【超全】三角变换公式大全 打印版

第 1 页 共 7 页三角变换知识点总结常用三角不等式 1. 若(0,)2x π∈，则sin tan x x x << 2. 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤3. |sin ||cos |1x x +≥同角三角函数关系1. 倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα2. 商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =3. 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+简单三角方程的解1. sin sin (1)()kk k Z αβαπβ=⇔=+-∈ 2. cos cos 2()k k Z αβαπβ=⇔=±∈ 3. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇔=+∈ 两角和与差的公式1. sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=⋅±⋅2. cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=⋅⋅3. tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=⋅二倍角公式1. αααcos sin 22sin =2. ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ------)(* 3. ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降序扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-三角函数降幂公式 1. 1sin cos sin 22ααα=第 2 页 共 7 页2. 21cos2sin 2αα-=3. 21cos 2cos 2αα+=三倍角公式1. 3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+ 2. 3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+ 3. 323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+- 半角公式1. 1cos sin 22αθ-=2. 1cos cos 22αθ+=±3. 21cos sin22αθ-=4. 21cos cos 22αθ+= 5. 21cos 2sin2θθ-= 6. 21cos 2cos2θθ+=7. 1cos sin 1cos tan21cos 1cos sin θθθθθθθ--=±==++注：符号的选择由2θ所在的象限确定 万能公式 1. ααα2tan 1tan 22sin +=2. ααα22tan 1tan 12cos +-=3. ααα2tan 1tan 22tan -=万能公式形式2：第 3 页 共 7 页和差化积公式1. 2cos 2sin2sin sin βαβαβα-+=+2. 2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-3. 2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+ 4. 2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：2sin 2cos 2cos 2sin22sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-++= 2sin 2cos 2cos 2sin22sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=⎪⎭⎫⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。

2cos 2cos 2cos 2cos22cos cos βαβαβαβαβαβαα-+--+=⎪⎭⎫⎝⎛-++= 2cos 2cos 2cos 2cos22cos cos βαβαβαβαβαβαβ-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。

积化和差公式1. [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ 2. [])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 3. [])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 4. [])cos()cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用辅助角公式sin sin a b θθθθ⎫+=+⎪⎭)θϕ=+注意：其中辅助角ϕ与点),(b a 在同一象限，且ab=ϕtan 22sin b a b +=ϕ，22cos b a a +=ϕ，ab =ϕtan 特殊情况：sin cos 4πθθθ⎛⎫±=± ⎪⎝⎭，sin 2sin 3πθθθ⎛⎫±=± ⎪⎝⎭第 4 页 共 7 页三角函数中的特殊等式1. ()()22sin sin sin sin αβαβαβ+-=-2. ()()2222cos cos cos sin cos sin αβαβαββα+-=-=-3. cot tan 2cot 2ααα-= 三角函数求值常见公式变形 1. ()()()sin tan tan tan 1tan tan cos cos x y x y x y x y x y±±=±=2.1tan tan 1tan 4x x x π±⎛⎫=± ⎪⎝⎭3.21sin 2(sin cos )ααα±=±4.cos sin 22θθ==±5. 11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n n n αααααα++=三角变换更一般的方法1. 角的变换：包括角的分解和角的组合， 如()ααββ=+-，222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，424x x πππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，22αα=⋅等 2. 项的分拆3. 名的变化：化弦或化切可以减少函数的种类，化异名为同名，对齐次三角函数式常作化切处理 4. 次数的变换：升、降幂公式5. 形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算6. 常数代换：如1的活用等正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 正弦定理的变形：sin sin sin sin a b A B a b A B ++=--，sin sin a Ab B=， 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+=B ac c a b cos 2222⋅-+=C ab b a c cos 2222⋅-+=变形：222cos 2b c a A bc+-=，第 5 页 共 7 页222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=常见结论① 22260C c a b ab ∠=︒⇔=+- ② 222120C c a b ab ∠=︒⇔=++ ③ 222303C c a b ab ∠=︒⇔=+- ④ 2221503C c a b ab ∠=︒⇔=++ ⑤ 222452C c a b ab ∠=︒⇔=+- ⑥ 222452C c a b ab ∠=︒⇔=++判断三角形形状形状包括：正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形. 判断形状时，将已知条件转化为边边关系，或将已知条件转化为角角关系 若c 为最大边1. 222a b c ABC +>⇔∆为锐角三角形 2. 222a b c ABC +=⇔∆为直角三角形3. 222a b c ABC +<⇔∆为钝角三角形注：在ABC ∆中，sin 2sin 2A B =，可以得出22A B =或22A B π=-；而cos2cos2A B =可以得出22A B =，即A B = 三角形面积公式已知ABC ∆三条边分别为a b c 、、，R 为ABC ∆外接圆半径，r 为ABC ∆内接圆半径，()12p a b c =++ 1. 12a S a h =2. 111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===3. 4abcS R=4. 22sin sin sin S R A B C =5. 222sin sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin a B C b A C c A BS A B C===6. 111222S ar br cr pr =++= （注：将三角形面积分成三个小三角形面积）第 6 页 共 7 页7. ()()()S p p a p b p c =--- 海伦公式8. ()()2212S ABACAB AC =-三角形中常见规律1. 射影定理：在ABC ∆中，cos cos b a C c A =⋅+⋅，…2. 在ABC ∆中，sin sin A B A B <⇔<3. 在ABC ∆中，A B C ∠∠∠、、成等差数列=60B ⇔︒4. ABC ∆为正三角形A B C ⇔∠∠∠、、成等差数列，边a b c 、、成等比数列 三角形中的恒等式三角形内角和定理：在ABC ∆中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+ （看似简单，却经常使用）以下各式一般都由三角形内角和定理推出(1) ()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-(2) sin cos 22A B C +=，cos sin 22A B C +=，tan cot 22A B C+= (3) sin sin sin 4cos cos cos 222A B CA B C ++=(4) cos cos cos 14sin sin sin 222A B CA B C ++=+(5) sin 2sin 2sin 24sin sin sin A B C A B C ++=(6)cos2cos2cos214cos cos cos A B C A B C ++=--(7) 222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+ (8) 222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C ++=-(9) tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅注：由()C A B π=-+两边取正切 (10) tantan tan tan tan tan 1222222A B B C C A++= 注：由222C A B π+=-两边取正切解三角形常见的类型及解法在三角形的 6 个元素中要知 3 个才能求解 1. 已知：一边和两角（如a ，B ，C ）一般解法：由 A+B+C=π，求∠A ；由正弦定理求出b ，c 在有解时只有一解2. 已知：两边和夹角（如a ，b ，C ）一般解法：由余弦定理求出第三边；由正弦定理求出小边所对的角； 再由A+B+C=π求出另一角. 在有解时只有一解第 7 页 共 7 页3. 已知：三边（如a ，b ，c ）一般解法：由余弦定理求出∠A 、∠B ；再利用A+B+C=π求出∠C 在有解时只有一解 4. 已知：两边和其中一边的对角（如a ， b ，A ）一般解法：由正弦定理求出∠B ；利用A+B+C=π求出∠C ；再利用正弦定理或余弦定理求c ，在有解时可有一解、两解或无解 三角形存在性讨论已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有一解、两解或无解。