第1.2节 微分方程及其解的几何解释

本节重点 : 1. 线素场，奇异点，积分 曲线，等斜线 线素场，奇异点， 曲线， 2.由线素场大致确定积分 曲线
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首首首首给给导导导导 给给给给给导导，这这 导导导。这这这这导这
的的的的的 . 来来来的导导来来 分分中的分分。
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非此书中的作业~~~~
14
非此书中的作业~~~
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非此书中的作业～～～
(17)
积中 f ( x , y)这是通是是 G分的内内导导 . 假假
y = φ( x )( x ∈ I)
这一一的常 (积中 I这常的是在是是 )，则 y = φ( x ) 在( x , y)是通把的图一这给条平 滑的会这 Γ，
dφ 一来常一分一一 (17)的会分会这 .代代（ 17）使： = f ( x , φ). dx
，如如因如这如如的如 会分会这积这积积积这 会会给会把会分会这会
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给一一分一一的对一一
式
dy p ( x , y) , P, Q这是是 G分的内内导导 . =− dx Q( x , y)
对 Q( x y ) ≠ 0 :
0, 0
dx Q( x , y) =− 对 Q( x y ) = 0, 但 P( x y ) ≠ 0 : dy P ( x , y)
0, 0 0, 0
奇奇这 ( x y ) : 使使 Q( x y ) = 0 = P( x y )的这，
0, 0 0, 0 0, 0
这这的这这这这这这这
确给 .
因此这这因是分 x , y的的的的，因的的的 地地，把把把一一把把 对一的一式：
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P( x, y)dx + Q( x , y)dy = 0.
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dy y = 例 dx x y 常等要这一一 : = k ,常 y = kx.直这会 y = kx， k这是的 x
常导常常积通常 .
dy x =− 例例 dx y 1 常等要这 y = − x, k ≠ 0. k
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注的： 要要等要这这把会分会 会分会这会的积积积积 会分会这会因会积积， 通通通通通通的这首， 线确 . 这会画线确，还使 结结 条 等. 画
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反通来 : 来 φ ?
3
例
′ = x 2 + y2Baidu Nhomakorabeay
4
5
给 给的：这这，这这这(一向这)
给理1.1 会分会这与这这这吻结；反通来， 与这这这吻结的会这这会分会这。 二。这这这的做这：等倾要这这 例例1.4 例例1.5 三 对一一式的一分一一
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例 画出方程 y′ = x 2 + y 2 所确定的方向场. 所确定的方向场. 一一的等要这常 x 2 + y 2 = C , 取 C = 0, 0.5, 1, 1.5, 2,
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一一(1.1)的常y(x), 在是通把做如积图像， 这给条会这，一做常会这(常ODE常的图像)， 也叫做会分会这(这这由于在ODE历史把，早期 的常这通通会分来使的，所以如此一呼。这里 的“会分”这指会这使到的一式而言的)。 本节研例：因常一一，探索会分会这的大致积积。
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研研研例
给一一分一一
dy = f ( x , y), dx
第二节 给的1.1 一一如
(n)
几何解释 of solution
F( x , y, y' ,L, y ) = 0, x ∈ J
的等式叫做常一分，积 中 x这的的的， y这是是导导。
n叫做这个一一的一。
这积 ODE : 关于 y, y' ,…… y ^ ( n )这是是而言这给是的。 非这积 ODE :
再在 每条等要这把适当选取 若干个这画如对应的向 如图一向这. 的 λτ 0 ,如图一向这 如图一向这
o
x
y
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根据一向这常可大致描绘如会分会这． 根据一向这常可大致描绘如会分会这． 经通这 (0,1), (0,0), (0,−1) 的三条会分会这． 的三条会分会这．
y
o
x
用数学软件画积分曲线 族：