正态分布的概念和特征
4正态分布
正态分布的图形特征
• 正态分布的密度函数
f (X ) 1 e
( X ) 2 / 2 2
2
, X
式中，μ为总体均数，σ为总体标准差，π为圆周 率，e为自然对数的底，仅x为变量。 当x确定后， f(x)为x相应的纵坐标高度，则x 服从参数为μ和σ2的正态分布（ normal distribution)， 记作X~N（ μ，σ2 ）。
正态分布及其应用
一、正态分布的概念和特征：
观察表7-2资料绘成的直方图
概念：如果观察例数逐渐增多，组段不断 分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高 峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且 左右对称，不与横轴相交的光滑曲线，这条曲 线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的 正态分布（高斯分布;Gauss）。 由于频率的总和为100%或1，故该曲线下 横轴上的面积为100%或1。
1
2
标准正态分布曲线下面积规律：
1. 标准正态分布区间（-1，1）的面积占总面积的68.26% 。 2. 标准正态分布区间（-1.96，1.96）的面积占总面积的95% 。 3. 标准正态分布区间（-2.58，2.58）的面积占总面积的99% 。
二、正态曲线下面积的分布规律
实际工作中，常需了解正态曲线下横轴 上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估 计该区间的例数占总例数的百分数或观察值落 在该区间的概率。为了便于应用，统计学家按 φ (u)编制了附表1标准正态分布曲线下的面积， 由此表可查出曲线下某区间的面积。
参考值范围的制定方法：
（1）正态分布法：适用于正态或近似正态分布资料； 双侧界值 单侧上界 单侧下界
X u / 2 s
X u s
X u s
正态分布的概念概述
正态分布的概念概述正态分布（Normal Distribution），也称为高斯分布（Gaussian Distribution），是统计学中最为重要的分布之一、它是一种连续概率分布，其概率密度函数（Probability Density Function, PDF）为钟形曲线，具有均值为μ，标准差为σ的特点。
正态分布具有以下几个重要的特性：1.对称性：正态分布的概率密度函数是关于均值对称的，即μ左右的区域概率相等，曲线在μ处取得最大值。
2.唯一性：正态分布的形态由均值和标准差唯一确定，对于给定的μ和σ，正态分布的形态也就确定了。
3.概率为1：正态分布的概率密度函数下的面积等于1，即正态分布的所有取值的概率之和为14.中心极限定理：正态分布是中心极限定理的重要应用，根据中心极限定理，当样本容量足够大时，许多随机变量的和近似服从正态分布。
正态分布在实际中的应用非常广泛，以下是一些重要的应用示例：1.统计推断：正态分布是许多统计推断方法的基础，如假设检验、置信区间等。
在进行这些统计推断时，假设总体的分布是正态分布可以大大简化计算。
2.数据建模：许多自然现象和实验数据都可以近似表示为正态分布，因此在数据建模中，常常选择正态分布作为模型来描述数据的分布特征。
3.风险管理：正态分布在金融风险管理中有着重要的应用。
例如，在股票收益率的研究中通常假设收益率服从正态分布，基于此开展风险评估和投资组合管理。
4.质量控制：正态分布在质量控制中有着重要的应用。
通过监测和分析样本数据，可以利用正态分布来评估和控制产品的质量水平。
5.人口统计学：正态分布在人口统计学中的应用也相当广泛。
例如，身高、体重等生理特征通常符合正态分布。
6.教育评估：正态分布在教育评估中用于评估学生的成绩，例如标准化考试成绩通常假设分布近似为正态分布。
正态分布的重要性不仅在于其广泛的应用，还在于它在统计学理论和方法中的重要性。
许多经典的统计学方法和理论都是基于正态分布进行推导和证明的，正态分布在统计学中被广泛用于模型的设定和参数推断。
心理学中正态分布名词解释
心理学中正态分布名词解释
正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线，是心理学中常用的一个概念。
它是一
种对于自然界种种现象（例如身高、体重、智力测验分数等）的分布进行建模的数学方式。
正态分布具有以下特征：首先，它是一个连续的概率分布，可以用一个钟形曲
线来表示。
钟形曲线的峰值对应着分布的平均值，而曲线的宽度则与分布的标准差有关。
其次，正态分布是一个对称分布，即曲线左右两侧的形状是完全相同的。
最后，它具有一个重要性质，即约68%的数据落在平均值加减一个标准差的范围内，约95%的数据落在平均值加减两个标准差的范围内，约99.7%的数据落在平均值加减三个标准差的范围内。
正态分布在心理学研究中有着广泛的应用。
研究人员可以使用正态分布来描述
整体人群在某种特征上的分布情况，例如智力分数在一个年龄段内的分布。
此外，正态分布也可以用于推断统计，帮助研究人员进行假设检验、置信区间估计等等。
总结来说，正态分布是心理学中一种常见的分布模型，它可以帮助研究人员更
好地理解和描述一些心理现象的分布特征。
通过对正态分布的研究，我们可以更深入地认识人类行为和心理特征的统计规律。
正态分布——概念特征广泛应用
正态分布——概念特征广泛应用正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线，是概率论中一种非常重要的分布。
它在统计分析和科学研究中得到了广泛的应用。
正态分布具有许多独特的特征，它的形状是对称的，呈现出一个钟形曲线，其均值、方差和标准差等统计量能够完全描述它的特征。
正态分布的概念：正态分布是一种连续型的概率分布，它的概率密度函数可以通过以下公式表示：f(x) = (1 / (σ * √(2 * π))) * exp(-((x - μ) ^ 2) / (2 *σ ^ 2))其中，μ表示正态分布的期望值或均值，σ表示正态分布的标准差，π是圆周率。
正态分布的特征：1.对称性：正态分布呈现出对称的特点，也就是说，在均值两侧的概率曲线是完全相同的，即左右对称。
2.唯一性：正态分布具有唯一的均值和标准差。
均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的形状和宽度。
3.分布范围：正态分布的取值范围是无限的，即负无穷到正无穷。
4.弱偏态性：正态分布的偏态系数为0，即偏度为0。
偏态系数用于衡量概率分布的非对称性，当偏态系数大于0时，分布呈现正偏态，即右侧的尾部比左侧的尾部更长。
正态分布的广泛应用：1.统计学：正态分布在统计学中得到广泛的应用，特别是在参数估计和假设检验中。
许多常见的统计模型，如回归模型和时间序列模型，都是基于正态分布假设进行建模的。
2.自然科学：正态分布在自然科学中的应用非常广泛。
例如，物理学中的测量误差通常是服从正态分布的，因此在物理实验中，我们常常使用正态分布进行误差处理。
3.金融学：正态分布在金融学中扮演着重要的角色。
金融市场的大多数价格变动和收益率变动都呈现出近似正态分布的特征，这是基于大量的市场参与者和随机性的结果。
4.社会科学：正态分布也在社会科学中得到广泛的应用。
例如，人口统计数据、心理测量、学生考试成绩等，都可以使用正态分布进行描述。
5.质量管理：正态分布还在质量管理中发挥着重要的作用。
许多质量控制方法，如过程控制图、质量能力指数等，都基于正态分布的性质。
函数正态分布
函数正态分布介绍函数正态分布是统计学中的一种重要概念，它描述了某些函数在大量样本中的分布情况。
在数学中，正态分布是一种连续概率分布，其函数形式为钟形曲线，因此也被称为钟形曲线分布。
正态分布在自然界和社会科学中经常出现，对于研究人群、实验结果等具有重要意义。
特征正态分布具有以下几个重要特征：1.对称性：正态分布的概率密度函数是对称的。
即分布的左右两侧关于均值对称。
2.唯一性：正态分布由均值和标准差确定，均值决定了分布的中心位置，标准差决定了分布的形状。
3.高峰度：正态分布的峰度较高，即在均值附近概率密度较大，随着距离均值的增加，概率密度逐渐减小。
4.独立性：正态分布的样本之间是独立的，即一个样本的取值不会影响其他样本的取值。
概率密度函数正态分布的概率密度函数可以表示为:f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp^(-((x-μ)^2) / (2 * σ^2))其中，μ为均值，σ为标准差。
标准正态分布标准正态分布是一种特殊的正态分布，其均值为0，标准差为1，即μ=0，σ=1。
标准正态分布是统计学中的一种标准分布，可以将其他正态分布转化为标准正态分布进行比较和计算。
应用正态分布广泛应用于各个领域，以下是几个常见的应用场景：1. 统计推断正态分布在统计推断中起到了重要作用。
通过对样本数据进行观察和分析，可以利用正态分布的特性来进行参数估计、假设检验等统计推断操作。
2. 随机变量建模正态分布常用于随机变量的建模。
许多实际问题可以抽象成随机变量，而正态分布是对许多实际问题的合理近似。
3. 财务分析正态分布在财务分析中非常有用。
许多财务数据，如股票收益率、利润等，都符合正态分布。
通过对财务数据的分析，可以对风险和收益进行评估和预测。
4. 生物学生物学中许多现象也可以用正态分布进行建模，例如身高、体重等。
对生物学数据的分析可以帮助研究者理解和解释生物现象。
5. 工程和物理学正态分布在工程和物理学的应用非常广泛。
医学统计学-正态分布
37
习题
三、最佳选择题
❖ 1、描述一组偏态分布资料的变异度，以（ ）指标较好。
A.全距 B.标准差
C.变异系数
D.四分位间距 E.方差
❖ 2、用均数和标准差可以全面描述（ ）资料的特征/
A.正偏态分布 B.负偏态分布 C.正态分布
D.对称分布 E.对数正态分布
❖ 3、各观察值均加（或减）同一数后（ ）。
2. 制定医学参考值范围
x 2s
3. 控制实验误差：上下警戒限：x 3s
上下控制限：
2021年9月29日星期三
23
四、医学参考值范围
❖参考值范围（reference ranges）
❖医学参考值(reference value)是指正常人的各种 生理、生化数据，组织或排泄物中各种成分的含 量。
❖ 正常人测定值的波动范围，称为参考值范围。参 考值范围在诊断方面可用于划分正常或异常。
是一种很重要的连续分布
2021年9月29日星期三
f(x)
x
μ 4
1.正态分布的概念和特征
❖ 正态分布的密度函数，即正态分布的方程
f(x)
1
1 ( xμ )2
e2 σ
σ 2π
x
π、e分别为圆周率和自然对数的底， μ为总体参数，σ为总体标准差
X 为连续随机变量
当x确定后，就可由此式求得其密度函数f(x), 即纵坐标的高度了，嘿嘿
2021年9月29日星期三
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小结
❖ 3.正态分布用N(μ, σ2) 表示，为了应用方便，常对变量x 作 u 变x 换 ，使μ=0，σ =1，则正态分布转换为标准 正态分布，用N(0,1)表示。
❖ 4.正态曲线下面积的分布有一定规律。理论上μ±1σ， μ±1.96σ和μ±2.58σ区间的面积（观察单位数）各占总 面积的（总观察单位数）的68.27%，95%和99%，可 用来估计医学参考值范围和质量控制等方面。
正态分布的概念和特征
正态分布的概念和特征正态分布（normal distribution），又称高斯分布（Gaussian distribution），是概率统计学中最为重要和常见的一种连续概率分布。
起初，正态分布是由德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）于18世纪末发现并进行了深入研究，因而得名。
1. 均值（mean）：正态分布的均值决定了其分布的位置，是分布曲线的对称轴。
在正态分布中，均值位于分布的最高峰处，对称地分布于左右两侧。
记作μ。
2. 方差（variance）：正态分布的方差决定了分布的形态宽窄，方差越大，分布曲线越扁平。
方差是各观测值与均值差的平方的平均数，可表示为σ²。
3. 标准差（standard deviation）：标准差是方差的平方根，用于衡量分布的离散程度，即观测值偏离均值的程度。
标准差越大，分布曲线越扁平，表示数据的散布越广。
标准差记作σ。
1.正态分布的曲线是对称的，即分布曲线两侧关于均值对称。
2.曲线的最大值位于均值处，即分布的峰值。
3.正态分布过程的结果是连续的变量，其取值范围无限。
4.正态分布的总体分布是平滑的，没有突变的点。
5.正态分布由两个参数确定，即均值和标准差，均值决定了分布的位置，标准差决定了分布的形态。
正态分布在实际中具有广泛的应用，原因如下：1.中心极限定理：正态分布是中心极限定理的基础。
中心极限定理指出，当独立随机变量的个数足够大时，这些随机变量的均值的分布将近似于正态分布。
因此，正态分布被广泛用于描述各种自然现象和现实生活中的变量。
2.数据分布：许多自然现象和人类行为都可以由正态分布进行描述。
例如，人类身高和体重的分布通常近似于正态分布，许多生物和地理量的测量也遵循正态分布。
3.统计推断：正态分布在统计推断中扮演着重要的角色。
通过对样本数据进行正态分布检验，可以判断样本数据是否服从正态分布，从而决定使用何种统计方法进行推断。
总之，正态分布是概率统计学中最为重要和常见的分布之一、其具有对称、平滑、以及由均值和标准差决定的特征，广泛应用于模型拟合、数据分析和统计推断等领域。
高中正态分布知识点
高中正态分布知识点正态分布（Normal distribution）在高中数学中起着重要的作用，它具有许多特点和应用。
正态分布是一种连续概率分布，其特征是以均值为中心对称，并且呈钟型分布。
它在统计学、概率论、自然科学等领域都有广泛的应用。
一、正态分布的特点正态分布的特点主要有三个方面：对称性、均值、标准差。
1. 对称性：正态分布的曲线以均值为中心对称，即曲线两侧的面积相等。
这意味着在正态分布中，均值附近的数值出现的概率较大，而离均值较远的数值出现的概率较小。
2. 均值：正态分布的均值是曲线的中心位置，也是分布的期望值。
在正态分布中，均值的取值是有用的参考，可以帮助我们了解数据集的中心倾向。
3. 标准差：正态分布的标准差决定了曲线的宽度，标准差较小意味着数据集的值相对集中，标准差较大意味着数据集的值相对分散。
标准差还可以用来衡量数据的离散程度。
二、正态分布的应用正态分布在实际生活中有广泛的应用，以下是几个常见的场景：1. 身高和体重：人类的身高和体重通常服从正态分布。
这使得我们可以通过计算均值和标准差来了解人群的平均身高和体重，也能够判断某个个体身高和体重是否在正常范围之内。
2. 考试成绩：考试成绩常常呈正态分布。
通过对成绩分布的分析，教师可以了解学生的表现情况，设计适合学生的教学方案。
3. 生物学实验数据：生物学实验中的许多测量结果，如细胞数量、药物浓度等，往往服从正态分布。
通过对实验结果的分析，科研人员可以评估实验的准确性和稳定性。
4. 财经领域：股市收益率、商品价格等经济指标常常符合正态分布。
金融机构和投资者可以利用正态分布来进行风险评估和预测。
三、正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，以下是其中几个常见的性质：1. 中心极限定理：中心极限定理是正态分布的一个重要应用。
它表明，当样本容量足够大时，样本均值的分布会接近于正态分布。
2. 正态分布的标准化：对于给定的正态分布，我们可以通过标准化处理将其转化为标准正态分布。
正态分布的概念和特征
正态分布的概念和特征正态分布是概率论与统计学中最重要的理论之一，它也被称为高斯分布或钟形曲线。
正态分布具有以下特征：1. 均值（Mean）：正态分布的均值代表了分布的中心位置，也即数据的平均值。
在正态分布中，均值位于曲线的对称轴上。
2. 方差（Variance）：正态分布的方差代表分布的离散程度。
方差越大，分布的曲线越宽，离散程度越高；方差越小，分布的曲线越窄，离散程度越低。
3. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，它也表示了正态分布的离散程度，是评估数据散布范围的常用指标。
标准差越大，分布范围越宽，标准差越小，分布范围越窄。
4. 正态分布曲线（Normal Distribution Curve）：正态分布的曲线呈钟形，左右对称，中间较高，两端较低。
曲线的高度取决于均值和方差的数值。
5. 68-95-99.7规则（68-95-99.7 Rule）：根据正态分布的特性，大约68%的数据在均值的一个标准差范围内，大约95%的数据在均值的两个标准差范围内，大约99.7%的数据在均值的三个标准差范围内。
6. 中心极限定理（Central Limit Theorem）：中心极限定理指出，在一定条件下，随机变量的和或平均值的分布趋近于正态分布。
这使得正态分布成为了概率统计中广泛应用的基础。
正态分布的概念和特征对于探究、分析和预测自然和社会现象都具有重要意义。
在实际应用中，正态分布常常被用来描述各种连续型随机变量，例如测量和观测误差、经济指标、身高体重等。
它的特征使得我们能够通过统计方法对数据进行分析和推断，进行假设检验、置信区间的估计，以及进行预测和决策。
正态分布的特性也被广泛应用于计量经济学、金融学、生物学、物理学等领域的研究。
医学统计学正态分布
正态分布的假设检验
假设检验是医学统计学中常用的方法之一。
通过检验数据是否服从正态分布，可以判断相关统计推断的适用性。
正态分布的可视化方法
图表是可视化呈现正态分布的重要工具。
直方图、箱线图和概率图等方法可以帮助理解数据的分布特征。
医学统计学正态分布
医学统计学中，正态分布是一个重分布，又称为高斯分布，是一种以钟形曲线为特征的概率分布。
它具有对称性、单峰性和中心极限定理等重要特点。
正态分布的公式和参数
正态分布的概率密度函数可以使用以下公式表示：
()=1/(√(2)) * e^(-((−)²/2²))
其中，表示均值，表示标准差。
正态分布的应用领域
正态分布在医学统计学中广泛应用。
它可以用来描述人口生理指标、药物浓度、医学测试结果等。
正态分布与医学统计学的关系
医学统计学研究中常常假设数据服从正态分布。
正态分布的假设可以帮助进行参数估计和假设检验等统计推断。
正态分布的重要性
正态分布的重要性在于它在自然界和人类行为中的广泛应用。
正态分布解释
正态分布解释正态分布是统计学中最常见的分布之一，也被称为高斯分布。
它在各个领域都有广泛的应用，尤其在自然科学和社会科学中经常被使用。
正态分布的特征是呈钟形曲线，两侧的尾部逐渐衰减。
其分布是由两个参数所决定，即均值（μ）和标准差（σ）。
均值决定了曲线的中心位置，而标准差则决定了曲线的宽度。
当均值为0，标准差为1时，这个分布被称为标准正态分布。
正态分布有许多重要的性质。
首先，它是对称的，即曲线两侧呈镜像关系。
其次，68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，而95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内。
这个性质被称为“三个标准差原则”。
正态分布在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在自然科学中，正态分布可以用来描述许多自然现象，如身高、体重等。
在社会科学中，正态分布可以用来描述人口统计数据、心理测量等。
此外，在工程学中，正态分布被用来描述可靠性和质量控制等。
正态分布的解释还可以从概率密度函数来进行拓展。
概率密度函数是描述随机变量在某一点附近的概率分布的函数。
对于正态分布来说，其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2 * π))) * e^(-((x - μ)^2) / (2 * σ^2))其中，e为自然对数的底数。
通过概率密度函数，我们可以计算出特定取值范围内的概率。
例如，我们可以计算出落在某个特定区间的概率，或者求出某个特定值的累积概率。
总之，正态分布是一种常见的概率分布，具有许多重要的性质，可以用来描述各种现象和数据。
在实际应用中，我们可以利用正态分布的特性来进行数据分析和推断。
概率与统计中的正态分布与标准正态分布
概率与统计中的正态分布与标准正态分布概述：在概率与统计学中，正态分布（Normal Distribution）是一种经常被应用于描述各种现象的概率分布。
它的形态特征被认为是最常见的分布形态之一。
本文将介绍正态分布的概念、特性以及与标准正态分布的关系。
一、正态分布的概念与特性正态分布又称为高斯分布（Gaussian Distribution），它是以其创始人卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）命名的。
正态分布的概率密度函数可以用以下数学公式表示：f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，f(x)表示变量x的概率密度函数；μ是均值（mean），代表分布的中心位置；σ是标准差（standard deviation），用于衡量分布的离散程度；π是圆周率，e是自然对数的底。
正态分布具有以下特性：1. 正态分布是一个对称分布，其形状呈钟形曲线，两侧尾部逐渐逼近于x轴，无限延伸。
2. 标准差的大小决定了曲线的宽窄，标准差越大，曲线越宽，反之亦然。
3. 正态分布的总面积等于1，它关于均值μ对称，且均值、中位数和众数都相等。
二、标准正态分布标准正态分布（Standard Normal Distribution）是一种特殊的正态分布，其均值（μ）为0，标准差（σ）为1。
标准正态分布的概率密度函数可以用以下数学公式表示：φ(x) = 1/√(2π) * e^(-x^2/2)标准正态分布的随机变量常用字母Z表示。
Z的取值范围为负无穷到正无穷，其概率密度函数图像呈现出对称的钟形曲线。
在实际应用中，标准正态分布可以通过查找Z表或使用计算机软件进行计算和查找。
三、正态分布与标准正态分布的关系正态分布与标准正态分布之间存在着一种转化关系。
对于一个服从正态分布的随机变量X，可以通过以下公式将其转化为标准正态分布：Z = (X - μ) / σ其中，Z为标准正态分布的随机变量，X为正态分布的随机变量，μ为正态分布的均值，σ为正态分布的标准差。
正态分布的参数
正态分布的参数1. 什么是正态分布？正态分布（Normal distribution），又称高斯分布（Gaussian distribution），是统计学中最重要的概率分布之一。
它是一种连续型的概率分布，具有对称性和钟形曲线特点。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，被认为是许多随机现象的模型。
2. 正态分布的特点正态分布的特点如下：•对称性：正态分布呈现出关于其均值对称的特点，即曲线左右两侧呈现出相同的形状。
•零偏度：正态分布的偏度（skewness）为0，即其均值、中位数和众数重合。
•峰度：正态分布的峰度（kurtosis）为3，表示其峰值与标准正态曲线相同。
3. 正态分布函数正态分布函数可以用以下公式表示：其中，•μ 是均值（mean）•σ 是标准差（standard deviation）•π 是圆周率（pi）• e 是自然对数的底（Euler’s number）正态分布函数在数学上没有解析解，通常使用数值计算方法进行近似计算。
4. 正态分布的参数正态分布有两个参数：均值（mean）和标准差（standard deviation）。
这两个参数决定了正态分布曲线的位置和形状。
•均值μ 决定了曲线的中心位置。
当μ 增大时，曲线向右移动；当μ 减小时，曲线向左移动。
•标准差σ 决定了曲线的宽窄程度。
当σ 增大时，曲线变得更加扁平；当σ 减小时，曲线变得更加陡峭。
正态分布的均值和标准差是统计学中常用的描述数据集中趋势和离散程度的指标。
通过调整这两个参数，可以改变数据集的分布特征。
5. 正态分布的应用正态分布广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：5.1 统计学在统计学中，正态分布是许多假设检验和参数估计方法的基础。
许多统计模型都假设观测数据服从正态分布，因为正态分布具有很好的性质和广泛的应用背景。
例如，线性回归模型假设误差项服从正态分布。
5.2 自然科学在自然科学领域，正态分布经常出现在测量误差、实验数据和观测数据中。
正态分布
μ= - 2
μ=0
μ=2
σ=1时，μ变化时曲线变化的情况
正态分布的两个参数对曲线的影响
σ=1
σ =1.5 σ =2
μ= 0 μ=0时，σ变化时曲线变化的情况
正态概率密度曲线下的面积
正态曲线下面积分布规律
正态概率密度曲线下面积分布规律
(μ－1.96σ, μ＋1.96σ) 占曲线下总面积的95% 即在该区间内包含95%的观察值； 此区间观察值出现的概率为95％
异常 正常 单侧下限
例如：肺活量
正常 异常 单侧上限
例如：血铅含量
异常
正常
异常
双侧下限 双侧上限
例如：白细胞计数
如何选定适当的百分界限？
制定医学参考值范围的方法 ➢ 正态分布法 ➢ 百分位数法
正态分布法
适用: 指标服从正态分布或近似正态分布 公式：
双侧95%参考值范围：X 1.96S 单侧95%参考值范围： X 1.64S (上限)
某市120名9岁男孩肺活量(L)的频数分布
n=1000, 组距细分
n→∞
1. 正态分布的概念
正态分布曲线呈对称分布，在均数处最高， 两侧不断降低，逐渐与横轴接近，但不会和 横轴相交的钟形曲线
若指标或变量 X 的频率(或频率密度)曲线逼 近数学上的正态分布曲线，则称该指标服从 正态分布。
2. 正态分布的特征
正态分布与参考值范围
正态分布的概念和特征(normal distribution) 标准正态分布 (standard normal distribution) 正态分布的应用(参考值范围)
一、正态分布概念和特征
频率(%)
25
某
产
20
品
正态分布p
该地正常女子血清总胆固醇在 4mmol/l以下者的百分比为46.41%。
145 例正常人体温实际分布和理论分布（正态）比较
公式 体温值
实际分布 理论分布
分布范围
频数 比例
（%）
（%）
X 1S 36.23-36.90
103 68.21 68.27
X 1.96S 35.92-37.22
（2）在X= μ处曲线最高，f（X=μ）为 最大值。
3. μ 、σ决定 正态分布曲线位置和形状 固定σ ，随μ 不同，曲线位置不同，称μ
为位置参数，
固定μ ，σ越大，曲线形状不同， 称σ为 形状参数，正态分布是一个分布族。
图2-5 正态分布参数位置变化示意图
图2-6 正态分布变异度不同变化示意图
变量值95%的分布范围
双侧
参考值范围：
2
u 能正确使用标准正态分布表（利用u值）
1 u 解：假定该资料服从正态分布，将X1=4转换为u值，查正态分布表
2 30-
18
79
62-79
(u) e du 75-
0
97
97
例：标准正态变量值u=（-1，1）和u=（-1.
2 60-
4
97
94-97
（2-21）
图2-4 频数分布与正态分布示意图
一、正态分布的概念和特征
1.正态分布曲线的数学函数表达式：
f(X) 1 e12(X)2 （2-17）
2
(->X< )
X为连续随机变量，μ为X值的总体均数， σ2 为总体方差，记为X~N（ μ ， σ2）
2、正态分布曲线理论上的特征
（1）以X= μ为中心,μ左右X值对称性减 少。
4.4 正态分布概念与特征
f (X)=
1
12 æçè
X m s
ö ÷ ø
2
e,
s 2p
- ¥＜X＜+ ¥
图3 正态曲线位置、形状与μ和σ关系示意图
5
正态分布的概率密度函数（即纵向的曲线高度）
f (X)=
1
12 æçè
X m s
ö ÷ ø
2
e,
s 2p
- ¥＜X＜+ ¥
图3 正态曲线位置、形状与μ和σ关系示意图
6
第四章 常用概率分布
四、正态分布的概念与特征
一、正态分布的概念
正态分布是自然界最常见的分布之一，例如测量的误差、人体许多生化 指标的测量值等等都可认为近似正态分布。此外，正态分布具有许多良好的 性质，许多理论分布在一定条件下可用正态分布近似，一些重要的分布可由 正态分布导出。可以说正态分布是统计学中最重要的分布。
准化变换，也称Z变换， Z = X - m s
标准正态分布的密度函数：
f (Z) =
1
-Z2
e2
2p
10
正态概率密度曲线下的面积
标准正态分布方程积分式(分布函数)：
ò F ( z) = 1
Z
- z2
e 2 dZ
2p -¥
Φ(Z)为标准正态变量 Z的累计分布函数，反映标准正态曲线 下，横轴尺度自－∞到Z的面积，即下侧累计面积 。
X ±1.28S 区间内，即116.9cm~129.2cm。
24
正态分布的特征
1.关于 x = m 对称。即正态分布以均数为中心，左右对称。 2. 在 x = m 处取得概率密度函数的最大值，在x = m ± s 处有
拐点，表现为 钟形曲线。即正态曲线在横轴上方均数处最高。
正态分布的4个特征
正态分布的4个特征正态分布，又称高斯分布或钟形曲线，是统计学中最重要的概率分布之一、它具有许多独特的特征和性质，下面将详细介绍正态分布的四个主要特征。
1.对称性：正态分布是一种对称的分布，其均值和中位数相等，即分布的中心处于对称的位置。
曲线在均值处取得最大值，两侧逐渐变小，呈现出典型的钟形形状。
正态分布的对称性使其成为许多统计推断方法的基础。
2.均值和标准差：正态分布的均值和标准差是其两个重要的描述性参数。
均值代表了分布的中心位置，标准差则衡量了数据集中程度的变异性。
在标准正态分布中（均值为0，标准差为1），大约68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，约95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内，而大约99.7%的数据落在均值加减三个标准差的范围内。
这种关系被称为"68-95-99.7规则"，在实际应用中经常被使用。
3.中心极限定理：正态分布具有重要的中心极限定理，它表明当独立随机变量的和趋于无穷时，其分布逼近于正态分布。
也就是说，无论初始数据的分布如何，其和的分布都会逐渐接近于正态分布。
这一定理在统计推断和抽样理论中起着至关重要的作用，使得我们可以使用正态分布对许多实际问题进行分析和推断。
4. 概率密度函数和累积分布函数：正态分布的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）用来描述随机变量的概率密度。
它的数学表达式为：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-(x-μ)²/(2σ²))其中，f(x)表示在x点处的概率密度，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然常数。
概率密度函数的曲线是连续的，且总面积等于1 F(x)=Φ((x-μ)/σ)其中，Φ表示标准正态分布的累积分布函数，F(x)表示在x点之前的概率。
概率密度函数和累积分布函数是正态分布最基本的描述工具，它们可以帮助我们计算各个分布区域的概率、推断置信区间等。
正态分布的五个特征
正态分布的五个特征
正态分布，又称为高斯分布，是统计学中最常见的一种分布形式。
它具有以下
五个特征。
1. 对称性：正态分布以其对称性而著名。
它的概率密度曲线在其均值处达到峰值，并以均值为中心对称分布。
左右两侧的曲线形状完全相同。
2. 均值：正态分布的均值代表了整个分布的平均水平。
在正态分布中，均值等
于中位数等于众数，也就是说，分布的中心趋向于均值。
3. 标准差：正态分布的标准差表示了数据的变异程度。
标准差越小，正态分布
图像越狭窄，变异性越低；标准差越大，分布图像越宽，变异性越高。
4. 峰度：正态分布的峰度描述了概率密度曲线的陡峭程度。
峰度值为3表示正
态分布的峰度与标准正态分布相同。
峰度大于3表示分布曲线比正态分布更陡峭，而峰度小于3则表示分布曲线较为平缓。
5. 偏度：正态分布的偏度反映了分布数据相对于均值的偏斜程度。
当数据的偏
度为0时，分布为正态分布。
正偏斜（偏度值大于0）表示数据分布有向右的长尾，而负偏斜（偏度值小于0）表示数据分布有向左的长尾。
这些特征使得正态分布成为许多统计学推断和模型的基础。
在实际应用中，研
究人员可以利用正态分布的特性来解释和分析各种现象，从而更好地理解数据的分布规律。
了解正态分布的五个特征有助于我们更好地理解统计学中的相关概念和方法。
正态分布的概念和特征
正态分布的概念和特征一、正态分布的概念由表1.1的频数表资料所绘制的直方图，图3.1（1）可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。
我们设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图 3.1（3）。
这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的正态分布（normal distribution）。
由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。
图3.1频数分布逐渐接近正态分布示意图为了应用方便，常对正态分布变量X作变量变换。
（3.1）该变换使原来的正态分布转化为标准正态分布(standard normal distribution)，亦称u分布。
u被称为标准正态变量或标准正态离差（standard normal deviate）。
二、正态分布的特征：1．正态曲线（normal curve）在横轴上方均数处最高。
2．正态分布以均数为中心，左右对称。
3．正态分布有两个参数，即均数和标准差。
是位置参数，当固定不变时，越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴越向左移动。
是形状参数，当固定不变时，越大，曲线越平阔；越小，曲线越尖峭。
通常用表示均数为，方差为的正态分布。
用N（0，1）表示标准正态分布。
4．正态曲线下面积的分布有一定规律。
实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的概率。
正态曲线下一定区间的面积可以通过附表1求得。
对于正态或近似正态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计。
查附表1应注意：①表中曲线下面积为-∞到u的左侧累计面积；②当已知μ、σ和X时先按式（3.1）求得u值，再查表，当μ、σ未知且样本含量n足够大时，可用样本均数和标准差S分别代替μ和σ，按式求得u值，再查表；③曲线下对称于0的区间面积相等，如区间（-∞，-1.96）与区间（1.96，∞）的面积相等，④曲线下横轴上的总面积为100%或1。
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第一节正态分布的概念和特征
一、正态分布的概念
由表1.1的频数表资料所绘制的直方图，图3.1（1）可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。
我们设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图3.1（3）。
这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的正态分布（normal distribution）。
由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。
图3.1频数分布逐渐接近正态分布示意图
为了应用方便，常对正态分布变量X作变量变换。
（3.1）
该变换使原来的正态分布转化为标准正态分布 (standard normal distribution)，亦称u分布。
u被称为标准正态变量或标准正态离差（standard normal deviate）。
二、正态分布的特征：
1．正态曲线（normal curve）在横轴上方均数处最高。
2．正态分布以均数为中心，左右对称。
3．正态分布有两个参数，即均数和标准差。
是位置参数，当固定不变时，越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴越向左移动。
是形状参数，当固定不变时，越大，曲线越平阔；越小，曲线越尖峭。
通常用表示均数为，方差为的正态分布。
用N（0，1）表示标准正态分布。
4．正态曲线下面积的分布有一定规律。
实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的概率。
正态曲线下一定区间的面积可以通过附表1求得。
对于正态或近似正态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计。
查附表1应注意：①表中曲线下面积为-∞到u的左侧累计面积；②当已知μ、σ和X时先按式（3.1）求得u值，再查表，当μ、σ未知且样本含量n足够大时，可用样本均数和标准差S分别代替μ和σ，按式求得u
值，再查表；③曲线下对称于0的区间面积相等，如区间（-∞，-1.96）与区间（1.96，∞）的面积相等，④曲线下横轴上的总面积为100%或1。
正态分布曲线下有三个区间的面积应用较多，应熟记：①标准正态分布时区间（-1,1）或正态分布时区间（μ-1σ,μ+1σ）的面积占总面积的68.27%；②标准正态分布时区间（-1.96,1.96）或正态分布时区间（μ-1.96σ,μ+1.96σ）的面积占总面积的95%；③标准正态分布时区间（-2.58,2.58）或正态分布时区间（μ-2.58σ,μ+2.58σ）的面积占总面积的99%。
如图3.2所示。
图3.2 正态曲线与标准正态曲线的面积分布。