高中数学课件第二章《第2节函数的定义域和值域》

≤1
答案：C
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4.若 为实数，则函数y＝x2＋3x－5的值域是
.
解析：∵ 为实数，∴x≥0， ∵y＝x2＋3x－5＝(x＋ )2－ ∴当x＝0时，ymin＝－5. 答案：[－5，＋∞)
－5，
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5.若函数f(x)＝
围为
.
的定义域为R，则a的取值范
解析：由题意知2
－1≥0恒成立，即x2＋2ax－a≥0
恒成立，其等价于Δ＝4a2＋4a≤0⇒－1≤a≤0.
答案：[－1,0]
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确定函数定义域的原则
1.当函数y＝f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中
实数x的集合.
2.当函数y＝f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在
x轴上的投影所覆盖的实数的集合.
3.当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析
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求下列函数的值域.
(1)y＝
；
(2)y＝2x＋
；
(3)y＝x＋ .
[思路点拨]
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[课堂笔记] (1)∵y＝
＝
又∵x2＋1 ≥1，∴0＜
≤1.
∴0≤1－
＜1，
即函数y＝
的值域为[0,1).
＝1－ ，
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(2)设t＝
，则x＝
.
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∴y＝1－t2＋t＝－(t－ )2＋ .
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1
会求一些简单函数的定义域和值域.
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2
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3
1.函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围 A 叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值， 函数值的集合 叫做函数的值域.
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4
[思考探究] 函数的值域由哪些因素决定？
提示：函数的值域由函数的定义域和对应关系确定.
()
A.[－2,2]
B.[－1,3]
C.[－1，＋∞)
D.[－
]
解析：∵f(x)的定义域为[－1,3] ∴－1≤x2－1≤3即0≤x2≤4∴－2≤x≤2.
答案：A
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3.函数f(x)＝ A.[0,1] C.(0,1]
(x∈R)的值域是
()
B.[0,1)
D.(0,1)
解析：∵1＋x2≥1∴0＜
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若本例(2)中交换f(2x＋1)与f(x)的位置，结论如何？
解：∵f(x)的定义域为(0,1)， ∴0＜2x＋1＜1， ∴－ ＜x＜0. 即f(2x＋1)的定义域为{x|－ ＜x＜0}.
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函数值域的求法
1.配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数的
值域，其关键在于正确化成完全平方式.
式有意义的实数的集合.
4.当函数y＝f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问
题的意义确定.
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求下列函数的定义域：
(1)y＝
＋
；
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域.
[思路点拨]
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[课堂笔记] (1)要使函数y＝ ＋
有意义，
应有
即
有
所以此函数的定义域是{x|－1≤x＜1或1＜x＜2}. (2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)， ∴1＜2x＋1＜3， 即f(x)的定义域是(1,3).
∵二次函数的对称轴为t＝ ，
∴在[0，＋∞)上y＝－(t－ )2＋ 的最大值为 ，无
最小值，
其值域为(－∞， ].
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(3)∵函数y＝x＋ 是定义域为{x|x≠0}上的奇函数，故
其图象关于原点对称，故只讨论x＞0时，即可知x＜0时
的最值和值域.
∵当x＞0时，y＝x＋ ≥2
＝4.
当且仅当x＝2时，等号成立，
4.单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调 性求函数的值域，常用到函数y＝x＋ (p>0)的单调性： 增区间为(－∞，－ ]和[ ＋∞)，减区间为(－ ,0)和 (0， ).
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[特别警示] (1)用换元法求值域时，需认真分析换元后变 量的范围变化；用判别式求函数值域时，一定要注意自变 量x是否属于R. (2)用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键. 分段函数的值域应分段分析，再取并集. (3)不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先确定其定义 域，这是求值域的重要环节.
，
①当a＜0时，函数g(x)是区间[1,3]上的增函数，
此时，g(x)max＝g(3)＝2－3a， g(x)min＝g(1)＝1－a，所以h(a)＝1－2a； ②当a＞1时，函数g(x)是区间[1,3]上的减函数，
此时，g(x)min＝g(3)＝2－3a， g(x)max＝g(1)＝1－a，所以h(a)＝2a－1； ③当0≤a≤1时，若x∈[1,2]，则g(x)＝1－ax，有g(2)≤g(x)≤g(1)；
2.换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域
容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.形如y＝ax
＋b±
(a，b，c，d均为常数且ac≠0)的函数常用此
法求解.
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3.不等式法：借助于基本不等式a＋b≥2 (a>0，b>0)求数 的值域.用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用 条件“一正、二定、三相等”.
3.可借助函数图象确定函数的值域或最值.
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设函数f(x)＝
， g(x)＝f(x)－ax，
x∈[1,3]，其中a∈R，记函数g(x)的最大值与最小值的差
为h(a).
(1)求函数h(a)的解析式；
(2)画出函数y＝h(a)的图象并指出h(a)的最小值.
[思路点拨]
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[课堂笔记] (1)g(x)＝
∴当x＜0时，y≤－4.
综上，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞).
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如何求y＝
＋
的值域？
解：
表示点（x，0）到点（0，-1）的距离；
点（2，2）的距离，
表示点（x，0）到
故
故值域为
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1.对既给出定义域又给出解析式的函数，可直接在定义域 上用相应方法求函数值域.
2.若函数解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影 响，即要考虑分类讨论.
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2.确定函数定义域的依据
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1.函数y＝
＋ln(2－x)的定义域是
A.[1，＋∞)
B.(－∞，2)
C.(1,2)
D.[1,2)
()
解析：要使函数有意义，只须 ∴1≤x＜2.
，即
，
答案：D
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2.已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,3]，则函数y＝f(x2－1)
的定义域是