第六章 图与网络理论(1)
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6-5中国邮递员问题
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第六章 图与网络
主讲教师 武小平
主要内容
1 欧拉回路与道路
2 奇偶点表上作业法
运
筹
3 中国邮递员问题求解
学
1 欧拉回路与道路
1、 连通图G中，若存在一条道路，经过每边一次且 仅一次，则称这条路为欧拉道路。若存在一条回路，经过 每边一次且仅一次，则称这条回路为欧拉回路。
4
v1
9
v4
4
v7
图5
v3 5 v2
5
v1
2 v6 4
3
6
4
v5
4
9
v4 4
图6
v9 3 v8 4
v7
v3 5 v2 5
v1
2 v6 4
63
4
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4
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3 v8 4
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v4
4
v7
图7
v3 2 v6 4
5
v2
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3 4
v5 4
v9
3 v8 4
v1
9
v4
4
v7
图8
v3 2 v6 4
5
v2
6
5
3 4
v5 4
判定标准2 : 在最优邮递员路线上，图中每一个圈的重
复边总权小于或等于该圈总权的一半。
3 中国邮递员问题求解
例1 求解下图5所示网络的中国邮路问题，
图中数字为该边的长。
v3 2 v6 4 v9
5
3
v2
6 v5
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第六章 图与网络
主讲教师 武小平
主要内容
1 欧拉回路与道路
2 奇偶点表上作业法
运
筹
3 中国邮递员问题求解
学
1 欧拉回路与道路
1、 连通图G中，若存在一条道路，经过每边一次且 仅一次，则称这条路为欧拉道路。若存在一条回路，经过 每边一次且仅一次，则称这条回路为欧拉回路。
4
v1
9
v4
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图5
v3 5 v2
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图6
v9 3 v8 4
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v3 5 v2 5
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2 v6 4
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v9
3 v8 4
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图7
v3 2 v6 4
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v2
6
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3 4
v5 4
v9
3 v8 4
v1
9
v4
4
v7
图8
v3 2 v6 4
5
v2
6
5
3 4
v5 4
判定标准2 : 在最优邮递员路线上，图中每一个圈的重
复边总权小于或等于该圈总权的一半。
3 中国邮递员问题求解
例1 求解下图5所示网络的中国邮路问题，
图中数字为该边的长。
v3 2 v6 4 v9
5
3
v2
6 v5
国科大中科院图论与网络流理论第6章答案
,Vk 是 G I 的一个正常 k -点染色，即 V1 ,V2 ,
V j ,
k i 1
,Vk 是 V (G I ) 的
一个划分，每个 Vi 非空， Vi
Vi V (G I ) 。从而
k i 1
Vi
I V (G ) ，且是
V1 ,V2 ,
因此构成 G 的一个 k 1 正常点染色， 故 (G) k 1 ， ,Vk , I 互不相交的独立集。
(G) (G I ) 1，即 (G) 1 (G I ) 。
结合式（1）得 (G I)
(G) 1 。
证明 2： G 是 k 色临界的，则 (G) k ，且 (G I ) k 1 。 另一方面，若 (G I ) r k 1，无妨设 G I 的一个 r 正常染色为 V1 ,V2 , 则 V1 ,V2 ,
即 (G I ) (G) 1 ，结合（2）式，得 (G I)
(G) 1 。
ห้องสมุดไป่ตู้
证明 4： 因 G 是色临界图， 故 (G I ) (G) 1 ， 另一方面， 假如 (G I ) (G) 2 ， 则 G I 是 (G) 2 色可染的，因 G I 是 G 的子图，对 G I 进行 (G) 2 色正常染色 后，再用第 (G) 1种色对 I 中的点染色，可得 G 的 (G) 1正常点染色，这与 G 的色数
证法 3：假如 (G) ，则由正则性， G 的每个点都与 种颜色的边相关联，从而去掉一 种颜色的边后所得之图 G 是 个顶点的 k 1 正则图。在 G 中看， 2
d (v )
vG
第六章图与网络分析
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
运筹学第六章图与网络分析a管理精品资料
min T (v j) T （ v j） ,L （ v i） d ij j
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
运筹学-第六章 图论1
6、图论1
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（ 现名加里宁格勒） 哥尼斯堡 （ 现名加里宁格勒 ） 是 欧洲一个城市， Pregei河把该城分 欧洲一个城市 ， Pregei 河把该城分 成两部分， 河中有两个小岛， 成两部分 ， 河中有两个小岛 ， 十八 世纪时， 世纪时 ， 河两边及小岛之间共有七 座桥， 当时人们提出这样的问题： 座桥 ， 当时人们提出这样的问题 ： 有没有办法从某处（ 出发， 有没有办法从某处 （ 如 A ） 出发 ， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？ 地呢？
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
v7
6
v6 6 2 与v1、V2、v3、v6、 v4 、v5相邻的点有v7 L17=min{L15+d57,L16+d67} =min{7+3,6+6}=10
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
④重复上述步骤，直至全部的点 重复上述步骤，
都标完。 都标完。
例：如下图中从v1到v7的最短路。 v2
5 7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v1
2 7
v7 v6
v3
v2 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v3
v7
2
v6
与v1、v3相邻的点有v2、v4、v6 L1p=min{L11+d12,L13+d34,L13+d36} =min{0+5,2+7,2+4}=5=L12
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（ 现名加里宁格勒） 哥尼斯堡 （ 现名加里宁格勒 ） 是 欧洲一个城市， Pregei河把该城分 欧洲一个城市 ， Pregei 河把该城分 成两部分， 河中有两个小岛， 成两部分 ， 河中有两个小岛 ， 十八 世纪时， 世纪时 ， 河两边及小岛之间共有七 座桥， 当时人们提出这样的问题： 座桥 ， 当时人们提出这样的问题 ： 有没有办法从某处（ 出发， 有没有办法从某处 （ 如 A ） 出发 ， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？ 地呢？
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7 2
v5 v4
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v6 6 2 与v1、V2、v3、v6、 v4 、v5相邻的点有v7 L17=min{L15+d57,L16+d67} =min{7+3,6+6}=10
v2 5 0 v1
2 7 5
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7 v3
④重复上述步骤，直至全部的点 重复上述步骤，
都标完。 都标完。
例：如下图中从v1到v7的最短路。 v2
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v7 v6
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v2 0 v1
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v5 v4
6 1 2 4 6 3
v3
v7
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v6
与v1、v3相邻的点有v2、v4、v6 L1p=min{L11+d12,L13+d34,L13+d36} =min{0+5,2+7,2+4}=5=L12
运筹学课程常见疑难问题及解答
由于写对偶问题是本章其他内容的基础，因此需要通过大量
的练习熟练掌握原问题与对偶问题的对应关系。
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利用松弛性质求解对偶问题最优解时应注 意什么？
注意给出的线性规划问题是否具备原问题或者对偶问题的标
准形式。对于具备标准形式的线性规划问题，可以直接利用
松弛性质中的描述进行计算。
对于不具备标准形式的线性规划问题，不可以直接利用松弛
以单位矩阵对应的变量作为基变量时，求出的基本解一 定是基本可行解。
迭代时以单位矩阵对应的变量作为基变量，还可以从单
纯形表中直接读出各变量的值。
返回
应用大M法时应注意什么问题？
应用大M法时应注意：
在约束方程中加入人工变量以后，一定要在目标函数中
增加罚函数项；
在求极大的目标函数中，人工变量系数应为-M，相反在
第八章—目标规划
第九章—排队论 第十章—存贮论 第十一章—决策论 第十二章—多目标决策方法 第十三章—在民航应用案例
一般性问题的解答
运筹学在民航运输中的应用情况
参见第十三章内容及平台上的学术文献
如何学好运筹学课程
同一问题求解方法的选择
返回
如何学好运筹学课程？
i=1 m
n m a kj x j b k时, y k 0； a ij yi c j , j 1, , n j=1 的最优解，当且仅当 i=1 m y 0,i 1, , m a y c 时, x 0. i l l il i i=1
返回
什么是满秩矩阵？
如果方阵的行列式非零，则该方阵是满秩矩阵。 某方阵是满秩矩阵时，以该方阵各列作为系数的各变量作为
基变量，其他变量取为常数（计算基本解时取为0）时，则
的练习熟练掌握原问题与对偶问题的对应关系。
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利用松弛性质求解对偶问题最优解时应注 意什么？
注意给出的线性规划问题是否具备原问题或者对偶问题的标
准形式。对于具备标准形式的线性规划问题，可以直接利用
松弛性质中的描述进行计算。
对于不具备标准形式的线性规划问题，不可以直接利用松弛
以单位矩阵对应的变量作为基变量时，求出的基本解一 定是基本可行解。
迭代时以单位矩阵对应的变量作为基变量，还可以从单
纯形表中直接读出各变量的值。
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应用大M法时应注意什么问题？
应用大M法时应注意：
在约束方程中加入人工变量以后，一定要在目标函数中
增加罚函数项；
在求极大的目标函数中，人工变量系数应为-M，相反在
第八章—目标规划
第九章—排队论 第十章—存贮论 第十一章—决策论 第十二章—多目标决策方法 第十三章—在民航应用案例
一般性问题的解答
运筹学在民航运输中的应用情况
参见第十三章内容及平台上的学术文献
如何学好运筹学课程
同一问题求解方法的选择
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如何学好运筹学课程？
i=1 m
n m a kj x j b k时, y k 0； a ij yi c j , j 1, , n j=1 的最优解，当且仅当 i=1 m y 0,i 1, , m a y c 时, x 0. i l l il i i=1
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什么是满秩矩阵？
如果方阵的行列式非零，则该方阵是满秩矩阵。 某方阵是满秩矩阵时，以该方阵各列作为系数的各变量作为
基变量，其他变量取为常数（计算基本解时取为0）时，则
运筹学(重点)
两个约束条件
(1/3)x1+(1/3)x2=1
及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分
－－图中阴影区, 就是满足所有约束条件和非负
条件的点的集合, 即可行域。在这个区域中的每
一个点都对应着一个可行的生产方案。
22
5–
最优点
4–
l1 3B E
2D
（1/3）x1+(4/3)x2=3
l2 1–
0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
运筹学 Operational Research
运筹帷幄，决胜千里
史记《张良传》
1
目录
绪论 第一章 线性规划 第二章 运输问题 第三章 整数规划 第四章 动态规划 第五章 目标规划 第六章 图与网络分析
2
运筹学的分支 数学规划: 线性规划、非线性规划、整数规划、 动态规划、目标规划、多目标规划 图论与网络理论 随机服务理论: 排队论 存储理论 决策理论 对策论 系统仿真: 随机模拟技术、系统动力学 可靠性理论
32
西北角
(一)西北角法
销地
产地
B1
0.3
A1
300
0.1 A2
0.7 A3
销量 300
B2
1.1
400
0.9
200
0.4
600
B3
0.3
0.2
200
1.0
300 500
B4
产量
1.0
700 ②
0.8
400 ④
0.5
600
900 ⑥
600
2000
①
③
⑤
⑥
34
Z
cij xij 0.3 300 1.1 400 0.9 200
第六章物流运筹学——图与网络分析.
L( )
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
网络最大流问题
以经过调整，得到一个新的可行流，其流量比原来的可
行流要大，重复这个过程，直到不存在关于该流的增广 链时就得到了最大流。
寻求最大流的思路：利用定理1中对V1*定义，根据vt是 否属于V1*来判断D中有无关于f的增广链。 实际计算时，可以用给顶点标号的方法来确定属 于V1*的点。
在标号过程中，有标号的顶点表示是V1*中的点，
l(v3) = min[l(v2), f32]=min[1, 1]=1
v2 (-v1,1) (4,3) (3,3) (0,+∞) vs (5,1) v1 (vs,4) (2,2) v4 (v2,1) (5,3) (3,0) (2,1) v3 (-v2,1) vt
(1,1)
(1,1)
(5) 在v3, v4中任选一个进行检查。
v4 (v2,1) (5,3)
(3,0) (2,1) v3 (-v2,1) vt (v4,1)
(二) 调整过程 (1) 按点的第一个标号找到一条增广链。
v2 (-v1,1) (4,3) (3,3) v4 (v2,1) (5,3)
(0,+∞) vs
(5,1)
(1,1)
(1,1)
(3,0)
(2,1)
vt (v4,1)
(2)未标号点。
标号过程: (1) 给发点 vs 标上 (0 ， +∞) ；这时 vs 是标号而未检查
的点，其余都是未标号点。
(2) 取一个标号而未检查的点 vi，对于vi的所有未给 标号的相邻点vj按下列规则处理： (a)若在弧(vi,vj) 上，fij<cij，则给vj标号(vi，l(vj))。这 里l(vj)=min[l(vi), cij-fij]。这时点vj成为标号而未检查的点。 (b) 若在弧 (vj,vi)上， fji>0 ，则给 vj 标号 (-vi ， l(vj))，这 里l(vj)=min[(l(vi),fij]。这时点vj成为标号而未检查的点。 这样，vj成为标号而已检查过的点。
运筹学_树
D A Huffman算法 算法_B 算法
叶子上带权的二叉树, 个叶子的权分别为p 叶子上带权的二叉树 s 个叶子的权分别为 i 根到各叶子 的距离(层次 层次) 二叉树的总权数： 的距离 层次 为l i (i=1,…,s) , 二叉树的总权数： s m (T) = ∑ p i l i i=1 算法) 算法 (D A Huffman算法 算法 例8 s=6, 其权分别为 1.s个叶子按权由小至大排序 个叶子按权由小至大排序 4,3,3,2,2,1, 求最优二 叉树。 叉树。 15 2.最小权的二个叶子合并成 2.最小权的二个叶子合并成 一个分支点， 一个分支点，其权为二者之和 将新分支点作为一个叶子。 将新分支点作为一个叶子。 9 则停； 令s←s-1,若s=1则停；否则转 若 则停 否则转(1). 5 5 6 3 6 3 1 2 2 3 3 4 4 1 2 2 3 3
T
找生成树的两种方法-深探法 深探法 (1) 深探法 在点集V中任取一点 中任取一点v, ① 在点集 中任取一点 给 v 以标号 0 . 在某点u集已得标号 检查一端点为u的各边 集已得标号i 的各边, ②在某点 集已得标号 , 检查一端点为 的各边 另一 端点是否均已标号。 端点是否均已标号。 若有(u, w)边之w未标号, 则给w以标号i+1, 记下边(u, w), 记下边(u, w). 令w代u, 重复②. ② 若这样的边的另一端均已有标号, 就退到标号为i-1的r 0 点, 以r 代u ,重复②. ② 1 直到全部点得到标号为止。 2 3 1 2 8 7 6 4 10 11 7 5 0 3 8 10 13 12 6 9 11 9 12 4 5 13
找生成树的两种方法-广探法 广探法
(2) 广探法 在点集V中任取一点 中任取一点v, ① 在点集 中任取一点 给 v 以标号 0 . 令所有标号为i的点集为 检查[V, V\Vi]中的边端 的点集为V, ②令所有标号为 的点集为 检查 中的边端 点是否均已标号 对所有未标号之点均标以i+1 , 记 标号。 点是否均已标号。对所有未标号之点均标以 下这些边。 下这些边。 对标号i+1的点重复步骤②, 直到全部点得到标号为至 ② 直到全部点得到标号为至. 0 1 1 2 1 1 2 0 2 1 2 4 3 2 1 2
第六章 图与网络分析
v1 1 v8 5 v7 3 4 5 2 v6 2 4 2 v2 1 3 v0 4 4 v5 1 v3 1 v4 5
28
第三节 最短通路问题
29
一、最短通路问题
最短通路问题：就是从给定的网络图中找出 最短通路问题： 任意两点之间权重之和最小的一条路。 权重之和最小的一条路 任意两点之间权重之和最小的一条路。
8
例：图
e1
v1 e2 e4 e5 e3 e6 v3 v5
9
v4
v2
6、子图：图G1=（V1，E1）和图 2=（V2， 、子图： 和图G （ （ E2），如果 V1 ⊆ V2 和 E1 ⊆ E 2 ，称G1是G2的 ），如果 一个子图。 一个子图。 V 的支撑子图。 当V1= V2，1 ⊂ V2 时，称G1是G2的支撑子图。
32
①令P(vs)=0，T(vi)=+∞，i=(1,2,…,n-1,n) ， ， 计算T(vj)=min[T(vj), P(vi)+ ωij] ②计算 比较所有具有T标号的点 把最小者改为P标 标号的点， ③比较所有具有 标号的点，把最小者改为 标 号，即： P(vi)=min[T(vi)] ；当存在两个以上 最小者时，可同时改为P标号 标号， 最小者时，可同时改为 标号，若全部点均 标号则停止计算。 为P标号则停止计算。 标号则停止计算
39
2、流量：弧（vi,vj）实际通过量或安排的通 、流量： 过量，记为f 过量，记为 ij。 3、流：弧集E上所有边的流量所组成的集合， 、 上所有边的流量所组成的集合， 弧集 上所有边的流量所组成的集合 记为f={fij}。 记为 。
40
v1 (8,8)
(9,4)
v3 (5,5) (6,1) (10,8) vt
28
第三节 最短通路问题
29
一、最短通路问题
最短通路问题：就是从给定的网络图中找出 最短通路问题： 任意两点之间权重之和最小的一条路。 权重之和最小的一条路 任意两点之间权重之和最小的一条路。
8
例：图
e1
v1 e2 e4 e5 e3 e6 v3 v5
9
v4
v2
6、子图：图G1=（V1，E1）和图 2=（V2， 、子图： 和图G （ （ E2），如果 V1 ⊆ V2 和 E1 ⊆ E 2 ，称G1是G2的 ），如果 一个子图。 一个子图。 V 的支撑子图。 当V1= V2，1 ⊂ V2 时，称G1是G2的支撑子图。
32
①令P(vs)=0，T(vi)=+∞，i=(1,2,…,n-1,n) ， ， 计算T(vj)=min[T(vj), P(vi)+ ωij] ②计算 比较所有具有T标号的点 把最小者改为P标 标号的点， ③比较所有具有 标号的点，把最小者改为 标 号，即： P(vi)=min[T(vi)] ；当存在两个以上 最小者时，可同时改为P标号 标号， 最小者时，可同时改为 标号，若全部点均 标号则停止计算。 为P标号则停止计算。 标号则停止计算
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2、流量：弧（vi,vj）实际通过量或安排的通 、流量： 过量，记为f 过量，记为 ij。 3、流：弧集E上所有边的流量所组成的集合， 、 上所有边的流量所组成的集合， 弧集 上所有边的流量所组成的集合 记为f={fij}。 记为 。
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v1 (8,8)
(9,4)
v3 (5,5) (6,1) (10,8) vt
G是不连通图
第六章 图与网络分析【教学内容】图的一些基本概念，最小树、最短路、最大流、最小费用最大流及网络计划等问题【教学要求】要求学生掌握图的基本概念，在此基础上理解最优化问题的一些基本思想，能熟练的求一些简 单问题的最小树、最短路、最大流、最小费用最大流，并学会用常用软件求解图论中优化问题。
【教学重点】最小树、最短路、最大流、最小费用最大流的算法【教学难点】最短路、最大流、最小费用最大流的算法第一节 树在各式各样的图中，有一类连通图最简单却很有用，这就是树。
§1．1 基本概念定义6.1.1设P是图G=（V，E）中以顶点u和v为首尾、点边交替的序列。
如果序列中每一条边的 端点恰好是与它前后相邻的两个顶点，则称这个序列P是从u到v得一条链。
当链的首尾相连时，称 链为圈。
如果链上所有顶点都不相同，则称该链为初级链。
如果圈上除首尾两个顶点外所有顶点都 不相同，则称该圈为初级圈。
例6.1.1 在图611中，v1 → v2 → v3 → v5 → v6是一条链，并且是一条初级链；v2 → v3 → v5 → v7 → v8 → v2是一个初级圈。
定义6.1.2 若任何两个点之间至少有一条链，则称该图是连通图，否则称为不连通图。
G是不连通图，它的每个连通的部分称为G的一个连通分支。
定义6.1.3 一个图G=（V，E），如果图G′=(V′，E′)，使得V=V′及E′是E的一个子集，则 称G′是G的一个生成子图。
例6.1.2 图612是图611中的一个生成子图。
§1．2 树的定义及性质定义6.1.4 一个无圈的连通图称为树。
例6.1.3 六个城镇v1，v2，v3，v4，v5，v6的一个通信网图是一棵树（见图613）。
容易得出树有以下重要性质。
性质6.1.1 树的边树等于顶点数减1。
性质6.1.2 树的任两顶点之间有且只有一条初级链。
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图的概念 图的次
次 点v作为边的端点的次数，记 作d(v)，如图中， d(v1)=5, v1 d(v4)=6等 端点次为奇数的点称作 奇点；次 e1 e2 e3 e4 e5 为偶数的点称作 偶点。 v3 次为 1 的点称为 悬挂点 ，与悬挂 v2 点连接的边称作 悬挂边； e6 e7 e9 v5 次为 0的点称为孤立点。 v4 图中的点 v 5 即为悬挂点，边 e 9 即 v6 为悬挂边，而点 v6则是弧立点。 e
v5 v6v1 v4 v5 v6 v4
v3 v1
v3 v1 v2 v3 v1 v2
v3
v5
v2 v5 v6
网络概念
图只能用来研究事物之间有没有某种关系，而不能研 究这种关系的强弱程度。 网络 赋权的图 权 程度的度量，数量描述。 v2 2 v1 6 v3 3 9 5 3 v5 1 8 v4 3 v6
1 , e1 , 2 , e6 , 4 , e7 , 3 , e 4 , 1
图的概念 连通的意义
连通是一个很重要的概念， v1 如果一个问题所对应的图 是一个不连通图，则该问 e e e e e 1 2 3 4 5 题一定可以分解成互不相 v3 关的子问题来加以研究， v2 即可以把不连通图分解成 e6 e7 e9 v5 连通的子图来研究。 v4 v6 e8
若 网络中边 ( i , j )的权为 dij ,则网络的支撑树的 权为支撑树的各边的权的和 . 如果支撑树 T*的权 w（T*）是G的所有支撑树的权 中最小的，则称 T*是G的最小支撑树（简称最小树）。 即
w (T *) min w (T )
T
最小支撑 树问题的一般提法是：选取网络中的支撑子 图，使得网络连通，且使总权数最短。
图的概念 点边关系 若点 u 和 v 与同一条边相关 v1 联，则 u 和 v 为相邻点 ； 若两条边 e i 和 e j 有同一个 端点，则称 e i 与 e j 为相邻 e1 e2 e3 e4 e5 边。 v2 v3 例如在图中 v1和v2为相邻点， e6 e7 e9 v5 v1和v5不相邻； e1与e5为 v4 相邻边， e1和e7不相邻。 v6 e8
8
e8
v6
图的概念 定理 1
若图 G中所有点都是孤立点， 则称图 G为空图。 定理 1 所有顶点的次的和，等 于所有边数的 2倍。即
图的概念 定理 2 v1
定理 2 在任一图中，奇点的个 数必为偶数。 设V1和V2分别是图 G中次数为 奇数和偶数的顶点集合。由 定理 1有
v1 e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 e6 v4 e8 e7 e9 v3 v5 v6
图的概念 有向图的链路
有向图中，在不考虑边的方向时， 也可以相同地定义 链，若有向图 D＝（ V，A）中， P是一个从 u到 v的链，且对 P中每一条弧而言， e1 在序列中位于该弧前面的点恰好 是其起点，而位于该弧后面的点 v2 恰好是其终点，这个链 P就称为 是D中从 u到v的一条路。 当路的起点与终点相同，即 u=v时， 称作一条回路。 顶点全不相同的路称为 初等路。 除起点和终点外点均不相同的回路 称为初等回路。
4 B
如何架设管道，既保证四个 浴室都有蒸汽管道供应，又 使管道的的总长度为最短。
C 8 D 6 4 5 O 13 10 4 B 9 A D C 6 5 O 10 4 B
v2 2 6 v3 3 9 5
8
v4 3 v6
4 5 O 10
v1
A
3
v5
1
v3
6
5 7
v5
3
v3
4 6
5 7
v5
3
4
v3 v6
6
v1 v3
e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 v1
e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 e6 v4 e8 e7 e9 v3 v5 v6
v 图的概念 特殊子图
1
图的概念 有向图
在有些图中，边是没有方向的，即 [u,v]=[v,u] ，这种图 称为无向图。 而有些关系是不对称的，例如父子关系、上下级关系、 加工工序的先后顺序等都具有单向性，用图来表示 这些关系时，得到的边是具有方向的，用带箭头的 线来表示，称为 弧。 从顶点 u指向υ的弧 a，记作＝ a=(u,v),(u,v)≠(v,u) ，其中 u称为 a的起点， v称为 a的终点，这样的图称为 有向 图。仍以 V表示点的集合，以 A表示弧的集合，则有 向图表示为 D＝（ V，A）
e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 e6 v4 e8 e7 e9 v3 v5 v6
V
d ( ) 2q
d ( ) d ( ) 2q
V1 V2
图的概念 链
0 , e1 ,1 , e2 , 2 , n 1 , en , n
v1 由两两相邻的点及其相关 联的边构成的点边序列称 e1 e 2 e3 e 4 e5 为链。 v3 v0称为链的起点， vn称为链 v2 的终点。 e6 e7 e9 v5 若v0 ≠vn则称该链为开链， v 4 反之称为闭链或回路。 v6 e8
5 7
v5
3
v3
4 6
5 7
v5
3
v1
1 5
v6
4
v1
1 5
4
4
v1
1 5
v6
4
v1
1 5
v6
4
v2 v3
6
2 5 7
v4 v5
3 4 4
v2 v3
6
2 5 7
v4 v5
3 4
v2
4
2
v4 v3
6 5 7
v2 v5
3 4 4
2
v4
Hale Waihona Puke v11 5v6
v1
1 5
v6
v1
1 5
v6
v2
2
v4
v2
2
v4
v2
2
v4
v1 若一个图 G的任意两点之间 均至少有一条链连接起来， v1 则称这个图 G是一个连通 图，否则称作不连通图。 e1 e2 e3 e4 e5 例如图中， v1和v6之间没有 v2 v3 链，因此它不是连通图， e6 e7 e9 v5 而如果去掉 v6，则构成一 v4 个连通图。 v6 e8
e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 e6 v4 e8 e7 e9 v3 v5 v6
v1 e 2 e3 e 4 e5 v3 e6 v4 e8 e7 e9 v5 v6
图的概念 树
一个没有圈的图称为一个 无圈图或称为林。 一个连通的无圈图则称为 树，一个林的每个连通子图 都是一个树。 定理 以下关于树的六种不同描述是等价的： ①无圈连通图。 ②无圈， q=p-1 。 ③连通， q=p-1 。 ④无圈，但若任意增加一条边，则可得到一个且仅一 个圈。 ⑤连通，但若任意舍弃一条边，图便不连通。 ⑥每一对顶点之间有一条且仅有一条链。
e1 e 2 e3 e 4 e5 v v3 v1 支撑子图 若V1=V2， 2 E1E2 ，则称 G1 e1 e 2 e3 e 4 e5 为G2的一个支撑 v2 v3 子图。 e6 e7 e9 v5 v4 v6 e8
3
2016-9-20
图的概念 有向图例
v1 e1 e 2 e3 e 4 e5 v2 e6 v4 e8 e7 e9 v3 v5 v6
图的概念 图的表示
(1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ), E (e1 , e 2 , e3 , e 4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 )
e1 [1 , 2 ]
e3 [1 , 4 ] e5 [1 , 3 ]
e7 [ 3 , 4 ]
图的概念 子图
子图的定义 设， G1=(V1,E1), G2=(V2,E2)， 如果 V1V2 ，又 E1E2 ， 则称 G1是G2的子图。 必须指出，并不是从图 G2中任选一些顶点和边 在一起就组成 G2的子图 G1，而只有在 G2中的一 条边以及连接该边的两 个端点均选入 G1时， G1 才是 G2的子图。
5
2016-9-20
例 降低管道网络成本的最小树方法
O: 锅炉房 ; 8 D
C 6 A D 4 5 O
求最小支撑树的方法 : （一）避圈法 （Kruskal ） 思想：在图中取一条最小权的边，以后每一步中，总
B 9 A
C
4 5 O 6 10 13
B 9 A D C 6
A,B,C,D: 浴室。
4
从未被选取的边中选一条权最小的边，并使 之与已选取的边不构成圈（每一步中，如果有 两条或两条以上的边都是最小权的边，则从中 任选一条）。
v3
v5 v6
充分性： 设G是连通的，如果 G不含圈，则 G本身是 一个树，从而是它自身的一个支撑树。 现设 G含圈，从圈中任意去掉一条边，得 G的一 个支撑子图 G1，如G1不含圈，则 G1是G的一个生成树； 如G1含圈，则从 G1中任取一圈，从圈中再任意去掉一 条边，得 G的一个支撑子图 G2，如此重复，终可得 G 的一个不含圈的支撑子图 Gk，于是 Gk是G的一个支撑 树。
图的概念 简单链
若链中所含的边均不相 同，则称为简单链； v1 若点均不相同，则称 为初等链或通路。 e1 e 2 e3 e 4 e5 除起点和终点外点均不 相同的闭链，称为 初 v2 v3 等回路或称为圈。 e e 6 7 例如图中 e9 v5 1 , e1 , 2 , e2 ,1 , e3 , 4
e8
6
1
2016-9-20
图的概念 简单图
若一条边的两个端点是同一个 顶点，则称该边为 环 ；又若 v1 两上端点之间有多于一条边， 则称为多重边或平行边。 e1 e 2 e3 e 4 e5 例如图的 e 8 为环， e 1 ， e 2 为两重 v2 v3 边， e4，e5也是两重边。 含有多重边的图称作 多重图。 e6 e7 e9 v5 无环也无多重边的图称作 简单 v 4 图。