资金积累、国民收入与人口增长

资金积累、国民收入与人口增长的关系综合评估

摘要

资金积累，国民收入，人口增长都是随时间连续变化的函数，可统计调查近15年的人口增长、国民收入、资金积累的实际数据，且根据题中给出的国民平均收入x与人口平均资金积累y成正比，建立微分方程模型，得出资金积累的相对增长率k 和人口的相对增长率r，并且对模型进行优化，假设所取时间段内总资金积累量占总国民收入的比例为定值。结合模型，对实际数据进行拟合，运用matlab软件编程作图。结合图形进一步分析资金积累、国民收入与人口增长的关系，得出结论：说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的。关键词

相对增长率模型优化微分方程

拟合国民平均收入人口平均资金积累

一、问题引入

1.1 问题重述

本文主要讨论资金积累、国民收入与人口增长的关系．由

实际可知人口增长与国民收入增长之间是相互制约的关系（一）若国民平均收入x与人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的．

（2）作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会导致什么后果

1.2 背景知识

中国是世界上人口最多的发展中国家。人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱是中国现阶段的基本国情，短时间内难以改变。人口问题是中国在社会主义初级阶段长期面临的问题，是关系中国经济社会发展的关键性因素。人口增长对我国的资金积累、国民收入有着重大的影响：如果人口增长过快，势必造成国民收入中用于消费部分增加，积累部分减少；人口增长过慢，劳动力资源短缺，也会导致一些生产资料闲置，某些自然资源得不到应有的开发利用；因此，应当从整个社会的长远战略需要出发，及时调整人口出生率，保证人口增长与国民收入增长之间的适当的比例关系，促进社会经济的迅速发展。

二、问题分析

问题一：影响资金积累、国民收入与人口增长的要素有哪些，

如何确立三者之间的关系？

反映人口增长和国民收入增长相互关系的最主要的综合指标是人均国民收入的增长速度。所以人口增长是影响这三者变动的主要因素。可把时间作为变量，找出随时间变化，国民收入的变化情况。另一方面，资金积累等于国民收入减去国民消费，国民消费情况未知，可设所取时间段内总资金积累量占总国民收入的比例为定值。

问题二：什么是资金积累的相对增长率，人口的相对增长率。两者之间有什么关系。

资金积累的相对增长率=资金绝对增长率/当年的资金总积累量

人口的相对增长率=人口的绝对增长率/当年的人口总数要找出两者之间的关系就要用到总资金积累量、总人口数量和其相对增长率。这些变量可通过查阅资料得出。针对这些大量的数据，如何建立适当模型求解。要求增长率，我们可以考虑到运用微分方程的方法，建立微分方程模型。问题三：如何运用最优化模型将问题简单化？

最优化模型就是从所有可能的模型中找到最简单的从而将问题简单化，基于本题，影响国民收入、资金积累和人口增长的因素有很多，这其中许多因素是不可预知的，为了优化模型，我们可以假设增长率k和r以及总资金积累量、总国民收入和总人口数量之间的关系不受其他因素干扰。

问题四:分析所建立模型的优缺点,更好地研究和预测资金积累、国民收入与人口增长的关系，找出一种权衡三者关系的最优途径

由于题目所给出的信息和数据比较片面和单一,要反映三者实际的关系,模型有很大局限性.为此,需要搜集相关信息,来更全面地对资金积累、国民收入与人口增长三者的关系进行评估.我们采用综合评价,结合实验得出是图形，与实际情况相联系，找出一种权衡三者关系的最优途径具有相当高的实用性.

三．模型假设

1国民平均收入与人口平均资金积累成正比，所以设a为总资金积累量占总国民收入的比例，且在所取时间段内a为定值，增长率k和r；

2增长率k和r以及总资金积累量、总国民收入和总人口数量之间的关系不受其他因素干扰；

3 结合实际情况，我们只选取最近的具有代表性的某一个时间段内的数据进行分析，并把它作为最终的结果；

四．符号说明

x1(t) —总资金积累量

x2(t) —总人口数量

x3(t) —总国民收入

t —所选取的时间

a —总资金积累量占总国民收入的比例

x —国民平均收入

y —¬¬人口平均积累

k —总资金积累的相对增长率

r —人口的相对增长率

五：建立模型

不考虑其他外界因素

)(3*)(*)()

(3d )

(2*)()

(2)

(1*)()

(1d t x r k a t d t x t x r t d t dx t x k t d t x -===

针对一组具体的数据用MATLB 软件进行计算，首先根据以上微分方程组建立以下M 文件renkou.m 如下

function dx=renkou(t,x)

dx=zeros(3,1);

dx(1)=k*x1;

dx(2)=r*x2;

dx(3)=a*(k-r)*x3

其次建立主程序如下

[t,x]=ode23('renkou',[0,15],[0,0]);

plot(t,x(:,1),'b*',t,x(:,2),'r+',t,x(:,3),'gs') figure(3);

plot(x(:,1)，x(:,2),x(:,3))

六、模型求解

求解结果：

数值解如下图：x1(t) 为“*”线，x2(t)为“+”线，x3(tt)为“。”线。

资金积累与时间关系图

人口与时间关系图

国民收入与时间关系图

由图可知，当k>r时，国民平均收入是增长的，结论显然成