高中数学利用导数研究函数的性质( 极值与最值)

3.2利用导数研究函数的性质

第2课时导数与函数的极值、最值

一、基础知识

1．函数的单调性（复习）

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

2．函数的极值

(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：

①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

3．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

知识拓展

(1)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

(2)函数的极大值不一定比极小值大．

(3)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的必要不充分要条件． 二、基本题型

1.根据函数图象判断极值

【例1-1】 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )

A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)

B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)

C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)

D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 D

解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－22时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 【变式1-1】函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )

A ．无极大值点、有四个极小值点

B ．有三个极大值点、一个极小值点

C ．有两个极大值点、两个极小值点

D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】 C

【解析】 导函数的图象与x 轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点． 2.求函数的极值和极值点

【例2-1】设函数f (x )＝2

x

＋ln x ，则( )

A ．x ＝12为f (x )的极大值点

B ．x ＝1

2为f (x )的极小值点

C ．x ＝2为f (x )的极大值点

D ．x ＝2为f (x )的极小值点 【答案】 D

【解析】 f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2

x 2(x >0)，当02时，f ′(x )>0，

∴x ＝2为f (x )的极小值点．

【练习2-1】函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝1或－1或0 D ．x ＝0

答案 C

解析 ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，∴由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x <－1时，f ′(x )<0，当－10，当01时，f ′(x )>0，∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点． 3 根据极值或极值点求参数

【例题3-1】若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭

⎫3

2，＋∞

解析 f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1，由f ′(x )＝0有两个不同的根，可得Δ＝(－4c )2－12>0， ∴c >

32或c <－3

2

. 【例题3-2】若函数f (x )＝x 33－a 2x 2

＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，52 B.⎣⎡⎭⎫2，5

2 C.⎝⎛⎭⎫2，10

3 D.⎣

⎡⎭⎫2，103 答案 C

解析 函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点等价于f ′(x )＝0有2个不相等的实根且在⎝⎛⎭⎫1

2，3内有根，由f ′(x )＝0有2个不相等的实根，得a <－2或a >2.由f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫

12，3内有根，得a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3内有解，又x ＋1x ∈⎣⎡⎭⎫2，103，所以2≤a <10

3，综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2，103. 【练习3-1】设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (－∞，－1)

【解析】 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .

∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，∴方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵当x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x <－1.

【练习3-2】若函数f (x )＝ax 2

2－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，则a 的取值范围是( )

A.⎝⎛⎭

⎫1

e ，＋∞ B ．(1，＋∞) C ．(1,2) D ．(2，＋∞)