教学设计：平面图形的镶嵌
平面图形的镶嵌 教学设计
《平面图形的镶嵌》教学设计
西安市陕汽二校庞美玲
一、教材分析
平面图形的镶嵌是北师大版八年级下册综合与实践内容，是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。教材通过对几个平面图形的镶嵌问题进行研究，以问题为主线层层深入，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题的过程，建立数学模型。在问题的探究解决过程中，培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题的能力，加深相关知识的理解，帮助学生积累数学活动经验，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，对于今后的学习具有重要的意义。
二、教学目标
（一）知识与技能：
1、了解平面图形镶嵌的含义及特点。
2、通过探索平面图形的镶嵌，会辨别一些能镶嵌的图形，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌图案设计。
3、在探究的过程中,理解正多边形是否能够镶嵌的原因。
（二）过程与方法：
1 经历探索多边形镶嵌的过程，进一步提高学生的分析图形、合情推理的能力，发展图形观念，积累数学活动经验，培养审美情趣。
2、培养学生动手操作,自主探索,合作学习的能力。
3、优化思维品质，培养学生创造性思维能力及由特殊到一般的归纳能力。
（三）情感态度与价值观：
1、在自主探索平面图形镶嵌的过程中，经历观察、实验、归纳、交流等学习活动,体验在解决问题过程中与他人合作的重要性，体验学习活动充满着探索与创造，体验学习带来的快乐，提高学习数学的兴趣,增强学好数学的信心。
2、使学生进一步感受平面图形在现实生活中的广泛应用，使学生体会数学与现实生活的密切联系,认识数学的应用价值。
三、教学重点、难点
（一）重点：了解平面镶嵌的含义，理解正多边形能够镶嵌的规律。
综合实践--《平面图形的镶嵌》教学设计
北师大版数学（八下）综合与实践
<<平面图形的镶嵌>>教学设计
一、学生起点分析
学生知识基础：
学生已经学习认识了线、角、三角形的相关知识，掌握了有关平行四边形的性制、判定，并了解多边形的内角和外角，认识探索了图形轴对称、平移、旋转及性质。
学生活动经验基础：
在以往的探索活动中，学生体验了自主合作，动手实践，积累了一定的探索图形性质的经验，以及在活动过程中表现出一定的数学表达能力和数学思考的发展水平。
二、学习任务分析
通过呈现丰富多彩的镶嵌图案，经历观察、分析、操作、交流、研讨等活动，强化学生对镶嵌的认识，了解镶嵌在现实生活中的广泛应用；加强学生对多边形的内角和以及有关几何事实的认识，进一步发展学生合情推理能力，积累数学活动经验。
教学目标：
1．经历探索多边形镶嵌条件的过程，进一步发展学生推理、交流的意识和一定的审美情趣；
2．通过探索平面图形的镶嵌，知道哪些图形可以镶嵌；
3．通过本节的学习，进一步感受平面图形在现实生活中的广泛应用。
教学重点：多边形镶嵌的条件
教学难点：运用三角形、四边形成正六边形进行简单的密铺镶嵌。
教学方法：观察实验、议论探索法、比较归纳。
三、教学过程设计
第一环节数学眼光，观察感知
1．活动内容：
（1）观察工人师傅铺地砖的情境（生活观察提前布置）
（2）观察校园中平面图形镶嵌的实况录像（课堂上生活情景再现）
2．观察小结：
（1）什么叫平面图形的镶嵌？
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进形拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称叫做平面图形的镶嵌。
数学北师大版八年级下册《平面图形的镶嵌》
《平面图形的镶嵌》教学设计
北云门镇中心学校曹振国
教学目标
1．通过对“拼地板”的探索，对几何学中正多边形以及它的性质有一个初步的认识，明白哪些正多边形符合拼装要求，哪些不能；并能利用正多边形内角和公式解决拼地板一类的实际问题。
2．通过观察、实验、分析、判断、归纳以及动手操作，去探索、发现规律，并能运用所学的知识解决这一类问题。
3．认识数学知识在实际生活中的广泛应用，将书本知识与生产、生活实际有机结合。
4．培养创新精神、团结合作的意识和实践能力。
5．感受数学的简单美、和谐美，培养审美能力。
教学重点：学生通过探索能得出符合拼装要求的正多边形应满足的条件。
教学难点：如何运用正多边形的有关知识解决地板拼装中的问题并找出其中的规律。
教学准备
1．将学生按四人一组进行分组。
2．多媒体、教学图片。
3．颜色各异的各种正多边形图纸。
学生课前准备：彩色纸板、胶水、笔、纸。
教学流程
一、创设情景，提出探究式学习活动的主题?用正多边形挤地板。
师：不知同学们是否曾留意过很多建筑物的地板是用什么形状的砖板铺成的？
展示生活中的各种地砖拼的图案。
让学生讨论所见过的砖板的形状：有规则的多边形、正多边形，也有不规则图形。
让学生通过自己印象中以及展示的各种拼装图案，观察它们拼装的特点是什么。有些图案是顶点重合，中间留有空隙（如城市人行街道的拼装）；有些图案是将多边形的边重合，木留空隙（如室内地板的拼装）。
学生通过观察与讨论可知：选择不同的多边形按照一定的拼装要求，就可拼装出丰富多彩的图案。但生活中最常见的还是用正多边形拼装的。
初中综合实践_平面图形的镶嵌教学设计学情分析教材分析课后反思
【教学设计】
平面图形的镶嵌
【活动目标】：
1．通过探索平面图形的镶嵌，知道哪些图形可以镶嵌；
2．通过本节的学习，进一步感受平面图形在现实生活中的广泛应用。
【活动重点】：
多边形镶嵌的条件
【活动难点】：
运用三角形、四边形或正六边形进行简单的镶嵌。【活动导入】：
1、地面，墙面都是用什么形状的地面砖铺成的呢？
2、铺成的地面有什么特征？
带着这两个问题来欣赏图片。（板书课题））
【活动过程】：
1、镶嵌的定义
（1）出示镶嵌的定义。（一生读）
（2）播放动画，进一步体会一下什么是镶嵌，镶嵌具备什么条件。
2、镶嵌的条件
（1）你认为镶嵌具备哪几个条件？（小组讨论）
（2）交流小结。
3、探究活动一：正三角形，正四边形，正六边形能否进行平面镶嵌？
要求：
（1）只用同一种正多边形来拼接，看这三种正多边形，哪一种能够进行平面镶嵌？
（2）探究完的小组每组选出两位代表到黑板上展示！（生展示，讲理由）
探究活动二：正五边形能否镶嵌平面？
（1）小组探究（2）生展示，讲理由（3）师演示。
探究活动三：其他的正多边形能镶嵌平面吗？
（1）小组讨论（2）先个人尝试再小组合作（3）生讲理由。探究活动四：任意多边形可以镶嵌平面吗？
小组合作交流.（生展示，讲理由，师演示动画）
小结：用同一种任意三角形可以镶嵌平面，用同一种任意四边形可以镶嵌平面，平面图形能镶嵌平面的条件是：每个拼接点处的多边形各内角之和组合成360o。
【活动收获】
展示结束了，老师觉得你们的表现都很棒，对几个问题的探究都很到位，请同学们谈一下这节课的收获与感受吧！
【活动小结】
（1）数学知识的收获
平面图形的镶嵌教学设计
平面图形的镶嵌教学设计(总5页)
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课题学习《平面图形的镶嵌》教学设计
教学内容平面图形的镶嵌
教学目标
1. 知识与技能：
（1）通过探索平面图形的镶嵌，使学生了解平面图形镶嵌的概念，了解任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面图形，并能运用这几种图形进行简单的平面图形镶嵌设计；
（2）培养学生观察、动手操作能力。
2. 过程与方法：
引导学生在图形镶嵌和拼图解题的过程中，通过观察、判断、归纳、总结并发现规律，并能用所发现的规律去解决一些实际问题，进一步发展学生的合情推理能力。
3. 情感、态度与价值观：
（1）让学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用；
（2）开发、培养学生的实践能力、创新意识和团结协作精神；
（3）让学生在活动中感受数学的美，进一步发展学生的审美情趣。
教材分析
“平面图形的镶嵌”是第3章四边形后面的课题学习,要求学生对多边形内角和其及图形的变换有较深的认识,会利用图形的变换进行平面图形的镶嵌设计,是第3章四边形的拓展与引申.
教学重点
探索多边形镶嵌的条件的过程以及多边形镶嵌的条件。
教学难点
寻找多边形镶嵌的条件,并如何运用镶嵌的条件解决问题。
教与学互动设计
一、欣赏图案，引入课题概念
1、用多媒体展示一组美丽的平面图形镶嵌的图案，让学生欣赏(如图1).
提问学生这些图案有什么共同特征？让同学们分组讨论、交流.
共同特征：①这些图案是用一种或几种形状相同的图形组成的;
②这些图形不但是形状相同，而且大小也一样,也就是全等的图形;
初中数学_平面图形的镶嵌教学设计学情分析教材分析课后反思
【教学目标】
1.知识目标：在实验与探究的学习活动中，使学生了解镶嵌的含义，认识到平面镶嵌的条件，并能理解其中的道理。
2.能力目标：通过探索多边形平面镶嵌的条件，发展学生的合情推理能力，在活动中使学生的观察、猜想、归纳、合作交流、动手操作的能力得以提升。
3.情感目标：通过现实情境，让学生体会到数学的应用价值；经历对平面镶嵌条件的探索活动，提高数学学习的兴趣，建立良好的自信心。【教学重点】
在探究、交流及应用的过程中,理解正多边形是否能够镶嵌的原因。培养学生的探究精神、创造能力、合作学习、交流的能力。
【教学难点】
探究平面镶嵌的条件,并使学生在学习过程中，学会合作、学会交流。
【教法学法】
由于我们这节课就是为了，让学生在具体活动和操作中体会和感悟数学在现实生活中的应用。
因此，设置情境，将课堂交给学生，以自主探究、合作交流为主，引导他们操作、发现、归纳、总结。
而老师则要及时的启发、点播、鼓励学生，以完成学习目标。【教学准备】
为了能够直观、生动地反映情境，增加课堂容量，使书本上的图
形“动”起来，使用多媒体展示图片及学生动手拼图过程演示，激发学生的学习兴趣，丰富学生的想象力，提高主动参与意识。同时有利于突出重点，分散难点，更好的促进学生自主学习，提高课堂效率。
1.学生准备：学生四人一组分别准备好6—8个边长为5厘米的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形，全等的任意三角形、任意四边形。搜集有关镶嵌图片。
2.教师准备：生活中有关镶嵌图片。多媒体课件。
数学教学是活动的教学，学生是数学活动的主人。为能向学生提供更多的进行数学活动的机会，本节课我设计了以下几个学习活动，以期待在多样的活动中激发学生学习的潜能，引导学生积极自主探索，合作交流与实践创新。
人教版初中数学课标版八年级上册第十一章数学活动 平面镶嵌 教学设计
人教版初中数学课标版八年级上册第十一章数学活动平面镶嵌
教学设计
人教版初中数学课标版八年级上册第十一章数学活动平面镶嵌教学设计
平面镶嵌教学设计
【教学目标】
知识目标：平面图形的镶嵌，镶嵌的条件.
能力目标：1、通过积极探索平面图形的平面方形，晓得任一全系列等三角形、四边形或正三角形
正方形、正六边形可以进行简单的镶嵌设计.
2、通过学生活动积极探索正多边形方形的条件，探究两种边长成正比的正多边形可以方形的条件.
情感价值目标：在探索活动过程中，培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，使学生
进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用.
【学生起点能力】
在此之前，学生已自学了多边形内角和科学知识,这为本节活动课起至着铺垫促进作用.该活动课的内容彰显了多边形在现实生活中的应用领域价值的一个方面，也在研发、培育学生创造性思维【教学重难点】
教学重点：多边形平面镶嵌的条件
教学难点：探究两种边长成正比的正多边形方形的条件.【教学准备工作】1、学生分组：6人2、多媒体教学图片.【学生课前准备工作】
每小组准备若干个彩色的全等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、任意三角形、任意四边形.【教学过程】
一、创设情境，导入新课（多媒体展现各种地砖照片）
老师：在这些地砖中有哪些基本的几何图形？学生：正三角形，正方形，正六边形等等.
老师：为什么它们就能够挂满地面，砌成美丽的图案呢？恳请同学们想一想工人铺地砖时必须特别注意什么？
第1页
（学生各抒己见）
平面镶嵌概念提出：从数学角度看，用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全
覆盖，
《平面图形的镶嵌》教学设计
《平面图形的镶嵌》教学设计表
1.观察图片，感知表象
展示图片，感知镶嵌.
提出问题：你觉得贴地砖的过程中需要注意什么？蕴含着哪些数学知识？
2.回归数学，给出概念
平面图形的镶嵌：用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌.
探究：限用同
教师针对学生拼图结果加以点评，并提问：1.为什 么正三角形、正四边形、正六边形可以镶 嵌？
对于问题1教师举出反例说明，以正五边形为例.如下
图：
2.对于一种正多边形的镶嵌为什么只有正三角形、正四边形、正六边形可以成功？
,6603600
=,4903600
=,312036000
=
.218036000
=
正多边形的每一个内角不可能是
0180，所以对于一
种正边形的镶嵌只有正三角形、正四边形、正六边形.
的各种正多边形纸板，在小组内拼 图、记录.
拼接成功的小组派 代表在白板上拼图.
学生独
立思考回答问题 1.从一个顶点出发围成360度是无缝隙、无重叠的.
学生再次思考教师提出的问题2，并根据教师的引导得出对于一种正多边形的镶嵌只有正三角形、正四边形、 正六边形.
三、再次探究，碰撞思维
经历再次探究的
学习，不仅让学生在
平面图形镶嵌的探究
中得到升华，更让学
生在学习过程中有不
怕吃苦的精神，培养
学生坚强的意志力.
学生课后经历填
写实验报告的过程，
体现了数学学习的延
续性，并培养学生的
归纳能力.
再次探究：限
用边长相等的两种
正多边形进行平面
镶嵌，分别有哪两种
正
多边形能行？
教师根据学生
的探究结果最后展
示两种正多边形镶
镶嵌教学设计-图文
镶嵌教学设计-图文
课题学习《平面图形的镶嵌》教学设计教材地位、作用分析
1.知识与技能
⑴通过探究正三角形、正方形、正六边形乃至任意三角形、四边形能
镶嵌平面的理由，以及多种正多边形能铺满地面的理由，并能运用这几种
图形进行简单的镶嵌设计.
⑵发展合情推理的能力，运用数学知识解决问题的能力(形成解决问
题的策略).
2.过程与方法:剪一些多边形进行拼接，通过具体操作、归纳总结得
出多边形能铺满地面的条件.3.情感态度价值观:通过合作学习，动手实验，提高学生的学习热情，感受学习的乐趣.通过获得成功的体验和克服困难
的经历，增进应用数学的自信心.通过展示平面镶嵌的图形，让学生体会
镶嵌在日常生活中的广泛应用，培养学生进一步学习数学的热情.
教学重点:理解平面镶嵌的概念，探究用一种正多边形能够镶嵌的规律.教学难点:通过数学实验发现用正多边形镶嵌的规律.
本节课将采用学生小组合作探究、多媒体演示等方式来突出重点，突
破难点.教法：本节课采用“观察—实践—-自主探究—合作探究”的方法.
学法：指导学生学会观察事物，善于把握事物规律与本质的学习方法.通过自主探究、合作探究的学习方式，完成预期的学习任务，体验数学知
识中数形结合的思想方法.
课前准备：
教师：1.边长为7厘米的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十二边形；2.镶嵌课件(搜集古今中外镶嵌实物图片)；
学生：1.边长为7厘米的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十二边形；2.搜集、了解相关镶嵌知识.
北师版数学八下《平面图形的镶嵌》教学设计
《平面图形的镶嵌》教学设计
一、教材分析
1.从教材编写角度看
《平面图形的镶嵌》是北师大版数学教材八年级下册的一节综合实践课，本节课主要是让学生通过动手操作、小组合作、多媒体辅助（几何画板）等多种形式探究平面图形镶嵌的条件。在此之前，学生已经学习了三角形的内角和、多边形的内角和等知识。通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力，获得分析问题的方法，对于今后的学习具有重要意义。
2.从在教材中的地位与作用看
本综合与实践活动课具有一定的现实性，可以激发学生的学习兴趣，形成良好的数学观，同时也有利于发展学生的数学应用意识。进行本节课的学习，需要学生对图形进行一定的分解、组合、拼接，需要进行图案设计等操作活动，同时也需要应用所学习的平面图形的有关知识，因此本节课还具有一定的实践性和综合性。本节课需要学生经历一个具体的研究过程，探索过程中需要从事一定的归纳、猜想、验证、推理等思维活动，这都有助于丰富学生的数学活动经验，发展学生的推理能力，以及分析问题和解决问题的能力。
二、学情分析
在学习本节课之前，学生经历了对平行四边形性质和判定的探索活动，并掌握了如何求解多边形的内角和以及外角和。在本章前几节的综合实践活动中，学生体现出了较强的主动合作和实践动手能力，积累了丰富的探索图形性质的经验。
八年级学生对镶嵌的认识大多数来源于生活实际中的感性认识，对其内在规律关注不够，因而在本节课教学中教师应通过创设情境，组织学生动手活动，在活动中与学生共同探究，从而加深对镶嵌的认识，发现其内在规律，将感性认识上升为理性认识。
平面图形的镶嵌教学设计
《平面图形的镶嵌》教学案例
一、设计背景
本节课通过开展探索镶嵌条件的活动，从理解镶嵌问题到分析问题特征，再到抽象出问题的数学特征----拼接处各多边形顶角和为周角，进一步发展学生的合情推理能力，运用数学知识解决问题的能力（形成解决问题的策略）以及合作交流的意识；进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用。根据这一特征，教师在教学中充分考虑了学生的差异，设计了开放性的问题，教学中采用了合作学习的方式。
二、实施过程
教学目标：通过对平面图形镶嵌问题的探究与解决（当然不一定能完全解决）的过程，加深对正多边形的有关概念、性质的理解；了解数学知识在实际生产生活中的应用，培养学生应用数学解决实问题的意识和能力；优化思维品质，培养学生发散性思维能力及由特殊到一般的归纳能力；通过合作学习，培养学生团结协作的团队精神。
课前准备：在上课的前两天，我布置给学生一个任务，做一些相同的三角形纸片、四边形纸片和正多边形的纸片，说是上课要用，学生们都不知道我葫芦里到底卖的什么药。但学生按小组都积极的准备。我还让学生利用各种途径搜集瓷砖的形状和各种铺设方法。
活动过程：上课开始了，我问学生：“ 大家见过自己家里地上铺的地砖及马路上人行道上铺的地砖吧？都是什么形状的啊？” 这是一个学生非常熟悉的问题，同学们纷纷抢着回答，有的是正方形的，有的是正六边形的。我接着追问：“ 那么，我们能否用其它正
多边形来铺地面呢？要求没有空隙。这就是今天我们要研究的平面图形镶嵌问题。比如用正五边形，大家看行吗？于是同学们分成小组，动手实践，用事先剪好的正五边形纸片进行试验，马上发现不行。教师又问，用正五边形不行，用正八边形行吗？学生通过实践发现也不行。我问学生，那么我们今天要研究的平面图形镶嵌问题，应该研究什么问题啊？经过思考，一位学生说：“ 我们应该研究用什么样的正多边形可以完成平面的镶嵌而不留空隙。” 另一位学生接着说：“ 我们还应该研究用两种以上的正多边形能不能完成平面的镶嵌。” 我对这两位学生进行了表扬，说：“ 我们就是要善于提出问题，这两个问题都很好，我们今天就一起来研究这两个问题吧！”
《平面图形的镶嵌》教学设计
《平面图形的镶嵌》教学设计
一、教材分析.
（一）地位和作用
平面图形的镶嵌内容安排在本章的最后，在此之前，学生已经学习了三角形的内角和，多边形的内角和等知识.通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合
应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力，获得分析问题的方法，对于今后的学习具有重要的意义.
（二）教学目标
根据课程标准的要求，教学内容的特点以及初二学生的认知水平,本节课的教学目标是：
1.认知目标：
(1) 通过探索平面图形的镶嵌，知道用单一的正多边形图形能进行平面镶嵌的只有正三角形、正四边形或正六边形，并能运用正多边形图形进行简单的镶嵌设计；
(2)在探究的过程中,理解正多边形是否能够镶嵌的原因.
2.能力目标：
(1)培养学生从实际中发现问题、解决实际问题的能力；
(2)开发、培养学生的创造性思维能力，使其理论联系实际；
(3)培养学生动手操作,自主探索,合作学习的能力.
3.情感目标：
(1)通过观察,实验,归纳,说理等学习活动,使学生在体验数学活动的探索性和创造性中提高学习数学的兴趣,增强学好数学的信心；
(2) 在探索过程中,培养学生的合作交流意识和一定的审美情感；
(3)使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，体会数学与现实生活的密切联系,认识数学的应用价值.
（三）教学重点、难点
本课题学习需要学生通过观察图片感知概念，进而探索用一种或两种正多边形能够镶嵌的规律.鉴于学生已有的知识，我将理解平面镶嵌的概念，探究用一种正多边形能够镶嵌的规律作为教学重点，将学生通过数学实验发现用正多边形镶嵌的规律作为教学难点，将采用学生小组合作探究、多媒体演示等方式来突出重点，突破难点.
初中数学_平面图形的镶嵌教学设计学情分析教材分析课后反思
“铺”出数学味
————《平面图形的镶嵌》课例及评价反思
：
教材理解
初中学段，北师版教材将《平面图形的镶嵌》作为《四边形性质探索》章末的课题学习，其内容具有一定的现实性，易引起学生的活动兴趣。本课时为《平面图形的镶嵌》第一课时，主要研究多边形密铺问题。教学中若处理不当容易使学生不明就里的陷入活动表面化的怪圈，造成课堂活动冲淡数学本质的尴尬局面。因此，教学中，应注意将“探究”作为活动主线并让整个探索过程充满“数学味”，使学生主动把对图形的直观感知发展到对其中数学规律的深度挖掘，从而阐明数学道理，揭示数学本质。
教学重点：会用同一种多边形或边长相等的两种正多边形进行密铺，明确密铺的条件。
教学难点：探索密铺的条件。
教学目标
1、经历多边形密铺条件的探索过程，揭示此类密铺问题的数学本质，发展学生的实践操作能力和归纳推理能力。
2、通过探索平面图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺平面；知道用一些边长相等的两种正多边形也可以密铺平面，并能进行简单的图案设计，增强学生的数学应用意识。
3、能将对图形的直观感知与对数学规律的探究联系起来，进一步体会数形结合的重要数学思想。
4、经历小组合作与交流的活动，进一步积累合作与交流的活动经验，增强学生的合作意识，发展学生的合作能力。
教法、学法分析
借助多媒体课件辅助教学，鼓励学生合作交流。具体教学中，教师采用“启发、引导”的教学方式注重知识生成，突破难点，突出重点；学生则通过“合作探究”学习方式亲自动手实验、经历过程、获得结论。
课前准备
教师：制作PPT 与几何画板相结合的教学课件，搜集常见的密铺图案。
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教学设计：平面图形的镶嵌
一、教学目标
1．会用正多边形无缝隙、不重叠地覆盖平面。
2．让学生在应用已有的数学知识和能力，探索和解决镶嵌问题的过程中，感受数学知识的价值，增强应用意识，获得各种体验。
二、教学活动的建议
探究性活动是一种心得学习方式，它不是老师讲授、学生听讲的学习方式，而是学生自己应用已有的数学知识和能力，去探索研究生活中有趣而富有挑战问题的活动过程。
建议本节教学活动采用以下形式：
（1）（1）学生自己提出研究课题；
（2）（2）学生自己设计制订活动方案；
（3）（3）操作实践；
（4）（4）回顾和总结。
教学活动中，教师提供必要的指点和帮助。引导学生对探究性活动进行反思，不仅关注学生是否能用已有的知识去探究和解决问题，并更多地关注学生自主探究、与他人合作的愿望和能力。
三、关于镶嵌
1.镶嵌，作为数学学习的一项探究性活动，主要有以下两个方面的原因：
（1）如果用“数学的眼光”观察事物，那么用正方形的地砖铺地，就是“正方形”这种几何图形可以无缝隙、不重叠地拼合。
（2）“几何“中研究图形性质时，也常常要把图形拼合。比如，两个全等的直角三角形可以拼合成一个等腰三角形，或一个矩形，或一个平行四边形；
又如，六个全等的等边三角形可以拼合成一个正六边形，四个全等的等边三角形可以拼合成一个较大的等边三角形等。
2. 2. 各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件，是图形拼合后同一个
顶点的若干个角的和恰好等于360°。
（1）用同一种正多边形镶嵌，只要正多边形内角的度数整除360°，这种正多边形就能作平面镶嵌。比如正三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌，而正五边形、正七边形、正八边形、正九边形、……的内角的度数都不能整除360°，所以这些正多边形都不能镶嵌。
（2）用两种或三种正多边形镶嵌，详见163～166页内容。
（3）用一种任意的凸多边形镶嵌。
从正多边形镶嵌中可以知道：只要研究任意的三角形、四边形、六边形能否作平面镶嵌，而不必考虑其他多边形能否镶嵌（这是因为：假如这类多边形能作镶嵌，那么这类正多边形必能作镶嵌，这与上面研究的结论矛盾）
四、平面镶嵌中的数学问题
在现实生活中，无论是室内地面的装修，还是室外地面的铺设，都涉及到了平面镶嵌的有关内容。细心的同学可以发现，它们有的是用一种多边形铺设的，有的是用两种多边形铺设的。而且都是正多边形。在利用正多边形镶嵌的时候，存在着很多的数学窍门的。根据数学中镶嵌的定义，用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，形成无缝隙，不重合的全部覆盖，就是平面的镶嵌。在平面镶嵌中存在着怎样的规律呢？
(1) 如果用一种正多边形进行镶嵌，那么这个正多边形能够镶嵌成平面图案的前提是它的内角在拼接点能够拼成一个周角。设在一个顶点处有k 个正n 边形，应该满足公式k n
n 180)2(-=360. ∴kn-2k-2n=0 即：n=2+24
-k ，因为k,n 都为正整数，且k,n 均大于3。它的整数解只有三组 k 1=3 k 2=4 k 3=6
n 1=6 n 2=4 n 3=3
即只有三种镶嵌
用同一种正多边形镶嵌的时候，一个正多边形的顶点也可以落在另一个正多边形的边上。如图：在现实生活中比如盖房子砌的砖，还有装修房子的地板，都是利用的这种方法的镶嵌。
(2) 用两种正多边形镶嵌。用两种正多边形是否能铺满平面，关键要注意两方面：一是要看能否找到所取每个正多边形的一个内角的和恰好为一个周角；二是要看
几个相临顶点都要被这两种正多边形组合成周角。同时
满足这两种条件，才是平面镶嵌。
例如，正三角形与正方形。设在一个顶点周围有m 个正三角形
的角，n 个正方形的角，那么这些角的和要满足方程：
m •60˙+n ·90°=360°.即2m+3n=12。这个方程的正整数解为
m=3.n=2.即存在这样的镶嵌，在它的每一个顶点周围有3个正三
角形和2个正方形，如下图（1）
例2：用正五边形和正十边形组合能否铺满平面？
设在一个顶点周围有m 个正五边形的角，n 个正十边形的角，那么这些角的和要满足方程：
m ·108+n ·144=360。这个方程的正整数解是
m=2，n=1,因此会有同学回答可以铺满平面。但
我们仔细观察不难发现，经过一个点A 可由两
个正五边形和一个正十边形组成周角360，但经
过另一个相临的点B ，这两个正多边形却不能组
成周角360。如下图。所以说只满足一个顶点周
围几个
内角和满足360度也是不行的，还必须
要观察所有相临的点的周围的内角和是否也是
360。
在现实生活中也常见用三种不同的正多边形进行的镶嵌，这样的镶嵌比一种及两种的正多边形的镶嵌都要美观，但由于这种镶嵌的算法比较麻烦，所以也不用去掌握了。但镶嵌的数学问题，给世人真正的直观地感受到了数学的美，欣赏了数学的美。
五、用正多边形瓷砖镶嵌地面
观察一些建筑物的地面，可以发现这些地面常常是用一种或几种正多边形瓷砖铺砌而成，你知道用哪些正多边形瓷砖可以镶嵌地面吗？
一、用同一种正多边形瓷砖镶嵌地面
例1为迎接大学生冬季运动会，某市正在进行城区人行道路翻新，准备选用同一种正多边形地砖铺设地面．下列正多边形的地砖中，不能进行平面镶嵌的是（ ）
正三角形 正方形 正五边形 正六边形
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
分析：当用n 块内角为x °的同一种正多边形围绕一点拼在一起时，则有nx °=360°，此时有n=x
360，由于n 为正整数，所以x 只能为60，90，120．也就是正多边形中只有正三角形（内角为60°），正方形（内角为90°），正六边形（内角为120°）才能单独镶嵌地面，而其它的同一种正多边形瓷砖不能单独镶嵌地面．
解：选C ．
提示：用一种正多边形瓷砖可以镶嵌地面，这种正多边形只能是正三角形，正方形，正六边形中的一种．
二、用两种正多边形瓷砖镶嵌地面
例2 在下列四组多边形地板砖中，①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正六边形与正方形；④正八边形与正方形．将每组中的两种多边形结合，能镶嵌地面的是（ ）
A ．①③④
B ．②③④
C ．①②③
D ．①②④
分析：假设用x 块正三角形瓷砖与y 块正方形瓷砖可以镶嵌．则60°x+90°y=360°，即2x+3y=12，由于x ，y 为正整数，只有当x=3，y=2时2x+3y=12成立，所以用3块正三角形瓷砖和2块正方形瓷砖可以镶嵌地面；同样的方法可以知用2块正三角形瓷砖和2正六边形瓷砖或用4块正三角形瓷砖和1块正六边形瓷砖可以镶嵌地面；用2块正八边形瓷砖和1块正方形瓷砖可以镶嵌地面；用正六边形和正方形瓷砖不能镶嵌地面．