正态分布的概念
正态分布——概念、特征、广泛应用
正态分布——概念、特征、广泛应用一、概念指变量的频数或频率呈中间最多，两端逐渐对称地减少，表现为钟形的一种概率分布。
正态分布的由来正态分布是最重要的一种概率分布。
正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。
高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
但随着各种理论的深入研究，高斯理论的卓越贡献日显重要。
1．正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。
一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。
2．正态曲线及其性质3．标准正态曲线标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率。
4．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。
只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
5．“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。
这种认识便是进行推断的出发点。
关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。
二、正态分布的特征均数处最高以均数为中心，两端对称永远不与x轴相交的钟型曲线有两个参数：均数——位置参数，标准差——形状（变异度）参数。
统计学 正态分布
正态分布曲线的数学函数表达式： 如果随机变量 的分布服从概率密度函数：
( X − µ)2 1 , − ∞ < X < ∞ f (X ) = exp − 2 2σ σ 2π π＝ .14159， 是以 .72818为底的自然对数指数 3 exp 2 X ~ N(µ,σ 2 ), µ为X的总体均数，σ为总体标准差 f ( X )称为概率密度函数（probabilit y density function ） 以f ( X )为纵坐标，X为横坐标，绘制的曲线就是 正态曲线（norm curve ） al
为伽玛函数； 圆周率； 式中 Γ(•)为伽玛函数； 圆周率； V 为 自由度（ freedom）， ），是 自由度（degree of freedom），是t分布的 唯一参数； 为随机变量。 唯一参数；t为随机变量。 为纵轴, 以t (•)为横轴，f(t)为纵轴,可绘制t分布 Γ 为横轴， 曲线。 曲线。
查t 界值表
举例： 举例：
， α t ①ν =10 单 =0.05， 0.05,10 =1.812 ，则有
P(t ≤ −1.812) = 0.05 或 P(t ≥1.812) = 0.05
， α t ②ν =10 双 =0.05， 0.05/2,10 = 2.228 ，则有
P(t ≤ −2.228) + P(t ≥ 2.228) = 0.05
（正态分布是对称分布，但对称分布不一定是正态分布） 正态分布是对称分布，但对称分布不一定是正态分布） 2. 实 际 频 数 分 布 ： 中 间 频 数 多 ， 两 端 越 来 越少， 越少，且左右大致对称 理论频数分布：正态分布曲线。 理论频数分布：正态分布曲线。
4 频数分布逐渐接近正态分布示意
正态分布概念
图2-4 频数分布与正态分布曲线示意图
一、正态分布的概念和特征
1.正态分布曲线的数学函数表达式：
X服从的概率密度函数f（x）
f (X)
1
1( X )2
e2
2
(-＜X＜ )
X为连续随机变量，μ为X值的总体均数， σ2 为总体方差，记为X~N（ μ ， σ2）
1．正态分布
正态分布的分布密度函数为：f(x)＝σ
解析：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线 x＝20
对称，最大值为 2
1 ，所以 π
μ＝20，
1＝ 2π·σ 2
1 ，解得 π
σ＝
2.于是概率密度函数的解析式为 f(x)＝2 1πe－x－4202，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是 μ＝20，方差是 σ2＝( 2)2＝2.
正态分布 (Normal distribution)
正态分布
概述
正态分布是描述连续型变量值分布 的曲线，医学上许多资料近似服从正态 分布。
正态分布在统计推断上有重要的作用。 直方图的频数分布与正态分布
（见图2-4）
频数（f）
25 20 15 10
5 0
2.30～ 2.90～ 3.50～ 4.10～ 4.70～ 5.30～
(5)最值性:当 x=μ时, f, ( x)取得最大值
1
2
σ越大，曲线越“矮胖”,表示总体的分布越
分散;反之σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体
的分布越集中．
(6) 几 何 性 : 参 数 μ 和 σ
y
的统计意义:E(x)=μ,曲
线的位置由μ决定
;D(x)=σ2, 曲 线 的 形 状
由σ决定.
正态分布的相关概念
正态分布的相关概念
一、正态分布的基本概念
正态分布是一种常见的概率分布，它描述了许多自然现象和统计数据的分布情况。
正态分布曲线呈钟形，中间高，两边低，左右对称。
二、正态分布的参数
正态分布有两个参数，即均值（μ）和标准差（σ）。
均值决定了分布的中心位置，而标准差决定了分布的宽度。
三、正态分布的性质
正态分布具有以下基本性质：
1.集中性：正态分布曲线在均值处达到最高点，向两侧逐渐下降。
这意味着大多数数据值都集中在均值附近。
2.对称性：正态分布曲线关于均值对称，即对于任何x，都有p(x)=p(-x)。
这意味着正态分布不受符号影响。
3.均匀分布：在远离均值的地方，正态分布的概率密度逐渐减小，但不会为0。
这意味着在远离均值的地方仍然有可能出现数据值，但概率较小。
4.渐进性：当数据量足够大时，经验分布趋向于正态分布。
这意味着随着数据量的增加，数据的分布情况越来越符合正态分布。
5.偏态性：正态分布是略微偏左的，这是因为负值比正值出现的概率稍大。
但在某些情况下，可能会出现偏态分布。
四、正态分布的应用
正态分布在统计学中有着广泛的应用。
例如，在生物医学领域，
许多生理指标（如身高、体重）的分布都呈现出正态分布的特点。
此外，在金融领域，许多金融指标（如收益率、波动率）也服从正态分布。
五、正态分布的变种
除了基本形态的正态分布外，还有许多基于正态分布的变种。
例如，t分布、F分布等都是基于正态分布的变形。
这些变种在统计学中也有着广泛的应用。
心理学中正态分布名词解释
心理学中正态分布名词解释
正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线，是心理学中常用的一个概念。
它是一
种对于自然界种种现象（例如身高、体重、智力测验分数等）的分布进行建模的数学方式。
正态分布具有以下特征：首先，它是一个连续的概率分布，可以用一个钟形曲
线来表示。
钟形曲线的峰值对应着分布的平均值，而曲线的宽度则与分布的标准差有关。
其次，正态分布是一个对称分布，即曲线左右两侧的形状是完全相同的。
最后，它具有一个重要性质，即约68%的数据落在平均值加减一个标准差的范围内，约95%的数据落在平均值加减两个标准差的范围内，约99.7%的数据落在平均值加减三个标准差的范围内。
正态分布在心理学研究中有着广泛的应用。
研究人员可以使用正态分布来描述
整体人群在某种特征上的分布情况，例如智力分数在一个年龄段内的分布。
此外，正态分布也可以用于推断统计，帮助研究人员进行假设检验、置信区间估计等等。
总结来说，正态分布是心理学中一种常见的分布模型，它可以帮助研究人员更
好地理解和描述一些心理现象的分布特征。
通过对正态分布的研究，我们可以更深入地认识人类行为和心理特征的统计规律。
正态分布的概念
正态分布的概念
正态分布，也称为高斯分布，是概率统计学中最常见的一种分布模式。
它在许多自然和社会现象中都具有重要的应用，是数据分析和建模的基石之一。
正态分布的概念可以通过以下几个方面来说明：
概率密度函数：正态分布可以通过概率密度函数来描述，其数学表达式为：
f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-((x-μ)^2) / (2σ^2))
其中，μ是均值，σ是标准差，e是自然对数的底。
概率密度函数呈钟形曲线，具有对称性。
均值和标准差：正态分布的均值确定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
均值和标准差的不同取值会导致不同形状的正态分布。
中心极限定理：正态分布具有重要的统计性质。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，无论原始数据的分布是什么样的，样本均值的分布会近似服从正态分布。
举例说明：正态分布可以在许多实际情况中得到应用。
例如，在人口统计中，身高和体重往往服从正态分布。
在财务领域，股票收益率的变动也通常近似服从正态分布。
另外，许多测量误差、温度变化、考试成绩等都可以用正态分布进行建模和分析。
正态分布的重要性在于它提供了一种统计工具，可以帮助我们描述和理解真实世界中的现象。
通过正态分布的概念和特性，我们可以
对数据进行分析、判断概率和进行推断。
这使得正态分布成为了概率统计学中最为重要的工具之一。
正态分布——概念特征广泛应用
正态分布——概念特征广泛应用正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线，是概率论中一种非常重要的分布。
它在统计分析和科学研究中得到了广泛的应用。
正态分布具有许多独特的特征，它的形状是对称的，呈现出一个钟形曲线，其均值、方差和标准差等统计量能够完全描述它的特征。
正态分布的概念：正态分布是一种连续型的概率分布，它的概率密度函数可以通过以下公式表示：f(x) = (1 / (σ * √(2 * π))) * exp(-((x - μ) ^ 2) / (2 *σ ^ 2))其中，μ表示正态分布的期望值或均值，σ表示正态分布的标准差，π是圆周率。
正态分布的特征：1.对称性：正态分布呈现出对称的特点，也就是说，在均值两侧的概率曲线是完全相同的，即左右对称。
2.唯一性：正态分布具有唯一的均值和标准差。
均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的形状和宽度。
3.分布范围：正态分布的取值范围是无限的，即负无穷到正无穷。
4.弱偏态性：正态分布的偏态系数为0，即偏度为0。
偏态系数用于衡量概率分布的非对称性，当偏态系数大于0时，分布呈现正偏态，即右侧的尾部比左侧的尾部更长。
正态分布的广泛应用：1.统计学：正态分布在统计学中得到广泛的应用，特别是在参数估计和假设检验中。
许多常见的统计模型，如回归模型和时间序列模型，都是基于正态分布假设进行建模的。
2.自然科学：正态分布在自然科学中的应用非常广泛。
例如，物理学中的测量误差通常是服从正态分布的，因此在物理实验中，我们常常使用正态分布进行误差处理。
3.金融学：正态分布在金融学中扮演着重要的角色。
金融市场的大多数价格变动和收益率变动都呈现出近似正态分布的特征，这是基于大量的市场参与者和随机性的结果。
4.社会科学：正态分布也在社会科学中得到广泛的应用。
例如，人口统计数据、心理测量、学生考试成绩等，都可以使用正态分布进行描述。
5.质量管理：正态分布还在质量管理中发挥着重要的作用。
许多质量控制方法，如过程控制图、质量能力指数等，都基于正态分布的性质。
正态分布的概念和特点
正态分布的概念和特点
正态分布是一种概率分布，它的特点是集中性、对称性和均匀变动性。
1.集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
2.对称性：正态分布曲线以均数所在的位置为中心左右对称且曲线两段无线趋近于横轴。
3.均匀变动性：正态分布曲线以均数所在的位置为中心均匀向左右两侧下降。
另外，正态分布函数公式如下：μ为均数，σ为标准差。
μ决定了正态分布的位置，与μ越近，被取到的概率就越大，反之越小。
σ描述的是正态分布的离散程度。
σ越大，数据分布越分散曲线越扁平；σ越小，数据分布越集中曲线越陡峭。
以上特点在生产条件不变的情况下，可以广泛应用于产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标的预测，以及同一种生物体的身长、体重等指标，同一种种子的重量，测量同一物体的误差，弹着点沿某一方向的偏差，某个地区的年降水量，以及理想气体分子的速度分量等等。
正态分布完整ppt课件
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
高考正态分布知识点
高考正态分布知识点在统计学中，正态分布是一种重要的概率分布，也被称为钟形曲线或高斯分布。
在高考数学中，正态分布是一个常见的考察点，学生需要了解和掌握与正态分布相关的概念、性质和应用。
下面将详细介绍高考正态分布的知识点。
一、正态分布的定义和性质1. 正态分布的定义：正态分布是指在数理统计中，如果随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ²的正态分布，则记为X~N(μ, σ²)，其中N表示正态分布。
2. 正态分布的性质：（1）正态分布是对称的，其均值、中位数和众数都相等，即μ=中位数=众数。
（2）正态分布的图像呈现出典型的钟形曲线。
（3）正态分布的曲线在均值两侧呈现出逐渐减小的趋势，但是永远不会到达横轴。
（4）正态分布的曲线关于均值μ对称。
（5）正态分布的标准差σ越大，曲线越矮胖；标准差σ越小，曲线越瘦高。
（6）约68%的数据落在均值±1个标准差范围内；约95%的数据落在均值±2个标准差范围内；约99.7%的数据落在均值±3个标准差范围内。
二、正态分布的概率计算1. 标准正态分布：标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。
记为Z~N(0, 1)。
对于标准正态分布，我们可以通过计算标准正态分布表来得到对应的概率值。
2. 普通正态分布：当随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)时，可以进行标准化处理，将X转化为一个服从标准正态分布的随机变量Z。
即Z=(X-μ)/σ，这样就得到了一个标准正态分布。
对于普通正态分布，可以通过标准正态分布表和标准化公式来计算相应的概率值。
3. 概率计算：对于正态分布，我们常常需要计算在某个区间范围内的概率值。
对于标准正态分布，可以利用标准正态分布表查找对应的概率值。
对于普通正态分布，可以将其转化为标准正态分布进行计算。
三、正态分布的参数估计1. 样本均值的抽样分布：在统计学中，我们经常需要对总体的均值进行估计。
对于正态分布，样本均值的抽样分布也是一个正态分布，并且其均值等于总体均值，方差等于总体方差除以样本容量的平方根。
第三节 正态分布
主要内容： 主要内容： 一、正态分布概念 二、正态分布的特点 三、应用
一、正态分布概念
正态分布又称高斯分布，常态分布，是一种数据的 波动规律的表达，主要反映了试验的随机误差。
强度分组为横坐标，以频数为纵坐标,绘成强 度—频数直方图
12 10 8 6 4 2 0 18 20 22 24 26 3 7 5 2 10
应用
1．可疑数据的舍弃； A. 莱 特 准 则 （ 3σ 原 则 ） ： 由 于 落 在 (u3σ,u+3σ)的概率为99.73％，处在3σ之外的 概率(即误差概率)仅为0.27％，接近0，对于 常规一般仅进行几十次的测量，如处在3σ之 外则说明属于随机误差，应剔除。 由于次判据是建立在n趋向于无穷得基础上得， 所以当n有限时，尤其是n较小时这一判据并不 十分可靠。但是由于其使用方便，故常常被使 用。
（一）正交设计的基本方法
试验设计包括三方面的内容： 1. 因素和水平选择 2. 误差控制：试验方案的制定 3. 数据处理：分析试验结果
一般来说,为保证结论的可靠性，在选取因素时 应把所有影响较大的因素选入试验，某些因素 之间可能还有交互作用，所谓交互作用，就是 这些因素在同时改变水平时，其效果会超过单 独改变某一因素水平时的效果。影响较大的因 素还应包括那些单独变化水平时效果可能不太， 大与其他因素同时变化时交互作用较大的因素， 这样才能保证试验的代表性。因素变化越多越 好，取值不能少于3个，这样才能看出曲线，看 出其变化的趋势。某一因素取值变化的次数即 水平数，为了减少试验次数，往往取两水平(现 行工艺水平和新工艺水平)或三水平(低于现行 工艺水平或理论值、现行工艺水平、高于现行 工艺水平)。 水平变化的范围不宜太大。
且从图12－2还可以看出，按趋势，增加 水分与碾压料重、抗折强度，还有可能 提高，因此还应扩大试验范围，试探其 强度趋势。
有关正态分布的解释
正态分布的数理统计学概念：
如果随机变量（X）的概率密度函数为：
f x
1
e
x-∞2 ＜x＜+∞
2 2
则该随机变量服从正态2分布。
式中σ为总体标准差；μ为总体均数；
π为圆周率，即3.14159···；e为自然对数的
底，即2.71828···。
✓ 若某一随机变量的概率密度函数（频率曲线方程） 为上式，则称该变量X服从参数为μ和σ的正态分布， 记为：X～N（μ,σ2）。
144～
25
145.5
147～
20
148.5
150～
9
151.5
153～
3
154.5
156～
2
157.5
159～162
1
160.5
合计
118
—
频数
频数分布图一（又称直方图）
30
20
10
0 130.5 133.5 136.5 139.5 142.5 145.5 148.5 151.5 154.5 157.5 160.5
身高（X）大于 155(cm)的概率为： PX x2 155 PU u2
u2
x2 s
x
155 144.29 5.41
1.98
PX x2 155 PU u2 PU u2 1.98 1 1.98 1 0.97615 0.02385
该地 13 岁正常女孩身高在 135 厘米以下者占正常女孩总人数的 4.272%，身高 在 155 厘米以上者占正常女孩总人数的 2.385%。
标准正态分布曲线下对称于0的区间，面积相等，各占50%，即左右 各为0.5。
标准正态分布曲线的纵坐标与面积关系图
正太分布的几个重要概念
正太分布的几个重要概念正太分布1.正态分布：若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知曲线服从正态分布，记号～。
其中μ、σ2 是两个不确定常数，是正态分布的参数，不同的μ、不同的σ2对应不同的正态分布。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。
2．正态分布的特征：服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。
(1)μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。
正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。
正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。
(2)σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。
也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。
正态曲线下面积分布1．实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。
不同范围内正态曲线下的面积可用公式计算。
2.几个重要的面积比例轴与正态曲线之间的面积恒等于1。
正态曲线下，横轴区间（μ-σ，μ+σ）内的面积为68.268949%，横轴区间（μ-1.96σ，μ+1.96σ）内的面积为95.449974%，横轴区间（μ-2.58σ，μ+2.58σ）内的面积为99.730020%。
标准正态曲线1．标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的μ和σ2为0和1，通常用ξ（或Z）表示服从标准正态分布的变量，记为Z～N（0，1）。
2．标准化变换：此变换有特性：若原分布服从正态分布，则Z=(x-μ)/σ ～N(0, 1) 就服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。
故该变换被称为标准化变换。
3. 标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X(当前值）范围内的面积比例。
一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。
正态分布知识点总结正态分布运算法则正态分布μ和σ代表什么
正态分布知识点总结正态分布的定义：如果随机变量的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：xR，则称服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中表示总体平均数，叫标准差，正态分布常用来表示。
当=0，=1时，称服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。
叫标准正态曲线。
正态曲线xR的有关性质：(1)曲线在x轴上方，与x轴永不相交;(2)曲线关于直线x=对称，且在x=两旁延伸时无限接近x 轴;(3)曲线在x=处达到最高点;(4)当一定时，曲线形状由的大小来决定，越大，曲线越矮胖，表示总体分布比较离散，越小，曲线越瘦高，表示总体分布比较集中。
在标准正态总体N(0，1)中：高中数学关于正态分布知识总结【2】二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则k=0，1，2，n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并记独立重复试验：(1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率.(3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.(4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率.其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式.二项分布的判断与应用：(1)二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布.(2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.求独立重复试验的概率：(1)在n次独立重复试验中，在相同条件下等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2，，n)是第i次试验的结果.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有恰好恰有字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k 的意义。
正态分布[2-2]
![正态分布[2-2]](https://img.taocdn.com/s3/m/bb3e54a60029bd64783e2cf5.png)
(X − X) u=
S
3.曲线下对称于 的区间，面积相等。 曲线下对称于0的区间，面积相等。 曲线下对称于 的区间 4.曲线下横轴上的面积为 曲线下横轴上的面积为100%或1。 曲线下横轴上的面积为 或 。
正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线 正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=µ， ， 即均数位置，理论上： 即均数位置，理论上： µ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的68.27% µ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的95% 范围内曲线下的面积占总面积的 µ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的99% 范围内曲线下的面积占总面积的 实际应用中： 实际应用中： 范围内曲线下的面积占总面积的68.27% ±1 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的95% ±1.96 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的99% ±2.58 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的
u=
X −µ
σ
二、正态分布的特征
1. 关于 心，左右对称。 左右对称。 2. 在 在 处取得概率密度函数的最大值， 处取得概率密度函数的最大值， 处有拐点，表现为钟形曲线。 处有拐点，表现为钟形曲线。即正 拐点 对称。 对称。即正态分布以均数为中
态曲线在横轴上方均数处最高。 态曲线在横轴上方均数处最高。
双侧---过高、 双侧 过高、过低均异常 过高
异常
正常
正常
异常
异常
正常
异常
第六章 正态分布
第六章正态分布一、基本概念1、正态分布连续性随机变量中重要的分布是钟型概率分布，就是正态分布（normal distribution），也称为常态分布，是一种连续型随机变量的概率分布。
学生的身高、体重、成绩等都是正态分布常见的例子，很高、很矮的都比较少，多数处于正常身高；很胖、很瘦的也较少，多数是正常体重；成绩很高和很低的是少数，多数同学属于中等成绩。
2、标准正态分布在正态分布中，随机变量X是以μ和σ为参数，当μ和σ取值固定，μ=0，σ=1时，随机变量X的概率密度变为：2221Zey-=π，(,)Z∈-∞+∞，相应的正态分布N(0,1)称为标准正态分布。
标准正态分布是正态分布的特殊情况，由于μ和σ取值固定，不依赖于参数μ和σ，而是固定的、唯一的。
3、Z值Z值又称为标准分数，它是以平均数为参照点，以标准差为单位的描述原始数据在总体中相对位置的量数。
我们可以通过计算Z值将一般正态分布转换为标准正态分布。
例如某个数值的Z值为－1.5，则说明这个数值低于均值1.5倍的标准差。
二、基本方法1、Z值的计算Z值的计算公式为：Z=（X—μ）/σ。
假设),(~2σμNX，根据Z值计算公式转换后，Z=()σμ-X~N（0,1），这样就将一般正态分布转换成标准正态分布。
某班同学平均体重为50公斤，标准差为10，某同学同学为70，将这个分数转化为Z 值。
Z=（X—μ）/σ=（70—50）/10= 2表明这个同学的体重在分布中高于均值2个标准差。
2、标准正态分布表使用方法标准正态分布表是根据标准正态分布中随机变量与其概率的对应关系绘制的，表中数值是变量值X所对应的分布函数ф（x）的数值表。
首先只根据Z值公式将正态分布转化为标准正态分布，就可以通过查表得到对应的概率值。
对于负的变量值，转化：ф（—x）=1—ф（x）一般情况下，设X~(0,1)，则有：P（X<a）=ф（a），P（a<X<b）=ф（b）—ф（a）P （X>a ）=1—ф（a ）具体查表时，我们可以看到，标准正态分布表第一行和第一列均表示X 值，列为X 的整数位和第一位小数位，行为X 的第二位小数位，交叉处的值就是对应的概率。
正态分布的基本概念
正态分布的基本概念正态分布，也称为高斯分布，是自然界中最常见的分布形式之一，它在各种领域中都有着广泛的应用。
正态分布的特点是具有对称性、单峰性和钟形曲线形状，其分布密度函数可以用数学公式表示。
在统计学中，正态分布是一种重要的概率分布，它在数据分析、假设检验、回归分析等领域中起着重要的作用。
本文将介绍正态分布的基本概念，包括概率密度函数、期望值、标准差、正态分布的性质和应用等方面。
一、概率密度函数正态分布的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * e^(-(x-μ) / (2σ)) 其中，μ是分布的期望值，σ是分布的标准差，e是自然常数，π是圆周率。
这个公式描述了正态分布的形状，其中的μ和σ控制了正态分布曲线的位置和形状。
正态分布的概率密度函数曲线是一个钟形曲线，对称于μ处。
二、期望值在正态分布中，期望值是分布的中心位置，也是分布的均值。
期望值可以用以下公式表示：E(X) = μ其中，X是一个随机变量，μ是分布的期望值。
正态分布的期望值是在分布曲线中心位置处，也是分布的对称轴。
三、标准差标准差是用来衡量数据分散程度的一个指标。
在正态分布中，标准差是分布曲线的宽度。
标准差可以用以下公式表示：σ = √(E((X-μ)))其中，E((X-μ))是随机变量X的方差，也是衡量数据分散程度的常用指标。
正态分布的标准差决定了分布曲线的宽度，标准差越大，曲线越宽。
四、正态分布的性质正态分布具有以下性质：1. 对称性：正态分布的概率密度函数是对称的，即分布曲线左右两侧的面积相等。
2. 单峰性：正态分布的概率密度函数只有一个峰值。
3. 随机变量的线性组合仍然服从正态分布：如果X和Y是两个服从正态分布的随机变量，那么它们的线性组合aX+bY仍然服从正态分布，其中a和b是常数。
4. 中心极限定理：当样本量足够大时，任何分布的样本均值都服从正态分布。
五、正态分布的应用正态分布在各种领域中都有着广泛的应用，例如：1. 数据分析：正态分布是数据分析中最常见的分布形式之一，通过对数据进行正态分布分析，可以了解数据的分布情况、异常值和数据分散程度等信息。
正态分布名词解释电大
正态分布名词解释正态分布是一种常见的概率分布，用于描述各种随机现象。
本文将介绍正态分布的概念、特征、含义以及应用。
一、正态分布的概念正态分布是一种连续型概率分布，它具有两个参数：均值和标准差。
均值是分布的中心点，标准差是分布的分散程度。
正态分布的概率密度函数呈钟形，左右对称，中间高，两边低。
二、正态分布的特征1. 中心对称：正态分布的概率密度函数关于均值对称，即对于任意 x，有 f(x)=f(-x)。
2. 左右对称：正态分布的概率密度函数在均值处取得最大值，即f(μ)=max{f(x)}。
3. 长尾：正态分布的概率密度函数在x=μ时取得最大值，但随着 x 离μ越来越远，概率密度函数逐渐变得平缓，呈现出长尾特征。
4. 标准化：将正态分布标准化，即将其转化为均值为 0，标准差为 1 的分布，称为标准正态分布。
三、正态分布的含义正态分布表示的是一个随机变量的分布情况，它具有以下含义： 1. 均值是分布的中心点，反映了随机变量的平均水平。
2. 标准差是分布的分散程度，反映了随机变量的离散程度。
3. 正态分布的概率密度函数呈钟形，说明随机变量取值集中在均值附近，离均值越远的取值概率越小。
四、正态分布的应用正态分布在统计学中具有广泛的应用，下面列举几个主要的应用： 1. 假设检验：正态分布是许多统计假设检验的基础，例如 t 检验、F 检验等。
2. 置信区间：正态分布可以用来计算置信区间，用于估计总体参数。
3. 预测分析：正态分布可以用来进行预测分析，例如预测销售量、股票价格等。
4. 质量控制：正态分布可以用于质量控制，例如通过正态分布来判断一个产品是否合格。
总之，正态分布是一种重要的概率分布，它在统计学中有着广泛的应用。
对正态分布的理解
对正态分布的理解
正态分布是统计学的基础，它表示许多自然现象的最佳模型，是科学家研究和预测进行研究的基础。
正态分布在生活中的应用也非常广泛，从基础的统计分析到更复杂的研究都有用处。
本文将对正态分布的概念、特性及其应用进行详细介绍。
首先介绍正态分布的概念。
正态分布是一种用来描述随机变量和概率分布的数学模型，通常用正态曲线来描述。
它由同源及均方差（σ2）构成，其中均值为μ，一般用μ表示，同源是指概率密度函数的
形状是一定的，记作σ2。
正态分布以一条直线（μ）为中心，两侧
向两边延伸，形成一条“S”型曲线，即正态曲线。
此外，正态分布的特性也很值得关注。
它的均值（μ）与标准差（σ）决定了其形状，σ越大正态分布曲线越宽，σ越小正态分布曲线越窄，均值为0时，正态分布为标准正态分布。
正态分布的分布及其分布函数满足均值-分布定理，即均值等于整个分布的可能取值的
累积概率，标准差决定了数据分布的平坦度；此外，正态分布还有曲率定理，可以在任何坐标中表示，这让它在理论上变得更加容易分析。
正态分布的应用非常广泛。
它可以用来描述各种测量成果的分布，如成绩、收入、股价等。
正态分布也可用于研究定量分析，如时间序列分析、回归分析、因子分析等；正态分布在预测方面也被广泛使用，如用于预测市场、财务体系等领域，以及机器学习、识别等方面。
总之，正态分布是统计学中最重要的分布，它有丰富的概念，复杂的特性及广泛的应用。
它是许多自然现象的模式，是研究定量分析
的基础，也是某些机器学习和识别的基础。
正态分布的研究及应用将继续发展，为科学研究带来新的视角和发现。
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1. 正态分布的概念
随机变量X 的概率密度2()2(),()x f x x μσ--=-∞<<+∞，
称X 服从正态分布，
记作),(~2σμN X 。
标准正态分布(0,1)N ，其概率密度22
(),()x x x ϕ-
=-∞<<+∞，分布函数
为
2
2
()t x
x e dt φ-
-∞
=。
2. 设
)
,(~2σμN X ，
则
{}x P X x μφσ-⎛⎫
≤= ⎪
⎝⎭
，
{}b a P a X b μμφφσσ--⎛⎫⎛⎫
<≤=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()x φ的数值有表可查，特别有
(0)0.5,()1,()1()x x φφφφ=+∞=-=-。
3. 设),(~2σμN X ，则2(),()E X D X μσ==。
4. 设),(~2σμN X ，则),(~22σμb b a N bX a Y ++=)0(≠b 。
若),(~211σμN X ，),(~2
22σμN Y ，X 与Y 相互独立，则
),(~2
22121σσμμ+++N Y X 。
若12,,,n X X X 相互独立，),,2,1)(,(~2n i N X i i i =σμ，则
∑∑∑===n i n
i n i i i i n
i i
i c c c c c N X
c 1
1
21221
)(,(~为常数）
，，， σμ 5. 二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，记作
），，，，（），（γσσμμ222121~N Y X ，其中12(),()
E X E Y μμ==，
2212(),()D X D Y σσ==，(,)r R X Y =。
设(,)X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立的充分必要条件是0r =。
6. 当n 充分大时，独立同分布的随机变量12,,,n X X X 的和1n
i i X =∑近似服从正态
分布2(,)N n n μσ。
特别是当n 充分大时，若相互独立的随机变量12,,,n X X X 都服从“0-1”分
布，则1
n
i i X =∑服从二项分布(,)B n p ，近似服从正态分布(,)N np npq (1)q p =-,
这时1n i i P a X b φφ=⎛⎫⎛⎫⎧⎫
<≤≈-⎨⎬⎩⎭∑。
例1：分别求正态总体N （μ，σ2）在 （μ－σ，μ＋σ）；（μ－2σ，μ＋2σ）； 例2:某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ服从正态分布N （4，0.25），质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件， 测得它的外直径为5.7cm ，试问该厂生产的这批零件是否合格？
()25.04，服从正态分布由于N ξ由正态分布的性质知，正态分布N （4，0.25）在(4-3×0.5，4+3×0.5) 之外取值的概率只有0.003, ()5.5,5.27.5∉而
例3：公共汽车门的高度是按照保证成年男 子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的。
如果某地成年男子的身高 （单位：厘米）。
则车门应设计为多高?
解：设公共汽车门高设计为x ，由题意P 小于1%，
)(1)(),36,175(~x P x P N <-=≥∴ηηη 也就是,01.0)6
175
(
1<--=x φ,99.06175
(
>-）x φ .98.18833.26175,99.06175(>>->-x x x 即查表得）φ故公共汽车门的高度至少应
设计为189厘米
)()
4()2(.);2()4(.);
2()4(.;1)1(2.)11(,1,3),
,(~.42Φ-Φ-Φ--ΦΦ-Φ-Φ=≤<-==D C B A P D E N ξξξσμξ则已知例
1.
若正态曲线函数为2
)1(2
21)(--
=x e
x f π
，则)(x f ( B ）
A.有最大值，也有最小值
B.有最大值，没有最小值
C.无最大值，也无最小值
D.没有最大值，但有最小值
2.正态总体N(0,1)在区间（-2，-1）和（1，2）上取值的概率分别为p 1、p 2,则C A. p 1>p 2 B. p 1<p 2 C. p 1=p 2 D.不确定
3.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数)(x f 的图象，且8
)10(2
81)(--
=x e x f π
，则这
个正态总体
的均值与标准差分别是（ B ） A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10
4.生产过程中的质量控制图主要依据是（ D ） A ．工艺要求 B ．生产条件要求
C ．企业标准
D ．小概率事件在一次试验中几乎不可能发生原理 5.如果随机变量X ～N(μ，2
σ)，且EX=3，DX=1,则P(-1<X<1)=( D ) A.0.210 B.0.003 C.0.681
D.0.0215
6.已知ξ～N(0, 2
σ)且P(-2<ξ<0)=0.4,则P(ξ>2)=( A ) A.0.1 B.0.2
C.0.3
D.0.4
7.一个随机变量如果是众多的 、 互不相干的 、 不分主次的 偶然因素作用之和，它就服从或近似服从正态分布.
NCY00001.关于正态曲线，下列说法正确的是 . ②③ ①22)(21)(σμσ
πϕ--
=
x e
x 曲线上任一点M(x 0,y 0)的纵坐标y 0表示X=x 0的概率
②
⎰
∝
-a
dx x )(ϕ表示总体取值小于a 的概率
③正态曲线在x 轴上方且与x 轴一定不相交 ④正态曲线关于x=σ对称
⑤μ一定时，σ越小，总体分布越分散；σ越大，总体分布越集中.
HK00001.某镇农民年收入服从N(500,202)(单位：元) ,求此镇农民收入在[500，520]间人数的百分比.
解析：设X 表示此镇农民的收入，
由P(500-20<X ≤500+20)=0.6826
故P(500<X ≤520)
=2
1P(500-20<X ≤500+20)=0.3413
即此镇农民收入在[500，520]间人数约为34.13％.
JY00001. 某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N （4，0.25）.质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
欲判定这批零件是否合格，由假设检验基本思想可知，关键是看随机抽查的一件产品的尺寸是否在（μ-3σ，μ+3σ）内，还是在（μ-3σ，μ+3σ）之外. 由于圆柱形零件的外径ε～N （4，0.25），由正态分布的特征可知，正态分布N （4，0.25）在区间(4-3×0.5，4+3×0.5)即(2.5，5.5)之外取值的概率只有0.003，而)5.5,5.2(7.5∉，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，认为该厂这批产品是不合格的.。