假期作业练习18

假期作业 练习１81、（－∞，2）；2、1或2 ；3、3 ；4、 a ≥-8 ；5、150°；6、60 ；7、8π；8、①③④9、b =10 11、29π； 12、（3，＋∞）；13、37,53⎛⎫ ⎪⎝⎭；14、2，()2311sin[]332n k a n ππ+=-+（k ∈N ） （注意：答案不唯一，如写成21)332sin(3+-=ππn a n 即可）高二年级暑期作业理科数学试题4一、填空题：1．函数f (x )=2log (2)x -的单调递减区间是 ． 1、（－∞，2）；2．已知集合{}{}20,,|30,A m B n n n n Z ==-<∈，若A B ≠∅ ，则m 的值为 ． 2、1或2 ；3. 复数(1)(12)z i i =-+的实部是 ． 3、3 ；4．已知命题：“[1,2]x ∃∈，使x 2+2x +a ≥0”为真命题，则a 的取值范围是 ． 4、 a ≥-8 ；5．若直线6x π=是函数sin cos y a x b x =+图像的一条对称轴，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 ． 5、150°；6．今年“3·15”，某报社做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A 、B 、C 、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B 单位抽30份，则在D 单位抽取的问卷是 份． 6、60 ；7．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对 （x ，y ）的概率是 . 7、8π；8．给出下列四个结论：①若A 、B 、C 、D 是平面内四点，则必有AC BD BC AD +=+ ；②“0a b >>”是“222a b ab +<”的充要条件；③如果函数f (x )对任意的x R ∈都满足f (x )=-f (2+x )，则 函数f (x )是周期函数；④已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N ＋)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，则S 12>0；其中正确结论的序号是 ．（填上所有正确结论的序号）． 8、①③④；9．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，已知4a B π==， .求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示6A π=.试在横线上将条件补充完整. 9、b =10．已知a ，b 是非零向量，且,a b 的夹角为3π，则向量||||a bp a b =+的模为 ．10342 俯视图主视图左视图11．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 11、29π；12．若f (x )是R 上的增函数，且f (-1)=-4,f (2)=2，设(){}(){}|2,|4P x f x t Q x f x =+<<-＝， 若x P x Q ∈∈“”是“”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是 ． 12、（3，＋∞）；13．已知函数()f x 的定义域为[)2,-+∞，部分对应值如下表，()'f x 为()f x 的导函数，函数()'y f x =的图像如图所示． 若两正数,a b 满足()21f a b +<，则33b a ++的取值范围是 ． 13、37,53⎛⎫ ⎪⎝⎭；14．数列a n {}满足：1112,1(2,3,4,)n n a a n a -==-= ，则4a = ；若a n {}有一个形如sin()n a A n B ωϕ=++的通项公式，其中A , B , ω,ϕ均为实数，且0A >，0ω>，2πϕ<，则此通项公式可以为n a = （写出一个即可）. 14、2，()2311sin[]332n k a n ππ+=-+（k ∈N ）（注意：答案不唯一，如写成21)332sin(3+-=ππn a n 即可）二、解答题：15、已知：,cos ),(cos ,cos )a x x b x x == ，122)(-+⋅=m b a x f（R m x ∈,）.(1) 求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期；(2) 若]2,0[π∈x 时()f x 的最小值为5，求m 的值.15、解：(1) 2()cos 2cos 21f x x x x m =++-2cos22x x m ++ 2sin(2)26x m π=++.()f x ∴的最小正周期是π.(2) ∵]2,0[π∈x ，∴]67,6[62πππ∈+x ，∴当6762ππ=+x 即2π=x 时，函数()f x 取得最小值是12-m .∵512=-m ，∴3=m .16、一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字． （1） 若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率； （2） 若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率；（3） 若抛掷两次，以第一次朝下面上的数字为横坐标a ，第二次朝下面上的数字为纵坐标b ，求点（b a ,）落在直线1=-y x 下方的概率．16. 解：（1）记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A ，抛掷这颗正四面体骰子，抛掷后能看到的数字构成的集合有{2，3，4}，{1，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，共有4种情形，其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，则3()4P A =；（2）记事件“抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于7”为B ，两次朝下面上的数字构成的数对有共有16种情况，其中能够使得数字之积大于7的为（2，4），（4，2）（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）共6种，则P （B ）=63168=．（3）记事件“抛掷后点（a ,b ）在直线x -y =1的下方”为C ，要使点（a ,b ）在直线`x -y =1的下方，则须b <a -1， 当b =1时，a =3或4；当b =2时，a =4，则所求的概率P （C ）=316.17、如图，在四棱锥S—ABCD中，侧棱SA=SB=SC=SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点．（1）求证：AC⊥平面SBD；（2）若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论．17、证明：（1）∵底面ABCD是菱形，O为中心．∴AC⊥BD，又SA=SC，∴AC⊥SO，而SO BD=0，∴AC⊥面SBD．（2）取棱SC中点M，CD中点N，连接MN，则动点P的轨迹即是线段MN，证明：连结EM、EN，∵E是BC中点，M是SC中点，∴EM//SB，同理EN//BD，∵AC⊥面SBD ∴AC⊥SB∴AC⊥EM，同理AC⊥EN，又EM EN=E，∴AC⊥面EMN，因此，当P点在线段MN上运动时，总有AC⊥EPP点不在线段MN上时，不可能有AC⊥EPSCBDOESCBADO E（1）求该椭圆的离心率；（2）若点E A 的 直线与2F 交于B 、C 两点，且AB AC λ=，求λ的取值范围.（1）求该椭圆的离心率；（2）若点EA 的 直线与2F 交于B 、C 两点，且AB AC λ=，求λ的取值范围.18、解：（1）由题意可知：2F 的半径为b ，1EF ⊥2EF ，∴(2a -b )2+b 2=4(a 2-b 2) 即2a =3b ,（2）由椭圆的定义可得：235b ==，a =3，∴点2F的坐标为∴圆的方程为22(4x y +=∴点A 在圆外，且AB·AC=5；∴25AC λ=,若λ<1AC ≤5，此时115λ≤<；若λ>1，则1AC ≤<15λ<≤另解：由椭圆的定义可得：2b ==，a =3，∴点2F的坐标为…9分∴圆的方程为22(4x y +=设直线AC 的方程为y=kx+2；由此得：0k -<<；设点B （x 1，y 1）C （x 2，y 2）∵AB AC λ=，∴x 1＝λ x 2 ；由22(42x y y kx ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得22(1)(450k x k x ++-+=∴12122254;11kx x x x k k ⋅=+=++∴122112x x x x λλ+＋＝； ∴12625λλ<≤＋， ∴115λ≤<或15λ<≤19． 已知函数()f x 的定义域为R ，其导数()f x '满足0＜()f x '＜1．设a 是方程()f x ＝x 的根．（Ⅰ）当x ＞a 时，求证：()f x ＜x ；（Ⅱ）求证：|1()f x －2()f x |＜|x 1－x 2|（x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2）；（Ⅲ）试举一个定义域为R 的函数()f x ，满足0＜()f x '＜1，且()f x '不为常数．19．解：（Ⅰ）令g (x )=f (x )－x ，则g`(x )=f `(x )－1<0．故g (x )为减函数， 又因为g (a )=f(a ）－a =0，所以当x >a 时，g (x )＜g (a )=0，所以f (x )－x ＜0，即()f x <x ． （Ⅱ）不妨设x 1＜x 2，由（Ⅰ）知g (x )为减函数，所以 g (x 2)＜g (x 1)，即f (x 2)－x 2＜f (x 1)－x 1所以 f (x 2)－f (x 1)＜x 2－x 1；又因为`()f x ＞0，所以()f x 为增函数， 所以0＜f (x 2)－f (x 1)＜x 2－x 1，所以|1()f x －2()f x |＜|x 1－x 2|．（Ⅲ）本小题没有统一的答案，满足题设条件的函数有无穷多个．如f (x )=11sin 24x x +.n n 44n Ⅱ）设数列{}n b 的通项为W b n b n n n ∈-=}{,25且，求M 的取值范围； Ⅲ））设数列{}n c 的各项均为正整数，且{}n c W ∈，试证1n n c c +≤．n n 44n Ⅱ）设数列{}n b 的通项为W b n b n n n ∈-=}{,25且，求M 的取值范围； Ⅲ））设数列{}n c 的各项均为正整数，且{}n c W ∈，试证1n n c c +≤．20、解：（Ⅰ）设等差数列{n a }的公差是d ，则1132,4620a d a d +=+=，解得18,2a d ==- 所以n n d n n na S n 92)1(21+-=-+= 由)]1(18)1(2)2(9)2()9[(21222212+-+++++-+-=-+++n n n n n n S S S n n n =－1＜0 得,212++<+n n n S S S 适合条件①； 又481)29(922+--=+-=n n n S n ，所以当n =4或5时，n S 取得最大值20，即n S ≤20，适合条件②．综上所述， {}n S W ∈（Ⅱ）因为n n n n n n n b b 25252)1(511-=+--+=-++，所以当n≥3时，01<-+n n b b ，此时数列{}n b 单调递减；当n =1，2时，01>-+n n b b ，即123b b b << 因此数列{}n b 中的最大项是37b =，所以M ≥7（Ⅲ）假设存在正整数k ，使得1+>k k c c 成立，由数列{}n c 的各项均为正整数，可得1111-≤+≥++k k k k c c c c 即 因为2)1(22,21212-=--≤-≤≤+++++k k k k k k k k k c c c c c c c c c 所以 由 2112111212,2,1k k k k k k k k k k k c c c c c c c c c c c +++++++++≤-><-=≤-及得故 因为32)1(22,2111123231-≤-=--≤-≤≤++++++++++k k k k k k k k k k c c c c c c c c c c 所以 依次类推，可得)(*N m m c c k m k ∈-≤+又存在M ，使k c M ≤，总有M m <，故有0k m c +<，这与数列（n c ）的各项均为正整数矛盾！所以假设不成立，即对于任意n N +∈,都有1+≤n n c c 成立.。