初等数论一组题

初等数论一组题
1、a=169, b=121, 求a、b的最大公因数。

2、证明两整数a,b互质的充分与必要条件是:存在两个整数s,t满足
+=,
条件as bt1
3、求证31980+41981能被5整除.
4、求不定方程3710725
+=的整数解。

x y
5、设1010
a=，计算某星期一后的第天是星期几？
10
6、数100！的十进位制表示中，未尾连续地有多少位全是零？
7、一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
8、有一年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？
9、解同余方程273(mod137)
x≡。

10、证明不定方程x y
22317无解。

+=
1、a=169, b=121, 求a 、b 的最大公因数。

解：169112148=⨯+
12124825=⨯+
4812523=⨯+
251232=⨯+
231121=⨯+
221=⨯ 所以
1691211=（，） （此题考查学生辗转相除发的运用）
2、证明两整数a,b 互质的充分与必要条件是:存在两个整数s,t 满足条件as bt 1+=,
证明：1)充分性：因为as bt 1+=,设()c a,b =,则c|a,c|b,
所以c 整除as bt +,即c 整除1,所以c=1,即a 和b 互质
2)必要性：因为a 和b 互质，所以()a,b 1=。

考虑非空集合A {as bt s,t }=+│为任意整数,
不妨设0a 是A 中最小正整数且000a as bt =+,y 是A 中任意一个元素，
由带余除法()00y as bt q as bt r =+=++,00r a <=<,
则()()00r a s qs b t qt A =-+-∈，
若r 0≠,则r 是A 中比0a 更小之正整数，矛盾。

所以r 0=,从而0a |y,特别地有0a |a, 0a |b,所以0a |(a,b)=1,
因此0a =1,所以存在整数0s 和0t 使得00as bt 1+=证毕。

（此题考查学生对互质数的理解和掌握）
3、求证31980+41981能被5整除.
证明 3-2(mod5)≡,23-1(mod5)≡,4-1(mod5)≡
∴198099099039(1)(mod5)≡≡-,
1981990198149(1)(mod5)≡≡-,
∴19801981990198134(1)(1)0(mod5)+≡-+-≡
∴198019815|(34)+
4、求不定方程3710725x y +=的整数解。

解：先求3710725x y +=的一组特解，为此对37，107运用辗转相 除法：
10723733=⨯+，371334=⨯+，33841=⨯+
将上述过程回填，得：
133843794379(3733)933837
=-⨯=-⨯=-⨯-=⨯-⨯
9(107237)83791072637=⨯-⨯-⨯=⨯-⨯
37(26)1079=⨯-+⨯ 由此可知，126x =-,19y =是方程371071x y +=的一组特解， 于是025(26)650x =⨯-=-，0259225y =⨯=是方程3710725x y +=的一组 特解。

因此原方程的一 切整数解为：65010722537x t y t
=-+⎧⎨
=-⎩。

5、设10
1010a =，计算某星期一后的第天是星期几？
解:星期几的问题是被7除求余数的问题.
由于()103mod7≡，
于是()221032mod7≡≡，()331032361mod7≡≡⨯≡≡-，
因而()6101mod7≡.
为了把指数a 的指数1010写成6q r +的形式，
还需取6为模来计算1010.
为此我们有()104mod6≡，
进而有()221044mod6≡≡，()331044mod6≡≡，
依次类推，有()10104mod6≡
所以()101064mod6q ≡+
从而，()()64644410101011034mod 7q q q a +≡≡⨯≡⨯≡≡ 这样，星期一后的第a 天将是星期五.
6、数100！的十进位制表示中，未尾连续地有多少位全是零？ 解：命题等价于100！最多可以被10的多少次方整除。

因为1025=⨯,
因而100！中2的指数大于5的指数，所以100！中5的指数就是所需求出的零的位数。

由21001002042455α⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
, 即可知100！的未尾连续地有24位全是数码零。

7、一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？ 解：题中3、4、5三个数两两互质。

则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。

为了使20被3除余1，用20×2=40；
使15被4除余1，用15×3=45；
使12被5除余1，用12×3=36。

然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。

8、有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？
解：题中9、7、5三个数两两互质。

则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，
因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。

9、解同余方程273(mod137)x ≡。

解 ∵ ⎪⎭
⎫ ⎝⎛13773=1，∴()2x 73mod137≡有二个解 因为p=137，故0<y ≤34
取q=3，则2为3一平方非剩余。

解同余方程
()73137y 3mod3+≡
得()y 2mod 3≡，从不大于34的正整数中淘汰形如y=2+3t 的数， 即有下面
1，3，4，6，7，9，10，12，13，15，16，18，19，21，22，24，25，27，28，30，31，33，34。

再取q=5，2，3为g 的平方非剩余的同余方程
()73137y 2mod5+≡，()73137y 3mod5+≡
解为()y 2mod5≡ , ()y 0mod5≡，
再从前面的数中淘汰形如y=2+5t 和y=5t ，有下面
1，3，4，6，9，13，16，18，19，21，24，28，31，33，34。

又取q=7，3，5，6为g 的三个平方非剩余的同余方程 ()73137y 3,5,6mod7+≡的()y 0,4,6mod7≡
淘汰y=4+7t,7t,6+7t,就只留下了
1,3,9,16,19,24,31,33 。

将上述数代入2137y 73x +=及213737348422⨯+==
故()x 22mod137≡±为本题同余方程的解。

10、证明不定方程x y +=22317无解。

证：只要证()217mod 23x ≡无解即可，
()171mod 4≡ ∴17236233172123171717171733⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=======- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴()2 17mod 23x ≡无解，即原方程无解。