2020安徽中考数学专题复习(四)：规律探索题(13张PPT)

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安徽省中考数学专题复习课件——专题3规律探究问题

1．[2018·德阳]如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2018 个格子的数为－1 ．
3 a b c -1 2 …
解题要领►对于数字规律题，解题的关键是根据已知的数得出前后数之间的变化关系或数与序数之间的关系，当求第n个数时直接套用关系式即可．解答数的规律探索题的方法：第一步：标序数；第二步：找规律，分别比较数中各部分与序数(1，2，3，4，… ，n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律得出第n个数．我们需要熟记的数字规律有： (1)自然数列规律：0，1，2，3，…，n(n≥0)； (2)正整数列规律：1，2，3，…，n－1，n(n≥1)； (3)奇数列规律：1，3，5，7，9，…，2n－1(n≥1)； (4)偶数列规律：2，4，6，8，…，2n(n≥1)； n(n 1) (5)正整数和：1＋2＋3＋4＋…＋n＝ 2 ； (6)正整数平方：1，4，9，16，…，n2(n≥1)； (7)正整数平方加1：2，5，10，17，…，n2＋1(n≥1)； (8)正整数平方减1：0，3，8，15，…，n2－1(n≥1)．
2．[2018·梧州]按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15， 26，35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是( A ) A．9999 B．10000 C．10001 D．10002
3．[2018·湖州三模]把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：(2)，(4，6，8)，(10，12，14，16，18)，(20，22，24， 26，28，30，32)，…，现用等式 AM＝(i，j)表示正偶数M是第i 组第j个数(从左往右数)，如 A8＝(2，3)，则 A2018＝ ( B )

【2020精编】安徽省中考数学二轮复习题型四：规律探索题(含答案)

题型四规律探索题类型一数式规律探索1. (2018霍邱县一模)如下数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答：(1)第9行的最后一个数是________；(2)第n 行的第一个数是________，第n 行共有________个数；第n 行各数之和为____________．2. (2018安庆二模)观察下列等式： (1)1－12＋11×2＝1；(2)12－14＋13×4＝13； (3)13－16＋15×6＝15； …根据上述规律解决下列问题：(1)写出第(4)个等式：(________)－(________)＋(________)＝(________)； (2)写出你猜想的第(n )个等式，并证明．3. 观察下列等式： ①11＋12－12＝11；②13＋14－112＝12；③15＋16－130＝13；④17＋18－156＝14；…(1)请根据以上规律写出第5个等式：__________________________；(2)猜想并写出第n个等式，并验证其正确性．4. 观察下列由连续的正整数组成的宝塔形等式：第1层1＋2＝3；第2层4＋5＋6＝7＋8；第3层9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；第4层16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；…(1)填空：第6层等号右侧的第一个数是________，第n层等号右侧的第一个数是________(用含n的式子表示，n是正整数)，数字2017排在第几层？请简要说明理由；(2)求第99层右侧最后三个数字的和．5. (2018太和县模拟)观察下列等式：①1＋2＝3；②4＋5＋6＝7＋8；③9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；④16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；…(1)试写出第五个等式；(2)根据你的发现，试说明145是第几行的第几个数？6. 按如下方式排列正整数，第1行有1个数，第2行有3个数，第3，4行分别有7个、13个数．依此规律，解答下列问题：12 3 43 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 10…15 16 …(1)第10行有________个数，第n 行有________个数(结果用含n 的式子表示)； (2)第2，3，4行都含有数4，其中第2行最先出现4，那么2019最先出现在第几行？7. 已知下列等式： ①32－12＝8， ②52－32＝16， ③72－52＝24， …(1)请仔细观察，写出第4个式子；(2)根据以上式子的规律，写出第n 个式子，并用所学知识说明第n 个等式成立； (3)利用(2)中发现的规律计算：8＋16＋24＋…＋792＋800.8. 【问题提出】观察下列图形，回答问题：第8题图由此可以得出第1个图形中所有线段的长度的和是1，第2个图形中所有线段的长度的和是4，第3个图形中所有线段的长度的和是10，第4个图形中共有________条线段，所有线段的长度的和是________；【规律探索】在计算第1，2，3个图形中所有线段的长度的和的时候，得出了下列等式： 1×1＝1×2×36；1×2＋2×1＝2×3×46；1×3＋2×2＋3×1＝3×4×56；第4个等式为____________；…【问题解决】求第n 个图形中所有线段的长度的和．9. (2017安徽19题)我们知道，1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，那么12＋22＋32＋…＋n 2结果等于多少呢？在图①所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2＋2，即22；……；第n 行n 个圆圈中数的和为n ＋n ＋…＋n ,\s \do 4(n 个n ))，即n 2.这样，该三角形数阵中共有n （n ＋1）2个圆圈，所有圆圈中数的和为12＋22＋33＋…＋n 2.第9题图①【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图②所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n －1行的第一个圆圈中的数分别为n －1，2，n )，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________．由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3(12＋22＋32＋…＋n 2)＝________，因此，12＋22＋32＋…＋n 2＝________．第9题图②【解决问题】根据以上发现，计算12＋22＋32＋…＋201721＋2＋3＋…＋2017的结果为________．类型二图形规律探索1. 下列各图形中的“”的个数和“△”的个数是按照一定规律摆放的：第1题图(1)观察图形，填写下表：第n个图形 1 2 3 4 …n“”的个数 3 6 9 12 …________“△”的个数 1 3 6 10 …________2. 用同样大小的“”按如图所示的规律摆放：第2题图(1)第5个图形有多少枚“”？(2)第几个图形有2018枚“”？请说明理由．3. 如图，图①中小黑点的个数记为a1＝4，图②中小黑点的个数记为a2＝8，图③中小黑点的个数记为a3＝13，…第3题图根据以上图中的规律完成下列问题：(1)图④中小黑点的个数记为a4，则a4＝________；(2)图n中小黑点的个数记为a n，则a n＝________(用含n的式子表示)；(3)第几个图形中的小黑点的个数为43个？4. (1)观察下列图与等式的关系，并填空：放置方式①放置方式②放置方式①中圆圈的个数1＋2＝3×22＝32＋3＋4＝6×32＝93＋4＋5＋6＝9×42＝184＋5＋6＋7＋8＝______＝______………n＋(n＋1)＋…＋______＝______几个圆圈？5. (2018安徽名校大联考)如图，下列每个图案均是由若干边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，探究规律，解答问题．第5题图(1)请根据你的探究直接写出：第10个图案中共有______个小正方形，第n个图案中共有______个小正方形；(2)是否存在有37个小正方形的图案？若存在，请求出是第几个图案；若不存在，请说明理由．6. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)认真观察图①，并填写出第4个点阵图相应的等式．第6题图①(2)结合(1)观察图②，并填写出第5个点阵图相应的等式．第6题图②(3)通过猜想，直接写出(2)中与第n个点阵图相对应的等式．7. (2018怀远县模拟)如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD 的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠)：第7题图(1)填写下表：正方形ABCD1 2 3 4 …n内点的个数分割成的三4 6 ____ ____ …____角形的个数若不能，请说明理由.8. (2018合肥包河区一模)如图，每个图形可以看成由上下左右4个等腰梯形组成或者是由外围大正方形减去正中间的正方形(阴影部分)所得，而每个等腰梯形又由若干个更小的全等正方形和全等等腰直角三角形组成，且等腰直角三角形的面积正好是小正方形面积的一半，设小正方形的面积为1，则第1个图形的面积为4×(2×1＋4×12)＝16，第2个图形的面积为4×(5×1＋5×12)＝30，第3个图形的面积为4×(9×1＋6×12)＝48，…根据上述规律，解答下列问题：(1)第4个图形的面积为：4×(____×1＋____×12)＝____，(2)第n 个图形的面积为：4×[____×1＋____×12](用含n 的式子填空)；(3)上面的图形还可看成一个大正方形再减去中间1个小正方形组成，这时，第1个图形的面积为(32)2－2，第2个图形的面积为(42)2－2，第3个图形的面积为(52)2－2，…再根据这个规律，完成下列问题：①按此规律，第n 个图形的面积为：[____]2－2(用含n 的式子填空)； ②比较两个猜想，写出你发现的结论并验证．第8题图9. (2016安徽)(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：第9题图①(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(________)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝________．第9题图②参考答案类型一数式规律探索1. 解：(1)81；【解法提示】根据题意，观察发现：第1行的最后一个数为12＝1，第2行的最后一个数为22＝4，第3行的最后一个数为32＝9，第4行的最后一个数为42＝16，第5行的最后一个数为52＝25，第6行的最后一个数为62＝36，…，∴第n 行的最后一个数为n 2，∴第9行的最后一个数是81.(2)(n －1)2＋1，2n －1, (n 2－n ＋1)(2n －1)．【解法提示】观察发现：第1行的第一个数为(1－1)2＋1＝1，第2行的第一个数为(2－1)2＋1＝2，第3行的第一个数为(3－1)2＋1＝5，第4行的第一个数为(4－1)2＋1＝10，第5行的第一个数为(5－1)2＋1＝17，第6行的第一个数为(6－1)2＋1＝26，…，∴第n 行第一个数为(n －1)2＋1；观察发现：第1行共有1个数，第2行共3个数，第3行共5个数，第4行共7个数，第5行共9个数，第6行共11个数，…，∴第n 行共(2n －1)个数；由(1)知第n 行的最后一个数为n 2，∴第n 行的各数之和为（n －1）2＋1＋n 22·(2n －1)＝(n 2－n ＋1)(2n －1)．2. 解：(1)14，18，17×8，17；【解法提示】观察上述等式发现：第(1)个等式：1－12×1＋11×（1＋1）＝12×1－1＝1；第(2)个等式：12－12×2＋1（2×2－1）×（2×2）＝12×2－1＝13；第(3)个等式：13－12×3＋1（2×3－1）×（2×3）＝12×3－1＝15；∴第(4)个等式为：14－12×4＋1（2×4－1）×（2×4）＝12×4－1＝17.即14－18＋17×8＝17.(2)第(n )个等式为1n －12n ＋12n （2n －1）＝12n －1.证明：左边＝2（2n －1）－（2n －1）＋12n （2n －1）＝4n －2－2n ＋1＋12n （2n －1）＝12n －1＝右边．∴原式成立．3. 解：(1)19＋110－190＝15；【解法提示】观察发现：第①个等式：12×1－1＋12×1－1（2×1－1）（2×1）＝11；第②个等式：12×2－1＋12×2－1（2×2－1）（2×2）＝12；第③个等式：12×3－1＋12×3－1（2×3－1）（2×3）＝13；第④个等式：12×4－1＋12×4－1（2×4－1）（2×4）＝14；∴第⑤个等式：12×5－1＋12×5－1（2×5－1）（2×5）＝15，即19＋110－190＝15；(2)根据上述规律，得第n 个等式为12n －1＋12n －12n （2n －1）＝1n.证明：左边＝2n ＋2n －1－12n （2n －1）＝2（2n －1）2n （2n －1）＝1n＝右边，∴等式成立．4. (1)43，n 2＋n ＋1；2017排在第44层，理由略；(2)第99层右侧最后三个数字的和为29994.5. 解：(1)根据题意可得，第五个等式为25＋26＋27＋28＋29＋30＝31＋32＋33＋34＋35；(2)根据已知等式得，第n 行的第1个数为n 2，∵122＝144，∴145是第12行的第2个数.6. 解：(1)91，n 2－n ＋1；【解法提示】根据题意可知，第2行最后一个数为4＝22，数字个数是22－1；第3行最后一个数为9＝32，数字个数是32－2；第4行最后一个数为16＝42，数字个数是42－3；…，∴第10行最后一个数为102＝100，数字个数是102－9＝91；第n 行最后一个数为n 2，数字个数是n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1.(2)∵第44行最后一个数是442＝1936，第45行第一个数字是45，而最后一个数字是452＝2025，45＜2019＜2025， ∴2019最先出现在第45行．7. 解：(1)∵第1个式子为：32－12＝(2×1＋1)2－(2×1－1)2＝8×1；第2个式子为：52－32＝(2×2＋1)2－(2×2－1)2＝8×2；第3个式子为：72－52＝(2×3＋1)2－(2×3－1)2＝8×3；∴第4个式子为：(2×4＋1)2－(2×4－1)2＝92－72＝8×4＝32；即第4个式子为：92－72＝32； (2)由(1)的推理过程可得，第n 个式子为：(2n ＋1)2－(2n －1)2＝8n ；证明：∵左边＝4n 2＋4n ＋1－4n 2＋4n －1＝8n ＝右边， ∴所写等式成立；(3)8＋16＋24＋…＋792＋800＝32－12＋52－32＋72－52＋…＋2012－1992＝2012－1＝40400. 8. 解：【问题提出】10，20；【规律探索】1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝4×5×66；【问题解决】n （n ＋1）（n ＋2）6.9. 解：【规律探究】2n ＋1，n （n ＋1）（2n ＋1）2，n （n ＋1）（2n ＋1）6；【解法提示】第n －1行的第一个圆圈中的数分别为n －1，2，n ，则n －1＋2＋n ＝2n＋1；3(12＋22＋32＋…＋n 2)＝(1＋2＋3＋…＋n )(2n ＋1)＝n （n ＋1）（2n ＋1）2；12＋22＋32＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）2·13＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.【解决问题】1345. 【解法提示】 12＋22＋32＋…＋201721＋2＋3＋…＋2017＝2017×（2017＋1）（2×2017＋1）62017×（2017＋1）2＝2×2017＋13＝1345.类型二图形规律探索1. 第n 个图形 1 2 3 4 … n“”的个数3 6 9 12 … 3n“△”的个数1 3 6 10 … n （n ＋1）2【解法提示】根据题意知n （n ＋1）2＝2×3n ，解得n ＝0(舍去)或n ＝11, ∴当n ＝11时，“△”的个数是“”的个数的2倍．2. 解：(1)图①有2枚“”，2＝2×12，图②有8枚“”，8＝2×22，图③有18枚“”，18＝2×32， …图⑤有2×52＝50，∴第五个图形有50枚“”；(2)由(1)可得第n 个图形有(2n 2)枚“”，令2n 2＝2018，此方程无整数解，∴没有哪个图形有2018枚“”． 3. 解：(1)19；【解法提示】根据题意知a 4＝1＋2＋3＋4＋5＋4＝19. (2)12n 2＋52n ＋1；【解法提示】a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＋n ＋1＋n ＝n （n ＋1）2＋2n ＋1＝12n 2＋52n ＋1.(3)当12n 2＋52n ＋1＝43时，解得：n ＝7(负值舍去)，∴第7个图形中的小黑点的个数为43个.4. 解：(1)12×52，30，2n ，3n （n ＋1）2；(2)由题意得，3n （n ＋1）2＝165，解得n 1＝10，n 2＝－11(舍去)，即最上面有10个圆圈．5. 解：(1)56，n （n ＋1）2＋1(或n 2＋n ＋22)；【解法提示】观察发现：第1个图案有1＋1＝2个小正方形；第2个图案有1＋2＋1＝4个小正方形；第3个图案有1＋2＋3＋1＝7个小正方形；第4个图案有1＋2＋3＋4＋1＝11个小正方形；…∴第10个图案有1＋2＋3＋4＋…＋10＋1＝56个小正方形；第n 个图案有1＋2＋3＋4＋…＋n ＋1＝n （n ＋1）2＋1个小正方形.(2)存在．理由如下：令n （n ＋1）2＋1＝37，解得n ＝－9(舍去)，或n ＝8，∴存在有37个小正方形的图案，是第8个图案．6. 解：(1)1＋2＋3＋4＝（1＋4）×42＝10；(2)10＋15＝52；(3)由(1)(2)可知，n （n －1）2＋n （n ＋1）2＝n 2.【解法提示】可以将(2)中点阵图分为两部分，一部分与(1)的点阵图完全相同，剩余部分与(1)中前一部分的点阵图完全相同，因此可以得出(2)中第n 个点阵图等于(1)中第n 个点阵图和n －1个点阵图之和，∴n 2＝n （n －1）2＋n （n ＋1）2.7.分割成4＋2＝6个三角形；有3个点时，内部分割成4＋2×2＝8个三角形；有4个点时，内部分割成4＋2×3＝10个三角形；…∴有n 个点时，内部分割成4＋2×(n －1)＝(2n ＋2)个三角形；(2)能．令2n ＋2＝2008，解得n ＝1003.即此时正方形ABCD 内部有1003个点． 8. 解：(1)14，7，70；(2)(2＋3＋4＋…＋n ＋n ＋1)(形式不唯一)，n ＋3； (3)①(n ＋2)2；【解法提示】观察图形可知，第1个图形的面积为[(1＋2)2]2－2＝(32)2－2；第2个图形的面积为[(2＋2)2]2－2＝(42)2－2，第3个图形的面积为[(3＋2)2]2－2＝(52)2－2，…∴第n 个图形的面积为[(n ＋2)2]2－2.② 4[(2＋3＋4＋…＋n ＋n ＋1)×1＋12(n ＋3)]＝[(n ＋2)2]2－2.证明：右边＝2n 2＋8n ＋6；左边＝4[n （n ＋3）2＋n ＋32]＝2(n ＋3)(n ＋1)＝2n 2＋8n ＋6，∴左边＝右边．即4[(2＋3＋4＋…＋n ＋n ＋1)×1＋12(n ＋3)]＝[(n ＋2)2]2－2.9. 解：(1)42；n 2；【解法提示】观察每一行图形变换，可以发现，当小球有4行时，小球的总个数＝4×4＝42(个)，∴第一个空填“42”；根据此规律可知，当小球有n 行时，小球的总数＝n ·n ＝n 2，∴第二个空填“n2”．(2)2n＋1；2n2＋2n＋1.【解法提示】在连续的奇数中，2n－1后边的数是2n＋1，∴第一个空填“2n＋1”；由第(1)小题的结论可知，在等式的左边的数中，“2n－1”前面的所有数之和等于n2，后面的所有的数之和也等于n2，∴总和＝n2＋(2n＋1)＋n2＝2n2＋2n＋1，∴等式的右边填“2n2＋2n ＋1”．。

2020年中考数学压轴题题型专练：规律探索题(含答案)

2020中考数学压轴题题型专练：规律探索题类型一数式规律1. 将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列：2，2，6，22，10；23，14，4，32，25；…若2的位置记为(1，2)，23的位置记为(2，1)，则38这个数的位置记为________．(4，4)【解析】∴当10n －2＝38时，n ＝4，∴38这个数的位置记为(4，4)． 2. 按一定规律排列的一列数：－12，1，－1，，－911，1113，－1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．1 【解析】将原来的一列数变形为－12，33，－55，，－911，1113，－1317，…，观察这列数可得奇数项为负数，偶数项为正数，分子是依次从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填77，故答案为1.3. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．－12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝ 22＋12，－103＝－32＋13，174＝ 42＋14，－265＝－52＋15，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211.4. 已知a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－a 1，a 3＝ 11－a 2，…，a n ＋1＝ 11－a n(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2018＝ ________(用含t 的代数式表示)． 1－t 【解析】根据题意得：a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－t t －1＝ 1－t ，a 3＝ 11－1＋t ＝ 1t ，a 4＝ 11－1t＝ t t －1， (2018)3＝ 672……2，∴a 2018的值为1－t . 5. 一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，…，这列数是由小明按照一定规律写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次接着写“2，3”，第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么30后三个连续数应该是________．31，62，63 【解析】通过观察可知，下一组数的第一个数是前一组数的第二个数的2倍，在同一组数中的前后两个数相差1，由此可得30后三个连续数为31，62，63.类型二图形累加规律1. 如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第1个图案中有5个菱形纸片，第2个图案中有9个菱形纸片，第3个图案中有13个菱形纸片，按此规律，第10个图案中有________个菱形纸片．第1题图41【解析】观察图形发现：第1个图案中有5＝4×1＋1个菱形纸片，第2个图案有9＝4×2＋1个菱形纸片，第3个图案中有13＝4×3＋1个菱形纸片，…，第n个图形中有4n＋1个菱形纸片，故第10个图案中有4×10＋1＝41个菱形纸片．2. 如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第2题图n2＋n【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的正方形的个数为n(n＋1)＝n2＋n.3. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为________．第3题图85【解析】可以分两部分观察，上半部分小圆圈个数为：1＋2＋3＋…＋n ＋n＋1，下半部分小圆圈个数为n2，所以第⑦个图形小圆圈个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋72＝85.4. 如图是用棋子摆成的“T”字图案：从图案中可以看出，第一个“T”字图案需要5枚棋子，第二个“T”字图案需要8枚棋子，第三个“T”字图案需要11枚棋子．则摆成第n个图案需要________枚棋子．第4题图3n＋2【解析】观察图案可知，图案分成两部分，横向的横子数量依次为3，5，7，…，纵向的棋子数量依次为2，3，4，…，∴第n个图案棋子数量为2n＋1＋(n＋1)＝3n＋2.5. 如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上(包括两个顶点)都摆有n(n≥3)盆花，每个图案中花盆总数为S，按照图中的规律可以推断S与n(n≥3)的关系是________．第5题图n2－n【解析】n＝3时，S＝6＝3×2，n＝4时，S＝12＝4×3，n＝5时，S ＝20＝5×4，…，依此类推，当边数为n时，S＝n(n－1)＝n2－n.类型三图形成倍递变规律1. 如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝33x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为()A. (32)2015 B. (32)2016C. (32)2017 D. (32)2018第1题图B【解析】由y＝33x，得直线l的倾斜角为30°，∵点A0坐标为(2，0)，∴OA0＝2，∴OA1＝32OA0＝3，OA2＝32OA1＝32，OA3＝32OA2＝334，OA4＝32OA3＝98，…，∴OA n＝(32)n OA0＝2×(32)n.∴OA2016＝2×(32)2016，A2016A2017＝12×2×(32)2016＝(32)2016.2. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，则第4个正方形的边长为________，第n个正方形的边长为________．第2题图8，2n-1【解析】∵函数y＝x与x轴正半轴的夹角为45°，∴直线y＝x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，∵A(8，4)，∴第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，…，第n个正方形的边长为2n－1.3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形I1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形I2，…，如此操作下去，得到菱形I2016，则I2016的面积是________．第3题图(12)4033ab 【解析】由题意得，菱形I 1的面积为：12AG ·AE ＝12×12a ×12b ＝(12)3ab ，菱形I 2的面积为：12FQ ·FN ＝12×(12×12a )×(12×12b )＝(12)5ab ；…；菱形I n 的面积为：(12)2n ＋1ab .∴当n ＝2016时，菱形I 2016的面积为(12)4033ab .4. 如图，已知∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以O 2为圆心，O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以O 3为圆心，O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 9A 上取点O 10，以O 10为圆心，O 10O 9为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 10的半径长是________．第4题图29 【解析】如解图，作O 1C 、O 2D 、O 3E 分别⊥OB ，∵∠AOB ＝30°，∴OO 1＝2CO 1，OO 2＝ 2DO 2，OO 3＝2EO 3，∵O 1O 2＝DO 2，O 2O 3＝ EO 3，O 1C ＝1，∴O 2D ＝2，O 3E ＝4，∴圆的半径呈2倍递增，∴⊙On 的半径为2n －1CO 1，∵⊙O 1的半径为1，∴⊙O 10的半径长＝ 29.第4题解图类型四图形周期变化规律1. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，－2)第1题图B【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1) ，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．2. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2018个梅花图案中，共有________个“”图案．第2题图505【解析】∵2018÷4＝504……2，∴有505个．3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．第3题图(0，21009)【解析】点B的位置依次落在第一象限、y正半轴、第二象限、x负半轴、第三象限、y负半轴、第四象限、x正半轴…，每8次一循环.2018÷8＝252……2，所以B2018落在y轴正半轴，故B2018的横坐标是0；OB n是正方形的对角线，OB1＝2，OB2＝2＝(2)2，OB3＝22＝(2)3，…，所以OB2018＝(2)2018＝21009，所以B2018的坐标为(0，21009)．4. 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为________．第4题图(5，3)，(134633＋896)π 【解析】如解图，翻滚3次后点B 的对应点是B 3，作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝ 5，B 3E ＝ 3，B 3(5，3)，观察图象可知翻滚3次为一个循环，一个循环点M 的运动路径为MM 1︵、M 1M 2︵、M 2M 3︵，120 ·π ·3180＋120 ·π ·1180＋120 ·π ·1180＝23＋43π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672×23＋43π＋23π3＝ (134633＋896)π.第4题解图。

安徽省中考数学总复习专题5 规律探索题课件

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分析:(1)根据1+3+5+7=16可得出16=42;设第n幅图中球的个数为
an,列出部分an的值,根据数据的变化找出变化规律“an1=1+3+5+…+(2n-1)=n2”,依此规律即可解决问题;
(2)观察(1)可将(2)图中的黑球分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到
2n+1行,再结合(1)的规律即可得出结论.
5
4
2
4
7
3
5
7
猜想:当m,n互质时,在m×n的矩形网格中,一条对角线所穿过的
小正方形的个数f与m,n的关系式是
(不需要证明);
(2)当m,n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立.
分析:(1)通过题中所给网格图形,先计算出2×5,3×4,对角线所穿
过的小正方形个数f,再对照表中数值归纳f与m,n的关系式.
解题知识解读
题型分类突破
素养训练提高
题型概述方法指导
解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、
细致的观察、分析、比较,从中发现其变化的规律,并猜想出一般性的结论,然后再给出合理的证明或加以运用.
1.解决这类问题的关键是发现和把握规律.题目中呈现规律一般有三种主要途径:
(1)式与数的特征观察. (2)图形的结构观察. (3)通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况. 2.规律探究的基本原则: (1)遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积找积的规律. (2)遵循有序原则,从特殊开始,从简单开始,先找3个,发现规律,再验证运用规律.
n 个n
圈中的数的和为 12+22+32+…+n2.

中考数学专题复习— 探索规律问题完整版后附真题剖析

解:(1)观察图 1 可知:中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形, 所以每增加一块正方形地砖,等腰直角三角形地砖就增加 2 块.故答案为 2. (2)观察图形 2 可知:中间一个正方形的左上、左边、左下共有 3 个等腰直角三角形,它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形,右边还有 1 个等腰直角三角形,即 6=3+2×1+1=4+2×1;图 3 和图 1 中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形,均有与图 2 一样的规律,图 3:8=3+2×2+1=4+2×2;归纳得:4+2n(即 2n+4); ∴若一条这样的人行道一共有 n(n 为正整数)块正方形地砖,则等腰直
中考数学专题复习
许多事物都存在着一定的规律性，只要我们善于观察、勤于思考，就可以发现它们，并利用它们来丰富我们的生活。
●解题思路
一、数字规律
例1
请你按照如下的数字规律,分别
写出第n个数字：（n为正整数）
① ②③ ④ ⑤
n
（1）2,4,6,8,10, … , _2_n__;
（2）1,3,5,7,9, … , 2n-1
一、选择题
1.平面上不重合的两点确定一条直线,不同三点最多可确定 3 条直线,
若平面上不同的 n 个点最多可确定 21 条直线,则 n 的值为 ( C )
A.5
B.6 C.7 D.8
2.(2021 山东临沂)实验证实,放射性物质在放出射线后,质量将减少,
减少的速度开始较快,后来较慢,实际上,物质所剩的质量与时间成某
•即时演练•
1.(2020 天水)观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…已

中考数学专题复习探索规律问题

专题探索规律问题解读考点考点归纳归纳 1：数字猜想型基础知识归纳：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系,先猜想,然后通过适当的计算回答问题．注意问题归纳：要认真分析比较,从而发现题中蕴涵的数量关系,通过猜想,再通过计算解决问题．例1一列数：0,-1,3,-6,10,-15,21,……,按此规律第n个数为归纳 2：数式规律型基础知识归纳：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式即函数关系式为主要内容．注意问题归纳：要注意观察、分析、归纳、并验证得出结论．例2有一个计算程序,每次运算都是把一个数先乘以2,再除以它与1的和,多次重复进行这种运算的过程如下：则第n次运算的结果yn= 用含字母x和n的代数式表示．归纳 3：图形规律型基础知识归纳：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式描述其中的规律,要注意对应思想和数形结合．注意问题归纳：要注意分析图形的组成与分拆过程中的特点,要注意数形结合．例3如图,是由一些点组成的图形,按此规律,在第n个图形中,点的个数为．归纳 4：数形结合猜想型基础知识归纳：数形结合猜想型问题首先要观察图形,从中发现图形的变化方式,再将图形的变化以数或式的形式反映出来,从而得出图形与数或式的对应关系,数形结合总结出图形的变化规律,进而解决相关问题．注意问题归纳：要注意观察图形,发现图形的变化方式,用好数形结合思想解决问题．例4如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,且AC边在直线a上,将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1,此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时AP3=2+；……,按此规律继续旋转,直至得到点P2014为止．则AP2014= ．归纳5：动态规律型基础知识归纳：动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律,解答此类问题时,要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较,明确哪些结果发生了变化,哪些结果没有发生变化,从而逐步发现规律．注意问题归纳：要注意探求图形的变化规律,明确发生变化的与没有发生变化的量,从而逐步发现规律．例5如图,在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1,A2,A3,A4,……,An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=1x的图象相交于点P1,P2,P3,P4,……Pn作P2B1⊥A1P1,P3B2⊥A2P2,P4B3⊥A3P3,……,PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1,垂足分别为B1,B2,B3,B4,……,Bn﹣1,连接P1P2,P2P3,P3P4,……,Pn﹣1Pn,得到一组Rt△P1B1P2,Rt△P2B2P3,Rt△P3B3P4,……,Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn,则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为．2年中考2015年题组1．2015绵阳将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放,观察每个“龟图”中的“○”的个数,若第n个“龟图”中有245个“○”,则n=A．14 B．15 C．16 D．17考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．2．2015十堰如图,分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形,公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍,并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个,那么能连续搭建正三角形的个数是A．222 B．280 C．286 D．2923．2015荆州把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,…,现有等式Am=i,j表示正奇数m 是第i组第j个数从左往右数,如A7=2,3,则A2015=A．31,50 B．32,47 C．33,46 D．34,424．2015包头观察下列各数：1,43,97,1615,…,按你发现的规律计算这列数的第6个数为A．2531 B．3635 C．47 D．6263考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．5．2015重庆市下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有6个小圆圈,第②个图形中一共有9个小圆圈,第③个图形中一共有12个小圆圈,…,按此规律排列,则第⑦个图形中小圆圈的个数为A．21 B．24 C．27 D．306．2015泰安下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为A．135 B．170 C．209 D．252考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．7．2015重庆市下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成,图①中有2个黑色正方形,图②中有5个黑色正方形,图③中有8个黑色正方形,图④中有11个黑色正方形,…,依次规律,图⑩中黑色正方形的个数是A．32 B．29 C．28 D．26考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．8．2015崇左下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第4个图形中所有正三角形的个数有A．160 B．161 C．162 D．1639．2015贺州观察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,…,解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是A．0 B．3 C．4 D．8考点：1．尾数特征；2．规律型；3．综合题．10．2015宜宾如图,以点O为圆心的20个同心圆,它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20,阴影部分是由第1个圆和第2个圆,第3个圆和第4个圆,…,第19个圆和第20个圆形成的所有圆环,则阴影部分的面积为A ．231π B．210π C．190π D．171π11．2015鄂州在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置,其中点B1在y 轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是A ．201421）（B ．201521）（C ．201533）（D ．201433）（答案D ．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．12．2015庆阳在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则△B2nA2n+1B2n+1n 是正整数的顶点A2n+1的坐标是A ．4n ﹣3．2n ﹣3．3 D ．313．2015宁德如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3…都在x 轴上,点B1,B2,B3…都在直线y x 上,△OA1B1,△B1A1A2,△B2B1A2,△B2A2A3,△B3B2A3…都是等腰直角三角形,且OA1=1,则点B2015的坐标是A ．20142,20142B ．20152,20152C ．20142,20152D ．20152,20142考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等腰直角三角形；3．规律型；4．综合题．14．2015河南省如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3,…组成一条平滑的曲线,点P 从原点O 出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒2π个单位长度,则第2015秒时,点P 的坐标是A ．2014,0B ．2015,﹣1C ．2015,1D ．2016,0考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．15．2015张家界任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和,如：5323+=,119733++=,1917151343+++=,…按此规律,若3m 分裂后其中有一个奇数是2015,则m 的值是A ．46B ．45C ．44D ．4316．2015邵阳如图,在矩形ABCD 中,已知AB=4,BC=3,矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置,…,以此类推,这样连续旋转2015次后,顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是A ．2015π B．π C ．3018π D．3024π17．2015威海如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2,正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切,正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切,…按这样的规律进行下去,A10B10C10D10E10F10的边长为A ．92432B ．98132C ．9812 D ．88132考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题．18．2015日照观察下列各式及其展开式：222()2a b a ab b +=++；33223()33a b a a b ab b +=+++；4432234()464a b a a b a b ab b +=++++；554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++；…请你猜想10()a b +的展开式第三项的系数是A ．36B ．45C ．55D ．66考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．19．2015宁波如图,将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠,使点A 落在BC 边上的A2处,称为第1次操作,折痕DE 到BC 的距离记为h1；还原纸片后,再将△ADE 沿着过AD 中点D1的直线折叠,使点A 落在DE 边上的A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC 的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…,经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC 的距离记为h2015,到BC 的距离记为h2015．若h1=1,则h2015的值为A ．201521B ．201421C ．2015211- D ．2014212-考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理；3．翻折变换折叠问题；4．规律型；5．综合题．20．2015常州数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式,作出了一个着名的猜想． 4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5； 16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式,你发现的规律是请用文字语言表达．21．2015淮安将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a 行,第b 列,则a+b= ．22．2015雅安若1m ,2m ,…,2015m 是从0,1,2这三个数中取值的一列数,若122015...m m m +++=1525,222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=,则1m ,2m ,…,2015m 中为2的个数是．23．2015桂林如图是一个点阵,从上往下有无数多行,其中第一行有2个点,第二行有5个点,第三行有11个点,第四行有23个点,…,按此规律,第n 行有个点．24．2015梧州如图是由等圆组成的一组图,第①个图由1个圆组成,第②个图由5个圆组成,第③个图由12个圆组成…按此规律排列下去,则第⑥个图由个圆组成．25．2015百色观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是用含n 的式子表示26．2015北海如图,直线22y x =-+与两坐标轴分别交于A 、B 两点,将线段OA 分成n等份,分点分别为P1,P2,P3,…,Pn﹣1,过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T1,T2,T3,…,Tn ﹣1,用S1,S2,S3,…,Sn ﹣1分别表示Rt△T1OP1,Rt△T2P1P2,…,Rt△Tn ﹣1Pn ﹣2Pn ﹣1的面积,则当n=2015时,S1+S2+S3+…+Sn﹣1= ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型；3．综合题．27．2015南宁如图,在数轴上,点A 表示1,现将点A 沿x 轴做如下移动,第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1,第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2,第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点,按照这种移动规律移动下去,第n次移动到点An,如果点An 与原点的距离不小于20,那么n 的最小值是．28．2015常德取一个自然数,若它是奇数,则乘以3加上1,若它是偶数,则除以2,按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1,即：,如果自然数m 最少经过7步运算可得到1,则所有符合条件的m 的值为．29．2015株洲“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式,公式表达式为12b S a =+-,孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积,a 和b 中有一个表示多边形边上含顶点的整点个数,另一个表示多边形内部的整点个数,但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数,请你选择一些特殊的多边形如图1进行验证,得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是 ,并运用这个公式求得图2中多边形的面积是．30．2015内江填空：()()a b a b -+= ；22()()a b a ab b -++= ；3223()()a b a a b ab b -+++= ．2猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= 其中n 为正整数,且2n ≥．3利用2猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+． 31．2015南平定义：底与腰的比是51-的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图,已知△ABC 中,AB=BC,∠C=36°,BA1平分∠ABC 交AC 于A1．AB=AA1A C；122探究：△ABC是否为黄金等腰三角形请说明理由；提示：此处不妨设AC=13应用：已知AC=a,作A1B1∥AB交BC于B1,B1A2平分∠A1B1C交AC于A2,作A2B2∥AB 交B2,B2A3平分∠A2B2C交AC于A3,作A3B3∥AB交BC于B3,…,依此规律操作下去,用含a,n的代数式表示An﹣1An．n为大于1的整数,直接回答,不必说明理由考点：1．相似形综合题；2．新定义；3．探究型；4．综合题；5．压轴题；6．规律型．33．2015重庆市如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是：1,2,3,2,1,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1,2,3,2,1,因此12321是一个“和谐数”,再加22,545,3883,345543,…,都是“和谐数”．1请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除并说明理由；2已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设其个位上的数字x1≤x≤4,x为自然数,十位上的数字为y,求y与x的函数关系式．2014年题组1．2014年南平中考如图,将1,若规定a,b表示第a排第b列的数,则8,2与2014,2014表示的两个数的积是A．B．C． D．12．2014年株洲中考在平面直角坐标系中,孔明做走棋的游戏,其走法是：棋子从原点出发,第1步向右走1个单位,第2步向右走2个单位,第3步向上走1个单位,第4步向右走1个单位……依此类推,第n步的走法是：当n能被3整除时,则向上走1个单位；当n被3除,余数为1时,则向右走1个单位；当n被3除,余数为2时,则向右走2个单位,当走完第100步时,棋子所处位置的坐标是A．66,34 B．67,33 C．100,33 D．99,343．2014年宜宾中考如图,将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,……An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是A．n B．n-1 C.n11()4D．n1()4考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．4．2014年崇左中考如图,在平面直角坐标系中,A1,1,B﹣1,1,C﹣1,﹣2,D1,﹣2．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点A处,并按A﹣B﹣C﹣D﹣A……的规律绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是A．﹣1,0 B．1,﹣2 C．1,1 D．﹣1,﹣15．2014年百色中考观察以下等式：32﹣12=8,52﹣12=24,72﹣12=48,92﹣12=80,……由以上规律可以得出第n个等式为．6．2014年衡阳中考如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点0M 的坐标为()10，,将线段0OM 绕原点O 逆时针方向旋转45,再将其延长至点1M ,使得100M M OM ⊥,得到线段1OM ；又将线段1OM 绕原点O 逆时针方向旋转45,再将其延长至点2M ,使得211M M OM ⊥,得到线段2OM ；如此下去,得到线段3OM 、4OM 、5OM 、……．根据以上规律,请直接写出线段2014OM 的长度为．答案2014．7．2014年抚顺中考如图,已知CO1是△ABC 的中线,过点O1作O1E1∥AC 交BC 于点E1,连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC 交BC 于点E2,连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC 交BC 于点E3,……,如此继续,可以依次得到点O4,O5,……,On 和点E4,E5,……,En ．则OnEn= AC ．用含n 的代数式表示考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．8．2014年资阳中考如图,以O0,0、A2,0为顶点作正△OAP1,以点P1和线段P1A 的中点B 为顶点作正△P1BP2,再以点P2和线段P2B 的中点C 为顶点作△P2CP3,……,如此继续下去,则第六个正三角形中,不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是9．2014年宜宾中考在平面直角坐标系中,若点Px,y 的坐标x 、y 均为整数,则称点P 为格点,若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L,例如图中△ABC 是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4．1求出图中格点四边形DEFG 对应的S,N,L 的值．2已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b,其中a,b为常数,若某格点多边形对应的N=82,L=38,求S的值．考点：1．规律型：图形的变化类； 2．二元一次方程组的应用．10．2014年凉山中考实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第n行有n个点……容易发现,10是三角点阵中前4行的点数约和,你能发现300是前多少行的点数的和吗如果要用试验的方法,由上而下地逐行的相加其点数,虽然你能发现1+2+3+4+……+23+24=300．得知300是前24行的点数的和,但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n,可以发现．2×1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n=1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n+n+n﹣1+n﹣2+……3+2+1把两个中括号中的第一项相加,第二项相加……第n项相加,上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1,整个式子等于nn+1,于是得到1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n=12nn+1这就是说,三角点阵中前n项的点数的和是12nn+1下列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n行的点数的和为300,则有12nn+1整理这个方程,得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24,n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24,即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：1三角点阵中前n行的点数的和能是600吗如果能,求出n；如果不能,试用一元二次方程说明道理．2如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、……、2n、……,你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗如果能,求出n；如果不能,试用一元二次方程说明道理．1年模拟1．2015届山东省济南市平阴县中考二模在平面直角坐标系xOy中,对于点Px,y,我们把点P-y+1,x+1叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,…．例如：点A1的坐标为3,1,则点A2的坐标为0,4,…；若点A1的坐标为a,b,则点A2015的坐标为A．-b+1,a+1 B．-a,-b+2 C．b-1,-a+1 D．a,b2．2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模如图,下面是按照一定规律画出的“树形图”,经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”,图A3比图A2多出4个“树枝”,图A4比图A3多出8个“树枝”,…,照此规律,图A6比图 A2多出“树枝”A．32 B．56 C．60 D．643．2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的是①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形AnBnCnDn面积为．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④4．2015届广东省深圳市龙华新区中考二模如图,已知直线y=-12x+2与x轴交于点B,与y轴交于点A．过线段AB的中点A1做A1B1⊥x轴于点B1,过线段A1B的中点A2作A2B2⊥x轴于点B2,过线段A2B的中点A3作A3B3⊥x轴于点B3…,以此类推,则△AnBnBn-1的面积为A ．112n -B ．12nC ．114n -D ．14n5．2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模如图放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,边AO 在y 轴上,点B1,B2,B3,…都在直线y=33x 上,则A2015的坐标是．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．规律型．6．2015届北京市平谷区中考二模在平面直角坐标系中,点A,B,C 的坐标分别为()1,0,()0,1,()1,0-．一个电动玩具从坐标原点O 出发,第一次跳跃到点P1,使得点P1与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点P2,使得点P2与点P1关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点P3,使得点P3与点P2关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点P5,使得点P5与点P4关于点B 成中心对称；．…照此规律重复下去．则点P3的坐标为；点Pn 在y 轴上,则点Pn 的坐标为．7．2015届北京市门头沟区中考二模在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 如图放置,动点P 从0,3出发,沿所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第2次碰到矩形的边时,点P 的坐标为；当点P 第6次碰到矩形的边时,点P 的坐标为；当点P 第2015次碰到矩形的边时,点P 的坐标为____________．答案7,4, 0,3 ,1,4．8．2015届安徽省安庆市中考二模一组按规律排列的式子：,,,,…则第n 个式子是 n为正整数．9．2015届山东省威海市乳山市中考一模在直角坐标系xOy中,对于点Px,y,我们把点P′y+1,-x+1叫做点P的影子点．已知点A1的影子点为A2,点A2的影子点为A3,点A3的影子点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,…若点A1的坐标为a,b,对于任意的正整数n,点An均在y轴的右侧,则a,b应满足的条件是．10．2015届山东省日照市中考模拟如图,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3,已知A1,3,A12,3,A24,3,A38,3,B2,0,B14,0,B28,0,B316,0．1观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是．2若按1题找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到的△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推出Bn的坐标是．11．2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去．已知第一个矩形的两条邻边长分别为6和8,则第n个菱形的周长为．12．2015届湖北省黄石市6月中考模拟如图,点A1,A2,A3,A4,…,An在射线OA上,点B1,B2,B3,…,Bn﹣1在射线OB上,且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1,A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1,△A1A2B1,△A2A3B2,…,△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形,若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1、4,则△A1A2B1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．13．2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试若a是不为1的有理数,我们把11a-称为a的差倒数．如：2的差倒数是112-=-1,-1的差倒数是111(1)2=--．已知a1=-13,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数,…,依此类推．1分别求出a2,a3,a4的值；2求a1+a2+a3+…+a2160的值．。

中考数学规律探索题(整理全,含答案).doc

A. M=mnD.M=m(n+1)规律探索7选择题1. 观察下列等式：31=3, 32=9, 33=27, 34=81, 3—243, 36=729, 37=2187...解答下列问题：3 + 32 + 33 + 34...+32013的末位数字是( )A. 0B. 1C. 3D. 72. 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1), (3, 5, 7), (9, 11, 13, 15, 17), (19, 21, 23, 25, 27,29, 31),…，现用等式A M = (i, j)表示正奇数M 是第i 组第j 个数(从左往右数)，如A7= (2, 3),则A 20I 3=() A. (45, 77) B. (45, 39) C. (32, 46) D. (32, 23)3. 下表中的数字是按一定规律填写的，表中a 的值应是 ________ . 12 3 5 813a・2 358 13 21 34・4. 下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第(1)个图形的面积为2“？，第(2)个图形的面积为8 cm 2,5. 如图，动点P 从(0, 3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为()A 、(1, 4)B 、(5, 0)C 、(6, 4)D 、(8, 3) 6.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律，图形中M 与m 、n 的关系是7. 我们知道，一元二次方程x 2 =-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1,若我们规定一个新数“”，使其满足第(3)个图形的面积为18 cm 2,……，第(10)个图形的面积为(B.M=n(m+1) C.M=mn+1i + Z 2 + Z 3 + 广 + ..严12 + /2013 的值为A. 0B. 1C. -1 D .•• • •• • •• • • •• •• • •图①图②图③（第8题图）A. 51 C.76 D. 81厂= -1（即方程X 2 =-1有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有z 1 = z, i 2= -1 , z 3 = i 2-i = (-1).1 = -i, i 4 = (z 2)2 = (-1)2 = 1.从而对任意正整数n,我们可得到严”+1 = j4” j =(严)” j = i,同理可得严”+2 = _1,严”+3 = =1,那么,&下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③ 个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（）填空题1. ________________________________________________________________________________ 观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第"个图形中所有的个数为 _________________________________ （用含"的代数式表（第11题）2. 如图，在直角坐标系中，已知点A （-3, 0）、B （0, 4）,对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△】、△?、△?、A 4...,则△2013的直角顶点的坐标为 ___________________ .3. 如图，正方形ABCD 的边长为1,顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形AiBiCiD”由顺次连接正方形AjBiCiDi 四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2...,以此类推，则第六个正方形A6B 6C 6D6周长是 ________ •B. 70& 1 图2 图3 D4. _________________________________________________________________________________________________ 直线上有2013个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有 ________________ 个点.5.如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如：称图中的数1, 5, 12, 22...为五边形数，则第6个五边形数是 __________将C1绕点山旋转180。

规律探索型问题PPT课件

横排中右边的数比左边的数大1
纵列中下面的数比上面的数大7
2021
27
观察下面的几个算式，你发现了什么规律？
12＝1 112＝121 1112＝12321 11112＝1234321 利用上面的规律，请猜出 111112＝ 123454321 。
2021
28
葛店镇党委、政府十分重视本地企业的发展，葛店水泥制管厂就是我镇的一家民营企业。为了更好地节约场地，工人师傅们按下面的图示堆放水泥管。
1×3=3，而 3=22-1
3×5=15，而15=42-1
5×7=35，而35=62-1
7×9=63，而63=82-1
……
……
13×15=195，而195=142-1
……
……
将你猜想到的规律用含n(n≥1的整数)的等式表示出来
解：（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1，其中n是大于1的
自然数．
或者n（n+2）=（n+1）2-1，其中n表示奇数．
50 101
2021
11
例3、在△ABC 中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，AD交BE于点O.某学生在研究问题时，发现了如下的事实:
当
AE 1 1 时，有 AC 2 11
AO AD
2 3
2 21（如图1）
当 AE1 1 AC 3 12
时，有
AO AD
42 222（如图2）
当 AE1 1 时，有 AC 4 13
2021
5
例2. 研究下列算式，你会发现什么规律？ 1×3+1=4=22 2×4+1=9=32 3×5+1=16=42 4×6+1=25=52 ……

中考数学总复习安徽专名师专题规律探索题PPT学习教案

1
得,每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的
,从而得出答案;
3
【解决问题】运用以上结论,将原式变形为
1
×2 017×(2 017+1)×(2×2 017+1)
6
,化简计算即可得.
1
×2
017×(2
017+1)
2
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类型一
类型二
解:【规律探究】
由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为n-1+2+n=2n+1,由
为:
3(12+22+32+…+n2)=
.
因此12+22+32+…+n2=
.
【解决问题】
图2
12 +22 +32 +…+2 0172
根据以上发现,计算
的结果.
1+2+3+…+2 017
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类型一
类型二
分析:【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可,所有圈中
的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数,据此可
一般性的结论,然后再给出合理的证明或加以运用.
1.解决这类问题的关键是发现和把握规律.题目中呈现规律一
般有三种主要途径:
(1)式与数的特征观察.
(2)图形的结构观察.
(3)通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况.
2.规律探究的基本原则:
(1)遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,
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1
2
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7
8

安徽中考数学复习专题全辑专题四规律探索题

【方法点拨】对于图形规律探索题常按以下步骤操作：①写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；②数图形的个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形表示的个数；③寻找图形数量与序号 n 的关系：在寻找第 n 个图形表示的数量时，先将后一个图形表示的个数与前一个图形表示的个数进行比对，通过作差(商)来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数；④验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．
211 4. 解：(1)第 6 个等式：＝＋
11 6 66
21
1
(2) ＝＋
2n－1 n n（2n－1）
1
1
2n－1＋1 2
证明：∵右边＝＋
＝
＝＝左边，∴等式成立．
n n（2n－1） n（2n－1） 2n－1
5．解：(1)第 5 个式子为：(11＋9)2－(11－9)2＝4×11×9.
(2)第 n 个式子：[(2n＋1)＋(2n－1)]2－[(2n＋1)－(2n－1)]2＝4(2n＋1)(2n－ 1)，证明：左边＝(4n)2－22＝4[(2n)2－12]＝4(2n＋1)(2n－1)＝右边，等式成立．类型二【例 2】 (1)42 n2 (2)2n＋1 2n2＋2n＋1 [解法提示]由(1)可知题图中第(n＋1)行的黑球个数为 2n＋1；1＋3＋5＋…＋ (2n－1)＋(2n＋1)＝(n＋1)2＝n2＋2n＋1，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n2＋2n ＋1＋n2＝2n2＋2n＋1. 跟踪训练 1．解：(1)9 (2n－1) (2)2n－1＝2 019，n＝1 010. 2．解：60 6n (1)61 3n2－3n＋1 (2)依题意得 3n2－3n＋1＝271，解得 n1＝10，n2＝－9(不合题意，舍去)．所以小圆圈的个数会等于 271，是第 10 个点阵． 3．解：(1)100 40 (2)n2＋4n [解法提示]第 1 个图形：白色小正方形 1 个，黑色小正方形 4×1＝4 个，共有 1 ＋4＝5 个；第 2 个图形：白色小正方形 2×2＝4 个，黑色小正方形 4×2＝8 个，共有 4＋8 ＝12 个；

中考数学《规律探索》专题复习试题含解析

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

中考数学规律探索复习共17页

观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积
S4
S3 S2 S1 0 1 3 5 7 9 11 13
图6
S10=__7_6_______
3、填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律， C = 1＿08＿＿．
13 5 20
35 7 56
5A BC
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德谟克利特 67、今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。— —裴斯泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运的，只是一瞬之间。 ——歌德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
(1)如果欲求 1 3 32 33 320的值，可令
s 1 3 32 33 320 (1)
将（1）式两边同乘以 3，得
由(_2_3 ()_2用s _) 式_由_3 减特_ _去3 殊_2 _到 (_1_)3 一式_3 _ 般,_得3 _的4 _s _方 __法_3 __2 ___知__s1 _:若__数_12_列((_23_)2a_11_,_a_21_,)a_3__ an ,
序号 ① ② 周长 6 10
③④ 16 26
若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿＿4＿6＿6 。
1、观察一列数２，４，８，１６，３２，－－－，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是＿2＿＿＿；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n 项，那么
a18 =_2_1_8__,an=______2_n___。
中考数学规律探索复习
5. 1121, 2131, 3141,.... 33 44 55
请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出

2020年中考数学一轮专项复习——规律探索(含答案)

2020年中考数学一轮专项复习——规律探索中考备考攻略规律探索型问题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题.纵观宜宾近五年中考，往往以选择题、填空题形式出现，这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖.其目的是考查收集、分析数据、处理信息的能力.所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题.规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，既考查分析、解决问题能力，也考查观察、联想、归纳能力以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空题、选择题或解答题.中考重难点突破数与式变化规律【典例1】（2019·达州中考）a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2 019的值是（）A .5B .－14C .43D .451.一组按规律排列的多项式：a ＋b ，a 2－b 3，a 3＋b 5，a 4－b 7，…，其中第10个式子是（）A. a 10＋b 19 B .a 10－b 19 C .a 10－b 17 D .a 10－b 212.有一组数：12，35，510，717，926，…，请观察它们的构成形式，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数： .3.已知：1＋112＋122＝112，1＋122＋132＝116，1＋132＋142＝1112，…，根据此规律1＋192＋1102＝ .4.（2019·自贡中考）阅读下列材料：小明为了计算1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018的值，采用以下方法：设S＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018，①则2S＝2＋22＋…＋22 018＋22 019.②②－①，得2S－S＝S＝22 019－1.∴S＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018＝22 019－1.请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1＋2＋22＋…＋29＝；（2）3＋32＋…＋310＝；（3）求1＋a＋a2＋…＋a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）.点阵变化规律【典例2】如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2、4、6、…、2n、…，若前n行点数和为930，则n＝（）A.29B.30C.31D.325.将全体正奇数排成一个三角形数阵：13 57911131517192123252729………………根据以上排列规律，数阵中第25行的第20个数是（）A.639B.637C.635D.633循环排列规律【典例3】观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2 018个图形是（）A B C D6.如图是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案.（1）完成下表的填空：正方形个数 1 2 3 4 5 6 … 火柴棒根数4710131619…（2）某同学用若干根火柴棒按如图的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，…，当他摆完第n 个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n ＋1）个图案还差2根.问最后摆的图案是第几个图案？图形生长变化规律【典例4】（2019·内江中考）如图，将△ABC 沿着过BC 的中点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边上的B 1处，称为第一次操作，折痕DE 到AC 的距离为h 1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过BD 的中点D 1的直线折叠，使点B 落在DE 边上的B 2处，称为第二次操作，折痕D 1E 1到AC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去……经过第n 次操作后得到折痕D n －1E n －1，到AC 的距离记为h n .若h 1＝1，则h n 的值为（）A .1＋12n －1 B .1＋12nC .2－12n －1 D .2－12n7.（2019·广元中考）如图，过点A 0（0，1）作y 轴的垂线交直线l ：y ＝33x 于点A 1，过点A 1作直线l 的垂线，交y 轴于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3，…，这样依次下去，得到△A 0A 1A 2、△A 2A 3A 4、△A 4A 546、…，其面积分别记为S 1、S 2、S 3、…，则S 100为（）A .⎝⎛⎭⎫332100B .（33）100C .33×4199D .33×2395与坐标有关的规律【典例5】如图，已知A 1（1，0），A 2（1，1），A 3（－1，1），A 4（－1，－1），A 5（2，－1），…，则点A 2018的坐标为 .8.（2019·攀枝花中考）正方形A 1B 1C 1A 2、A 2B 2C 2A 3、A 3B 3C 3A 4、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点B 1、B 2、B 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上.已知点A 1（0，1），点B 1（1，0），则点C 5的坐标是 .中考备考过关1.某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k （x k ，y k ）处，其中x 1＝1，y 1＝1，当k ≥2时，⎩⎨⎧x k ＝x k －1＋1－5⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，y k ＝y k －1＋⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，[a]表示非负实数a 的整数部分，如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2 019棵树种植点的坐标为（）A .（5，2 019）B .（6，2 020）C .（3，403）D .（4，404）2.正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点C 1、C 2、C 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上，已知B 1（1，1），B 2（3，2），则点B n 的坐标是 .,（第2题图）) ,（第3题图）)3. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为个.4.（2019·广安中考）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt △OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°；再以OA 2为直角边作Rt △OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°；再以OA 3为直角边作Rt △OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°……按此规律进行下去，则点A 2 019的坐标为 .5.符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…；（2）f ⎝⎛⎭⎫12＝2，f ⎝⎛⎭⎫13＝3，f ⎝⎛⎭⎫14＝4，f ⎝⎛⎭⎫15＝5，…. 利用以上规律计算：f ⎝⎛⎭⎫12 019－f （2 019）＝ .6.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子枚（用含n 的代数式表示）.7.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2 019个图形共有个○.8.如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5、－2、1、9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.尝试（1）问前4个台阶上数的和是多少？（2）问第5个台阶上的数x 是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和；发现试用含k （k 为正整数）的式子表现出数“1”所在的台阶数.9.观察： 11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14，….解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想1n ×（n ＋1）＝；（2）若n 为正整数，请你猜想11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×（n ＋1）＝；（3）若x －1＋（xy －2）2＝0，求1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 017）（y ＋2 017）的值.10.一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A 和终点站B ），该列火车挂有一节邮政车厢，行驶时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发给后面行程中每个车站的邮包一个.例如，当列车停靠在第x 个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的（x －1）个车站发给该站的邮包（x －1）个，还要装上后面行程中要停靠的（n －x ）个车站的邮包（n －x ）个.（1）根据题意，完成下表：车站序号在第x 个车站启程时邮政车厢上的邮包总个数1 n －12 （n －1）－1＋（n －2）＝2（n －2）3 2（n －2）－2＋（n －3）＝3（n －3）4 3（n －3）－3＋（n －4）＝4（n －4）5 … … n 0（2）根据上表写出列车在第x 个车站启程时，邮政车厢上共有的邮包个数y （用x 、n 表示）；（3）当n ＝18时，列车在第几个车站启程时邮车上的邮包个数最多？参考答案中考重难点突破数与式变化规律【典例1】（2019·达州中考）a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2 019的值是（ D ）A .5B .－14C .43D .45【解析】∵a 1＝5，a 2＝11－a 1＝11－5＝－14，a 3＝11－a 2＝11－⎝⎛⎭⎫－14＝45，a 4＝11－a 3＝11－45＝5，…，∴数列以5、－14、45三个数依次不断循环.∵2 019÷3＝673，∴a 2 019＝a 3＝45.1.一组按规律排列的多项式：a ＋b ，a 2－b 3，a 3＋b 5，a 4－b 7，…，其中第10个式子是（ B ）A .a 10＋b 19B .a 10－b 19C .a 10－b 17D .a 10－b 212.有一组数：12，35，510，717，926，…，请观察它们的构成形式，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数：2n －1n 2＋1Ｗ. 3.已知：1＋112＋122＝112，1＋122＋132＝116， 1＋132＋142＝1112，…，根据此规律1＋192＋1102＝ 1190 Ｗ. 4.（2019·自贡中考）阅读下列材料：小明为了计算1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018的值，采用以下方法：设S ＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018，① 则2S ＝2＋22＋…＋22 018＋22 019.② ②－①，得2S －S ＝S ＝22 019－1.∴S ＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018＝22 019－1. 请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1＋2＋22＋…＋29＝；（2）3＋32＋…＋310＝；（3）求1＋a ＋a 2＋…＋a n 的和（a ＞0，n 是正整数，请写出计算过程）.解：（1）210－1；（2）311－12；（3）设S ＝1＋a ＋a 2＋…＋a n ，①则aS ＝a ＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1.②②－①，得（a －1）S ＝a n ＋1－1.∴S ＝a n ＋1－1a －1，即1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝an ＋1－1a －1.点阵变化规律【典例2】如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2、4、6、…、2n 、…，若前n 行点数和为930，则n ＝（ B ）A .29B .30C .31D .32【解析】设前n 行的点数和为S ，则S ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝（2n ＋2）n2＝n （n ＋1）. 若S ＝930，则n （n ＋1）＝930，即（n ＋31）（n －30）＝0，∴n 1＝－31（不合题意，舍去），n 2＝30.5.将全体正奇数排成一个三角形数阵：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第25行的第20个数是（ A ） A .639 B .637 C .635 D .633循环排列规律【典例3】观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2 018个图形是（ B ）A B C D【解析】根据题意可知前面4个笑脸循环出现，因为2 018÷4＝504……2，所以第2 018个图形是循环出现到第2个图形.6.如图是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案.（1）完成下表的填空：正方形个数 1 2 3 4 5 6 … n火柴棒根数4 7 10 13 16 19 … 3n ＋1（2）某同学用若干根火柴棒按如图的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，…，当他摆完第n 个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n ＋1）个图案还差2根.问最后摆的图案是第几个图案？解：（1）见上表；（2）由3（n ＋1）＋1＝22，解得n ＝6. ∴这位同学最后摆的图案是第7个图案.图形生长变化规律【典例4】（2019·内江中考）如图，将△ABC 沿着过BC 的中点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边上的B 1处，称为第一次操作，折痕DE 到AC 的距离为h 1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过BD 的中点D 1的直线折叠，使点B 落在DE 边上的B 2处，称为第二次操作，折痕D 1E 1到AC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去……经过第n 次操作后得到折痕D n －1E n －1，到AC 的距离记为h n .若h 1＝1，则h n 的值为（ C ）A .1＋12n －1 B .1＋12nC .2－12n －1 D .2－12n【解析】根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，得出h 2＝1＋12h 1，依次得出h 3、h 4、…、h n ，再对h n 进行计算变形即可.,7.（2019·广元中考）如图，过点A 0（0，1）作y 轴的垂线交直线l ：y ＝33x 于点A 1，过点A 1作直线l 的垂线，交y 轴于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3，…，这样依次下去，得到△A 0A 1A 2、△A 2A 3A 4、△A 4A 546、…，其面积分别记为S 1、S 2、S 3、…，则S 100为（ D ）A .⎝⎛⎭⎫332100B .（33）100C .33×4199D .33×2395与坐标有关的规律【典例5】如图，已知A 1（1，0），A 2（1，1），A 3（－1，1），A 4（－1，－1），A 5（2，－1），…，则点A 2018的坐标为（505，505） .【解析】根据各个点（点A 1和第四象限内的点除外）分别位于象限的角平分线上，逐步探索出下标和各点坐标之间的关系，根据规律推出点A 2 018的坐标.通过观察可得序号是4的倍数的点在第三象限，由2 018÷4＝504……2，得点A 2 018在第一象限，其横、纵坐标都为（2 018－2）÷4＋1＝505.,8.（2019·攀枝花中考）正方形A 1B 1C 1A 2、A 2B 2C 2A 3、A 3B 3C 3A 4、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点B 1、B 2、B 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上.已知点A 1（0，1），点B 1（1，0），则点C 5的坐标是（47，16）Ｗ.中考备考过关1.某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k （x k ，y k ）处，其中x 1＝1，y 1＝1，当k ≥2时，⎩⎨⎧x k ＝x k －1＋1－5⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，y k ＝y k －1＋⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，[a]表示非负实数a 的整数部分，如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2 019棵树种植点的坐标为（ D ）A .（5，2 019）B .（6，2 020）C .（3，403）D .（4，404）2.正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点C 1、C 2、C 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上，已知B 1（1，1），B 2（3，2），则点B n 的坐标是（2n －1，2n －1）Ｗ.,（第2题图）) ,（第3题图）)3. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 1 838 个.4.（2019·广安中考）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt △OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°；再以OA 2为直角边作Rt △OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°；再以OA 3为直角边作Rt △OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°……按此规律进行下去，则点A 2 019的坐标为（－22 017，22 0173）Ｗ.5.符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…；（2）f ⎝⎛⎭⎫12＝2，f ⎝⎛⎭⎫13＝3，f ⎝⎛⎭⎫14＝4，f ⎝⎛⎭⎫15＝5，…. 利用以上规律计算：f ⎝⎛⎭⎫12 019－f （2 019）＝ 1 Ｗ.6.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子（3n ＋1）枚（用含n 的代数式表示）.7.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2 019个图形共有 6 058 个○.8.如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5、－2、1、9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.尝试（1）问前4个台阶上数的和是多少？（2）问第5个台阶上的数x 是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和；发现试用含k （k 为正整数）的式子表现出数“1”所在的台阶数.解：尝试（1）由题意，得－5－2＋1＋9＝3，故前4个台阶上的数字的和是3；（2）由题意，得－2＋1＋9＋x ＝3，所以x ＝－5；应用由题意知台阶上的数从下到上每4个循环，因为31÷4＝7……3，所以7×3＋1－2－5＝15，即从下到上前31个台阶上数的和是15. 发现 “1”所在的台阶数为4k －1.9.观察： 11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14，….解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想1n ×（n ＋1）＝；（2）若n 为正整数，请你猜想11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×（n ＋1）＝；（3）若x －1＋（xy －2）2＝0，求1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 017）（y ＋2 017）的值.解：（1）1n －1n ＋1；（2）1－1n ＋1；[原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1.]（3）∵x －1＋（xy －2）2＝0，∴x －1＝0，xy －2＝0，解得x ＝1，y ＝2.则原式＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 018×2 019＝1－12 019＝2 018 2 019.10.一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），该列火车挂有一节邮政车厢，行驶时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发给后面行程中每个车站的邮包一个.例如，当列车停靠在第x个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的（x－1）个车站发给该站的邮包（x－1）个，还要装上后面行程中要停靠的（n－x）个车站的邮包（n－x）个.（1）根据题意，完成下表：（2（3）当n＝18时，列车在第几个车站启程时邮车上的邮包个数最多？解：（1）见上表；（2）y＝x（n－x）；（3）当n＝18时，y＝x（18－x）＝－x2＋18x＝－（x－9）2＋81.当x＝9时，y取最大值，所以列车在第9个车站启程时，邮政车厢上的邮包个数最多.。

中考数学专题3《规律探究》总复习课件ppt

题型1
题型2
题型3
题型2 图形变化类规律探究典例2 (2016· 马鞍山五校联考)如图,一个3×2的矩形(即长为3,宽为2)可以用两种不同方式分割成3个或6个边长是正整数的小正方形,即:小正方形的个数最多是6个,最少是3个.
(1)一个5×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数最多是个,最少是个; (2)一个7×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数最多是个,最少是个;
题型1
题型2
题型3
【解析】本题考查探究图形的变化规律,找出图形的变化规律是解题的关键.(1)一个5×2的矩形最少可分成4个正方形,最多可分成10 个正方形;(2)一个7×2的矩形最少可分成5个正方形,最多可分成14 个正方形;(3)第一个图形:是一个3×2的矩形,最少可分成1+2个正方形,最多可分成3×2个正方形;第二个图形:是一个5×2的矩形,最少可分成2+2个正方形,最多可分成5×2个正方形;第三个图形:是一个7×2的矩形,最少可分成3+2个正方形,最多可分成7×2个正方形;…;第n个图形:是一个(2n+1)×2的矩形,最少可分成n+2个正方形,最多可分成2(2n+1)=4n+2个正方形. 【答案】 (1)10,4;(2)14,5;(3)4n+2,n+2.

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2.(2016· 湖南衡阳)如图所示,1条直线将平面分成2个部分,2条直线最多可将平面分成4个部分,3条直线最多可将平面分成7个部分,4 条直线最多可将平面分成11个部分.现有n条直线最多可将平面分成56个部分,则n的值为 10 .

中考数学复习课件找规律分类专题 (共35张PPT)

找规律
找规律
数式规律
图形成倍变化规律
图形周期变化规律
图形累加型
一、数式规律 1.数字规律：关键是找出前面几个数与自身序号数的关系，包括： ⑴递推变化规律：
找规律
①有在数a基础上依次增加（或减少）相同的数m，通常写成a±mn或 a±m(n-1); ②有在数a基础上依次增加相同的倍数m，通常写成amn或am(n-1). ⑵循环变化规律（包括符号和绝对值）
找规 5.如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于律
点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交
于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；„，如此反复作等腰直角三角形，
(2×3 ,0)．当作到An（n为正整数）点时，则An的坐标是___________
An [(
2 3 n1 2 3 n1 ) ,( ) ] 3 3
找规 4.在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示律依次作正方形A1B1C1O、正方形 A2B2C2C1、„、正方形AnBnCnCn﹣1，使
得点A1、A2、A3、„在直线l上，点C1、C2、C3、„在y轴正半轴上，
5
对应边成比例或三角函数
4 AC 5 4 A1C1 A1C 5 A1C
4 4 A1C1 AC 5 5
4 A2C1 A1C1 4 4 A C A1C1 5 2 2 5 5 4 A2C2 A2C1 4 4 4 4 AC 5 5 5 5 5
4 4 An Cn ( ) 2 n AC 3 ( ) n 5 5
则点Bn的坐标是 (2n-1,2n-1) ．
由题意可得出
A1（1,0） B1(1,1) A2（2,1） B2(2,3) A3（4,3） B3(4,7), A4（8,7） B4(8,15) „ 递推变化，横坐标成倍数增长，

中考数学专题三《规律探究》总复习课件ppt

【答案】∵点 P1,P2,P3,…,Pn,Pn+1 的坐标分别为
∴S1,S2,S3,…,Sn 分别为
第二部分
专题三规律探究
考情搜索
专题归纳
典例精析
针对训练
-12-
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
1.(2016·合肥高新区一模)观察下列等式:30=1,31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,…,解答下列问题:3+32+33+…+32015的末位数字是 9 . 【解析】∵31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,…,∴末位数字每4个一循环.∵2015÷4=503……3,∴3+32+33+34+…+32015的末位数字相当于:3+9+7+1+…+3+9+7=(3+9+7+1)×503+19=10079的末位数字,应为9.
第二部分
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针对训练
-4-
新课标核心要求,用代数式表示数量关系及所反映的规律,考查考生的抽象思维能力,根据一列数或一组图形的特例进行归纳,猜想,找出一般规律,进而列出通用的代数式,称之为规律探究,一般有数字变化类规律探究、图形变化类规律探究、数形结合变化类规律探究. 数字变化类规律探究,即是通常给定一些数字、代数式、等式或不等式,然后猜想其中蕴含的规律,反映了由特殊到一般的数学方法,考查考生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征,改写成要求的格式.数字变化类规律探究既是规律探究问题中的基础,也是规律探究的重点. 图形变化类规律探究,即是给定一些结构类似、数量和位置不同的几何图案,这些图案之间有一定的规律,并且还可以由一个通用的代数式来表示.这种探索图形构成元素规律的试题,解决思路有两种:一种是数图形,将图形转化为数字规律,再用函数法、观察法解决问题;另一种是通过图形的直观性,从图形中直接寻找规律,常用“拆图法”解决问题.

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解：(1)观察发现，第1个等式为： 1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
11
12
1
;
1
1
21
第2个等式为：2
2
1
2
2
2
1
2
12
; 1
1
1
பைடு நூலகம்31
第3个等式为：3
3
1
3
2
3
1
3
12
; 1
1
1
41
1 15
∴第4个等式为：4 4 1 4 2 4 1 4 12 1 ，即 4 5 6 5 24 ;
解：(1).32，42，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝
n2＋(n＋1)2； n2
(2) n 12 .
【解法提示】由(1)知1＋3＋1＝12＋22，∵1＋3＝4＝22，∴1＋(3＋1)＝12＋22；1
＋3＋5＋3＋1＝22＋32，∵1＋3＋5＝9＝32，∴(1＋3)＋(5＋3＋1)＝22＋32；1＋3
1
1
51
1 16
第5个等式为： 5 5 1 5 2 5 1 5 12 1 ，即 5 6 7 6 35 ;
(2)第n个等式为：
n
n
1
1
n
2
1 n1
n1
n 12 1
，
证明：∵等式左边＝ 1+n 2 nn 1n
2
n2 2n 1
nn 1n 2
n 12 nn 1n
例3题图
(1)观察以上图形并完成下表：
图形名称图1 图2 图3 图4
…
基本图形的个数 1 2 3 4 …
特征图形的个数 1 3 7
11 …
根据表中规律猜想，图n(n≥2)中特征图形的个数为__4_n_－__5__(用含n的式子表示)； (2)若基本图形的边长为2，则图2中小特征图形的面积为____1____；图2020中所有特征图形的面积之和为__1_4_1_3_5__．
提分要点
对于图形规律探索题具体步骤如下： (1)写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”(如题中的图分别标为图1、图2、图3)； (2)数图形个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形表示的个数； (3)寻找图形数量与序数n的关系：针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形表示的个数与前一个图形表示的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数； (4)验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确.
(1)11，4n-5. 【解法提示】图2中由2个大的特征图形，1个小的特征图形组成，共有3个特征图形；图3中由3个大的特征图形，1＋3＝4个小的特征图形组成，共有7个特征图形；图4中由4个大的特征图形，1＋3＋3＝7个小的特征图形组成，共有11个特征图形；所以图n中由n个大的特征图形，[1＋3×(n－2)]个小的特征图形组成，特征图形的个数是n＋1＋3×(n－2)＝4n－5. (2)1，14135. 【解法提示】根据题意，大的特征图形面积为4，小的特征图形面积为1，图2020中有2020个大的特征图形，4×2020－5－2020＝6055个小的特征图形，其面积和为 2020×4＋6055×1＝14135.
类型一数式规律探索
（2019、2018.18，2015.13，2014.16，2010.9）
例1 已知一组等式： 1 1 2;
123 2 3 1 1 3;
234 3 8 1 1 4;
3 4 5 4 15 … 根据上述等式反映的规律，解答下列问题：
(1)分别写出第4个和第5个等式； (2)猜想第n个等式(用含n的式子表示)，并证明你的猜想．
＋5＋7＋5＋3＋1＝32＋42，∵1＋3＋5＋7＝16＝42，∴(1＋3＋5)＋(7＋5＋3＋1)
＝32＋42，∴[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[(2n＋1)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1]＝n2＋(n
＋1)2，∴1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，(2n＋1)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝(n＋1)2，
2
n1
nn 2
，
等式右边＝
n
n1
1+1 n
1
1
n1
nn 2
，
∴等式左边＝等式右边，故等式成立．
提分要点
对于数式规律题求第n个等式或式子，具体步骤如下： (1)先观察给出的等式或式子(计算出已给式子的结果)； (2)标序数； (3)将等式左边的每项用含序数的式子表示出来，得到关系式； (4)将等式右边的每项用含序数的式子表示出来；
专题四规律探索题
专题解读：规律探索题是安徽近10年的必考题型，除2015年在填空题、2010年在选择题考查外，其余均在解答题中考查．考查类型有：(1)数式规律(共考查5次，其中2次考查数字规律，3次考查等式规律)；(2)图形与等式的关系规律探索(共考查 2次)；(3)图形规律(共考查了3次，且2次涉及平面直角坐标系)．
(5)分析对比所得的结果，从结果与序数或结果与所给数式中数字的构成个数两方面进行对比，寻找不变的量及变化的量之间的变化关系，从而得到结果与各个等式或式子之间满足的关系式，求第n个数式时直接套用关系式即可．同时需要熟记的数字规律有： ①奇数列规律：1，3，5，7，…，2n－1(n≥1)； ②偶数列规律：2，4，6，8，…，2n(n≥1)； ③正整数平方：1，4，9，16，…，n2(n≥1)； ④正整数平方加1：2，5，10，17，…，n2＋1(n≥1)．
∴
1 3 5
2n 1 2n
1
2n 1
5 3
1
n
n2
12
类型三图形规律探索
（2013.18，2012.17，2011.8）例3 我们把如图1所示的正方形称作基本图形，将此基本图形不断复制并平移，使得相邻两个基本图形的一个顶点与对称中心重合，得到的所有正方形都称为基本图形的特征图形，显然图2中有3个特征图形．
类型二图形与等式的关系规律探索
（2017.19，2016.18）例2 (1)观察下面的点阵图与等式的关系并填空：
例2题图
第n个点阵对应的等式为_n_2_＋__(_n_＋____(用含n的代数式表示)； n2
(2)根据以上规律，计算 1)21 3 5 2n 1 的结果为__n___1__2 _． 2n 1 2n 1 5 3 1