第六章 图与网络理论(1)

图的概念 支撑树
一个没有圈的图称为一个 无圈图或称为林。 一个连通的无圈图则称为 树，一个林的每个连 通子图都是一个树。
若 T是图 G ＝（ V ， E ）的支撑子图，且 T 是树，则称 T为G的支撑树。
定理
图G有支撑树的充分必要条件是图 G是连通的。
证明：必要性是显然的。
v3 v1 v2
（ a）
v5 v6 v 1 v4
2016-9-20
图与网络理论
运筹学第六章
图与网络理论
图的基本概念 网络概念 网络树问题 最短路问题 网络最大流问题
图的概念 什么是图
• 图的概念
• 所谓图，就是顶点和边的集合，点的集合记为 V，边的集合记为 E，则图可以表示为： G＝ （V，E），点代表被研究的事物，边代表事 物之间的联系，因此，边不能离开点而独立存 在，每条边都有两个端点。 • 在画图时，顶点的位置、边和长短形状都是无 关紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同 的，则两个图相同。
是一条链，且是开链，也是简单 链，但不是初等链，因为 v1出现 两次。
v4
e8
v6
2
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图的概念 圈
若链中所含的边均不相 同，则称为简单链； 若点均不相同，则称 为初等链或通路。除 起点和终点外点均不 相同的闭链，称为 初 等回路或称为初等圈。 例如图中
是一个初等圈。
图的概念 连通性
v1 若一个图 G的任意两点之间 均至少有一条链连接起来， v1 则称这个图 G是一个连通 图，否则称作不连通图。 e1 e2 e3 e4 e5 例如图中， v1和v6之间没有 v2 v3 链，因此它不是连通图， e6 e7 e9 v5 而如果去掉 v6，则构成一 v4 个连通图。 v6 e8
e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 e6 v4 e8 e7 e9 v3 v5 v6
图的概念 简单链
若链中所含的边均不相 同，则称为简单链； v1 若点均不相同，则称 为初等链或通路。 e1 e 2 e3 e 4 e5 除起点和终点外点均不 相同的闭链，称为 初 v2 v3 等回路或称为圈。 e e 6 7 例如图中 e9 v5 1 , e1 , 2 , e2 ,1 , e3 , 4
图的概念 点边关系 若点 u 和 v 与同一条边相关 v1 联，则 u 和 v 为相邻点 ； 若两条边 e i 和 e j 有同一个 端点，则称 e i 与 e j 为相邻 e1 e2 e3 e4 e5 边。 v2 v3 例如在图中 v1和v2为相邻点， e6 e7 e9 v5 v1和v5不相邻； e1与e5为 v4 相邻边， e1和e7不相邻。 v6 e8
e8
6
1
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图的概念 简单图
若一条边的两个端点是同一个 顶点，则称该边为 环 ；又若 v1 两上端点之间有多于一条边， 则称为多重边或平行边。 e1 e 2 e3 e 4 e5 例如图的 e 8 为环， e 1 ， e 2 为两重 v2 v3 边， e4，e5也是两重边。 含有多重边的图称作 多重图。 e6 e7 e9 v5 无环也无多重边的图称作 简单 v 4 图。
e2 [1 , 2 ] e4 [1 , 3 ]
e6 [ 2 , 4 ]
v1 e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 e6 v4 e8 e7 e9 v3 v5 v6
wk.baidu.com
e8 [ 4 , 4 ]
e9 [ 4 , 5 ]
图的概念 点与边
顶点数 集合 V中元素的个数，记 作p(G) 。 v1 边数 集合 E中元素的个数，记 作q(G) 。 e1 e 2 e3 e 4 e5 若e=[u,v] ∈E，则称 u和v为e的端 点，而称 e为u和v的关联边， v2 v3 也称 u，v与边 e相关联。 e6 e7 例如图中的图 G，p(G)=6 ， e9 v5 q(G)=9 ， v4 v1，v2是e1和e2的端点， e1和e2都 是v1和v2的关联边。 v
图的概念 图的表示
(1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ), E (e1 , e 2 , e3 , e 4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 )
e1 [1 , 2 ]
e3 [1 , 4 ] e5 [1 , 3 ]
e7 [ 3 , 4 ]
8
e8
v6
图的概念 定理 1
若图 G中所有点都是孤立点， 则称图 G为空图。 定理 1 所有顶点的次的和，等 于所有边数的 2倍。即
图的概念 定理 2 v1
定理 2 在任一图中，奇点的个 数必为偶数。 设V1和V2分别是图 G中次数为 奇数和偶数的顶点集合。由 定理 1有
v1 e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 e6 v4 e8 e7 e9 v3 v5 v6
图的概念 图的次
次 点v作为边的端点的次数，记 作d(v)，如图中， d(v1)=5, v1 d(v4)=6等 端点次为奇数的点称作 奇点；次 e1 e2 e3 e4 e5 为偶数的点称作 偶点。 v3 次为 1 的点称为 悬挂点 ，与悬挂 v2 点连接的边称作 悬挂边； e6 e7 e9 v5 次为 0的点称为孤立点。 v4 图中的点 v 5 即为悬挂点，边 e 9 即 v6 为悬挂边，而点 v6则是弧立点。 e
（二） 破圈法 任取一个圈，从圈中去掉一条权最大的边（如 果有两条或两条以上的边都是权最大的边，则任意 去掉其中一条）。在余下的图中，重复这个步骤， 直到得到一个不含圈的图为止，这时的图便是最小 树。
5 7
v5
3
v3
4 6
5 7
v5
3
v1
1 5
v6
4
v1
1 5
4
4
v1
1 5
v6
4
v1
1 5
v6
4
v2 v3
6
2 5 7
v4 v5
3 4 4
v2 v3
6
2 5 7
v4 v5
3 4
v2
4
2
v4 v3
6 5 7
v2 v5
3 4 4
2
v4
v1
1 5
v6
v1
1 5
v6
v1
1 5
v6
v2
2
v4
v2
2
v4
v2
2
v4
v1 e 2 e3 e 4 e5 v3 e6 v4 e8 e7 e9 v5 v6
图的概念 树
一个没有圈的图称为一个 无圈图或称为林。 一个连通的无圈图则称为 树，一个林的每个连通子图 都是一个树。 定理 以下关于树的六种不同描述是等价的： ①无圈连通图。 ②无圈， q=p-1 。 ③连通， q=p-1 。 ④无圈，但若任意增加一条边，则可得到一个且仅一 个圈。 ⑤连通，但若任意舍弃一条边，图便不连通。 ⑥每一对顶点之间有一条且仅有一条链。
若 网络中边 ( i , j )的权为 dij ,则网络的支撑树的 权为支撑树的各边的权的和 . 如果支撑树 T*的权 w（T*）是G的所有支撑树的权 中最小的，则称 T*是G的最小支撑树（简称最小树）。 即
w (T *) min w (T )
T
最小支撑 树问题的一般提法是：选取网络中的支撑子 图，使得网络连通，且使总权数最短。
4 B
如何架设管道，既保证四个 浴室都有蒸汽管道供应，又 使管道的的总长度为最短。
C 8 D 6 4 5 O 13 10 4 B 9 A D C 6 5 O 10 4 B
v2 2 6 v3 3 9 5
8
v4 3 v6
4 5 O 10
v1
A
3
v5
1
v3
6
5 7
v5
3
v3
4 6
5 7
v5
3
4
v3 v6
6
图的概念 有向图的链路
有向图中，在不考虑边的方向时， 也可以相同地定义 链，若有向图 D＝（ V，A）中， P是一个从 u到 v的链，且对 P中每一条弧而言， e1 在序列中位于该弧前面的点恰好 是其起点，而位于该弧后面的点 v2 恰好是其终点，这个链 P就称为 是D中从 u到v的一条路。 当路的起点与终点相同，即 u=v时， 称作一条回路。 顶点全不相同的路称为 初等路。 除起点和终点外点均不相同的回路 称为初等回路。
1 , e1 , 2 , e6 , 4 , e7 , 3 , e 4 , 1
图的概念 连通的意义
连通是一个很重要的概念， v1 如果一个问题所对应的图 是一个不连通图，则该问 e e e e e 1 2 3 4 5 题一定可以分解成互不相 v3 关的子问题来加以研究， v2 即可以把不连通图分解成 e6 e7 e9 v5 连通的子图来研究。 v4 v6 e8
e1 e 2 e3 e 4 e5 v v3 v1 支撑子图 若V1=V2， 2 E1E2 ，则称 G1 e1 e 2 e3 e 4 e5 为G2的一个支撑 v2 v3 子图。 e6 e7 e9 v5 v4 v6 e8
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图的概念 有向图例
v1 e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 e6 v4 e8 e7 e9 v3 v5 v6
e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 e6 v4 e8 e7 e9 v3 v5 v6
V
d ( ) 2q
d ( ) d ( ) 2q
V1 V2
图的概念 链
0 , e1 ,1 , e2 , 2 , n 1 , en , n
v1 由两两相邻的点及其相关 联的边构成的点边序列称 e1 e 2 e3 e 4 e5 为链。 v3 v0称为链的起点， vn称为链 v2 的终点。 e6 e7 e9 v5 若v0 ≠vn则称该链为开链， v 4 反之称为闭链或回路。 v6 e8
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例 降低管道网络成本的最小树方法
O: 锅炉房 ; 8 D
C 6 A D 4 5 O
求最小支撑树的方法 : （一）避圈法 （Kruskal ） 思想：在图中取一条最小权的边，以后每一步中，总
B 9 A
C
4 5 O 6 10 13
B 9 A D C 6
A,B,C,D: 浴室。
4
从未被选取的边中选一条权最小的边，并使 之与已选取的边不构成圈（每一步中，如果有 两条或两条以上的边都是最小权的边，则从中 任选一条）。
v5 v6v1 v4 v5 v6 v4
v3 v1
v3 v1 v2 v3 v1 v2
v3
v5
v2 v5 v6
网络概念
图只能用来研究事物之间有没有某种关系，而不能研 究这种关系的强弱程度。 网络 赋权的图 权 程度的度量，数量描述。 v2 2 v1 6 v3 3 9 5 3 v5 1 8 v4 3 v6
图的概念 子图
子图的定义 设， G1=(V1,E1), G2=(V2,E2)， 如果 V1V2 ，又 E1E2 ， 则称 G1是G2的子图。 必须指出，并不是从图 G2中任选一些顶点和边 在一起就组成 G2的子图 G1，而只有在 G2中的一 条边以及连接该边的两 个端点均选入 G1时， G1 才是 G2的子图。
v2
（ b）
v4
（b）是（ a）的一个支撑树。
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寻求连通图支撑树的方法： （一） 破圈法
v3 v1 （二） 避圈法 在图中任取一条边 e1，找一条与 e1不构成圈的边 e2， 再找一条与 {e1，e2}不构成圈的边 e3。一般设已有 {e1， e2，…，ek}，找一条与 {e1，e2，…，ek}中任何一些边 不构成圈的边 ek+1，重复这个过程，直到不能进行为 止。 (找到支撑树或判定没有支撑树 ) v2 v3 v1 v2
v3
v5 v6
充分性： 设G是连通的，如果 G不含圈，则 G本身是 一个树，从而是它自身的一个支撑树。 现设 G含圈，从圈中任意去掉一条边，得 G的一 个支撑子图 G1，如G1不含圈，则 G1是G的一个生成树； 如G1含圈，则从 G1中任取一圈，从圈中再任意去掉一 条边，得 G的一个支撑子图 G2，如此重复，终可得 G 的一个不含圈的支撑子图 Gk，于是 Gk是G的一个支撑 树。
v1 v3
e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 v1
e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 e6 v4 e8 e7 e9 v3 v5 v6
v 图的概念 特殊子图
1
图的概念 有向图
在有些图中，边是没有方向的，即 [u,v]=[v,u] ，这种图 称为无向图。 而有些关系是不对称的，例如父子关系、上下级关系、 加工工序的先后顺序等都具有单向性，用图来表示 这些关系时，得到的边是具有方向的，用带箭头的 线来表示，称为 弧。 从顶点 u指向υ的弧 a，记作＝ a=(u,v),(u,v)≠(v,u) ，其中 u称为 a的起点， v称为 a的终点，这样的图称为 有向 图。仍以 V表示点的集合，以 A表示弧的集合，则有 向图表示为 D＝（ V，A）