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2020年高考数学选择填空题专题练习(二)

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2020届高考文科数学复习练习题(二)：函数 专题训练

2020届高考文科数学复习练习题(二)：函数 专题训练

专题二函数函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1 函数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．所以，2的象是22＋2＝6；设象20的原象为x，则x的象为20，即2x＋x＝20．由于x∈N，2x＋x随着x的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．例2 设函数则f(1)＝______；若f(0)＋f(a)＝－2，则a的所有可能值为______．【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则．所以f(1)＝3．又f(0)＝－1，所以f(a)＝－1，当a≤0时，由a－1＝－1得a＝0；当a＞0时，由－a2＋2a＋2＝－1，即a2－2a－3＝0得a＝3或a＝－1(舍)．综上，a＝0或a＝3．例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )(A) (B)(C) (D)【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y＝｜x｜及y＝｜t｜，法则也相同，所以选(B)．【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．例4 求下列函数的定义域(1) (2)(3) (4)解：(1)由｜x－1｜－1≥0，得｜x－1｜≥1，所以x－1≥1或x－1≤－1，所以x≥2或x≤0．所以，所求函数的定义域为{x｜x≥2或x≤0}．(2)由x2＋2x－3＞0得，x＞1或x＜－3．所以，所求函数的定义域为{x｜x＞1或x＜－3}．(3)由得x＜3，且x≠0，x≠1，所以，所求函数的定义域为{x|x＜3，且x≠0，x≠1}(4)由所以－1≤x≤1，且x≠0．所以，所求函数定义域为{x｜－1≤x≤1，且x≠0}．例5 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求函数f(x＋1)及f(x2)的定义域．【分析】此题的题设条件中未给出函数f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x的取值范围；②受对应法则f制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f(x)的定义域是(0，1)可知法则f制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f(x＋1)中，受f直接制约的是x＋1，而定义域是指x的范围，因此通过解不等式0＜x＋1＜1得－1＜x＜0，即f(x＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f(x2)的定义域为{x｜－1＜x＜1，且x≠0}．例6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域．解：根据题意，AB＝2x．所以，根据问题的实际意义．AD＞0，x＞0．解所以，所求函数定义域为【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y＝tan x，则，k∈Z．(2)不给出f(x)的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．例7 (1)已知，求f(x)的解析式；(2)已知，求f(3)的值；(3)如果f(x)为二次函数，f(0)＝2，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，求f(x)的解析式；(4)*已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于直线x＝1对称，求f(x)的解析式．【分析】(1)求函数f(x)的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．方法一．通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，方法二．设，则．则，所以这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么．(2)用“凑型”的方法，(3)因为f(x)为二次函数，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，所以，可设f(x)＝a(x－1)2－1，又f(0)＝2，所以a(0－1)2－1＝2，所以a＝3．f(x)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式．设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x＝1对称点的坐标为Q(2－x，y)，由已知，点Q在函数y＝g(x)的图象上，所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝22－x，所以，f(x)＝22－x．【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax2＋bx＋c＝0的根．所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1．f(x)＝x2－2x－3．解法二因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根．所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点．即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x2－2x－3．【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重．二次函数的解析式有三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c；顶点式y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点坐标；双根式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．例9 某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为a kW·h．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?解：(1)依题意，当实际电价为x元／kW·h时，用电量将增加至故电力部门的收益为．(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a，依题意，且0.55≤x≤0.75，解得0.60≤x≤0.75．所以，当电价最低定为0.60元／kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．练习2－1一、选择题1．已知函数的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝( )(A){x｜x＞1} (B){x｜x＜1} (C){x｜－1＜x＜1} (D)2．图中的图象所表示的函数的解析式为( )(A)(B)(C)(D)y＝1－｜x－1｜(0≤x≤2)3．已知f(x－1)＝x2＋2x，则( )(A) (B) (C) (D)4．已知若f(x)＝3，则x的值是( )(A)0 (B)0或 (C) (D)二、填空题5．给定映射f：(x，y)→(x＋2y，x－2y)，在映射f下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______．6．函数的定义域是______．7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x 1 2 3 x 1 2 3f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1则f[g(1)]的值为______；满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是______．8．已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于点(0，1)对称，则f(x)的解析式为______．三、解答题9．已知f(x)＝2x＋x－1，求g(－1)，g[f(1)]的值．10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程为y＝ax2＋c(a＜0)，D＝(6，7)为x轴上的给定区间．为使物体落在区间D内，求a的取值范围．11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并求出y的最大值．§2－2 函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间MA．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量x＝x2－x1＞0，则当y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；当y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．【复习要求】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．3．了解函数周期性的含义．4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．【例题分析】例1 判断下列函数的奇偶性．(1) (2)(3)f(x)＝x3－3x； (4)(5)解：(1)解，得到函数的定义域为{x｜x＞1或x≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x｜x≠0}，但是，由于f(1)＝2，f(－1)＝0，即f(1)≠f(－1)，且f(1)≠－f(－1)，所以此函数为非奇非偶函数．(3)函数的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－f(x)，所以此函数为奇函数．(4)解，得－1＜x＜1，又所以此函数为奇函数．(5)函数的定义域为R，又，所以此函数为奇函数．【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；②f(x)是奇函数，并且f(x)在x＝0时有定义，则必有f(0)＝0；③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f(x)＝0．判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：①判断函数的定义域是否关于原点对称；②考察f(－x)与f(x)的关系．由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．例2 设函数f(x)在R上有定义，给出下列函数：①y＝－｜f(x)｜；②y＝xf(x2)；③y＝－f(－x)；④y＝f(x)－f(－x)．其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)【分析】①令F(x)＝－｜f(x)｜，则F(－x)＝－｜f(－x)｜，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．②令F(x)＝xf(x2)，则F(－x)＝－xf[(－x)2]＝－xf(x2)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．③令F(x)＝－f(－x)，则F(－x)＝－f[－(－x)]＝－f(x)，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．④令F(x)＝f(x)－f(－x)，则F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．所以，②④为奇函数．例3 设函数f(x)在R上有定义，f(x)的值不恒为零，对于任意的x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则函数f(x)的奇偶性为______．解：令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x)的值不恒为零，故f(x)是奇函数而非偶函数．【评析】关于函数方程“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”的使用一般有以下两个思路：令x，y为某些特殊的值，如本题解法中，令x＝y＝0得到了f(0)＝0．当然，如果令x＝y＝1则可以得到f(2)＝2f(1)，等等．令x，y具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y＝－x．得到f(2x)＝2f(x)，在某些情况下也可令y＝，y＝x，等等．总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．例4 已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，求b的值，并比较f(－1)与f(4)的大小．解：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以x＝1为二次函数图象的对称轴，所以，b＝－2．根据对称性，f(－1)＝f(3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增，所以f(3)＜f(4)，即f(－1)＜f(4)．例5已知f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，(1)求f(－1)的值；(2)当x＜0时，求f(x)的解析式．解：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(12－2×1)＝1．(2)方法一：当x＜0时，－x＞0．所以，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x．方法二：设(x，y)是f(x)在x＜0时图象上一点，则(－x，－y)一定在f(x)在x＞0时的图象上．所以，－y＝(－x)2－2(－x)，所以y＝－x2－2x．例6 用函数单调性定义证明，函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．证明：设，且x1＜x2f(x2)－f(x1)＝(ax22＋bx2＋c)－(ax12＋bx1＋c)＝a(x22－x12)＋b(x2－x1)＝a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(x2－x1)＝(x2－x1)[a(x1＋x2)＋b]因为x1＜x2，所以x2－x1＞0，又因为，所以，所以f(x2)－f(x1)＞0，函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．例7 已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数．(1)比较f(a2＋2)与f(2a)的大小；(2)若f(a2)＞f(a＋6)，求实数a的取值范围．解：(1)因为a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0，所以a2＋2＞2a，由已知，f(x)是单调增函数，所以f(a2＋2)＞f(2a)．(2)因为f(x)是单调增函数，且f(a2)＞f(a＋6)，所以a2＞a＋6，解得a＞3或a＜－2．【评析】回顾单调增函数的定义，在x1，x2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：x＝x2－x1的符号；y＝f(x2)－f(x1)的符号；函数y＝f(x)在区间上是增还是减．由定义可知：对于任取的x1，x2，若x2＞x1，且f(x2)＞f(x1)，则函数y＝f(x)在区间上是增函数；不仅如此，若x2＞x1，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则f(x2)＞f(x1)；若f(x2)＞f(x1)，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则x2＞x1；于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例5例6体会这一点．函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意．例8 设f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是减函数．(1)试比较f(－2)与－f(3)的大小；(2)若mn＜0，且m＋n＜0，求证：f(m)＋f(n)＞0．解：(1)因为f(x)是奇函数，所以－f(3)＝f(－3)，又f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以f(－3)＞f(－2)，即－f(3)＞f(－2)．(2)因为mn＜0，所以m，n异号，不妨设m＞0，n＜0，因为m＋n＜0，所以n＜－m，因为n，－m∈(－∞，0)，n＜－m，f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以f(n)＞f(－m)，因为f(x)是奇函数，所以f(－m)＝－f(m)，所以f(n)＞－f(m)，即f(m)＋f(n)＞0．例9函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)＝x2，x∈[－1，1]．(1)求f(7.5)的值；(2)求f(x)在区间[2n－1，2n＋1]上的解析式．解：(1)因为函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x＋2k)＝f(x)，k∈Z．所以f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)＝．(2)设x∈[2n－1，2n＋1]，则x－2n∈[－1，1]．所以f(x)＝f(x－2n)＝(x－2n)2，x∈[2n－1，2n＋1]．练习2－2一、选择题1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( )(A)y＝x2－4x (B)y＝｜x｜ (C) (D)y＝x2＋2x2．下列判断正确的是( )(A)定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，且f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数(B)定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数(C)定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f(x)在R上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数3．已知函数f(x)是R上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f(1)＝2．则f(2)＝( )(A)－2 (B)2 (C)1 (D)－14．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )(A)f(x)f(－x)是奇函数 (B)f(x)｜f(－x)｜是奇函数(C)f(x)－f(－x)是偶函数 (D)f(x)＋f(－x)是偶函数二、填空题5．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m的取值范围是______；f(1)的取值范围是______．6．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝______．7．设函数为奇函数，则实数a＝______．8．已知函数f(x)＝x2－cos x，对于上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②③｜x1｜＞x2．其中能使f(x1)＞f(x2)恒成立的条件序号是______三、解答题9．已知函数f(x)是单调减函数．(1)若a＞0，比较与f(3)的大小；(2)若f(｜a－1｜)＞f(3)，求实数a的取值范围．10．已知函数(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)当a＝1时，证明函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．11．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足①f(2)＝1；②f(xy)＝f(x)＋f(y)，其中x，y 为任意正实数，③任意正实数x，y满足x≠y时，(x－y)[f(x)－f(y)]＞0恒成立．(1)求f(1)，f(4)的值；(2)试判断函数f(x)的单调性；(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，试求x的取值范围．§2－3 基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质．【知识要点】1．一次函数：y＝kx＋b(k≠0)(1)定义域为R，值域为R；(2)图象如图所示，为一条直线；(3)k＞0时，函数为增函数，k＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数．(5)函数y＝kx＋b的零点为2．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为(1)定义域为R：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为，顶点坐标为．当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．(3)当a＞0时，是减区间，是增区间；当a＜0时，是增区间，是减区间．(4)当且仅当b＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式＝b2－4ac＞0时，函数有两个变号零点；当判别式＝b2－4ac＝0时，函数有一个不变号零点；当判别式＝b2－4ac＜0时，函数没有零点．3．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)(1)定义域为R；值域为(0，＋∞)．(2)a＞1时，指数函数为增函数；0＜a＜1时，指数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x，使得x n＝a (a∈R，n＞1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．负数没有偶次方根．；(2)分数指数幂，；n，m∈N*，且为既约分数)．，且为既约分数)．(3)幂的运算性质a m a n＝a m＋n，(a m)n＝a mn，(ab)n＝a nb n，a0＝1(a≠0)．(4)一般地，对于指数式a b＝N，我们把“b叫做以a为底N的对数”记为log a N，即b＝log a N(a＞0，且a≠1)．(5)对数恒等式：＝N．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)；底的对数是1，1的对数是0．(7)对数的运算法则及换底公式：；；.(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．【例题分析】例1化简下列各式：(1)； (2)；(3)； (4)log2[log3(log464)]；(5)．解：(1)(2)(3)(4)log2[log3(log464)]＝log2[log3(log443)]＝log2[log33]＝log21＝0．(5)【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键．例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意解之得所以所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7．解法二f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，为f(2)＝－1，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为，又f(x)的最大值为8，所以.因为(－1，－1)点在抛物线上，所以，解得a＝－4．所以所求二次函数为.例3 (1)如果二次函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5在区间(2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是______．(2)二次函数y＝ax2－4x＋a－3的最大值恒为负，则a的取值范围是______．(3)函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系是_______．解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数，画简图可知此抛物线对称轴或与直线x＝2重合，或位于直线x＝2的左侧，于是有，解之得.(2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a＜0，且判别式＜0”，即，解得a∈(－∞，－1)．(3)因为对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，所以抛物线对称轴为x＝2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得f(2)＜f(1)＜f(4)．例4已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的范围．解：当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，其图象与x轴的交点为，符合题意；当m＜0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点两侧．所以m＜0符合题意；当m＞0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则解得0＜m≤1．综上，m∈(－∞，1]．【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握．例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用．例5 (1)当a≠0时，函数y＝ax＋b与y＝b ax的图象只可能是( )(2)函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象分别是图中的①、②、③、④，则a，b，c，d的大小关系是______．【分析】(1)在选项(A)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，b＞1，所以b a＜b0＝1(根据以为底的指数函数的性质)，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．在选项(B)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，b＞1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．在选项(C)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，0＜b＜1，所以b a＜b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．与图形提供的信息相符．在选项(D)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，0＜b＜1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．综上，选C．(2)如图，作直线y＝1与函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象依次交于A，B，C，D四点，则A，B，C，D四点的横坐标分别为a，b，c，d，显然，c＜d＜a＜b．【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用．这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f(0)＝1”，例5中“作直线y＝1”就是具体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y＝1”．例6已知幂函数．(1)若f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以，解得－1＜k＜3，因为k∈Z，所以k＝0，1，2，又因为f(x)为偶函数，所以k＝1，f(x)＝x2．(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以，解得k＜－1，或k＞3(k∈Z)．例7比较下列各小题中各数的大小(1)；(2)lg2与lg(x2－x＋3)；(3)0.50.2与0.20.5；(4)；(5)；(6)a m＋a－m与a n＋a－n(a＞0，a≠1，m＞n＞0)【分析】(1)函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以log20.6＜log21＝0，函数y＝log0.6x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以所以.(2)由于，所以lg2＜lg(x2－x＋3)．(3)利用幂函数和指数函数单调性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5．(4)因为.根据不等式的性质有(5)因为比较与log32，只需比较与log32，因为y＝log3x是增函数，所以只需比较与2的大小，因为，所以，所以，综上，(6)，当a＞1时，因为m＞n＞0，a m＞a n，a m＋n＞1，所以a m＋a－m＞a n＋a－n；当0＜a＜1时，因为m＞n＞0，a m＜a n，a m＋n＜1，所以a m＋a－m＞a n＋a－n．综上，a m＋a－m＞a n＋a－n．例8已知a＞2，b＞2，比较a＋b，ab的大小．【分析】方法一(作商比较法)，又a＞2，b＞2，所以，所以，所以a＋b＜ab．方法二(作差比较法)，因为a＞2，b＞2，所以2－a＜0，2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．方法三(构造函数)令y＝f(a)＝a＋b－ab＝(1－b)a＋b，将y看作是关于a的一次函数，因为1－b＜0，所以此函数为减函数，又a∈(2，＋∞)，y最大＜f(2)＝(1－b)×2＋b＝2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．【评析】两个数比较大小的基本思路：如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法”，如例8的方法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三)．如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较(如例7(4)(5)(6))．例9若log2(x－1)＜2，则x的取值范围是______．解：log2(x－1)＜2，即log2(x－1)＜log24，根据函数y＝log2x的单调性，可得x－1＜4，所以x＜5，结合x－1＞0，所以x的取值范围是1＜x＜5．例10 已知A，B为函数y＝log8x的图象上两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点．(1)如果A，B两点的连线经过原点O，请问C，D，O三点也共线么?证明你的结论．(2)当A，B，O三点共线并且BC与x轴平行时，求A点的坐标．略解：(1)设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，由于A，B，O在同一条直线上，所以又设C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，于是有同样可得结合①式，有k OC＝k OD，即C，D，O三点共线．(2)当BC∥x轴时，即。

2020届高考数学选择题填空题专项练习(文理通用)15 比较大小(含解析)

2020届高考数学选择题填空题专项练习(文理通用)15 比较大小(含解析)

2020届高考数学选择题填空题专项练习（文理通用）15比较大小第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·福建高三（理））设12a e-=，24b e -=，12c e -=，323d e -=，则a b c d ,,,的大小关系为（ ） A ．c b d a >>>B ．c d a b >>> C ．c b a d >>>D ．c d b a >>>.【答案】B 【解析】【分析】利用指数幂的运算性质化成同分母，再求出分子的近似值即可判断大小．【详解】3241e a e e ==，2416b e =，222444e c e e==，249e d e =，由于 2.7e ≈，27.39e ≈，320.09e ≈，所以c d a b >>>，故选：B ．【点睛】本题主要考查比较幂的大小，属于基础题．2．（2020·湖南高三学业考试）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）.A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】【分析】根据所给数据，分别求出平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，然后进行比较可得选项. 【详解】1(15171410151717161412)14.710a =+++++++++=，中位数为1(1515)152b =+=，众数为=17c .故选：B.【点睛】本题主要考查统计量的求解，明确平均数、中位数、众数的求解方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.（2020·四川省泸县第二中学高三月考（文））已知3log 6p =，5log 10q =，7log 14r =，则p ，q ，r 的大小关系为（ ）A ．q p r >>B ．p r q >>C ．p q r >>D ．r q p >>【答案】C 【解析】【分析】利用对数运算的公式化简,,p q r 为形式相同的表达式，由此判断出,,p q r 的大小关系.【详解】依题意得31+log 2p =，51log 2q =+，71log 2r =+，而357log 2log 2log 2>>，所以p q r >>.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.4. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））设｛a n ｝是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件、C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】1212311101a a a a a a q a q q >⎧<<⇒<<⇒⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，所以数列｛a n ｝是递增数列,若数列{a n }是递增数列，则“a 1＜a 2＜a 3”，因此“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的充分必要条件，选C5．（2020·四川棠湖中学高三月考（文））设log a =log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C 【解析】【分析】根据所给的对数式和指数式的特征可以采用中间值比较法，进行比较大小.【详解】因为20182018201811log 2018log log ,2a =>=>=201920191log log ,2b ==102019201820181c =>=，故本题选C.【点睛】本题考查了利用对数函数、指数函数的单调性比较指数式、对数式大小的问题.6．（2020·北京八十中高三开学考试）设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则 （ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】0.10.1341,log 0.10,00.51a b c =>=<<=<，a c b ∴>>，故选C 。

2019-2020年高考数学 7.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离练习

2019-2020年高考数学 7.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离练习

2019-2020年高考数学 7.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离练习——求空间角和距离(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B. C. D.【解析】选B.建立空间直角坐标系如图.则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).=(-1,0,2),=(-1,2,1),cos<,>==.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.2.(xx·宁波模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B. C. D.【解析】选A.以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=1,则=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,1,0),设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则取z=1,则y=-2,x=2,所以n=(2,-2,1),所以sinθ====.【一题多解】本题还可以采用如下方法解答.方法一:选A.设AB=1,则AA1=2.设AC∩BD=O,连接C1O,过C作CH⊥C1O于H,连接DH,显然△C1DB是等腰三角形,所以C1O⊥BD,又C1C⊥BD,因为C1O∩C1C=C1,所以BD⊥平面C1CO,CH⊂平面C1CO,所以BD⊥CH,而CH⊥C1O,BD∩C1O=O,所以CH⊥平面C1BD,所以∠CDH是CD与平面C1BD所成的角,在Rt△C1OC中,OC=,C1C=2,所以C1O==,由C1C·OC=C1O·CH知CH==,在Rt△CDH中,sin∠CDH==.方法二:选A.设点C到平面C1BD的距离为h,CD与平面C1BD所成的角为θ,由=知·h=S△CBD·C1C,所以h=,所以sinθ==.3.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A. B.C. D.【解题提示】以A为原点建立空间直角坐标系,分别求出直线BC1的方向向量与平面DBB1D1的法向量,用空间向量的直线与平面所成角的夹角公式计算得解.【解析】选C.如图建立空间直角坐标系,则B(4,0,0),C(4,4,0),C1(4,4,2),显然AC⊥平面BB1D1D,所以=(4,4,0)为平面BB1D1D的一个法向量.又=(0,4,2).所以cos<,>===.即直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为.4.(xx·厦门模拟)二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为()A.150°B.45°C.60°D.120°【解析】选C.由条件知·=0,·=0,因为=++.所以||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=62+42+82+2×6×8cos<,>=(2)2.所以cos<,>=-,则<,>=120°,即<,>=60°.所以二面角的大小为60°.5.(xx·北京模拟)在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为()A. B.a C. D.a【解题提示】以P为原点建立空间直角坐标系,利用空间向量法求解.【解析】选B.根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).所以=(-a,a,0),=(-a,0,a),=(a,0,0).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z).由得得令x=1,所以n=(1,1,1),所以P到平面ABC的距离d===a.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,在直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=BC=1,侧棱AA1=,M为A1B1的中点,则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为.【解析】以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则平面AA1C1C的法向量为n=(0,1,0),AM=-(1,0,)=,则直线AM与平面AA1C1C所成角θ的正弦值为sinθ=|cos<,n>|==,所以tanθ=.答案:7.已知点E,F分别在正方体ABCD -A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC 所成的二面角的正切值为.【解析】如图,建立空间直角坐标系Dxyz,设DA=1,由已知条件得A(1,0,0),E,F,=,=,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),面AEF与面ABC所成的二面角为θ,由图知θ为锐角,由得令y=1,z=-3,x=-1,则n=(-1,1,-3),平面ABC的法向量为m=(0,0,-1),cosθ=|cos<n,m>|=,tanθ=.答案:8.(xx·石家庄模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1上的点,则点E到平面ABC1D1的距离是.【解析】以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设点E(1,a,1)(0≤a≤1),连接D1E,则=(1,a,0).连接A1D,易知A1D⊥平面ABC1D1,则=(1,0,1)为平面ABC1D1的一个法向量.所以点E到平面ABC1D1的距离是d==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(xx·湖南高考)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明:O1O⊥底面ABCD.(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.【解题提示】(1)利用矩形的邻边垂直,及线线平行证明OO1⊥AC,OO1⊥BD.(2)由二面角的定义或者向量法求二面角的余弦值.【解析】(1)因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD,因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD.(2)方法一:如图,过O1作O1H⊥B1O,垂足为H,连接C1H,由(1)可得OO1⊥A1C1,由于A1B1C1D1是菱形,所以B1D1⊥A1C1,所以A1C1⊥平面B1D1DB,所以由三垂线定理得HC1⊥B1O,所以∠O1HC1就是二面角C1-OB1-D的平面角.设棱柱的棱长为2,因为∠CBA=60°,所以OB=,OC=1,OB1=,在直角三角形O1OB1中,O1H==,因为O1C1=1,所以C1H===,所以cos∠C1HO1==,即二面角C1-OB1-D的余弦值为.方法二:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD,又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设棱长为2,因为∠CBA=60°,所以OB=,OC=1,所以O,B1,C1,平面BDD1B1的一个法向量为n=,设平面OC1B1的法向量为m=,则由m⊥,m⊥,所以x+2z=0,y+2z=0,取z=-,则x=2,y=2,所以m=,所以cos<m,n>===.由图形可知二面角C1-OB1-D为锐二面角,所以二面角C1-OB1-D的余弦值为.10.(xx·杭州模拟)如图,将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角,且EA⊥平面ABD,AE=a,(1)若a=2,求证:AB∥平面CDE.(2)求实数a的值,使得二面角A-EC-D的大小为60°.【解析】(1)如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,2),=(2,0,0),=(0,-2,2),=(1,-1,),设平面CDE的一个法向量为n1=(x,y,z),则有-2y+2z=0,x-y+z=0,取z=时,n1=(0,2,),所以·n1=0,又AB不在平面CDE内,所以AB∥平面CDE.(2)如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,a),=(0,-2,a),=(1,-1,),设平面CDE的一个法向量为n2=(x,y,z),则有-2y+az=0,x-y+z=0,取z=2时,n2=(a-2,a,2),又平面AEC的一个法向量为n3=(-1,1,0),因为二面角A-EC-D的大小为60°,所以=,即a2-2a-2=0, 解得a=±2.(20分钟40分)1.(5分)如图,在四面体ABCD中,AB=1,AD=2,BC=3,CD=2,∠ABC=∠DCB=,则二面角A-BC-D的大小为()A. B.C. D.【解析】选 B.二面角A-BC-D的大小等于AB与CD所成角的大小.=++.而=+++2||||·cos<,>,即12=1+9+4+2×1×2cos<,>,所以cos<,>=-,所以AB与CD所成角为,即二面角A-BC-D的大小为.2.(5分)(xx·北京模拟)已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到平面AB1D1的距离是.【解析】如图所示建立空间直角坐标系Dxyz,则A1(2,0,4),A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4),=(-2,0,4),=(0,2,4),=(0,0,4),设平面AB1D1的法向量为n=(x,y,z),则即解得x=2z且y=-2z,不妨设n=(2,-2,1),设点A1到平面AB1D1的距离为d,则d==.答案:3.(5分)(xx·郑州模拟)正四棱锥S -ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角的大小为.【解析】如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P.则=(2a,0,0),=,=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos<,n>===.所以<,n>=60°,所以直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°.答案:30°4.(12分)(能力挑战题)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC=2,∠ABC=120°,M,N分别为线段AB,CD的中点,连接AN,DM交于点O,将△ADM沿直线DM翻折成△A′DM.使平面A′DM⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(1)求证:ON⊥平面A′DM.(2)求证:BF∥平面A′DM.(3)求直线FO与平面A′DM所成的角.【解析】(1)连接MN,由平面几何知四边形AMND是菱形.所以AN⊥DM.因为平面A′DM⊥平面ABCD,DM是交线,AN⊂平面ABCD,所以AN⊥平面A′DM,即ON⊥平面A′DM.(2)取A′D的中点E,连接EF,EM,因为F是A′C中点,所以EFCD.又M是AB中点,所以在平行四边形ABCD中,BMCD,所以EF BM,所以四边形EFBM是平行四边形.所以BF∥EM,因为EM⊂平面A′DM,BF⊄平面A′DM,所以BF∥平面A′DM.(3)因为AB=2BC=2,M是AB中点,所以A′D=A′M=1.因为菱形ADNM中O是DM中点,所以A′O⊥DM,因为平面A′DM⊥平面ABCD,所以A′O⊥平面ABCD.以ON为x轴,OM为y轴,OA′为z轴建立空间直角坐标系,∠ADN=∠ABC=120°,在△ADN中,AD=DN=1,所以AN==.同理求得DM=AD=AM=1,所以N,D,A′,因为N是CD的中点,所以C.因为F是A′C的中点,所以F.因为NO⊥平面A′DM,所以平面A′DM的一个法向量=.因为=,所以||==1.设OF与平面A′DM所成的角为θ,0<θ<,则sinθ=|cos<,>|===,所以θ=.所以直线FO与平面A′DM所成的角为.5.(13分)(xx·江西高考)如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证:AB⊥PD.(2)若∠BPC=90°,PB=,PC=2,问AB为何值时,四棱锥P-ABCD的体积最大?并求此时平面PBC与平面DPC 夹角的余弦值.【解题提示】(1)利用面面垂直的性质定理证明AB⊥平面PAD即可.(2)借助两平面垂直的性质,作PO⊥AD,即四棱锥的高找到,过点O作OM⊥BC于点M,连接PM.则四棱锥的体积能用AB的长度表示,即可建立体积与AB的函数,借助二次函数知识求最值;此时可建立空间直角坐标系,利用坐标法求解.【解析】(1)因为ABCD为矩形,所以AB⊥AD,又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以AB⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.(2)过点P作PO⊥AD于点O,则PO⊥平面ABCD,过点O作OM⊥BC于点M,连接PM.则PM⊥BC,因为∠BPC=90°,PB=,PC=2,所以BC=,PM=,设AB=t,则在Rt△POM中,PO=,所以VP-ABCD=·t··=,所以当t2=,即t=时,VP-ABCD最大为.此时PO=AB=,且PO,OA,OM两两垂直,以OA,OM,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz, 则P,D,C,B.所以=,=,=.设平面PCD的一个法向量m=(x1,y1,z1),则即令x1=1,则m=(1,0,-2),|m|=;同理设平面PBC的一个法向量n=(x2,y2,z2),即令y2=1,则n=(0,1,1),|n|=,设平面PBC与平面DPC夹角为θ,显然θ为锐角,且cosθ===..。

高考备考数学新定义类创新题选择填空专题练习(含答案)

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一、选择题1．定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{}1,2A =，{}0,2B =，则集合A B *的所有元素之和为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．62．已知函数①()1f x x =+；②()22x f x =-；③()1f x x=；④()ln f x x =；⑤()cos f x x =．其中对于()f x 定义域内的任意1x ，都存在2x ，使得()()1212f x f x x x =-成立的函数是（ ） A ．①③B ．②⑤C ．③⑤D ．②④3．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的(),m n =a ，(),p q =b ，令a ⊙mq np =-b 下列说法错误的是（ ）A ．若a 与b 共线，则令a ⊙0=bB ．a ⊙=b b ⊙aC ．对任意的λ∈R 有()λa ⊙()λ=b abD )(2+⋅a a b 4．我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”， 设ABC △三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积公式”为S ．若2sin 24sin a C A =，()()()2sin sin 27sin a C B c b a A -+=-，则用“三斜求积公式”求得的S =（ ）A B C D 5．设非空集合{}|S x m x n =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下三个命题：①若1m =，则{}1S =；②若12m =-，则114n ≤≤；③若12n =，则0m ≤≤．其中正确的命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现将曲线2213648x y +=绕y 轴旋转一周得到的几何体叫做椭球体，记为1G ，几何体2G 的三视图如图所示．根据祖暅原理通过考察2G 可以得到1G 的体积，则1G 的体积为（ ）A． B． C． D．7．对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈∈=R ，(){}0x g x β∈∈=R ，若存在α、β，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点关联函数”．若函数()1e 2x f x x -=+-与()23g x x ax a -=-+ 互为“零点关联函数”，则实数a 的取值范围为（ ）A ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]2,3D ．[]2,48．若三个非零且互不相等的实数1x ，2x ，3x 成等差数列且满足123112x x x +=，则称1x ，2x ，3x 成一个“β等差数列”．已知集合{}100, M x x x =≤∈Z ，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（ ） A ．25B ．50C ．51D ．1009．定义域为[],a b 的函数()y f x =的图象的两个端点分别为()(),A a f a ，()(),B b f b ，(),M x y 是()f x 图象上任意一点，其中()()101x a b λλλ=+-<<，向量BN BA λ=．若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上为“k 函数”．已知函数326115y x x x =-+-在[]0,3上为“k 函数”，则实数k 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，若()f x y x=在()0,+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若()2f x y x=在()0,+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω．若函数()322f x x hx hx =--，且()1f x ∈Ω，()2f x ∉Ω，则实数h 的取值范围是（ ） A ．()0,+∞B ．[)0,+∞C ．(),0-∞D ．(],0-∞11．函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],a b D ⊆使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称()y f x =为“成功函数”，若函数()()()log 0,1xa f x a t a a =+>≠是“成功函数”，则t 的取值范围为（ ） A ．()0,+∞B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦12．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，A ，B ，C 为抛物线C 上三点，当FA FB FC ++=0时，称ABC △为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．无数个二、填空题13．如果函数()f x 在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意1x ，2x ，，n x ，都有()()()1212n n f x f x f x x x x f nn ++++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，若sin y x =在区间()0,π内是凸函数，则在ABC △中，sin sin sin A B C ++的最大值是_____．14卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点(叫作焦点)的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设()1,0F c -，()2,0F c 是平面内的两个定点，212PF PF a ⋅= (a 是定长)，得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形； ②若a c =，则曲线过原点； ③若0a c <<，则曲线不存在；④若0c a <<，则222222a c x y a c -++≤≤． 其中正确命题的序号是________．15．记[]x 为不超过x 的最大整数，如[]2.72=，[]1.32-=-，则函数()()[]ln 1f x x x =+-的所有零点之和为________．16．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+，和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x x =∈R ，()()10g x x x=<，()2eln h x x =(e 为自然对数的底数)，有下列命题： ①()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-； ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1-； ④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-．其中真命题的序号为__________．(请填写正确命题的序号)参考答案 1．【答案】D【解析】根据题意，设{}1,2A =，{}0,2B =，则集合A B *中的元素可能为0，2，0，4， 集合元素的互异性，则{}0,2,4A B *=，其所有元素之和为0246++=，故选D ． 2．【答案】B【解析】由()()12120f x f x x x +=知，对函数()f x 图象上任意一点()()11,A x f x ，都存在一点()()22,B x f x ，使OA OB ⊥，若斜率都存在，则1OA OB k k =-．对于①，由于()1f x x =+，所以无论两个点如何取，OA 和OB 的斜率均等于1，故①不成立；对于②，由于()22x f x =-，结合图象可得过原点总有两条直线与函数的图象相交，即对函数()f x 图象上任意一点A ，都存在一点B ，使OA OB ⊥，故②成立； 对于③，由于()1f x x=，若()()1212121f x f x x x x x ==-⋅，则()2121x x =-，显然不成立，故③不成立；对于④，由于()ln f x x =，则当11x =时，故0OA k =，直线OA 为x 轴，此时与直线OA 垂直的直线为y 轴，而y 轴与函数()f x 的图象无交点，故④不成立；对于⑤，由于s (o )c f x x =，结合图象可得过原点总有两条直线与函数的图象相交，即对函数()f x 图象上任意一点A ，都存在一点B ，使OA OB ⊥，故⑤成立． 综上可得符合条件的是②⑤，故选B ． 3．【答案】B【解析】根据两向量共线的坐标表示可知A 正确， mq np =-ab ，pn mq =-b a ，所以B 不正确；()()mq np λλλλ==-a b ab ，所以C 正确；()()()()()()22222222mq np mp nq m n pq +⋅=-++=++ab a b ，所以D 正确，故选B ． 4．【答案】D【解析】由2sin 24sin a C A =，可得224a c a =，24ac ∴=，由()()()2sin sin 27sin a C B c b a A -+=-，可得()()()227a c b c b a a -+=-，整理计算有22227a c b +-=，结合三角形面积公式可得S ==． 故选D ． 5．【答案】D【解析】已知非空集合{}|S x m x n =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈， 故当x n =时，2n S ∈即2n n ≤，解得01n ≤≤，当x m =时，2m S ∈即2m m ≥，解得0m ≤，或1m ≥；根据m n ≤，得0m ≤； ①若1m =，由11m n =≤≤，可得1m n ==，即{}1S =，故①正确； ②若12m =-，214m S =∈，即12n -≤，且14n ≤，故114n ≤≤，故②正确；③若12n =，由2m S ∈，可得21212m m ⎧⎪⎪⎨≤≤⎪⎪⎩，结合0m ≤，可得0m ≤≤，故③正确；故选D ． 6．【答案】D【解析】由三视图可得几何体2G 是一个底面半径为6，高为 在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，上底面为底面的圆锥，则圆柱的体积为2π6⨯⨯=，圆锥的体积21π63⨯⨯⨯=，∴利用祖暅原理可计半椭球的体积为-=，所以1G的体积为2⨯=，故选D ． 7．【答案】C【解析】()1e 2x f x x -=+-，()f x 为单调递增的函数，且1x =是函数唯一的零点，由()f x ，()g x 互为“零点相邻函数”，则()g x 的零点在[]0,2之间．（1）当()g x 有唯一的零点时，0Δ=，解得2a =，解得1x =满足题意；（2）当()g x 在[]0,2之间有唯一零点时，()()020g g ≤，解得7,33a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（3）当()g x 在[]0,2之间有两个点时，0Δ>，()()020g g ≥，解得72,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上所述，解得[]2,3a ∈，故选C ．8．【答案】B【解析】由三个非零且互不相等的实数1x ，2x ，3x 成等差数列且满足123112x x x +=， 知2131232112x x x x x x =++=⎧⎪⎨⎪⎩，消去2x ，并整理得()()131320x x x x +-=，所以13x x =（舍去），312x x =-，于是有2112x x =-．在集合{}100, M x x x =≤∈Z 中，三个元素组成的所有数列必为整数列，所以1x 必能被2整除，且[]150,50x ∈-，10x ≠，故这样的数组共50组，答案选B ． 9．【答案】D【解析】当0x =时，5y =-，当3x =时，1y =．所以()0,5A -，()3,1B ． 所以()()3201331272761M M x y λλλλλλ=⨯+-⨯=-=-+-+．． 因为向量BN BA λ=，所以()()3,63,6BN λλλ=--=--，所以()()()32323,63,272760,2727MN BN BM λλλλλλλλ=-=-----+-=-， 所以(()322272727271MN λλλλ==-=-，设()()()227101g λλλλ=-<<，()25481g λλλ∴=-'，所以函数()g λ在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 243g g λ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以4k ≥，故选D ． 10．【答案】C【解析】因为()1f x ∈Ω且()2f x ∉Ω，即()()22f x g x x hx h x==--在()0,+∞是增函数，所以0h ≤，而()()22f x h h x x h x x ==--在()0,+∞不是增函数，而()21hh x x='+， 所以当()h x 是增函数时，有0h ≥，当()h x 不是增函数时，有0h <， 综上所述，可得h 的取值范围是(),0-∞，故选C ． 11．【答案】C【解析】∵()()()log 0,1x a f x a t a a =+>≠是“成功函数”，∴()f x 在其定义域内为增函数，()()1log 2x a f x a t x =+=，∴2x x a t a +=，20xx a a t -+=，令20x m c =>，∴20m m t -+=有两个不同的正数根，∴1400t t ->>⎧⎨⎩，解得10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选C ．12．【答案】D【解析】抛物线方程为24y x =，A ，B ，C 为曲线C 上三点， 当FA FB FC ++=0时，F 为ABC △的重心，用如下办法构造ABC △，连接AF 并延长至D ，使12FD AF =， 当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，若存在以D 为中点的弦BC ， 设()11,B m n ，()22,C m n ，则1202m m x +=，1202n n y +=，1212BC n n k m m -=-，则21122244n m n m ⎧==⎪⎨⎪⎩，两式相减化为()1212124n n n n m m -+=-，121202BC n n k m m y -==-，所以总存在以D 为中点的弦BC ， 所以这样的三角形有无数个，故选D ． 13．【解析】由题意，知凸函数()f x 满足()()()()12312n n f x f x f x f x x x x f nn +++++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 又sin y x =在区间()0,π上是凸函数， 所以πsin sin sin3sin 3sin 33A B CA B C ++++≤==． 14．【答案】①②③④ 【解析】由题意设(),P x y 2a =，即()()22224x c y x c y a ⎡⎤⎡⎤++⋅-+=⎣⎦⎣⎦， ①把方程中的x 被x -代换，方程不变，故此曲线关于y 轴对称；把方程中的y 被y -代换，方程不变， 故此曲线关于x 轴对称；把方程中的x 被x -代换，y 被y -代换，方程不变，故此曲线关于原点对称； 故①正确；②a c =，()0,0代入，方程成立则曲线过原点，故②正确；③∵()12min 2PF PF c +=，（当且仅当，12PF PF c ==时取等号），∴()212min PF PF c =，∴若0a c <<，则曲线不存在，故③正确；④若0c a <<，则类比椭圆的性质，可得222222a c x y a c -≤+≤+，故④正确． 故答案为①②③④． 15．【答案】1e 2e+-【解析】由题意可知[]1x x x -<≤，令()()()ln 11g x x x =+--，()3x ≥．有()1'101g x x =-<+． 所以()g x 在[)3,+∞上单调递减，有()()3ln420g x g <=-<， 所以()()[]ln 1f x x x =+-在[)3,+∞上无零点，只需考虑：()10ln 11x x -<<+=-⎧⎪⎨⎪⎩，()01ln 10x x ≤<+=⎧⎪⎨⎪⎩，()12 ln 11x x ⎧<+=⎪⎨⎪⎩≤，()23ln 12x x ⎧<+=⎪⎨⎪⎩≤， 可得三个零点分别为11e -，e 1-，0，故答案为1e 2e+-．16．【答案】①②④【解析】结合题意逐一考查所给命题的真假：①∵()()()21m x f x g x xx =-=-，x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()322121'20x m x x x x +=+=>， ∴()()()F x f x g x =-在⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，故①对；②、③设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 成立，即有10Δ≤，240k b +≤，0b ≤，又1kx b x≤+对一切0x <成立，则210kx bx +-≤，即20Δ≤，240b k +≤，0k ≤， 即有24k b ≤-且24b k ≤-，42166440k b k k -⇒-≤≤≤≤，同理可得40b -≤≤，故②对，③错； ④函数()f x 和()h x 的图象在x )，因此若存在()f x 和()g x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线方程为(e y k x -=，即e y kx =-， 由()()ef x kx x -+≥∈R ，可得2e 0x kx -+≥当x ∈R 恒成立， 则0Δ≤，即(20k -≤，故k =，此时直线方程为e y =-，下面证明()e h x ≤-：令()()e e 2eln G x h x x =--=--，则()'x G x x=，当x =()0G x '=，当0x <<时，()0G x '<，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值．所以()()e 0G x h x =--≥，则()e h x ≤-当0x >时恒成立．∴函数()f x 和()g x 存在唯一的隔离直线e y =-，故④正确．故答案为①②④．。

高考数学客观题训练【6套】选择、填空题

高考数学客观题训练【6套】选择、填空题

数学PA高考数学客观题训练【6套】选择、填空题专题练习（一）1．已知全集U=R ，集合)(},021|{},1|{N M C x x x N x x M U则≥-+=≥=（ ）A ．{x |x <2}B ．{x |x ≤2}C ．{x |－1<x ≤2}D ．{x |－1≤x <2}2．设,0,0<>b a 已知),(a b m ∈且0≠m ，则m1的取值范围是： ( )A ．)1,1(a b B.)1,1(b a C.)1,0()0,1(a b ⋃ D.),1()1,(+∞⋃-∞ab 3．设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是4．直线052)3(057)3()1(2=-+-=-+-++yx m m y m x m 与直线垂直的充要条件是（ ）A ．2-=mB ．3=mC ．31=-=m m 或D ．23-==m m 或5．命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为 （ ）(A) 042,2≥+-∈∀x x R x (B) 042,2>+-∈∃x x R x (C)042,2≤+-∉∀x x R x (D) 042,2>+-∉∃x x R x6. 若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=,()0AB AD AC -⋅=,则该四边形一定是A ．直角梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形7．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 A ．2a πB ．22a πC ．32a πD ．42a π8．若22πβαπ<<<-，则βα-一定不属于的区间是 ( )A ．()ππ,- B ．⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ C ．()π,0 D ． ()0,π-9．等差数列{a n } 中，a 3 =2，则该数列的前5项的和为( ) A ．10 B ．16C ． 20D ．3210．不等式10x x->成立的充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >-D ．1x >二、填空题 （每题5分，满分20分，请将答案填写在题中横线上） 11. 线性回归方程ˆybx a =+必过的定点坐标是________. 12. .在如下程序框图中，已知：x xe x f =)(0，则输出的是__________.13. 如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒末，它从原点运 动到（0，1），接着它按如图所示的x 轴、y 轴的平行方向来 回运动，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→ （2，0）→…），且每秒移动一个单位，那么第2008秒末这 个粒子所处的位置的坐标为______。

2020年最新高考数学--以圆或隐圆为背景的选择填空题(解析版)

2020年最新高考数学--以圆或隐圆为背景的选择填空题(解析版)

专题一 压轴选择填空题第4关 以圆或隐圆为背景的选择填空题【名师综述】直线与圆是高中数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对直线与圆的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式或轨迹相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显直线与圆的交汇价值．【典例解剖】类型一 以动点轨迹为圆考查直线与圆、圆与圆位置关系典例1．（2020上海控江中学高三月考）设三角形ABC 是位于平面直角坐标系xOy 的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点P 满足：222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++，已知动点P 的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】C 【解析】【分析】可设(,)P x y ，()11,A x y ()22,B x y ，()33,C x y ，由222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++列出关系式，由P 的轨迹为圆，求出圆心坐标即可【详解】设(,)P x y ，()11,A x y ()22,B x y ，()33,C x y ，由222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++得：222222222222112233112233()()()()()()x x y y x x y y x x y y x y x y x y -+-+-+-+-+-=+++++ 展开整理，得22123123332()2()0x y x x x x y y y y +-++-++=．∴2222123123123123111[()][()][()()]339x x x x y y y y x x x y y y -+++-++=+++++． ∴圆的圆心坐标为1231(()3x x x ++，1231())3y y y ++，为三角形ABC 的重心，故选C ．【名师点睛】本题考查直线与圆的综合应用，圆的轨迹方程的求法，重心坐标公式的应用，计算量偏大，化简时需进行整体代换，简化运算难度，属于中档题． 【举一反三】（2020上海洋泾中学高三月考）已知定圆C ：()2245x y -+=，其圆心为()4,0C ，点A 为圆C 所在平面内一定点，点P 为圆C 上一个动点，若线段PA 的中垂线与直线PC 交于点Q ，则动点Q 的轨迹可能为______．（写出所有正确的序号）（1）椭圆；（2）双曲线；（3）抛物线；（4）圆；（5）直线；（6）一个点． 【答案】（1）（2）（4）（6） 【解析】（1）若点A 在圆C 外部，=QA QC PC AC ->Q 点的轨迹是以,A C 为焦点的双曲线；（2）若点A 在圆上，则C Q ，点重合，如图，点Q 点的轨迹为点C ；（3）若点A 在圆内部且不为圆心，则QA QC PC +==AC <Q 点的轨迹是以,A C 为焦点的椭圆；（4）若点A 在圆内部且为圆心，,A C 重合时，Q 为半径PA 的中点，所以点Q 是以C 为半径的圆．综上所述，Q 点的轨迹可能是（1）（2）（4）（6）四种情况 答案为：（1）（2）（4）（6）类型二 以圆中直角三角形建立函数关系式或方程或不等式典例2．（2020上海师大附中期中）已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】由题意，AC 为直径，所以24437PA PB PC PO PB PB ++=+≤+≤+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，当且仅当点B 为（-1，0）时，PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r取得最大值7，故选B ．考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质 【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键． 【举一反三】1．（2020上海七宝中学高三月考）已知a b v v 、是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量c v 在满足()()340a c b c +-=v v v v，均能使c b k -≤v v 成立，则k 的最小值是_________．【答案】52【解析】【分析】根据题意，()()()1,0,0,1,,a b c x y v v v===，利用()()340a c b c +⋅-=r r r r ，求得,x y 的关系，利用圆的几何性质，再求出c b -vv 的最大值，从而求出k 的最小值．【详解】因为a b v v 、是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可设 ()()()1,0,0,1,,a b c x y v v v ===， ()33,a c x y ∴+=+r r ，()4,4b c x y -=--r r，又()()340a c b c +⋅-=r r r r ，()()340x x y y ∴-++-=，即()22325224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， 它表示的圆心在3,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为52的圆，c b -v v 表示圆上的点到(0,1)B 的距离，圆心M 到点(0,1)B 的距离为d =c b ∴-r r 的最大值为52=，要使c b k -≤r r 恒成立，52k ≥，即k 的最小值是52，故答案为52．【名师点睛】本题主要考查向量模的几何意义、轨迹方程的应用以及圆的几何意义，考查了转化思想的应用，属于难题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将不等式恒成立问题转化为圆上动点到定点距离的最值问题是解题的关键． 类型三 利用数形结合揭示与刻画直线与圆、圆与圆位置关系典例3．（2020上海青浦中学月考）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】【分析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +． 【详解】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ， 所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C ． 【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 【举一反三】（2020上海徐汇区一模）若圆221:1C x y +=和圆222:680C x y x y k +---=没有公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(9,11)-B ．(25,9)--C ．(,9)(11,)-∞-+∞UD ．(25,9)(11,)--+∞U【答案】D【解析】化圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝25+k ，则k ＞﹣25，圆心坐标为（3，4）， 圆C 1：x 2+y 2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．要使圆C 1：x 2+y 2＝1和圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0没有公共点，则|C 1C 2|1或|C 1C 2|1，即51或51，解得﹣25＜k ＜﹣9或k ＞11． ∴实数k 的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞），故选D ．【精选名校模拟】1．（2020上海七宝中学月考）已知实数x 、y 满足：22(2)1x y +-=，ω=的取值范围是（ ）A ．B ．[1,2]C ．(0,2]D ．2【答案】B 【解析】【分析】构造直线0x +=，过圆上一点P 作直线的垂线PM 2sin POM =∠，求出sin POM ∠的范围即可得出．【详解】设(,)P x y 为圆22(2)1x y +-=上的任意一点，则P 到直线0x +=的距离PM =P 到原点的距离OP =22sin PMPOM OP==∠． 设圆22(2)1x y +-=与直线y kx =1=，解得k =，POM ∴∠的最小值为30︒，最大值为90︒，1sin 12POM ∴∠剟，12sin 2POM ∴∠剟，故选B ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，距离公式的应用，解题关键是数形结合思想的应用，能阅读出ω=2．（2020上海南模中学高三月考）设1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，那么过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与圆()2211x y -+=的位置关系是（ ）A ．相离．B ．相切．C ．相交．D ．随m 的变化而变化．【答案】D 【解析】22212121,ABx x k x x x x -==+∴-Q 直线AB 的方程为21121()()y x x x x x -=+-． 即1212()y x x x x x =+-，所以直线AB的方程为22,y mx m m d =-+-===因为2240,4()0,03m m m m ∆>∴-->∴<<， 所以221999225,(),(,),()()161616256t g t t t t g t g m =>∴=+∈+∞>=令，所以1615d =<=，所以直线AB 与圆可能相交，也可能相切，也可能相离． 3．（2020上海一模冲刺练）若对于任意角θ，都有cos (2)sin 1x y θθ+-=，则直线:cos (2)sin 1l x y θθ+-=围成的正多边形的最小面积是（ ）A．B ．4C．D ．不确定【答案】D 【解析】【分析】先根据点()02P ，到直线cos (2)sin 1x y θθ+-=的距离为1，确定直线为以()02，为圆心，1为半径的圆的切线，再取特殊直线运算否定ABC 即得选项． 【详解】由对于任意角θ，都有cos (2)sin 1x y θθ+-=，则点()02P ，到直线cos (2)sin 1x y θθ+-=1=，即此直线为以()02，为圆心，1为半径的圆的切线， 当三条切线如图所示时，则正三角形ABC 的面积11233S =⨯⨯=， 即存在直线:cos (2)sin 1l x y θθ+-=，即选项A ，B ，C 错误，故选D ．4．（2020上海交大附中月考）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．②C ．①②D ．①②③【答案】C 【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围．【详解】由221x y x y +=+得，221y x y x -=-，2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔， 所以x 可为的整数有0，-1，1，从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0，1)，(0，-1)，(1，0)，(1，1)，(-1，0)，(-1，1)六个整点，结论①正确．由221x y x y +=+得，222212x y x y +++…，解得222x y +≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都．结论②正确．如图所示，易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -， 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误，故选C ．5．（2020上海浦东复旦附中高三月考）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 240x y +-= 相切，则圆 C 面积的最小值为___ ． 【答案】45π【解析】由题意，圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则d =r =，45S π=． 6．（2020上海二中高三期中考试）若定义域均为D 的三个函数f （x ），g （x ），h （x ）满足条件：对任意x ∈D ，点（x ，g （x ）与点（x ，h （x ）都关于点（x ，f （x ）对称，则称h （x ）是g （x ）关于f （x ）的“对称函数”．已知g （x ）f （x ）=2x+b ，h （x ）是g （x ）关于f （x ）的“对称函数”，且h （x ）≥g （x ）恒成立，则实数b 的取值范围是_____．【答案】)+∞ 【解析】【分析】根据对称函数的定义，结合h （x ）≥g （x ）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可【详解】∵x ∈D ，点（x ，g （x ）） 与点（x ，h （x ））都关于点（x ，f （x ））对称，∴g （x ）+h （x ）=2f （x ）， ∵h （x ）≥g （x ）恒成立，∴2f （x ）=g （x ）+h （x ）≥g （x ）+g （x ）=2g （x ），即f （x ）≥g （x ）恒成立， 作出g （x ）和f （x ）的图象，则g （x ）在直线f （x ）的下方或重合， 则直线f （x ）的截距b ＞0，且原点到直线y=2x+b 的距离d≥1，1=≥⇒b ≤，即实数b 的取值范围是+∞），故答案为：)+∞．7．（2020上海育才中学高三月考）已知平面直角坐标系中两点12(,)A a a 、12(,)B b b ，O 为原点，有122112AOB S a b a b ∆=-．设11(,)M x y 、22(,)N x y 、33(,)P x y 是平面曲线2224x y x y +=-上任意三点，则12212332T x y x y x y x y =-+-的最大值为________【答案】20． 【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长，由题意得12212332T x y x y x y x y =-+-12212332222OMN OPN OMNP x y x y x y x y S S S ∆∆≤-+-=+=四边形，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可得出T 的最大值．【详解】将圆的方程化为标准方程得()()22125x y -++=，圆心坐标为()1,2-122123321221233222OMN OPN T x y x y x y x y x y x y x y x y S S ∆∆∴=-+-≤-+-=+2OMNP S =四边形，由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，所以当四边形OMNP 为正方形时，T =所以2220T ≤⨯=，故答案为：20．8．（2020上海浦东新区高三期末）若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】 【解析】【分析】将函数2y ax a =+()()2,()f x a x g x =+=像，观察图像得出实数a 的取值范围．【详解】设()()2,()f x a x g x =+=2y ax a =+存在零点等价于()()2,()f x a x g x =+=函数()()2f x a x =+的图像恒过点(2,0)-，当其和函数()g x =a ==，所以()()2,()f x a x g x =+=03a ≤≤，故答案为：．9．（2020永安三中高三期中考试）若曲线y =y x b =+始终有交点，则b 的取值范围是_______．【答案】[-【解析】由题设可知x b +=b x =有解，令借cos ,[0,]x θθπ=∈，则sin θ=，所以sin cos )4b πθθθ=-=-，由于0θπ≤≤，故3444πππθ-≤-≤，结合正弦函数的图像可知sin()124πθ-≤-≤，则)[4b πθ=-∈-，应填答案[-． 【名师点睛】解答本题的思路是依据题设条件将其转化为方程x b +=进而分离参数b x ，然后通过三角换元将其转化为求函数sin cos )4b πθθθ=-=-的值域问题，最后借助正弦函数的图像求出其值域使得问题获解．10．（2020上海四中高三期中考试）若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为________． 【答案】210x y --=【解析】因为(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，所以圆心坐标为()3,0，31201MN k -=-=-，MN 所在直线方程为()121y x -=-，化简为210x y --=，故答案为210x y --=． 11．（2020上海华师大二附中高三月考）设1234,,,a a a a R ∈，且14231a a a a -=，则代数式222212341324a a a a a a a a +++++的最小值为______．【解析】【分析】由222212341324a a a a a a a a +++++结构特征，构造向量12(,)OA a a a ==u u u r r ，34(,)OB b a a ==u u u r r，设,a b r r 的夹角为θ，14231,,a a a a a b -=r r 不共线，0θπ<<，222212341324a a a a a a a a +++++=22||||2||||a b a b a b a b ++⋅≥+⋅r r r r r r r r ，转化为求2||||a b a b +⋅r r r r的最小值，由14231a a a a -=，可得1||||,sin a b θ=r r cos sin a b θθ⋅=r r ，转化求2cos cos 2sin sin sin θθθθθ++=的最小值，即为(sin ,cos )M θθ与点(0,2)P -连线的斜率最小值，即可得结果．【详解】设12(,)OA a a a ==u u u r r ，34(,)OB b a a ==u u u r r，设,a b r r的夹角为θ，14231,,a a a a a b -=r r 不共线，0θπ<<，222212341324a a a a a a a a +++++=22||||2||||a b a b a b a b ++⋅≥+⋅r r r r r r r r，sin θ===1||||||||a b a b ==r r ， 1cos ||||,sin sin a b a b θθθ=⋅=r r r r ，2||||a b a b +⋅r r r r 2cos cos 2sin sin sin θθθθθ+=+= ① 设(sin ,cos )M θθ，（0θπ<<），(0,2)P -，①式表示点(0,2)P -与单位圆（y 轴右侧）的点M 连线斜率，当PM12．（2020上海建平中学高三期中）已知a v 、b v 、2c v是平面内三个单位向量，若a b ⊥v v ，则4232a c a b c +++-v v v v v的最小值是________【答案】【解析】【分析】设2(,)c e x y ==r r ，(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，将问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值，再证明|2||2|a e a e +=+r r r r ，从而将原问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值． 【详解】令2c e =r r，设(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，e r 对应的点C 在单位圆上，所以问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值．因为2222(2)(2)330a e a e e a +-+=-=r r r r r r ，所以|2||2|a e a e +=+r r r r ，所以|64||2|a e a b e ++-=+r r r rr ，表示C 点到点(2,0)-和(6,4)的距离之和，过点(2,0)-和(6,4)的直线为220x y -+=，原点到直线220x y -+=1=<，所以与单位圆相交，所以|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值为：点(2,0)-和(6,4)之间的距离，即13．（2020上海高三模拟考试）已知关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈，当方程有实数根时，则实数t 的取值范围________． 【答案】[4,0]- 【解析】【分析】根据方程有实数根，再结合复数相等，建立条件关系可得点的轨迹为以()1,1-为半径的圆，再结合直线t y x =-与圆的位置关系即可得解．【详解】因为关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈有实数根，得222()0t t xy t x y i +++++=，由复数相等的充要条件可得：2220t t xy t x y ⎧++=⎨+-=⎩，消t 得22(1)(1)2x y -++=，则所求点的轨迹为以()1,1-为半径的圆，直线t y x =-≤，解得40t -≤≤，故答案为[4,0]-．14．（2020上海南模中学高三期中）在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________．【答案】【解析】 【分析】由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，得曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值． 【详解】 由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，∴曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆， 又直线20x ty -+=恒过点D ()2,0-，且此点在圆内部 故当CD AB ⊥时|AB |最短，∴|AB |＝=故答案为：15．（2020上海青浦中学高三月考）已知AC 、BD 为圆()()22:1216O x y -+-=的两条相互垂直的弦，垂足为121,2M n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭则四边形ABCD 的面积n S 的极限值为___________．【答案】32 【解析】 【分析】由题意可得四边形ABCD 的面积n S 的表达式：2n AC BDS ⨯=，由于点121,2M nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的极限位置是圆心，且此时四边形面积取到极限值，此时几何图形形状可求得面积的极限 【详解】由题可知，AC 、BD 为圆()()22:1216O x y -+-=的两条相互垂直的弦，垂足为121,2M n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由2n AC BDS ⨯=，由点121,2M nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的极限位置是圆心()1,2，此时AC 、BD 都是直径，故n S 的极限值为22r ，4r =，n S 的极限值为32，圆内接四边形恰好为正方形 故答案为：32．16．（2020上海建平中学高三月考）在ABC ∆中，2BC =，45A ∠=︒，B Ð为锐角，点O 是ABC ∆外接圆的圆心，则OA BC ⋅u u u v u u u v的取值范围是______．【答案】(2,- 【解析】【分析】建立适当的直角坐标系，写出各点的坐标，进一步利用向量的数量积，将问题转化成求三角函数的值域问题，从而得到OA BC ⋅u u u r u u u r的取值范围．【详解】如图所示：||2BC =，90BOC ∠=°，45CAB ∠=︒，由于B Ð为锐角，则点A 只能在左半圆上，设AOB θ∠=，则)A θθ3()22ππθ<<，B ，C ，所以OA θ=u u u r )θ，(BC =u u u r ，2cos 2sin )4OA BC πθθθ⋅=-+=-u u u r u u u r ，因为322ππθ<<，所以5444πππθ<-<，则sin()124πθ-<-≤，所以2)4πθ-<-≤故答案为：(2,-．17．（2020上海松江区一模）若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为________【答案】- 【解析】【分析】先由题意，根据基本不等式，得到12≤ab ，得出112-≤-ab ，再由221a b +=，得到()212+-=a b ab ，根据abc a b c =++得()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+t a b ，根据题意得到(=+∈t a b ，由函数单调性，得到3=-y t t的最值，进而可求出结果． 【详解】因为,0a b >，221a b +=，所以2212a b ab +=≥，即12≤ab ，当且仅当a b =时，取等号；因此111122-≤-=-ab ， 又221a b +=，所以22212++=+a b ab ab ，即()212+-=a b ab ，由abc a b c =++得1+=-a b c ab ，所以()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+t a b，因为+===a b ，当且仅当a b =时取等号．所以(=+∈t a b ， 又易知函数3=-y tt在(t ∈上单调递增，因此32=-≤=-y tt，因此()()2233==≥=-+--+ca b ta b t即实数c的最小值为-，故答案为：-18．（2020江苏盐城中学月考）在平面直角坐标系xOy中，已知点()2,2A，E、F为圆()()22:114C x y-+-=上的两动点，且EF=，若圆C上存在点P，使得,0AE AF mCP m+=>u u u r u u u r u u u r，则m的取值范围为________．【答案】1⎤-⎦【解析】取EF中点为M，连接AM，则2+=u u u r u u u r u u u u rAE AF AM，又圆()()22:114C x y-+-=上存在点P，使得,0AE AF mCP m+=>u u u r u u u r u u u r，所以2=u u u u r u u u rAM mCP，因此22==u u u u r u u u rAM m CP m，即=u u u u rm AM；因为E、F为圆()()22:114C x y-+-=上的两动点，且EF=1==CM，设(,)M x y1=，即()()22111x y-+-=即为动点M的轨迹；所以AMu u u u r表示圆()()22111x y-+-=上的点与定点()2,2A之间的距离，因此11-≤≤+u u u urAC AM AC，11≤≤u uu u rAM11≤≤m，故答案为：1⎤⎦．。

2023年高考数学复习压轴题专练(选择+填空)专题02 函数的奇偶性与单调性

2023年高考数学复习压轴题专练(选择+填空)专题02 函数的奇偶性与单调性

专题02 函数的奇偶性与单调性【方法点拨】1. 若函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (|x |)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论．2. 以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围，是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.【典型题示例】例1 （2022·江苏新高考基地高三第一次联考·19改编）已知函数f (x )＝1－a5x ＋1为奇函数，且存在m ∈[－1，1]，使得不等式f (x 2)＋f (mx －2)≤2－x 2－mx 成立，则x 的取值范围是 ． 【答案】[－2,2]【解析】求得a =2，且f (x )为R 上的增函数，f (x 2)＋f (mx －2)≤2－x 2－mx 可化为f (x 2)＋x 2≤2－mx －f (mx －2) 由f (x )为奇函数，得2－mx －f (mx －2)= 2－mx ＋f (2－mx )令F (x )=f (x )＋x ，则F (x 2)≤F (2－mx )，故有x 2≤2－mx ，即x 2＋mx －2≤0 令G (x )= x 2＋mx －2因为存在m ∈[－1，1]，使G (x )= x 2＋mx －2≤0 故G (－1)= x 2－x －2≤0或G (1)= x 2＋x －2≤0 解之得－2≤x ≤2.例2 已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，在f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________. 【答案】1[1,]2-【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将2(1)(2)0f a f a -+≤移项，运用奇偶性再将负号移入函数内，逆用单调性脱“f ”．【解析】 ∵f (－x )＝(－x )3＋2x ＋e －x －e x ＝－f (x )且x ∈R ， ∴f (x )是奇函数∵函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1ex ，∴f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ≥0(当且仅当x ＝0时取等号)，∴f (x )在R 上单调递增.，由f (a －1)＋f (2a 2)≤0，得f (2a 2)≤f (1－a ). 所以2a 2≤1－a ，解之得－1≤a ≤12.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 例3 已知函数()e +1e x x f x -=-（e 为自然对数的底数），若2(21)42)(f x f x +->-，则实数x 的取值范围为 ． 【答案】()1,3-【分析】本题是例2的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有奇偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高，难度更大.【解析】令()()1e e x xx F x f -=-=-，易知()F x 是奇函数且在R 上单调递增由2(21)42)(f x f x +->-得[]2(4)11(21)(21)1f x f x f x -->--=--- 即2(4)(21)F x F x ->--由()F x 是奇函数得(21)(12)F x F x ---=，故2(4)(12)F x F x ->-由()F x 在R 上单调递增，得2412x x ->-，即2302x x -<-，解得13x -<<， 故实数x 的取值范围为()1,3-.例4 已知函数()222131x x f x x =-++．若存在()1,4m ∈使得不等式()()2432f ma f m m -++>成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(),8-∞【分析】令()()1F x f x =-，判断函数()F x 的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为234m m ma +>-，分离参数可得43a m m<++，令4()3g m m m =++，(1,4)m ∈，利用对勾函数的单调性可得()8g m <，结合题意即可求解a 的取值范围． 【解析】函数222()()131xx f x f x x ==-++，若存在(1,4)m ∈使得不等式2(4)(3)2f ma f m m -++>成立，令2222()()1(31)3131xx x x x F x f x x =-=-=-++，22(31)(13)()()3113x x xxx x F x F x -----===-++， 所以，()F x 为奇函数．不等式2(4)(3)2f ma f m m -++>，即2(4)1(3)10f ma f m m --++->， 即2(4)(3)0F ma F m m -++>，所以2(3)(4)(4)F m m F ma F ma +>--=-， 因为20y x=>在(0,)+∞上为增函数，21031x y =->+在(0,)+∞上为增函数，所以22()(1)31x F x x =-+在(0,)+∞上为增函数， 由奇函数的性质可得()F x 在R 上为增函数，所以不等式等价于234m m ma +>-，分离参数可得43a m m<++， 令4()3g m m m=++，(1,4)m ∈， 由对勾函数的性质可知()g m 在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，g （1）8=，g （4）8=，所以，()8g m <，所以由题意可得8a <， 即实数a 的取值范围是(,8)-∞． 故答案为：(,8)-∞．例5 已知函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，若()2(22)2f x f x x -≥-+，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[2,1]-- B ．[1,)+∞C ．RD ．(,2][1,)-∞-+∞【答案】D【解析】函数1112,1()22,1x x x x f x x ----⎧==⎨<⎩，故()f x 关于直线1x =对称，且在[1，)+∞上单减，函数()f x 的图象如下： 2(22)(2)x f x x --+，且f22172()124x x x -+=-+>恒成立，2|221|21x x x ∴---+-，即2|23|1x x x --+，当32x时，不等式化为：2231x x x --+，即2340x x -+，解得x ∈R ，即32x ；当32x <时，不等式化为：2321x x x --+，即220x x +-，解得2x -或1x ，即2x -或312x <；综上，2(22)(2)f x f x x --+时，实数x 的取值范围是(-∞，2][1-，)+∞． 故选：D ．例6 已知函数，，则t 的取值范围是 ． 【答案】[1,)+∞【分析】将已知按照“左右形式相当，一边一个变量”的原则，移项变形为3133(3log 1)log (12log )f t t f t -≥--，易知是奇函数，故进一步变为3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(2log 1)f t t f t t -+-≥-+-（#），故下一步需构造函数()()F x f x x =+，转化为研究()()F x f x x =+的单调性，而()()F x f x x =+单增，故（#）可化为3log 0t ≥，即333log 12log 1t t -≥-，解之得1t ≥.例7 (2022·江苏南通期末·8)已知函数()422xf x x =-+，()3log 2a f =，()4log 3b f =，43c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】B【分析】分析可知函数()f x 在()1,+∞上为增函数，推导出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 在(),1-∞上为减函数，可得出23c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用函数()f x 在(),1-∞上()33x xf x -=-3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥()33x xf x -=-的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【解析】令()422xg x x =-+，其中x ∈R ，则()10g =， 因为函数y x =、422x y =-+均为R 上的增函数，故函数()g x 也为R 上的增函数，当1x >时，()()10g x g >=，此时()442222x x f x x x =-=-++，故函数()f x 在()1,+∞上为增函数，因为()()2322222244222222222x xxx x f x x x x -----+--=--=-=-+++ ()()3222442222222xxx x x x x x x f x --⋅=-=-=-=+++故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 在(),1-∞上为减函数， 所以，4233c f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3223<，则3lg 22lg3<，即3lg 22log 2lg 33=<， 2343<，则2lg 43lg3<，则4lg 32log 3lg 43=>，即342log 2log 313<<<， 因此，b c a <<. 故选：B.【巩固训练】1．若函数(()=ln f x x x +为偶函数，则实数a = 2.设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1- D ．()()1,00,1-3.已知函数1()22x x f x =-，则满足2(5)(6)0f x x f -+>的实数x 的取值范围是 ．4. 已知函数()||31f x x x x =⋅++，若()2()22f a f a +-<，则实数a 的取值范围__________.5.已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()()22f a f a ->，则实数a 的取值范围是__________.6.已知函数()x xg x e e -=-，()()f x xg x =，若1ln 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，140.2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.25c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<7. （多选题）关于函数12()11xf x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭下列结论正确的是（ ） A ．图像关于y 轴对称 B ．图像关于原点对称 C ．在(),0-∞上单调递增D ．()f x 恒大于08.已知函数())20202020log 20201xx f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()21120f x f x +++->的解集为（ ）.A ．1,2020⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()2020,-+∞C ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭9.已知函数222()131x x f x x =-++.若存在m ∈(1,4)使得不等式(4)f ma -+2(3)2f m m +>成立，则实数a 的取值范围是A . (),7-∞B . (],7-∞C . (),8-∞D . (],8-∞ 10. 已知函数()e e 2sin xxf x x -=--，则关于x不等式()()2320f x f x -+<的解集为（ ） A. ()3,1-B. ()1,3-C. ()(),31,-∞-⋃+∞D. []1,3-11. 已知()sin xxf x e e x x -=-+-，若2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围___．12.已知()sin xxf x e ex x -=-+-，若2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围_ __． 13. 已知函数()1e e 21x x xf x -=+-+，若不等式()()2121f ax f ax +-≥对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,eB ．[]0,eC ．(]0,1D ．[]0,114.已知函数()())2+1sin lnf x x x x =++，若不等式()()39334x x xf f m -+⋅-<对任意x ∈R 均成立，则m 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()1-D ．()1,-+∞【答案或提示】1．【答案】1【解析】(g()=ln x x +奇函数，g(0)=0=，1a =.2. 【答案】B【解析】()f x 偶函数，且在(0,)+∞单增，()()1f x f >转化为1x >，解得1x >或1x <-. 3.【答案】（2,3）【解析】()f x 奇函数，且单减，2(5)(6)0f x x f -+>转化为2560x x -+<，解得23x <<.4. 【答案】(2,1)-【解析】设()||3g x x x x =⋅+，则()g x 奇函数，且单增，而()()1f x g x =+，由()2()22f a f a +-<得()2211()f a f a --<-即()22()()g a g a g a -<-=-，故22a a -<-，解之得21a -<<.5.【答案】(2,1)-【解析】22y x x =+在[0,)+∞上单调递增，22y x x =-在(,0)-∞上单调递增，且220+20=200⨯⨯-，()f x ∴在R 上单调递增，因此由()()22f a f a ->得2221aa a ->∴-<<，，故答案为：()2,1-6. 【答案】A 【解析】()()()x x f x xg x x e e -==-，该函数的定义域为R ，()()()x x x x f x x e e x e e ---=--=-，所以，函数()y f x =为偶函数，当0x >时，()0xxg x e e-=->，任取120x x >>，12x x -<-，则12x xe e >，12x x e e --<，所以，1122x x x x e e e e --->-，()()120g x g x ∴>>，()()1122x g x x g x ∴>，即()()12f x f x >，所以，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，()11ln lnln333a f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 10 1.2400.20.21ln355<<=<<<，则()()1 1.240.2ln 35f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<.故选：A. 7.【答案】ACD 8. 【答案】C【解析】构造函数()())202012020log 2020xx F x fx x -=-=+-，x>=0x>，所以()F x 的定义域为R .())20202020log 2020x xF x x --=+-20202020log 2020x x xx -⎡⎤=+-20202020log 2020x x-⎡⎤=+-)()20202020log 2020x x x F x -=--=-，所以()F x 为奇函数， ()00F =.当0x >时，)20202020,2020,log x xy y y x -==-=都为增函数，所以当0x >时，()F x 递增，所以()F x 在R 上为增函数.由()()21120f x f x +++->，得()()211110f x f x +-++->， 即()()2110F x F x +++>，所以2110x x +++>，解得23x >-. 所以不等式的解集为2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故选：C 9. 【答案】C【解析】22222231()1111313131xx x x x f x x x x -⎛⎫=-+=-+=⋅+ ⎪+++⎝⎭设231()()131x x g x f x x -=-=⋅+，则()g x 为定义在R 的奇函数所以()f x 关于点()0,1对称又2223131312ln 33()231313131x x x xx x x x x g x x x x '⎡⎤---⋅⋅''⎡⎤=⋅+⋅=⋅+⎢⎥⎣⎦++++⎣⎦所以当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,+∞上单增 故()g x 在(),-∞+∞上也单增因为2(4)(3)2f ma f m m -++>可化为2(4)1(3)1f ma f m m -->-++所以2(4)(3)g ma g m m ->-+因为()g x 为R 的奇函数，22(4)(3)(3)g ma g m m g m m ->-+=--所以243ma m m ->--又因为存在m ∈(1,4)使得不等式243ma m m ->--成立，分参得43a m m<++ 易得[)437,8m m++∈，所以8a <，故选C . 10.【答案】A【分析】根据题意可判断函数()e e 2sin xxf x x -=--为奇函数且在R 上单调递增，进而根据奇偶性与单调性解不等式即可.【解析】函数()e e 2sin xxf x x -=--的定义域为R ，()()()e e 2sin e e 2sin x x x x f x x x f x ---=---=-+=-，所以函数()e e 2sin xxf x x -=--为奇函数，因为()'e e 2cos 22cos 0xxf x x x -=+-≥-≥，所以函数()e e 2sin xxf x x -=--在R 上单调递增，所以()()()()()22320322f x f x f x f x f x -+<⇔-<-=-，所以232x x -<-，即2230x x +-<，解得31x -<< 所以不等式()()2320f x f x -+<的解集为()3,1-故选：A11.【答案】12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先分析()f x 的奇偶性和单调性，则2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于2(2ln(1))2x f a x f ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，所以22ln(1)2x a x -+≥-，可转化为2()2ln(1)2x a g x x ≥=-++，即max ()a g x ≥，求max ()g x 即得解【解析】因为()()sin xx f x ee x xf x --=--+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，()cos 1x xf x e e x -'=++-，()cos 1cos 11cos 0x x f x e e x x x -'=++-≥-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则max ()a g x ≥， 因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x -++是R 上的偶函数， 所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可.当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++， 则当[)0,1x ∈时，()0g x '>；当[)1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在[)0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减， 可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-，即12ln 22a ≥-. 故答案为：12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 12.【答案】12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先分析()f x 的奇偶性和单调性，则2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于2(2ln(1))2x f a x f ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，所以22ln(1)2x a x -+≥-，可转化为2()2ln(1)2x a g x x ≥=-++，即max ()a g x ≥，求max ()g x 即得解 【解析】因为()()sin x x f x e e x x f x --=--+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，()cos 1x x f x e e x -'=++-，()cos 1cos 11cos 0x x f x e e x x x -'=++-≥-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于22(2ln(1))22x x f a x ff ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++， 令2()2ln(1)2x g x x =-++，则max ()a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x -++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可.当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++，则当[)0,1x ∈时，()0g x '>；当[)1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在[)0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减， 可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-，即12ln 22a ≥-. 故答案为：12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 13.【答案】D【分析】构造函数()()12g x f x =-，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为()()2111222f ax f ax ⎡⎤-≥---⎢⎥⎣⎦，即()()221g ax g ax ≥-，再利用函数单调性解不等式即可. 【解析】()1e e 21x x x f x -=+-+， ()()1111e e e e 121212121x x x x x x x x f x f x ----∴+-=+-+-+=++=+++令()()12g x f x =-，则()()0g x g x +-=，可得()g x 是奇函数，又()()()2121e e e e e 21e 21ln 2ln 2++2122x x x x x x x x x x x g x --'⎛⎫''=+-== ⎪+⎝++--+⎭， 又利用基本不等式知e 2+1e x x ≥当且仅当1e ex x =，即0x =时等号成立； ln 2ln 214222x x ≤++当且仅当122x x =，即0x =时等号成立； 故()0g x '>，可得()g x 是单调增函数，由()()2121f ax f ax +-≥得()()()21111212222f ax f ax f ax ⎡⎤-≥--+=---⎢⎥⎣⎦， 即()()()21221g ax g ax g ax ≥--=-，即2210ax ax -+≥对x ∀∈R 恒成立. 当0a =时显然成立；当0a ≠时，需20440a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，得01a <≤， 综上可得01a ≤≤，故选：D.14.【答案】A【分析】由题设，构造()()2g x f x =-，易证()g x 为奇函数，利用导数可证()g x 为增函数，结合题设不等式可得(39)(33)x x x g g m -<-⋅，即3313x x m <+-对任意x ∈R 均成立，即可求m 的范围.【解析】由题设，令()()22sin )g x f x x x x =-=++，∴()2sin())2sin )()g x x x x x x x g x -=-+-+=---=-，∴()g x 为奇函数，又()2cos 0g x x '=++>，即()g x 为增函数，∴()()39334x x x f f m -+⋅-<，即(39)2[(33)2]x x x f f m --<-⋅--， ∴(39)(33)(33)x x x x g g m g m -<-⋅-=-⋅，则3933x x x m -<-⋅，∴3313x x m <+-对任意x ∈R 均成立，又331113x x +-≥=，当且仅当12x =时等号成立，∴1m <，即m ∈(),1-∞.故选：A。

2020年上海市高考数学试卷(秋季)(全网最专业解析 )

2020年上海市高考数学试卷(秋季)(全网最专业解析 )

2020年上海市秋季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则A B = ．2．计算：1lim31n n n →∞+=- ．3．已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z = ．4．已知函数3()f x x =，()f x '是()f x 的反函数，则()f x '= ． 5．已知x 、y 满足202300x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2z y x =-的最大值为 ．6．已知行列式126300a bc d =，则a bc d= ． 7．已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab = ．8．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋯+= ．9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况．10．已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，求直线l 的方程是 ．11．设a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：（1）对任意的0x R ∈，0()f x 的值为0x 或20x ；（2）关于x 的方程()f x a =无实数解， 则a 的取值范围是 ．12．已知1a ，2a ，1b ，2b ，⋯，(*)k b k N ∈是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}（其中1i =，2，1j =，2，⋯，)k ，则k 的最大值是 ． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列等式恒成立的是( ) A ．222a b ab + B ．222a b ab +- C ．2||a b ab + D ．222a b ab +-14．已知直线方程3410x y ++=的一个参数方程可以是( )A ．1314x t y t =+⎧⎨=--⎩B ．1413x ty t =-⎧⎨=-+⎩C ．1314x t y t =-⎧⎨=-+⎩D ．1413x t y t =+⎧⎨=-⎩15．在棱长为10的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为左侧面11ADD A 上一点，已知点P 到11A D 的距离为3，P 到1AA 的距离为2，则过点P 且与1A C 平行的直线相交的面是( )A ．面11AAB BB ．面11BBC CC ．面11CCD DD ．面ABCD16．命题p ：存在a R ∈且0a ≠，对于任意的x R ∈，使得()()f x a f x f +<+（a ）； 命题1:()q f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2:()q f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 则下列说法正确的是( ) A ．只有1q 是p 的充分条件 B ．只有2q 是p 的充分条件 C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知ABCD 是边长为1的正方形，正方形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱． （1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD 绕AB 逆时针旋转2π至11ABC D ，求线段1CD 与平面ABCD 所成的角．18．（14分）已知函数()sin f x x ω=，0ω>．（1）()f x 的周期是4π，求ω，并求1()2f x =的解集；（2）已知1ω=，2()()3()()2g x f x x f x π=--，[0x ∈，]4π，求()g x 的值域．19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为qv x=，x 为道路密度，q 为车辆密度．1100135(),040()3(40)85,4080x x v f x k x x ⎧-<<⎪==⎨⎪--+⎩． （1）若交通流量95v >，求道路密度x 的取值范围；（2）已知道路密度80x =，交通流量50v =，求车辆密度q 的最大值．20．（16分）已知双曲线2212:14x y bΓ-=与圆2222:4(0)x y b b Γ+=+>交于点(A A x ，)A y （第一象限），曲线Γ为1Γ、2Γ上取满足||A x x >的部分．（1）若A x =b 的值；（2）当b2Γ与x 轴交点记作点1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且1||8PF =，求12F PF ∠；（3）过点2(0,2)2b D +斜率为2b-的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示OM ON ，并求OM ON 的取值范围．21．（18分）已知数列{}n a 为有限数列，满足12131||||||m a a a a a a --⋯-，则称{}n a 满足性质P ．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P ，请说明理由； （2）若11a =，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质P ，求q 的取值范围； （3）若{}n a 是1，2，3，⋯，m 的一个排列(4)m ，{}n b 符合1(1k k b a k +==，2，⋯，1)m -，{}n a 、{}n b 都具有性质P ，求所有满足条件的数列{}n a ．2020年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则A B = {2，4} ．【思路分析】由交集的定义可得出结论． 【解析】：因为{1A =，2，4}，{2B =，4，5}， 则{2AB =，4}．故答案为：{2，4}．【总结与归纳】本题考查交集的定义，属于基础题．2．计算：1lim 31n n n →∞+=-13． 【思路分析】由极限的运算法则和重要数列的极限公式，可得所求值．【解析】：1111lim1101limlim 113130333limn n n n n n n n nn →∞→∞→∞→∞++++====----， 故答案为：13．【总结与归纳】本题考查数列的极限的求法，注意运用极限的运算性质，考查运算能力，是一道基础题．3．已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z【思路分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解．【解析】：由12z i=-，得||z ． ．【总结与归纳】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．4．已知函数3()f x x =，()f x '是()f x 的反函数，则()f x '= 13x ，x R ∈ ．【思路分析】由已知求解x ，然后把x 与y 互换即可求得原函数的反函数． 【解析】：由3()y f x x ==，得x =，把x 与y互换，可得3()f x x =的反函数为1()f x -=【总结与归纳】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．5．已知x 、y 满足202300x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2z y x =-的最大值为 1- ．【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解析】：由约束条件202300x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩作出可行域如图阴影部分，化目标函数2z y x =-为2y x z =+，由图可知，当直线2y x z =+过A 时，直线在y 轴上的截距最大， 联立20230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)A ．z 有最大值为1211-⨯=-．故答案为：1-．【总结与归纳】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 6．已知行列式126300a bc d =，则a bc d= 2 ． 【思路分析】直接利用行列式的运算法则求解即可． 【解析】：行列式126300a bc d =，可得36a b c d =，解得2a bc d=． 故答案为：2．【总结与归纳】本题考查行列式的应用，代数余子式的应用，是基本知识的考查． 7．已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab = 36 ．【思路分析】分别由题意结合中位数，平均数计算方法得13a b +=，232a+=，解得a ，b ，再算出答案即可．【解析】：因为四个数的平均数为4，所以441213a b +=⨯--=，因为中位数是3，所以232a+=，解得4a =，代入上式得1349b =-=，所以36ab =， 故答案为：36．【总结与归纳】本题考查样本的数字特征，中位数，平均数，属于基础题．8．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋯+=278．【思路分析】根据等差数列的通项公式可由1109a a a +=，得1a d =-，在利用等差数列前n 项和公式化简12910a a a a ++⋯+即可得出结论．【解析】：根据题意，等差数列{}n a 满足1109a a a +=，即11198a a d a d ++=+，变形可得1a d =-，所以1129110119899369362729998da a a a a d d d a a d a d d d ⨯+++⋯++-+====++-+． 故答案为：278．【总结与归纳】本题考查等差数列的前n 项和与等差数列通项公式的应用，注意分析1a 与d的关系，属于基础题．9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 180 种安排情况．【思路分析】根据题意，由组合公式得共有112654C C C 排法，计算即可得出答案． 【解析】：根据题意，可得排法共有112654180C C C =种． 故答案为：180．【总结与归纳】本题考查组合数公式，解题关键是正确理解题意并熟悉组合数公式，属于基础题．10．已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，求直线l 的方程是10x y +-= ．【思路分析】求出椭圆的右焦点坐标，利用已知条件求出直线的斜率，然后求解直线方程．【解析】：椭圆22:143x y C +=的右焦点为(1,0)F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，可知直线l 的斜率为1-，所以直线l 的方程是：(1)y x =--， 即10x y +-=． 故答案为：10x y +-=．【总结与归纳】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与直线的对称关系的应用，直线方程的求法，是基本知识的考查．11．设a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：（1）对任意的0x R ∈，0()f x 的值为0x 或20x ；（2）关于x 的方程()f x a =无实数解，则a 的取值范围是 (-∞，0)(0⋃，1)(1⋃，)+∞ ．【思路分析】根据条件（1）可知00x =或1，进而结合条件（2）可得a 的范围 【解析】：根据条件（1）可得00x =或1，又因为关于x 的方程()f x a =无实数解，所以0a ≠或1， 故(a ∈-∞，0)(0⋃，1)(1⋃，)+∞， 故答案为：(-∞，0)(0⋃，1)(1⋃，)+∞．【总结与归纳】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．12．已知1a ，2a ，1b ，2b ，⋯，(*)k b k N ∈是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}（其中1i =，2，1j =，2，⋯，)k ，则k 的最大值是 6 ． 【思路分析】设11OA a =，22OA a =，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得k 的最大值．【解析】：如图，设11OA a =，22OA a =，由12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}， 分别以1A ，2A 为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k 的最大值为6． 故答案为：6．【总结与归纳】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列等式恒成立的是( ) A ．222a b ab + B ．222a b ab +- C ．2||a b ab + D ．222a b ab +-【思路分析】利用2()0a b +恒成立，可直接得到222a b ab +-成立，通过举反例可排除ACD ．【解析】：A ．显然当0a <，0b >时，不等式222a b ab +不成立，故A 错误；B ．2()0a b +，2220a b ab ∴++，222a b ab ∴+-，故B 正确；C ．显然当0a <，0b <时，不等式2||a b ab +不成立，故C 错误；D ．显然当0a >，0b >时，不等式222a b ab +-不成立，故D 错误．故选：B ．【总结与归纳】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题． 14．已知直线方程3410x y ++=的一个参数方程可以是( ) A ．1314x t y t =+⎧⎨=--⎩B ．1413x t y t =-⎧⎨=-+⎩C ．1314x t y t=-⎧⎨=-+⎩D ．1413x t y t=+⎧⎨=-⎩【思路分析】选项的参数方程，化为普通方程，判断即可．【解析】：1314x t y t=+⎧⎨=--⎩的普通方程为：1314x y -=-+，即4310x y +-=，不正确；1413x t y t=-⎧⎨=-+⎩的普通方程为：1413x y -=-+，即3410x y ++=，正确； 1314x t y t=-⎧⎨=-+⎩的普通方程为：1314x y -=-+，即4310x y +-=，不正确； 1413x t y t=+⎧⎨=-⎩的普通方程为：1413x y -=--，即3470x y +-=，不正确； 故选：B ．【总结与归纳】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，是基本知识的考查． 15．在棱长为10的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为左侧面11ADD A 上一点，已知点P 到11A D 的距离为3，P 到1AA 的距离为2，则过点P 且与1A C 平行的直线相交的面是( )A ．面11AAB BB ．面11BBC CC ．面11CCD DD ．面ABCD 【思路分析】由图可知点P 在△1AA D 内，过P 作1//EF A D ，且1EFAA 于E ，EFAD 于F ，在平面ABCD 中，过F 作//FG CD ，交BC 于G ，由平面与平面平行的判定可得平面//EFG 平面1A DC ，连接AC ，交FG 于M ，连接EM ，再由平面与平面平行的性质得1//EM AC ，在EFM ∆中，过P 作//PN EM ，且PN FM 于N ，可得1//PN AC ，由此说明过点P 且与1A C 平行的直线相交的面是ABCD ． 【解析】：如图，由点P 到11A D 的距离为3，P 到1AA 的距离为2， 可得P 在△1AA D 内，过P 作1//EF A D ，且1EF AA 于E ，EFAD 于F ，在平面ABCD 中，过F 作//FG CD ，交BC 于G ，则平面//EFG 平面1A DC ．连接AC ，交FG 于M ，连接EM ，平面//EFG 平面1A DC ，平面1A AC ⋂平面11A DC AC =，平面1A AC ⋂平面EFM EM =， 1//EM AC ∴． 在EFM ∆中，过P 作//PN EM ，且PNFM 于N ，则1//PN AC ． 线段FM 在四边形ABCD 内，N 在线段FM 上，N ∴在四边形ABCD 内．∴过点P 且与1A C 平行的直线相交的面是ABCD ．故选：D ．【总结与归纳】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．16．命题p ：存在a R ∈且0a ≠，对于任意的x R ∈，使得()()f x a f x f +<+（a ）； 命题1:()q f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2:()q f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 则下列说法正确的是( ) A ．只有1q 是p 的充分条件 B ．只有2q 是p 的充分条件 C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件【思路分析】对于命题1q ：当0a >时，结合()f x 单调递减，可推出()()()f x a f x f x f +<<+（a ），命题1q 是命题p 的充分条件．对于命题2q ：当00a x =<时，f （a ）0()0f x ==，结合()f x 单调递增，推出()()f x a f x +<，进而()()f x a f x f +<+（a ），命题2q 也是p 的充分条件．【解析】：对于命题1q ：当()f x 单调递减且()0f x >恒成立时， 当0a >时，此时x a x +>， 又因为()f x 单调递减， 所以()()f x a f x +< 又因为()0f x >恒成立时， 所以()()f x f x f <+（a ）， 所以()()f x a f x f +<+（a ），所以命题1q ⇒命题p ，对于命题2q ：当()f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 当00a x =<时，此时x a x +<，f （a ）0()0f x ==， 又因为()f x 单调递增， 所以()()f x a f x +<， 所以()()f x a f x f +<+（a ）， 所以命题2p ⇒命题p ， 所以1q ，2q 都是p 的充分条件， 故选：C ．【总结与归纳】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知ABCD 是边长为1的正方形，正方形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱． （1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD 绕AB 逆时针旋转2π至11ABC D ，求线段1CD 与平面ABCD 所成的角．【思路分析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，依次求出圆面和矩形的面积，相加即可；（2）先利用线面垂直的判定定理证明1AD ⊥平面ADB ，连接1CD ，则1D CA ∠即为线段1CD 与平面ABCD 所成的角，再利用三角函数的知识求出1cos D CA ∠即可．【解析】：（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，221214S πππ∴=⨯⨯+⨯=．故该圆柱的表面积为4π．（2）正方形11ABC D ，1AD AB ∴⊥， 又12DAD π∠=，1AD AD ∴⊥，ADAB A =，且AD 、AB ⊂平面ADB ，1AD ∴⊥平面ADB ，即1D 在面ADB 上的投影为A ，连接1CD ，则1D CA ∠即为线段1CD 与平面ABCD 所成的角， 而1126cos 3AC D CA CD ∠===，∴线段1CD 与平面ABCD所成的角为 【总结与归纳】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题，熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题． 18．（14分）已知函数()sin f x x ω=，0ω>．（1）()f x 的周期是4π，求ω，并求1()2f x =的解集；（2）已知1ω=，2()()()()2g x f x x f x π=--，[0x ∈，]4π，求()g x 的值域．【思路分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果． （2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．【解析】：（1）由于()f x 的周期是4π，所以2142πωπ==，所以1()sin 2f x x =．令11sin 22x =，故1226x k ππ=+或526k ππ+，整理得43x k ππ=+或543x k ππ=+．故解集为{|43x x k ππ=+或543x k ππ=+，}k Z ∈．（2）由于1ω=，所以()sin f x x =．所以21cos2111()sin )sin()22cos2sin(2)222226x g x x x x x x x x ππ-=--==-+=-+．由于[0x ∈，]4π，所以22663x πππ+． 1sin(2)126x π+， 故11sin(2)62x π--+-，故1()02g x -．所以函数()g x 的值域为1[,0]2-．【总结与归纳】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为qv x=，x 为道路密度，q 为车辆密度．1100135(),040()3(40)85,4080x x v f x k x x ⎧-<<⎪==⎨⎪--+⎩． （1）若交通流量95v >，求道路密度x 的取值范围；（2）已知道路密度80x =，交通流量50v =，求车辆密度q 的最大值．【思路分析】（1）易知v 越大，x 越小，所以()v f x =是单调递减函数，0k >，于是只需令1100135()953x ->，解不等式即可；（2）把80x =，50v =代入()v f x =的解析式中，求出k 的值，利用q vx =可得到q 关于x 的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上q 的最大值，取较大者即可．【解析】：（1）qv x=，v ∴越大，x 越小，()v f x ∴=是单调递减函数，0k >， 当4080x 时，v 最大为85，于是只需令1100135()953x ->，解得3x >，故道路密度x 的取值范围为(3,40)．（2）把80x =，50v =代入()(40)85v f x k x ==--+中，得504085k =-+，解得78k =．1100135(),04037(40)85,40808x x x x q vx x x x x ⎧-<<⎪⎪∴==⎨⎪--+⎪⎩，当040x <<时，q 单调递增，40110040135()4040003q <⨯-⨯⨯≈；当4080x 时，q 是关于x 的二次函数，开口向下，对称轴为4807x =，此时q 有最大值，为2748048028800()12040008777-⨯+⨯=>．故车辆密度q 的最大值为288007．【总结与归纳】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．20．（16分）已知双曲线2212:14x y bΓ-=与圆2222:4(0)x yb b Γ+=+>交于点(A A x ，)A y （第一象限），曲线Γ为1Γ、2Γ上取满足||A x x >的部分．（1）若A x =b 的值；（2）当b 2Γ与x 轴交点记作点1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且1||8PF =，求12F PF ∠；（3）过点2(0,2)2b D+斜率为2b-的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示OM ON ，并求OM ON 的取值范围．【思路分析】（1）联立曲线1Γ与曲线2Γ的方程，以及A x =，解方程可得b ； （2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；（3）设直线24:22b b l y x +=-+，求得O 到直线l 的距离，判断直线l 与圆的关系：相切，可设切点为M ，考虑双曲线的渐近线方程，只有当2A y >时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，解不等式可得b 的范围，由向量投影的定义求得OM ON ，进而得到所求范围．【解析】：（1）由A x =A 为曲线1Γ与曲线2Γ的交点，联立222222144A A A A x y bx y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，解得A y =，2b =；（2）由题意可得1F ，2F 为曲线1Γ的两个焦点，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，又1||8PF =，24a =， 所以2||844PF =-=，因为b =3c =， 所以12||6F F =，在△12PF F 中，由余弦定理可得22212121212||||||cos 2||||PF PF F F F PF PF PF +-∠=6416361128416+-==⨯⨯，由120F PF π<∠<，可得1211arccos 16F PF ∠=；（3）设直线24:22b b l y x +=-+，可得原点O 到直线l 的距离24||b d +== 所以直线l 是圆的切线，设切点为M ，所以2OM k b =，并设2:OM y x b =与圆2224x y b +=+联立，可得222244x x b b+=+，可得x b =，2y =，即(,2)M b ，注意直线l 与双曲线的斜率为负的渐近线平行， 所以只有当2A y >时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点， 由222222144A A A Ax y b x y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，可得4224A b y b=+， 所以有4244b b<+，解得22b >+22b<-（舍去）， 因为OM 为ON 在OM 上的投影可得，24OM ON b =+，所以246OM ON b =+>+， 则(6OM ON ∈+)+∞．【总结与归纳】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题． 21．（18分）已知数列{}n a 为有限数列，满足12131||||||m a a a a a a --⋯-，则称{}n a 满足性质P ．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P ，请说明理由； （2）若11a =，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质P ，求q 的取值范围； （3）若{}n a 是1，2，3，⋯，m 的一个排列(4)m ，{}n b 符合1(1k k b a k +==，2，⋯，1)m -，{}n a 、{}n b 都具有性质P ，求所有满足条件的数列{}n a ．【思路分析】（1）根据定义，验证两个数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P 即可；（2）假设公比q 的等比数列满足性质p ，可得：11111||||n n a a q a a q ---，推出11(1)[(1)2]0n n q q q q ---+-，通过1q ，01q <时，10q -<时：1q <-时，四种情况讨论求解即可．（3）设1a p =，分1p =时，当p m =时，当2p =时，当1p m =-时，以及{3P ∈，4，⋯，3m -，2}m -，五种情况讨论，判断数列{}n a 的可能情况，分别推出{}n b 判断是否满足性质P 即可．【解析】：（1）对于数列3，2，5，1，有|23|1-=，|53|2-=，|13|2-=，满足题意，该数列满足性质P ；对于第二个数列4、3、2、5、1，|34|1-=，|24|2-=，|54|1-=．不满足题意，该数列不满足性质P ． （2）由题意：11111||||n n a a q a a q ---，可得：1|1||1|n n q q ---，{2n ∈，3，⋯，9}，两边平方可得：22212121n n n n q q q q ---+-+，整理可得：11(1)[(1)2]0n n q q q q ---+-，当1q 时，得1(1)20n q q -+-此时关于n 恒成立， 所以等价于2n =时，(1)20q q +-，所以，(2)(1)0q q +-，所以2q -，或1q ，所以取1q ，当01q <时，得1(1)20n q q -+-，此时关于n 恒成立，所以等价于2n =时，(1)20q q +-， 所以(2)(1)0q q +-，所以21q -，所以取01q <． 当10q -<时：11[(1)2]0n n q q q --+-，当n 为奇数时，得1(1)20n q q -+-，恒成立，当n 为偶数时，1(1)20n q q -+-，不恒成立； 故当10q -<时，矛盾，舍去．当1q <-时，得11[(1)2]0n n q q q --+-，当n 为奇数时，得1(1)20n q q -+-，恒成立， 当n 为偶数时，1(1)20n q q -+-，恒成立；故等价于2n =时，(1)20q q +-， 所以(2)(1)0q q +-，所以2q -或1q ，所以取2q -， 综上(q ∈-∞，2](0,)-+∞．（3）设1a p =，{3p ∈，4，⋯，3m -，2}m -，因为1a p =，2a 可以取1p -，或1p +，3a 可以取2p -，或2p +，如果2a 或3a 取了3p -或3p +，将使{}n a 不满足性质P ；所以{}n a 的前5项有以下组合： ①1a p =，21a p =-；31a p =+；42a p =-；52a p =+； ②1a p =，21a p =-；31a p =+；42a p =+；52a p =-； ③1a p =，21a p =+；31a p =-；42a p =-；52a p =+； ④1a p =，21a p =+；31a p =-；42a p =+；52a p =-；对于①，11b p =-，21||2b b -=，31||1b b -=，与{}n b 满足性质P 矛盾，舍去；对于②，11b p =-，21||2b b -=，31||3b b -=，41||2b b -=与{}n b 满足性质P 矛盾，舍去； 对于③，11b p =+，21||2b b -=，31||3b b -=，41||1b b -=与{}n b 满足性质P 矛盾，舍去； 对于④11b p =+，21||2b b -=，31||1b b -=，与{}n b 满足性质P 矛盾，舍去； 所以{3P ∈，4，⋯，3m -，2}m -，均不能同时使{}n a 、{}n b 都具有性质P ． 当1p =时，有数列{}:1n a ，2，3，⋯，1m -，m 满足题意． 当p m =时，有数列{}:n a m ，m -1，⋯，3，2，1满足题意．当2p =时，有数列{}:2n a ，1，3，⋯，1m -，m 满足题意．当1p m =-时，有数列{}:1n a m -，m ，2m -，3m -，⋯，3，2，1满足题意． 所以满足题意的数列{}n a 只有以上四种．【总结与归纳】本题考查数列的综合应用，不等式以及不等关系，二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应用，考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目，必须要有较高的数学思维逻辑修养才能解答．。

2020高考数学三轮冲刺 专题 二项分布及其应用练习(含解析)

2020高考数学三轮冲刺 专题 二项分布及其应用练习(含解析)

二项分布及其应用一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为A. B. C. D.（正确答案）B【分析】本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为，其中比赛进行了3局的概率为，所求概率为，故选B．2. 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4 个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则A. B. C. D.（正确答案）A【分析】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论，属于中档题．【解答】解：小赵独自去一个景点，有4个景点可选，则其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为种所以小赵独自去一个景点的可能性为种因为4 个人去的景点不相同的可能性为种，所以．故选A．3. 2016年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是A. B. C. D.（正确答案）C解：一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，设随后一天空气质量为优良的概率为p，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有，，故选：C．设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A. B. C. D.（正确答案）A解：由题意可知：同学3次测试满足X∽，该同学通过测试的概率为．故选：A．判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．5. 设某种动物由出生算起活到10岁的概率为，活到15岁的概率为现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是A. B. C. D.（正确答案）C解：记该动物从出生起活到10岁为事件A，从出生起活到15岁的为事件AB，而所求的事件为，由题意可得，，由条件概率公式可得，故选C．活到15岁的概率是在活到10岁的概率的情况下发生的，故可用条件概率来求解这个题．本题考点是条件概率，理清楚事件之间的关系是解决问题的关键，属中档题．6. 在10个球中有6个红球和4个白球各不相同，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为A. B. C. D.（正确答案）D解：先求出“第一次摸到红球”的概率为：，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为，根据条件概率公式，得：，故选：D．事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率根据这个原理，可以分别求出“第一次摸到红球”的概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率，再用公式可以求出要求的概率．本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．7. 将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是A. B. C. D.（正确答案）A解：根据题意，将4个不同的小球装入4个不同的盒子，有种不同的放法，若没有空盒，有种放法，有1个空盒的放法有种，有3个空盒的放法有种，则至少一个盒子为空的放法有种，故“至少一个盒子为空”的概率，恰好有两个盒子为空的放法有种，故“恰好有两个盒子为空”的概率，则则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率；故选：A．根据题意，由分步计数原理计算可得“将4个不同的小球装入4个不同的盒子”的放法数目，进而由排列、组合数公式计算“没有空盒”、“有1个空盒的放法”、“有3个空盒”的放法数目，由古典概型公式计算可得“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率，最后由条件概率的计算公式计算可得答案．本题考查条件概率的计算，涉及排列、组合的应用，关键是求出“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率．8. 在区间内随机投掷一个点其坐标为，若，则A. B. C. D.（正确答案）A解：根据题意，得，因此，事件AB对应的区间长度为，结合总的区间长度为1，可得又，同理可得因此，故选：A由题意，算出且，结合条件概率计算公式即可得到的值．本题给出投点问题，求事件A的条件下B发生的概率，着重考查了条件概率及其应用的知识，属于基础题．9. 九江气象台统计，5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么A. B. C. D.（正确答案）B解：由题意，，，，故选B．确定，，，再利用条件概率公式，即可求得结论．本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．10. 从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为A. B. C. D.（正确答案）D解：解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即．又，，由公式．故选：D．设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即先求出和的值，再根据，运算求得结果．本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意条件概率的合理运用．11. 如图，和都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在内”，B表示事件“豆子落在内”，则A.B.C.D.（正确答案）D解：如图所示，作三条辅助线，根据已知条件这些小三角形全等，所以，故选：D．作三条辅助线，根据已知条件这些小三角形全等，即可求出．本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，正确作出图形是关键．12. 下列说法中正确的是设随机变量X服从二项分布，则已知随机变量X服从正态分布且，则；．A. B. C. D.（正确答案）A解：设随机变量X服从二项分布，则，正确；随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴是．，，，正确；利用积分的几何意义，可知，正确；故不正确．故选：A．分别对4个选项，分别求解，即可得出结论．考查二项分布、正态分布以及定积分的几何意义，考查学生的计算能力，知识综合性强．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 如果，当取得最大值时， ______ ．（正确答案）50解：，当，由组合数知，当时取到最大值．故答案为：50．根据变量符合二项分布，写出试验发生k次的概率的表示式，在表示式中，只有是一个变量，根据组合数的性质，当时，概率取到最大值．本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查概率的最值，考查组合数的性质，是一个比较简单的综合题目．14. 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”则当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为______ ．（正确答案）解：设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件与建立对应，显然：，，．．故答案为：由题意知这是一个条件概率，做这种问题时，要从这样两步入手，一是做出蓝色骰子的点数为3或6的概率，二是两颗骰子的点数之和大于8的概率，再做出两颗骰子的点数之和大于8且蓝色骰子的点数为3或6的概率，根据条件概率的公式得到结果．本题考查条件概率，条件概率有两种做法，本题采用概率来解，还有一种做法是用事件发生所包含的事件数之比来解出结果，本题出现的不多，以这个题目为例，同学们要认真分析．15. 从标有1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为______．（正确答案）解：在第一次抽到偶数时，还剩下1个偶数，3个奇数，在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为．故答案为：．根据剩下4个数的奇偶性得出结论．本题考查了条件概率的计算，属于基础题．16. 若随机变量，且，则 ______ ．（正确答案）解：随机变量，且，可得，正态分布曲线的图象关于直线对称．，，故答案为：．由条件求得，可得正态分布曲线的图象关于直线对称求得的值，再根据，求得的值．本题主要考查正态分布的性质，正态曲线的对称性，属于基础题．三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．Ⅰ求甲至少有1次未击中目标的概率；Ⅱ记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；Ⅲ求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．（正确答案）解：记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件，由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，射击3次，相当于3次独立重复试验，故．故甲至少有1次未击中目标的概率为；由题意知X的可能取值是0，1，2，3，，，，X的概率分布如下表：X 0 1 2 3P设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件，则，，为互斥事件甲恰好比乙多击中目标2次的概率为由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；甲每次击中目标的概率为，射击3次，相当于3次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果．根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列，做出期望值．甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果．本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清题目事件的特点，找出解题的规律，遇到类似的题目要求能做．18. 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率是现从两个袋子中有放回的摸球从A中摸球，每次摸出一个，共摸5次求：恰好有3次摸到红球的概率；设摸得红球的次数为随机变量X，求X的期望；Ⅱ从A中摸出一个球，若是白球则继续在袋子A中摸球，若是红球则在袋子B中摸球，若从袋子B中摸出的是白球则继续在袋子B中摸球，若是红球则在袋子A中摸球，如此反复摸球3次，计摸出的红球的次数为Y，求Y的分布列以及随机变量Y的期望．（正确答案）解：Ⅰ由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，根据独立重复试验公式得到，恰好有3次摸到红球的概率：．由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得到：，．随机变量Y的取值为0，1，2，3；且：；；；；随机变量Y的分布列是：的数学期望是．由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，根据独立重复试验公式得到结果．由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得到答案．由题意知计摸出的红球的次数为Y，随机变量Y的取值为0，1，2，3；由独立试验概率公式得到概率，写出分布列和期望．解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．19. 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数，如果，求的取值范围．（正确答案）解：，，根据“先进和谐组”的定义可得该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率而，所以由知，解得：根据甲的命中率为，乙的命中率为，两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；由已知结合的结论，我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率含参数，由，可以构造一个关于的不等式，解不等式结合概率的含义即可得到的取值范围．本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，二项分布与n次独立重复试验的模型，中关键是要列举出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的所有可能性，的关键是要根据，可以构造一个关于的不等式．。

2020年高考全国II卷理科数学试题(含解析)

2020年高考全国II卷理科数学试题(含解析)

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题1.已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U C A B ⋃=（ ） A.{2,3}- B.{2,2,3}-C.{2,1,0,3}--D.{2,1,0,2,3}--【答案】A 【解析】∵{1,0,1,2}AB =-，∴ (){2,3}UC A B ⋃=-.2.若α为第四象限角，则（ ） A.cos20α> B.cos20α<C.sin 20α>D.sin 20α<【答案】D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<.3.在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。

已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 【答案】B【解析】因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为160050012001850+-=名.4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（ ） A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差9d =，19a =，由等差数列性质知n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，且2322()()n n n n S S S S n d ---=，则29729n =，得9n =，则三层共有扇形面石板为3271272627934022n S S a ⨯==+⨯=块. 5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A.【答案】B【解析】设圆心为(,)a a ，则半径为a ，圆过点(2,1)，则222(2)(1)a a a -+-=，解得1a =或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是5d =. 6.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a ++++++=-,则k =（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】取1m =，则11n n a a a +=，又12a =，所以12n na a +=，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a =，所以11011115512102(12)222212k k k k k k a a a ++++++-+++==-=--，得4k =.7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A.EB.FC.GD.H【答案】A【解析】该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x （ ）A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】函数()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，则()f x 为奇函数，故排除A 、C ；当11(,)22x ∈-时，()ln(21)ln(12)f x x x =+--，根据函数单调性的性质可判断()f x 在11(,)22-上单调递增，故排除B ；当1(,)2x ∈-∞-时，212()ln(21)ln(12)lnln(1)2121x f x x x x x +=----==+--，根据复合函数单调性可判断()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，故D 正确.10.已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）B.32C.1【答案】C【解析】设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，记1OO d =，圆1O 的半径为r ，球O 半径为R ，等边三角形ABC ∆的边长为a ，则2ABC S ∆==，可得3a =，于是r ==，由题知球O 的表面积为16π，则2R =，由222R r d =+易得1d =，即O 到平面ABC 的距离为1.11.若2233x y x y ---<-，则（ ） A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】2323x x y y---<-，设()23x x f x -=-，则()2ln 23ln30x xf x -'=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增，因为()()f x f y <，所以x y <，则11y x -+>，ln(1)0y x -+>，选A.12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12......n a a a 满足{}10,1(1,2,...)a i ∈=，且存在正整数m ,使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2,...)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m的01-序列12......n a a a ，11()(1,2,...,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A. 11010... B.11011... C. 10001... D.11001... 【答案】C【解析】对于A 选项：511111(1)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，5211121(2)(01010)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于B 选项，5111131(1)(10011)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于C 选项，511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑，52111(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，53111(3)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，541111(4)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，满足；对于D 选项，5111121(1)(10001)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；故选C 。

高考数学解三角形选择填空专题练习(含答案)

高考数学解三角形选择填空专题练习(含答案)

高考数学解三角形选择填空专题练习一、选择题1．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，60B =︒，4a =，其面积S =则c =（ ）A ．15B ．16C ．20D ．2．在ABC △中，1a =，π6A ∠=，π4B ∠=，则c =（ ）A B C D 3．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1cos 2b a Cc =+，则角A 为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．45︒D ．135︒4．ABC △中A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 其面积2224a b c S +-=，则中C 的大小是（ ）A ．30︒B ．90︒C ．45︒D ．135︒5．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ，cos cos 2b A a B +=，则ABC △的外接圆面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π6．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为（ ）A ．B ．mC ．mD ．m 27．在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 所对的边，若cos 4cos a C c A =-，π3B =，a =，则cosC =（ ）A ．14B C D8．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos cos b B a C c A =+，若b 则a c +的最大值为（ ）A ．B ．3C ．32D ．99．在ABC △中，若22tan tan A a B b =，则ABC △的形状是（ ） A ．等腰或直角三角形 B ．直角三角形 C ．不能确定D ．等腰三角形10．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4442222a b c c a b++=+，若C 为锐角，则sin B A +的最大值为（ ）AB 1C D11．已知锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2B A =，则sin a Ab的取值范围是（ ）A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．12⎛ ⎝⎭D ．12⎫⎪⎪⎝⎭12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 是B 和C 的等差中项，0AB BC ⋅>，a =，则ABC △周长的取值范围是（ ）A ．⎝⎭B ．⎭C ．⎝⎭D ．⎝⎭二、填空题13．在ABC △中，3AB =，4AC =，3BC =，D 为BC 的中点，则AD =__________．14．在ABC △中，三个内角A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别是a ，b ，c ，若()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，且a =ABC △面积的最大值是________．15在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．16．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 、B 、C 成等差数列，b ABC △面积的取值范围是__________．参考答案 1．【答案】C【解析】由三角形面积公式可得11sin 4sin 6022ABC S ac B c ==⨯⨯⨯︒=△据此可得20c =．本题选择C 选项． 2．【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a bA B =可得π1sinsin 4πsin sin 6a Bb A ⨯===，且()()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=--=由余弦定理可得c =，故选A ． 3．【答案】A【解析】1cos 2b a C C =+，1sin sin cos sin 2B A C C ∴=+，()1sin sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C A C C +=+=+，1cos sin sin 2A C C =，1cos 2A =，60A =︒，故选A ．4．【答案】C【解析】∵ABC △中，1sin 2S ab C =，2222cos a b c ab C +=-，且2224a b c S +-=，∴11sin cos 22ab C ab C =，即tan 1C =，则45C =︒．故选C ． 5．【答案】D【解析】由cos cos 22sin sin sin b A a B a b cR A B C+====⎧⎪⎨⎪⎩，可得1sin cos sin cos B A A B R +=， 所以()1sin A B R +=，即1sin C R=，又cos C ，所以1sin 3C =，所以3R =，所以ABC △的外接圆面积为24π36πs R ==．故选D ． 6．【答案】A【解析】在ABC △中，50m AC =，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒，即30ABC ∠=︒，则由正弦定理sin sin AB ACACB ABC=∠∠，得50sin 2m 1sin 2AC ACB AB ABC ∠===∠，故选A ．【解析】由余弦定理知，222222422b a c b c a a c ab bc +-+-⋅=-⋅，即4b =，由正弦定理知43πsin sin 3A =，解得sin A =，因为a b <，所以π4A =，()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=，故选D ． 8．【答案】A【解析】2cos cos cos b B a C c A =+，则2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+， 所以()2sin cos sin sin B B A C B =+=，1cos 2B =，π3B =．又有2222231cos 222a cb ac B ac ac +-+-===，将式子化简得223a c ac +=+，则()()2233334a c a c ac ++=+≤+，所以()2134a c +≤，a c +≤A ． 9．【答案】A【解析】由正弦定理有2222tan 4sin tan 4sin A R AB R B=，因sin 0A >，故化简可得 sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B =，所以222πA B k =+或者22π2πA B k +=+，k ∈Z ．因A ，()0,πB ∈，()0,πA B +∈，故A B =或者π2A B +=，所以ABC △的形状是等腰三角形或直角三角形．故选A ． 10．【答案】A 【解析】4442222a b c c a b++=+ 444222222222222a b c a c b c a b a b ∴++--+=，即()2222222a b c a b +-=，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2222cos a b c ab C +-=，代入上式，222224cos 2a b C a b ∴=，解得cos C ∴= C 为锐角，πA B C ++=，π4C ∴=，3π4B A =-，3π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()3πsin sin 4B A A A A ϕ⎛⎫∴=-=+≤ ⎪⎝⎭1tan 3ϕ=，故选A ．【解析】∵2B A =，∴sin sin22sin cos B A A A ==， 由正弦定理得2cos b a A =，∴12cos a b A =，∴sin sin 1tan 2cos 2a A A Ab A ==．∵ABC △是锐角三角形，∴π02π022π0π32A B A C A <⎧⎪⎪⎪⎨<<=<<=-<⎪⎪⎪⎩，解得ππ64A <<，tan 1A <<11tan 22A <<．即sin a A b的值范围是12⎫⎪⎪⎝⎭，故选D ． 12．【答案】B【解析】∵A 是B 和C 的等差中项，∴2A B C =+，∴π3A =， 又0AB BC ⋅>，则()cos π0B ->，从而π2B >，∴π2π23B <<，∵21sin sin s s 3πin in a b c A B C ====，∴sin b B =，2πsin sin 3c C B ⎛⎫==-⎪⎝⎭， 所以ABC △的周长为2πsin sin 3π6l a b c B B B ⎛⎫⎛⎫=++=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又π2π23B <<，π2π5π366B <+<，1sin 26πB ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭l <<．故选B ． 13．【答案】2【解析】在ABC △中，根据余弦定理，可得2223341cos 2339B +-==⨯⨯，在ABD △中，根据余弦定理，可得222331413232294AD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以AD =． 14．【解析】()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，()()cos 2sin cos sin cos 2sin 2sin b A C A A C A C B ∴=-+=-+=-， 则2sin cos b B A -=，结合正弦定理得2cos sin a A A -=，即tan A =，2π3A ∠=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，化简得22122b c bc bc +=-≥，故4bc ≤，11sin 422ABC S bc A =≤⨯=△15．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin601sin60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，111a c+=， 因此()11444559c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9． 16．【答案】⎝⎦【解析】∵ABC △中A ，B ，C 成等差数列，∴π3B =．由正弦定理得2sin sin sin sin 3a cb A C B ===，∴2sin a A =，2sinc C =，∴12πsin sin sin 23ABC S ac B A C A A ⎛⎫===- ⎪⎝⎭△21331cos2sin sin cos sin22242AA A A A A A A ⎫-=+==+⎪⎪⎝⎭3πsin2246A A A ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭， ∵ABC △为锐角三角形，∴π022ππ032A A <<<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得ππ62A <<．∴ππ5π2666A <-<，∴1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭π26A ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，故ABC △面积的取值范围是⎝⎦．。

2023年上海16区(浦东徐汇杨浦闵行等)数学高考二模专题汇编2 函数及其应用含详解

2023年上海16区(浦东徐汇杨浦闵行等)数学高考二模专题汇编2 函数及其应用含详解
a
15. （宝山）若幂函数 y x 的图像经过点
1
16.（虹口）函数 y lg x 1
x2 4

3

3，
3 ，则此幂函数的表达式为
的定义域为________.
17. （虹口）对于定义在 R 上的奇函数 y f x ，当 x 0 时， f x 2 x
f x
x
C x3 , t x1 x2 x3 ，求证： x1 ， x2 ， x3 成等比数列.
27．
（静安）
（本题满分 18 分，本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分，第(3)小题满分 8 分）
已知函数 f ( x )
1 2
x ( a 1) x a ln x .（其中 a 为常数）
设 y f ( x )、y g ( x ) 是定义域为 R 的函数，当 g ( x1 ) g ( x2 ) 时，
记 ( x1 , x2 )
f ( x1 ) f ( x2 )
．
g ( x1 ) g ( x2 )
（1）已知 y g ( x ) 在区间 I 上严格增，且对任意 x1 , x2 I ， x1 x2 ，有 ( x1 , x2 ) 0 ，
9
，则该函数的值域为_____
2 1
x
二、选择题
18. （宝山）已知定义在 R 上的偶函数 f x x m 1 2 ，若正实数 a 、 b 满足 f a f 2b m ，则
最小值为
A.
（
9
5
B. 9
C.
8
5
）
D. 8
19. （杨浦）下列函数中，既是偶函数，又在区间 , 0 上严格递减的是（

2023年新高考数学选择填空专项练习题(附答案解析)

2023年新高考数学选择填空专项练习题(附答案解析)

则该展开式中 x3 的系数是( )
A．－184
B．－84
C．－40
D．320
A
a＋x3 [∵ x
x－2 x
6
的展开式中各项系数和为
3，令
x＝1，得(1＋a)(1－2)6
＝3，解得 a＝2.
又
2＋x3 x
x－2 x
6
＝2
x－2 x
6
＋x3
x－2 x
6
，
x
x－2 x
6
的展开式中含
x4 的项的系数为
C16(－2)1＝－12，常数项为
C36(－2)3
＝－160，
2＋x3 ∴x
x－2 x
6
的展开式中
x3
项的系数是
2×(－12)＋1×(－160)＝－184.
故选 A.]
12．(2019·潮州模拟)若 A、B、C、D、E 五位同学站成一排照相，则 A、B
2023 年新高考数学选择填空专项练习题
一、选择题
1．已知集合 A＝{2,3,4}，集合 B＝{m，m＋2}，若 A∩B＝{2}，则 m＝( )
A．0
B．1
C．2
D．4
A [因为 A∩B＝{2}，所以 m＝2 或 m＋2＝2.当 m＝2 时，A∩B＝{2,4}，不
符合题意；当 m＋2＝2 时，m＝0.故选 A.]
M∪∁RN＝R.故选 B.]
5．设 a∈R，i 为虚数单位．若复数 z＝a－2＋(a＋1)i 是纯虚数，则复数a－3i 2－i
在复平面上对应的点的坐标为( )
1，－8 A. 5 5
－7，－4 B. 5 5
第1页共6页
－4，7 C. 5 5
7，－4 D. 5 5

2020年高考数学专题+二++第二关++以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题

2020年高考数学专题+二++第二关++以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题

2020年高考数学专题二 压轴填空题第二关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题【名师综述】含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.类型一 可转化为二次函数的恒成立问题典例1．【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】已知定义在上的奇函数满足:当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C. D ．【答案】A【解析】当时，在上是增函数对任意实数恒成立对任意实数恒成立，故选A. 【名师指点】利用函数的性质将抽象不等式符号f 去掉，转化为二次不等式恒成立问题，若实数范围内的二次不等式问题可结合开口方向和判别式处理；若给定区间的二次不等式恒成立或有解问题，可利用参变分离法或图象处理．【举一反三】【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）数学（理）试题】对任意x R ∈不等式222x x a a +-≥恒成立, 则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[]1,1-【解析】设t a x =-||,则t a x ±=,2222t at a x +±=,故原不等式转化为)0(0222≥≥±+t at t t ,即022≥±+a t ,所以022≤-≥±t a ,即11≤≤-a .故应填答R ()f x 0x ≥()3f x x =()()242f t f m mt ->+tm (,-∞()()),0-∞⋃+∞(),-∞⋃+∞0x <()33()()()()f x f x x f x x x R f x =--=⇒=∈⇒R 242t m mt ⇒->+t 2442t mt t m ⇒->++t 201680m m m <⎧⇒⇒∈⎨∆-<⎩(,-∞案[]1,1-.类型二 利用构造函数求最值方法求恒成立问题典例1 【山东省菏泽市2018届高三上学期期末考试】若不等式()()21112x n x ax ax++<+在()0+∞，上恒成立，则a 的取值范围是________. 【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由题可设()()()21112f x x n x ax ax =++--则问题转化为()0f x <在()0+∞，上恒成立，则'12211f x ln x ax a x =+--+>-（）（），（ⅰ） 当0a ≤时'11210f x ln x a x =++-+，（）（）（）＞， 则()f x 在()0+∞，上单调递增，所以00f x f =（）＞（） 在()0+∞，上恒成立，与已知不符， 故0a ≤不符合题意．（ⅱ）当0a ＞时，令()1''21x f x x a x ϕϕ=-+（）（），＝，且()1011x ∈+，， 21a ≥， 即12a ≥时， ()1'201x a x ϕ-<+＝，于是x ϕ（）在0x ∈+∞（，） 上单调递减， 所以0120x a ϕϕ=-≤（）＜（）， 即'0f x （）＜ 在0x ∈+∞（，）上成立． 则()f x 在0x ∈+∞（，）上单调递减， 故00f x f =（）＜（）在()0+∞，上成立，符合题意．021a ＜＜，即102a ＜＜ 时，()12121110'2211a x a x a a x x ϕ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦--++＞，＝＝， 若1012x a⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，， 则'0x x ϕϕ（）＞，（）在1012x a⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增； 若在112x a ⎛⎫∈-+∞⎪⎝⎭，， 则'0x x ϕϕ（）＜，（）在112x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，又0120a ϕ=-（）＞， 则0x ϕ（）＞在1012x a⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上成立，即'0f x （）＞ 在1012x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上恒成立，所以()f x 在1012x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增，则00f x f =（）＞（）在1012x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上恒成立．与已知不符，故102a ＜＜不符合题意．综上所述， a 的取值范围1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.即答案为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【名师指点】()()f x g x ≤恒成立等价与()()0f x g x -≤恒成立，记()()()G x f x g x =-，则max ()0G x ≤，本题中由于()G x 有参数，需要分类讨论，利用导数求最值． 【举一反三】设函数，若对所有都有，则实数的取值范围为__________． 【答案】【解析】令，则（ⅰ）若，当时， 故在上为增函数，所以， 时， 即（ⅱ）若 方程的正根为此时，若则，故在该区间为减函数．所以， 时， 即与题设相矛盾． 综上，满足条件的 的取值范围是． 类型三 利用参变分离求恒成立问题典例 2 【河南省南阳市第一中学2018届高三第六次考试数学】已知函数()331f x ax x =-+对(]0,1x ∈总有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是__________．()xxf x e e-=-0x ≥()f x ax ≥a (],2-∞g x f x ax =-（）（）''x x g x f x a e e a -=-=+-（）（），2a ≤0x ＞'20x xg x e e a a -=+--≥（）＞，g x （）0+∞（，）0x ≥00g x g ≥=（）（），f x ax ≥（）．2a ＞，'0g x =（）12lna x +=10x x ∈（，），'0g x （）＜g x （）10x x ∈（，）00g x g =（）＜（），f x ax （）＜，f x ax ≥（）a (],2-∞【答案】[4，＋∞)【解析】当x ∈(0,1]时不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a≥331x x -，设g(x)＝331x x-，x ∈(0,1]，g′(x)＝()32641633132x x x x x x⎛⎫- ⎪--⎝⎭=-，因此g(x)的最大值为4，则实数a 的取值范围是[4，＋∞)．故答案为[4，＋∞)【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“()()g a h x >”形式，则只要求出()h x 的最大值M ，然后解()g a M >即可． 【举一反三】【江西省新余市2018届高三第二次模拟考试数学（理）试题】设函数x x e x f 1)(22+=，x e x e x g 2)(=，对),0(,21+∞∈∀x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围为 . 【答案】[)1,+∞【解析】对于函数()f x ,当0x >时, 22211()2e x f x e x e x x +==+≥=,所以当2(0,)x ∈+∞,函数()f x 有最小值2e ；对于函数2()x e x g x e =,2(1)'()xe x g x e -=,当01,'()0x g x <<>；当1,'()0x g x ><,所以当1x =时,函数()g x 有最大值(1)g e =.又不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，0k >,所以21e e k k ≤+,所以1k ≥. 类型四 利用图像法求恒成立问题典例 3 【2018江西南昌摸底】已知函数()21,0,()={3,0l n x x f x x x x +>-+≤，若不等式()20f x mx -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为__________．【答案】3⎡⎤--⎣⎦【解析】不等式即： ()2mx f x ≤+恒成立，作出函数()2y f x =+的图象，则正比例函数y mx =恒在函数()2y f x =+的图象下方，考查函数： 232y x x =+﹣经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为3k =--，由此可得：实数m 的取值范围为3⎡⎤--⎣⎦，故答案为3⎡⎤--⎣⎦．【名师指点】()()f x g x ≤等价于在公共定义域区间内，函数()y f x =的图像落在()y g x =的下方，这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像，根据图像上下关系，确定参数取值范围．【举一反三】已知函数()f x =,若||≥,则的取值范围是__________. 【答案】[2,0]-. 【解析】试题分析：当0x >时，由|()|f x ax ≥，得|()|0f x ax -≥，即|ln(1)|0x ax +-≥，因为当0x >时，ln(1)0x +>，所以ln(1)0x ax +-≥，令ln(1)y x ax =+-，要使ln(1)0x ax +-≥，(0)x >成立，0a ≤；当0x =时，恒成立；当0x <时，由|()|f x ax ≥，得|()|f x a x≤，即2|2|x x a x -+≤，化简得|2|x a --≤，而|2|x --最大为2-，故2a ≥-，综上可得20a -≤≤. 【精选名校模拟】1．已知函数()()221f x ax a x =-+， ()1xg x e x =--，若对于任意的()10,x ∈+∞，2x R ∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由1xg x e x =--（），则'1xg x e =-（），令'0g x （）＞，解得0x ＞；令'0g x （）＜，解得0x ＜． ()g x ∴在0-∞（，）是减函数，在0+∞（，） 是增函数，即min 00g x g==（）（）． 对于任意的()10,x ∈+∞， 2x R ∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，则有10f x g ≤（）（） 即可．即不等式0f x ≤（）对于任意的0x ∈+∞（，）恒成立， ()'221f x ax a =-+（），当0a =时， '10f x =-<（）， f x ∴（）在0+∞（，）是减函数， 00max f x f ∴==（）（） ， 0a ∴= 符合题意．当0a ＜时， ()'221f x ax a =-+（），， 令'0f x （）＞ ，解得212a x a +> ；令'0f x （）＜，解得212a x a+<． 当2102a a +< 即12a <-时， f x （）在0+∞（，） 是减函数， 00max f x f ∴==（）（） ， 0a ∴= （舍去）． 当2102a a +≥ 即102a -≤<时， f x （）在2102a a +（，）是增函数，在21,2a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是减函数，()()22121211212102222max a a a f x f a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-+=+-≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） ，恒成立．得102a -≤< 102a ∴-≤<符合题意． 当0a ＞ 时，当x →+∞时， f x →+∞（），这与对于任意的0x ∈+∞（，） 时0f x ≤（） 矛盾．故不成立综上所述a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 即答案为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．【华大新高考联盟2018届高三】设函数()222(3x f x x e mx m e =-+为自然对数的底数），当x R ∈时， ()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】[]0,6e【解析】由题意可得： 2223x x e mx m ≥-恒成立， 令21222,3x y x e y mx m ==-，则()'2214224x x x y xe x e e x x =+=+， 令()2240x e x x +=可得： 120,2x x ==-，绘制函数21222,3x y x e y mx m ==-的图像如图所示， 满足题意时， 212xy x e =的图像不在223y mx m =-的图像的下方，设切点坐标为()00,P x y ，切线方程为： ()00y y k x x -=-，即： ()()0022000224x x y x e e x x x x -=+-，切线过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭，则： ()0022000202243x x x e e x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 解方程可得： 00x =或01x =或043x =-， 结合函数图像可得： ()024m e ≤≤+，即06m e ≤≤. 表示为区间形式即[]0,6e .3．已知函数2()ln f x x x =，若关于x 的不等式()10f x kx -+≥恒成立，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(,1]-∞ 【解析】 ∵函数的定义域为，恒成立,即等价于，令，则，令，则在上恒成立，∴在上单调递增，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，则，故，故答案为.4．已知函数()2xf x e x =--，若任意的[]1,1a ∈-，总存在[]1,1x ∈-，使得()224f x t at ≤--恒成立，则t 的取值范围是__________．【答案】][(),33,-∞-⋃+∞ 【解析】∵()2xf x e x =--，∴()1xf x e '=-，∴当()1,0x ∈-时， ()()0,f x f x '<单调递减； 当()0,1x ∈时， ()()0,f x f x '>单调递增。

2020年高考真题：数学(海南卷)【含答案及解析】

2020年高考真题：数学(海南卷)【含答案及解析】
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
11.下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
【答案】CD
【解析】
【分析】
注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确.
9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;

高考数学专题(二)填空题

高考数学专题(二)填空题

高考数学专题(二)填空题广州六中高三级高考数学专题复习(二)填空题的解法考前突破高考数学专题复习(二)要点：填空题就是高考题中客观性题型之一，具备小巧有效率，跨度小，覆盖面广，概念性弱，运算量并不大，不须要写下解过程而只需轻易写下结论等特点。

可以存有目的、人与自然地综合一些问题，注重训练我们精确、细致、全面、灵活运用科学知识的能力和基本运算能力。

填空题有两类：一类是定量的，一类是定性的。

填空题大多是定量的，近几年才出现定性型的具有多重选择性的填空题。

填空题大多能够在课本中找出原型和背景，故可以化后归入我们津津乐道的题目或基本题型。

填空题虽然量少（目前只有4条――16分），但不需过程，不设中间分，更易失分，考生的得分率较低，不很理想。

究其原因，考生还不能达到《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求：“正确、合理、迅速”。

那么，怎样才能做到“正确、合理、迅速”地解答填空题，为做后面的题赢得宝贵的时间呢？填空题缺少选择支的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上。

但填空题既不用说明理由，又无须书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题。

下面以一些典型的问题为例，介绍解填空题的几种常用方法与技巧，从中体会到解题的要领：快――运算要快，力戒小题大作；稳――变形要稳，不可操之过急；全――答案要全，力避残缺不齐；活――解题要活，不要生搬硬套；细――审题要细，不能粗心大意。

答疑填空题的常用方法存有：①轻易法：直接从题设条件出发，选用有关定义、定理、公式等直接进行求解而得出结论。

在求解过程中应注意准确计算，讲究技巧。

这是解填空题最常用的方法。

1、在等比数列?an?中，记sn?a1?a2?…?an，未知a1?2s1?1,a4?2s2?1,则公比q=_______.2、点m与点（a4，0）的距离比它与直线x+1=0的距离大1，则点m的轨迹方程就是_______.3、设立圆锥底面圆周上两点a、b间的距离为2，圆锥顶点至直线ab的距离为3，ab和圆锥的轴的距离为1,则该圆锥的体积为________________.ooo4、sin7?cos15sin8的值是_________________.cos7o?sin15osin8osinxcosx5、函数y?的值域就是____________.1?sinx?cosx6、设立函数f(x)?logax(a?0,a?1),函数g(x)??x2?bx?c且142345723741114115f(2?2)?f(2?1)?1,g(x)的图象过点a?4,?5?及b??2,?5?，则26162525166………………………………a=；函数f[g(x)]的定义域为.7、例如图，它满足用户：（1）第n行首尾两数均为n，（2）表的关系式关系相似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数就是____________________.abz18、定义运算：的模等于x，则?ad?bc，若复数z?x?yi(x,y?r)满足cd11复数z对应的z（x，y）的轨迹方程为；其图形为.第1页(共7页)广州六中低三级中考数学专题备考(二)填空题的数学分析9、若f?x?是以5为周期的奇函数且f??3??1,tan??2，则f?20sin?cos??=.第2页(共7页)广州六中低三级中考数学专题备考(二)填空题的数学分析10、已知函数f(x)在r上连续,且f(x0)?n(n?n*),c4?c4?c4(?1)c4(?1)c②特例法：当填空题暗示结论唯一或者其值为定值时，根据题目的条件、选取某个符合条件的特殊值（或作特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊点、特殊曲线、特殊方程、特殊模型等等）进行计算或推理的方法。

高考数学三角函数选择填空专题练习(含答案)

高考数学三角函数选择填空专题练习(含答案)

高考数学三角函数选择填空专题练习一、选择题1．为了得到函数sin 2y x =的图象，只需把函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移π12个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向右平移π6个单位长度 2．若3tan 4x =，则ππtan tan 2424x x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2- B ．2 C ．32 D ．32-3．已知函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线8π3x =对称 C ．()f x 的一个零点为π6 D ．()f x 在区间π03⎛⎫⎪⎝⎭,上单调递减4．函数()()π2sin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[]0,1上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）A ．[]2π,4πB ．9π2π,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．13π25π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．25π2π,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕϕω⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭为π2，且()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断正确的是（ ）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2y x =的图象向右平移π6个单位 B ．函数()f x 的图象关于直线5π12x =对称C ．当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为D ．函数()f x 在ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增6．函数()πsin sin 3f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A B ．2C ．D ．47．已知函数()cos sin f x x x =-在[],a a -上是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π8．已知A 是函数()ππsin 2018cos 201863f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值，若存在实数1x ，2x 使得对任意实数x总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x ⋅-的最小值为（ ） A ．π2018B ．π1009C ．2π1009D ．π40369．如图，己知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象关于点()2,0M 对称，且()f x 的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将()f x 的图象向右平移13个单位长度，得到函数()g x 的图象；则下列是()g x 的单调递增区间的为（ ）A ．713,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．410,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．17,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1016,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()2sin 22sin f x x x =-，给出下列四个结论（ ）①函数()f x 的最小正周期是π；②函数()f x 在区间π5π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；③函数()f x 图像关于π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④函数()f x 的图像可由函数2y x =的图像向右平移π8个单位，再向下平移1个单位得到． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知()()sin f x x ωθ=+（其中0ω>，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）()()12''0f x f x ==，12x x -的最小值为π2，()π3f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 的图像向左平移π6个单位得()g x ，则()g x 的单调递减区间是（ ）A ．ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，()k ∈ZB ．π2πππ63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，()k ∈ZC ．π5ππ,π36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k ∈ZD ．π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z12．已知函数()sin sin3f x x x =-，[]0,2πx ∈，则()f x 的所有零点之和等于（ ） A ．8π B ．7π C ．6π D ．5π二、填空题13．已知α为第一象限角，sin cos αα-=，则()cos 2019π2α-=__________． 14．已知tan 2α=，则2cos sin2αα+=__________．15．已知πtan 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π7π,66α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2sin cos 222ααα=_____．16．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0ω>，πϕ<）的一个零点是π3x =，且当π6x =-时，()f x 取得最大值，则当ω取最小值时，下列说法正确的是___________．（填写所有正确说法的序号） ①23ω=；②()01f =-； ③当π5π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；④函数()f x 的图象关于点7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭对称．参考答案 1．【答案】B【解析】ππsin 2sin 2126y x x ⎡⎤⎛⎫==-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故应向右平移π12个单位长度．故选B ． 2．【答案】C【解析】因为2tan1tan 14tanππ3222tan tan 2tan 242421tan 1tan 1tan 222x x xx x x x x x+-⎛⎫⎛⎫++-=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+-， 故选C ． 3．【答案】B【解析】函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，周期为2ππ2T ==，故A 正确；函数图像的对称轴为2ππ2π32x k +=+，ππ122k k x ∈⇒=-+Z ，k ∈Z ，8π3x =不是对称轴，故B 不正确； 函数的零点为2π2π3x k +=，ππ32k k x ∈⇒=-+Z ，k ∈Z ，当1k =时，得到一个零点为π6，故C 正确； 函数的单调递减区间为2ππ3π2π,π322x k k ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，解得x 的范围为ππ5π,π122122k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，区间π0,3⎛⎫⎪⎝⎭是其中的一个子区间，故D 正确．故答案为B ．4．【答案】C 【解析】由题意得π5π32ω+≥，π9π32ω+<，13π25π66ω∴≤<，故选C ． 5．【答案】A【解析】因为()f xA =，又图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，故π22T =， 即2ω=，所以()()2f x x ϕ=+， 令π12x =-，则ππ6k ϕ-+=即ππ6k ϕ=+，k ∈Z ， 因π2ϕ<，故π6ϕ=，()π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．πππ22266y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故向右平移π6个单位后可以得到()π26f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故A 正确；5π5ππ01266f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数图像的对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，故B 错； 当ππ66x -≤≤时，πππ2662x -≤+≤，故()min f x =，故C 错； 当ππ63x ≤≤时，ππ5π2266x ≤+≤，()π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，故D 错． 综上，故选A ． 6．【答案】A【解析】函数()π1sin sin sin sin 32f x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭31πsin cos 226x x x x x ⎫⎛⎫=+=+=+≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭A ． 7．【答案】A【解析】()'sin cos f x x x =--，由题设，有()'0f x ≤在[],a a -上恒成立，π04x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故3ππ2π2π44k x k -≤≤+，k ∈Z ．所以3π2π4π2π4k a a k -≤-⎧⎪≤⎨+⎪⎪⎪⎩，因0a >，故0k =即π04a <≤，a 的最大值为π4，故选A ．8．【答案】B 【解析】()ππsin 2018cos 201863f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112018cos2018cos2018201822x x x x =++π2018cos 20182sin 20186x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()max 2A f x ∴==，周期2ππ20181009T ==， 又存在实数1x ，2x ，对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，()()2max 2f x f x ∴==，()()1min 2f x f x ==-，12A x x ⋅-的最小值为1π21009A T ⨯=，故选B ．9．【答案】D【解析】由图象可知A =()f x 的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4， 所以(22242T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得4T =，即2π4w =，即π2w =，则()π2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 关于点()2,0M 对称，即()20f =π202ϕϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，解得0ϕ=，所以()π2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移13个单位长度，得到()g x 的图象，即()π1ππ2326g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由ππππ2π2π2262k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，得244433k x k -+≤≤+，k ∈Z ，当1k =时，101633x ≤≤，即函数的单调增区间为1016,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选D ． 10．【答案】B【解析】()2πsin 22sin sin 2cos21214f x x x x x x ⎛⎫=-=+-+- ⎪⎝⎭∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故①正确 令ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+，解得π5πππ88k x k +≤≤+， 当0k =时，()f x 在区间π5π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，故②正确令π204x +=，解得π8x =-，则()f x 图像关于π,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故③错误 ()π214f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，可以由()2f x x =的图象向左平移π8个单位，再向下平移一个单位得到，故④错误，综上，正确的结论有2个，故选B ． 11．【答案】A【解析】∵()()sin f x x ωθ=+（其中0ω>，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）由()()12''0f x f x ==可得，1x ，2x 是函数的极值点， ∵12x x -的最小值为π2，∴1ππ22T ω⋅==，2ω∴=，()()sin 2f x x θ∴=+， 又()π3f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象的对称轴为π6x =，ππ2π62k θ∴⨯+=+，k ∈Z ，令0k =可得π6θ=，()πsin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移π6个单位得()ππsin 2cos 266g x x x ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，令2π22ππk x k ≤≤+，πππ2k x k ∴≤≤+， 则()cos 2g x x =的单调递减区间是ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ，故选A ． 12．【答案】B【解析】由已知函数()sin sin3f x x x =-，[]0,2πx ∈，令()0f x =，即sin sin30x x -=，即2sin sin3sin cos2cos sin 2sin cos22sin cos x x x x x x x x x x ==+=+， 即()2sin cos22cos 10x x x +-=，解得sin 0x =或2cos22cos 10x x +-=， 当sin 0x =，[]0,2πx ∈时，0x =或πx =或2πx =；当2cos22cos 10x x +-=时，即222cos 2cos 20x x +-=，解得cos x =， 又由[]0,2πx ∈，解得π4x =或3π4或5π4或7π4， 所以函数()f x 的所有零点之和为π3π5π7π0π2π7π4444++++++=，故选B ．13． 【解析】()cos 2019π2cos2αα-=-，因为sin cos αα-=，所以11sin23α-=，2sin23α∴=，因为sin cos 0αα->，α为第一象限角， 所以ππ2π2π42k k α+<<+，k ∈Z ，π4π24ππ2k k α∴+<<+，k ∈Z ，所以cos2α=． 14．【答案】1【解析】tan 2α=，∴原式22222cos 2sin cos 12tan 1221sin cos tan 121ααααααα+++⨯====+++． 故答案为1．15．【解析】原式1ππsin sin cos 236αααα⎛⎫⎛⎫==+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π7π,66α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]π0,π6α-∈，因πtan 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．16．【答案】①④【解析】函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0ω>，πϕ<）的一个零点是π3x =， 则ππ2sin 1033f ωϕ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π1sin 32ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππ2π36k ωϕ+=+或()5π2π6k k +∈Z ，()ππ2π62n n ωϕ-+=+∈Z ， 两式相减得()243k n ω=-±，又0ω>，则min 23ω=， 此时2π5π2π96k ϕ+=+，k n =，11π2π18k ϕ∴=+， 又πϕ<，则11π18ϕ=，()211π2sin 1318f x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，当π5π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 先减后增，函数()f x 的图象关于点7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，()11π02sin1118f =-≠-， 故填①④．。

2020年成人高考高起点数学真题及答案

2020年成人高考高起点数学真题及答案

第I 卷(选择题,共85分)一、选择题(本大颗共17小题，每小题5分,共85分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.不等式|x -2|<1的解集是A.{x |-1<x<3}B.{x|-2<x<1}C.{x |-3<x<1}D.{x|1<x<3}2.下列函数中,在（0，π2）为减函数的是A.y = ln(3x ＋1)B. y=x+1C.y = 5sinxD.y=4-2x3.函数y= log 2(x ＋1)的定义域是A.(2,+ ∞)B.(-2,+ ∞)C.(- ∞，-1)D.(-1,+ ∞)4.直线x -y -3=0与x -y+3=0之间的距离为A.2√2B.6√2C.3√2D.65.设集合M={-2,-1,0,1,2},N={x l x≤2},则M ∩N=A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1,2}C.{x |0<x≤2}D.{x|-1<x<2}6.已知点A(1,0),B(-1,1),若直线kx -y -1=0与直线 AB 平行,则k=A.- 12B. 12C.-1D.17.已知向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，t ），BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0.2),则t= A.-1B.2C.-2D.18.已知双曲线x 2m -y 24 =1的离心率为3,则m=A.4B.1C. 12D.29.函数y=sin(x ＋3）＋sin(x -3）的最大值为A.-2sin3B.2sin3C.-2cos3D.2cos310.已知a>b>1,则A.log 2a > log 2bB. log 21a > log 21bC.1log 2a >1log 2bD.log 12a >log 12b 11.已知 cosx=35,且x 为第一象限角,则 sin2x=A.45B.2425C.1825D.122512.曲线y= sin(x ＋2)的一条对称轴的方程是A.x= π2B.x=πC.x= π2+2D.x= π2 -213.若p:x=1; q:x 2-1=0,则A.p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件B.p 是q 的充要条件C.p 是q 的必要条件但不是充分条件D.p 是q 的充分条件但不是必要条件14.已知点A(1,-3),B(0，- 3),C(2,2).则∆ ABC 的面积为A.2B.3C.32D.5215.从红、黄、蓝、黑4个球中任取3个,则这3个球中有黑球的不同取法共有A.3种B. 4种C.2种D.6种16.下列函数中,最小正周期为π的函数是A.y =sinx +sinx2B.y=sin2xC.y =cosxD.y=sin x+1217.下列函数中,为偶函数的是A.y =e x+xB.y=x2C.y=x3+1D.y=In(2x＋1)第Ⅱ卷（非选择题,共65分)二、填空题(本大题共4小题.每小题4分，共16分)18.函数f(x)=x2+bx+c的图像经过点(-1.0)，(3.0).则f(x)的最小值为_______.19.某同学每次投篮命中的概率都是0.6,各次是否投中相互独立,则该同学投篮3次恰有2次投中的概率是_______.,则a3=________.20.已知数列{a n}的前n项和为3n221.已知曲线y=lnx+a在点（1,a）处的切线过点(2，-1）,则a=_______.三、解答题(本大题共4小题,共49分.解答应写出推理、演算步骤)22.(本小题满分12分)在∆ABC中,A =30°,AB =√3,BC =1.（I）求C;（Ⅱ）求ⅡABC的面积.23.（本小题满分12分)设函数f(x）=x3+x-1.（I）求f（x）的单调区间;（Ⅱ）求出一个区间(a,b),便得f(x)在区间(a,b)存在零点，且b-a<0.5。

2020年全国统一高考数学试卷2(新课标Ⅲ)(解析版) (1)

2020年全国统一高考数学试卷2(新课标Ⅲ)(解析版) (1)

2020年全国统一考试数学一、选择题：（本题共10小题，每小题6分，共60分）1.已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故A B 中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.若()11+=-z i i ，则z =（ ） A. 1–i B. 1+iC. –iD. i【答案】D 【解析】 【分析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可.【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1C. 1D. 10【答案】C 【解析】 【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.【详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=，的方差是数据(1,2,,)i x i n =，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1⨯ 故选：C【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5.已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A.12B.C.23D.【答案】B 【解析】 【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.详解】由题意可得：1sin sin cos 122θθθ++=，则：3sin 12θθ+=1cos 2θθ+=从而有：3sin coscos sin663ππθθ+=， 即3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆C. 抛物线D. 直线【答案】A 【解析】 【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【详解】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0A a B a -，设(),C x y ，可得：()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-，从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+，结合题意可得：()()21x a x a y +-+=， 整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB 21a +为半径的圆. 故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A. 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (1,0)D. (2,0)【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 8.点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（ ）A. 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果.【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -， 当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A. 6+42B. 4+42C. 6+23D. 4+23【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△ 根据勾股定理可得：22AB AD DB ===∴ADB △是边长为22根据三角形面积公式可得：2113sin 60(22)23222ADB S AB AD =⋅⋅︒=⋅=△∴该几何体的表面积是：2362332=⨯++故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.10.设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】分别将a ,b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可. 【详解】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<. 故选：A .【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.11.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图 因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯=. 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.12.设双曲线C ：22221x y a b-= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2x ，则C 的离心率为_________．3 【解析】 【分析】 根据已知可得2ba=,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =2213c b e a a==+=3【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.13.设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．【答案】1 【解析】 【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值【详解】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aee a =+， 整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题. 14.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】2π 【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于223122AM =-=1222222S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()1332222r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：34233V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第15~19题为必考题，每个试题考生都必须作答.第20、21题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.15.设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=． （1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ． 【答案】（1）13-=n n a ；（2）6m =. 【解析】 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式； （2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ， 根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩， 所以13-=n n a ；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=， 整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.16.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，.【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好 33 37空气质量好 228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质得AC BD ⊥，根据长方体性质得1AC BB ⊥,进而可证AC ⊥平面11BB D D ,即得结果； （2）只需证明1//EC AF 即可，在1CC 上取点M 使得12CM MC =,再通过平行四边形性质进行证明即可.【详解】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥ 因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC = 所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面，所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴，所以1E C A F 、、、四点共面，因此1C 在平面AEF 内【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题. 18.已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围． 【答案】（1）详见解析；(2)4(0,)27. 【解析】 【分析】（1）'2()3f x x k =-，对k 分0k ≤和0k >两种情况讨论即可；（2）()f x 有三个零点，由（1）知0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解不等式组得到k 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.【详解】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x << 令'()0f x >，得x <x >()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增. （2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即22203203k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得4027k <<， 当4027k <<>20f k =>， 所以()f x在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<，所以()f x 在(1,k --上有唯一一个零点，又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点， 综上可知k 的取值范围为4(0,)27. 【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.19.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)，∴C的方程为：22214255x y⎛⎫⎪⎝⎭+=，即221612525xy+=；（2）不妨设P,Q在x轴上方点P在C上，点Q在直线6x=上，且||||BP BQ=，BP BQ⊥，过点P作x轴垂线，交点为M，设6x=与x轴交点为N根据题意画出图形，如图||||BP BQ=，BP BQ⊥，90PMB QNB∠=∠=︒，又90PBM QBN∠+∠=︒，90BQN QBN∠+∠=︒，∴PBM BQN∠=∠，根据三角形全等条件“AAS”，可得：PMB BNQ≅△△，221612525x y+=，∴(5,0)B，∴651PM BN==-=，设P点为(,)P Px y，可得P点纵坐标为1Py=，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：22231111055125211d ⨯-⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：1555252⨯=；②当P 点为(3,1)-时， 故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()2283111405185185811d ⨯--⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=∴APQ 面积为：1518522185=， 综上所述，APQ 面积为：52. 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第20、21题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]20.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点. （1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程. 【答案】（1）4102）3cos sin 120ρθρθ-+= 【解析】【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A . 令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]21.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.。

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选择、填空题专题练习(二)
班级：
姓名：
2
1如果复数 m ―i 是纯虚数，那么实数 m 等于 ()
1 mi
A.-1
B.0
C.0
或-1
D.0 或 1
2、已知等差数列｛a n ｝与等差数列｛b n ｝的前n 项和分别为 S 和T n ,若
Sn
3n 1
，则也
T n
2n 3 b 10
3 1
4 (C)
29 56 (A) (B)
(D)
2
13
23
41
3、已知直线l:x
2y m
0按向量a
(2, 3)平移后得到的直线
l 1 与圆(x 2)2 (y 1)2
5
相切，那么m 的值为( )
A.9 或一1
B.5
或一5
C.
—7 或 7 D.3 或13
当 x [3,5]时，f(x) 2 |x 4|，则
)
f (sin 1) f(cos1) f (cos2) f (sin 2)
L “ 5、 a
2且b 2”是“函数 f(x)
x b ,x x a
1,
是增函数”的
A. 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
0)，过焦点F 的直线与抛物线交于 A B 两点，以AB
7、已知奇函数f (x)对任意的正实数x 1, x 2(x-| x 2 )恒有
(X 1 X 2)(f(xJ f(X 2)) 0,则一定正确的是(
)
A. f(4) f( 6)
B. f( 4) f( 6)
D f (4) f ( 6)
4、定义在R 上的函数f (x)满足f (x) f(x 2),
下列不等式一定成立的是
(
A. f (sin )
f(cos —) 6 6 B . 2 2
C. f (cos ) f (sin )
3
3
D.
6.已知抛物线方程为寸 2 px( p
为直径的圆M 与抛物线的准线I 的位置关系为 A.相交
B .相切 C.相离
( )
D.不确定
C. f( 4) f ( 6)
8、已知动圆过点（1, 0）,且与直线x 1相切，则动圆圆心的轨迹方程为
（ ）
.2 2 A 2 2」
A. x y 1
B. x y 1
C. y
4x
D. x 0
1
出下列四个命题：①函数 ｛x ｝的定义域是 R,值域为[0 , 1];②方程｛x ｝—有无数个 2 解；③函数｛x ｝是周期函数；④函数｛x ｝是增函数，其中正确命题的序号有 （
）
A.②③
B .①④
C.③④
D.②④
11、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为
________ 。

（结
果用最简分数表示）
12、函数f （x ） ln x x 2的零点个数为 _________________
13、数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，若S n 2a . 1，则a .=
14.（坐标系与参数方程选做题） 极坐标系下，直线
共点个数是 ________ .
15.（几何证明选讲选做题） 如图所示，等腰三角形 ABC 的底边AC 长
为6 ,其外接圆的半径长为 5,则三角形ABC 的面积是 __________ .
选择、填空题专题练习(二) 参考答案
CDACA BCCCA
1
n 1
11(
) 12 2 13
( 2 ) 14 (1) 15 3
12
9、设b 、c 表示两条直线, 表示两个平面，下列命题中真命题的是
b A.
c// b 〃C B . b
c 〃
b//c
c// C.
c
c//
D c//
c
10、符号[x]表示不超过x 的最大整数,
如[]3,[ 1.08] 2,定义函数｛x ｝ x [x].给
cos( —) 2 与圆
A。

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