常微分方程教学大纲

《常微分方程》课程教学大纲
课程代码： 090131009
课程英文名称：Ordinary Differential Equations
课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0
适用专业：信息与计算科学
大纲编写（修订）时间：2017.11
一、大纲使用说明
（一）课程的地位及教学目标
本课程是信息与计算科学专业的一门专业基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得关于常微分方程的基本理论知识，掌握普通的线性微分方程的求解办法，为对非线性微分方程的求解打下一定的基础，同时，使学生能够简单地利用数学手段去研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题, 是进一步学习偏微分方程、微分几何、泛函分析等后继课程的基础。

通过本课程的学习，学生将达到以下要求：
1. 掌握一阶线性微分方程的初等解法及理论、高阶线性微分方程的解法及理论，线性微分方程组理论，着重培养学生解决问题的基本技能。

2. 熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。

（二）知识、能力及技能方面的基本要求
1.基本知识：要求学生掌握一阶微分方程的初等解法；一阶微分方程解的存在唯一性定理、解对初值的连续性和可微性定理及解的延拓；高阶微分方程理论、常系数线性微分方程的解法、以及高阶微分方程的降阶和幂级数解法；求矩阵指数，求解常系数线性微分方程组；非线性微分方程的稳定性、V函数方法。

2.基本理论和方法：掌握一阶和高阶线性微分方程以及方程组的求解方法，理解解的存在唯一性定理及解的延拓、解对初值的连续依赖定理等理论，并能应用到具体的证明题中。

了解非线性微分方程的基本理论，会对稳定性等做出讨论。

培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；对微分方程的建模、求解的分析能力；利用微分方程理论解决实际问题的能力。

3.基本技能：使学生获得求解一阶和高阶微分方程、线性微分方程组的运算技能。

（三）实施说明
1．教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。

2．教学手段：本课程属于专业基础课，在教学中采用多媒体教学系统等先进教学手段，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。

（四）对先修课的要求
本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。

本课程主要的先修课程有数学分析3、高等代数2。

（五）对习题课、实践环节的要求
1. 至少两章安排一次习题课，总学时在6学时左右。

2. 习题课的教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学在课堂上通过讲、练结合的方式进行。

主讲教师通过批改学生的作业，将作业情况反馈给学生，要补充有一定难度和综合度的练习题，以拓宽同学们的思路。

（六）课程考核方式
1．考核方式：考试
2．考核目标：在考核学生对常微分方程基本知识、基本原理掌握的基础上，重点考核学生的运用适当解法的能力和对问题的分析能力。

3．成绩构成：本课程的总成绩主要由三部分组成：平时成绩（包括作业情况、出勤情况等），期中成绩（中期大作业或小测验），期末考试成绩。

其中平时成绩和期中成绩共占20-30%，期末考试成绩占70-80%。

（七）参考书目
《常微分方程》（第三版），王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松编，高等教育出版社，1983.
《常微分方程教程》（第二版），丁同仁，李承治编，高等教育出版，1991.
《常微分方程》（第二版），叶严谦编，高等教育出版社，1982.
《常微分方程》，东北师范大学数学系编，高等教育出版社，1982.
二、中文摘要
《常微分方程》是高等学校数学专业的一门必修的专业基础课程。

本课程通过对各种类型的常微分方程理论和解法的研究，使学生掌握常微分方程基础知识、基本计算方法以及如何解决实际问题的能力。

课程主要内容包括一阶及高阶线性常微分方程基本解法及理论、常微分方程组理论等。

本课程将为后续课程的学习奠定重要的基础。

三、课程学时分配表
四、教学内容及基本要求
第1部分绪论
总学时(单位：学时):2 讲课:2 实验:0 上机:0
第1.1部分常微分方程模型、基本概念和发展历史（讲课2学时）
具体内容：
1）了解常微分方程典型模型；
2）了解微分方程解的形式、方程的阶；理解微分方程线性与非线性区别；
重点:
微分方程的阶
难点：
线性微分方程与非线性微分方程的判断
习题：
此部分应布置一次至少两道题的课后习题，内容可覆盖微分方程的阶、线性微分方程与非线性微分方程的判断。

第2部分一阶微分方程的初等解法
总学时(单位：学时):10 讲课:10 实验:0 上机:0
第2.1部分变量分离方程与变量变换（讲课2学时）
具体内容：
1)理解变量分离方程、齐次微分方程和可化为变量分离方程的形式之间的转化关系；掌握此类微分方程的求通解方法。

2）会用适当的变量变换求解微分方程。

第2.2部分线性微分方程与常数变易法（讲课2学时）
具体内容：
1）理解常数变易法；掌握线性微分方程求通解方法。

2）掌握n阶伯努利微分方程求通解方法。

第2.3部分恰当微分方程与积分因子（讲课4学时）
具体内容：
1）理解恰当微分方程成立的条件、积分因子概念；
2）掌握恰当微分方程求解方法
3）利用积分因子求解非恰当微分方程
4）会做关于积分因子的证明问题。

第2.4部分一阶隐式微分方程与参数表示（讲课2学时）
具体内容：
1）理解四种隐式方程形式，掌握四种隐式方程求解方法及相互关系。

重点：
常数变易法、一阶隐式方程求解。

难点：
非恰当微分方程的积分因子解法。

习题：
此部分应布置至少两次至少八道题的课后习题，内容覆盖各类微分方程。

第3部分一阶微分方程解的存在定理
总学时(单位：学时):12 讲课:12 实验:0 上机:0
第3.1部分解的存在唯一性定理与逐步逼近法（讲课4学时）
具体内容：
1)理解利普希茨条件、解的存在唯一性定理；
2)掌握构造皮卡序列的方法。

第3.2部分解的延拓（讲课2学时）
具体内容：
1)理解解的延拓的几何意义、延拓区间；
2)掌握初值问题解的存在区间求法。

第3.3部分解对初值的连续性和可微性定理（讲课4学时）
具体内容：
1)理解解对初值的连续性和可微性定理；
2)掌握关于初值的偏导在确定点处的表达式求法。

重点：
解对初值的连续性和可微性定理证明。

难点：
关于初值的偏导表达式应用。

习题：
此部分应布置至少一次至少两道题的课后习题，内容覆盖对称性定理、对初值的偏导计算
等。

第3.4部分习题课（讲课2学时）
具体内容：
1）本章基本内容总结、本章基本题型及拓展题型总结。

2）课后题及各类题型讲解。

第4部分高阶微分方程
总学时(单位：学时):10 讲课:10 实验:0 上机:0
第4.1部分线性微分方程的一般理论（讲课2学时）
具体内容：
1）理解函数线性相关性与朗斯基行列式的关系、n阶齐次线性微分方程通解的结构、n阶非齐次线性微分方程的常数变易法；
2）掌握相关性的证明题、给定基本解组会求n阶非齐次线性微分方程的通解。

第4.2部分常系数线性微分方程的解法（讲课4学时）
具体内容：
1)理解复值函数与复值解、欧拉待定指数函数法、比较系数法、拉普拉斯变换法；
2)掌握齐次方程、欧拉方程、非齐次方程的通解求法。

第4.3部分高阶微分方程的降阶和幂级数解法线性微分方程的一般理论（讲课4学时）
具体内容：
1)理解特殊方程降幂方法、幂级数解法；
2)掌握特殊方程降幂求解过程、二阶线性微分方程的幂级数解法。

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第5部线性微分方程组
总学时(单位：学时):14 讲课:14 实验:0 上机:0
第5.1部分存在唯一性定理（讲课2学时）
具体内容：
1）掌握存在唯一性定理，理解存在唯一性定理证明过程。

第5.2部分线性微分方程组的一般理论（讲课4学时）
具体内容：
1）理解线性微分方程组的矩阵表示；掌握n阶线性微分方程的初值问题与矩阵表示的方程组间的相互转化。

2）理解方程组的相关性与向量函数的朗斯基行列式的关系、基解矩阵相关定理；
3）掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法应用。

第5.3部分常系数线性微分方程组（讲课6学时）
具体内容：
1）理解矩阵指数性质；掌握基解矩阵计算公式。

2）掌握系数矩阵的特征根法应用及与矩阵指数的关系。

第5.4部分习题课（讲课2学时）
具体内容：
1）本章基本内容总结、本章基本题型及拓展题型总结。

2）课后题及各类题型讲解。

重点：
非齐次线性微分方程组求通解。

难点：
基解矩阵与矩阵指数的关系。

习题：
此部分应布置至少两次至少六道题的课后习题，内容覆盖相关性证明题，求基解矩阵、求通解问题等。