给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个 “斜面” S
归纳推理：归纳推理的前提是几个已知的特殊现 象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该 结论超越了前提所包容的范围，是从特殊到一般 得命题的猜测，是否正确是需要证明的。
猜想 猜想
不等式
a>b a>b
猜想
a+c>b+c ac>bc a2>b2
a>b
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
构建数学：
通过例1，你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d .
2. 凸n边形有多少条对角线？
凸四边形有2条对角线，
凸五边形有5条对角线， 比凸四边形多3条；
凸六边形有9条对角线， 比凸五边形多4条；
……
凸n边形有多少条对角线？
猜想：凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线。由此，凸n边形 对角线条数为2+3+4+5+…+(n-2).
3.在同一平面内，两条直线相交，有一个交点； 三条直线相交，最多有几源自文库交点？ 四条直线相交，最多有几个交点？
构建数学：
类比推理的定义:
类比推理：根据两个（或两类）对象之间在
某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方 面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比 推理.(简称：类比)
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的特点:
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特 殊属性.即类比推理是由特殊到特殊的推理． 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发 现的功能.
类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想；
数学应用：
例1：试根据等式的性质猜想不等式的性质. 解：等式与不等式有不少相似的属性，例如：
等式
a+c=b+c (2) a=b ac=bc (3) a=b a2=b2等等 (1) a=b
情景创设1： 从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班 （后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次 去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这 桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
情景创设2：
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
7、归纳推理的几个特点:
1.归纳推理是依据特殊现象推断一般现象,因而,由 归纳推理所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推 断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.结论是否 真实，还需经过逻辑证明和实践证明，因此它不能 作为数学证明工具。 3.归纳推理的前提是特殊的情况,因而归纳推理是 立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳推理是 一种具有创造性的推理，通过归纳得到的猜想可作 为进一步研究得起点，帮助人们发现问题和提出问 题。
数学巩固：
1. 观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：
(1)
1 1 , 2 2
1 1 2 , 2 6 3
1 1 1 3 , 2 6 12 4
1 1 1 1 4 , 2 6 12 20 5
(2) 1＝1，1-4＝－（1+2），1-4+9＝1+2+3， 1-4+9-16＝－（1+2+3+4），……