(完整版)2.3一元二次方程的应用教案(1)

2．3一元二次方程的应用（1）教案一、教材分析1、教材地位和作用本节课是浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程》的内容，这是一个理论联系实际的好教材，充分体现了数学的应用价值。

之前，学生已学习了一元二次方程的概念、解法，已初步具有了应用波利亚解题表列一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等解应用题的能力，本节课将进一步学习问题解决的方法与步骤，它是前一部分知识的应用与巩固，也为今后学习二次函数等知识奠定基础。

学好本节知识，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，逻辑思维能力、信息迁移能力以及数学方法的应用能力等。

2、教学目标数学教学应以学生的发展为本，培养能力为重，综上分析及教学大纲要求，本课时教学目标制定如下：知识目标：会分析实际应用问题中的数量关系，找出等量关系，并列一元二次方程解应用题；能力目标：联系实际，经历“问题情境-----建立模型------求解-------解释与应用”的过程，培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力;情感目标：结合实践与探索，培养学生合作互助的精神，体验探索成果的喜悦.3、教学重点和难点由于本节内容涉及的实际应用问题都是通过列一元二次方程解决的，所以确定教学重点是列一元二次方程解应用题。

要列出一元二次方程的关键是找出等量关系，从实际问题中挖掘出相等关系需要较强的联系实际能力、分析能力，因此本节的教学难点是寻找等量关系列方程，例2涉及的是现实生活中的增长率问题，数量关系复杂，学生不容易理解，它是教学的又一难点。

二、教学方法与手段：本节课利用多媒体辅助教学，扩大课堂容量，提高课堂效率。

根据教材内容和学生的认知特点，采用边分析、边讨论，层层设疑、讲练结合的启发式教学方法，例题选择由浅入深，从学生熟悉的实际问题开始，将实际问题“数学化”，建立方程模型，引导学生自主探索、发现、归纳，充分调动学生的积极性和主动性。

三、学法指导：“素质教育”要求学生由“学会”转为“会学”，正确的学法指导是实现这一转化的重要手段，根据本节课的内容特点及学生的心理特征，在学法上，极力倡导新课程的自主探究、合作交流的学习方法。

通过创设丰富的实际背景，使数学回到生活，鼓励学生积极思考，勇于钻研，敢于创新，产生强烈的求知欲。

四、教学程序：1.创设情境，提出问题创设学生感兴趣的问题情境，使学生能够置身于问题情境中，在生动活泼的环境下积极思考，解决问题：古时候，一个农夫拿者一根竹竿进城，可是竖着拿，竹竿比城门高3尺，横着拿，竹竿比城门宽6尺，进不去，结果沿着城门的两个对角斜着拿，刚好进去，聪明的同学，你知道竹竿有多长吗？为了让学生能更清楚地理解题意，创设了以下几个阶梯性小问题：设竹竿为x尺，则（1）城门高________尺；（2）城门宽________尺；（3）城门的高、宽、两个对角之间的长度满足什么关系？通过引例，引导学生回顾总结列方程解应用题的基本步骤，在新旧知识之间构建桥梁，让学生明确应用方程、不等式或函数解决实际应用问题时关键是以下三个步骤：①设元；②用字母表示相关的量；③列关系式2.例练应用，解决问题列一元二次方程解应用题在现实生活中有着广泛的应用，学生普遍认为列方程解应用题难，其原因之一是题目阅读量大，数量多，关系比较复杂且隐蔽，所以在教学时首先应让学生消除畏难情绪，说明题目的一部分是背景材料，最后的一部分往往和设元有关，核心部分就是数量之间的关系。

接着出示例1：某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?为了让学生能比较清楚地理解题目中的数量关系，设置以下问题：（1）若每盆增加1株，此时每盆花苗有（3+____）株，平均单株盈利为（3－0.5×____）元（2）若每盆增加2株，此时每盆花苗有（3+____）株，平均单株盈利为（3－0.5×____）元（3）若每盆增加x株，此时每盆花苗有（3+____）株，平均单株盈利为（3－0.5×____）元（4）每盆盈利=____________×________________然后引导学生完成例1为了开阔学生的思路，遇到问题能举一反三、触类旁通，又将例1进行适当改编，组织学生以学习小组为单位，分组合作、交流讨论：某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加2株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到11元,每盆应该植多少株?设置以下问题：（1）若每盆增加2株，此时每盆花苗有（3+___）株，平均单株盈利为（3－0.5×___）元（2）若每盆增加4株，此时每盆花苗有（3+___）株，平均单株盈利为（3－0.5×___）元（3）若每盆增加x株，此时每盆花苗有（3+___）株，平均单株盈利为（3－0.5×___）元为了及时巩固知识，促使学生对知识的理解，在例1的基础上改变问题的实际背景，出示如下练习：春节期间，杭州某旅行社为吸引市民组团去风景区旅游，推出如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元。

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给该旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？通过例1、练习几个不同背景却同一模型的问题学习，使学生掌握了怎样列一元二次方程解决生活中这一类问题，知识结构的形成不是依赖于教师的概括、抽象、灌输，不是“回忆”教师的解题套路，而是依靠学生感性认识的积累，让学生自己去分析，从而变“学会”为“会学”，使学生真正成为学习的主人，而不是知识的奴隶。

通过对比，学生对于列方程解应用题的一般步骤中的“检验”也有了更深刻的理解，同时让学生感受到知识源于实践又作用于实践，体验到了数学的价值，同时也突出了课题的重点。

沿着数学知识结构的逐步攀升，引导学生搜索现实生活中与增长率有关的问题，并设置了下列问题，引起学生的积极思维：(1)春节过后，许多服装都降价处理，一件皮衣原售价2000元，第一次下降10%，下降后售价__________________元，由于天气逐渐转暖，为了减少库存，第二次又下降了20%，此时售价_________________________ 元。

（只需写出算式）(2)近几年，丽水的社会经济发展迅速，据抽样调查统计显示，2000年城镇居民可支配收入为a元，以后逐年上升，每年增长的百分率约为8%，那么2001年城镇居民可支配收入为_________________元；2002年城镇居民可支配收入为__________________元；2003年城镇居民可支配收入为__________________元；……2010年城镇居民可支配收入为__________________元；经过n年后城镇居民可支配收入为__________________元；（给出原始量、增长率（降低率）、变化次数、后来量之间的关系，让学生自己归纳并给出公式，只有他们自己发现的才是最有用的，也让学生体验成功的喜悦，进一步激发学习兴趣）(3)某药品原售价10元/盒，经两次降价后为5元/盒，已知两次降低的百分率一样都为x，则可列方程得_____________（学生的错误可能会是：10（1－2x）=5 ）上述三个问题分别从数、式、方程三个不同的方面对增长率（降低率）进行了理解，也使学生明确了要解决增长率（降低率）问题，必须弄清楚基准，第二个问题中得出的一般式为高中的后继学习作好准备。

有了上述三个问题作铺垫，接着讲解例2，截止到2000年12月31日，我国的上网计算机总数为892万台；截止到2002年12月31日，我国的上网计算机总数以达2083万台.（1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）.（2）上网计算机总台数2001年12月31日至2003年12月31日的年平均增长率与2000年12月31日至2002年12月31日的年平均增长率相比，哪段时间年平均增长率较大？确定例2是本节的一个教学难点，是因为（1）对题意理解的困难。

需将实际问题数学化，这是数学建模思想的体现；（2）信息转化的困难。

要将统计图的信息转化为数量，这是数形结合的思想；（3）关系式确定的困难。

要正确理解年平均增长率的含义。

（4）解方程的困难。

本例的方程用直接开平方法解才是最简便易行的。

基于上述原因，本例采用低起点、小步子的办法分散难点，问题设计由易到难，循序渐进，学生就比较容易理解，例2（1）设置以下问题：(1)若设年平均增长率为x,你能用含x的代数式表示2001年的台数吗?2002年呢？(2)已知2002年的台数是多少?(3)据此,你能列出方程吗?例2（2）让学生思考：(1)已知哪段时间的年平均增长率?(2)需要求哪个时间段的年平均增长率?师生共同完成例2，进一步突出课题重点，深层次激发学生的学习积极性。

五、设计说明：列方程解应用题是初中数学的一大难点，关键是通过问题情境建立模型，然后在问题的广度、深度上下工夫。

本节课我首先创设学生感兴趣的问题情境，激发学生学习积极性，引出用方程解决问题的基本思想和方法。

例1是典型的市场营销问题，我通过三个不同背景却同一模型的例子（即多题一解）让学生学会如何分析、解决这一类问题；对于例2的处理，我首先设置相对简单的、学生能解决的问题，然后由浅入深，逐步深入，从数、式、方程三个不同层面让学生理解了增长率（降低率）问题，达到教学目的。