2011届高考数学文科考点专题复习44

• ④(面面垂直的性质定理)如果两个平面垂 直，那么在第一个平面内垂直于它们交线 α⊥β，α∩β＝b，α⊂β， 的直线垂直于另一个平面．用符号语言表 a⊥b，则a⊥α 示为： . • ⑤(两平面平行的性质定理)如果两个平面 α∥β，a⊥β，则a⊥α 平行，那么与其中一个平面垂直的直线也 与另一个平面垂直．用符号语言表示为： . • β⊥α，γ⊥α，β∩γ＝a，则a⊥α ⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面， 那么它们的交线也垂直于第三个平面．用 符号语言表示为：
• 【例1】 (2009·天津)如图，在四棱锥P －ABCD中，PD⊥平面ABCD，DB平分 ∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.
• (1)证明PA∥平面BDE； • (2)证明AC⊥平面PBD.
• [命题意图] 本小题主要考查直线与平面 平行、直线与平面垂直、直线与平面所成 的角等基础知识，考查空间想象能力和推 理论证能力． • [解析] (1)证明：设AC∩Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝H，连结 EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平 分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题 设，E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂ 平面BDE且PA⊄平面BDE，所以PA∥平 面BDE.
• ③如果平面外的两条平行直线中有一条和 这个平面平行，那么另一条也和这个平面 平行． • ④如果两个平面平行，那么一个平面内的 任何一条直线都平行于另一个平面． • ⑤一个平面和不在这个平面内的一条直线 都垂直于另一个平面，那么这条直线平行 于这个平面．
• 2．直线和平面平行的性质 • 如果一条直线和一个平面平行，经过这条 相交 直线的平面和这个平面 交线，那么这条直 a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b 线和 平行．用符号语言表示为： .
• • • •
(2)作DE⊥AB1于E，廷长DE交BB1于F， 连结C1F，则AB1⊥平面C1DF， 因为AB1⊥DF，AB1⊥C1D， DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF.
• 【例3】 已知：正方体ABCD－ A1B1C1D1(如图)． • (1)求证：B1D⊥BC1； • (2)求证：B1D⊥面ACD1； • (3)若B1D与面ACD1交于O，求证：DO OB1＝1：2.
• 3．(2009·北京丰台一模)已知直线m⊂平 面α，直线n⊂平面α，“直线c⊥m，直线 c⊥n”是“直线c⊥平面α”的 ( ) • A．充分而不必要条件 • B．必要而不充分条件 • C．充要条件 • D．既不充分也不必要条件
• 解析：若“直线c⊥平面α”，则直线c垂 直于平面α内的所有直线，而m⊂平面α， ⊂ 直线n⊂平面α，所以“直线c⊥m，直线 c⊥n”必要性成立．若直线m⊂平面α， ⊂ 直线n⊂平面α，“直线c⊥m，直线c⊥n” ⊂ 当m∥n时，直线c与平面α不一定垂直， 充分性不成立． • 答案：B
• 4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两 个不同的平面，则下列命题正确的是 ( ) • A．若a∥b，a∥α，则b∥α • B．若α⊥β，a∥α，则a⊥β • C．若α⊥β，a⊥β，则a∥α • D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β • 解析：易知A、B、C不正确，D正确． • 答案：D
• 5．在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当 底面四边形ABCD满足条件________时， 有A1C⊥B1D1(填上你认为正确的一个条 件即可)． • 解析：要使A1C⊥B1D1，只要B1D1垂直 于A1C在面A1B1C1D1上的射影A1C1即 可． • 答案：AC⊥BD(答案不唯一)
• 三、直线与平面垂直的判定和性质 • 1．直线和平面垂直的判定 所有直线都 • ①(定义)如果一条直线和平面内 垂直，那么这条直线和这个平面垂 两条 直． 相交直线都 • ②(判定定理1)如果一条直线和一个平面 ( 1) • a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，l⊥a， 内的 垂直，那么这条直线 l⊥b，则l⊥α 垂直于这个平面．用符号语言表示为： 垂直于 . • ③(判定定理2)如果两条平行直线中的一 a∥b，a⊥α，则b⊥α 条 一个平面，那么另一条也垂直于 这个平面．用符号语言表示为：
• (2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平 ⊂ 面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得， DB⊥AC.又PD∩DB＝D， • 故AC⊥平面PBD.
•
如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC， AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC 的中点，OP⊥底面ABC.
• (1)求证OD∥平面PAB； • (2)求直线OD与平面PBC所成角的大小． • [命题意图]本题主要考查空间线面关系与
• ⑤用面面平行的性质，即一直线垂直于两 平行平面之一，则必垂直于另一平面． • ⑥用面面垂直的性质，即两相交平面都垂 直于第三个平面，则它们的交线垂直于第 三个平面．
• [证明] (1)取AB中点E，连结SE，DE， 在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的 中点，故DE∥BC，且DE⊥AB， • ∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形， • ∴SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E， • ∴AB⊥面SDE. • 而SD⊂面SDE，∴AB⊥SD. ⊂ • 在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点， ∴SD⊥AC. • ∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB＝A， ∴SD⊥平面ABC.
• [证明] (1)∵ABCD－A1B1C1D1为正方体， • ∴DC⊥面BCC1B1，B1D在面BCC1B1内 的射影为B1C. • ∵BCC1B1为正方形，∴BC1⊥B1C. • ∴BC1⊥B1D，即B1D⊥BC1.(三垂线定理) • (2)(1)中证明了体对角线B1D与面对角线 BC1垂直， • 同理可证：B1D⊥AD1， B1D⊥AC.∴B1D⊥平面ACD1.
• 解题思路：对于A，l和m应相交；对于B， 应考虑三个点在β的同侧或异侧两种情况； 对于C，l和m应相交．故选D. • 失分警示：对于A，实际上是面面平行的 判定定理，但直线必须相交；对于B，只 考虑三点在同侧而没有考虑异侧；对于C 易丢l和m相交这一条件． • 答案：D
• 二、对线面垂直的定义、定理或性质理解 不透 • 2．一条直线垂直于一个平面内的无数条 直线，则这个平面内的无数条直线的位置 关系是________． • 答案：平行或相交 • 三、三垂线定理应用错误 • 3．斜线上任意一点在平面上的射影，一 定在________． • 答案：斜线的射影上 • 4．已知在四面体ABCD中，AB⊥CD， AC⊥BD，则AD与BC的关系是
• 5．“三余弦”定理 • 如图所示，AB和平面M所成的角是α， AC在平面M内，AC和AB在平面M内的射 影AB1所成的角是β，设∠BAC＝θ，则α、 β、θ满足关系为cosθ＝cosαcosβ.这就叫 做“三余弦”定理(别名：爪子定理)． • 注意定理中的条件是“从一定点出发的三 条射线组成的三个面中有两个面相互垂 直”．
• ⑦如果三条共点直线两两垂直，那么其中 a⊥b， 一条直线垂直于另两条直线确定的平 a⊥c，b⊥c，a、b、c交于一点A，b⊂α，c⊂α， 面．用符号语言表示为： 则a⊥α .
• 2．直线与平面垂直的性质 • 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这 a⊥α，b⊥α，则a∥b 两条直线平行．用符号语言表示为： . 垂足 • 3．斜线在平面内的射影 • ①过一点向平面引垂线， 叫做这点在 垂足和斜足 这个平面内的射影．从斜线上斜足以外的 一点向平面引垂线，过 的直线 叫做斜线在这个平面内的射影． • ②射影长定理：从平面外一点向这个平面 所引的垂线段和斜线段中：
• (2)若AB＝BC，则BD⊥AC， • 由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD⊂面ABC， ⊂ ∴SD⊥BD. • ∵SD⊥BD，BD⊥AC，SD∩AC＝D， ∴BD⊥平面SAC.
如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中， AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，A1A＝ D是A1B1的中点． • (1)求证：C1D⊥平面ABB1A1； • (2)在BB1上找一点F，使AB1⊥平面C1DF， 并说明理由． •
• 解析：(1)证明：∵ABC－A1B1C1是直三 棱柱， • ∴AA1⊥平面A1B1C1. • 又C1D⊂平面A1B1C1，∴C1D⊥A1A， ⊂ • 又A1C1＝B1C1＝AC＝BC＝1， • D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1， • 又A1A∩A1B1＝A1， • ∴C1D⊥平面ABB1A1.
相等 • (1)射影相等的两条斜线段 也较长 的斜线段 ； 相等 • (2)相等的斜线段的射影 也较长 线段的射影 ； 任何一条斜线段 • (3)垂线段比
，射影较长 ，较长的斜 都短．
• 4．三垂线定理 和这个 • ①三垂线定理：在平面内的一条直线，如 平面的一条斜线的射影垂直 果 ，那么它也 和这条斜线垂直． 和这个平面的一条斜线垂直 • ②三垂线定理的逆定理：在平面内的一条 直线，如果 ，那么它也 和这条斜线的射影垂直．
• • • •
[解析](1)∵O、D分别为AC、PC的中点， ∴OD∥PA. 又PA⊂平面PAB， ∴OD∥平面PAB.
• • • • • • •
(2)∵AB⊥BC，OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC， 又∵OP⊥平面ABC， ∴PA＝PB＝PC. 取BC中点E，连结PE，则BC⊥平面POE. 从而平面PBC⊥平面POE. 作OF⊥PE于F，连结DF，则OF⊥平面 PBC， • ∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．
• ●回归教材 • 1．若直线a在平面外，则有 ( ) • A．a∩α＝∅ ∅ • B．a与α有且仅有一个交点 • C．a与α平行 • D．a与α的交点至多有一个 • 解析：直线在平面外包括两种情况：①直 线与平面平行，②直线与平面相交，因此 可排除A、B、C，选D. • 答案：D
• 2．(教材改编题)两条直线a、b满足a∥b， b⊂α，则a与平面α的关系是 ( ) • A．a∥α • B．a与α相交 • C．a∥α或a⊂α ⊂ • D．a⊂α ⊂ • 解析：a∥b，b⊂α，则a与α的关系有两 种：①a∥α，②a⊂α，故C正确． • 答案：C