第1.2节 微分方程及其解的几何解释
微分方程基本概念与解法
微分方程基本概念与解法
一、概念引入
微分方程作为数学中的重要分支，广泛应用于自然科学、工程技
术等领域中，是研究自然现象和描述物理过程的重要工具之一。微分
方程的研究，对于解决实际问题，推动科学技术的发展具有重要意义。本文将介绍微分方程的基本概念以及解法。
二、微分方程的定义
微分方程是描述函数与其导数、高阶导数之间关系的方程。通常
用x和y表示自变量和因变量，设y=f(x)，则微分方程可以表示为
F(x,y,y',y'',...)=0的形式。其中F为x、y及其导数的函数，y'、y''分别表示y的一阶和二阶导数。
三、常微分方程与偏微分方程
常微分方程是指只涉及一个自变量的微分方程，其解是一个函数。而偏微分方程涉及多个自变量的微分方程，其解是一个多元函数。
四、微分方程的阶数
微分方程的阶数是指微分方程中最高阶导数的阶数。例如，
y'=3x^2+2x是一阶微分方程，y''=4x+2是二阶微分方程。
五、微分方程的解法
微分方程的解法主要有解析解和数值解两种方法。
1. 解析解方法
解析解方法是通过代数运算和数学技巧，直接求得微分方程的解表达式。常见的解法有分离变量法、常数变易法、齐次方程法、伯努利方程法等。
2. 数值解方法
数值解方法是通过数值计算近似地求解微分方程。常见的数值解法有欧拉法、龙格-库塔法、变步长法等。数值解法适用于无法求得解析解或解析解过于复杂的微分方程。
六、应用举例
微分方程在自然科学和工程技术中具有广泛的应用。以下举例说明微分方程的应用场景。
1. 物理学中的运动问题
在描述物体的运动过程时，常常会遇到涉及时间、速度和加速度之间关系的微分方程。通过解微分方程，可以求得物体的位置、速度和加速度随时间的变化规律。
常微分方程第一章第二节
下特殊性质：时间轴 t 的平移不影响方向场，即可以在空
间 (x, y,t) 将方程的积分曲线投影到 (x, y)平面上，上述
方程组变为
dy g (x, y) dx f (x, y)
或者
dx f (x, y) dy g(x, y)
其在 Oxy 平面上的积分曲线即为上述方程组的轨线.
在相平面上满足 f (x, y) 0 的曲线称为垂直等倾斜线；
而满足g(x, y) 0 的曲线称为水平等倾斜线.
而且一定含有项
dny
dx.n
线性与非线性微分方程
y,
dy dx
,如果, ddnxn ny阶的微一分次方有程理整F 式x,，y,则ddyx称, 它, dd为xn nyn阶 线0 性的微左分边方是程。
例如：
(1) dy 2x dx
(2)
d4x dt 4
5
d2x dt 2
3x
sin
(3)
d2x dt 2
tx dx 3 dt
x
0
;
(2) xdy ydx 0 ;
(4)
d4x dt 4
5
d2x dt 2
3x
sin
t
;
如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏 微分方程，例如
微分方程认识微分方程的基本概念与解法
微分方程认识微分方程的基本概念与解法
微分方程：认识微分方程的基本概念与解法
微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、生物
等领域。本文将介绍微分方程的基本概念和解法，以帮助读者对微分
方程有更深入的认识。
一、微分方程的定义和分类
微分方程是含有未知函数及其导数的方程。一般可分为常微分方程
和偏微分方程两类。常微分方程仅涉及一个独立变量，而偏微分方程
则涉及多个独立变量。
常微分方程还可根据阶数进行分类，其中阶数为二的方程较为常见。例如，一阶线性微分方程可表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和
q(x)是已知函数；二阶线性微分方程可表示为d²y/dx² + p(x)dy/dx +
q(x)y = r(x)，其中p(x)，q(x)，和r(x)是已知函数。
二、解微分方程的基本方法
1. 可分离变量法
当微分方程可通过分离变量后进行变量代换，使之变为两个纯变量
相乘的形式时，可利用可分离变量法解方程。具体步骤为将方程两端
分离相乘并求积分，最后解出未知函数。
2. 线性微分方程的齐次与非齐次解法
线性微分方程是指可写成dy/dx + p(x)y = q(x)形式的方程。对于齐次线性方程dy/dx + p(x)y = 0，可通过变量代换将其转化为一阶可分离变量方程进行求解。对于非齐次线性方程dy/dx + p(x)y = q(x)，可通过常数变易法求得非齐次线性微分方程的一个特解，并将通解与特解相加得到最终解。
3. 常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程是指方程中的系数与自变量无关。一般形式为dⁿy/dxⁿ + a₁dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + an-1dy/dx + any = 0。解常系数线性微分方程的方法是先猜解，再通过代入方程进行求解。
常微分方程的几何解释
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第二章 基本定理
2.1 常微分方程的几何解释 2.2 解的存在唯一性定理 2.3 解的延展 2.4 奇解与包络
常微分方程
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2.1 常微分方程的几何解释
2.1.1 线素场
一阶微分方程 dy f ( x, y) 2.1
dx
右端函数 f x, y 在区域 G 内有定义.以 x, y为中
xn b
常微分方程
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先求出 f x0, y0
用经过 x0, y0 斜率为
y
x1
,
y1
x2
,
y2
f x0, y0 的直线段来近
y0
似积分曲线,其方程为
y y0 f x0, y0 x x0
x0 x1 x2
bx
求出直线上横坐标 x1 处的点的纵坐标
点线素重合.整个曲线L都是这样.
充分性 设方程为 y x 的曲线L,在其上任
何一点 x, x处,它的切线方向都与方程(2.1)的线
素场的线素方向重合,则切线斜率与线素斜率应当相
等.于是,在函数 y x有定义的区间上,恒有等式
x f x, x
y x ,则函数为(2.1)的一个解.于是,在其有
定义的区间上有
微分方程及其解的定义
微分方程
什么就是微分方程？它就是怎样产生的？这就是首先要回答的问题、
300多年前,由牛顿(Newton,1642-1727)与莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学,就是人类科学史上划时代的重大发现,而微积分的产生与发展,又与求解微分方程问题密切相关、这就是因为,微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求、一般地,运动规律很难全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观察到运动的全过程、然而,运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间,通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系,我们容易捕捉到这种联系,而这种联系,用数学语言表达出来,其结果往往形成一个微分方程、一旦求出这个方程的解,其运动规律将一目了然、下面的例子,将会使您瞧到微分方程就是表达自然规律的一种最为自然的数学语言、例1 物体下落问题
设质量为m的物体,在时间t=0时,在距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落,求此物体下落时距离与时间的关系、
解如图1-1建立坐标系,设为t时刻物体的位置坐标、于就是物体下落的速度为
加速度为
质量为m的物体,在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg与空气阻力,当速度不太大时,空气阻力可取为与速度成正比、于就是根据牛顿第二定律
F = ma (力=质量×加速度)
可以列出方程
(·= )(1、1) 其中k ＞0为阻尼系数,g就是重力加速度、
(1、1)式就就是一个微分方程,这里t就是自变量,x就是未知函数,就是未知函数
对t导数、现在,我们还不会求解方程(1、1),但就是,如果考虑k=0的情形,即自由落体运动,此时方程(1、1)可化为
微分方程的基本概念与解法
微分方程的基本概念与解法
微分方程是数学中的一个重要分支，旨在描述自然界中的各种
变化和变化规律。在数学和其它领域中，微分方程的表述方式和
求解方法应用广泛，是研究数学和自然科学必备的基础知识之一。本文结合一些例子，介绍微分方程的基本概念、分类和解法。
一、微分方程的定义和表示
微分方程简单来说是一个含有未知函数及其导数的方程。我们
假设所要研究的函数是y=f(x)，f(x)的n阶导数为y^(n)，则微分方程可表示成以下形式：
F(x, y, y', y'',..., y^n)=0，其中y'=dy/dx，y''=d^2 y/dx^2，
y^n=d^n y/dx^n。
例如，一阶常微分方程dy/dx=f(x)，则可表示成F(x, y, y')=y'-
f(x)=0。
二、微分方程的分类
微分方程可分为常微分方程和偏微分方程。
1、常微分方程
常微分方程只涉及一个自变量，例如dy/dx=f(x)或
y''+p(x)y'+q(x)y=0。一些常见的常微分方程类型包括：
一阶线性方程：dy/dx+p(x)y=q(x)，可用一阶常系数线性微分方程的方法求解；
二阶线性齐次方程：y''+p(x)y'+q(x)y=0，可用常系数线性微分方程的方法求解；
二阶非齐次方程：y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可用常系数非齐次线性微分方程的方法求解。
2、偏微分方程
偏微分方程涉及多个自变量，例如
p(x,y)∂u/∂x+q(x,y)∂u/∂y=r(x,y)。该方程式中，u是自变量x和y的函数，偏导数∂u/∂x和∂u/∂y亦为u的函数。
微分方程的基本概念和解法
微分方程的基本概念和解法微分方程是数学中非常重要的一种工具。它是数学中最重要的一个分支之一，也是其他许多学科的基础。微分方程在物理、化学、工程学、经济学、生物学以及计算机科学等领域都有着广泛的应用。本文将介绍微分方程的基本概念和解法。
一、微分方程的定义
微分方程是用来描述一些量的变化率的方程。在微分方程中，自变量通常是时间或空间，因变量是需要得到的量。微分方程通常由一个或多个未知函数及其导数或微分构成。
二、微分方程的类型
微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程。偏微分方程是涉及到多个自变量的微分方程。
另外，微分方程还可分为一阶微分方程和高阶微分方程两类。一阶微分方程的未知函数只出现一次导数，高阶微分方程的未知函数出现多次导数。
三、微分方程的解法
1.分离变量法
分离变量法是求解一阶微分方程的一种常用方法。假设一个未知函数y是由x的函数所支配的，即y=f(x)。将y的微分表达式dy表示成dx的函数，然后将各变量分离出来，即得到
dy/g(y)=f(x)dx，再将其两边同时积分，即可求出y的解函数。
例如，考虑求解y'=2xy的一般解。首先将dy=y'dx，将y的微分表达式代入原方程，得到dy=2xydx。将dy除以y并将dx除以2x，得到dy/y=xdx。对其两边同时积分，可得ln|y|=x^2+C，其中C为常数。解出y，得y=±e^(x^2+C)，即为通解。
2.齐次方程法
齐次方程也是求解一阶微分方程的一种方法。若一个一阶微分方程可以化为dy/dx=f(y/x)的形式，则称其为齐次方程。求解齐次方程的方法为令v=y/x，等价于y=vx，然后对v关于x求导数，即dv/dx=y'x-y/x^2，代入原方程即可得到f(v)dv=vdx。对其两边同时积分即可得到通解y=Cx^m，其中m为常数。
常微分方程简介
第七章 常微分方程简介
我们已经学完一元函数微积分的基本内容．回顾微积分的产生和发展，就会发现它与人们求解微分方程的需要有密切关系．20世纪以前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学，而现在它几乎渗透到自然科学和一些社会科学的各个领域，已成为人们研究科学技术，解决实际问题的不可缺少的有力工具．
本章我们主要介绍常微分方程的基本概念，一阶微分方程的初等解法，可降阶的高阶方程及常系数线性方程的求解方法，它是本课程的一个重要组成部分．
§7.1 基本概念
1. 微分方程及其解的定义
利用数学手段研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题，一般先要建立数学模型，再对数学模型进行简化和求解，最后结合实际问题对结果进行分析和讨论．数学模型最常见的表达方式是包含自变量和未知函数的方程，在很多情况下未知函数的导数(或微分)也会在方程中出现，于是便自然地称这类方程为微分方程．
定义7.1.1 联系着自变量、未知函数及其某些导数的方程称为微分方程． 只含一个自变量的方程称为常微分方程，自变量多于一个的称为偏微分方程．微分方程中实际出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶．
于是n 阶常微分方程的一般形式是
0),,,,()(='n y y y x F ， (1.1) 其中F 是2+n 个变元的已知函数，且)(n y 一定出现．(注意，这里我们仅引用了多元函数的记号，它是一元函数记号在形式上的推广．)
本章只介绍常微分方程，并简称为微分方程或方程．
定义7.1.2 如果方程(1.1)的左边函数F 对未知函数y 和它的各阶导数)(,n y y '的全体而言是一次的，则称它为线性微分方程，否则称它为非线性微分方程．
微分方程的基本概念与解法
微分方程的基本概念与解法
微分方程是描述变量之间关系的数学方程，其中涉及自变量的导数。微分方程在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。本文将介绍
微分方程的基本概念，并讨论其中的解法。
一、微分方程的基本概念
微分方程是描述一些变量之间的关系的数学方程。其中含有自变量
的导数。一般形式的微分方程可以表示为：
dy/dx = f(x,y)
其中y是自变量x的函数，f(x,y)是关于x和y的已知函数。微分方
程可以描述许多现象，例如物理学中的运动、化学中的反应速率等。
微分方程可以分为很多不同的类型，包括常微分方程、偏微分方程、一阶微分方程、高阶微分方程等。不同类型的微分方程使用不同的解法。
二、一阶微分方程的解法
一阶微分方程是指方程中最高阶导数为一阶的方程。一阶微分方程
的一般形式可以写作：
dy/dx = f(x)
解一阶微分方程的常见方法包括分离变量法、齐次方程法和一阶线
性常系数齐次方程法。
1. 分离变量法
分离变量法是一种常用的解一阶微分方程的方法。首先将方程中的项进行变形，使得自变量和因变量分开，然后对两边同时进行积分，得到解的表达式。
2. 齐次方程法
当一阶微分方程可以改写为dy/dx = g(y/x)时，可以使用齐次方程法进行解。将y/x表示为新的未知函数u，然后进行变量代换和化简，最后得到一个可分离变量的方程。
3. 一阶线性常系数齐次方程法
形如dy/dx + P(x)y = 0的方程可以使用一阶线性常系数齐次方程法进行解。解这种方程需要求解常数P(x)的积分因子，然后通过乘以积分因子将方程化为可分离变量的形式。
初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解法
初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解
法
微分方程是数学中重要的分支之一，它在很多领域都有广泛的应用。本文将介绍初中数学中微分方程的基本概念和解法。
一、微分方程的基本概念
微分方程是含有一个或多个未知函数的方程，其中未知函数与其导
数之间存在一定的关系。微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程
两大类。在初中数学中，我们主要学习常微分方程。
1.1 一阶微分方程
一阶微分方程是指只含有未知函数的一阶导数的微分方程。一阶微
分方程的一般形式可以表示为dy/dx=f(x)，其中y是未知函数，x是自
变量，f(x)是已知函数。
1.2 高阶微分方程
高阶微分方程是指含有未知函数的高阶导数的微分方程。高阶微分
方程的一般形式可以表示为d^n y/dx^n=f(x)，其中y是未知函数，x是
自变量，f(x)是已知函数，n为正整数。
二、微分方程的解法
解微分方程的关键是确定未知函数的表达式，常用的解法有分离变
量法、齐次法、一阶线性微分方程和二阶齐次线性微分方程等。
2.1 分离变量法
对于一阶微分方程dy/dx=f(x)，如果可以将方程两边的变量分离到方程两侧，则可以通过积分的方式解得未知函数y的表达式。具体步骤如下：
- 将方程化为dy=f(x)dx的形式；
- 将dy和dx分离到方程两侧；
- 对方程两边同时积分，得到y的表达式；
- 添加常数C，得到通解。
2.2 齐次法
对于一阶微分方程dy/dx=f(x,y)，如果可以将方程通过变量代换化为dy/dx=g(x/y)的形式，则可以通过变量代换和分离变量的方式解得未知函数y的表达式。具体步骤如下：
微分方程的几何意义
微分方程的几何意义
微分方程是数学中的一种重要工具，它描述了物理、化学、生物等自然现象的变化规律。但是这些方程看起来常常让人头疼，难以理解。其实，微分方程有着深刻的几何意义，理解了这些几何意义，我们就能更好地掌握微分方程。
微分方程的几何意义可以从两个角度来理解：一是微分方程描述的曲线的几何特征，二是微分方程的解的几何意义。
对于第一个角度，微分方程描述的曲线是由导数和函数值所规定的，它们共同决定了曲线的切线、法线和曲率等几何特征。比如，一阶微分方程y'=f(x,y)描述的曲线就是由斜率为f(x,y)的切线构成的，这可以帮助我们理解曲线的变化趋势和斜率的作用。
对于第二个角度，微分方程的解是由常数C所确定的，C可以看做是曲线的偏移量，它决定了曲线在坐标系中的位置。比如，一阶线性微分方程y'+p(x)y=q(x)的通解y=c1e^(-∫p(x)dx)+c2e^(-∫
p(x)dx)∫q(x)e^∫p(x)dxdx中的c1和c2就决定了曲线在坐标系中的位置和形态。
总之，微分方程的几何意义是深刻的，它使我们能够更好地理解微分方程的本质，掌握微分方程的解法，以及更好地应用微分方程解决实际问题。
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微分方程的基本概念与解法
微分方程是研究变量之间相互关系的数学工具，它在自然科学、工程技术等领域有着广泛应用。本文将从微分方程的基本概念和解法两个方面进行介绍。
微分方程的基本概念主要包括方程的定义、阶数、常微分方程和偏微分方程等内容。首先，微分方程是包含未知函数及其导数的方程，例如
dy/dx+f(x)y=g(x)就是一个一阶常微分方程。其次，阶数是指微分方程中出现的最高阶导数的阶数，比如dy²/dx²+2y=0是二阶常微分方程。常微分方程与偏微分方程的区别在于常微分方程中未知函数是一个自变量的函数，而偏微分方程中未知函数是多个自变量的函数。
微分方程的解法可以分为常微分方程的解法和偏微分方程的解法两部分。在常微分方程的解法中，常见的方法有变量分离法、两个常微分方程的相减法、特解叠加法等。变量分离法是指将方程中的未知函数和导数分开，通过两边积分得到解。两个常微分方程的相减法是指将两个方程相减得到一个新的方程，从而简化问题的求解。特解叠加法是指将方程的通解和特解相加得到问题的解。
偏微分方程的解法相对较为复杂，常用的方法有分离变量法、特征线法、变换法等。分离变量法是指将方程中的未知函数分开，进行变量的分离，从而得到简化的方程组。特征线法是根据方程的特征线来求解问题，通过引入新的变量降低方程的阶数。变换法是通过对方程进行一定的变量代换，将原问题转化为一个更加简单的方程。
微分方程的解不仅仅是函数，还可以是曲线、曲面等几何对象。解的存在性和唯一性是对微分方程解的重要性质进行刻画的定理。解的存在性是指在一定的条件下，微分方程一定存在解。而解的唯一性则是指在一定的条件下，微分方程的解是唯一的。通过解的存在性和唯一性可以方便地对微分方程进行求解和判断。
丁同仁常微分方程第一版习题参考解答
丁同仁常微分方程第一版习题参考解答
1.1微分方程及其解的定义习题参考解答
1.2微分方程及其解的几何解释习题参考解答
2.1恰当方程习题参考解答
2.2变量分离的方程习题参考解答
2.3一阶线性方程习题参考解答
2.4初等变换法习题参考解答
2.5积分因子法习题参考解答
2.6应用举例习题参考解答
3.1Picard 存在和唯一性定理习题参考解答
3.2Peano 存在性定理习题参考解答
3.3解的延拓习题参考解答
3.4比较定理及其应用习题参考解答
4.1一阶隐式微分方程习题参考解答
4.2奇解习题参考解答
4.3包络习题参考解答
5.1几个例子习题参考解答
5.2n维线性空间的微分方程习题参考解答
5.3解对初值和参数的连续依赖性习题参考解答
5.4解对初值和参数的连续可微性习题参考解答
6.1一般理论习题参考解答
6.2常系数线性微分方程组习题参考解答
6.3高阶线性微分方程习题参考解答
6.4算子法和 Laplace 变换法简介习题参考解答
7.1Cauchy 定理习题参考解答
7.2幂级数解法习题参考解答
7.3Legendre 多项式习题参考解答
7.4广义幂级数解法习题参考解答
7.5Bessel 函数习题参考解答
8.2解的稳定性习题参考解答
8.3平面上的动力系统, 奇点与极限环习题参考解答
9.1Sturm 比较定理习题参考解答
9.2Sturm--Liouville 边值问题的特征值习题参考解答9.3特征函数系的正交性习题参考解答
9.4一个非齐次边值问题的例子习题参考解答
9.5周期边值问题习题参考解答
10.2首次积分的性质习题参考解答
微分方程的几何意义
微分方程的几何意义
微分方程是数学中重要的一类方程，它描述了函数与其导数之间的关系。微分方程在多个领域中都有广泛的应用，例如物理学、化学、工程学等。而微分方程的几何意义则是指其解所表示的曲线或曲面在空间中的几何特征。
对于一阶微分方程来说，其解可以表示为一条曲线。例如，y' = f(x,y)表示的是一个点(x,y)处的切线斜率等于f(x,y)，则方程
的解就是一族曲线，每一条曲线在每个点处的切线斜率都等于其对应的f(x,y)。这样的曲线就可以被看作是一些切线斜率相同的曲线的集合，即方向场。
对于二阶微分方程来说，其解可以表示为一条曲面。例如，y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)表示的是一个函数y(x)满足该方程的二
阶导数等于g(x)与其一阶导数和经过一些系数变换后的结果。则该方程的解可以表示为一张曲面，曲面上每个点的斜率等于其在该点的二阶导数，而这个斜率的大小与曲面的高度成正比。这样的曲面就可以被看作是一些二阶导数相同的曲面的集合，即方向场。
在微分方程的研究中，几何意义可以帮助我们更加直观地理解微分方程的解的特征，进而更好地解决实际问题。例如，在物理学中，微分方程的几何意义可以帮助我们更好地理解物体的运动规律，从而更好地解决相关问题。在工程学中，微分方程的几何意义可以帮助我们更好地理解物理现象和工程设计的本质，从而更好地设计工程方案。因此，微分方程的几何意义是微分方程研究中不可
或缺的一部分。
常微分方程教程
y ( x, c1, c2,cn )
称为该方程的通解，如果方程的解 y (x) 不包
含任意常数，则称它为特解. 由隐式表出的通解称为通积分
例如 函数 y c1e x c2 xn2 c3xn3 cn 是方程
y(n) y(n1) 0, ( y' dy )
y(n) y(n1) 0, ( y' dy )
dx
在区间(-∞，+∞)上的解，其中
c1, c2 ,cn
是任意的常数.
从上面的例子中，可以看到一个重要事实，那就是 微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数 的个数可以多到与方程的阶数相等（也可以不含任 意常数）.
定义1.3
把n阶常微分方程 F(x, y, y',, y(n)) 0
dx
在区间(-∞，+∞)上的通解，其中
c1, c2 ,cn
是任意的常数. 而 y=1而是方程的一个特解。
初值问题
❖ 例 自由落体
设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度 v(0) v0 垂直地
面下落，求此物体下落时距离与时间的关系.
解: 如图建立坐标系. 设y=y(t)为t时刻物体的位置坐标. 则易得物体下落所满足的方程为
此为带有微分的方程.
例6 正规战与游击战
微分方程及其解定义
微分方程
什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题.
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.
例1 物体下落问题
设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落，求此物体下落时距离与时间的关系.
解如图1-1建立坐标系，设为t时刻物体的位置坐标.于是物体下落的速度为
加速度为
质量为m的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律
F = ma (力=质量×加速度)
可以列出方程
(·= ）(1.1) 其中k ＞0为阻尼系数，g是重力加速度.
(1.1)式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，是未知函数对t
导数.现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程(1.1)可化为
常微分方程的基本知识
其中c1也是正常数。类似地
1 dy dy a2 b2 x c2 y , 或 y(a2 b2 x c2 y ), y dt dt
其中a2，b2，c2均为正常数。于是得到两种群竞争的数 学模型为：
dx x(a1 b1 x c1 y ), dt dy y(a b x c y ). 2 2 2 dt (1.3)
(1.5)
显然，方程（1.4）与方程组（1.5）是等价的。
例1 化如下微分方程为一阶线性微分方程组
d2y dy p( x) q( x) y 0 dx dx
解：令
dy y y1 , y2 dx
则原微分方程化为等价的一阶线性微分方程组
dy1 y2 dx dy2 p ( x) y q ( x) y 2 1 dx
第七章 常微分方程
第一节 常微分方程的基本知识
要求:了解常微分方程的一般形式,解的存在性定理,解的 几何解释
1.1 微分方程的基本知识 两个实例
例1.1 设有由电容C、电感L、电阻R和电源组成 的串联电路，其中R,L,C与电源电动势E都为常数， 在开关K闭合前电容器未充电，求开关闭合后，电 容器两端电压uc的变化规律。
其中a1 , b1均为正常数，a1是出生率与死亡率之差， b1 x 反映了由于x个体数量增加对其相对增长率的抑制。现 在，由于种群y的存在，y将与x竞争同一资源，于是y的 个体数量也将抑制x的相对增长率，从而有
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本节重点 : 1. 线素场，奇异点，积分 曲线，等斜线 线素场，奇异点， 曲线， 2.由线素场大致确定积分 曲线
12
首首首首给给导导导导 给给给给给导导，这这 导导导。这这这这导这
的的的的的 . 来来来的导导来来 分分中的分分。
13
非此书中的作业~~~~
14
非此书中的作业~~~
15
非此书中的作业～～～
(17)
积中 f ( x , y)这是通是是 G分的内内导导 . 假假
y = φ( x )( x ∈ I)
这一一的常 (积中 I这常的是在是是 )，则 y = φ( x ) 在( x , y)是通把的图一这给条平 滑的会这 Γ，
dφ 一来常一分一一 (17)的会分会这 .代代（ 17）使： = f ( x , φ). dx
，如如因如这如如的如 会分会这积这积积积这 会会给会把会分会这会
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给一一分一一的对一一
式
dy p ( x , y) , P, Q这是是 G分的内内导导 . =− dx Q( x , y)
对 Q( x y ) ≠ 0 :
0, 0
dx Q( x , y) =− 对 Q( x y ) = 0, 但 P( x y ) ≠ 0 : dy P ( x , y)
0, 0 0, 0
奇奇这 ( x y ) : 使使 Q( x y ) = 0 = P( x y )的这，
0, 0 0, 0 0, 0
这这的这这这这这这这
确给 .
因此这这因是分 x , y的的的的，因的的的 地地，把把把一一把把 对一的一式：
11
P( x, y)dx + Q( x , y)dy = 0.
8
dy y = 例 dx x y 常等要这一一 : = k ,常 y = kx.直这会 y = kx， k这是的 x
常导常常积通常 .
dy x =− 例例 dx y 1 常等要这 y = − x, k ≠ 0. k
9
注的： 要要等要这这把会分会 会分会这会的积积积积 会分会这会因会积积， 通通通通通通的这首， 线确 . 这会画线确，还使 结结 条 等. 画
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反通来 : 来 φ ?
3
例
′ = x 2 + y2Baidu Nhomakorabeay
4
5
给 给的：这这，这这这(一向这)
给理1.1 会分会这与这这这吻结；反通来， 与这这这吻结的会这这会分会这。 二。这这这的做这：等倾要这这 例例1.4 例例1.5 三 对一一式的一分一一
6
例 画出方程 y′ = x 2 + y 2 所确定的方向场. 所确定的方向场. 一一的等要这常 x 2 + y 2 = C , 取 C = 0, 0.5, 1, 1.5, 2,
1
一一(1.1)的常y(x), 在是通把做如积图像， 这给条会这，一做常会这(常ODE常的图像)， 也叫做会分会这(这这由于在ODE历史把，早期 的常这通通会分来使的，所以如此一呼。这里 的“会分”这指会这使到的一式而言的)。 本节研例：因常一一，探索会分会这的大致积积。
2
研研研例
给一一分一一
dy = f ( x , y), dx
第二节 给的1.1 一一如
(n)
几何解释 of solution
F( x , y, y' ,L, y ) = 0, x ∈ J
的等式叫做常一分，积 中 x这的的的， y这是是导导。
n叫做这个一一的一。
这积 ODE : 关于 y, y' ,…… y ^ ( n )这是是而言这给是的。 非这积 ODE :
再在 每条等要这把适当选取 若干个这画如对应的向 如图一向这. 的 λτ 0 ,如图一向这 如图一向这
o
x
y
7
根据一向这常可大致描绘如会分会这． 根据一向这常可大致描绘如会分会这． 经通这 (0,1), (0,0), (0,−1) 的三条会分会这． 的三条会分会这．
y
o
x
用数学软件画积分曲线 族：