常微分方程-基本概念讲课教案
常微分方程基本概念PPT讲稿
的解.
y + 2y + y = 0
解 求 y = 3e – x – xe – x 的导数， 得
y = - 4e – x + xe - x, y = 5e – x - xe - x,
将 y，y 及 y 代入原方程的左边，有 (5e – x - xe - x) + 2(- 4e – x + xe - x) + 3e – x – xe – x = 0， 即函数 y = 3e – x – xe – x 满足原方程，所以该函数是 所给二阶微分方程的解.
语言. 2020/8/21
2
一、微分方程
定义 1 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程， 称为微分方程，有 时 简 称 为 方 程 ， 未 知 函 数 是 一 元 函数的微分方程称做常微分方程，未 知 函 数 是 多 元 函数的微分方程称做偏微分方程. 本教材仅讨论常微 分方程，并简称为微分方程.
2020/8/21
4
二、微分方程的解
定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的 函数，都叫做该方程的解. 若微分方程的解中含有 任意常数的个数与方程的阶数相同，且 任 意 常 数 之 间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解). 当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称 为方程的特解.
2020/8/21
7
例 2 验证方程 y 2 y 的通解为 y = Cx2 (C 为
x
任意常数)，并求满足初始条件 y|x = 1 = 2 的特解.
解 由 y = Cx2 得 y = 2Cx,
将 y 及 y 代入原方程的左、右两边，左边有 y= 2Cx，
而右边 2 y 2Cx, 所以函数 y = Cx2 满足原方程.
高等数学(第三版)课件：常微分方程的基本概念
y 1 (e2x e2x ). 4
y' |xx0 y'0 , 或 y'(x0 ) y'0 , 其中x0 , y0 , y'0都是已知值. 一般地，对于n阶微分方程需给出n个初值条件：
y(x0 ) y0，y'(x0 ) y'0 ,，y(n1) (x0 ) y0(n1) .
4.微分方程的解的几何意义 微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线.通
(11)
的特解.
解 将函数y C1e2x C2e2x分别求一阶及二阶导数， 得 y' 2C1e2x 2C2e2x，
y" 4C1e2x 4C2e2x，
把它们代入微分方程(10)的左端，得
y" 4 y 4C1e2x 4C2e2x 4C1e2x 4C2e2x 0
所以函数y C1e2x C2e2x是所给微分方程(10)的解. 又因这个解中含有两个独立的任意常数，任意常数
微分方程的基本概念
一、引例 二、微分方程的一般概念
一、引例
例1 一曲线通过点 (1,2),且该曲线上任意点P(x,y)处的切
线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程.
解 设所求曲线的方程为y y(x).由导数的几何意义得
dy 3x2 , d(1,2)，故y y(x)应满足条件：
解 设物体在时刻t所经过的路程为s s(t), 根据牛顿 第二定律可知，作用在物体上的外力mg(重力) 应等于物体的质量m 与加 速度的乘积，于是得
m d2s mg，即 d2s g
(5)
dt 2
dt 2
其中g是重力加速度.
将上式改写为
d dt
ds dt
g，
因此可得
常微分方程的基本概念课件
微分方程的解
总结词
求解常微分方程是数学中的一个重要问题。
详细描述
求解常微分方程是数学中的一个重要问题，也是应用领 域中经常遇到的问题。求解常微分方程的方法有多种， 包括分离变量法、变量代换法、积分因子法、常数变易 法等。对于一些特殊类型的常微分方程，如线性微分方 程、一阶常系数线性微分方程等，有特定的解法。此外， 数值解法也是求解常微分方程的一种常用方法，如欧拉 法、龙格-库塔法等。
线性微分方程的解法
总结词
详细描述
欧拉方法
总结词
详细描述
CATALOGUE
常微分方程的应用
物理问题
01
自由落体运动
02 弹性碰撞
03 电路分析
生物问题
种群增长模型
传染病传播模型
神经网络模型
经济问题
供需关系
股票价格动态 经济周期模型
CATALOGUE常微分源自程的数值解法欧拉方法总结词 详细描述
CATALOGUE
常微分方程的解法
分离变量法
总结词
详细描述
变量代换法
总结词
通过引入新的变量来代换原方程中的未知函数，从而将复杂的问题转化为简单的 问题，便于求解。
详细描述
变量代换法是一种常用的求解常微分方程的方法。通过引入新的变量来代换原方 程中的未知函数，我们可以将复杂的问题转化为简单的问题，便于求解。这种方 法适用于具有特定形式的一阶或高阶常微分方程。
龙格-库塔方法
总结词
详细描述
龙格-库塔方法的基本思想是用一系列 的折线来逼近微分方程的解。在每一 步，它首先计算出折线的斜率，然后 用这个斜率来更新折线的位置。
改进的龙格-库塔方法
总结词
改进的龙格-库塔方法是对标准龙格-库塔 方法的改进，它在每一步都使用更高阶 的插值多项式来逼近微分方程的解。
常微分方程教案
常微分方程教案一、引言常微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本教案旨在介绍常微分方程的基本概念、解法以及应用，帮助学生掌握解常微分方程的方法，并了解其在实际问题中的应用。
二、基本概念1. 常微分方程的定义常微分方程是指只依赖于一个独立变量的函数的导数与该函数本身构成的方程。
常微分方程通常以形如 dy/dx = f(x,y) 的形式表示，其中 f(x,y) 是已知函数。
2. 常微分方程的阶数常微分方程的阶数是指方程中最高阶导数的阶数。
一阶方程仅涉及一阶导数，二阶方程涉及到一阶和二阶导数，依此类推。
3. 常微分方程的解常微分方程的解是指满足方程的函数或函数组。
解可以由解析法得到，也可以通过数值方法进行近似求解。
三、解常微分方程的方法1. 可分离变量法可分离变量法适用于能够将方程表示为 dy/dx = g(x)h(y) 的情况。
通过分离变量并积分得到解。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于能够将方程表示为 dy/dx = f(y/x) 的情况。
通过变量代换和分离变量的方法求解。
3. 线性方程法线性方程法适用于能够将方程表示为 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的情况。
通过使用积分因子和积分求解。
4. 恰当方程法恰当方程法适用于能够将方程表示为 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0的情况。
通过使用判别式和积分求解。
5. 变量替换法变量替换法适用于通过变量替换将高阶微分方程转化为一阶方程的情况。
通过适当选择替换变量，将高阶方程转化为一阶常微分方程。
四、常微分方程的应用1. 物理学中的应用常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
例如，运动学中的运动方程、电路中的电流方程、振动系统中的运动方程等都可以用常微分方程进行建模和求解。
2. 工程学中的应用常微分方程在工程学中也有着重要的应用。
例如，电力系统中的电压和电流的变化、控制系统中的系统稳定性分析等都可以通过常微分方程进行建模和分析。
常微分方程教案设计
常微分方程教案设计。
对于大多数学生来说，学习常微分方程是一项具有挑战性的任务，而教师的教学能力和教案设计对于学生的学习效果有着至关重要的影响。
在本文中，我们将讨论常微分方程教案设计的重要性以及如何构建一个富有创意和实用性的教学计划。
我们需要明确一个真理，那就是好的教学计划是成功的关键。
常微分方程是一门基础性课程，因此，好的教学计划不仅要包括课程的核心内容，还要把握学生的基础知识。
教师应当精心设计课程大纲、课堂讲义以及配套的练习题，以便于学生们深入理解和掌握所授知识。
在设计教学计划的过程中，教师应当坚定自己的教学立场，充分发挥自身专业特长，用大量的实际例子和其他应用领域中的案例帮助学生掌握和应用微分方程的方法和技巧。
同时，教师也应该时刻关注学生的学习进程，以便及时调整教学方向，保证学生的学习效率。
在设计教学计划的时候，教师需要考虑学生们的学习兴趣。
为了吸引学生，我们可以通过提问、讨论和演示各种微分方程的物理、生物、化学及其他应用领域中的问题来激发学生的兴趣，并使他们对所学知识更加投入。
此外，我们还需要为学生们提供充分的资源进行自我研究和学习，这样能够加强学生的自主学习能力。
教师可以通过引导学生使用学习笔记、索引以及其他可用的学习资源来有效地增强学生的记忆能力和知识应用技巧。
教师和学生之间的互动和互动活动也是教学活动中最重要的部分。
教师应当以友好而专业的方式与学生沟通，并鼓励学生积极参加课堂讨论和其他学习活动。
这种交流不仅有利于学生更深入地理解所学知识，还可以增进教师与学生之间的互信与合作关系。
常微分方程教案设计是一项挑战性的任务，要求教师具有扎实的教育基础和深厚的专业知识。
在教案设计过程中，教师需要充分考虑课程大纲、课堂讲义以及配套的练习题等各个方面，并注重教学立场和学生的学习兴趣。
此外，为了有效增强学生的自主学习能力，教师还需要为学生提供充足的资源和互动活动。
只有这样，我们才能为学生打造一个富有效果的教学环境，让学生们真正地深入掌握常微分方程知识，并用所学知识在实践中获得成功。
常微分方程课程设计
常微分方程 课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握常微分方程的基本概念、分类和性质，理解微分方程在数学建模和科学研究中的重要性。
2. 使学生掌握一阶微分方程的解法，包括可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程以及伯努利方程等。
3. 帮助学生理解高阶微分方程的求解方法，包括常数变易法和待定系数法。
技能目标：1. 培养学生运用数学软件（如MATLAB、Mathematica等）解决常微分方程问题的能力。
2. 培养学生分析实际问题时，能够建立数学模型，转化为微分方程，并求解的能力。
3. 提高学生通过合作学习、讨论交流等方式，解决复杂微分方程问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对常微分方程的兴趣和热情，激发学生探索数学奥秘的精神。
2. 培养学生严谨的科学态度，养成独立思考、分析问题和解决问题的习惯。
3. 增强学生的团队协作意识，学会尊重他人，提高沟通表达能力。
本课程针对高年级学生，课程性质为专业基础课。
在分析课程性质、学生特点和教学要求的基础上，将课程目标分解为具体的学习成果，以便后续的教学设计和评估。
通过本课程的学习，使学生不仅掌握常微分方程的基本知识，还能将其应用于实际问题中，提高学生的综合素质和能力。
二、教学内容本章节教学内容主要包括以下几部分：1. 常微分方程的基本概念与性质：介绍微分方程的定义、阶数、线性与非线性微分方程，分析微分方程的解及其存在唯一性定理。
2. 一阶微分方程的解法：涵盖可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程等，通过实例解析各类方程的求解方法。
3. 高阶微分方程的求解：介绍常数变易法、待定系数法等求解方法，并对具体方程进行分析。
4. 微分方程组：讲解微分方程组的求解方法，包括解的存在唯一性定理、线性微分方程组的解法等。
5. 微分方程应用：结合实际案例，教授如何将微分方程应用于物理、生物、经济等领域。
教学内容安排如下：第1周：常微分方程基本概念与性质；第2周：一阶微分方程解法（可分离变量、齐次方程）；第3周：一阶微分方程解法（一阶线性方程、伯努利方程）；第4周：高阶微分方程求解方法（常数变易法、待定系数法）；第5周：微分方程组及其解法；第6周：微分方程在实际问题中的应用。
(完整word版)常微分方程教案2
河北民族师范学院课程教案
（章节、专题首页）
河北民族师范学院课程教案
（分页）
c c是任意常数
c
()
P x dx
c e⎰
c c
=,。
4)
c
c是任意的常数，整理后
10）
方程（2.9）如果（2.10）中允许
包含在（2.10）中
代回原来的变量，得到原方程的通解为
c c
1,
c c
=
c
c c 是任意的常数
()()dx P x dx P x dx
dx c ce e dx
-⎫
+⎪⎭⎰⎰+ 2.32)
这就是方程(2.28这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法。
实际上常数变易法也是一2.29）可将方程（）化为变量分离方程。
非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和1(1)x n x ++的通解
c
)c c是任意的常数
例2 求方程
解原方程改写为
c
-
c y
ln) c是任意的常数，另外也是方程的解.
特别的，初值问题
+
()
y Q x 的解为
0()x
x P d ce
ττ
⎰+）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程3）的非零解，而，其中c 为任意常数。
课程思政教学设计-《常微分方程》
课程思政教学设计-《常微分方程》一、引言本文档是针对《常微分方程》课程的思政教学设计，旨在通过课程教学，培养学生的思想道德素质和创新能力，促进他们全面发展。
二、教学目标1. 使学生掌握《常微分方程》的基本概念、解法和应用；2. 培养学生对数学科学的兴趣和思辨能力；3. 引导学生关注社会热点问题，加强学生的社会责任感和社会意识。
三、教学内容及方法1. 基础内容- 常微分方程的定义和分类；- 常微分方程的解法和解的存在唯一性定理；- 常微分方程在物理、经济等领域的应用。
2. 教学方法- 理论授课：通过讲解和示范演示，向学生介绍常微分方程的基本概念和解法；- 实例分析：选取具体的实例，引导学生运用已学知识解决实际问题；- 讨论与交流: 设计小组讨论和整体交流环节，激发学生对数学科学的兴趣和创新能力。
四、教学评价1. 评价方式- 平时作业：布置相关题，检验学生对概念和解法的掌握程度；- 课堂表现：关注学生的参与情况、思维活跃程度和对问题的分析能力；- 期末考试：考察学生对应用题的解答能力和综合应用能力。
2. 评价标准- 结果准确性：学生的解答是否准确无误；- 方法合理性：学生的解题过程是否清晰合理；- 思维独立性：学生是否具备独立思考和创新解题的能力。
五、教学反思与改进本课程虽然在培养学生的数学思维和解题能力方面取得了较好的效果，但仍存在一些不足之处。
今后的教学中，可进一步加强理论与实践的结合，提供更多的应用案例，激发学生的研究热情和创新思维。
同时，注重培养学生的团队合作能力，加强小组讨论和合作实践的环节，以提升教学效果。
数学教案引导学生理解数学中的常微分方程
数学教案引导学生理解数学中的常微分方程一、引言在数学学科中，微分方程是一类重要的数学模型，广泛应用于物理、工程、经济等各个领域。
本教案旨在通过引导学生理解数学中的常微分方程，培养学生解决实际问题的能力，提高数学思维和计算能力。
二、教学目标1. 了解常微分方程的基本概念和分类；2. 掌握一阶常微分方程的解法；3. 能够应用常微分方程解决实际问题。
三、教学内容1. 常微分方程的概念常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是描述未知函数和它的导数关系的方程。
它涉及到未知函数、自变量和导数三个变量。
常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
2. 一阶常微分方程的解法（这里省略数学公式和推导过程，侧重介绍解法方法）（1）可分离变量法（2）齐次方程法（3）线性方程法（4）常系数线性方程法（5）恰当方程法四、教学过程1. 概念解释与例题讲解介绍常微分方程的定义和性质，并通过实例讲解一阶常微分方程的解法。
2. 练习与讨论让学生通过练习题巩固所学的解法方法，并进行讨论分析，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
3. 拓展运用引导学生通过实际问题的分析和变量建模，将问题转化为常微分方程，并运用所学的解法方法得出结果。
五、教学评价1. 课堂表现评价通过学生在课堂上的主动参与、解题能力的表现以及对常微分方程理解的深度进行评价。
2. 作业评价布置与课堂内容相关的作业题目，评价学生对解法方法的理解和运用能力。
3. 实际问题解决评价评价学生能否将实际问题转化为常微分方程，并正确运用解法方法得出准确结果。
六、教学反思通过本教案的实施，学生在数学中的常微分方程问题方面的理解将有所提升。
但教学中还需注重培养学生的实际问题解决能力，加强综合运用能力的训练，进一步提高教学质量。
七、结语在现代科学和技术的发展中，常微分方程扮演着重要的角色。
通过本教案的学习和实践，相信学生能够更好地理解数学中的常微分方程，并能够在实际问题中运用所学的知识解决现实难题。
第一节常微分方程的基本概念
思考题
函数 y 3e2x 是微分方程y 4 y 0
的什么解?
思考题解答
y 6e2x , y 12e2x , y 4 y 12e2x 4 3e2x 0, y 3e2x 中不含任意常数,
故为微分方程的特解.
练习题
一、填空题:
1、 xy 2 y x 2 y 0是______阶微分方程；
四、已知函数 y ae x be x x 1,其中a , b 为任意常 数,试求函数所满足的微分方程 .
练习题答案
一、1、3； 2、2；二、C11, Nhomakorabea22
.
三、 yy 2x 0.
四、 y y 1 x .
3、1；
4、2.
例 y y, 通解 y ce x; y y 0, 通解 y c1 sin x c2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
分类3: 线性与非线性微分方程.
y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x 0;
分类4: 单个微分方程与微分方程组.
dy dx
3
y
2z,
dz
2
y
z,
dx
三、主要问题-----求方程的解
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
设y ( x)在区间 I 上有 n 阶导数, F( x,( x),( x),,(n)( x)) 0. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独 立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
高中数学备课教案常微分方程
高中数学备课教案常微分方程高中数学备课教案：常微分方程第一部分：引言高中数学备课教案是教师备课的重要组成部分，其中备课教案的编写与准备对于一堂成功的课堂教学至关重要。
本文将为您介绍如何编写一份高中数学备课教案——常微分方程部分。
第二部分：教学目标1.了解常微分方程的基本概念和表达方式；2.能够解决一阶常微分方程并应用到实际问题中；3.培养学生对常微分方程的兴趣和探索精神。
第三部分：教学内容1.常微分方程的基本概念及分类；2.一阶常微分方程的解法；3.应用题：如何将常微分方程应用到实际问题中。
第四部分：教学过程1.导入环节：通过引入一个实际问题，激发学生对常微分方程的兴趣；2.知识讲解：简明扼要地介绍常微分方程的基本概念、分类及解法；3.示范演示：以具体例题为例，详细讲解一阶常微分方程的解法；4.学生训练：提供一系列练习题，让学生独立思考和解答；5.拓展应用：通过实际问题的应用，巩固学生的解题能力；6.课堂总结：梳理本节课的重点知识点和思考问题。
第五部分：教学评价为了及时了解学生的掌握情况和教学效果，可以采用以下几种教学评价方式：1.课堂练习：在课堂上布置一些问题，让学生积极参与解答；2.小组讨论：分成小组让学生讨论解题思路并撰写解题报告；3.个人作业：布置一些练习题作为课后作业，检验学生对常微分方程的理解和掌握程度；4.抽查问题：随机抽查部分学生回答问题，了解学生的掌握情况。
第六部分：教学反思教师应根据学生的实际情况和教学反馈，及时进行教学反思和调整。
在备课教案中，应注明教学过程中需要特别关注的问题，以及可能出现的困难和解决方法。
结语:通过编写一份高中数学备课教案——常微分方程部分，可以更好地梳理教学内容和思路，提高教学效果。
备课教案的编写需要综合考虑教学目标、内容、过程和评价等各个方面，帮助教师准备充分并提高教学质量。
希望本文能对您的备课工作有所帮助。
微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)
微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)1. 引言本教案旨在介绍微分方程和常微分方程的基本概念和解法方法，帮助学生理解和掌握微分方程的应用。
微分方程作为数学中重要的研究领域之一，具有广泛的应用背景，在物理、经济、工程等领域中都有着重要的作用。
通过本教案的研究，学生将能够理解微分方程的意义和解题方法，为进一步研究高级数学和应用数学打下坚实的基础。
2. 微分方程的概念与分类2.1 微分方程的定义微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
它可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
2.2 常微分方程的分类常微分方程是指只包含未知函数及其导数的方程。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类，其中一阶常微分方程包括可分离变量方程、线性方程和恰当方程等；高阶常微分方程包括二阶和以上阶数的常微分方程。
3. 常见的微分方程解法3.1 可分离变量方程的解法可分离变量方程是一类形如 $M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x)$、$N(y)$、$P(x)$、$Q(y)$ 是关于$x$ 或 $y$ 的函数。
可分离变量方程可以通过对方程进行变形和变量分离的方法求解。
3.2 线性方程的解法线性方程是一类形如 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 的一阶常微分方程，其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是关于 $x$ 的函数。
线性方程可以通过求解定积分和应用特解的方法求解。
3.3 恰当方程的解法恰当方程是一类形如 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x,y)$、$N(x,y)$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数，并且满足 $\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}$。
恰当方程可以通过利用积分因子的方法求解。
4. 实际应用案例分析本节将通过介绍一些实际应用案例，展示微分方程在物理、经济和工程等领域的应用。
高中数学备课教案微积分中的微分方程与常微分方程
高中数学备课教案微积分中的微分方程与常微分方程微积分是高中数学中的重要内容之一，微分方程与常微分方程是微积分中的重要知识点。
本文将围绕微分方程与常微分方程展开论述，介绍其基本概念、解法及应用。
希望通过该教案，能够帮助高中数学教师更好地备课和教学。
一、微分方程的基本概念1.1 微分方程的定义微分方程是描述自变量与其导数之间关系的方程。
一般形式为：$F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0$，其中 $y^{(n)}$ 表示 $y$ 的 $n$ 阶导数。
1.2 微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两种类型。
常微分方程是仅涉及一元函数的导数的方程，而偏微分方程涉及多元函数的偏导数。
二、常微分方程的解法2.1 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是最简单的类型，通过分离变量并进行积分的方法可求解。
具体步骤如下：（1）将微分方程中含有 $y$ 和 $y'$ 的项分别移到等号两边；（2）将含 $y$ 的项移到方程一边，含 $y'$ 的项移到另一边；（3）对两边同时积分，并加上常数 $C$。
2.2 齐次微分方程齐次微分方程是形如 $y' = f\left(\frac{y}{x}\right)$ 的方程。
使用变量替换 $v = \frac{y}{x}$，将微分方程转化为分离变量的形式。
2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程是形如 $y' + P(x)y = Q(x)$ 的方程。
通过积分因子的方法可求解该类型微分方程。
2.4 Bernoulli 微分方程Bernoulli 微分方程是形如 $y' + P(x)y = Q(x)y^n$ 的方程，使用变量替换 $v = y^{1-n}$ 将其转化为一阶线性微分方程进行求解。
三、常微分方程的应用3.1 生活中的应用常微分方程在生活中有着广泛的应用，如人口增长模型、物理学中的振动模型、化学动力学等领域。
常微分方程教案（王高雄）ch1-绪论1
常微分方程教案（王高雄）ch1-绪论1常微分方程一、微分方程的概念方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后去求方程的解。
但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。
比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。
也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。
但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。
在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。
因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。
牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。
后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
《常微分方程》教学计划
《常微分方程》教学计划一、教学目标1.了解常微分方程的基本概念和基本方法；2.掌握常微分方程的基本解法和应用；3.培养学生分析和解决实际问题的能力。
二、教学内容1.基本概念（1）常微分方程的定义和分类；（2）初等函数和特殊函数的定义和性质。
2.一阶常微分方程（1）可分离变量的一阶常微分方程；（2）齐次方程；（3）一阶线性方程；（4）恰当方程；（5）可降阶的高阶微分方程。
3.二阶常微分方程（1）二阶齐次线性方程；（2）二阶非齐次线性方程；（3）常系数齐次线性方程的特征方程；（4）常系数非齐次线性方程的特解；（5）欧拉方程和狄利克雷方程。
4.高阶常微分方程（1）n阶齐次线性方程的基本性质；（2）n阶齐次线性方程的解法；（3）n阶非齐次线性方程的解法。
5.应用（1）常微分方程在物理、生物、经济等领域的应用；（2）常微分方程在工程问题中的应用。
三、教学方法1.讲授与演示相结合的教学方法，通过具体的例子来说明概念和解法；2.引导学生进行问题分析和解决策略的讨论；3.利用练习题和例题进行巩固和拓展知识。
四、教学计划1.第一周：基本概念和一阶常微分方程（1）讲解常微分方程的定义和分类；（2）介绍初等函数和特殊函数的性质；（3）讲解可分离变量的一阶常微分方程的解法。
2.第二周：一阶常微分方程的其他解法和应用（1）讲解齐次方程、一阶线性方程和恰当方程的解法；（2）介绍可降阶的高阶微分方程；（3）讲解常微分方程在物理、生物、经济等领域的应用。
3.第三周：二阶常微分方程（1）讲解二阶齐次线性方程的解法；（2）介绍二阶非齐次线性方程的解法；（3）讲解常系数齐次线性方程的特征方程；（4）介绍常系数非齐次线性方程的特解；（5）讲解欧拉方程和狄利克雷方程。
4.第四周：高阶常微分方程（1）讲解n阶齐次线性方程的基本性质和解法；（2）介绍n阶非齐次线性方程的解法。
5.第五周：应用（1）讲解常微分方程在工程问题中的应用；（2）布置练习题和例题，巩固和拓展知识。
高等数学教案 第18课 常微分方程的基本概念、可分离变量微分方程
定义 4 用来确定任意常数的条件称为初始条件或初值条 件．
求一阶微分方程 y f (x ，y) 满足初始条件 y |xx0 y0 的特解 的问题，称为一阶微分方程的初值问题，记作
y f (x ，y) ，y来自|x x0y0
．
（5-7）
微分方程特解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线， 通解的图形是一族相互平行的曲线（有无数多条），称为积 分曲线族，如图 5-2 所示．
18 常微分方程的基本概念、可分离变量微分方程 第
课
课题 课时
教学目标
教学重难点 教学方法 教学用具 教学设计
教学过程
常微分方程的基本概念、可分离变量微分方程
2 课时（90 min）
知识技能目标： （1）掌握函数微分方程的基本概念。 （2）掌握可分离变量微分方程的解法。
思政育人目标：
由具体问题引出微分的定义，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象 产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的 良好习惯；培 养 学 生 的 逻 辑 思 维 、 辩 证 思 维 和 创 新 思 维 能 力 ；树 立 学 生 实 事 求 是 、 一 丝 不 苟 的 科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到 学以致用的目的。
教学重点：函数微分方程的基本概念
教学难点：可分离变量微分方程的解法
讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法
电脑、投影仪、多媒体课件、教材
第 1 节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第 2 节课：知识讲解（30 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）
其中 C 为任意常数．又因为曲线通过点 (0，1) ，代入上式，解 出C 1．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、微分方程
定义 1 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程， 称为微分方程，有 时 简 称 为 方 程 ， 未 知 函 数 是 一 元 函数的微分方程称做常微分方程，未 知 函 数 是 多 元 函数的微分方程称做偏微分方程. 本教材仅讨论常微 分方程，并简称为微分方程.
例如，下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为
以及
A
M
S
s(0) = 0.
②
O
s(t)
2020/6/18
8
因为 v(t) = s(t)，因此，求物体的运动方程已化 成了求解初值问题
s(t ) 2t,
s
|t
0
0,
积分后，得通解 s(t) = t2 + C . 再将初始条件 ② 代入通解中，得 C = 0，故初值问题的解为 s(t) = t2， 也是本题所求的物体的运动方程.
解 首先建立坐标系：取 A 点为坐标原点， 物体运动方向为坐标轴的正方向(如图)， 并设物体
在时刻 t 到达 M 点，其坐标为 s(t). 显然，s(t) 是时 间 t 的函数，它表示物体的运动规律，是本题中待 求的未知函数，s(t) 的导数 s(t) 就是物体运动的速度
v(t). 由题意，知
v(t) = 2t ， ①
y|x x 0 y 0 ,即 y (x 0 ) y 0 . 二阶微分方程的初始条件是
y|x x 0 y 0及 y |x x 0 y 0 ,即 y(x0) = y0 与 y(x0) = y0， 一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为 初值问题. 求解某初值问题，就是求方程的特解.
2020/6/18
例如方程 y = 2x 的解 y = x2 + C 中含有一个任意 常数且与该方程的阶数相同，因此，这个解是方程的 通解；如果求满足条件 y(0) = 0 的解，代入通解 y = x2 + C 中，得 C = 0，那么 y = x2 就是方程 y = 2x 的特解.
2020/6/18
4
用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称 为初始条件. 通常一阶微分方程的初始条件是
称为微分方程的阶. 例如，方程 (1) - (3) 为一阶微 分方程，方程 (4) - (5) 为二阶微分方程. 通常，n 阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y, , y(n)) = 0，
其中 x 是自变量， y 是未知函数，F(x, y, y, , y(n)) 是已知函数，而且一定含有 y(n).
未知函数).
(1) y= kx, k 为常数；
(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；
(3) mv(t) = mg - kv(t)；
2020/6/18
2
(4) y1 1y2; a
(5) dd2tq2 glsin q0 (g,l为 常 ).数
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，
5
例 1 验证函数 y = 3e – x – xe – x 是方程
的解.
y + 2y + y = 0
解 求 y = 3e – x – xe – x 的导数， 得
y = - 4e – x + xe - x, y = 5e – x - xe - x,
将 y，y 及 y 代入原方程的左边，有 (5e – x - xe - x) + 2(- 4e – x + xe - x) + 3e – x – xe – x = 0， 即函数 y = 3e – x – xe – x 满足原方程，所以该函数是 所给二阶微分方程的解.
1 dy f(x)dx g(y)
的形式，使方程各边都只含有一个变量.
2020/6/18
14
(2) 两边积分
两边同时积分，得
左
边
1 dy, g(y)
故方程通解为
右 边 f(x)dx.
g(1y)dyf(x)dxC.
2020/6/18
9
例 4 已知直角坐标系中的一条曲线通过点
Hale Waihona Puke (1, 2)，且在该曲线上任一点 P(x, y) 处的切线斜率
等于该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程.
解 设所求曲线的方程为 y = y(x)，根据导数的
几何意义及本题所给出的条件， 得
y = y2，
即
dx dy
1 y2
,
积分得
x 1 C.
2020/6/18
6
例 2 验证方程 y 2 y 的通解为 y = Cx2 (C 为
x
任意常数)，并求满足初始条件 y|x = 1 = 2 的特解.
解 由 y = Cx2 得 y = 2Cx,
将 y 及 y 代入原方程的左、右两边，左边有 y= 2Cx，
而右边 2y2Cx, 所以函数 y = Cx2 满足原方程.
x
又因为该函数含有一个任意常数，所以 y = Cx2 是一
阶微分方程 y 2y 的通解.
x
将初始条件 y|x = 1 = 2 代入通解，得 C = 2，故所 求特解为 y = 2x2 .
2020/6/18
7
例 3 设一个物体从 A 点出发作直线运动， 在任一时刻的速度大小为运动时间的两倍. 求物体 运动规律 (或称运动方程)
又由于已知曲线过点
(1,
y
2)，代入上式，得
C
3 2
.
所以，求此曲线的方程为 x 3 1 .
2y
2020/6/18
10
一般地，微分方程的每一个解都是一个一元 函数 y = y(x) ， 其图形是一条平面曲线，我们称 它为微分方程的积分曲线. 通解的图形是平面上的 一族曲线，称为积分曲线族， 特解的图形是积分 曲线族中的一条确定的曲线. 这 就 是 微 分 方 程 的 通解与特解的几何意义.
2020/6/18
11
第六章 微 分 方 程
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程
2020/6/18
12
一阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y) = 0.
2020/6/18
13
一、可分离变量方程
例如：形如 y = f (x) g (y)
的微分方程，称为可分离变量方程. (1) 分离变量 将方程整理为
2020/6/18
3
二、微分方程的解
定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的 函数，都叫做该方程的解. 若微分方程的解中含有 任意常数的个数与方程的阶数相同，且 任 意 常 数 之 间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解). 当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称 为方程的特解.