常微分方程课程教学大纲知识分享

常微分方程课程教学
大纲
常微分方程课程教学大纲
英文名称：Ordinary differential equation 课程类
型：
专业基础课
理论学时：64实验学
时：
学分： 4 开课学
期：
第3学期
适用对象：数学与应用数学专业本科生考核方
式：
考试
先修课
程：
数学分析、高等代数与解析几何
一、课程简介
常微分方程是数学系本科生的必修课.通过本课程的学习，利用数学分析、高等代数的一些工具，牢固掌握微分方程学科最基本的内容，如一阶常微分方程、高阶微分方程与线性微分方程组的基本理论与解法，初步掌握其在实际问题中的应用及微分方程定性和稳定性理论的基本概念和重要结果，一般了解一阶线性偏微分方程.
二、课程教学目标
本门课程的主要任务是：通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力；使学生掌握常微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础.
三、教学内容及要求
第一章绪论
主要内容：
1、常微分方程基本概念;
2、导出微分方程的实例;
3、微分方程的几何意义。

基本要求和教学重点：
1、了解常微分方程的基本概念；
2、领会常微分方程所讨论问题的基本内容；
3、了解常微分方程的实际背景及应用。

第二章初等积分法
主要内容：
1、变量分离方程；
2、齐次方程；
3、一阶线性方程与常数变易法；
4、全微分方程与积分因子；
5、一阶隐式微分方程。

基本要求和教学重点：
1、熟练地掌握一阶方程各种类型的初等解法.
2、学会根据所给方程的特点，引进适当的变换，增强解题能力；
3、能够合理的处理某些一阶微分方程的求解问题。

第三章一阶微分方程的解的存在定理主要内容：
1、解的存在性与唯一性定理
2、解的延拓
3、解对初值和参数的连续依赖性
4、解对初值和参数的可微性
基本要求和教学重点：
1、熟悉和理解定理证明方法；
2、掌握逐步逼近法。

第四章高阶线性微分方程
主要内容：
1、高阶线性微分方程的一般理论；
2、高阶常系数线性齐次方程的解法；
3、高阶常系数线性非齐次方程的解法；
4、变系数线性微分方程。

5、幂级数解法
基本要求和教学重点：
1、理解和掌握关于线性方程解的基本性质；
2、掌握求一般非齐次线性方程特解的常数变易法；
3、掌握关于常系数齐次线性方程基本解组的特征根法；
4、掌握常系数非齐次线性方程解的待定系数法；
5、掌握一般二阶齐次线性方程的特解的幂级数解法。

第五章线性微分方程组
主要内容：
1、一阶线性微分方程组的一般概念；
2、一阶线性齐次方程组的一般理论；
3、一阶线性非齐次方程组的一般理论；
4、常系数线性微分方程组的解法。

基本要求和教学重点：
1、理解线性微分方程组解的存在唯一性定理；
2、熟悉和掌握逐步逼近法，掌握线性微分方程组所有解的代数结构；
3、掌握齐次线性微分方程组的基解矩阵概念及非齐次线性方程组的常数变易法；
4、对于常系数线性方程组，能利用矩阵指数给的基解矩阵的一般形式，能够计算。

第六章定性与稳定性理论
主要内容：
1、二维自治系统与相平面；
2、初等奇点附近的轨线分布；
3、极限环；
4、稳定性理论初步。

基本要求和教学重点：
1、了解方程曲线趋势；
2、熟练掌握定性稳定性判别方法。

四、各教学环节学时分配
五、课程考核
1、考核形式：本课程采用闭卷笔试；
2、成绩构成：总成绩=平时成绩10%+期中成绩20%+期末成绩70%。

六、推荐教材和教学主要参考书
推荐教材：
1、《常微分方程》（第二版），东北师大微分方程教研室，高等教育出版社（2005）；
2、《常微分方程》（第二版），王高雄等，高等教育出版社（2006）。

参考资料：
1、《常微分方程讲义》王柔怀，伍卓群，北京：人民教育出版社（1963）；
2、《常微分方程讲义》（第2版）叶彦谦，北京：人民教育出版社（1982）。