高中数学课件正态分布

正态分布
0.7 0.6
频率
“正面向上”记为0 “反面向上”记为1
0.5
频率分布条形图
0.4 0.3 0.2 0.1
试验结果
频率分布直方图
频率/组距
0
1
25.235
25.295
25.355
1
25.415
25.475
25.565
当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分
布直方图就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线．
2 0.8413 1 0.683 ;
同理可得: 正态总体 N , 2 在区间 2 , 2 内取值的概率是
F 2 F 2 2 2 0.954 正态总体 N , 2 在区间 3 , 3 内取值的概率是
F 3 F 3 3 3 0.997.
上述计算结果可用下表和图来表示：
区间 , 2 , 2
取值概率
68.3 o o 95.4 o o 99.7 o o
3 , 3
3.设随机变量ζ～N(2,4),则D( (A)1 (B)2 (C)0.5 (D)4
) 等于 2
4.填空题 (1) 若随机变量 ζ～N(1,0.25), 则 2 ζ 的概率密 度函数为 .
(2)期望为2,方差 2 为的正态分布的密度 函数是 . (3) 已知正态总体落在区间 (0.2 ,+∞) 的概率 是0.5，则相应的正态曲线f(x)在x= 时, 达到最高点.
频率 组距
总体在区间(a , b)内取值的概率
S
a b
产品 尺寸 （mm）
正态分布
像这种具有“中间高，两头低”的特征的总体密度曲线， 一般就是或近似地是以下一个特殊函数的图象
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
, x (, )
( 0) 是参数,分别表示总体的平均数 式中的实数 、 与标准差，其分布叫做正态分布，图象被称为正态曲线
( x0 )
( x0 ) 1 ( x0 )
( x0 ) P( x x0 ) ( x0 0)
由于两阴影部分的面积相等可知：
( x0 ) 1 ( x0 )
利用这个表，可求出标准正态总体在任一区间 x1 , x2 内取值的概率。
y
( x2 ) ( x1 )
正态总体在任一区间取值概率
一般的正态总体N , 2 ，均可以化为标准正态 总体N 0,1来研究。
2 N , 来说, 取值小于 x 的概率： 对任一正态总体
x F x .
如 服从正态分布N(1,4)，试求:(1) F(3) (2)P(0<<5)
我们从上图看到，正态总体在 2 , 2 以外取值的概率 只有4.6％，在 3 , 3 以外取值的概率只有0.3 ％。 由于这些概率值很小（一般不超过5％），通常称这些情况 发生为小概率事件。
1.下列关于正态曲线性质的叙述正确的是 (1)曲线关于直线x=μ对称,这个曲线只在x轴上方 (2)曲线关于直线x=σ对称,这个曲线只有当 x∈(-3σ，3σ)时才在x轴上方； (3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度 函数是一个偶函数； (4)曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右 两边延伸时，曲线逐渐降低； (5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定； (6) σ 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； σ 越小，曲线越“高”．总体分布越集中．（ ） (A)只有(１)(４)(５)(６) (B) 只有(2)(４)(５)
2.把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个 单位,得到一个新的曲线b,下列说法不正确的是 (A)曲线b仍然是正态曲线 (B)曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 (C)以曲线a为概率密度曲线的总体的方差比 以曲线b为概率密度曲线的总体的方差大2 (D)以曲线a为概率密度曲线的总体的期望比 以曲线b为概率密度曲线的总体的期望小2
( x0 ) ( x0 ) 1
( x2 ) ( x1 )
如 求标准正态总体在（－1，2）内取值的概率．
p (2) (1) (2) [1 (1)] (2) (1) 1 0.9772 0.8413 1 0.8185.
标准正态分布表
在标准正态分布表中相应于 x 0 的值 ( x 0 )是指总体取值 小于 x 0 的概率，即
( x0 ) P( x x0 ) ( x0 0)
P( x x0 ) 0
P( x x0 ) 1 P( x x0 ) 1 P( x x0 ) 1 ( x0 )
正态分布的实际意义
在实际中遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标 在测量中，测量结果的随机误差，
在生物学中，同一群体的某种特征 在气象中，气温、湿度、降雨量、水文中的水位，
正态分布广泛存在于自然现象、生产及科学技术的许多领 域之中．正态分布在概率和统计中占有重要地位． 一般地，当一随机变量是大量微小的独立随机因素共同作 用的结果，而每一种因素都不能起到压倒其他因素的作用 时，这个随机变量就被认为服从正态分布。
5 1 0 1 P(0 5) F (5) F (0) ( ) ( ) (2) (0.5) 2 2 (2) (0.5) 1
3 1 F (3) ( ) (1) 0.8413 2
例1、分别求正态总体 N (, 2 )在区间: , 、 内取值的概率. 2 , 2 、 3 , 3 、 解： F
1, 0.5
0, 1
1, 2
正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
1 正态曲线的性质 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x (, )
1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交 f ( x) 0 2)曲线关于直线x 对称 f ( x) f ( x)
正态分布
1 2 2 正态分布 f ( x) e , x (, ) 2 ( 0) 是参数,分别表示总体的平均数 式中的实数 、
( x )2
与标准差，其分布叫做正态分布. 正态分布常记作 N ( , 2 )
正态曲线
1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交 f ( x) 0
x1
O
x2
x
( x0 ) P( x x0 ) ( x0 0) P( x x0 ) 1 P( x x0 ) 1 P( x x0 ) 1 ( x0 )
P( x x0 ) P( x x0 ) 1
( x0 ) P( x x0 ) P( x x0 ) 1 P( x x0 ) 1 ( x0 ) ( x0 0)
正态分布常记作 N ( , 2 )
1 正态分布 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x (, )
给出下列正态总体的函数表达式，指出其均值和标准差σ。
1 f ( x) e 2 2
( x 1)2 8
, x (,) =1，=2
3) 在x 时位于最高点 f ( x) max f ( )
1 2
4) 当x 时，曲线上升；当x 时，曲线下降 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐进线. 5）一定时，曲线的形状由确定 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； 越小．曲线越“瘦高”，总体分布越集中
1 f ( x) e 2
f ( x) 2
x2 2
, x (,)
, x (,)
=0，=1 =-1，=0.5

e
2( x 1) 2
1 正态曲线 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x (, )
画出三条正态曲线

1


F 1 所以正态总体 N , 2 在区间 , 内取值的概率是
F F 1 1 21 1
Baidu Nhomakorabea
标准正态分布
当时 0, 1 正态总体称为标准正态总体，记 N (0,1)
x2 2
1 相应的密度函数表示式是 f ( x) e 2
, x R
f ( x) 0 f ( x) f ( x) f ( x) max
增区间(,0), 减区间(0, )
1 f (0) 2
(4)已知ζ～N(0,1),P(ζ≤1.96)=Ф(1.96)= 0.9750,则Ф(-1.96)= .
2)曲线关于直线x 对称 f ( x) f ( x)
3) 在x 时位于最高点 f ( x) max
1 f ( ) 2
4) 当x 时，曲线上升；当x 时，曲线下降 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐进线.
5）一定时，曲线的形状由确定 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； 越小．曲线越“瘦高”，总体分布越集中