高中数学选择填空压轴题精选(解析几何1)资料
高中数学选择填空压轴题精选(解析几何1)
已知椭圆E ：22142x y +=,O 为坐标原点,A 、B 是椭圆E 上两点,且△AOB,则11||||OA OB +的最小值是 . 解法一（利用椭圆参数方程）设(2cos ), (2cos )A B ααββ,因为AOB S ∆=,所以12211||2AOB S x y x y ∆=-=,cos sin sin cos |αβαβ-=|sin()|1βα∴-=, cos()0βα∴-=,()2k k Z πβαπ=++∈,222222||||4cos 2sin 4cos ()2sin ()622OA OB ππαααα∴+=+++++=.下面求11||||OA OB +的最小值,有如下方法： ①均值不等式22||||||||32OA OB OA OB +⋅≤=,11||||3OA OB ∴+≥≥=. ②平方平均大于等于调和平均21111a b a b≥⇒+≥+,11||||OA OB +≥== ③权方和不等式33322211122222221111(11)||||(||)(||)(||+||)OA OB OA OB OA OB ++=+≥==当且仅当||||OA OB ==,等号成立,min 11()||||3OA OB ∴+=. ④权方和不等式+柯西不等式2211423||||||+||3122(||+||)OA OB OA OB OA OB +≥≥==. 点评:本解法利用椭圆的参数方程,得到了一个很重要的中间结论：|sin()|1βα-=. 一般地, 有如下结论：若11(,)A x y ,22(,)B x y 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上的动点, 且满足2AOB abS ∆=,则有：（1）22212x x a +=, 22212y y b +=；（2）22OA OBb k k a⋅=-. 解法二：（利用柯西不等式）设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由12211||22AOB S x y x y ∆=-=得 2222222221221121212128()()()[82()]()x y x y x x y y y y y y =-≤++=-++,（当且仅当12120x x y y +=时等号成立）.22212(2)0y y ∴+-=,22122y y ∴+=又221124x y +=,222224x y +=,则22221122228x y x y +++=,22124x x ∴+=, 进而222212126x x y y +++=,221123||||33||||2OA OB OA OB ∴+≥==+ 当且仅当||||3OA OB ==,11||||OA OB +取得最小值233.点评:本解法利用柯西不等式,实现等与不等的相互转化,相当精彩！解法三：（利用仿射变换,椭圆变圆）设伸缩变换2:2x x y τ'=⎧⎪⎨'=⎪⎩,则221x y ''+=,在该变换下,1122(,),(,)A x y B x y 的对应点分别为1122(,),(,)A x y B x y '''''', 而12211||2A OB S x y x y ''∆'''=-,122112211||2|2AOB S x y x y x y x y ∆'''=-=-, 所以12222AOB A OB A OB S S S ''''∆∆∆===,OA OB ''∴⊥,21||||x y ''∴=,21||||y x ''= ,2221x y ''∴=,2221y x ''=,22222222112211||||42426()6OA OB x y x y x y ''''''∴+=+++=+=,33322211122222221111(11)||||3(||)(||)(||+||)OA OB OA OB OA OB +∴+=+≥==当且仅当||||OA OB ==,11||||OA OB +取得最小值3.点评:本解法利用仿射变换,椭圆变圆,关键是发现OA OB ''⊥ .游数玩形,妙在转化！解法四：（齐次化）由12211||2AOB S x y x y ∆=-=及221124x y +=,222224x y +=,得22222122111222()(2)(2)x y x y x y x y -=++.(1)当直线OA 与OB 的斜率都存在时,两边同时除以2212x x ,得2222()(12)(12)OA OB OAOB k k k k -=++, 化简得2(21)0OA OB k k +=,12OA OB k k ∴=-,设:OA y kx =,则1:2OB y x k=-, 由222222244,121224A A y kx k x y k k x y =⎧⇒==⎨+++=⎩,22244||12k OA k +∴=+, 同理（将k 换成12k-）,得22228||21k OB k +=+,22|||| 6.OA OB ∴+=(2)当直线OA 或OB 的斜率为0或不存在时,也有22|||| 6.OA OB +=于是11||||3OA OB +≥==,当且仅当||||OA OB ==,等号成立, 因此11||||OA OB +的最小值为3.点评:本解法利用齐次化,得出OA 与OB 的斜率关系,接下来便顺理成章了.解法五：常规思路当直线OA 与OB 的斜率都存在时,设直线1:OA y k x =,直线1:OB y k x =,1122(,),(,)A x y B x y ,由221142x y y k x⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2121412x k =+,同理2222412x k =+.点B 到直线OA 的距离1222122211|||()|11k x y x k k d k k --==++, 因为2AOB S ∆=,所以221211121221|()|1111|||()|2221AOB x k k S OA d k x x x k k k ∆-=⋅=+⋅=-+,即122212122||221212k k k k -=++,即2212122||(12)(12)k k k k -=++, 所以212(21)0k k +=,即1212k k =-. 下同解法四.点评:与上述方法相比,本解法相对复杂一些,熟悉以下二级结论的话,过程会大大简化.【结论】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,A ,B 为椭圆C 上的动点,11(,)A x y ,22(,)B x y ,且满足22OA OBb k k a⋅=-,则有： （1）22212x x a +=,22212y y b +=,2222||||OA OB a b +=+；（2）2AOB ab S ∆=； （3）若M 为椭圆上一点,且OM OA OB λμ=+,则221λμ+=.相似题1(2011年山东卷理22题)已知动直线l 与椭圆22:132x y C +=交于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两不同点,且OPQ △的面积2OPQS ∆=,其中O 为坐标原点.（Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（Ⅰ）（Ⅰ）略.答案：22123x x +=,22122y y +=.相似题2已知椭圆E ：2212412x y +=,O 为坐标原点,A 、B 是椭圆E 上两点,OA ,OB 的斜率存在并分别记为,OA OB k k ,且12OA OB k k ⋅=-,则11||||OA OB +的最小值是（ ）A.6B.13C.3D.2答案：C.相似题3已知A ,B 是椭圆C ：221259x y +=上关于原点对称的两个点,P 、M 、N 是椭圆上异于AB 的点,且//AP OM ,//BP ON ,则MON ∆的面积为（ ）A.32 B. 32 C. 152 D.252答案：C.相似题4：如图所示,12,A A 分别是椭圆2212x y +=,的长轴的左右端点,O 为坐标原点,,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点,直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ,则22||||OS OT +等于（ ）A. 4B. 3C.32 D.52答案：B.相似题5：在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>,其焦点到相应准线的距离为3,离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图所示,A ,B 是椭圆C 上两点,且射线OA ,OB 的斜率满足34OA OB k k =-,延长OA 到M ,使得OM ＝3OA ,且MB 交椭圆C 于Q ,设OQ OA OB λμ=+,求证：①221λμ+=；②BMBQ 为定值.答案：5.。
2020年高考选择题填空题压轴系列1---解析几何部分
2020年高考选择题填空题压轴系列1----解析几何部分1、12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足212PF PF a ⋅=-uu u r uu u r ，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A. )+∞B. )+∞C.D.分析：求离心率的取值范围从题目中找出关于,,a b c 的不等式，不等式可以是题目存在的范围（例如,x y 或角的范围等等）解析：由已知得12,(,0)F c F c （-,0)，设点P （m,n)，则1=PF uu u r （-c-m,-n)，1=PF uu u r （c-m,-n)，222m n a +≥，222212m PF PF c n a ⋅=-+=-uu u r uu u r ，得2222m n c a +=-所以22222m n c a a +=-≥，22222c a e e ≥⇒≥⇒≥故选B方法点睛：通过题目中现有范围（如,x y ，焦半径的范围等等），转化成,,a b c 的不等式，进而转化成离心率的范围2、已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过F 点作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若2FM a =，记该双曲线的离心率为e ，则2e =（ ）A. 2B.4C. 2D. 4分析：求离心率题目，根据题目的条件构建一个,,a b c 的等式，本题2FM a =就是等式，只需转化为,,a b c 的等式即可.解析：由题意得,0)F c （，双曲线的方程为b y x a =±，不妨设M 在b y x a =上，则,)bc M c a （ 则2bc FM a a==，即22bc a =，由222b c a =-得2224)4c a c a -=（即22421)440e e e e -=⇒--=（，解得2e ，故选A 方法点睛：根据题目条件构建一个,,a b c 的等式，进而求出离心率.3、已知椭圆的方程为22+194x y =，过椭圆中心的直线交椭圆于,A B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则三角形2ABF 的周长的最小值为______,三角形2ABF 的面积的最大值为_____. 分析：要熟悉椭圆的的几何性质，结合题目条件，与焦点有关的性质，尤其是椭圆的定义及焦点三角形的性质.解析：如图因为椭圆的对称性得，四边形12F BF A 为平行四边形，显然2212+=2=6BF F A AF F A a +=，所以要使三角形2ABF 周长最小，只需=24AB b =，所以三角形2ABF 的周长的最小值为10. 因为212125252ABF F F A A S S c y ==⨯⨯== 方法点睛：遇到与焦点有关问题一定联系椭圆的定义及焦点三角形，注意两个焦点可以相互转换.4、已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，抛物线C 上的点,A B 满足4AF FB =uu u r uu r，若,A B 在准线上的射影分别为,M N ，且MFN ∆的面积为5，则AB =A. 94B. 134C. 214D. 254分析：本题是抛物线涉及到焦点弦的问题，设出焦点弦，用常规方法可以解决，也可以用平面几何的方法解决该问题.解析：(法一)由已知得，设过焦点F 的直线为()2p y k x =-，代入抛物线2:2(0)C y px p =>得22222(2)04p k k x pk p x -+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212=y y p -，又4AF FB =uu u r uu r 所以12=4y y -，又因为221251052MFN S p MN p MN y y p ∆==⇒==⇒=- 则1121281252,4,44y p x x AB x x p p =⇒===⇒=++=，故选D（法二）如图过点B 作x 轴的垂线，交x 轴的于G ,交AM 于H ,设BF a =，由4=4AF FB AF a =⇒uu u r uu r ，由抛物线的定义得BF BN a ==,=4AF AM a = 所以GF p a =-，43AH a a a =-= 由三角形相似得1833555p a p a GF a a -=⇒=⇒= 由勾股定理得4MN a =，由185255422544MFN S a a a p AB ∆==⋅⋅⇒=⇒==， 故选D方法点睛：焦点弦问题注意利用定义，特别还可用平面几何来解决会更加简单.5、已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以12,F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为,M N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积S 为232S p =，且满足，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 12y x =± B. 22y x =± C. 32y x =± D. 223y x =± 分析：根据双曲线的定义和性质，找到,a b 的关系，特别是焦点三角形的特点. 解析：由已知得，122MF MF a -=，且122p MF MF +=，所以得12=,44p p MF a MF a +=-因为以12,F F 为直径的圆，所以四边形12F NF M为矩形，所以2212=()()4416p p p S MF MF a a a =⋅+-=-，即2222232)3216p a p p a -=⇒=（ 因为22222212+4c 248p MF MF a c =⇒+=， 所以2222222222244322222b a ac a c a b a b a +=⇒==+⇒=⇒=± 故选BF AB M N xyG O H方法点睛：要重视双曲线定义和焦点三角形的性质.6、已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于两点,A B ，若在以线段AB 为直径的圆上存在两点,M N ，在直线:0l x y a ++=上存在点Q ，使得90MQN ︒∠=，则实数a 的取值范围（ ）A. [13,3]-B. [3,3]-C. [3,13]-D. [13,13]- 分析：本题的关键是把90MQN ︒∠=转化为点D 到点Q 的距离的范围，进而转化成点3,2)D （到直线:0l x y a ++==解析：设点,A B 两点的横坐标分别为12,x x ，线段AB 的中点为D ,过点F (1,0)且斜率为1的直线方程为1y x =-，联立得2216104y x x x y x =-⎧⇒-+=⎨=⎩，所以12+=6x x所以的中点坐标为3,2)D（，12++2=8,AB x x =所以以线段AB 为直径的圆的圆心为3,2)D （，半径为4，所以圆的方程为22(3)+(2)=16x y --，因为在圆上存在两点,M N ，在直线:0l x y a ++=上存在点Q ，使得90MQN ︒∠=，所以在直线上存在点Q ，使得点Q 到3,2)D（=，所以使得点Q 到3,2)D （的距离小于或等于=只需点3,2)D （到直线:0l x y a ++=的距离小于或等于即可，即133a ≤⇒-≤≤，故选A方法点睛：注意用极限位置法找出界点的取值，本题中使得点Q 到3,2)D（的距离小于或等=就是个极限位置。
高考解析几何压轴题精选
1、 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点(0,2)A 、若线段FA 的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为_____________。
(3分)2 、已知m ＞1,直线2:02m l x my --=,椭圆222:1x C y m +=,1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点、 (Ⅰ)当直线l 过右焦点2F 时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,12AF F V ,12BF F V 的重心分别为,G H 、若原点O 在以线段GH 为直径的圆内,求实数m 的取值范围、(6分) 3已知以原点O 为中心,)5,0F为右焦点的双曲线C 的离心率5e =（I ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程;（II ）如题(20)图,已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y (其中2x x ≠)的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上,直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点,求OGH ∆的面积。
(8分)4、如图,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞2,以该椭圆上的点与椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)、一等轴双曲线的顶点就是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线1PF 与2PF 与椭圆的交点分别为B A 、与C D 、、(Ⅰ)求椭圆与双曲线的标准方程;(Ⅱ)设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ,证明12·1k k =;(Ⅲ)就是否存在常数λ,使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由、(7分)5、在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B,右焦点为F 。
设过点T(m t ,)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m>0,0,021<>y y 。
高考数学选择填空压轴题45道(附答案)
,
D．
1,
27 e4
21．已知方程
e x 1
x
e2 x1 x aex1
有三个不同的根，则实数
a
的
取值范围为（ ）
A． 1,e
B．
e,
1 2
C． 1,1
D．
1,
1 2
22．函数 f (x) ex1 ex1 a sin （x x R ，e 是自然对数的底数，
a 0 ）存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为( )
38．若不等式 x e2x a x ln x 1恒成立，则实数 a 的取值范
围是__________.
39．已知函数 f x ln x e a x b ，其中 e 为自然对数的底
数.若不等式
f
x
0
恒成立，则
b a
的最小值为_______.
40．已知函数
f
(x)
x
2 cos
x
，在区间上
0,
4
A．
0,
2
B．
0,
2
C． (0,2]
D． (0,2)
23．已知 a 0 ，b R ，且 ex a(x 1) b 对 x R 恒成立，则 a2b 的 最大值为（ ）
A． 1 e5
2
B． 1 e5
3
C． 1 e3
2
D． 1 e3
3
k
24．若关于
x
的不等式
1 x
x
1 27
有正整数解，则实数
16 12
7
4
x
x
3y 6 y
的最小值为________.
8
参考答案，仅供参考
解析几何填空选择压轴题(含答案)解析-
201５解析几何填空选择压轴题（含答案）一.选择题(共1５小题)1.(2015•潍坊模拟)椭圆的左右焦点分别为F1，F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是()A. Ｂ．C．D．2.（201５•绥化一模)已知椭圆,F1,F２为其左、右焦点,P为椭圆C上除长轴端点外的任一点,△F１PＦ2的重心为G,内心Ｉ，且有（其中λ为实数)，椭圆C的离心率ｅ=（)Ａ．Ｂ．Ｃ. Ｄ.３.（2015•鹰潭二模)已知点Ａ（﹣１,０),Ｂ（1,０）及抛物线ｙ２=2ｘ，若抛物线上点P满足|PＡ|=m|PＢ|,则m的最大值为（)A. 3B. 2C. D．4.（2０15•大庆校级模拟)已知双曲线的标准方程为,Ｆ为其右焦点，A1,A２是实轴的两端点,设P为双曲线上不同于Ａ1,A２的任意一点,直线A1P，A2Ｐ与直线x＝a分别交于两点M，N，若，则a的值为( ）A． B. Ｃ. D.5.（2０1４•瓦房店市校级二模)已知抛物线y2=２px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点,且AF⊥ｘ轴,则椭圆的离心率为（）A．Ｂ. C. D.6.(201４•江北区校级模拟)如图，已知半圆的直径|AB|=2０，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点Ｍ、N与直线l的距离|MP｜、｜NQ｜满足条件,则｜ＡM|＋|ＡＮ｜的值为（)A. ２2 Ｂ．20 C．１８Ｄ. 16 7．(2013•东城区模拟)设F为抛物线y2=4x的焦点，A，Ｂ,C为该抛物线上三点，若++＝,则的值为(）A． 3 Ｂ．4C． 6 D． 9８．（20１３•重庆）设双曲线Ｃ的中心为点Ｏ，若有且只有一对相交于点Ｏ,所成的角为60°的直线Ａ１B1和A2B2,使｜A1B1｜=|A2Ｂ2｜，其中A１、B１和A２、B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( ）A. B．C．D．９．（2011•江西)如图,一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在远点O处，一顶点及中心M在Y轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中,“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”,其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中,将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（）A . Ｂ.C．D.１0．(2０10•陕西)已知抛物线y2=2ｐx（p＞0）的准线与圆(ｘ﹣3）2+y2=１６相切，则p 的值为( ）A．Ｂ．1 C. 2 D. ４11．(2010•重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A．直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线１2．（２009•天津)设抛物线y2=2x的焦点为F，过点Ｍ(,0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，｜BF|=２，则△ＢCF与△ＡCF的面积之比=()Ａ．Ｂ．C．D．1３.(2０0８•四川）已知抛物线Ｃ：y２＝8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K，点Ａ在C上且，则△AＦＫ的面积为(）A． 4 B. 8 C． 1６D．３214．(2008•海南)已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q(2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）Ａ. B．C． (1,2) Ｄ. (１，﹣２)15．（2０08•福建）双曲线(a>0，b>０)的两个焦点为F1、Ｆ2，若Ｐ为其上一点，且|PF1｜=2｜PF2|,则双曲线离心率的取值范围为()A．（1,3) B. (1，3]C．(3,+∞）D． [３，＋∞］二.填空题（共1５小题）16．(20１５•鞍山一模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在ｘ轴上,左右焦点分别为Ｆ1，F２，且它们在第一象限的交点为P,△ＰF１F2是以PＦ2为底边的等腰三角形.若|ＰF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为(１,2）.则该椭圆的离心率的取值范围是.１7．（20１5•上饶二模）以抛物线y２=２0x的焦点为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为．１8．（2015•射阳县校级模拟)已知椭圆,过右焦点Ｆ且斜率为k（k>0）的直线与Ｃ相交于A、B两点,若=.19．(2０14•福建模拟)若函数f(x）=lｏｇ2（x+１）﹣1的零点是抛物线x=ay2焦点的横坐标，则a＝.20.（2０１3•建邺区模拟)过抛物线y2=２ｐｘ(ｐ>０）的对称轴上的定点M（ｍ,0）(m＞0),作直线AB与抛物线相交于A,B两点.(1)试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；（２)若点Ｎ是定直线l:ｘ=﹣m上的任一点,试探索三条直线ＡN,MN,BＮ的斜率之间的关系，并给出证明.２１．(2０1２•湖北)如图,双曲线﹣=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1,F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F１B1F2B2，切点分别为Ａ，Ｂ，C，D.则:（Ⅰ)双曲线的离心率e=;(Ⅱ)菱形F1B1Ｆ２Ｂ２的面积S1与矩形ABＣD的面积S2的比值=．22．（2013•沈河区校级模拟）＋＝1上有一动点P，圆E:(ｘ﹣1)2+y2＝1，过圆心E任意做一条直线与圆E交于A、B两点，圆Ｆ：(x＋１）2＋y2=1,过圆心任意做一条直线交圆F于C、D两点，则•+•的最小值为.２3.(2012•庐阳区校级模拟）如图，椭圆的长轴为A1A2,短轴为B1Ｂ2,将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A２在平面B1A１B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．２4．（2013•江西）抛物线x2=2py（p>0）的焦点为F，其准线与双曲线=１相交于A，B两点,若△AＢF为等边三角形,则p= .２5．（2０13•湖南)设F1,F2是双曲线C：(a＞0，b＞０）的两个焦点．若在C上存在一点P.使PＦ1⊥PＦ2，且∠PＦ１F2＝３0°,则C的离心率为.2６．（２0１１•浙江)设F1，Ｆ２分别为椭圆+y2=１的焦点，点Ａ，Ｂ在椭圆上,若=5;则点Ａ的坐标是．2７．（2010•湖北）已知椭圆Ｃ:的两焦点为Ｆ1，F２,点P（x０,ｙ０)满足,则|PF1|＋PF2｜的取值范围为，直线与椭圆C的公共点个数.28．(201１•重庆)动圆的圆心在抛物线y２=８ｘ上,且动圆恒与直线ｘ+2=0相切，则动圆必过点.２9．（２0１0•上海)在平面直角坐标系中,双曲线Γ的中心在原点,它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、ｂ∈R),则a、b满足的一个等式是 .30．(2０07•重庆）过双曲线x2﹣y2＝4的右焦点F作倾斜角为1０50的直线,交双曲线于P、Q两点,则|FP｜•｜FQ|的值为．2015解析几何填空选择压轴题(含答案）参考答案与试题解析一.选择题（共15小题）1.（201５•潍坊模拟)椭圆的左右焦点分别为F1,Ｆ２,若椭圆Ｃ上恰好有6个不同的点P,使得△F1Ｆ2P为等腰三角形,则椭圆Ｃ的离心率的取值范围是（) A. B. C. D．考点：椭圆的简单性质.专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：分等腰三角形△F1F2Ｐ以F１F2为底和以F１Ｆ2为一腰两种情况进行讨论,结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于ａ、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围.解答：解:①当点P与短轴的顶点重合时，△Ｆ1F2Ｐ构成以F１F２为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P;②当△F1F2P构成以F１F2为一腰的等腰三角形时，以F２P作为等腰三角形的底边为例,∵F１F2=F1Ｐ,∴点Ｐ在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,存在２个满足条件的等腰△F1Ｆ２P,在△Ｆ1F2Ｐ1中，F1F2+PF1＞PF２,即２c+２c>２ａ﹣2c,由此得知3c＞ａ．所以离心率e＞.当e＝时,△Ｆ１F2Ｐ是等边三角形,与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时,在ｅ且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△Ｆ1Ｆ2P为等腰三角形综上所述,离心率的取值范围是:e∈（，）∪（,1)点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有６个不同点P使得△F1Ｆ2P为等腰三角形,求椭圆离心率e的取值范围.着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题．2．（2015•绥化一模）已知椭圆,F１,F２为其左、右焦点,P为椭圆C上除长轴端点外的任一点,△F１PＦ２的重心为G,内心I,且有(其中λ为实数）,椭圆C的离心率e=()A. B. Ｃ．Ｄ.考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题．分析：在焦点△F1PF2中，设Ｐ(ｘ0，y0),由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标,因为,故内心I的纵坐标与G相同,最后利用三角形F１ＰＦ2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立ａ、b、ｃ的等式,即可解得离心率解答：解:设P（x0,ｙ０),∵G为△Ｆ１PＦ2的重心，∴Ｇ点坐标为Ｇ（,),∵，∴IG∥x轴,∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|ＰF１|+｜PＦ2｜=2ａ,｜F１F2|=2c∴=•｜Ｆ1Ｆ2|•｜y0|又∵Ｉ为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1ＰF２分为三个底分别为△F１ＰＦ２的三边,高为内切圆半径的小三角形∴=(|PF1｜+|F１Ｆ2｜＋|PＦ2|)｜｜∴•｜F1F2|•|y0|=（|PF１｜＋|F1F２|+|PF2|)||即×2c•|y0|=(2a+2c)||,∴２c=a，∴椭圆C的离心率e==故选Ａ点评:本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用,椭圆离心率的求法３.（2015•鹰潭二模）已知点A(﹣1,０)，Ｂ（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足｜PA|=ｍ|ＰB|，则m的最大值为( )Ａ．３Ｂ. 2 Ｃ．Ｄ.考点：抛物线的简单性质.专题：计算题;压轴题．分析：由题意可得m2=＝＝=1＋≤3,可得m≤．解答:解：设P（,y）,由题意可得m2==＝=1+≤1+=３,∴m≤，当且仅当y2=2时,等号成立，故选Ｃ.点评:本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，基本不等式的应用,运用基本不等式求出ｍ2≤3，是解题的关键．4.(2015•大庆校级模拟）已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点,Ａ1，Ａ2是实轴的两端点，设Ｐ为双曲线上不同于A1,A２的任意一点,直线A1P，A2Ｐ与直线x=a分别交于两点M,N,若，则ａ的值为()Ａ．B．C．D．考点: 双曲线的简单性质.专题：综合题；压轴题.分析：双曲线，右焦点F（5．０),A1（﹣3，0),Ａ2(３，0),设P(ｘ,ｙ），Ｍ（a，m)，N（ａ，n），由P,A1,M三点共线,知，故m=,由P，A2,N三点共线,知，故n＝,由,和,能求出a的值．解答：解：∵双曲线，右焦点F(5,0），A１（﹣3,0)，A２（3，0），设P（x,ｙ),M（ａ,m），N(a,ｎ),∵P，A1,M三点共线，∴m=，∵P，Ａ2,N三点共线,∴,∴ｎ=,∵，∴,∴，，，∴=(a﹣5)2＋=（a﹣5)２＋，∵，∴(ａ﹣5）2+=0，∴２５a2﹣90ａ+81=０,∴a=．故选B．点评：本题考查双曲线的性质和应用,考查运算求解能力,推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性.解题时要认真审题,注意向量知识的合理运用．5．(2014•瓦房店市校级二模）已知抛物线y2＝2px（p＞0)与椭圆有相同的焦点F,点Ａ是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,则椭圆的离心率为( ）A．B．C． D.考点: 圆锥曲线的共同特征；抛物线的简单性质.专题: 计算题；压轴题.分析:设点Ａ坐标为(x0，y0）依题意可知＝,把ｘ0=代入椭圆方程求得关于y0的等式,根据抛物线定义可知y0＝2c代入等式整理可得关于离心率ｅ的一元二次方程求得e.解答:解：设点A坐标为（x０，y０)依题意可知=,x0＝代入椭圆方程得(*)根据抛物线定义可知ｙ0=ｐ=2=2ｃ∴y20=4c2，代入（*）式整理得a２﹣c2﹣2ac=0两边除以a2得ｅ2+2e﹣1=0,解得ｅ=或﹣﹣1(排除）故选D点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征.考查了学生对圆锥曲线知识的综合把握．6.（2０１4•江北区校级模拟)如图，已知半圆的直径|AＢ|=2０,l为半圆外一直线，且与BA 的延长线交于点T,｜AT｜＝４,半圆上相异两点M、N与直线ｌ的距离|MP|、|ＮQ｜满足条件,则|AM|+|AN｜的值为（）A．２2 B. 2０Ｃ．18 Ｄ．16考点: 圆与圆锥曲线的综合；抛物线的定义．专题: 计算题;压轴题.分析：先以ＡT的中点O为坐标原点，AＴ的中垂线为y轴，可得半圆方程为（x﹣12）2+ｙ２=100,根据条件得出M,N在以A为焦点，PＴ为准线的抛物线上,联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系,利用抛物线的定义即可求得答案．解答：解:以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴,可得半圆方程为(x﹣１2）2+y2=10０又,设M(x1，y１)，N（x2，y2),M,N在以A为焦点,ＰＴ为准线的抛物线上;以ＡT的垂直平分线为y轴，TA方向为x轴建立坐标系,则有物线方程为ｙ2=８ｘ（ｙ≥０),联立半圆方程和抛物线方程,消去y得：x2﹣16x+44=0∴x1+ｘ2=1６，｜AM｜+｜ＡN|=|ＭP|+|ＮＱ|=x1+ｘ2+４=2０．故选：B.点评:本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题．7.(2０13•东城区模拟）设F为抛物线ｙ2=4x的焦点,Ａ，B,C为该抛物线上三点，若＋＋＝,则的值为( )Ａ. 3 Ｂ．4 C. ６ D. 9考点：抛物线的简单性质；向量的模.专题: 计算题；压轴题.分析:先设A(ｘ，y1)，Ｂ(ｘ2,y2）,Ｃ（x３,y3),根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程,１再依据=0,判断点F是△ＡBC重心，进而可求x1+x２+x３的值.最后根据抛物线的定义求得答案．解答:解:设A（x1,y1）,B(x2，y2）,Ｃ(x3,ｙ3）抛物线焦点坐标Ｆ(１，0),准线方程：ｘ=﹣１∵=,∴点F是△AＢC重心则ｘ１+x2+x3＝３y1＋y2＋y3＝0而|FA｜=ｘ１﹣（﹣1)＝ｘ1+1|ＦB|=x２﹣（﹣1）=ｘ2+1|FC|＝x3﹣（﹣1)=ｘ3+1∴|ＦA|+|FB|+｜FC|=x１+1+x2+1＋x3＋1＝(x１+ｘ2+ｘ３）+3＝3+3=６故选Ｃ点评:本题主要考查了抛物线的简单性质.解本题的关键是判断出F点为三角形的重心．８.(2０１3•重庆）设双曲线Ｃ的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为６0°的直线A1B1和A2B2,使|A１B1|=|A2B２|，其中A1、B1和A２、B2分别是这对直线与双曲线Ｃ的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B．C．Ｄ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=｜A２B2｜及双曲线的对称性知A1,A2，Ｂ1,B2关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得,由此能求出双曲线的离心率的范围.解答：解：不妨令双曲线的方程为，由|Ａ1B1|＝|Ａ2B2|及双曲线的对称性知A1，Ａ２,Ｂ１，B2关于x轴对称，如图,又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为３0°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于３0°，双曲线与直线才能有交点A1,A2,B1,B2,若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点,则不可能存在|A１B1|=｜Ａ2B2｜，当直线与ｘ轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角小于６0°，双曲线与直线有一对交点A1，Ａ2，B1,B2，若双曲线的渐近线与ｘ轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于6０°，则有两对直线．不符合题意,∴tan３0°，即,∴,∵b2=ｃ２﹣a２,∴，∴,∴,∴双曲线的离心率的范围是.故选：A.点评:本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.9．（2011•江西)如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方,其“底端”落在远点Ｏ处，一顶点及中心M在Ｙ轴的正半轴上,它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”,其中心也在不断移动位置,则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（)A ．Ｂ.Ｃ．Ｄ.考点：圆锥曲线的轨迹问题.专题: 作图题；综合题；压轴题．分析：解答本题宜用排除法，本题中图形的中心M到三个顶点的距离最远，到三段弧的中点的距离最近,随着凸轮的滚动,M点离Ｘ轴的距离由小变大再由大变小,作周期性的变化,由图形可以看出，三角形的三个顶点到相对弧的中点位置是相等的,故当M在最高点与最低点时,凸轮最高点到X轴的距离相等,由这些特征即可排除错误选项.解答：解：令图中最高点为Ａ,根据题意，可令三角形边长为1,即AO＝1，由于M是中心,故可得AM=＞，故中心Ｍ的位置并非是处于凸轮最低与最高中间的位置,而是稍微偏下，随着转动，M的位置会先变高，当点C为最低点时，Ｍ最高,由此排除CD 选项,而对于最高点，当M最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同都是1,因此排除Ｂ，故选Ａ点评：本题考点是圆锥曲线的问题，考查根据实物的特征,探究其上某一点的位置变动规律，由此得出其轨迹的大体形状,本题轨迹方程不易求出,直接求解有困难,故根据其变化特征选择用排除法求解,做题时要根据题设条件的特征选择合适的方法解题．１0．(2０10•陕西)已知抛物线y２=2px(p＞０）的准线与圆(x﹣3）2+ｙ2=１６相切，则p的值为()A．Ｂ．1C． 2 D. 4考点：抛物线的简单性质.专题: 计算题；压轴题.分析:根据抛物线的标准方程可知准线方程为,根据抛物线的准线与圆相切可知求得p．解答:解:抛物线ｙ2＝2pｘ(p>０）的准线方程为，因为抛物线ｙ2=2px(p＞0）的准线与圆(ｘ﹣3）２+y2=１6相切，所以;故选C．点评：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系.11．（2010•重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（)A．直线B．椭圆Ｃ．抛物线Ｄ．双曲线考点：抛物线的定义;双曲线的标准方程.专题：计算题;压轴题;分类讨论.分析：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为ｘ轴,公垂线与x轴交点为原点,公垂线所在直线为ｚ轴,过ｘ且垂直于公垂线的平面为xoy平面,建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是(x,y，ｚ）根据它到两条异面直线的距离相等,求得z的表达式,把ｚ=0和ｚ=ａ代入即可求得ｘ和y的关系，根据其方程判断轨迹．解答：解:先做出两条异面直线的公垂线,以其中一条直线为x轴，公垂线与ｘ轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoｙ平面,建立空间直角坐标系,则两条异面直线的方程就分别是y＝0,z=０和x=０，z=a(a是两异面直线公垂线长度，是个常数)空间内任意点设它的坐标是（x，y,ｚ）那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即＝两边平方,化简可得z=(y２﹣x２+a2）过一条直线且平行于另一条直线的平面是z＝0和z=a分别代入所得式子z=0时代入可以得到y2﹣x２＝﹣a２，图形是个双曲线ｚ=a时代入可以得到y２﹣x2=ａ２，图形也是个双曲线故选D点评：本题主要考查了双曲线的方程.考查了学生分析归纳和推理的能力.12.（20０９•天津)设抛物线y２=2x的焦点为F，过点M(,０）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C,｜BＦ|=2，则△BCF与△ACＦ的面积之比＝（)A．B．C．Ｄ.考点：抛物线的应用;抛物线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据=,进而根据两三角形相似,推断出=,根据抛物线的定义求得=，根据|BF|的值求得Ｂ的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入,即可求得Ａ的坐标,进而求得的值，则三角形的面积之比可得.解答:解：如图过B作准线l：ｘ=﹣的垂线，垂足分别为A1，B１，∵=,又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|＝|BB1|＝2知ｘB=,ｙＢ=﹣,∴AB：y﹣０=（ｘ﹣）．把x=代入上式，求得y A=2,xＡ=2,∴|AF|=|AＡ1|=．故=＝＝.故选A.点评:本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质.考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．13．（200８•四川)已知抛物线C：ｙ２=8ｘ的焦点为Ｆ,准线与x轴的交点为K,点A在Ｃ上且，则△AFK的面积为( ）A. ４B．８ C. 16 D． 32考点：抛物线的简单性质．专题: 计算题；压轴题．分析:根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得Ｋ的坐标，设A（x0,y0)，过A点向准线作垂线AB,则Ｂ（﹣２，y０），根据及ＡＦ=AB=x0﹣（﹣2）=ｘ０+２,进而可求得A点坐标,进而求得△AＦK的面积．解答:解:∵抛物线Ｃ：y2=８x的焦点为F(２，0)，准线为x＝﹣2∴K（﹣2,0)设A(x0，y0)，过Ａ点向准线作垂线ＡＢ，则B(﹣2,y0）∵,又AF=AＢ=x0﹣(﹣2)=x0＋２∴由BK2＝AK2﹣AB２得y02＝（ｘ0+２）２,即8x0=(x０＋2）2,解得A(2,±4）∴△AＦK的面积为故选B．点评：本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置,在△ABK中集中条件求出x0是关键；14.（２００8•海南)已知点P在抛物线ｙ2=4x上,那么点Ｐ到点Q（2,﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为（)A．B．C． (1,2） D. （１,﹣２）考点: 抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题.分析:先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内,再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在S,P,Q三点共线时取得,可得到答案.解答:解：点Ｐ到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF＋PＱ=PＳ＋PＱ,故最小值在S,P，Q三点共线时取得，此时P,Q的纵坐标都是﹣1，故选A．点评:本题主要考查抛物线的定义，即抛物线是到定点的距离等于定直线的距离的点的集合. 15．（２008•福建）双曲线(ａ>0,b>0)的两个焦点为F1、Ｆ２，若Ｐ为其上一点,且｜PF１|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（）A．（1，３) B. （1，３]C．（３，+∞)D． [3，+∞]考点：双曲线的简单性质.专题: 计算题;压轴题．分析:可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线．也可用焦半径公式确定a与c的关系.解答：解：设|PF1|＝x,|ＰF2｜=y，则有，解得ｘ＝4ａ，ｙ＝２ａ，∵在△PＦ1F2中，x+y＞２c,即４a＋2ａ>2c,4a﹣2ａ＜2c，∴,又因为当三点一线时，4a+２a＝2c，综合得离心的范围是（1，3],故选B.点评:本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了关于离心率范围的确定.可以在平时的教学过程中总结常见的有关离心率的求法及范围的求法.二．填空题(共15小题)16．（２015•鞍山一模)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在ｘ轴上，左右焦点分别为F1,Ｆ2,且它们在第一象限的交点为Ｐ,△PF１Ｆ2是以ＰF2为底边的等腰三角形.若｜ＰF1|=１０，双曲线的离心率的取值范围为（1，2).则该椭圆的离心率的取值范围是(，) .考点: 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质.专题：压轴题;数形结合法．分析:作出图象,结合图象把问题转化为1＜＜２，求的取值范围.解答:解:如图，设双曲线的半实轴长,半焦距分别为ａ，c，２|PF1|=m，|PF２|=n,则⇒，问题转化为已知１＜<2，求的取值范围．设=x，则c=，=＝﹣.∵1＜ｘ<2,∴﹣<﹣<﹣,即＜﹣＜．故答案为：()．点评:本题考查双曲线的性质和应用,作出图象,数形结合,事半功倍.1７．(２015•上饶二模)以抛物线ｙ2=2０x的焦点为圆心,且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为（x﹣5)2+y2＝9.考点: 双曲线的简单性质;直线与圆的位置关系．专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程,求出圆的半径，即可得到圆的方程．解答：解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5,０）,双曲线:的两条渐近线方程为3x±4y=0由题意，r=3,则所求方程为(x﹣5）２+y2＝9故答案为：(ｘ﹣5）2+y2＝9．点评:本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．1８.（２0１5•射阳县校级模拟)已知椭圆,过右焦点F且斜率为k（k＞０）的直线与Ｃ相交于A、Ｂ两点,若=.考点: 直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题．分析:设l为椭圆的右准线，过Ａ、B作AA，BＢ1垂直于ｌ,A1，B1为垂足,过B作BE⊥AA1１于E,由=3知,||=，，由此可知．解答：解：设l为椭圆的右准线，过A、B作AA1，BＢ1垂直于l,A1,Ｂ1为垂足，过B作BE⊥ＡA1于Ｅ,则|AA1|=，｜ＢB1|=,由=3知，||=，∴,∴，∴ｔａn.∴．故答案：.点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答.１９．(20１4•福建模拟)若函数f(x）＝ｌog2（x+1)﹣1的零点是抛物线ｘ=ay２焦点的横坐标，则a=.考点: 抛物线的简单性质.专题：压轴题．分析:先求出函数ｆ(x）=ｌｏg２(x+1)﹣1的零点ｘ=１和抛物线ｘ=ay2焦点的横坐标,然后再求a.解答：解:由ｆ(ｘ）=ｌoｇ2（ｘ＋１)﹣1=0,知x＝１,抛物线x=ａy2焦点的坐标是F（），由题设条件知，∴a=．故答案为：.点评：本题考查抛物线的简单性质,解题时要认真审题，仔细解答,注意公式的合理运用.2０．（2013•建邺区模拟）过抛物线ｙ2=2pｘ（p>0)的对称轴上的定点Ｍ(ｍ,0)(ｍ>0），作直线AＢ与抛物线相交于A，Ｂ两点．(1）试证明Ａ,B两点的纵坐标之积为定值;（2）若点Ｎ是定直线l：ｘ=﹣m上的任一点，试探索三条直线AN，MN,BN的斜率之间的关系,并给出证明.考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;直线的一般式方程.专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：（1)设直线AB的方程为:x＝ｔy+m,与y2=２px联立,消去x得到关于ｙ的一元二次方程,利用根与系数的关系即可证明;(2)三条直线ＡN,MＮ,BN的斜率成等差数列．设点N（﹣m，n),则直线AN的斜率为,直线BN的斜率为,再利用（1）的结论即可证明．解答：（1）证明:.设Ａ（ｘ1，y1）,B(ｘ2,y2)有ｙ1•y2=﹣2ｐｍ，下证之:设直线ＡＢ的方程为：x＝ty+ｍ，与ｙ2=2px联立消去x得y2﹣２pty﹣2ｐm＝0，由韦达定理得y1•ｙ2=﹣2pm，(2）解:三条直线AN，MN，BN的斜率成等差数列，下证之：设点N(﹣m，n)，则直线AN的斜率为，直线BN的斜率为,∴＝＝=又∵直线MN的斜率为,∴k AＮ＋ｋBN=2k MＮ即直线AN，MN，BN的斜率成等差数列．点评：熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到一元二次方程的根与系数的关系、直线的斜率计算公式、等差数列的定义等是解题的关键．21．（2012•湖北)如图，双曲线﹣=1（ａ，b＞0)的两顶点为A1，Ａ2,虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F１，F２．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F１B1Ｆ２B２，切点分别为Ａ，Ｂ，Ｃ，D.则：(Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1Ｆ2B2的面积Ｓ１与矩形AＢCD的面积S2的比值= .考点：圆锥曲线的综合.专题: 综合题;压轴题.分析:（Ⅰ)直线B２F1的方程为ｂｘ﹣cy+bｃ=0，所以O到直线的距离为，根据以Ａ1A２为直径的圆内切于菱形F1Ｂ１Ｆ2B2，可得,由此可求双曲线的离心率；（Ⅱ)菱形F1B1Ｆ２B2的面积S１=２bｃ,求出矩形AＢCD的长与宽，从而求出面积S２=４mn=，由此可得结论．解答:解:(Ⅰ)直线B2F１的方程为bx﹣cy+ｂc＝0，所以O到直线的距离为∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,∴∴(c２﹣a2）c2=(２c2﹣a2)ａ2∴c4﹣3ａ２c2＋a4=0∴e4﹣3e2+1=0∵e>１∴e=（Ⅱ)菱形F1Ｂ１F２B2的面积S1=2bc设矩形ABCD，BC=２ｎ，BA=2m,∴∵m2+n2=a2，∴，∴面积S2＝4mn=∴==∵bc=a2=c2﹣b2∴∴=故答案为：,点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合,考查双曲线的性质,面积的计算,解题的关键是确定几何量之间的关系.22．（2０13•沈河区校级模拟)＋=1上有一动点Ｐ，圆E:(x﹣1)2+y2＝1，过圆心Ｅ任意做一条直线与圆E交于A、B两点,圆F：（x+１）２+ｙ2=1，过圆心任意做一条直线交圆F 于C、D两点,则•+•的最小值为6．考点：圆与圆锥曲线的综合.专题：计算题;压轴题．分析:先利用条件得出与互为相反向量，且长为1.再利用向量的三角形法则和向量的数量积的运算求出•的表达式；同理求出•,再与点P是椭圆上的点相结合即可求出结论．解答:解：设P(ａ，b）则由已知得与互为相反向量，且长为1．又∵=,=，∴=＋•（)＋＝+0﹣1=﹣１；同理可得=﹣1．故•＋•=+﹣２＝（a﹣1)２+b２+（a+1）２+ｂ2﹣2=２(a2＋b2)①．又因为点Ｐ(a，ｂ）在+＝1上,所以有=1⇒ｂ2=3(1﹣) ②．把②代入①整理得,•+•＝2（3+）≥6．故答案为6.点评:本题主要考查向量基本知识以及圆与圆锥曲线的综合问题.是对知识点的一个综合考查,属于中档题．23.(201２•庐阳区校级模拟)如图，椭圆的长轴为A1Ａ2，短轴为B1B２,将坐标平面沿ｙ轴折成一个二面角，使点A2在平面Ｂ１A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点,则此二面角的大小为.考点：椭圆的应用;循环结构；二面角的平面角及求法．专题: 综合题;压轴题．分析:确定椭圆中的几何量，确定二面角的平面角,利用点Ａ2在平面B1A１B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点,可求得cos∠A2OＦ1＝，即可求得结论.解答：解:由题意,椭圆中ａ=４，c=，∠A2OF1为二面角的平面角∵点A2在平面B1Ａ1Ｂ2上的射影恰好是该椭圆的左焦点∴在直角△Ａ2OF1中，cos∠A2ＯＦ1=∴∠A2ＯＦ1=即二面角的大小为故答案为:点评：本题考查椭圆与立体几何的综合，考查面面角,解题的关键是确定二面角的平面角. 24.(2０13•江西)抛物线ｘ2=2py(p＞０）的焦点为Ｆ,其准线与双曲线=1相交于A,B 两点，若△ABF为等边三角形，则p=6．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质.专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程．分析:求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．解答：解:抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y＝﹣,准线方程与双曲线联立可得:，解得x=±，因为△ABF为等边三角形,所以，即ｐ２=3x2，即,解得p＝6.故答案为:6.点评：本题考查抛物线的简单性质,双曲线方程的应用,考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．。
高考解析几何压轴题精选(含答案)
1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________。
（3分）2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.（6分）3已知以原点O 为中心，)F 为右焦点的双曲线C 的离心率2e =。
（I ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（II ）如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ∆的面积。
（8分）4.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·A B C D A B C Dλ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分）5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
压轴题06 解析几何压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题06解析几何压轴题题型/考向一：直线与圆、直线与圆锥曲线题型/考向二：圆锥曲线的性质综合题型/考向三：圆锥曲线的综合应用一、直线与圆、直线与圆锥曲线热点一直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，＋By＋C＝0，x－a）2＋（y－b）2＝r2，消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.热点二中点弦问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB 的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则k＝－b2a2·x0y0；(2)若双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则k＝b2a2·x0y0；(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝py0.热点三弦长问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.热点四圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1；双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2－y0yb2＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).热点五直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.二、圆锥曲线的性质综合热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.热点二椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2(e>1).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).热点三抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(3)1|FA|＋1|FB|＝2p.(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－p2相切.三、圆锥曲线的综合应用求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.○热○点○题○型一直线与圆、直线与圆锥曲线一、单选题1．过圆224x y +=上的动点作圆221x y +=的两条切线，则连接两切点线段的长为（）A ．2B ．1C 32D 3【答案】D【详解】令点P 是圆224x y +=上的动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则OA PA ⊥，而1||||12OA OP ==，于是260APB OPA ∠=∠= ，又||||3PB PA ==，因此PAB 为正三角形，||||3AB PA ==，所以连接两切点线段的长为3.故选：D2．过抛物线：()的焦点的直线交抛物线于，两点，若2AF BF AB ⋅=，则抛物线C 的标准方程是（）A ．28y x=B ．26y x=C ．24y x=D ．22y x=3．若直线0x y a +-=与曲线A ．[12,12]-+B ．(1C ．[2,12)+D ．(1【答案】B4．已知抛物线22y px =的焦点为4x =A ．4B ．42C ．8D ．【答案】D5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过FC 交于A ，B 两点，D 为AB 的中点，且DM l ⊥于点M ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，四边形DMFN的面积为，则p =（）A．B ．4C．D．因为30DN DF DFN ⊥∠=︒，，故223DF DE p ==，FN6．已知圆22:4C x y +=，直线l经过点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭与圆C 相交于A ，B 两点，且满足关系OM =（O 为坐标原点）的点M 也在圆C 上，则直线l 的斜率为（）A ．1B ．1±C ．D ．±故选：D.7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，斜率为32的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则椭圆的离心率为（）A ．22BC ．12D8．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y =与C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形12AF BF 为矩形，则C 的离心率为（）AB ．3C1D 1+二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()222:210C x y r r -+-=>，过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则（）A ．当圆C 与y 轴相切，且直线l 的斜率为1时，2AB =B ．当3r =时，存在l ，使得CA CB⊥C ．若存在l ，使得ABC 的面积为4，则r 的最小值为D ．若存在两条不同l ，使得2AB =，则r 的取值范围为()1,3故选：BC10．已知0mn ≠，曲线22122:1x y E m n +=，曲线22222:1x y E m n-=，直线:1x y l m n +=，则下列说法正确的是（）A ．当3n m =时，曲线1E 离心率为3B ．当3n m =时，曲线2E 离心率为103C ．直线l 与曲线2E 有且只有一个公共点D ．存在正数m ，n ，使得曲线1E 截直线l11．已知抛物线:4C x y =，过焦点F 的直线l 与交于1122两点，1与F 关于原点对称，直线AB 和直线AE 的倾斜角分别是,αβ，则（）A ．cos tan 1αβ⋅>B ．AEF BEF∠=∠C ．90AEB ∠>︒D ．π22βα-<【答案】BD【详解】作AD y ⊥轴于D ，作BC y ⊥轴于C ，则,DAF DAEαβ=∠=∠由()()1122,,,A x y B x y ，则()()120,,0,D y C y ，故选：BD.12．已知双曲线22:145x y C -=的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且1AF AB ⊥，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足25PF =的点P 共有两个C ．12AF =D ．1ABF 2○热○点○题○型二圆锥曲线的性质综合一、单选题1．设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若1123AF BF =，且223AF BF =，则该双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．32．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F F =P为C 上一点，1PF 的中点为Q ，2PF Q △为等边三角形，则双曲线C 的方程为（）．A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2222133x y -=D ．223318y x -=A ．6B ．3或C ．D ．或4．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的实轴为4，抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为(4,)P m ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．23y x =±D ．4y x =±故选：A5．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线.已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，有如下说法：①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④PO .其中所有正确的说法为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④6．如图所示，1F ，2F 是双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与双曲线C 的左支的交点A 平分线段1BF ，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．C D7．已知椭圆1和双曲线2的焦点相同，记左、右焦点分别为1，2，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，设点P 为1C 与2C 在第一象限内的公共点，且满足12PF k PF =，若1211e e k =-，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若从椭圆右焦点2F 发出的光线经过椭圆上的点A 和点B 反射后，满足AB AD ⊥，且3cos 5ABC ∠=，则该椭圆的离心率为（）．A ．12B 22C D则113cos 5AB ABF BF ∠==，sin ABF ∠可设3AB k =，14AF k =，1BF =由1122AB AF BF AF BF AF ++=++二、多选题9．已知曲线E ：221mx ny -=，则（）A ．当0mn >时，E 是双曲线，其渐近线方程为y =B ．当0n m ->>时，E 是椭圆，其离心率为eC ．当0m n =->时，E 是圆，其圆心为()0,0D ．当0m ≠，0n =时，E是两条直线x =10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点()1,0F a -和()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线，已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．若12F PF θ∠=，则12F PF △的面积为sin 2aθB ．022a a y -≤≤C ．双纽线C 关于原点O 对称D ．双纽线上C 满足12PF PF =的点P 有三个【答案】BC11．已知椭圆()2:1039C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2M在椭圆内部，点N 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）A ．离心率e 的取值范围为0,3⎛ ⎝⎭B ．存在点N ，使得124NF NF =C ．当6e =时，1NF NM +的最大值为62+D ．1211NF NF +的最小值为1如上图示，当且仅当2,,M N F12．已知P ，Q 是双曲线221x y a b-=上关于原点对称的两点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，MQ 交双曲线于点N ，设直线PQ 的斜率为k ，则下列说法正确的是（）A ．k 的取值范围是b bk a a-<<且0k ≠B ．直线MN 的斜率为2kC ．直线PN 的斜率为222b kaD ．直线PN 与直线QN 的斜率之和的最小值为ba2222PN QNb k b k k ka a +=+≥，当且仅当但PN QN k k ≠，所以等号无法取得，选项○热○点○题○型三圆锥曲线的综合应用1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>2倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．【详解】（1）由椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍，可得2a b =．所以()2222bb c =+．又()1,0F ，所以()2221bb =+，解得1b =．所以2a =．所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由()22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222218820k x k x k +++-=．则2122821k x x k -+=+，21228221k x x k -=+．因为线段AB 中点的横坐标为23-，所以2122422213x x k k +-==-+．2．已知抛物线：2＝2的焦点为(1，0)，过的直线交抛物线于，两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离(1)求双曲线C 的标准方程；(2)(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.4．如图，平面直角坐标系中，直线l 与轴的正半轴及轴的负半轴分别相交于两点，与椭圆22:143x y E +=相交于,A M 两点（其中M 在第一象限），且,QP PM N = 与M关于x 轴对称，延长NP 交㮋圆于点B .(1)设直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；(2)求直线AB 的斜率的最小值.5．已知双曲线C ：221a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．。
解析几何填空选择压轴题(含答案)解析(1)
解析几何填空选择压轴题(含答案)解析(1)20XX年解析几何填空选择压轴题（含答案）一．选择题（共15小题）1．（20XX年潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是2．（20XX年绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P（其为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有3．（20XX年鹰潭二模）已知点A（1，0），B（1，0）及抛物线y=2x，若抛物线上点P满4．（20XX年大庆校级模拟）已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点，A1，A2是2实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若5．（20XX年瓦房店市校级二模）已知抛物线y=2px （p＞0）与椭圆2，则a的值为（）6．（20XX年江北区校级模拟）如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）27．（20XX年东城区模拟）设F为抛物线y=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）8．（20XX年重庆）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C9．（20XX年江西）如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端”落在远点O处，一顶点及中心M在Y轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放10．（20XX年陕西）已知抛物线y=2px（p＞0）的准线与圆（x3）+y=16相切，则p的值22211．（20XX年重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另12．（20XX年天津）设抛物线y=2x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A、=（）B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比13．（20XX年四川）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上14．（20XX年海南）已知点P在抛物线y=4x上，那么点P 到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）2215．（20XX年福建）双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一二．填空题（共15小题）16．（20XX年鞍山一模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是．17．（20XX年上饶二模）以抛物线y=20x的焦点为圆心，且与双曲线：近线都相切的圆的方程为．18．（20XX年射阳县校级模拟）已知椭圆2的两条渐，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若= ．19．（20XX年福建模拟）若函数f（x）=log2（x+1）1的零点是抛物线x=ay焦点的横坐标，则a= ．20．（20XX年建邺区模拟）过抛物线y=2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m，0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A，B两点．（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；（2）若点N是定直线l：x=m上的任一点，试探索三条直线AN，MN，BN的斜率之间的关系，并给出证明．2221．（20XX年湖北）如图，双曲线=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e= ；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值= ．22．（20XX年沈河区校级模拟）+=1上有一动点P，圆E：（x1）+y=1，过圆心E任2222意做一条直线与圆E交于A、B两点，圆F：（x+1）+y=1，过圆心任意做一条直线交圆F于C、D两点，则23．（20XX年庐阳区校级模拟）如图，椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标+的最小值为．平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．24．（20XX年江西）抛物线x=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线B两点，若△ABF为等边三角形，则p=．25．（20XX年湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C2=1相交于A，上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为26．（20XX年浙江）设F1，F2分别为椭圆则点A的坐标是．+y=1的焦点，点A，B在椭圆上，若2=5；27．（20XX年湖北）已知椭圆C：的两焦点为F1，F2，点P（x0，y0）满足与椭圆C的公共点个，则|PF1|+PF2|的取值范围为，直线数．28．（20XX年重庆）动圆的圆心在抛物线y=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点．29．（20XX年上海）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，曲线Γ上的点P，若30．（20XX年重庆）过双曲线xy=4的右焦点F作倾斜角为105的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP| |FQ|的值为．222、分别是两条渐近线的方向向量．任取双（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．20XX年解析几何填空选择压轴题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（20XX年潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是2．（20XX年绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P（其为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有3．（20XX年鹰潭二模）已知点A（1，0），B（1，0）及抛物线y=2x，若抛物线上点P满24．（20XX年大庆校级模拟）已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点，A1，A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若，则a的值为（）B.C.D.考点：双曲线的简单性质. 专题：综合题；压轴题. 分析：双曲线菁优网版权所有,右焦点F(5.0) ,A1(3,0) ,A2(3,0) ,设P(x,y) ,M(a, ,故m= ,由和，能求，由P,m) ,N(a,n) ,由P,A1,M 三点共线，知A2,N 三点共线，知，故n= , 出 a 的值. 解答：解：∵双曲线,右焦点F(5,0) ,A1(3,0) ,A2(3,0) ,设P(x,y) ,M(a,m) ,N(a,n) , ∵P,A1,M 三点共线，∴m= ,∵P,A2,N 三点共线，∴ ∴n= , ,∵,∴,∴,,∴=(a5) +=(a5) +,第10 页(共32 页)5．（20XX年瓦房店市校级二模）已知抛物线y=2px（p＞0）与椭圆26．（20XX年江北区校级模拟）如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）7．（20XX年东城区模拟）设F为抛物线y=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）28．（20XX年重庆）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C9．（20XX年江西）如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端”落在远点O处，一顶点及中心M在Y轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放10．（20XX年陕西）已知抛物线y=2px（p＞0）的准线与圆（x3）+y=16相切，则p的值22211．（20XX年重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另12．（20XX年天津）设抛物线y=2x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A、=（）B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比代入，即可求得A 的坐标，进而求得的值，则三角形的面积之比可得.解答：解：如图过 B 作准线l:x= 的垂线，垂足分别为A1,B1,∵=,又∵△B1BC∽△A1AC、∴ = ,由物线定义==.由|BF|=|BB1|=2 知xB= ,yB= ∴AB:y0= (x ) .,把x=代入上式，求得yA=2,xA=2,∴|AF|=|AA1|= . 故故选A. = = = .第17 页(共32 页)13．（20XX年四川）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上14．（20XX年海南）已知点P在抛物线y=4x上，那么点P 到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）215．（20XX年福建）双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一二．填空题（共15小题）16．（20XX年鞍山一模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是（，）．17．（20XX年上饶二模）以抛物线y=20x的焦点为圆心，且与双曲线：222的两条渐近线都相切的圆的方程为（x5）．18．（20XX年射阳县校级模拟）已知椭圆，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若= ．。
2015解析几何填空选择压轴题(含答案)解析-(1)
第1页（共22页）2015解析几何填空选择压轴题（含答案）一．选择题（共15小题） 1．（2015•潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同2．（2015•绥化一模）已知椭圆，F 1，F 2为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C 的离心率e=（ ）4．（2015•大庆校级模拟）已知双曲线的标准方程为，F 为其右焦点，A 1，A 2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P ，A 2P与直线x=a 分别交于两点M ，N ，若，则a 的5．（2014•瓦房店市校级二模）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）与椭圆有相同的焦点F ，半圆上相异两点M 、N 与直线l 的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（ ）7．（2013•东城区模拟）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A ，B，C 为该抛物线上三点，若++=，则的值为（ ）8．（2013•重庆）设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）（2008•四川）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，13．上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和15．（2008•福建）双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF116．（2015•鞍山一模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是．17．（2015•上饶二模）以抛物线y2=20x的焦点为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为．18．（2015•射阳县校级模拟）已知椭圆，过右焦点F且斜率为k（k ＞0）的直线与C相交于A、B两点，若=．19．（2014•福建模拟）若函数f（x）=log2（x+1）﹣1的零点是抛物线x=ay2焦点的横坐标，则a=．20．（2013•建邺区模拟）过抛物线y2=2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m，0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A，B两点．（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；（2）若点N是定直线l：x=﹣m上的任一点，试探索三条直线AN，MN，BN的斜率之间的关系，并给出证明．第2页（共22页）21．（2012•湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．22．（2013•沈河区校级模拟）+=1上有一动点P，圆E：（x﹣1）2+y2=1，过圆心E任意做一条直线与圆E交于A、B两点，圆F：（x+1）2+y2=1，过圆心任意做一条直线交圆F于C、D 两点，则•+•的最小值为．23．（2012•庐阳区校级模拟）如图，椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．24．（2013•江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=．25．（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C ：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．26．（2011•浙江）设F1，F2分别为椭圆+y2=1的焦点，点A，B 在椭圆上，若=5；则点A的坐标是．27．（2010•湖北）已知椭圆C ：的两焦点为F1，F2，点P（x0，y0）满足，则|PF1|+PF2|的取值范围为，直线与椭圆C的公共点个数．28．（2011•重庆）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点．29．（2010•上海）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．30．（2007•重庆）过双曲线x2﹣y2=4的右焦点F作倾斜角为1050的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP|•|FQ|的值为．2015解析几何填空选择压轴题（含答案）参考答案与试题解析第3页（共22页）一．选择题（共15小题）1．（2015•潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同．时，e且e≠（，）∪（，2．（2015•绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）的纵坐标，因为，的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和第4页（共22页），），∴的纵坐标为=的纵坐标=||•|F（||×2c•|y||=3．（2015•鹰潭二模）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的=≤3．第5页（共22页）（==1+≤1+=3m≤4．（2015•大庆校级模拟）已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点，A1，A2是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若，则a的双曲线，右焦点，故，由三点共线，知n=，，解：∵双曲线，右焦点，，n=第6页（共22页），，，==+a=5．（2014•瓦房店市校级二模）已知抛物线y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，）依题意可知=，把代入等式整理可得关于离心率e）依题意可知=，代入椭圆方程得=2c）式整理得a2﹣c2﹣或﹣第7页（共22页）第8页（共22页）6．（2014•江北区校级模拟）如图，已知半圆的直径|AB|=20，l 为半圆外一直线，且与BA 的延长线交于点T ，|AT|=4，半圆上相异两点M 、N 与直线l 的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（ ）7．（2013•东城区模拟）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若++=，则的值为（ ）再依据=0=，∴点F 是△ABC 重心1122使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是不妨令双曲线的方程为轴对称，由满足条件的直线只有一对，得解：不妨令双曲线的方程为，tan30°，即，，∴，∴双曲线的离心率的范围是．轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（）第9页（共22页）AM=，故中心根据抛物线的标准方程可知准线方程为，根据抛物线的准线与圆相切可知）的准线方程为2所以第10页（共22页）=z=12．（2009•天津）设抛物线y=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）根据=，进而根据两三角形相似，推断出==代入，即可求的值，则三角形的面积之比可得．的垂线，垂足分别为=，=由拋物线定义==第11页（共22页）0=）x=代入上式，求得．===，根据∴由BK2=AK2﹣AB第12页（共22页）15．（2008•福建）双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则，则有，16．（2015•鞍山一模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是（，）．＜，求⇒＜，求=x，=﹣．，∴﹣＜﹣﹣，即﹣＜．第13页（共22页）第14页（共22页） （17．（2015•上饶二模）以抛物线y 2=20x 的焦点为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方22，双曲线：的两条渐近线方程为r =318．（2015•射阳县校级模拟）已知椭圆，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若= ． 由=3||=，由此可知解：设l 为椭圆的右准线，过为垂足，|==3知，||=，tan ．故答案：．本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．19．（2014•福建模拟）若函数f（x）=log2（x+1）﹣1的零点是抛物线x=ay2焦点的横坐标，则a=．，然后再求）由题设条件知．故答案为：．20．（2013•建邺区模拟）过抛物线y=2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m，0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A，B两点．（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；的斜率为的斜率为联立的斜率为的斜率为第15页（共22页）第16页（共22页） =的斜率为，21．（2012•湖北）如图，双曲线﹣=1（a ，b ＞0）的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2．若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e= ；（Ⅱ）菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值= ． ，根据以，由此可求双曲线的离心率；到直线的距离为，∴，∴，==故答案为：，22．（2013•沈河区校级模拟）+=1上有一动点P，圆E：（x﹣1）2+y2=1，过圆心E任意做一条直线与圆E 交于A、B两点，圆F：（x+1）2+y2=1，过圆心任意做一条直线交圆F于C、D两点，则•+•的最小值先利用条件得出与•的表达式；同理求出•，再与点解：设则由已知得与互为相反向量，且长为又∵，=第17页（共22页）第18页（共22页） +•（+01=同理可得﹣••=+）在=1上，所以有）把②代入①整理得，••=23+23．（2012•庐阳区校级模拟）如图，椭圆的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个二面角，使点A 2在平面B 1A 1B 2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为． 解：由题意，椭圆中即二面角的大小为故答案为：24．（2013•江西）抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线=1相交于A ，B 两点，若△ABF），准线方程与双曲线联立可得：，x=±为等边三角形，所以，即，解得25．（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，c|=由双曲线定义可知|PF|=2a=﹣=故答案为：本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题．26．（2011•浙江）设F1，F2分别为椭圆+y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若=5；则点A的坐标是，利用椭圆的焦半径的方程，解之即可得到点A的坐标．又∵由椭圆的对称性，得第19页（共22页）由于椭圆的，，，由于2，=5×=5∴（（﹣由①+②得：x1=0．分别为椭圆的焦点，则，设；则，所以，代入解得第20页（共22页）第21页（共22页） 27．（2010•湖北）已知椭圆C ：的两焦点为F 1，F 2，点P （x 0，y 0）满足，则|PF 1|+PF 2|的取值范围为 [2，2） ，直线与椭圆C 的公共点个数 0 ． 故范围为）在椭圆的内部，则直线上的点（）均在椭圆外，故此直线与=2a=2）在椭圆的内部，则直线本题考查椭圆的性质及其应用，画出图形，数形结合事半功倍．29．（2010•上海）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若（a 、根据是渐近线方向向量，进而可知双曲线渐近线方程根据c=第22页（共22页） ，求得双曲线方程，进而根据解：因为、所以双曲线渐近线方程为双曲线方程为，，化简得的值为 ． 解：∵． 代入x 2﹣y 2=4得：|FP|=|FQ|= 故答案为：。
高三数学解析几何压轴题训练——直线与圆
高三数学解析几何压轴题训练——直线与圆一、选择题1．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2解析：选D 由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线所在直线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上．又(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为2，圆心坐标为(2,2)，所以半径最小的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.2．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解析：选C 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，因此2＋a －1＝0，a ＝－1，即A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝(2＋4)2＋(1＋1)2－4＝6.3．若曲线y ＝1＋4－x 2与直线kx －y －2k ＋4＝0有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，512 B.⎝⎛⎦⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎤512，34D.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ 解析：选C 注意到y ≥1，曲线y ＝1＋4－x 2是圆x 2＋(y －1)2＝4在直线y ＝1的上方部分的半圆．又直线kx －y －2k ＋4＝0⇒y －4＝k (x －2)知恒过定点A (2,4)．如图，由B (－2,1)，知k AB ＝4－12－(－2)＝34，当直线与圆相切时，|－1－2k ＋4|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝512，故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤512，34.4．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6D ．2解析：选B 根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示．设点P 到圆心的距离为d ，求|AB |的最小值等价于求d 的最大值，易知d max ＝12＋32＝10，所以|AB |min ＝214－10＝4.5．已知P 是过三点O (0,0)，A (1,1)，B (4,2)的圆M 上一点，圆M 与x 轴、y 轴的交点(非原点)分别为S ，T ，则|PS |·|PT |的最大值为( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析：选B 设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)． 则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得D ＝－8，E ＝6，F ＝0.所以圆M 的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0， 即(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.令y＝0，得x2－8x＝0，解得x＝0或x＝8.令x＝0，得y2＋6y＝0，解得y＝0或y＝－6.所以S(8,0)，T(0，－6)．而圆心(4，－3)在直线ST上，所以PS⊥PT.即|PS|2＋|PT|2＝(2r)2＝100.所以|PS|·|PT|≤12(|PS|2＋|PT|2)＝50.所以(|PS|·|PT|)max＝50.6．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0解析：选B当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k＋2|k2＋1＝1，解得k＝－34，所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.7．若过点P(2,1)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y－7＝0相交于两点A，B，且∠ACB ＝60°(其中C为圆心)，则直线l的方程是()A．4x－3y－5＝0 B．x＝2或4x－3y－5＝0C．4x－3y＋5＝0 D．x＝2或4x－3y＋5＝0解析：选B由题意可得，圆C的圆心为C(－1,2)，半径为23，因为∠ACB＝60°，所以△ABC为正三角形，边长为23，所以圆心C到直线l的距离为3.若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2，与圆相交且圆心C到直线l的距离为3，满足条件；若直线l的斜率存在，不妨设l：y－1＝k(x－2)，则圆心C到直线l的距离d＝|3k＋1|k2＋1＝3，解得k＝43，所以此时直线l 的方程为4x －3y －5＝0. 8．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：选C 当|OA ―→＋OB ―→|＝33|AB ―→|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2.当k >2时，|OA ―→＋OB ―→|>33|AB ―→|.又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故k <22，综上，k 的取值范围为[2，22)．9．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0间距等于1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求的圆的半径的取值范围是(4,6)．10．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13解析：选C 法一：(排除法)由圆心在x 轴上，可排除A 、B ，又圆过(0,1)点，故圆的半径大于1，排除D ，选C.法二：(待定系数法)设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，圆C 与y 轴交于A (0,1)，B (0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan 60°＝|OA ||OC |＝1|OC |，所以a ＝|OC |＝33，即圆心坐标为⎝⎛⎭⎫±33，0，r 2＝|AC |2＝12＋⎝⎛⎭⎫332＝43.所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43.11．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°，在Rt △PAO 中，|PO |＝2，又圆M 的半径等于1，圆心坐标M (a ，a －4)， ∴|PO |min ＝|MO |－1，|PO |max ＝|MO |＋1， ∵|MO |＝a 2＋(a －4)2，∴由a 2＋(a －4)2－1≤2≤a 2＋(a －4)2＋1，解得2－22≤a ≤2＋22. 答案：⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22 12．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0解析：选D 当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠12，则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2，又|PQ |＝29－d 2，所以S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝(9－d 2)d 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92.因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．解析：法一：由题意，设M (2＋cos θ，2＋sin θ)，则N (2＋cos θ，－2－sin θ)，将N 的坐标代入kx ＋y ＋3＝0，可得sin θ－k cos θ＝2k ＋1.因为sin θ－k cos θ＝k 2＋1sin(θ－φ)，其中tan φ＝k ，所以|2k ＋1|≤k 2＋1，即3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的最小值为－43. 法二：圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴对称的圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 问题转化为直线kx ＋y ＋3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋2)2＝1有公共点N . 所以|2k －2＋3|k 2＋1≤1，即|2k ＋1|≤k 2＋1，解得－43≤k ≤0，故k 的最小值为－43.答案：－4314．已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.解析：如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°， 从而∠BDP ＝60°. 在Rt △BOD 中， ∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线， ∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4. 答案：415．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上不同的两点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是________．解析：由题意知圆心⎝⎛⎭⎫－k 2，0在直线x －y －1＝0上，所以－k2－1＝0，解得k ＝－2，得圆心的坐标为(1,0)，半径为1.又知直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，所以圆心(1,0)到直线AB 的距离为322，所以△PAB 面积的最大值为12×22×⎝⎛⎭⎫1＋322＝3＋ 2.答案：3＋ 216．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两条平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两条平行直线和圆有一个，两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”，已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是________．解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝5， 圆心(－1,0)，r ＝5，两直线分别与圆相切时对应的a 的边界值为：|－2＋a 2＋1|5＝5时，a ＝±6； |a －2|5＝5时，a ＝－3或a ＝7， 所以a 的边界值分别为－3,7，±6.由题意可知，两平行直线中必有一条与圆相切，另一条与圆相离，相切，相交三种情况都满足题意，故a ∈[]－3，－6∪[]6，7.答案：[]－3，－6∪[]6，7。
高中数学解析几何选填压轴专题(学生版)
圆锥曲线选填压轴专题11．（2021·安徽黄山市·高二期末（理））如图，AB∩α＝B ，直线AB 与平面α所成的角为75°，点A 是直线AB 上一定点，动直线AP 与平面α交于点P ，且满足∠PAB＝45°，则点P 在平面α内的轨迹是（ ） A ．双曲线的一支 B ．抛物线的一部分C ．圆D ．椭圆2．（2022·四川省南充市白塔中学高二开学考试（理））长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，12AA =，P 为该正方体侧面11CC D D 内（含边界）的动点，且满足tan tan 23PAD PBC ∠+∠=.则四棱锥P ABCD -体积的取值范围是（ ）A ．220,3⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．4323,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．230,3⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．4322,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．（2019·安徽合肥市·合肥一中高二开学考试）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k = A ．1 B ．2C ．3D ．24．（2022·河南高二月考（理））如图，椭圆C 的方程为22143x y +=，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，点P 、Q 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且12//PF QF ，则12PF QF +的取值范围为（ ）.A ．[)2,4B ．[)3,4C ．[)1,4D ．()1.5,45．（2021·福建省泰宁第一中学高二月考（文））设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，12PF PF λ=，(122λ≤≤)，122F PF π∠=，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A ．2(0,]2B ．25[,]23C ．25[,]33D ．5[,1)36．（2020·福建龙岩市·高三其他模拟（理））已知抛物线C 1：21615y x =和圆C 2：(x -6)2+(y -1)2=1，过圆C 2上一点P 作圆的切线MN 交抛物线C ，于M ，N 两点，若点P 为MN 的中点，则切线MN 的斜率k >1时的直线方程为（ ） A ．4x -3y -22=0 B ．4x -3y -16=0C ．2x -y -11+5=0D ．4x -3y -26=07．（2022·四川成都市·树德中学高二月考（理））已知12,F F ，分别为椭圆22142x y +=的左右焦点，P 为椭圆上一动点，2F 关于直线1PF 的对称点为1,M F ，关于直线2PF 的对称点为N ，当MN 最大时，则点P 到x 轴的距离为（ ）AB ．1CD8．（2022·河南高二月考（文））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12122PF PF PF PF ⋅=⋅，若12F PF △的内切圆的半径r 满足1123sin PF r F F P =∠，则椭圆的离心率为（ ）A ．47B ．23C ．37D ．139．（2021·湖南长沙市·高三月考）已知A ､B 分别为椭圆C ：2214x y +=的左､右顶点，P 为椭圆C 上一动点，PA ，PB 与直线3x =交于M ，N 两点，PMN 与PAB △的外接圆的周长分别为1L ，2L ，则12L L 的最小值为（） A．4B．4C ．4D ．1410．（2021·全国高三专题练习（文））已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则12QF QF ⋅=( ) A．B ．4C ．3D ．111．（2020·全国高三专题练习（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F 与短轴的两个端点1B ，2B 都在圆221x y +=上，P 是C 上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的平分线交C 的长轴于点M ，则12MB MB +的取值范围是（ ）A．⎡⎣ B．⎡⎣C．⎡⎣D．2,⎡⎣12．（2020·江西南昌市·南昌二中高二月考（文））椭圆与双曲线共焦点1F 、2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F 、2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则（ ）A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+= C ．2212221cos sin e e θθ+= D ．2212221sin cos e e θθ+=13．（2022·山东潍坊市·高二月考）已知椭圆1C ：2222111x y a b +=（110>>a b ）与双曲线2C ：2222221x y a b -=（20a >，20b >）有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两曲线的一个公共点，且120PF PF ⋅=，若1e ，2e 分别是两曲线1C ，2C 的离心率，则222144e e +的最小值是（ ）A ．2B ．258C ．198D ．414．（2020·云南曲靖市·高三月考（理））已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，1290F PF ∠=︒.若12PF F ∆的内切圆面积为24c π，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B C ．23D ．315．（2022·江西景德镇市·高二期末（理））已知F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22224c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且4PF QF =，则椭圆C 的离心率等于( )A ．13B ．12C D16．（2022·湖南长沙市·雅礼中学高二期中）已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线by x a=对称，则该双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．217．（2022·安徽安庆市·高三其他模拟（理））已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左，右焦点，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，设点(),H H H x y ，(,)G G G x y 分别为12AF F △，12BF F △的内心，若3H G y y =，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．C ．(1,2]D ．(1,2)18．（2022·全国高二开学考试）已知12,F F 分别为双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A B 、两点（其中点A 在第一象限），设点,H G 分别为12AF F △、12BF F △的内心，则||HG 的取值范围是（ ）A ．(3,4]B ．[3,4)C ．(4,5]D ．[4,5)19．（2021·湖北高三月考（文））过双曲线22221(0)x y a b a b-=>>右焦点2F 的直线交两渐近线于,P Q 两点，90OPQ ︒∠=，O 为坐标原点，且OPQ ∆内切圆的半径为3a，则该双曲线的离心率为（ ）A B CD20．（2019·安徽高三开学考试（理））已知双曲线2222:1x y C a b-=的两条渐近线分别为1l 与2l ，A 与B 为1l 上关于原点对称的两点，M 为2l 上一点且AM BM k k e ⋅=，则双曲线离心率e 的值为（ ）A B C ．2 D21．（2019·安徽省太和中学高二期末（理））已知()12,0F -、()22,0F 分别为()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若PQ =C 的离心率为（ ）A B C D22．（2022·上海高三专题练习）在圆锥PO中，已知高2PO=，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（）①圆的面积为4π；37；③双曲线两渐近线的夹角正切值为3 4 -45.A．1个B．2个C．3个D．4个23．（2020·四川成都七中高二期中）已知椭圆C:22184x y+=的下顶点为A，点B是C上异于点A的一点，若直线AB与以1(0,)3M-为圆心的圆相切于点P，且14AP AB=，则tan ABM∠=（）A．12B．23C5D．3224.（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为( )A ．12 B C D25.（2020·湖北·武汉大学高三）过椭圆22149x y +=的中心作两条互相垂直的弦AC 和BD ，顺次连接,,,A B C D 得一四边形，则该四边形的面积可能为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．1626．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）已知圆C 的方程为()22116x y -+=，()1,0B -，A 为圆C 上任意一点，若点P 为线段AB 的垂直平分线与直线AC 的交点，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．221169x y +=B ．221169x y -=C ．22143x y +=D ．22143x y -=27.（2022·全国·高三专题练习）已知定点(,0)P m ，动点Q 在圆O ：2216x y +=上，PQ 的垂直平分线交直线 OQ 于M 点，若动点M 的轨迹是双曲线，则m 的值可以是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．528.（2022·全国·高二期中）如图，在三棱锥D ABC -中，,1,1AD BC BC AD ⊥==．且2AB BD AC CD +=+=，则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）A ．14B ．212C ．36D ．52429．（2021·吉林·长春十一高高二阶段练习）已知椭圆 22116x y += 的左右焦点为1F 、2F ，点P 为椭圆上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，线段QN 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为___________.30.（2020年湖北高三联考改编）过双曲线)0(12222>>=-b a by a x 右焦点F 的直线交两渐近线于B A ,两点，若0=⋅AB OA ，O 为坐标原点，且AOB ∆内切圆半径为a 213-，则该双曲线的离心率为（ ） A.332 B.3 C.334 D.13+练习1．（2022·甘肃定西·高二开学考试（理））如果椭圆221(8)89x y k k +=>-+的离心率为12e =，则k =（ ） A ．4B ．4或54-C ．45-D ．4或45-2．（2022·陕西渭南·高一期末）已知抛物线216y x =与直线1y kx =+有且仅有一个交点，则k =（ ） A ．4B ．2C ．0或4D ．83．（2022·全国·高二课时练习）椭圆22110064x y +=的焦点为1F ，2F ，椭圆上的点P 满足1260F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（ ）A B C D ．6434．（2022·全国·高二专题练习）如图，点A 是平面α外一定点，过A 作平面α的斜线l ，斜线l 与平面α所成角为50︒．若点P 在平面α内运动，并使直线AP 与l 所成角为35︒，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线的一支5．（2022·全国·高二课时练习）已知A ，B ，P 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上不同的三点，且点A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D 6．（2022·全国·高三专题练习）已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，M 为右支上一点，2112120,MF F MF F ∠=︒的内切圆圆心为Q ，直线MQ 交x 轴于点N ，||2||MQ QN =，则双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．43C ．3D ．28．（2022·全国·高三专题练习）已知12,F F 分别是双曲线22:139x yC -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，△12AF F 和△12BF F 的内心分别为M ，N ，则||MN 的取值范围是（ ） A ．[23,4)B ．[23,3)C ．[23,)+∞D ．(23,3)9．（2022·全国·高二期末）已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则221231e e +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．（2022·河南·濮阳一高高二阶段练习（理））如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，12=4F F ，P 是双曲线右支上的一点，12PF PF ⊥，直线2F P 与y 轴交于点A ，1APF △的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是（ ）A 2B 3C ．22D ．211．（2022·全国·高三专题练习）已知A ､B 分别为椭圆C ：2214x y +=的左､右顶点，P 为椭圆C 上一动点，PA ，PB 与直线3x =交于M ，N 两点，PMN 与PAB △的外接圆的周长分别为1L ，2L ，则12L L 的最小值为（ ）ABCD ．1412．（2020·上海交大附中高二期中）如图，设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点，已知,OA OB OM AB ⊥⊥，则点M 的轨迹方程为（ ） A ．2220x y px +-= （原点除外） B ．2220x y py +-=（原点除外） C ．2220x y px ++= （原点除外） D ．2220x y py ++=（原点除外） 二、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点12F F ､，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，点P 为椭圆1C 与双曲线2C 的第一象限的交点，且123F PF π∠=，则1212e e e e +的取值范围是___________.14．（2022·湖南·株洲二中高二阶段练习）已知双曲线C ：221916x y -=，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上的第一象限内的点，点I 为12PF F △的内心，12IF F △的面积的取值范围是__________．15.（2019年四川绵阳高三模拟12题）点21,F F 分别是双曲线1322=-y x 的左右焦点，点P在双曲线上，则21F PF ∆的内切圆半径r 的取值范围为（ ） A.)3,0( B.)2,0( C.)2,0( D.)1,0(。
最近五年高考数学解析几何压轴题大全(含答案)
.最近五年高考数学解析几何压轴题大全（含答案）1.【2009 年陕西卷】21．（本小题满分12 分）已知双曲线 C 的方程为2 2y x2 2 1( 0, 0)a ba b，离心率5e ，顶点到渐近线的2距离为 2 55。
（I ）求双曲线C的方程；(II) 如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1AP PB, [ ,2] ，求AOB 面积的取值范围。
3【答案】21．（本小题满分14 分）已知双曲线C的方程为2 2y x2 2 1(a 0,b 0),a b离心率5e , 顶点到渐近线的距离为22 55.（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）如图，P 是双曲线C上一点，A,B 两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限. 若1AP PB, [ , 2], 求△AOB面积的取值范围.32 5解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点(O, a) 到渐近线ax by 0的距离为，5∴ab 2 5 ab 2 5, ,即2 2 5 c 5a bab25 5 5 22y42 1.xa2,,cb1,c由得∴双曲线C的方程为ac5,2 2 2c a b..（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y 2x.设A(m,2 m), B( n,2 n), m 0,n 0.由A P PB 得P点的坐标为m n 2(m n) ( , ), 1 1将P 点坐标代入2y42 1,x 化简得mn2(1 n)4.设∠AOB1 1 42 , tan( ) 2, tan ,sin ,sin 2 .2 2 2 5又|OA | 5m |OB | 5n41 1 1S |OA | |OB | sin 2 2mn ( ) 1.AOB2 2记由1 1 1S( ) ( ) 1, [ ,2],2 318 9得又S(1)=2,S(S'( ) 0 1, ) , S(2) ,33 4当1时，△A OB的面积取得最小值2，当13时，△AOB的面积取得最大值83.∴△AOB面积的取值范围是8 [2, ].3解答二（Ⅰ）同解答一（Ⅱ）设直线AB的方程为y kx m,由题意知|k| 2,m 0.由{y kx my 2x 得A 点的坐标为( , 2 ),m m2 k 2 k由{ y kx my 2x得B 点的坐标为( , 2 ).m m2 k 2 k由AP PB得P点的坐标为m 1 2m 1( ( ), ( )), 1 2 k 2 k 1 2 k 2 k将P 点坐标代入2 2 2 y 4m (1 )2x 得1 .24 4 k设Q为直线AB与y 轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.1 1 1S S S | OQ | | XA | |OQ | | x8| m (xA xB) AOB AOQ BOQ2 2 2=21 m m 1 4m 1 1m( ) ( ) 1.22 2 k 2 k 2 4 k 2.. 以下同解答一.2.【2010 年陕西卷】20. （本小题满分13 分）2 2x y: 12 2a b 的顶点为A1, A2 , B1,B2，焦yB2l如图，椭圆 CA点为F1,F2, | A B | 7 ，1 1 S 1 12 2 2S 1 1 2 2A B A B B F B FPn（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于F点、与A1 F1 o xA 2F2B椭圆相交于A,B 亮点的直线，| OP |=1 ，是否存在上述直线B1 l 使AP PB 1成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。
高考数学压轴大题解析几何
高考数学压轴大题-解析几何1. 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.I 求双曲线C 的离心率e 的取值范围：II 设直线l 与y 轴的交点为P ,且.125PB PA =求a 的值.解：I 由C 与t 相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y 并整理得1－a 2x 2+2a 2x －2a 2=0. ① 双曲线的离心率II 设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A由于x 1+x 2都是方程①的根,且1－a 2≠0,2. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点,P 为C 上任意一点,且向量21PF PF 与向量的夹角余弦的最小值为31.Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,求OMN ∆O 为原点的面积的最大值及相应的直线l 的方程.解：Ⅰ设椭圆的长轴为2a ,a 2=+22==c =2121221242)(PF PF PF PF PF PF ⋅-⋅-+=1244212-⋅-PF PF a又212PF PF ⋅≥∴221a PF PF ≤⋅即31211244cos 222=-=--≥aa a θ ∴32=a ∴椭圆方程为12322=+y x Ⅱ 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N()1111212OMN F OM F ON S S S OF y y ∆∆∆=+=+=2121y y -即 044)32(22=--+my y m . 由韦达定理得:∴212212214)(y y y y y y -+=-= 3216)32(162222+++m m m =222)32()1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t ∴221y y -=41448)12(482++=+tt t t .又令tt t f 14)(+=, 易知)(t f 在1,+∞上是增函数,所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5.∴221y y -有最大值316∴OMN S ∆ 的面积有最大值332.直线l 的方程为1-=x .3. 椭圆E 的中心在原点O,焦点在x 轴上,离心率e过点C 1,0的直线l 交椭圆于A 、B 两点,且满足：CA =BC λ 2λ≥．Ⅰ若λ为常数,试用直线l 的斜率kk ≠0表示三角形OAB 的面积． Ⅱ若λ为常数,当三角形OAB 的面积取得最大值时,求椭圆E 的方程．Ⅲ若λ变化,且λ= k 2＋1,试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时,椭圆E 的短半轴长取得最大值并求出此时的椭圆方程．解：设椭圆方程为22221+=x y a ba ＞b ＞0,由e =caa 2=b 2c 2得a 2=3 b 2,故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ① Ⅰ∵直线l ：y = kx ＋1交椭圆于Ax 1,y 1,Bx 2,y 2两点,并且CA =BC λ λ≥2, ∴x 11,y 1 =λ1x 2,y 2, 即12121(1)x x y y λλ+=-+⎧⎨=-⎩ ②把y = kx 1代入椭圆方程,得3k 21x 26k 2x 3k 23b 2= 0, 且 k 2 3b 21b 2＞0 ,∴x 1x 2= 22631k k +, ③x 1x 2=2223331k b k -+, ④∴O A B S ∆=12|y 1y 2| =12|λ1|·| y 2| =|1|2λ+·| k |·| x 21|．联立②、③得x 21=22(1)(31)k λ-+,∴O A B S ∆=11λλ+-·2||31k k + k ≠0．ⅡO AB S ∆=11λλ+-·2||31k k + =11λλ+-·113||||k k + ≤11λλ+-λ≥2． 当且仅当3| k | =1||k ,即k=,O AB S ∆取得最大值,此时x 1x 2= 1． 又∵x 11= λ x 21,∴x 1=11λ-,x 2= 1λλ-,代入④得3b 2=221(1)λλ+-．此时3b 2≥5,,k b 的值符合故此时椭圆的方程为x 2＋3y 2=221(1)λλ+-λ≥2．Ⅲ由②、③联立得：x 1=22(1)(31)k λλ--+1, x 2=22(1)(31)k λ-+1,将x 1,x 2代入④,得23b =224(1)(31)k λλ-+1．由k 2=λ1得23b =24(1)(32)λλλ-- 1=432212(1)(1)(32)λλλ⎡⎤+⎢⎥---⎣⎦＋1．易知,当2λ≥时,3b 2是λ的减函数,故当2λ=时,23b 取得最大值3． 所以,当2λ=,k =±1符合时,椭圆短半轴长取得最大值, 此时椭圆方程为x 2 3y 2 = 3．4. 已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线. I 求椭圆的离心率；II 设M 为椭圆上任意一点,且(,)OM OA OB λμλμ=+∈R ,证明22μλ+为定值.解：I 设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入.化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线,得II 证明：由I 知223b a =,所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),(y x M 在椭圆上,即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由I 知.21,23,23222221c b c a c x x ===+又222222212133,33b y x b y x =+=+又,代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值,定值为1.5. 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F,O 为坐标原点.I 求过点O 、F,并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；II 设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G,求点G 横坐标的取值范围.解：I 222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=-圆过点O 、F,∴圆心M 在直线12x =-上;设1(,),2M t -则圆半径由,OM r =3,2=解得t =∴所求圆的方程为2219()(.24x y ++=II 设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F,∴方程有两个不等实根; 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则21224,21k x x k +=-+AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-6. 已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为 I 证明线段AB 是圆C 的直径;II 当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为5时,求p 的值; I 证明1:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅=设Mx,y 是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ⋅= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 整理得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径 证明2:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)设x,y 是以线段AB 为直径的圆上则 即2112211(,)y y y y x x x x x x x x --⋅=-≠≠-- 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将1代入得: 故线段AB 是圆C 的直径 证明3:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅= 12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)以线段AB 为直径的圆的方程为展开并将1代入得: 221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径 II 解法1:设圆C 的圆心为Cx,y,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅=所以圆心的轨迹方程为222y px p =- 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则当y=p 时,d=2p ∴=. 解法2: 设圆C 的圆心为Cx,y,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅=所以圆心的轨迹方程为222y px p =-设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0则2m =± 因为x-2y+2=0与222y px p =-无公共点,所以当x-2y-2=0与222y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0将2代入3得222220y py p p -+-= 2244(22)0p p p ∴∆=--= 解法3: 设圆C 的圆心为Cx,y,则 圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅= 当122y y p +=时,d=2p ∴=.11、如图设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点．1若6ED DF =,求k 的值； 2求四边形AEBF 面积的最大值． 11．Ⅰ解：依题设得椭圆的方程为2214xy +=, 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=,(y kx k => 如图,设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，,其中1x < 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=,故21x x =-=．①由6ED DF =知01206()x x x x -=-,得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=,得0212x k=+．所以212k =+, 化简得2242560k k -+=, 解得23k =或38k =． 6分 Ⅱ解法一：根据点到直线的距离公式和①式知,点E F ，到AB 的距离分别为1h ==,2h ==9分又AB ==,所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 14(12525(14k k +=+== ≤ 当21k =,即当12k =时,上式取等号．所以S 的最大值为． 12分解法二：由题设,1BO =,2AO =． 设11y kx =,22y kx =,由①得20x >,210y y =->, 故四边形AEBF 的面积为 BEF AEF S S S =+△△222x y =+9分===当222x y =时,上式取等号．所以S的最大值为 12分12、已知椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =. 直线x t =0t >与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ．1 求椭圆E 的方程；2 若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,求ABC ∆的面积的最大值.12、1解：∵椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =, 12=. …… 2分 解得2a =. ∴ 椭圆E 的方程为22143x y +=． …… 4分 2解法1：依题意,圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分 ∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,且圆心C 到y 轴的距离d t =,∴0t <<,即0t <<．∴弦长||AB ===． …… 8分∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分7=. …… 12分=,即7t =时,等号成立. ∴ ABC ∆． …… 14分 解法2：依题意,圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=.∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分 ∴ 圆C 的方程为222123()4t x t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,且圆心C 到y 轴的距离d t =,∴0t <<,即07t <<．在圆C 的方程222123()4t x t y --+=中,令0x =,得2y =±,∴弦长||AB =． …… 8分 ∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分7=. ……12分=,即7t=时,等号成立. ∴ABC∆．15、已知椭圆∑：12222=+byax>>ba的上顶点为)1,0(P,过∑的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆∑上,该菱形对角线BD所在直线的斜率为1-．⑴求椭圆∑的方程；⑵当直线BD过点)0,1(时,求直线AC的方程；⑶本问只作参考．．．．．．,．不计入总分．．．．．当3π=∠ABC时,求菱形ABCD面积的最大值．15、解：⑴依题意,1=b……1分,解12222=+byac……2分,得aby2||=……3分,所以122=ab,2=a……4分,椭圆∑的方程为1422=+yx……5分;⑵直线BD：1)1(1+-=-⨯-=xxy……7分,设AC：bxy+=……8分,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422yxbxy得0)1(24522=-++bbxx……9分,当05)1(454)2(222>-=-⨯⨯-=∆bbb时……10分,),(11yxA、),(22yxC的中点坐标为54221bxx-=+,5222121bbxxyy=++=+……12分,ABCD是菱形,所以AC的中点在BD上,所以1545+=bb……13分,解得35-=b,满足052>-=∆b,所以AC的方程为35-=xy……14分;⑶本小问不计入总分,仅供部分有余力的学生发挥和教学拓广之用因为四边形ABCD为菱形,且3π=∠ABC,所以BCACAB==,所以菱形ABCD的面积223ACS⨯=,由⑵可得2122122122122)(2)(2)()(xxxxyyxxAC+=-=-+-=222212532532)1(548)58(28bbbxx⨯-=-⨯⨯--⨯=-,因为5||<b,所以当且仅当0=b时,菱形ABCD的面积取得最大值,最大值为531653223=⨯;。
高中数学解析几何压轴题
专业资料整理分享高中数学解析几何压轴题一．选择题1．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为（）A．钝角B．直角C．锐角D．都有可能2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则（）A．∠PFR＞∠QFR B ∠PFR=∠QFR C．∠PFR＜∠QFR D．∠PFR与∠AFR的大小不确定3．设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，则实数λ1+λ2=（）A．B．C．D．4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（）A．B．e2﹣1C．D．e2+15．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5 B．7 C．13 D．156．过双曲线﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE 交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A．B．C．D．8．已知定点A（1，0）和定直线l：x=﹣1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足（O为坐标原点），且动点P的轨迹方程为（）A．y2=4xB．y2=4x（x≠0）C．y2=﹣4xD．y2=﹣4x（x≠0）9．已知抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆x2+y2=4的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（）A．+=1（y≠0）B．+=1（y≠0）C．﹣=1（y≠0）D．﹣=1（y≠0）10．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）A．22B．20C．18D．1611．椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．12．曲线（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）A．B．（，+∞）C．D．13．设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=（）A．B．8D．14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A．B．C．D．15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值为（）A．4B．﹣4C．0或4D．0或﹣41．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为（）2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则PN∥MQ，，又由双曲线第二定义可知=，3．设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，B C D，，，4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一2B D，∴M（（的坐标代入，可得5．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆（的焦点分别是两圆（6．过双曲线﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE 交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）B C D=（+解：∵若（+）e==7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）B C D==8．已知定点A（1，0）和定直线l：x=﹣1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足、的坐∥∥22+=1（y≠0）B+=1（y≠0）C﹣=1（y≠0）D﹣=1（y≠0）=2，根据抛物线定义可得（10．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）11．椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=（）B C D，，再利用余弦定理，即可求得|=2|=，12．曲线（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）BD，+∞）解：曲线=，k′=，＜k≤13．设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=B C=，14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）B C D，=的中点坐标是（）﹣，，m=15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值根据双曲线上存在两点（﹣，，∴b=，m二．解答题（共15小题）16．已知椭圆C：，F1，F2是其左右焦点，离心率为，且经过点（3，1）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A1，A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A1Q斜率为k，且，求直线A2Q斜率的取值范围；（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F1QF2的最小值．）根据椭圆的离心率为kk'==，利用，即可求直，且经过点（的标准方程为…（，及=则有，的最小值为17．已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B．双曲线C的方程为x2﹣=1．设点P在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，证明x1•x2=1；（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤15，求S﹣S的取值范围．S S S S，故．=•≤15，所以（﹣在双曲线上，所以，所以=，﹣==，则S=5．﹣=，﹣﹣的取值范围为18．设椭圆D：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，求圆C方程及椭圆D的方程；（Ⅱ）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），求实数t取值范围．，可得：中，，所以，（﹣，（﹣：．，圆的方程为（＜=ty=y=3×[+4×[=＜19．已知F1、F2为椭圆C：的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且•的最大值为1，最小值为﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN是否为直角，并说明理由．•=并与椭圆联立，利用韦达定理求﹣•=x'2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），••．，=0，=+=++20．如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．b=，知==，，==，=+4当且仅当21．已知直L1：2x﹣y=0，L2：x﹣2y=0．动圆（圆心为M）被L1L2截得的弦长分别为8，16．（Ⅰ）求圆心M的轨迹方程M；（Ⅱ）设直线y=kx+10与方程M的曲线相交于A，B两点．如果抛物y2=﹣2x上存在点N使得|NA|=|NB|成立，求k 的取值范围．．所以，得（的中垂线为，由，的中点为，即，得，，∴，④…（根据导数知识易得．22．已知直线l1：ax﹣by+k=0；l2：kx﹣y﹣1=0，其中a是常数，a≠0．（1）求直线l1和l2交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率．（2）当a＞0，y≥1时，轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的最小值是否存在？若存在，求出这个最小值．的大小，求出）由时，轨迹是双曲线，焦点为，离心率时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率＞；b≤23．如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B'；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1，B1C1，C1D1分别与曲线S切于点P，Q，R．求梯形A1B1C1D1面积的最小值．⇒代入①即得的方程为的坐标为．的方程为，得，得，当且仅当，即，的面积的最小值为24．（1）已知一个圆锥母线长为4，母线与高成45°角，求圆锥的底面周长．（2）已知直线l与平面α成φ，平面α外的点A在直线l上，点B在平面α上，且AB与直线l成θ，①若φ=60°，θ=45°，求点B的轨迹；②若任意给定φ和θ，研究点B的轨迹，写出你的结论，并说明理由．则．=．又由sin60°=a，平方整理得＜φ＜分）=．．所以•φ=θ＜φ＜时，θ=φ＜时，点4，则．．＜φ＜）分）= sinφ=aφ=时，点θ=φ＜25．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．的方程为，解得的方程为．故点，的直线方程为得，．，则，同理可得，的斜率的直线方程为，由．，得．此时，的距离为，===．面积的最大值为．26．已知点B（0，1），A，C为椭圆上的两点，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形．（I）当a=4时，求线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围．（II）△ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？）依题意，可知椭圆的方程为：x++，令y=0得x==cosθ（cosθ≠0），利用余弦cosθ的有x+1∴椭圆的方程为：），=﹣=（x++，cosθ（cosθ≠0）≤x=cosθ≤，，﹣得：|AB|=|BC|=|=||==+1≥3（当且仅当，即当时，以＜a≤27．如图，P是抛物线C：x2=2y上一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与抛物线交于另一点Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．（1）若l经过点F，求弦长|PQ|的最小值；（2）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0）与x轴交于点S，与y轴交于点T①求证：②求的取值范围．，消去，|PQ|=，消去可取一切不相等的正数∴）==28．过点F（0，1）作直线l与抛物线x2=4y相交于两点A、B，圆C：x2+（y+1）2=1 （1）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切，求直线l的方程；（2）过点A、B分别作圆C的切线BD、AE，试求|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2的取值范围．，则过点的切线方程为：相切，坐标为的方程为：29．已知圆C的圆心在抛物线x2=2py（p＞0）上运动，且圆C过A（0，p）点，若MN为圆C在x轴上截得的弦．（1）求弦长MN；（2）设AM=l1，AN=l2，求的取值范围．所以．所以θ=45°时，原式有最大值从而30．已知以动点P为圆心的圆与直线y=﹣相切，且与圆x2+（y﹣）2=外切．（Ⅰ）求动P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若M（m，m1），N（n，n1）是C上不同两点，且 m2+n2=1，m+n≠0，直线L是线段MN的垂直平分线．（1）求直线L斜率k的取值范围；（2）设椭圆E的方程为+=1（0＜a＜2）．已知直线L与抛物线C交于A、B两个不同点，L与椭圆E交于P、Q两个不同点，设AB中点为R，PQ中点为S，若=0，求E离心率的范围．相切，且与圆﹣外切，建立方程，即可求动）求出直线方程代入抛物线和椭圆方程，由，则有的斜率为﹣∴|k|＞∴k＜﹣＞﹣﹣，＞恒成立，方程②的判别式，∴＞）+1=＞＜＜。
第12讲 解析几何填空压轴题(原卷版)
第12讲 解析几何填空压轴题1．（山东临沂模拟）如图，抛物线2:4C xy =的焦点为,F P 为抛物线C 在第一象限内的一点，抛物线C在点P 处的切线PM 与圆F 相切(切点为M )且交y 轴于点Q ，过点P 作圆F 的另一条切线PN (切点为N )交y 轴于T 点．若已知FQ FP =，则FT 的最小值为_____________．2．（湖北武汉高三月考）已知过抛物线22yx =-的焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则AF BFAB⋅=____________． 3．（内蒙古赤峰高三月考（文））过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A 交另一条渐近线于点B ，若FB AF λ=，34λ≤≤，求C 的离心率的取值范围为___________4．（山东烟台高三一模）已知点A 为直线:3l y x =上一点，且A 位于第一象限，点()10,0B ，以AB 为直径的圆与l 交于点C (异于A )，若60CBA ∠≥，则点A 的横坐标的取值范围为___________．5．（2021中学生标准学术能力3月测试）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，且123F PF π∠=．若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为,R r ，且4R r =，则双曲线的离心率为__________．6．（山东日照高三一模）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：221412x y-=的左、右焦点，E 为双曲线C 的右顶点，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B ，两点（其中点A 在第一象限），设M ，N 分别为12AF F △，12BF F △的内心，则ME NE -的取值范围是______．7．（辽宁沈阳高三一模）已知抛物线24x y =，点()(),2,1,1M t t -∈-，过M 作抛物线的两条切线,MA MB ，其中,A B 为切点，直线AB 与y 轴交于点,P 则PA PB的取值范围是_________．8．（湖南长沙雅礼中学高三月考）设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 直线的l 分别与双曲线左､右两支交于M ，N 两点，且22F M F N ⊥，22F M F N=，则双曲线C 的离心率为___________．9．（湖北B4新高考的研）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为 F ，离心率为e ．若动点B 在双曲线C 的右支上且不与右顶点重合，满足BFAe BAF∠∠=恒成立，则双曲线C 的渐近线的方程为_________．10．（江苏徐州徐州一中高三期末）已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)y xE a b a b-=>>的两个焦点，E上的点P 到原点的距离为b ，且2112sin 3sin PF F PF F ，则双曲线E 的渐近线方程为__________．11．（沙坪坝区·重庆一中高三月考）抛物线2:8C x y =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，点D 为抛物线C 上的动点，且点D 在l 的右下方，则DAB 面积的最大值为______ 12．（江苏三校联考）平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:11C x y -+=，点P 为直线2y x =+上的动点，以PC 为直径的圆交圆C 于A 、B 两点，点Q 在PC 上且满足AQ PB ⊥，则点Q 的轨迹方程是________．13．（浙江宁波模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，且以A 为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于,B C 两点，若2,33BAC ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线C 的离心率的取值范围是__________．14．（广西南宁南宁三中（理））已知()3,0A ，若点P 是抛物线28y x =上的任意一点，点Q 是圆()2221x y -+=上任意一点，则2PAPQ最小值是_____15．（三省三校诊断性测试（理））已知双曲线22221x y a b-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 的直线l 交该双曲线的右支于M ，N 两点(M 点位于第一象限)，12MF F △的内切圆半径为1R ，12NF F △的内切圆半径为2R ，且满足124R R =，则直线l 的斜率为___________． 16．（内蒙古赤峰高三月考（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12F F 、，M 是双曲线一条渐近线上位于第二象限的一点，10MF OM =(O为坐标原点)，若线段1MF 交双曲线于点P ，且213PF PF a +=，则双曲线的离心率为___________．17．（陕西下学期质检）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的右支交于第一象限内的一点P ，若,33b a G ⎛⎫⎪⎝⎭为12F PF △的重心，则该双曲线的离心率为______．18．（华大新高考联盟3月质检（文））已知点M 在抛物线C ：24y x =上运动，圆C '过点()5,0，(，()3,2-，过点M 引直线1l ，2l 与圆C '相切，切点分别为P ，Q ，则PQ 的取值范围为__________．19．（江苏徐州高三二模）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为P ，右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，2C 的顶点与1C 的中心O 重合．若1C 与2C 相交于点A ，B ，且四边形OAPB 为菱形，则1C 的离心率为___________．20．（山西高三一模（文））已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点,02p M ⎛⎫-⎪⎝⎭，过点F 的直线与此抛物线交于,A B 两点，若||24AB =，且tan AMB ∠=p =___________．21．（河南高三一模（理））已知直线l ：0x -=交双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>于A ，B 两点，过A 作直线l 的垂线AC 交双曲线Γ于点C ．若60ABC ∠=︒，则双曲线Γ的离心率为______． 22．（内蒙古呼和浩特高三一模（文））古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线．某同学用过母线PB 的中点且与底面圆的直径AB 垂直的平面截圆锥，得到了如图所示的一支双曲线．已知圆锥的高2PO =，底面圆的半径为4，则此双曲线的两条渐近线的夹角的正弦值为___________．23．（江西九校联考（理））已知离心率为2的双曲线1C ：()222210,0x ya b a b-=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，M 是1C 与2C 的公共点，若5MF =，则1C 的标准方程为______．24．（中学生标准学术能力3月测试（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上一点()0P y ≠，在线段1PF 上取“12PF F △的周长中点”M ，满足2112||MP PF MF F F +=+，同理可在线段2PF 上也取“12PF F △的周长中点”N ．若PMN 的面积最大值为1，则b =__________．25．（广东广州高三一模）已知圆22(1)4x y -+=与双曲线2222:1x y C a b-=的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为,,,M N P Q ，且||2||MN PQ =，则C 的离心率为_______．26．（安徽江南十校联考（文））如图，,A F 分别为双曲线()2221016x y a a -=>的右顶点和右焦点，过F 作x 轴的垂线交双曲线于H ，且H 在第一象限，,,A F H 到同一条渐近线的距离分别为123,,d d d ，且1d 是2d 和3d 的等差中项，则C 的离心率为___________·27．（吉林吉林高三三模（理））己知圆()22:116,C x y P ++=是圆C 上任意点，若1,0A ，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹方程是_______﹔若A 是圆C 所在平面内的一定点，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹是：①一个点②圆③椭圆④双曲线⑤抛物线，其中可能的结果有__________．28．（浙江省宁海中学高三月考）如图，已知1F ，2F 为椭圆C ：2221xy a+=(1a >)的两焦点，O 为坐标原点，1H ，2H 分别1F ，2F 在C 的切线l 上的射影，则点1H 的轨迹方程是___________；若有且仅有2条l 使得12OH H 的面积最大，则C 离心率的最大值是___________．29．（安徽黄山高三一模（理））在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，A ，B 为双曲线虛轴的上､下端点，动点P 满足||2||PB PA =，PAB △面积的最大值为4．点M ，N 在双曲线上，且关于原点O 对称，Q 是双曲线上一点，直线QM 和QN 的斜率满足3QM QN k k ⋅=，则双曲线方程是______________；过2F 的直线与双曲线右支交于C ，D 两点(其中C 点在第一象限)，设点M ､N 分别为12CF F △､12DF F △的内心，则MN 的范围是____________．30．（浙江温州高三二模）已知1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，过1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，若121::2:3:1PF PF QF =，则12cos F PF ∠=________，椭圆的离心率为_________．31．（江苏盐城高三一模）罗默､伯努利家族､莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线22331:x C y +=的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线C 围成的图形的面积S _____2（选填“>”､“<”或“=”），曲线C 上的动点到原点的距离的取值范围是________．31．（江苏连云港高三开学考试）焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上一点M ，||4MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)A ，则圆心坐标为________，抛物线的方程为________．32．（江苏南通高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>及其渐近线在第一象限的交点分别为P ，A ，抛物线的焦点F 恰与双曲线的右顶点重合，AF x ⊥轴，则b a =________；若PF =p =________． 33．（江苏启东模拟）已知椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点A ，B ，点M 为AB 的中点，直线MO （O 为原点）的斜率为2，则b a =____________；又OA OB ⊥，则2a b +=____________．34．（山东青岛高三期末）如图所示，在平面直角坐标系中，0,5Q ⎛-⎝⎭，()3,0L -，圆Q 过坐标原点O ，圆L 与圆Q 外切．则（1）圆L 的半径等于__________；（2）已知过点L 和抛物线()220x py p =>焦点的直线与抛物线交于A ，B ，且3OA OB ⋅=-，则p =______．35．（浙江温州高三期末）已知点1F 、2F 分别为双曲线2221(0)xy a a-=>的左、右焦点，点P 是双曲线与以12F F 为直径的圆在第一象限内的交点，直线1F P 与直线0x ay +=交于点H ，且点H 是线段1F P 的中点，则1F H =______，双曲线的离心率为______．。
高考数学重难点必刷题：解析几何选填含详解
上，则双曲线的离心率为( )
A． 3 1
B． 2 1
C． 5 1 2
D． 2 1 2
23． P 为双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1a, b
0 上一点， F1, F2 分别为 C 的左、右焦点，
PF2 F1F2 ，若 PF1F2 的外接圆半径是其内切圆半径的 2.5 倍，则 C 的离心率为（ ）
54
2
的取值范围是（ ）
A． 2,2
B． , 2 2,
C． 2, 2
D． , 2 2,
3．已知双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) ，F1, F2 分别为其左、右焦点，过 F1 的直线 l 与
双曲线 C 的左、右两支分别交于 A, B 两点，若 AB : BF2 : AF2 3 : 4 : 5 ，则双曲线 C
B． (a m)
C． 2(b n)
D． 2(a m)
25．已知抛物线 C ：y2 2 px( p 0) 和动直线 l ：y kx b（ k ，b 是参变量，且 k 0 ，
b≠0 ）相交于 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) 两点，直角坐标系原点为 O ，记直线 OA ，OB 的 斜率分别为 kOA ， kOB ，若 kOA kOB 3 恒成立，则当 k 变化时直线 l 恒经过的定点为
C． 2 3 3
D． 3 2 2
29．已知点 A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线 y＝ax+b（a＞0）将△ABC 分割
为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是（ ）
A．（0，1） 二、多选题
B． 1
2 2
，1 2
高考数学解析几何压轴题
2.圆锥曲线1.(2017·福建厦门第一中学期中)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点F 是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，M 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且||MF ＝53. (1)求C 1的方程；(2)已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆C 1上，顶点B ，D 在直线7x －7y ＋1＝0上，求直线AC 的方程. 解 (1)设M (x 1，y 1)(x 1＞0，y 1＞0)，椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，由题意知点F 2即为点F (1，0).由抛物线的定义，|MF 2|＝53⇒x 1＋1＝53⇒x 1＝23， 因为y 21＝4x 1， 所以y 1＝263，即M ⎝⎛⎭⎫23，263， 所以|MF 1|＝⎝⎛⎭⎫23＋12＋⎝⎛⎭⎫2632＝73，由椭圆的定义得2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝73＋53＝4⇒a ＝2， 所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1. (2)因为直线BD 的方程为7x －7y ＋1＝0，四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，设直线AC 的方程为y ＝－x ＋m ，代入椭圆C 1的方程，得7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，由题意知，Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＞0⇔－7<m <7.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8m 7，y 1＋y 2＝2m －(x 1＋x 2)＝－8m 7＋2m ＝6m 7， 所以AC 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫4m 7，3m 7，由四边形ABCD 为菱形可知，点⎝⎛⎭⎫4m 7，3m 7在直线BD 上，所以7·4m 7－7·3m 7＋1＝0⇒m ＝－1∈()－7，7. 所以直线AC 的方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.2.(2017·湖南师大附中月考)已知椭圆C 的中心在原点，离心率为22，其右焦点是圆E ：(x －1)2＋y 2＝1的圆心. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线，分别交y 轴于点M ，N .试推断是否存在点P ，使|MN |＝143？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，半焦距为c ， 因为椭圆的右焦点是圆E 的圆心，所以c ＝1， 因为椭圆的离心率为22，则c a ＝22，即a ＝2c ＝2， 从而b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设点P (x 0，y 0)(x 0＜0)，M (0，m )，N (0，n )，则直线PM 的方程为y ＝y 0－m x 0x ＋m ， 即(y 0－m )x －x 0y ＋mx 0＝0.因为圆心E (1，0)到直线PM 的距离为1， 即|y 0－m ＋x 0m |(y 0－m )2＋x 20＝1，即(y 0－m )2＋x 20＝(y 0－m )2＋2x 0m (y 0－m )＋x 20m 2，即(x 0－2)m 2＋2y 0m －x 0＝0，同理可得，(x 0－2)n 2＋2y 0n －x 0＝0.由此可知，m ，n 为方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两个实根，所以m ＋n ＝－2y 0x 0－2，mn ＝－x 0x 0－2， |MN |＝|m －n |＝(m ＋n )2－4mn ＝4y 20(x 0－2)2＋4x 0x 0－2＝4x 20＋4y 20－8x 0(x 0－2)2. 因为点P (x 0，y 0)在椭圆C 上，则x 202＋y 20＝1， 即y 20＝1－x 202， 则|MN |＝2x 20－8x 0＋4(x 0－2)2＝2(x 0－2)2－4(x 0－2)2＝2－4(x 0－2)2， 令2－4(x 0－2)2＝143， 则(x 0－2)2＝9，因为x 0＜0，则x 0＝－1，y 20＝1－x 202＝12，即y 0＝±22， 故存在点P ⎝⎛⎭⎫－1，±22满足题设条件. 3.已知点P 是椭圆C 上任意一点，点P 到直线l 1：x ＝－2的距离为d 1，到点F (－1，0)的距离为d 2，且d 2d 1＝22，直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B (A ，B 都在x 轴上方)，且∠OF A ＋∠OFB ＝180°.(1)求椭圆C 的方程；(2)当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；(3)对于动直线l ，是否存在一个定点，无论∠OF A 如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设P (x ，y )，则d 1＝|x ＋2|，d 2＝(x ＋1)2＋y 2， ∴d 2d 1＝(x ＋1)2＋y 2|x ＋2|＝22，化简得，x 22＋y 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)A (0，1)，F (－1，0)，∴k AF ＝1－00－(－1)＝1， 又∵∠OF A ＋∠OFB ＝180°，∴k BF ＝－1，直线BF 的方程为y ＝－(x ＋1)＝－x －1，代入x 22＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝－1(舍)，⎩⎨⎧ x ＝－43，y ＝13.∴B ⎝⎛⎭⎫－43，13， k AB ＝1－130－⎝⎛⎭⎫－43＝12， ∴直线AB 的方程为y ＝12x ＋1，即直线l 的方程为x －2y ＋2＝0. (3)方法一 ∵∠OF A ＋∠OFB ＝180°，∴k AF ＋k BF ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 方程为y ＝kx ＋b ，将直线AB 的方程y ＝kx ＋b 代入x 22＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎫k 2＋12x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0.∴x 1＋x 2＝－2kb k 2＋12，x 1x 2＝b 2－1k 2＋12， ∴k AF ＋k BF ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝kx 1＋b x 1＋1＋kx 2＋b x 2＋1＝(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝0， ∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b＝2k ×b 2－1k 2＋12－(k ＋b )×2kb k 2＋12＋2b ＝0， ∴b －2k ＝0，∴直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，∴直线l 总经过定点M (－2，0)，方法二 由于∠OF A ＋∠OFB ＝180°，∴点B 关于x 轴的对称点B 1在直线AF 上.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，B 1(x 2，－y 2)，直线AF 方程为y ＝k (x ＋1).代入x 22＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎫k 2＋12x 2＋2k 2x ＋k 2－1＝0. ∴x 1＋x 2＝－2k 2k 2＋12，x 1x 2＝k 2－1k 2＋12， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2， 直线AB 的方程为y －y 1＝y 1－y 2x 1－x 2(x －x 1)， 令y ＝0，得x ＝x 1－y 1(x 1－x 2)y 1－y 2＝x 2y 1－x 1y 2y 1－y 2. 又∵y 1＝k (x 1＋1)，－y 2＝k (x 2＋1)，∴x ＝x 2y 1－x 1y 2y 1－y 2＝x 2×k (x 1＋1)＋x 1×k (x 2＋1)k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2＝2×k 2－1k 2＋12－2k 2k 2＋122－2k 2k 2＋12＝－2. ∴直线l 总经过定点M (－2，0).4.(2017·广西南宁二中、柳州高中、玉林高中联考)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点.(1)若AF →＝3FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值.解 (1)依题意可设直线AB ：x ＝my ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 与抛物线联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1y 2＝4x⇒y 2－4my －4＝0， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4， ∵AF →＝3FB →，∴y 1＝－3y 2，∴m 2＝13，∴直线AB 的斜率为3或－ 3.(2)S 四边形OACB ＝2S △AOB ＝2·12||OF ||y 1－y 2＝||y 1－y 2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16m 2＋16≥4， 当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4.5.(2017·惠州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同的交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上，所以2a ＝||AF 1＋||AF 2＝22， 因此a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)椭圆C 上不存在这样的点Q ，理由如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， 所以y 1＋y 2＝2t 9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0， 故y 0＝y 1＋y 22＝t 9且－3＜t ＜3. 由PM →＝NQ →，得⎝⎛⎭⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)， 所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53. (也可由PM →＝NQ →知四边形PMQN 为平行四边形而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t 9，可得y 4＝2t －159.) 又－3＜t ＜3，所以－73＜y 4＜－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围[－1，1]矛盾. 因此点Q 不在椭圆上，即椭圆上不存在满足题意的Q 点.6.(2017·河南开封月考)如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .(1)求动点Q 的轨迹Г的方程；(2)已知A ，B ，C 是轨迹Г的三个动点，点A 在一象限，B 与A 关于原点对称，且|CA |＝|CB |，问△ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)∵Q 在线段PF 的垂直平分线上，∴|QP |＝|QF |，得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4，又|EF |＝23＜4，∴Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，∴Г：x 24＋y 2＝1. (2)由点A 在第一象限，B 与A 关于原点对称，设直线AB 的方程为y ＝kx (k ＞0)，∵|CA |＝|CB |，∴C 在AB 的垂直平分线上，∴直线OC 的方程为y ＝－1kx . ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx x 24＋y 2＝1⇒(1＋4k 2)x 2＝4，|AB |＝2|OA |＝2x 2＋y 2＝4k 2＋14k 2＋1，同理可得|OC |＝2k 2＋1k 2＋4， S △ABC ＝12|AB |×|OC |＝4(k 2＋1)2(4k 2＋1)(k 2＋4)＝4(k 2＋1)(4k 2＋1)(k 2＋4)， (4k 2＋1)(k 2＋4)≤4k 2＋1＋k 2＋42＝5(k 2＋1)2，当且仅当k ＝1时取等号， ∴S △ABC ≥85. 综上，当直线AB 的方程为y ＝x 时，△ABC 的面积有最小值85.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学选择填空压轴题精选(解析几何1)已知椭圆E ：22142x y +=,O 为坐标原点,A 、B 是椭圆E 上两点,且△AOB,则11||||OA OB +的最小值是 . 解法一（利用椭圆参数方程）设(2cos ), (2cos )A B ααββ,因为AOB S ∆=,所以12211||2AOB S x y x y ∆=-=,cos sin sin cos |αβαβ-=|sin()|1βα∴-=, cos()0βα∴-=,()2k k Z πβαπ=++∈,222222||||4cos 2sin 4cos ()2sin ()622OA OB ππαααα∴+=+++++=.下面求11||||OA OB +的最小值,有如下方法： ①均值不等式22||||||||32OA OB OA OB +⋅≤=,11||||OA OB ∴+≥≥=. ②平方平均大于等于调和平均21111a b a b≥⇒+≥+,11||||3OA OB +≥==. ③权方和不等式33322211122222221111(11)||||(||)(||)(||+||)OA OB OA OB OA OB ++=+≥==,当且仅当||||OA OB ==,等号成立,min 11()||||3OA OB ∴+=. ④权方和不等式+柯西不等式2211423||||||+||3122(||+||)OA OB OA OB OA OB +≥≥==. 点评:本解法利用椭圆的参数方程,得到了一个很重要的中间结论：|sin()|1βα-=. 一般地, 有如下结论：若11(,)A x y ,22(,)B x y 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上的动点, 且满足2AOB abS ∆=,则有：（1）22212x x a +=, 22212y y b +=；（2）22OA OBb k k a⋅=-. 解法二：（利用柯西不等式）设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由12211||22AOB S x y x y ∆=-=得 2222222221221121212128()()()[82()]()x y x y x x y y y y y y =-≤++=-++,（当且仅当12120x x y y +=时等号成立）.22212(2)0y y ∴+-=,22122y y ∴+=又221124x y +=,222224x y +=,则22221122228x y x y +++=,22124x x ∴+=, 进而222212126x x y y +++=,221123||||3||||2OA OB OA OB ∴+≥==+当且仅当||||3OA OB ==,11||||OA OB +23.点评:本解法利用柯西不等式,实现等与不等的相互转化,相当精彩！解法三：（利用仿射变换,椭圆变圆）设伸缩变换2:2x x y τ'=⎧⎪⎨'=⎪⎩,则221x y ''+=,在该变换下,1122(,),(,)A x y B x y 的对应点分别为1122(,),(,)A x y B x y '''''', 而12211||2A OB S x y x y ''∆'''=-,122112211||2|2AOB S x y x y x y x y ∆'''=-=-, 所以12222AOB A OB A OB S S S ''''∆∆∆===,OA OB ''∴⊥,21||||x y ''∴=,21||||y x ''= ,2221x y ''∴=,2221y x ''=,22222222112211||||42426()6OA OB x y x y x y ''''''∴+=+++=+=, 33322211122222221111(11)||||3(||)(||)(||+||)OA OB OA OB OA OB +∴+=+≥==当且仅当||||OA OB ==,11||||OA OB +取得最小值3.点评:本解法利用仿射变换,椭圆变圆,关键是发现OA OB ''⊥.游数玩形,妙在转化！解法四：（齐次化）由12211||2AOB S x y x y ∆=-=及221124x y +=,222224x y +=,得22222122111222()(2)(2)x y x y x y x y -=++.(1)当直线OA 与OB 的斜率都存在时,两边同时除以2212x x ,得2222()(12)(12)OA OB OAOB k k k k -=++, 化简得2(21)0OA OB k k +=,12OA OB k k ∴=-,设:OA y kx =,则1:2OB y x k=-, 由222222244,121224A A y kx k x y k k x y =⎧⇒==⎨+++=⎩,22244||12k OA k +∴=+, 同理（将k 换成12k-）,得22228||21k OB k +=+,22|||| 6.OA OB ∴+=(2)当直线OA 或OB 的斜率为0或不存在时,也有22|||| 6.OA OB +=于是11||||OA OB +≥==当且仅当||||OA OB ==,等号成立, 因此11||||OA OB +.点评:本解法利用齐次化,得出OA 与OB 的斜率关系,接下来便顺理成章了.解法五：常规思路当直线OA 与OB 的斜率都存在时,设直线1:OA y k x =,直线1:OB y k x =,1122(,),(,)A x y B x y ,由221142x y y k x⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2121412x k =+,同理2222412x k =+.点B 到直线OA 的距离122212221111d k k ==++, 因为2AOB S ∆=,所以2212111212211111|||()|2221AOB S OA d k x x x k k k ∆=⋅=+⋅=-+,即122212||221212k k k k -=++,即2212122||(12)(12)k k k k -=++, 所以212(21)0k k +=,即1212k k =-. 下同解法四.点评:与上述方法相比,本解法相对复杂一些,熟悉以下二级结论的话,过程会大大简化.【结论】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,A ,B 为椭圆C 上的动点,11(,)A x y ,22(,)B x y ,且满足22OA OBb k k a⋅=-,则有： （1）22212x x a +=,22212y y b +=,2222||||OA OB a b +=+；（2）2AOB ab S ∆=； （3）若M 为椭圆上一点,且OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r,则221λμ+=.相似题1(2011年山东卷理22题)已知动直线l 与椭圆22:132x y C +=交于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两不同点,且OPQ △ 的面积62OPQ S ∆=,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（Ⅱ）（Ⅲ）略.答案：22123x x +=,22122y y +=.相似题2已知椭圆E ：2212412x y +=,O 为坐标原点,A 、B 是椭圆E 上两点,OA ,OB 的斜率存在并分别记为,OA OB k k ,且12OA OB k k ⋅=-,则11||||OA OB +的最小值是（ ） A.26 B.13C.23D.22答案：C.相似题3已知A ,B 是椭圆C ：221259x y +=上关于原点对称的两个点,P 、M 、N 是椭圆上异于AB 的点,且//AP OM ,//BP ON ,则MON ∆的面积为（ ）A.32 B. 32 C. 152 D.252答案：C.相似题4：如图所示,12,A A 分别是椭圆2212x y +=,的长轴的左右端点,O 为坐标原点,,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点,直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ,则22||||OS OT +等于（ ）A. 4B. 3C. 32D.52答案：B. 相似题5：在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>,其焦点到相应准线的距离为3,离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图所示,A ,B 是椭圆C 上两点,且射线OA ,OB 的斜率满足34OA OB k k =-,延长OA 到M ,使得OM ＝3OA ,且MB 交椭圆C 于Q ,设OQ OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r,求证： ①221λμ+=；②BMBQ 为定值.答案：5.。