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三角函数小题天天练(2)

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三角函数计算题训练(含答案)

三角函数计算题训练(含答案)

三角函数解答题训练1．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α、()ββα>的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，点43,55A ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）若点512,1313B ⎛⎫⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值：（2）若310OA OB ⋅=u u u v u u u v ，求sin β.2.已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a r ·b r 及||a b +r r ；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+r rr r ，求()f x 的最小值3．已知向量(cos ,sin ),(1,3),[0,]a x x b x π==∈r r .（1）若//a b r r ，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅r r ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.4．已知函数()cos f x x x =+．（1）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最大值．5．设函数()sin 1f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域和函数的的单调递增区间；（2）当()135fα=，且263ππα<<时，求2sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.6．已知函数()sin 22f x x x =-.（1）求()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g()x 的图象.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求g()x 的值域.7．已知函数1()sin 224f x x x =+ （1）求()f x 的值域；（2）求函数()f x 的最小正周期及函数的单调区间；（3）将函数()y f x =的图像向右平移3π个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()g x 的表达式.8．已知()()2cos sin f x x x x =-+(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间;(2)求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围.9．已知函数)1()cos cos 2f x x x x =-+. （1）求()f x 单调减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()2c f x c <<+恒成立，求实数c 的取值范围.10．已知函数()cos s co )f x x x x =-.（1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.11．已知函数()2sin sin cos f x x x x =+ （1）求2233f f ππ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）求()f x 的最大值及取得最大值时对应的x 的值．12．已知函数22()cos sin f x x x =-.求：（1）()12f π的值；（2）()f x 的单调递增区间.13．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.14．已知函数()2212cos f x x x =+-. （1）求()f x 的对称轴；（2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.15．已知函数22()cos sin cos ()f x x x x x x R =-+∈. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.16．已知函数()2sin cos x x x f x =. （Ⅰ）求π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （Ⅰ）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.17．已知函数2()2sin 2sin cos 1=++f x x x x . （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.18．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++. （1）求函数()y f x =周期及其单调递增区间； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()y f x =的最大值和最小值.19．已知函数()44cos 2sin cos sin x x x f x x =+-. (1)求()f x 的最小正周期;(2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.20．已知函数()22cos sin 22f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的周期和值域；（2）求()f x 的单调区间.21．已知函数2()222cos f x x x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数()f x 在[0,]2π上的最小值.22．已知函数)22()2sin sin cos sin 2f x x x x x π⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅰ）求方程()2f x =的解构成的集合.23．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.24．设函数2()sin cos 2=+-f x x x x . （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.25．已知函数()22sin cos f x x x x =+． ()1求函数()f x 的单调减区间；()2将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在,128ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域．26．已知函数()()22f x sin x cos x x cos x x R =--∈ （I ）求2f 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.27．已知函数()2sin cos f x x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅰ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.28．已知函数()22sin cos x x f x x =- （1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）设,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，10213f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin α的值.29．已知()22sin ,cos ,,2),()a x x b x f x a b ===⋅v v v v . (1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间;(2)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.30．已知函数()()22sin cos 3f x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最小正周期;(2)求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.31．已知函数2 ()22cos 1f x x x =+-． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．32．已知函数3()sin 2f x x x ωω=（其中0>ω）． （1）若函数()f x 的最小正周期为3π,求ω的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若2ω=，0α<<π，且3()2f α=，求α的值．33．设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++ （其中0,a R ω>∈），且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π. （1）求()f x 的最小正周期T ；（2）假如()f x 在区间5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a 的值.34．设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的值．（Ⅰ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移2π个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间．35．已知函数()()2sin sin cos 03x x x f x πωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求函数()f x 在区间7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.36．已知函数()()22sin 12x f x x ωϕωϕ+=++-（0>ω，0ϕπ<<）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为2π． （1）当,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，求()f x 的单调递减区间； （2）将函数()y f x =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当时,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()g x 的值域．37．已知：2()2cos 2f x x x a =++（a R ∈，a 为常数）． （1）若x ∈R ，求()f x 的最小正周期； （2）若()f x 在[6π-，]4π上最大值与最小值之和为3，求a 的值．38．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值.39．已知函数()2sin()2cos ,[,]62f x x x x πππ=+-∈.（1）若4sin 5x =，求函数()f x 的值； （2）求函数()f x 的值域.40．已知函数()32cos 2sin 32x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调减区间.（2）求函数()f x 的最大值并求()f x 取得最大值时的x 的取值集合. （3）若()65f x =，求cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.41．已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.42．已知函数()22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的最小正周期； （2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．43．已知函数2()cos cos 64f x x x x π⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在闭区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.44．已知函数()2sin 22cos 16x f x x π⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=.(Ⅰ)求函数()f x 的最大值及其相应x 的取值集合； (Ⅰ)若42ππα<<且()45f α=，求cos2α的值.45．已知函数f （x ）=（2x 3π-）﹣2sin x cos x . （1）求f （x ）的最小正周期及对称中心； （2）当x Ⅰ（44ππ-，]时，求f （x ）的值域.46．已知函数()sin cos cos sin 22x x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R . （1）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间.47．已知函数()()2cos 2166f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=---+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求使函数()f x 取得最大值的x 的集合.48．已知函数()sin sin cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）将函数()f x 化简成sin()A x ωϕ+的形式，并求出函数的最小正周期； （2）求出函数()f x 的单调递增区间，对称轴，对称中心，及当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围.49．已知函数2()sin 2cos 22cos 136f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()5f α=，求cos cos 4παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭．50．已知函数()22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值．51．已知函数()2sin 22cos 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调增区间； （2）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.52．已知函数()()2112122f x cos x sin x cos x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ()1求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；()2若7224f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭2sin α的值．三角函数解答题训练(答案)1．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α、()ββα>的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，点43,55A ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）若点512,1313B ⎛⎫⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值：（2）若10OA OB ⋅=u u u v u u u v，求sin β.【答案】(1) 1665- (2) 50【解析】 【分析】（1）根据43,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭512,1313B ⎛⎫ ⎪⎝⎭计算3sin 5α=，4cos 5α=，12sin 13β=5cos 13β=代入公式得到答案.（2）根据OA OB ⋅=u u u r u u u r ,得到cos()βα-=，根据sin sin[()]βαβα=+-计算得到答案. 【详解】解：（1）因为α是锐角，且43,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，512,1313B ⎛⎫⎪⎝⎭在单位圆上，所以3sin 5α=，4cos 5α=，12sin 13β=5cos 13β=， ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-453121651351365=⨯-⨯=-（2）因为OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以||||cos()OA OB βα⋅-=u u u r u u u r ，且1OA OB ==u u u r u u u r，所以，cos()βα-=，可得：sin())βαβα-=>，且4cos 5α=，3sin 5α= 所以，sin sin[()]βαβα=+-sin cos()cos sin()αβααβα=-+-3455=+=. 2.已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a r ·b r及||a b +rr；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+r rr r ，求()f x 的最小值【答案】（1）见解析； （2）178-. 【解析】 【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a r ·b r； 运用平面向量的坐标运算公式求出a b +r r ，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值． 【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅=rra b +=r r=∴0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x …∴2cos a b x +=r r （2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=--⎪⎝⎭∴0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x 剟∴()min317cos 48x f x ==- 3．已知向量(cos ,sin ),(1,[0,]a x x b x π==∈r r.（1）若//a b r r，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅r r，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】(1)23π;(2)0x =时,()f x 的最大值为1;当23x π=时, ()f x 的最小值为-2. 【解析】 【分析】(1)根据向量平行的坐标表示求出tan x 的值,根据角的范围求出x 的值;(2)根据向量的数量积公式将三角函数化简为余弦型函数借助余弦函数的图象性质即可求出所得. 【详解】(1)//,(cos ,sin ),(1,a b a x x b ==r r r rQ ,(cos -sin =0x x ∴,即tan x =2(0,],3x x ππ∈∴=Q .(2) ()=cos cos 23f x x x x a b π=+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭r r Q4[0,],[,]333x x ππππ∈∴+∈Q , ∴当,33x ππ+=即0x =时, ()f x 的最大值为1;当,3x ππ+=即23x π=时, ()f x 的最小值为-2.4．已知函数()cos f x x x =+． （1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最大值． 【答案】（1（2）2. 【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数()y f x =的解析式为()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后代值计算可得出6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）利用正弦函数的有界性可得出函数()y f x =的最大值. 【详解】（1）()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，2sin 2sin 6663f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）当()262x k k πππ+=+∈Z 时，即()23x k k ππ=+∈Z 时，()max 2sin22f x π==．5．设函数()sin 1f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域和函数的的单调递增区间； （2）当()135fα=，且263ππα<<时，求2sin 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）值域是[]1,3-，单调递增区间为52+266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，；（2）2425-. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的关系式，即可求求函数f （x ）的值域和函数的单调递增区间． （2）根据三角函数的诱导公式即可得到结论． 【详解】（1）依题意()sin 1f x x x =+ 2sin 13x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为22sin 23x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则12sin 133x π⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭. 即函数()f x 的值域是[]1,3-.令32222k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，解得52+266k x k ππππ-+≤≤，Z k ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为52+266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈.（2）由()132sin 135f παα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 因为263ππα<<，所以23ππαπ<+<时，得3cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 所以2sin 2sin233ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭432425525-⨯⨯=-.6．已知函数()sin 22f x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g()x 的图象.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求g()x 的值域. 【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为5122k x ππ=+，k Z ∈ （2）[]1,2 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换将函数转化为标准型正弦函数，再求该函数性质； （2）先求()g x 的解析式，之后再求值域即可. 【详解】（1）1()2sin 222f x x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此()f x 的最小正周期为π. 由232x k πππ-=+得对称轴方程为5122k x ππ=+，k ∈Z .（2）由条件可知()2sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 从而1sin ,132x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故g()x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是[]1,2.7．已知函数1()sin 224f x x x =+ （1）求()f x 的值域；（2）求函数()f x 的最小正周期及函数的单调区间； （3）将函数()y f x =的图像向右平移3π个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()g x 的表达式. 【答案】（1）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）T π=，增区间为：5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，减区间为：7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ ；（3）1()sin 423g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的性质求出最值； （2）利用正弦型函数最小正周期公式、单调性直接求解即可； （3）按照正弦型函数变换的解析式的变化特点求解即可. 【详解】（1）11()sin 2sin 2423f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. ()f x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）22T ππ== 由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈得增区间为：5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； 由3222232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈得 减区间为：7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）由（1）知1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图像向右平移3π个单位后，得到11sin 2sin 223323y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数1sin 423y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，所以1()sin 423g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.8．已知()()2cos sin f x x x x =-+ (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围.【答案】(1)π,32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈;(2)⎡-⎣. 【解析】 【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 的解析式进行三角恒等变换，得到()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据周期公式和整体代换法即可求出周期和单调递减区间；(2)令42,333πππt x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，由sin y t =在4,33ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的单调性，即可求出22sin t -≤≤()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围． 【详解】(1)由题意，化简得())22cos sin 2cos 1f x x x x =-sin 22x x =2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期π ∴sin y x =的减区间为32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 由3222232k x k πππππ+≤-≤+，得5111212k x k ππππ+≤≤+．所以函数()f x 的单调递减区间为511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．(2)因为∴,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，所以42,333πππt x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，即有22sin t -≤≤所以，函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围是⎡-⎣．9．已知函数)1()cos cos 2f x x x x =-+.（1）求()f x 单调减区间； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()2c f x c <<+恒成立，求实数c 的取值范围. 【答案】（1）5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化简，利用正弦函数的单调性即可求解； （2）由x 的范围求得相位的范围，进一步得到f （x ）的值，再把c ＜f （x ）＜c +2恒成立转化为关于c 的不等式组求解． 【详解】（1）()21cos cos 2f x x x x =-+=1cos222x x - =sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭由3222262k x k πππππ+≤-≤+解得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈ 所以()f x 单调减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）因为02x π≤≤所以52666x πππ-≤-≤， 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭ 由不等式()2c f x c <<+恒成立，得1221c c ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩，解得112c -<<-.所以实数c 的取值范围为11,2⎛⎫--⎪⎝⎭. 10．已知函数()cos s co )f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.【答案】（1）π，1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭；（2）3π【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心.（2）利用（1）的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的应用求出最小值. 【详解】（1）因为2()cos cos )cos cos f x x x x x x x =-=-1cos 21sin 2sin 22262x x x π+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 由正弦函数的对称中心知26x k ππ-=，解得212k x ππ=+，k Z ∈， 所以对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭； （2）()y f x =的图象向左平移m 个单位所得解析式是1sin 2262y x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭， 因为其图象关于y 轴对称， 所以262m k πππ-=+，k Z ∈，解得23k m ππ=+，k Z ∈， 所以m 的最小正值是3π. 11．已知函数()2sin sin cos f x x x x =+ （1）求2233f f ππ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）求()f x 的最大值及取得最大值时对应的x 的值．【答案】（1）32（2）()max f x =()38x k k ππ=+∈Z ．【解析】 【分析】（1）将23x π=与23x π=-代入原函数可得答案；（2）将()f x 化简为()12242f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得函数的最大值及取得最大值时对应的x 的值. 【详解】 解：（1）将23x π=代入()f x ，将23x π=-代入()f x ； 可得223332f f ππ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()()1cos 2111sin 2sin 2cos 22222x f x x x x -=+=-+，故()12242f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()max 12f x +=． 此时，()2242x k k πππ-=+∈Z ，即()38x k k ππ=+∈Z ．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，二倍角及两角和的三角函数及三角函数最值得求法，考查计算能力.12．已知函数22()cos sin f x x x =-.求： （1）()12f π的值；（2）()f x 的单调递增区间.【答案】（12）[,]2k k πππ-，k Z ∈【解析】 【分析】（1）逆用余弦的倍角公式对函数解析式进行化简，代值即可求得函数值； （2）将2x 代入余弦的单调增区间，解得x 的取值范围即可.【详解】22()cos sin cos 2f x x x x =-=（1）cos 2cos 12126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由222k x k πππ-≤≤，k Z ∈， 得2k x k πππ-≤≤，k Z ∈.所以()f x 的单调递增区间为[,]2k k πππ-，k Z ∈.13．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）πT =；（2）[]1,2- 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式，并结合辅助角公式可得()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用周期2πT ω=可求出答案；（2）由x 的范围，可求得π26x +的范围，进而可求出πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，从而可求得()f x 的值域.【详解】（1）()2cos 2cos 1f x x x x =+-2cos2x x +122cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期为πT =. （2）∴π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,2-.14．已知函数()2212cos f x x x =+-. （1）求()f x 的对称轴； （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.【答案】（1）23k x ππ=+(k Z ∈)（2）[]0,2 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换，化简函数解析式为标准型，再求对称轴； （2）先求平移后的函数解析式，再求值域. 【详解】（1）()222cos 1f x x x =-+2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令：262x k πππ-=+，得23k x ππ=+， 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+(k Z ∈). （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x ，所以()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故[]sin 20,1x ∈， ()g x ∴的值域为[]0,2.15．已知函数22()cos sin cos ()f x x x x x x R =-+∈. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域. 【答案】（1）最小正周期是π，单调递减区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）[]1,2- 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式换件()f x 解析式，由此求得()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）根据三角函数值域的求法，求得()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【详解】（1）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈ 解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈ 所以()f x 的单调递减区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，72666x πππ≤+≤当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 最大为2当7266x ππ+=，即2x π=时，最小为-1所以()f x 的值域为[]1,2-16．已知函数()2sin cos x x x f x =.（Ⅰ）求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅰ）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【答案】（∴（∴）1 【解析】 【分析】（∴）利用特殊角的三角函数值计算即可.（∴）利用降幂公式和辅助角公式可得()πsin 232f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求出π23x +的范围后利用正弦函数的性质可求最大值. 【详解】解：（∴）2ππππ()sincos 3333f =⋅ 211222=+⎛⎫⎪⎝⎭2=（∴）()2sin cos x x x f x =⋅1cos 21sin 222x x +=+πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2333x +∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦,.当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值12+.17．已知函数2()2sin 2sin cos 1=++f x x x x . （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.【答案】（1）T π=；单调减区间为37,()88⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭k k k Z ππππ（2）2]【解析】 【分析】（1）逆用正弦和余弦的倍角公式，以及辅助角公式即可化简求得函数的性质； （2）先求出x ωϕ+的取值范围，再根据y sinx =的单调性，求得函数值域. 【详解】2()2sin 2sin cos 11cos2sin 21=++=-++f x x x x x x224x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）容易知：22T ππ==. 由3222242+<-<+k x k πππππ 得()f x 的单调减区间为37,()88⎛⎫++∈⎪⎝⎭k k k Z ππππ（2）∴02x π≤≤∴32444x πππ-≤-≤∴当0x =时，()f x 有最小值(0)1f =当242x ππ-=即38x π=时，()f x 有最大值328⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f π故()f x 的值域为2].18．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++. （1）求函数()y f x =周期及其单调递增区间； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()y f x =的最大值和最小值. 【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为3[,]88k k k Z ππππ-++∈；（2）最大值为1.【解析】 【分析】（1）首先根据三角恒等变换可得()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据周期公式即可求出周期；然后再令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，即可求出函数的单调递增区间；（2）由题意可知52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而sin 242x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，由此即可求出函数的最值. 【详解】因为22()(sin cos )2cos 2sin 2cos 2224f x x x x x x x π⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭所以()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；所以()f x 的最小正周期为2=2ππ；令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，所以3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间为3[,]88k k k Z ππππ-++∈；（2）50,2,2444x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，，所以sin 2,142x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦所以()f x ⎡∈⎣，所以()f x 的最大值为 1; 19．已知函数()44cos 2sin cos sin x x x f x x =+-.(1)求()f x 的最小正周期; (2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】(1)π;(2)当2x π=时,()f x 取得最小值1-;当8x π=时,()f x .【解析】 【分析】（1）利用降幂扩角公式先化简三角函数为标准型，再求解最小正周期； （2）由定义域，先求x ωϕ+的范围，再求值域. 【详解】（1）()()()2222cos sin cos sin sin 2f x x x x x x =+-+cos2sin 2x x =+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22ππ=. （2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得52,444x x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦， 当5244x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值1-，当242x ππ+=，即8x π=时，()f x .20．已知函数()22cos sin 22f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的周期和值域； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）周期T π=，值域为[]22-,；（2）递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由此可得出函数()y f x =的周期和值域； （2）解不等式()222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可分别得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间.【详解】（1）()22cos sin 2cos 222sin 226f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，所以，函数()y f x =的周期为22T ππ==，值域为[]22-,； （2）解不等式()222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 解不等式()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.21．已知函数2()222cos f x x x =++.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数()f x 在[0,]2π上的最小值.【答案】（1）最小正周期为π，单调递减区间为2[,],63k k k Z ππππ++∈，（2）2 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式以及辅助角公式将函数化为()2sin(2)36f x x π=++，再利用正弦函数的最小正周期公式2T πω=以及正弦函数的单调递减区间整体代入即可.（2）根据题意可得72[,]666x πππ+∈，再利用三角函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为2()222cos 2cos23f x x x x x =++=++2sin(2)36x π=++所以函数()f x 的最小正周期22T ππ== 由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 得：2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递减区间为2[,],63k k k Z ππππ++∈ （2）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈ 所以1sin(2)126x π-≤+≤ 所以()2sin(2)3[2,5]6f x x π=++∈所以min ()2f x =22．已知函数)22()2sin sin cos sin 2f x x x x x π⎛⎫=⋅-+-⎪⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅰ）求方程()2f x =的解构成的集合. 【答案】（∴）π（∴）|,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】 【分析】（∴）利用二倍角公式化简函数，再逆用两角和的正弦公式进一步化简函数，代入最小正周期公式即可得解；（∴）由()2f x =得sin(2)13x π+=，则22,32x k k πππ+=+∈Z ，求解x并写成集合形式. 【详解】（∴）)22()2sin cos cos sin f x x x x x =⋅-sin 22x x =2sin(2)3x π=+，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （∴）由()2f x =得sin(2)13x π+=，22,32x k k πππ∴+=+∈Z ，解得,12x k k ππ=+∈Z因此方程()2f x =的解构成的集合是：|,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z . 【点睛】本题考查简单的三角恒等变换，已知三角函数值求角的集合，属于基础题. 23．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.【答案】（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max f x =，()min 12f x =- 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-Q 11()cos 2sin 222f x x x ∴=+()242f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()maxf x = 当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =-24．设函数2()sin cos =+-f x x x x （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】（1）π （2）1； 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式降幂，由两角差的正弦公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后可求周期；（2）由正弦函数性质可求得最大值． 【详解】（1）1()sin 2sin 223⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f x x x x π 2T 2ππ== （2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，sin 232π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x ，∴()f x 的最大值为1，最小值为.25．已知函数()22sin cos f x x x x =+．()1求函数()f x 的单调减区间；()2将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在,128ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域． 【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(]1,2-【解析】 【分析】()1 利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递减区间；()2利用函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，由,128x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得274,336x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭结合正弦函数的单调性，求得()g x 的值域． 【详解】()1函数()22sin cos sin22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，∴当3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时,解得：7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因此，函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．()2将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，可得2sin 233y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象， 再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()22sin 43y g x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象， ,128x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q ，274,336x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， ()21sin 4,1,32x y g x π⎛⎫⎛⎤∴+∈-∴= ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦的值域为(]1,2-．26．已知函数()()22f x sin x cos x x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.【解析】 【分析】（∴）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（∴）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】（∴）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x -x cos x ，＝﹣cos2x x ， ＝﹣226sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2， （∴）因为()2sin(2)6f x x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，．27．已知函数()2sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅰ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.【答案】（∴）π ；（∴）π3. 【解析】 【分析】（I ）将()f x 化简整理成()sin()f x A x ωϕ=+的形式，利用公式2||T πω=可求最小正周期；（II ）根据[,]3x m π∈-，可求26x π-的范围，结合函数图象的性质，可得参数m 的取值范围. 【详解】（∴）()1cos211π1cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （∴）由（∴）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫-⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3. 点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.28．已知函数()22sin cos x x f x x =-（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）设,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，10213f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin α的值.【答案】（1）2⎡⎤⎣⎦,（2）526+【分析】（1）根据题意可知，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42333x πππ≤+≤，根据三角函数的性质即可求出()f x 的值域. （2）因为10213f α⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5sin 313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又54633πππα<+<，所以12cos 313πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，根据三角函数的两角差正弦公式sin sin 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，进而求出结果. 【详解】（1）()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 当0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42333x πππ≤+≤，所以，此时()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.（2）因为102sin 2313f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5sin 313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 54633πππα<+<，所以12cos 313πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，sin sin 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦5sin cos cos sin 333326ππππαα+⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭29．已知()22sin ,cos ,,2),()a x x b x f x a b ===⋅v v v v .(1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(1)T π=,单调递减区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)见解析【分析】（1）利用二倍角的正弦公式，余弦公式和两角和的正弦公式的逆用将函数解析式化为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用正弦型函数的周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）根据正弦函数的性质可得最大最小值. 【详解】（1）2()cos 2cos f x a b x x x =⋅=+rr 2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222,262k x k k Z πππππ+++∈剟，得2,63k x k k Z ππππ++∈剟， ∴()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）∴0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当7266x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 取得最小值，为72sin106π+=； 当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 取得最大值，为2sin132π+=.30．已知函数()()22sin cos 3f x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最小正周期; (2)求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】(1)π;(2)1,24⎡-⎢⎣⎦。

三角函数专项练习

三角函数专项练习

三角函数专项练习一．选择题（共6小题）1．已知角θ的终边过点P（﹣4k，3k）（k＜0），则2sinθ+cosθ的值是（）A．B．﹣C．或﹣D．随着k的取值不同其值不同2．若sin2α＞0，且cosα＜0，则角α是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．若α为第三象限，则的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣14．已知：在△ABC中，，则此三角形为（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形5．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin（2x+）B．y=cos（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx6．已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为4π，则（）A．函数f（x）的图象关于点（，0）对称B．函数f（x）的图象关于直线x=对称C．函数f（x）的图象在（，π）上单调递减D．函数f（x）的图象在（，π）上单调递增二．解答题（共20小题）7．已知函数．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求f（α）的值；（Ⅱ）若，求f（x）的值域．8．已知角α的终边经过点P（﹣4，3），（1）求的值；（2）求sinαcosα+cos2α﹣sin2α+1的值．9．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx．（1）求的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和最小值．10．已知A，B，C三点的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），其中．（1）若，求角α的值；（2）若，求的值．11．函数称为“双曲正弦函数”，类似地，函数称为“双曲余弦函数”．（Ⅰ）判断双曲正弦函数的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）双曲函数的恒等变形多具有与三角函数的恒等变形相似甚至相同的形式，请判断下列等式恒成立的是．（填写序号）①sinh2x+cosh2x=1；②sinh2x=2sinhx•coshy；③cosh2x=cosh2x﹣sinh2x．（Ⅲ）请合理定义“双曲正切函数”y=tanhx，写出用tanhx表示tanh2x的恒等变形式，并证明之．12．已知函数f（x）=sin（π﹣x）sin（﹣x）+cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的最值．13．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式，并求函数f（x）在[﹣，]上的值域；（2）在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，求sin2B．14．已知函数f（x）=2x2﹣3x+1，g（x）=Asin（x﹣）（A≠0）．（1）当0≤x≤时，求y=f（sinx）的最大值；（2）问a取何值时，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有两解？15．已知函数．（1）求f（x）的定义域和值域；（2）若的值．（3）若曲线f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线平行直线，求x0的值．16．设函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（﹣π＜ϕ＜0），若函数y=f（x）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为，且图象的一条对称轴是直线x=．（1）求ω，ϕ的值；（2）求函数y=f（x）的单调增区间；（3）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．17．已知：函数f（x）=的最小正周期为3π（ω＞0），且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0，（1）求函数f（x）的表达式；（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．18．已知函数f（x）=a﹣bcos（2x+）（b＞0）的最大值为，最小值为﹣．（1）求a，b的值；（2）求函数的最小值并求出对应x的集合．19．已知向量=（sin2x，﹣），=（，cos2x），函数f（x）=•．（Ⅰ）试用五点作图法画出函数f（x）在一个周期内的图象（要求列表）；（Ⅱ）求方程f（x）=m（0＜m＜1）在[﹣，]内的所有实数根之和．20．函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，0＜ϖ＜4，|φ|＜）过点（0，），且当x=时，函数f（x）取得最大值1．（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，如果对于∀x1，x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），求|x1﹣x2|的最小值．21．已知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）．（Ⅰ）若a∈[0，π]且f（a）=2，求a；（Ⅱ）先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，求θ的最小值．22．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜满足下列条件：①周期T=π；②图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；③f（0）=1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设α，β∈（0，），f（α﹣）=﹣，f（β+）=，求cos（2α﹣2β）的值．23．函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b（1）若时，求f（sinθ）的最大值；（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．24．已知函数f（x）=2sinx+1．（Ⅰ）设ω为大于0的常数，若f（ωx）在区间上单调递增，求实数ω的取值范围；（Ⅱ）设集合，B={x||f（x）﹣m|＜2}，若A∪B=B，求实数m的取值范围．25．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．（1）若∠PBC=，求PQ的长度；（2）当点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．26．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2011•番禺区校级模拟）已知角θ的终边过点P（﹣4k，3k）（k＜0），则2sinθ+cosθ的值是（）A．B．﹣C．或﹣D．随着k的取值不同其值不同【分析】根据角的终边所过的一个点，写出这点到原点的距离，注意字母的符号，根据三角函数的定义，写出角的正弦和余弦值，代入要求的算式得到结果即可．【解答】解：∵角θ的终边过点P（﹣4k，3k），（k＜0），∴r==5|k|=﹣5k，∴sinθ==﹣，cosθ==，∴2sinθ+cosθ=2（﹣）+=﹣故选B．【点评】本题是一个对于任意角的三角函数的定义的考查，解题时若没有字母系数的符合，我们就得讨论两种情况，在两种情况下，分别做出角的三角函数值，再进行运算．2．（2015•天津模拟）若sin2α＞0，且cosα＜0，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【分析】cosα＜0，确定α的象限，sin2α＞0，确定sinα的范围，再确定α的范围；然后推出结论．【解答】解：由cosα＜0，可知α是二，三象限角；由sin2α=2sinαcosα＞0，可得sinα＜0可知：α是三、四象限角；所以α是第三象限角故选C．【点评】本题考查象限角、轴线角，任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦，考查分析问题解决问题的能力，是基础题3．（2013•衡水校级模拟）若α为第三象限，则的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【分析】对于根号内的三角函数式，通过平方关系sin2α+cos2α=1，去掉根号，注意三角函数值的正负号，最后化简即得．【解答】解：∵α为第三象限，∴sinα＜0，cosα＜0则=．故选：B．【点评】本题考查三角函数的同角公式，同角三角函数的基本关系主要是指：平方关系和商数关系，它反映了同一个角的不同三角函数间的联系，其精髓在“同角”．4．（2016春•内江期末）已知：在△ABC中，，则此三角形为（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【分析】由条件可得sinCcosB=cosCsinB，故sin（C﹣B）=0，再由﹣π＜C﹣B＜π，可得C﹣B=0，从而得到此三角形为等腰三角形．【解答】解：在△ABC中，，则ccosB=bcosC，由正弦定理可得sinCcosB=cosCsinB，∴sin（C﹣B）=0，又﹣π＜C﹣B＜π，∴C﹣B=0，故此三角形为等腰三角形，故选C．【点评】本题考查正弦定理，两角差的正弦公式，得到sin（C﹣B）=0 及﹣π＜C﹣B＜π，是解题的关键．5．（2016•福建模拟）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin（2x+）B．y=cos（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx【分析】由条件利用诱导公式化简函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性和周期性得出结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=cos2x为偶函数，故排除A；由于函数y=cos（2x+）=﹣sin2x为奇函数，且周期为，故B满足条件；由于函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+）为非奇非偶函数，故排除C；由于函数y=sinx+cosx=sin（x+）为非奇非偶函数，故排除D，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，诱导公式的应用，属于基础题．6．（2015秋•潍坊校级期末）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为4π，则（）A．函数f（x）的图象关于点（，0）对称B．函数f（x）的图象关于直线x=对称C．函数f（x）的图象在（，π）上单调递减D．函数f（x）的图象在（，π）上单调递增【分析】根据三角函数的周期性求出ω，结合三角函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为4π，∴T==4π，即ω=，则函数f（x）=sin（2×x﹣）=sin（x﹣），则f（）=sin（×﹣）=sin（﹣）≠0，且f（）≠±1，则函数f（x）的图象关于点（，0）不对称，且关于直线x=不对称，当＜x＜π时，＜x＜，＜x﹣＜，此时函数f（x）为增函数，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的周期的应用，根据条件求出ω是解决本题的关键．结合三角函数的单调性和对称性进行求解是解决本题的关键．二．解答题（共20小题）7．（2015•抚州校级一模）已知函数．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求f（α）的值；（Ⅱ）若，求f（x）的值域．【分析】（Ⅰ）因为点在角α的终边上，所以，，化简f（α）=2sinαcosα﹣2sin2α，把，代入运算得到结果．（Ⅱ）化简f（x）=，根据x的范围得到，从而求得f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）因为点在角α的终边上，所以，，所以=．（Ⅱ）==，因为，所以，所以，所以f（x）的值域是[﹣2，1]．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和值域，三角恒等变换是解题的关键．8．（2015秋•丰城市校级期末）已知角α的终边经过点P（﹣4，3），（1）求的值；（2）求sinαcosα+cos2α﹣sin2α+1的值．【分析】（1）由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα、cosα的值，再利用诱导公式求得所给式子的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinαcosα+cos2α﹣sin2α+1的值．【解答】解：（1）∵角α的终边经过点P（﹣4，3）∴r=5，sinα=，cosα=，∴===．（2）sinαcosα+cos2α﹣sin2α+1=sinαcosα+2cos2α=×（﹣）+2×=．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．9．（2015•龙川县校级模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx．（1）求的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和最小值．【分析】（1）利用二倍角、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，代入求出函数的值即可．（2）结合（1）的结论，利用周期公式求出函数的最小正周期，求出最小值即可．【解答】解：（1）f（x）=cos2x+1+sin2x=，（6分）∴．（8分）（2）由（1）可知，∴函数f（x）的最小正周期．（10分）函数f（x）的最小值为．（12分）【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，周期的求法，最值的求法，考查计算能力，常规题目．10．（2016秋•雁峰区校级月考）已知A，B，C三点的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），其中．（1）若，求角α的值；（2）若，求的值．【分析】先由A、B、C三点的坐标，求出的坐标，再根据，列出一个关于α的方程，可将问题转化为简单的三角函数化简求值问题．【解答】解：（1）∵，，∴，．由得sinα=cosα．又，∴．（2）由，得（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）=﹣1，∴，∴．又由，∴，∴．故=．【点评】解决此题的关键是：熟练掌握向量数量积公式以及三角函数的变换方法．已知某三角函数值、求其它三角函数的值．一般先化简，再求值．化简三角函数的基本方法：统一角、统一名通过观察“角”“名”“次幂”，找出突破口，利用切化弦、降幂、逆用公式等手段将其化简．11．（2014秋•北京校级期末）函数称为“双曲正弦函数”，类似地，函数称为“双曲余弦函数”．（Ⅰ）判断双曲正弦函数的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）双曲函数的恒等变形多具有与三角函数的恒等变形相似甚至相同的形式，请判断下列等式恒成立的是②．（填写序号）①sinh2x+cosh2x=1；②sinh2x=2sinhx•coshy；③cosh2x=cosh2x﹣sinh2x．（Ⅲ）请合理定义“双曲正切函数”y=tanhx，写出用tanhx表示tanh2x的恒等变形式，并证明之．【分析】（Ⅰ）利用奇函数的定义判断双曲正弦函数的奇偶性；（Ⅱ）对选项分别进行判断，即可得出结论；（Ⅲ）（Ⅲ）y=tanhx=，e2x=，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（﹣hx）==﹣sinhx，∴双曲正弦函数是奇函数；（Ⅱ）①sinh2x+cosh2x=+≠1，不正确；②sinh2x═=2sinhx•coshy，正确；③cosh2x﹣sinh2x=﹣≠cosh2x，不正确．（Ⅲ）y=tanhx=，∴e2x=tanh2x===﹣．故答案为：②．【点评】本题为开放题型，考查类比推理，考查分析问题、解决问题的能力．12．（2015春•德宏州校级期中）已知函数f（x）=sin（π﹣x）sin（﹣x）+cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的最值．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+）+，由周期公式可得；（2）由x∈[﹣，]和三角函数的值域可得．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（π﹣x）sin（﹣x）+cos2x=sinxcosx+cos2x=sin2x+（1+cos2x）=sin（2x+）+，∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）当x∈[﹣，]时，2x+∈[0，π]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴sin（2x+）+∈[，]，∴f（x）的最小值为，最大值为【点评】本题考查三角函数的最值，涉及三角函数公式周期性，属基础题．13．（2016•潍坊二模）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式，并求函数f（x）在[﹣，]上的值域；（2）在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，求sin2B．【分析】（1）由函数图象可得周期，进而由周期公式可得ω值，代点（，2）可得φ值，可得解析式，再由x∈[﹣，]和三角函数的值域可得；（2）由（1）的解析式和三角形的知识可得A=，由余弦定理可得BC，再由余弦定理可得cosB，进而可得sinB，代入sin2B=2sinBcosB，计算可得．【解答】解：（1）由函数图象可知函数的周期T满足T=﹣=，解得T=π，∴ω===2，故f（x）=2sin（2x+φ），又函数图象经过点（，2），故2sin（2×+φ）=2，故sin（+φ）=1，结合0＜φ＜π可得φ=，故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+），由x∈[﹣，]可得2x+∈[0，]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴2sin（2x+）∈[0，2]，故函数的值域为[0，2]；（2）∵在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，∴f（A）=2sin（2A+）=1，即sin（2A+）=，结合三角形内角的范围可得2A+=，A=，由余弦定理可得BC2=32+22﹣2×3×2×，BC=，∴cosB==，故sinB==，∴sin2B=2sinBcosB=2××=【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，涉及正余弦定理解三角形以及三角函数的值域，属中档题．14．（2014秋•宿豫区校级期中）已知函数f（x）=2x2﹣3x+1，g（x）=Asin（x﹣）（A≠0）．（1）当0≤x≤时，求y=f（sinx）的最大值；（2）问a取何值时，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有两解？【分析】（1）用换元法，设t=sinx，x∈[0，]，化为求关于t的函数在闭区间上的最大值即可；（2）用换元法，设t=sinx，化为t∈[﹣1，1]上讨论方程2t2﹣2t+1=a解的情况，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1，设t=sinx，x∈[0，]，则0≤t≤1；∴，∴当t=0时，y取得最大值y max=1；…（6分）（2）方程2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化为2sin2x﹣2sinx+1=a，该方程在[0，2π]上有两解，设t=sinx，则方程2t2﹣2t+1=a在[﹣1，1]上解的情况如下：①当在（﹣1，1）上只有一个解或相等解，x有两解，（5﹣a）（1﹣a）＜0或△=0；∴a∈（1，5）或；②当t=﹣1时，x有惟一解，③当t=1时，x有惟一解，综上，当a∈（1，5）或时，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有两解．…（16分）【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，解题时应利用换元法，把三角函数化为研究普通函数在某一区间上的性质问题，是中档题．15．（2013春•船营区校级期中）已知函数．（1）求f（x）的定义域和值域；（2）若的值．（3）若曲线f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线平行直线，求x0的值．【分析】（1）根据分式有意义的条件可得，cosx≠0，求解即可得函数的定义域；利用二倍角公式及辅助角对函数化简可得f（x）=，结合正弦函数性质可求函数的值域，（2）由于cos2x=sin（2x+）=sin[2（x+）]，故需要求sin（x+），cos（x+），代入可求sin（x+），结合已知条件中x的范围可求cos（x+），然后代入可求，（3）对函数求导可得，f/（x）=cosx﹣sinx代入已知可得，=从而可得结合可求．【解答】解（1）=（2分）由，∴（4分）（6分）（2）∵，∴．∴（7分）∵，∴∴（8分）∴=2sin（x+）cos（x+）=（10分）（3）f/（x）=cosx﹣sinx由题意得=（12分）∴又∵∴（14分）【点评】本题主要考查了正弦函数的定义域及值域的求解，辅助角公式的应用，导数的基本运算，及由三角函数值求解角等知识的综合运用．16．（2016春•长治校级期中）设函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（﹣π＜ϕ＜0），若函数y=f（x）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为，且图象的一条对称轴是直线x=．（1）求ω，ϕ的值；（2）求函数y=f（x）的单调增区间；（3）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．【分析】（1）利用正弦函数的图象的周期性求得ω的值，利用正弦函数的图象的对称性求得φ，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的单调性，求得函数y=f（x）的单调增区间．（3）利用五点法作图，作出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．【解答】解：（1）函数y=f（x）的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，∴=，∴ω=2．又函数图象的一条对称轴是直线，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，∵﹣π＜ϕ＜0，∴φ=﹣，f（x）=2sin（2x﹣）．（2）由（1）可知，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+求得：kπ+≤x≤kπ+，可得函数y=f（x）的单调增区间是[kπ+，kπ+]，k∈Z．（3）∵x∈[0，π]，则2x﹣∈[﹣，]，列表：X0 π0 π﹣2 2．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，五点法作图，属于中档题．17．（2013秋•和平区校级月考）已知：函数f（x）=的最小正周期为3π（ω＞0），且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0，（1）求函数f（x）的表达式；（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．【分析】（1）利用三角函数公式将函数进行化简，利用最小周期和最小值即可求函数f（x）的表达式；（2）根据条件f（C）=1，建立方程关系，求出C的值，然后根据三角公式即可求出sinA的值．【解答】解：（1）f（x）==，∵函数f（x）的周期为3π，即，∴，因此，函数f（x）的解析式是，∵x∈[0，π]，∴，，∴，即f（x）的最小值为m，即m=0，∴．（2）∵，∴，∵C∈（0，π），∴，即，解得C=．∵在Rt△ABC中，A+B=，有2sin2B=cosB+cos（A﹣C）∴2cos2A﹣sinA﹣sinA=0，即sin2A+sinA﹣1=0，解得，∵0＜sinA＜1，∴．【点评】本题主要考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和同角三角函数的基本关系等知识点，要求熟练掌握三角函数的公式，属于中档题．18．（2014秋•高邮市校级期末）已知函数f（x）=a﹣bcos（2x+）（b＞0）的最大值为，最小值为﹣．（1）求a，b的值；（2）求函数的最小值并求出对应x的集合．【分析】（1）根据余弦函数的性质可分别表示出函数的最大和最小值，进而联立方程气的a和b的值．（2）根据（1）中求得a和b的值，得到函数的解析式，根据x的范围确定x﹣的范围，利用正弦函数的性质求得最小值和对应的x的集合．【解答】解：（1），∵b＞0，∴﹣b＜0，；∴；（2）由（1）知：∴，∴g（x）∈[﹣2，2]，∴g（x）的最小值为﹣2，对应x的集合为．【点评】本题主要考查了三角函数的最值问题，三角函数的单调性和值域问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．19．（2015春•南安市校级期中）已知向量=（sin2x，﹣），=（，cos2x），函数f（x）=•．（Ⅰ）试用五点作图法画出函数f（x）在一个周期内的图象（要求列表）；（Ⅱ）求方程f（x）=m（0＜m＜1）在[﹣，]内的所有实数根之和．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积求出f（x）的表达式，然后利用五点作图法画出函数f（x）在一个周期内的图象；（Ⅱ）利用函数f（x）=m在[﹣，]内对称性，求出相应的对称轴，进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），…（2分）2x﹣xf（x）0 1 0 ﹣1 0…（4分）通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数f（x）在一个周期内的图象如下图所示：…（6分）（Ⅱ）∵y=sin（2x﹣）的周期t=π，∴y=sin（2x﹣）在[﹣，]内有3个周期．…（7分）令2x﹣=kπ+，k∈Z，∴x=+，k∈Z，即函数y=sin（2x﹣）的对称轴为x=+，k∈Z．…（8分）又x∈[﹣，]，则2x﹣∈[﹣，]，且0＜m＜1，∴f（x）=m（0＜m＜1）在[﹣，]内有6个实根，…（9分）不妨从小到大依次设为x i，（i=1，2，3，4，5，6），则，=，=即x1+x2=，x3+x4=，x5+x6=，∴所有实数根之和=x1+x2+x3+x4+x5+x6=++=．…（12分）【点评】本题主要考查三角函数的图象做法，要掌握五点法作图，同时利用三角函数的对称性是解决本题的关键．20．（2016秋•铁岭月考）函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，0＜ϖ＜4，|φ|＜）过点（0，），且当x=时，函数f（x）取得最大值1．（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，如果对于∀x1，x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），求|x1﹣x2|的最小值．【分析】（1）由函数的最值求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，由五点法作图求出ω，可得f（x）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式．（2）由条件利用正弦函数的最值以及周期性，求得|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：（1）由题意A=1，将点（0，）代入解得，，再根据，结合0＜ϖ＜4，所以ϖ=2，．将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数的图象．（2）函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1=2sin（2x+），故函数的周期T=π．对于∀x1，x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），故|x1﹣x2|的最小值为．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，由五点法作图求出ω，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．21．（2016•湖北模拟）已知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）．（Ⅰ）若a∈[0，π]且f（a）=2，求a；（Ⅱ）先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，求θ的最小值．【分析】（Ⅰ）有条阿金利用辅助角公式化简函数f（x）的解析式，再利用f（a）=2，求得a的值．（Ⅱ）根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得θ的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），∵a∈[0，π]，∴a+∈[，]，∵f（a）=2sin（a+）=2，∴sin（a+）=，∴a+=，∴a=．（Ⅱ）先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=2sin（2x﹣2θ+）的图象，再结合得到的图象关于直线x=对称，可得﹣2θ+=kπ+，求得θ=﹣，k∈Z，故θ的最小值为．【点评】本题主要考查辅助角公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．22．（2016•临沂一模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜满足下列条件：①周期T=π；②图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；③f（0）=1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设α，β∈（0，），f（α﹣）=﹣，f（β+）=，求cos（2α﹣2β）的值．【分析】（Ⅰ）根据f（x）的周期求出ω的值，根据f（x）的图象平移以及g（x）的图象关于y轴对称，求出φ的值，再由f（0）=1求出A的值，即得f（x）的解析式；（Ⅱ）根据f（α﹣）与f（β+）的值求出cos2α、cos2β，再根据α、β的范围求出sin2α、sin2β，从而求出cos（2α﹣2β）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的周期为T==π，∴ω=2；又函数f（x）的图象向左平移个单位长度，变为g（x）=Asin[2（x+）+φ]，由题意，g（x）的图象关于y轴对称，∴2×+φ=+kπ，k∈Z；又|φ|＜，∴φ=，∴函数f（x）=Asin（2x+）；又f（0）=1，∴Asin=1，解得A=2，∴函数f（x）=2sin（2x+）；（Ⅱ）由f（α﹣）=﹣，f（β+）=，得2sin（2α﹣+）=﹣，2sin（2β++）=，∴cos2α=，cos2β=；又α、β∈（0，），∴2α、2β∈（0，），∴sin2α=，sin2β=，∴cos（2α﹣2β）=cos2αcos2β+sin2αsin2β=×+×=．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒定变换应用问题，是基础题目．23．（2015•东阳市模拟）函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b（1）若时，求f（sinθ）的最大值；（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．【分析】（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，由二次函数区间的最值可得；（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，由恒成立和最大值可得可得二次函数的顶点坐标为（0，﹣1），进而可得ab的值，可得解析式．【解答】解：（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，∵a＞0，抛物线开口向上，二次函数的对称轴，由二次函数区间的最值可得（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，则|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，∵a＞0，∴g（sinθ）max=g（1）=2，而g（1）=2a﹣2b=2而f（0）=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1，1]时，|f（t）|≤1，即﹣1≤f（t）≤1，结合f（0）=﹣1可知二次函数的顶点坐标为（0，﹣1）∴b=0，a=1，∴f（x）=2x2﹣1．【点评】本题考查二次函数的性质，涉及三角换元和等价转化，属中档题．24．（2013秋•延庆县期末）已知函数f（x）=2sinx+1．（Ⅰ）设ω为大于0的常数，若f（ωx）在区间上单调递增，求实数ω的取值范围；（Ⅱ）设集合，B={x||f（x）﹣m|＜2}，若A∪B=B，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意，f（ωx）=2sinωx+1，由ωx∈[﹣，]，ω＞0，可得x∈[﹣，]，利用f（ωx）在区间上单调递增，可得不等式组，解不等式组，即可求实数ω的取值范围；（Ⅱ）求出函数的值域，根据A∪B=B，可得A⊆B，从而可得不等式组，解不等式，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，f（ωx）=2sinωx+1，由ωx∈[﹣，]，ω＞0，可得x∈[﹣，]，∵f（ωx）在区间上单调递增，∴，∴0＜ω≤；（Ⅱ）∵A∪B=B，∴A⊆B，∵|f（x）﹣m|＜2，∴m﹣2＜f（x）＜m+2，∵，∴，∴2≤f（x）≤3，∴，∴1＜m＜4．【点评】本题考查三角函数的性质，考查函数的值域，考查集合知识，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦函数的单调性是关键．25．（2016秋•句容市期中）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．（1）若∠PBC=，求PQ的长度；（2）当点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．【分析】（1）作出辅助线，根据梯形的性质求出PQ的长即可；（2）设∠PBP1=θ，求出PQ的长，得到总路径长f（θ）的表达式，通过求导得到函数的单调性，从而求出去最小值时θ的值，即P点的位置即可．【解答】解．（1）如图示：，连接BP，过P作PP1⊥BC，垂足为P1，过Q作QQ1⊥BC垂足为Q1，在Rt△PBP1中，，PQ=1；（2）设∠PBP1=θ，，∴，在Rt△QBQ1中，，∴总路径长f（θ）=﹣θ+4﹣cosθ﹣sinθ，（0＜θ＜），f′（θ）=sinθ﹣cosθ﹣1=2sin（θ﹣）﹣1，令f'（θ）=0，，当时，f'（θ）＜0，当时，f'（θ）＞0，所以当时，总路径最短．答：当BP⊥BC时，总路径最短．【点评】本题考查了数形结合思想，考查三角函数问题以及导数的应用，是一道中档题．26．（2016•徐汇区一模）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．【分析】（1）直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度，即可得到所求函数关系式；（2）记，则sinx+pcosx=2，求出p的范围，即可得出结论．【解答】解：（1）由已知得，即（其中）（2）记，则sinx+pcosx=2，则有，解得或﹣（10分）由于y＞0，所以，当，即点O在CD中垂线上离点P距离为km处，y取得最小值（km）．11。

常用公式练习题

常用公式练习题

常用公式练习题公式是数学中重要的表达方式之一，它能够将数学关系简洁地呈现出来，并帮助我们解决各种问题。

通过练习运用常用公式，我们可以深入理解数学概念，并提升解题能力。

以下是一些常见的公式练习题，帮助你巩固知识，提高应用能力。

1. 三角函数的基本关系已知直角三角形ABC，其中∠B为90度，边长AB=3，BC=4。

请计算以下各项：（1）边长AC的长度；（2）∠A的正弦值、余弦值和正切值。

解答：（1）根据勾股定理，可得AC的长度为√(AB²+BC²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5。

（2）根据三角函数的定义：正弦值sin∠A = 对边/斜边=AB/AC=3/5。

余弦值cos∠A = 临边/斜边=BC/AC=4/5。

正切值tan∠A = 对边/临边=AB/BC=3/4。

2. 二次函数的顶点和对称轴已知二次函数y=ax²+bx+c的标准形式为y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标。

若给定函数y=2x²+4x+1，请计算：（1）顶点坐标；（2）对称轴的方程。

解答：（1）将二次函数转化为标准形式，可得y=2(x+1)²-1。

由此可知，顶点坐标为(-1, -1)。

（2）对称轴的方程为x=-1。

3. 概率的计算已知某工厂每天生产零件数服从正态分布N(120, 16²)，求以下概率：（1）每天生产的零件数大于等于132的概率；（2）每天生产的零件数在112和132之间的概率。

解答：（1）根据正态分布的性质，将原问题转化为标准正态分布的计算。

计算得出z=(132-120)/16=0.75。

使用标准正态分布表可得概率为P(Z≥0.75)=1-0.7734=0.2266。

（2）同样地，计算得出z1=(112-120)/16=-0.5，z2=(132-120)/16=0.75。

使用标准正态分布表可得概率为P(-0.5≤Z≤0.75)=P(Z≤0.75)-P(Z≤-0.5)=0.7734-0.3085=0.4649。

三角函数公式练习题及答案详解

三角函数公式练习题及答案详解

三角函数公式1． 同角三角函数基本关系式sin 2α＋cos 2α=1sin αcos α=tan α tan αcot α=12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin(π－α)＝___________ sin(π+α)＝ ___________cos(π－α)＝___________ cos(π+α)＝___________tan(π－α)＝___________ tan(π+α)＝___________sin(2π－α)＝___________ sin(2π+α)＝___________cos(2π－α)＝___________ cos(2π+α)＝___________tan(2π－α)＝___________ tan(2π+α)＝___________（二） sin(π2 －α)＝____________ sin(π2+α)＝____________ cos(π2 －α)＝____________ cos(π2+α)＝_____________ tan(π2 －α)＝____________ tan(π2+α)＝_____________ sin(3π2 －α)＝____________ sin(3π2+α)＝____________ cos(3π2 －α)＝____________ cos(3π2+α)＝____________ tan(3π2 －α)＝____________ tan(3π2+α)＝____________ sin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α公式的配套练习sin(7π－α)＝___________ cos(5π2－α)＝___________ cos(11π－α)＝__________ sin(9π2+α)＝____________ 3． 两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin βcos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin βsin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin βsin (α－β)=sin αcos β－cos αsin βtan(α+β)= tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β 4． 二倍角公式sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2αtan2α=2tan α1－tan 2α5． 公式的变形（1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α 1—cos2α＝2sin 2α（2） 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2 sin 2α＝1－cos2α2（3） 正切公式变形：tan α+tan β＝tan(α+β)（1－tan αtan β）tan α－tan β＝tan(α－β)（1＋tan αtan β)（4） 万能公式（用tan α表示其他三角函数值）sin2α＝2tan α1+tan 2α cos2α＝1－tan 2α1+tan 2α tan2α＝2tan α1－tan 2α6． 插入辅助角公式asinx ＋bcosx=a 2+b 2 sin(x+φ) (tan φ= b a) 特殊地：sinx ±cosx ＝ 2 sin(x ±π4) 7． 熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx ±cosx 1±sinx 1±cosx tanx ＋cotx1－tan α1＋tan α 1＋tan α1－tan α若A 、B 是锐角，A+B ＝π4 ，则（1＋tanA ）(1+tanB)=2 cos αcos2αcos22α…cos2 n α= sin2 n+1α 2 n+1sin α8． 在三角形中的结论（如何证明）若：A ＋B ＋C=π A+B+C 2 =π2tanA ＋tanB ＋tanC=tanAtanBtanCtan A 2 tan B 2 ＋tan B 2 tan C 2 ＋tan C 2 tan A 2＝19．求值问题（1）已知角求值题如：sin555°（2）已知值求值问题常用拼角、凑角如：1）已知若cos(π4 －α)＝35 ，sin(3π4 ＋β)＝513， 又π4 <α<3π4 ,0<β<π4,求sin(α＋β)。

三角函数计算练习(含详细答案)

三角函数计算练习(含详细答案)

三角函数计算练习1.x∈〔﹣，0〕，cosx=，那么tan2x=( )A．B．C．D．2.cos240°=( )A．B．C．D．3.cosα=k，k∈R，α∈〔，π〕，那么sin〔π+α〕=( )A．﹣B．C．±D．﹣k4.角α的终边经过点〔﹣4，3〕，那么cosα=5.cos480°的值为6.，那么cosα=7.sin〔+α〕=，那么cos2α等于( )8.α是第二象限角，P〔x，〕为其终边上一点，且cosα=x，那么x=9.sinα=，那么cos2α=．10.假设cos〔α+〕=，那么cos〔2α+〕=．11.θ∈〔0，π〕，且sin〔θ﹣〕=，那么tan2θ=．试卷答案1.D考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：由cosx的值与x的围，利用同角三角函数间的根本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值．解答：解：由cosx=，x∈〔﹣，0〕，得到sinx=﹣，所以tanx=﹣，那么tan2x===﹣．应选D点评：此题考察了同角三角函数间的根本关系，以与二倍角的正切函数公式．学生求sinx 和tanx时注意利用x的围判定其符合．2.B考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式与特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos〔180°+60°〕=﹣cos60°=﹣，应选：B．点评：此题主要考察了诱导公式与特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于根本知识的考察．3.A考点：同角三角函数根本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由与同角三角函数根本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈〔，π〕，∴sinα==，∴sin〔π+α〕=﹣sinα=﹣．应选：A．点评：此题主要考察了同角三角函数根本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于根本知识的考察．4.D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点〔﹣4，3〕，∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，应选：D．点评：此题主要考察任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于根底题．5.D考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：cos480°=cos〔360°+120°〕=cos120°=﹣cos60°=﹣．应选：D．点评：此题主要考察了运用诱导公式化简求值，属于根底题．6.C考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin〔+α〕=sin〔2π++α〕=sin〔+α〕=cosα=．应选C．点评：此题考察了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解此题的关键．7.C考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin〔+α〕=与诱导公式可得cosα=，由二倍角的余弦公式可得cos2α的值．解答：解：∵sin〔+α〕=，∴cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×=﹣，应选：C．点评：此题主要考察了二倍角的余弦公式，诱导公式的应用，属于根底题．8.D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义有cosα=，条件cosα=x都可以用点P的坐标来表达，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．解答：解：∵cosα===x，∴x=0〔∵α是第二象限角，舍去〕或x=〔舍去〕或x=﹣．应选：D．点评：此题巧妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．9.考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简所求后代入即可求值．解答：解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故答案为：．点评：此题主要考察了二倍角的余弦公式的应用，属于根本知识的考察．10.考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦函数公式根据即可求值．解答：解：cos〔2α+〕=2cos2〔α+〕﹣1=2×﹣1=．故答案为：．点评：此题主要考察了二倍角的余弦函数公式的应用，属于根本知识的考察．11.﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答：解：∵sin〔θ﹣〕=〔sinθ﹣cosθ〕=，∴sinθ﹣cosθ=，①∴1﹣2sinθcosθ=，2sinθcosθ=＞0，依题意知，θ∈〔0，〕，又〔sinθ+cosθ〕2=1+sin2θ=，∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣，∴tan2θ==﹣．故答案为：﹣．点评：此题考察两角和与差的正弦函数，考察同角三角函数间的关系式的应用，考察二倍角的正弦、余弦与正切，属于中档题．。

高中数学基础强化天天练必修1第37练

高中数学基础强化天天练必修1第37练

第75练 二倍角的三角函数（2）目标：能熟练运用公式进行求值，证明，解决简单实际问题．一、填空题1.函数212sin ()4y x π=--的周期是_____. 【答案】π【解析】212sin ()4y x π=--=cos 2()cos(2)sin 242x x x ππ-=-= 故最小正周期22T ππ==. 2.计算：111tan151tan15--+= .【答案】3【解析】2112tan153tan 301tan151tan151tan 15-===-+-3.已知)4,43(ππ-∈x 且3cos()45x π-=-，则cos2x 的值是 . 【答案】2425- 【解析】∵)4,43(ππ-∈x ，∴042x ππ<-<，又∵3cos()45x π-=-，∴4s i n ()45x π-=．cos2x =sin2(4x π-)=2sin()4x π-cos()4x π-=2×43()55⨯-=2425-． 4.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos = . 【答案】97- 【解析】⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛--απ23cos =212sin 6πα⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=97-. 5.若25π≤α≤27π，化简：ααsin 1sin 1-++= . 【答案】2sin 2α-【解析】=sin cos sin cos 2222αααα=++-，因为25π≤α≤27π，原式=2sin 2α-.6.函数44sin cos y x x =+的值域是 ．【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】44sin cos y x x =+=2222221(sin cos )2sin cos 1sin 22x x x x x +-=-， 而2110sin 222x ≤≤，所以2111sin 2122x ≤-≤， 故函数44sin cos y x x =+的值域是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．7.已知sinα=1213，α∈(π2,π)，则tan2α= . 【答案】119120- 【解析】由条件得tanα=512，所以由两角和正切得tan2α=119120-．8．已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,且α、β∈(0,π)，则2α-β的值为 ． 【答案】-34π 【解析】由题，tan(2α-β)=tan[2(α-β)-β]，所以先由二倍角公式求出tan(2α-2β) =2tan(α-β)1-tan 2(α-β)=43，再代入,求出tan(2α-β)=1．因tanβ=-17＞-33 , 所以56π＜β＜π.再由tanα=tan[(α-β)+β]=13＜33得0＜α＜π6，所以2α-β∈(-π,-π2),从而2α-β=-34π.9.若1tan 20181tan αα+=-，则1tan 2cos 2αα+= . 【答案】2018 【解析】11sin 21sin 2tan 2cos 2cos 2cos 2cos 2ααααααα++=+= 222(cos sin )cos sin 1tan 2018cos sin cos sin 1tan αααααααααα+++====---. 10.已知tan 2θ=32,则θθθθsin cos 1sin cos 1+++-= .【答案】32 【解析】222sin 2sin cos 1cos sin 2222tan 1cos sin 232cos 2sin cos 222θθθθθθθθθθθ+-+===+++.二、解答题11．已知33cos(), 4522πππαα+=≤<，求1cos 2sin 21tan ααα-+-的值． 解：由3cos()45πα+=得3cos 225αα-=，解方程组223,5sin cos 1,αααα-=⎪+=⎩得sin 10cos 10αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或sin 10cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 322ππα≤<，cos 0α∴≤，sin ,10cos 10αα⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩21cos 2sin 22sin 2sin cos 1tan 1tan ααααααα-++∴=--22(2(281010101775⨯+⨯==--12．已知α，β为锐角，且3sin 2α＋2sin 2β=1，3sin 2α=2sin 2β，求α＋2β． 解：∵3 sin 2α＋2 sin 2β=1，3sin 2α=2sin 2β，∴3 sin 2α=1－2 sin 2β= cos 2β，sin 2β=23sin 2α=3sin α cos α， ∴cos （α＋2β）= cos α cos 2β－sin α sin 2β= cos α ·3 sin 2α－sin α ·3sin α cos α=0． ∵α，β为锐角，∴α＋2β∈（0，23π），∴α＋2β=2π．。

三角函数专项题型练习

三角函数专项题型练习

三角函数专项题型练习题型一：三角函数求值1.已知2tan()3πα-=-，且(,)2παπ∈--，则cos()3sin()cos()9sin απαπαα-++-+=________. 2.已知 ，则________.3.设⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππβπα,2,2,0，若()97sin ,31cos =+-=βαβ，则αsin =________.4.若3cos()45πα-=，则sin2α=________.题型二：求三角函数的单调区间1.已知函数13cos 2sin 222y x x=--，则函数函数的单调递增区间为______;单调递减区间为______.2.将函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图像.若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为______.3.已知函数),0)(62sin()(>+=ωπωx x f 直线21,x x x x ==是)(x f y =图像的任意两条对称轴，且21x x -的最小值为2π．则函数)(x f 的单调增区间为______.4.函数()2cos tan xf x xsinx =的单调增区间为______.5.函数()()2f x sin x ϕ=+，其中2tan()3πα-=-为实数，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对x R ∈ 恒成立，且2tan()3πα-=-，则()f x 的单调递增区间是______.题型三：由sin()y A x ωϕ=+的图象求其函数式 1.已知函数sin()y A x ωϕ=+),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的图象如图所示，则该函数的解析式是________.2.函数f(x)=ωx(ω>0)图像的相邻两支截直线y=π4所得线段长为π4，则a 的值是( )A. 0B. 1C. -D. 33.如图所示，是函数sin()y A x k ωϕ=++（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图象的一部分，则函数解析式是________.4.要得到y=(2x-π3)的图象，只需将函数y=(2x+π3)的图象( )A. 向右平移π12个单位B. 向左平移π12个单位C. 向右平移π6个单位D. 向左平移π6个单位5.函数y=x+sinx -tanx -sinx 在区间(π23π2)内的图象是( )A. B. C. D.6.如图，一个水轮的半径为4m ，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点p0开始计算时间． (1)将点p 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2)点p 第一次到达最高点大约需要多少时间？题型四：求三角函数的周期1.设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上单调，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.2.函数2tan()3πα-=-的最小正周期__________． 3.函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 .4.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为__________．5.已知函数()2sin 23sin 2xf x x =-．则()f x 的最小正周期为 .题型五：三角函数的最值 1.函数2tan()3πα-=-的最小值为__________．2.已知函数()22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值之差为__________．3.设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=__________．4.已知函数()sin cos f x x a x =+图象的一条对称轴是4x π=，且当x θ=时，函数()sin ()g x x f x =+取得最大值，则cos θ= .5.已知的定义域为[].则 的最小值为__________．6.函数sin 52sin x y x +=-的最大值为__________．题型六：三角函数的对称性1.已知函数y ＝A sin(2x ＋φ)的对称轴为x ＝，则φ的值为__________．2.将函数f (x )＝2sin(2x －)的图象向左平移m 个单位(m ＞0)，若所得的图象关于直线x ＝对称，则m 的最小值为__________．3.已知函数f (x )＝3sin(ωx －)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，]，则f (x )的取值范围是________．泉州一中高二数学三角函数专题复习题型一：三角函数求值1.已知2tan()3πα-=-，且(,)2παπ∈--，则cos()3sin()cos()9sin απαπαα-++-+=________.15-2.已知 ，则________.3.设⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππβπα,2,2,0，若()97sin ,31cos =+-=βαβ，则αsin =________.314.若3cos()45πα-=，则sin2α=________.725-题型二：求三角函数的单调区间1.已知函数13cos 2sin 222y x x=--，则函数函数的单调递增区间为______;单调递减区间为______.2,,63k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦27,,36k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦2.将函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图像.若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为______.23.已知函数),0)(62sin()(>+=ωπωx x f 直线21,x x x x ==是)(x f y =图像的任意两条对称轴，且21x x -的最小值为2π．则函数)(x f 的单调增区间为______.Z k k k ∈++-],6,3[ππππ4.函数()2cos tan x f x x sinx =的单调增区间为______.(),2k k k z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭5.函数()()2f x sin x ϕ=+，其中2tan()3πα-=-为实数，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对x R ∈ 恒成立，且，则()f x 的单调递增区间是______.()263k ,k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦题型三：由sin()y A x ωϕ=+的图象求其函数式 1.已知函数sin()y A x ωϕ=+),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的图象如图所示，则该函数的解析式是________.)48sin(4π+π-=x y ２.函数f(x)=ωx(ω>0)图像的相邻两支截直线y=π4所得线段长为π4，则a 的值是( A )A. 0B. 1C. -D. 3 3.如图所示，是函数sin()y A x k ωϕ=++（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图象的一部分，则函数解析式是________.2sin(2)16y x π=++4.要得到y=(2x-π3)的图象，只需将函数y=(2x+π3)的图象( A )A. 向右平移π12个单位B. 向左平移π12个单位C. 向右平移π6个单位D. 向左平移π6个单位 解：∵cos(2x-π3)=sin(2x-π3+π2)=sin(2x+π6)=sin[2(x-π12)+π3]，∴要得到y=(2x-π3)的图象，只需将函数y=(2x+π3)的图象向右平移π12个单位． 5.函数y=x+sinx -tanx -sinx 在区间(π23π2)内的图象是( D )A.B. C. D.6.解：函数分段画出函数图象如D 图示，故选D ．6.如图，一个水轮的半径为4m ，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点p0开始计算时间． (1)将点p 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2)点p 第一次到达最高点大约需要多少时间？解：(1)依题意可知z 的最大值为6，最小为-，∴--2A+B=6⇒B=2A=4； ∵每秒钟内所转过的角为(52π60)=π6t ，得z=4(π6t+φ)+2，当t=0时，z=0，得sin-12，即φ=π6，故所求的函数关系式为z=4(π6t-π6)+2 (2)令z=4(π6t-π6)+2=6，得sin π6t-π6)=1，取π6-π6=π2，得t=4，故点P 第一次到达最高点大约需要4S ．题型四：求三角函数的周期1.设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上单调，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.π2.函数2tan()3πα-=-的最小正周期__________．π 3.函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 .π4.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为.π5.已知函数()2sin 23sin 2xf x x =-．则()f x 的最小正周期为.2π 题型五：三角函数的最值 1.函数 的最小值为．3-2.已知函数()3sin 22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值之差为__________．33.设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=__________．55-4.已知函数()sin cos f x x a x =+图象的一条对称轴是4x π=，且当x θ=时，函数()sin ()g x x f x =+取得最大值，则cos θ= .555.已知的定义域为[].则的最小值为．6.函数sin52sinxyx+=-的最大值为．6题型六：三角函数的对称性1.已知函数y＝A sin(2x＋φ)的对称轴为x＝，则φ的值为．kπ＋(k∈Z)2.将函数f(x)＝2sin(2x－)的图象向左平移m个单位(m＞0)，若所得的图象关于直线x＝对称，则m的最小值为．3.已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．[－，3]。

三角函数基础练习题-及答案

三角函数基础练习题-及答案

三角函数基础练习题一、 选择题：1. 下列各式中，不正确．．．的是 （ ） (A)cos(―α―π)=―cos α (B)sin(α―2π)=―sin α (C)tan(5π―2α)=―tan2α (D)sin(k π+α)=(―1)k sin α (k ∈Z) 3． y=sin )2332(π+x x ∈R 是 （ ） (A)奇函数 (B)偶函数 (C)在[(2k ―1)π, 2k π] k ∈Z 为增函数 (D)减函数4．函数y=3sin(2x ―3π)的图象，可看作是把函数y=3sin2x 的图象作以下哪个平移得到 （ ）(A)向左平移3π (B)向右平移3π (C)向左平移6π (D)向右平移6π5．在△ABC 中，cosAcosB ＞sinAsinB ，则△ABC 为 （ ） (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)无法判定 6．α为第三象限角,1sec tan 2tan 1cos 122-++αααα化简的结果为 （ ）(A)3 (B)－3 (C)1 (D)－17．已知cos2θ=32，则sin 4θ+cos 4θ的值为 （ ） (A)1813 (B)1811(C)97 (D)－18． 已知sin θcos θ=81且4π＜θ＜2π，则cos θ－sin θ的值为 （ ）(A)－23 (B)43 (C) 23 (D)±439． △ABC 中，∠C=90°，则函数y=sin 2A+2sinB 的值的情况 （ ） (A)有最大值，无最小值 (B)无最大值，有最小值 (C)有最大值且有最小值 (D)无最大值且无最小值 10、关于函数f(x)=4sin(2x+3π), (x ∈R )有下列命题（1）y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数 (2) y=f(x)可改写为y=4cos(2x －6π)(3)y= f(x)的图象关于(－6π，0)对称 (4) y= f(x)的图象关于直线x=－6π对称其中真命题的个数序号为（ ）(A) (1)(4) (B) (2)(3)(4) (C) (2)(3) (D) (3) 11．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=26，则a 、b 、c 大小关系（ ） (A)a ＜b ＜c (B)b ＜a ＜c (C)c ＜b ＜a (D)a ＜c ＜b 12.若sinx ＜21，则x 的取值范围为 （ ）(A)(2k π，2k π+6π)∪(2k π+65π，2k π+π) (B) (2k π+6π，2k π+65π) (C) (2k π+65π，2k π+6π) (D) (2k π－67π，2k π+6π) 以上k ∈Z二、 填空题：13．一个扇形的面积是1cm 2，它的周长为4cm, 则其中心角弧度数为______。

三角函数计算练习题及答案详解

三角函数计算练习题及答案详解

三角函数计算练习题及答案详解1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1sinα=tanα cosαtanαcotα=12．诱导公式sin＝___________ sin＝ ___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________sin＝___________ sin＝___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________ππ sin＝____________sin＝____________2ππcos＝____________ +α)＝_____________2ππtan＝____________ +α)＝_____________2 3π3πsin＝____________ sin＝____________2 3π3πcos＝____________ +α)＝____________2 3π3πtan＝____________ +α)＝____________ 2 sin＝－sinα cos=cosα tan=－tanα公式的配套练习5π sin＝___________cos＝___________9πcos＝__________ sin＝____________3．两角和与差的三角函数cos=cosαcosβ－sinαsinβcos=cosαcosβ＋sinαsinβsin =sinαcosβ＋cosαsinβsin =sinαcosβ－cosαsinβtan= tanα+tanβ 1－tanαtanβtanα－tanβ 1＋tanαtanβtan=4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝cos2α－1＝1－sin2α2tanαtan2α= 1－tanα5．公式的变形升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α降幂公式：cos2α＝1＋cos2α1－cos2α sin2α＝2正切公式变形：tanα+tanβ＝tantanα－tanβ＝tan 万能公式2tanα1－tan2α2tanαsin2α＝ tan2α＝ cos2α＝1+tanα1+tanα1－tanα6．插入辅助角公式basinx＋a+b sin a特殊地：sinx±cosx＝sin7．熟悉形式的变形1±sinx±cosx1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα若A、B是锐角，A+B＝2π，则=2nsinn+1αcosαcos2αcos2α?cosα=2sinα8．在三角形中的结论若：A＋B＋C=π A+B+Cπ=2tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCABBCCAtantan ＋tan tan ＋ tan＝122222三角函数计算练习1.已知x∈，cosx=，则tan2x= B． C． D．2.cos240°=A． B． C． D．3.已知cosα=k，k∈R，α∈，则sin= C．± D．﹣k4.已知角α的终边经过点，则cosα=5.cos480°的值为6.已知7.已知sin=，则cos2α等于）为其终边上一点，且cosα=x，则x=.已知α是第二象限角，P=）=．．）=，则cos，且sin，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x 的范围判定其符合．2.B考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知识的考查．3.A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈，∴sinα==，．∴sin=﹣sinα=﹣故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．4.D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点，∴x=﹣4，y=3，r=∴cosα==故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．5.D考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：cos480°=cos=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．6.C考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin=sin=sin=cosα=． =﹣， =5．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin=及诱导公式可得cosα=，由二倍角的余弦公式可得cos2α的+α）=， =﹣，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．解答：解：∵cosα===x，或x=﹣．∴x=0或x=故选：D．点评：本题巧妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．.考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值．解答：解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sinα=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 10.考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦函数公式根据已知即可求值．解答：解：cos=2cos﹣1=2×﹣1=．点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．11.﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答：解：∵sin==，，2sinθcosθ=），，＞0，又=1+sin2θ=∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cosθ﹣1=﹣2，三角函数公式练习题1．1．sin29??A．11．?C． D22C试题分析：由题可知，sin考点：任意角的三角函数．已知sin?sin??；662?4)?772，cos2??，sin??25104343B．? C．?D．555D 试题分析由?7sin??sin??cos??45①，77?cos2??sin2?? 52571所以?cos??sin???cos??sin???②，由①②可得cos??sin??? ③，2553由①③得，sin?? ，故选D5cos2??考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式．cos690?A．1133B．?C． D．?222C试题分析：由cos690?cos2?360?30?cos??30??cos30?，故选C考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值．tan16?的值为A.?B. C. D.?3C试题分析tanπ=tan=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．．若??????1?cos? ???0???，cos?，cos?4243222A．33536B．? C． D．?399C．试题分析：因为????1??3?，且???0???，cos?，所以????2243444?22???；又因为cos?，且????0，所以??)?43422??????6??????，所以．又因为?????，且sin?24424234422cos?cos[?]?coscos?sinsin1322653．故应选C． ?????33339考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式．．若角?的终边在第二象限且经过点P?，那么sin2x＝518247?? 252525258．已知cos?1??52524考点：二倍角公式，三角函数恒等变形5?1??)?,那么cos?? 52112A．?B．?C．D．55559．已知sin?=sin?cosa,所以选C．52考点：三角函数诱导公式的应用1，则cos2a的值为231177A． B．? C． D．?339910．已知sin?D试题分析：由已知得cos??1272,从而cos2??2cos??1??1??,故选D.99考点：诱导公式及余弦倍角公式.11．已知点P在第三象限，则角?在 A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限B试题分析：由已知得，?考点：三角函数的符号.?tan??0,，故角?在第二象限．cos??0?5，则sin?? 121155A． B．? C． D．?55131312．已知?是第四象限角，tan???D22试题分析：利用切化弦以及sin??cos??1求解即可． tan??sin?5??cos?12，?sin2??cos2??1，?sin2??525sin??0,sin???，13,169又?是第四象限角，2?故选：D.考点：任意角的三角函数的定义 y?sin?xT?213．化简cos?sin2得到A．sin2?B．?sin2?C．cos2?D．?cos2? A 试题分析：cos2?sin2?cos2?sin2?cos2?cos?sin2?考点：三角函数的诱导公式和倍角公式. 14．已知cos?? 3???,0????，则tan?????4??A.11B.C.?1D.?57D3?44?0可知0???，因此sin??，tan??，25354??1tan??tan?由和角公式可知tan????7，故答案为D。

关于三角函数的练习题

关于三角函数的练习题

关于三角函数的练习题一．选择题（共12小题）1．（2015•四川模拟）若函数f（x）=﹣sin2ωx﹣6sinωxcosωx+3cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π，若对任意x∈R ．C2．（2014•包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（））单调递增，其图象关于直线对称）单调递增，其图象关于直线对称）单调递减，其图象关于直线对称）单调递减，其图象关于直线对称3．（2014•郴州二模）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）．C D．4．（2014•太原二模）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与．5．（2014•抚顺二模）已知sin（π﹣2x）﹣1=cos2x（0＜x＜π），则tan2x的值是（）C．227．（2014•邯郸二模）函数f（x）=1﹣2sin2（x﹣）是（）的偶函数最小正周期为8．（2014•浙江模拟）定义式子运算为=a 1a 4﹣a 2a 3将函数f （x ）=的图象向左平移n （n ＞0）． CD ．9．（2011•安徽）已知函数f （x ）=sin （2x+φ），其中φ为实数，若f （x ）≤|f （）|对x ∈R 恒成立，且f （）＞，]+]，10．（2013•惠州模拟）如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d=f （l ）的图象大致为（ ）．CD ．11．（2011•长春模拟）已知函数f （x ）=sinx ，对于满足0＜x 1＜x 2＜π的任意x 1，x 2，给出下列结论： ①（x 2﹣x 1）[f （x 2）﹣f （x 1）]＞0； ②x 2f （x 1）＞x 1f （x 2）； ③f （x 2）﹣f （x 1）＜x 2﹣x 1； ④．12．（2011•中山市三模）方程=k （k ＞0）有且仅有两个不同的实数解θ，φ（θ＞φ），则以下有关两根关系二．解答题（共12小题）13．（2015•泸州模拟）已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象的相邻两对称轴间的距离为，若将函数f （x ）的图象向左平移个单位后图象关于y 轴对称．（Ⅰ）求使f（x）≥成立的x的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=﹣cosωx，其中g′（x）是g（x）的导函数，若g（x）=，且，求cos2x的值．14．（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．15．（2014•重庆）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．16．（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣cos t﹣sin t，t∈[0，24）．（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．17．（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？18．（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．19．（2014•淮安模拟）某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．20．（2013•福建）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．21．（2011•福建）设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．22．求tan9°+cot117°﹣tan243°﹣cot351°的值．23．定义双曲正弦函数y=sin hx=（e x﹣e﹣x），双曲余弦函数y=cos hx=（e x+e﹣x）．（1）各写出四条双曲正弦函数和双曲余弦函数的性质．（定义域除外）（2）给出双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，探究并证明六者间的平方关系．（3）模仿三角函数中两角的和与差关系，探究并证明双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数的“两角”和与差关系．24．已知对任意x∈R，acosx+bcos2x+1≥0，恒成立（其中b＞0），求a+b的最大值．关于三角函数的练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2015•四川模拟）若函数f（x）=﹣sin2ωx﹣6sinωxcosωx+3cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π，若对任意x∈R ．C×=2cos2x+1=x]=，T=，则3sinx+1=﹣2．（2014•包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（））单调递增，其图象关于直线对称）单调递增，其图象关于直线对称）单调递减，其图象关于直线对称）单调递减，其图象关于直线对称）2x+））单调性，即可得到答案．）2x+2x+=x=）单调递减，所以3．（2014•郴州二模）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）．C D．x+=6k+ x+，向右平移）]x+∴﹣=6k+（．4．（2014•太原二模）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与．个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．个单位长度后，所以5．（2014•抚顺二模）已知sin（π﹣2x）﹣1=cos2x（0＜x＜π），则tan2x的值是（）C．解：∵sin∴∴tan2x=，的值是﹣22，它的周期是7．（2014•邯郸二模）函数f（x）=1﹣2sin2（x﹣）是（）的偶函数最小正周期为化简函数解：函数8．（2014•浙江模拟）定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）．C D．）x+n+）为偶函数x+n+x+n+））n+n+）n+）n+=k+k的最小值等于9．（2011•安徽）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞，]+]，（的值，结合）等于函数的最大值或最小值×+，，，满足条件∈，∈10．（2013•惠州模拟）如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（）．C D．d=2sin11．（2011•长春模拟）已知函数f（x）=sinx，对于满足0＜x1＜x2＜π的任意x1，x2，给出下列结论：①（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＞0；②x2f（x1）＞x1f（x2）；③f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1；④．、由于，将12．（2011•中山市三模）方程=k（k＞0）有且仅有两个不同的实数解θ，φ（θ＞φ），则以下有关两根关系二．解答题（共12小题）13．（2015•泸州模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象的相邻两对称轴间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位后图象关于y轴对称．（Ⅰ）求使f（x）≥成立的x的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=﹣cosωx，其中g′（x）是g（x）的导函数，若g（x）=，且，求cos2x的值．≥的解析式，再根据求得）﹣]函数图象的相邻两对称轴间的距离，）的图象向左平移个单位后得到的函数为∵轴对称，∴，∴，即得：使）∵，∴．得∴∵，∴∵，∴，∴，∴14．（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．，﹣2x+﹣）T===，﹣2x+∈，=0=﹣15．（2014•重庆）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．对称，结合﹣≤φ﹣=﹣）的值，再根据﹣+，∴=对称，可得×++≤φ可得﹣）（）∴），∴）．＜，）=）﹣）cos+cos﹣sin．16．（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣cos t﹣sin t，t∈[0，24）．（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．（+cos sin﹣cos﹣sin（﹣）﹣=10﹣cos t t=10+t∴＜t，故当+t=，即+t=，即17．（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？t+t+，≤t+（t+）∴t+＜，故当t+时，函数取得最大值为t+=时，函数取得最小值为t+t+t+）＜﹣，即≤t+＜18．（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．（=）=，﹣）（=+=A•，A=．sin x+））=2sin，，再由）．（=+=sin．19．（2014•淮安模拟）某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．，∴=100，．）上单调递增，在（，时，绿化带总长度最大．20．（2013•福建）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．，利用三角函数的图象变换可求得，）时，＜，＜在（，）在（，（）＞﹣=）×+=的图象向右平移个单位长度后得到函数）的图象，，）时，＜，＜，）内是否有解．，），））在（，）内单调递增，（＜）＞）在（，，）满足题意．，﹣，=x=，）（，（21．（2011•福建）设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．的坐标）画出满足约束条件=2≤θ≤=，即22．求tan9°+cot117°﹣tan243°﹣cot351°的值．23．定义双曲正弦函数y=sin hx=（e x﹣e﹣x），双曲余弦函数y=cos hx=（e x+e﹣x）．（1）各写出四条双曲正弦函数和双曲余弦函数的性质．（定义域除外）（2）给出双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，探究并证明六者间的平方关系．（3）模仿三角函数中两角的和与差关系，探究并证明双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数的“两角”和与差关系．sin hx=cos hx=（sin hx=（；；sec hx=csc hx=；．24．已知对任意x∈R，acosx+bcos2x+1≥0，恒成立（其中b＞0），求a+b的最大值．[t=|⇒﹣||，则，则a+b，时，t=∈||，a+b=+≤≤。

三角函数专项练习(含答案)

三角函数专项练习(含答案)

三角函数专项练习(含答案)一、填空题1．已知函数()f x 在R 上可导，对任意x 都有()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '<-，若π2π()33f t f t t ⎛⎫⎛⎫≤-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为_________2．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a =，点O 为其外接圆的圆心.已知·15BO AC =，则当角C 取到最大值时ABC 的面积为______ 3．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.有下列结论： ①203f π⎛⎫=⎪⎝⎭； ②若5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③ω的取值范围为(]0,4；④函数()f x 在区间[)0,2π上最多有6个零点. 其中所有正确结论的编号为________.4．已知函数23tan ,,,2332()2,33x x f x x ππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________.5．已知函数()sin 2sin 23f x x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭同时满足下述性质：①若对于任意的()()()123123,0,,4,x x x f x f x f x π⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立；②236f a π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a 的值为_________.6．在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，记ABC 的面积为S ，且sin 2sin 4sin b B c C a A +=，则2Sa 的最大值为________. 7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()360,2f x g x x π⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所有根的和为712π；③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称. 8．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.9．已知||||||1,0,||1OA OB OC OA OB OP ===⋅=≤，则AP BP BP CP CP AP ⋅+⋅+⋅的最大值为__________．10．△ABC 内接于半径为2的圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于1A ，1B ，1C .则111coscos cos 222sin sin sin A B C AA BB CC A B C++++的值为_____________.二、单选题11．已知()1,0A -，()3,0B ，P 是圆22:45O x y +=上的一个动点，则sin APB ∠的最大值为（ ） A 3B 5C 3D 512．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ） A ．3,32⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．3,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（ ）A 5B 7C ．13D ．314．设函数()211f x x =-，()122x f ex --=，()31sin 23f x x π=，99i ia =，0i =、1、2、、99.记()()()()()()10219998k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1k =、2、3，则（ ） A ．123I I I << B ．321I I I << C ．132I I I <<D ．213I I I <<15．在ABC ∆中，已知3sin sin ,2A C +=设2sin sin ,t A C =则91()()44t t --（ ） A ．1B 277C 1693D ．9816．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，N 为BC 的中点.当点M 在平面11DCC D 内运动时，有//MN 平面1A BD ，则线段MN 的最小值为（ ） A ．1B 6C 2D 317．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+>18．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ） A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]5519．设函数()3sinxf x mπ=，函数()f x 的对称轴为0x x =，若存在0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ）A ．(,6)(6,)-∞-+∞B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞20．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A=4π，cosB=-55，则BD AC =（ ）A ．14B ．12C ．23D ．34三、解答题21．（1）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 表示ABC ∆的外接圆半径. ①如图，在以O 圆心、半径为2的圆O 中，BC 和BA 是圆O 的弦，其中2BC =，45ABC ∠=︒，求弦AB 的长；②在ABC ∆中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（2）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC ∆存在的情况下，用a 、b 、R 表示c .22．在直角ABC ∆中，2BAC π∠=，延长CB 至点D ，使得2CB BD =，连接AD .（1）若AC AD =，求CAD ∠的值； （2）求角D 的最大值.23．已知向量(1,0)a =，(sin 2,1)b x =--，(2sin ,1)c x =+，(1,)d k =(,)x k R ∈． （1）若[,]x ππ∈-，且()//a b c +，求x 的值； （2）对于()11,m x y =，()22,n x y =，定义12211(,)2S m n x y x y =-．解不等式1(,)2S b c >； （3）若存在x ∈R ，使得()()a b c d +⊥+，求k 的取值范围． 24．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.25．已知函数()cos s co )f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.26．已知函数()2212cos f x x x +-. （1）求()f x 的对称轴； （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.27．已知函数()sin 2coscos 2sin33f x x x ππ=+.（1）若对任意,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有4f x m π⎛⎫- ⎪⎝⎭成立，求实数m 的取值范围；（2）设函数()1226g x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x 在区间[],3ππ-内的所有零点之和.28．已知函数22()cos sin sin cos 3f x a x a x x x =-+-，其中a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的对称中心；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值． 29．函数()()sin tan f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性;（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π；（3）()1.50,1.57ω∈，当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.30．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域（2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值【参考答案】一、填空题1．π6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦， 2．353．①②④4．47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 5．06107．①③8735+ 9．5+3210．4二、单选题11．D 12．A 13．B 14．D 15．B 16．B 17．A 18．B 19．C 20．A 三、解答题21．（1）②证明见解析，（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）①由正弦定理知2sin sin sin AB b aR C B A===，根据题目中所给的条件可求出AB 的长； ②若C ∠是钝角，则其余弦值小于零，由余弦定理得2222(2)a b c R +<<，即可证出结果；（2）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边,a b 的关系，以及与直径的大小的比较，分三类讨论即可. 【详解】（1）①解：因为1sin 22a A R ==，角A 为锐角，所以30A =︒ 因为45ABC ∠=︒，所以105C =︒由正弦定理得，2sin1054sin 75AB R =︒=︒②证明：因为C ∠是钝角，所以cos 0C <，且cos 1C ≠-所以222cos 02a b c C ab +-=<，所以2222(2)a b c R +<<， 即2224a b R +<（2）当2a R >或2a b R ==时，ABC ∆不存在当2a R b a =⎧⎨<⎩时，90A =︒，ABC ∆存在且只有一个所以c =当2a R b a<⎧⎨=⎩时，A B ∠=∠且都是锐角，sin sin 2a A B R ==时，ABC ∆存在且只有一个所以2sin c R C ==当2b a R <<时，B 总是锐角，A ∠可以是钝角，可以是锐角 所以ABC ∆存在两个当90A ∠<︒时，c =当90A ∠>︒时， c =【点睛】此题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断然，三角形的外接圆等知识，综合性强，属于难题. 22．（1）23CAD π∠=；（2）6π.【解析】 【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=，再结合在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，然后求解即可；（2）由正弦定理及两角和的余弦可得()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=+=+，然后结合三角函数的有界性求解即可. 【详解】解：（1）设BAD ∠=α，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，所以sin sin sin BD BC CDα=， 因为AC AD =，所以C D =， 又因为2CB BD =，所以1sin 2α=，所以6πα=，所以23CAD π∠=；（2）设BAD ∠=α， 在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，()cos cos AB BC ABC BC D α=∠=+， 所以()()cos cos cos sin sin sin sin sin BC D BC D D BD D Dαααα+-==， 因为2CB BD =，所以2sin 2sin cos cos 2sin sin D D D ααα=-， 即22sin cos sin 2tan 12sin 2cos 2D ααααα==+-，即()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=++，1≤及0,2D π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得0tan D <≤ 所以角D 的最大值为6π. 【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题. 23．（1）6π-或56π-（2）5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）[]5,1k ∈--【解析】 【分析】（1）由题()sin 1,1a b x +=--,由()//a b c +可得()sin 12sin x x -=-+,进而求解即可； （2）由题意得到()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=,进而求解即可； （3）由()()a b c d +⊥+可得()()0a b c d +⋅+=,整理可得k 关于x 的函数,进而求解即可 【详解】（1）由题,()sin 1,1a b x +=--,因为()//a b c +,所以()sin 12sin x x -=-+,则1sin 2x =-,因为[,]x ππ∈-,所以6x π=-或65x π=-（2）由题,()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=, 因为1(,)2S b c >,所以1sin 2x >, 当[]0,x π∈时,566x ππ<<, 因为sin y x =是以π为最小正周期的周期函数, 所以5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）由（1）()sin 1,1a b x +=--,由题,()3sin ,1c d x k +=++, 若()()a b c d +⊥+,则()()()()()sin 13sin 10a b c d x x k +⋅+=-+-+=, 则()22sin 2sin 4sin 15k x x x =+-=+-, 因为[]sin 1,1x ∈-,所以[]5,1k ∈-- 【点睛】本题考查共线向量的坐标表示,考查垂直向量的坐标表示,考查解三角函数的不等式24．（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max 2f x =，()min 12f x =- 【解析】【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-11()cos 2sin 222f x x x ∴=+()24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()max f x =当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =- 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型． 25．（1）π，1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭；（2）3π 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心.（2）利用（1）的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的应用求出最小值. 【详解】（1）因为2()cos cos )cos cos f x x x x x x x =-=-1cos 212sin 2262x x x π+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 由正弦函数的对称中心知26x k ππ-=，解得212k x ππ=+，k Z ∈， 所以对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭； （2）()y f x =的图象向左平移m 个单位所得解析式是1sin 2262y x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭， 因为其图象关于y 轴对称， 所以262m k πππ-=+，k Z ∈， 解得23k m ππ=+，k Z ∈， 所以m 的最小正值是3π. 【点睛】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.26．（1）23k x ππ=+(k Z ∈)（2）[]0,2 【解析】（1）利用三角恒等变换，化简函数解析式为标准型，再求对称轴；（2）先求平移后的函数解析式，再求值域.【详解】（1）()222cos 1f x x x =-+2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 令：262x k πππ-=+，得23k x ππ=+， 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+(k Z ∈). （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x ，所以()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故[]sin 20,1x ∈， ()g x ∴的值域为[]0,2.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，求解函数性质，同时涉及三角函数图象的平移，以及值域的求解问题.属三角函数综合基础题.27．（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）2π 【解析】（1）首先根据两角和的正弦公式得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而得到4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的解析式，根据正弦函数的性质求出其值域，从而得到参数的取值范围；（2）首先求出()g x 的解析式，根据正弦函数的对称性即可解答.【详解】解：（1）因为()sin 2cos cos 2sin 33f x x x ππ=+()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， 所以sin 2sin 24436f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 又,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,662x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 故1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即min 142f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，12m ， 所以实数m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. （2）由（1）得()1122sin 22sin 26263g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 令()0g x =，得sin x =sin x =[],3ππ-上有4个零点 这4个零点从小到大不妨设为1x ，2x ，3x ，4x ，则由对称性得1222x x π+=-，34322x x π+=， 从而所有零点和为12342x x x x π+++=.【点睛】本题考查两角和的正弦公式的应用，三角函数的性质的应用，属于基础题. 28．（Ⅰ）(,3),.122k k Z ππ-+-∈（Ⅱ）12a =或12a =- 【解析】（Ⅰ）当1a =时，根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质可得. （Ⅱ）将函数化简为()sin()f x A x b ωϕ=++的形式，分类讨论可得.【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，22()cos sin cos 3f x x x x x =-+-cos 2232sin(2)36x x x π=-=+- ()2sin(2)36f x x π∴=+- 由2,6x k k Z ππ+=∈ 得：,122k x k Z ππ=-+∈ ()f x ∴的对称中心为(,3),.122k k Z ππ-+-∈（Ⅱ）22()cos sin sin cos 3f x a x a x x x =-+-()cos 2sin 23f x a x x ∴=-()2sin(2)36f x a x π∴=+- 1sin(2)16x π-≤+≤ 当0a >时，232sin(2)3236a a x a π--≤+-≤- 则有234a --=- 解得12a = 当0a =时，min ()3f x =-，不合题意当0a <时，232sin(2)3236a a x a π-≤+-≤-- 则有234a -=-解得12a =- 综上 12a ∴=或12a =-． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．29．（1）奇函数；（2）见解析；（3）ω的个数为198个，见解析.【解析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可；（2）根据最小正周期公式进行验证即可；（3）利用函数的图象和不等式的性质可以求出满足条件的ω的个数.【详解】（1）()sin[tan()]sin(tan )sin(tan )()f x x x x f x ωωω-=-=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数；（2）()sin[tan()]sin(tan )()f x x x f x ππ+=+==，所以()f x 的最小正周期是π；（3）因为当0x >时，()111122g x x x ⎛⎫=+≥⨯ ⎪⎝⎭，（当且仅当1x =时取等号），所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，只能()sin tan 1x ω=，即tan 22k πωπ=+，因为(1.50, 1.57)ω∈，所以2(tan1.50,tan1.57)2k ππ+∈，因此1.99199.6k <<，2,3,4,,199k =⋯，因此满足条件的ω的个数为198个， 当0x >时，也是一样的，因为两个函数是奇函数都关于原点对称，所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，满足条件的ω的个数为198. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性，考查了三角奇函数的性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.30．（1）1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）265- 【解析】【分析】（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值.【详解】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈ ⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以值域为1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩， 解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m ≤-，则m 的最大值为265-. 【点睛】 本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

三角函数练习题(含答案)

三角函数练习题(含答案)

三角函数练习题及答案（一）选择题1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定12、在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，sinA=45，则AC=（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角，且sinA=13，则（ ）A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=13，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ） A 、47B 、 13C 、 12D 、0 5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ）A 、1：1：2B 、1：1：√2C 、1：1：√3D 、1：1：√226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．sinB= 23B ．cosB= 23C ．tanB= 23D ．tanB=32 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（32，12） B ．（-32，12） C ．（-32，-12） D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）（A ）350m （B ）100 m （C ）150m （D ）3100m11、如图1，在高楼前D点测得楼顶的仰角为300，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为450，则该高楼的高度大约为（）A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．（A）30海里（B）40海里（C）50海里（D）60海里（二）填空题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．2．在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．3．在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是______．4．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=62+)5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为___________结果保留根号）．7．求值：sin260°+cos260°=___________．8．在直角三角形ABC中，∠A=090，BC=13，AB=12，那么tan B=___________．9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）10．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为___________米（结果用含α的三角比表示）．11．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留两个有效数字，2≈1.41，3≈1.73）三、简答题：1，计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2计算：22459044211(cos sin )()()︒-︒+-︒+--π分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。

数学天天练

数学天天练

数学天天练（一）a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且求角A的值；（Ⅱ）若AB=3，AC边上的中线BD求△ABC的面积。

2．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面A B C D 为菱形，且2PA PD DA ===，060BAD ∠=．（Ⅰ）求证：PB AD ⊥； ，求二面角A PD C --的余弦值。

数学天天练（二）3．（本小题满分12分）已知{}n a 为等差数列，且满足138a a +=，2412a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值．4．（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A BC -中,112AB AC AA BC ====,1160AAC ∠=︒,平面1ABC ⊥平面11AAC C ,1AC 与1AC 相交于点D .（Ⅰ）求证:BD ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求二面角1C AB C --的余弦值.数学天天练（三）5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ， 60=B ． （Ⅰ）若3a =，，求c 的值； ，求()f A 的最大值．6．（本题满分15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，E AM AD DAB ,1,2,600===∠是AB 的中点．（1）求证：AN ∥平面MEC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角D EC P --的大小为AP 的长；若不存在，请说明理由．7．数列{a n}的前n项和记为 S n，a1=2，a n+1=S n+n，等差数列{b n}的各项为正，其前n项和为T n，且 T3=9，又 a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：当n≥2时，++…+＜．ABCD60∠=DE ABBAD⊥于点E ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥ ，如图 2．（1）求证：1A E ⊥平面BCDE ；（2）求二面角1E A B C --的余弦值；（3）判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出9．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知，3b =，（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积．10．（本题满分14分）如图，已知正四棱柱ABCD A B C D －中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F ．（1）求证：1AC ⊥平面BDE ； （2）求BC 与平面BDE 所成角的正弦值．数学天天练（六）（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若31,,k k a a S 成等比数列，求正整数k 的值．12．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形且∠DAB=60°，O 为AD 中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面POB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，试问在线段PC上是否存在点M，使二面角M—BO—C的大小为60o13．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知 （Ⅰ）求sinA 与角B 的值； （Ⅱ）若角A,B,C 的对边分别为,,5,a b c a b c =，且，求的值.[14．（本小题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，E ，F 分别是1,CC BC 的中点，11AE A B D ⊥，为棱11A B 上的点.（Ⅰ）证明：DF AE ⊥；（Ⅱ）已知存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 请说明点D 的位置.15．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n 满足S n＜2+2lnn．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B AB 1⊥. A A 1B B 1C C 1（Ⅰ）证明：1AB AC =; （Ⅱ）若1AC AB ⊥，︒=∠601CBB ,BC AB =,求二面角111C B A A --的余弦值.数学天天练（九）17．（本小题满分12分） 已知向量(,cos 2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象（Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.18．四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.（1）证明：四边形EFGH 是矩形；（2）求直线AB 与平面EFGH 夹角 的正弦值.数学天天练（十）19．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且233445,,a aa a a a +++成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式；{}nb 的前n 项和.20．（本小题满分12分） 如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：111//C M A ADD ； （Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD 且，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.数学天天练（十一）21．已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中（1时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2，求,a θ的值.22．（本小题满分12分） 在平行四边形ABCD 中，1ABBD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥.将ABD∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图.A（1）求证： AB CD ⊥；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.数学天天练（十二）23．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .24．（1）求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.数学天天练（十三）25．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记，求数列{}n c 的前n 项和n T ．26．已知首项都是1的两个数列（），满足.（1）令，求数列的通项公式；（2）若13n n b -=，求数列的前n 项和27．n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式；求数列{n b }的前n 项和.数学天天练参考答案1．【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据已知等式并运用三角函数的恒等变形将其进行化简可得，然后运用三角形的内角和为π即将()sin sin sin()B A C A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦代入上述等式即可得出角A 的大小；（Ⅱ）在ABD ∆中直接应用余度，再由D 是AC 的中点结合三角形的面积公式出所求的结果．试题解析：（Ⅰ）由，变形为，即i ns n即，即i ns因为0sin ≠C ，所以（Ⅱ）在ABD ∆中，3=AB ，，定理，222cos 2BD A AD AB AD AB =⋅⋅⋅-+解得4=AD ，又D 是AC 的中点 8=∴AC ， 考点：1、三角函数的恒等变形；2、余弦定理在解三角形中的应用；2．（Ⅰ）证明：取AD 的中点E ，连接,,PE BE BD ．∵PA PD DA ==，四边形ABCD 为菱形，且060BAD ∠=，∴PAD ∆和ABD ∆为两个全等的等边三角形，则,,PE AD BE AD ⊥⊥∴AD ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，∴PB AD ⊥；（【解析】试题分析：（1）首先作出辅助线即取AD 的中点E ，连接,,PE BE BD ，然后由已知条件易得PAD ∆和ABD ∆为两个全等的等边三角形，于是有,,PE AD BE AD ⊥⊥，进而由线面垂直的判定定理可知所证结 论成立；（Ⅱ）建立适当的直角坐标系，并求出每个点的空间坐标，然后分别求出平面PAD 、平面PDC 的即可求出二面角A PD C --的平面角的余弦值，最后判断其大小为钝角还是锐角即可．试题解析：（Ⅰ）证明：取AD 的中点E ，连接,,PE BE BD ．∵PA PD DA ==，四边形ABCD 为菱形，且060BAD ∠=，∴PAD ∆和ABD ∆为两个全等的等边三角形，则,,PE AD BE AD ⊥⊥∴AD ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，∴PB AD ⊥；（Ⅱ）解：在PBE ∆中，由已知得，，则222PB PE BE =+，∴090PEB ∠=，即PE BE ⊥，又PE AD ⊥，∴PE ⊥平面ABCD ；以点E 为坐标原点，分别以EA ，EB ，EP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E （0,0,0）， C （－2, ），D （－1,0,0），P （0,0, ， 则DP ＝（1,0,，DC ＝（－1, ）， 由题意可设平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m →=；设平面P D C 的一个法向量为(x,y,z)n →=，y ＝1z ＝－1则1m n →→⋅=，所以，由题意知二面角A PD C --的平面角为钝角，所以二面角A PD C --的余弦值为考点：1、直线平面垂直的判定定理；2、空间向量法求空间二面角的大小； 3．（Ⅰ）2n a n =;（Ⅱ）2k =【解析】 试题分析：（Ⅰ）由基本量法，列出方程组，解之求出首项与公差即可求通项公式；（Ⅱ）由等差数列的求和求出前n 项和，由题意列出方程213k k a a S +=解之即可.试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,2a d ==所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=,得2n a n =∴3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，2k S k k =+因 31,,k k a a S + 成等比数列，所以213k k a a S +=，从而22(22)6()k k k +=+， 即 220k k --=，*k N ∈,解得2k = 或1k =-（舍去）∴ 2k =考点：1.等差数列的性质及求和公式；2.等比数列的定义及性质. 4．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ【解析】试题分析：(Ⅰ)由面面垂直的性质可证结论成立；(Ⅱ)用传统法时，先证CD ⊥平面1ABC ，过D 作DH AB ⊥,垂足为H ,连结CH ,则CH AB ⊥,由此可知DHC ∠为二面角1C AB C --的平面角，求之即可；用空间向量求解时，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，计算即可.试题解析：(Ⅰ)依题意,侧面11AAC C 是菱形,D 是1AC 的中点,因为1BA BC =,所以1BD AC ⊥,又平面1ABC ⊥平面11AAC C ,且BD ⊂平面1ABC ,平面1ABC 平面111AAC C AC =所以BD ⊥平面11AAC C .(Ⅱ)[传统法]由(Ⅰ)知BD ⊥平面11AAC C ,CD ⊂面11AAC C ,所以CD BD ⊥,又1CD AC ⊥,1AC BD D =,所以CD ⊥平面1ABC ,过D 作DH AB ⊥,垂足为H ,连结CH ,则CH AB ⊥, 所以DHC ∠为二面角1C AB C --的平面角.在Rt DAB ∆中即二面角1C AB C --的余弦值是 [向量法]以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则()(1,0,3,0,3,AB BC =-=设平面ABC 的一个法向量是(),,x y z =n , 则00AB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,令1z =, 显然(0,DC =是平面1ABC 的一个法向量, ,5DCDC DC ⋅>==n 即二面角1C AB C --的余弦值是 考点：1.直线和平面垂直的性质与判定；2.二面角的求法；3.空间向量的应用. 5．（Ⅰ）1=c 或2=c ；（Ⅱ）1． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-⋅，解关于c 的方程；（Ⅱ）第一步，先按分配律展开，第二步，按二倍角的降幂公式化为二倍角，第三步，化一为试题解析：（Ⅰ）由2222cos b a c ac B =+-⋅，（3分） 3a =，，60B =得2320c c -+=，（5分）12c ∴=或 （7分）；10分） （13分） 时，()f A 最大值为（15分）考点：1．余弦定理；2．二倍角公式；3．()ϕω+=x A y sin 的性质．6．（1）详见解析；（2）存在．【解析】试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，需要证明线线平行，则线面平行，所以根据中点，想到连接BN 交MC 于F ，连接EF ，根据条件证明EF AN //；（2）假设存在点P ，可以根据垂线法构造二面角的平面角，注意到已知平面⊥ADNM 平面ABCD ，并且交予AD ，所以点P 向引垂线，AD PA ⊥，EC AH ⊥，连接PH ，PHA ∠就是二面角的平面时，在直角三角形PAH 内求PA 长度．试题解析：（1）证明 由已知，MN ∥AD ∥BC ，连结BN ，设CM 与BN 交于F ，连结EF ，如图所示．又MN ＝AD ＝BC ，所以四边形BCNM 是平行四边形，F 是BN 的中点．又E 是AB 的中点，所以AN ∥EF ．因为EF ⊂平面MEC ，AN ⊄ 平面MEC ，所以AN ∥平面MEC ．（2）如图所示，假设在线段AM 上存在点P ，使二面角P －EC －D 延长DA ，CE 交于点Q ，过A 作AH ⊥EQ 于H ，连结PH ．因为四边形ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，所以MA ⊥平面ABCD ，又CQ ⊂平面ABCD ，所以MA ⊥EQ ，又MA ∩AH ＝A ，所以EQ ⊥平面PAH ，所以EQ ⊥PH ，∠PHA 为二面角P －EC －D 的平面角．由题意，知∠PHA 在△QAE 中，AE ＝1，AQ ＝2，∠QAE ＝120°，则EQ所以AH又在Rt △PAH 中，∠PHA则AP ＝AH所以在线段AM 上存在点P ，使二面角P －EC －D AP 考点：1．线面平行的判定定理；2．二面角的求法．7．（1）12,2,121,2-=⎩⎨⎧≥-==n b n n a n n n ；（2）证明略. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由a n+1=S n +n ，得a n =S n ﹣1+（n ﹣1）（n ≥2），两式相减，结合等比数列的定义和通项，即可得到{a n }的通项；再由等比数列的性质，求得等差数列{b n }的首项和公差，即可得到所求通项；（Ⅱ）=＜==（﹣），再由裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．试题解析：（Ⅰ）由a n+1=S n +n ，得a n =S n ﹣1+（n ﹣1）（n ≥2），两式相减得a n+1﹣a n =S n ﹣S n ﹣1+1=a n +1，所以a n+1=2a n +1，所以a n+1+1=2（a n +1）（n ≥2），又a 2=3所以a n+1=2n ﹣2（a 2+1），从而a n =2n -1（n ≥2），而a 1=2，不符合上式，所以a n =；因为{b n }为等差数列，且前三项的和T 3=9，所以b 2=3，可设b 1=3﹣d ，b 3=3+d ，由于a 1=2，a 2=3，a 3=7，于是a 1+b 1=5﹣d ，a 2+b 2=6，a 3+b 3=10﹣d ，因为a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3成等比数列．所以（5﹣d ）（10+d ）=36，d=2或d=﹣7（舍），所以b n =b 1+（n ﹣1）d=1+2（n ﹣1）=2n ﹣1； （Ⅱ）证明：因为=＜==（﹣） 所以，当n ≥2时，++…+=++…+ ＜1+[（1﹣）+（）+…+（﹣）] =1+（1﹣）＜1+＜．则有当n ≥2时，++…+＜．考点： 数列的求和．8．（1）详见解析；（2（3）不存在． 【解析】试题分析：（1）分析题意可证得1A E DE ⊥，1DC A E ⊥，再由线面垂直的判定即可得证；（2）根据题意，以EB ，ED ，EA 分别为x 轴，y 轴和z 轴，从而可求得平面1A BC 的一个法向量与平面1A BE 的一个法向量，从而求解；（3）首先假设存在，设平面1A DP 的一个法向量为(2,t p =，从而可以建立关于t 的方程，通过方程解的情况即可求解． 试题解析：（1）∵D E B E ⊥，//BE DC ，∴D E D C ⊥，又∵1A D DC ⊥，1A D DE D =，∴DC ⊥平面1A DE ，∴1DC A E ⊥，又∵1A E DE ⊥，DC DE D =，∴1A E ⊥平面BCDE ；（2）∵1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，∴以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴，y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，易则1(0,0,2)A，(2,0,0)B ，，∴1(2,0,2)BA =-，(2,2BC =，平面1A BE 的一个法向量(0,1,0)n =，设平面1A BC 的法向量(,,)m x y z =，由10BA m ⋅=，0BC m ⋅=，得，令1y =，得(3,1m =-7,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图，得二面角1E A B C --为钝二面角，∴二面角1E A B C --的余弦值为77-；（3）假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ，设(,0,0)(02)P t t ≤≤，则1(,0,2)A P t =-(0,2A D =设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =，由10A D p ⋅=，10A P p ⋅=，得12x =，得(2,t p =1A DP ⊥平面1A BC ，∴0m p ⋅=，即，解得3t =-， ∵02t ≤≤，∴在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．考点：1．线面垂直的判定；2．空间向量求空间角．9．（1（2 【解析】试题分析：（1）根据正弦定理可求得sin A 的值，再由锐角定理的变式可以求得c 的值，进而即可求得试题解析：（1）在ABC ∆，∵锐角ABC ∆，∴（2）在ABC ∆中，即2320c c -+=，解得1c =或2c =，当1c =时， ，∴B 为钝角，不合题意，舍去，当2c =时， ，且b c >，b a >，∴ABC ∆为锐角三角形，符合题意，考点：正余弦定理解三角形．10．（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）证明线线垂直一般要通过证明线面垂直，线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化．（2）求线面角，可以利用解三角形的方法求得，也可利用向量法，在三棱柱高时，选择适当的底作为底面，用等积法求得试题解析：（1）连接AC ，因为正四棱柱所以 11BD AC BD BD AA ACAA A⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭=平面11A AC BD AC ⇒⊥；（3分） 同理可得1111111BE B C BE BE A B B C A B B ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭=平面111A B C BE AC ⇒⊥；又因为BDBE B =所以1AC ⊥平面BDE ．（6分） （2）1CE =，，设C 到平面BDE 的距离为h ，则（13分） （14分） 考点：线线垂直及线面角．11．（Ⅰ）2n a n =;（Ⅱ）2k =【解析】试题分析：（Ⅰ）由基本量法，列出方程组，解之求出首项与公差即可求通项公式；（Ⅱ）由等差数列的求和求出前n 项和，由题意列出方程213k k a a S +=解之即可.试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得12,2a d == 所以1(1)22(1)2na a n d n n =+-=+-=,得2n a n =∴3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，2k S k k =+因 31,,k k a a S + 成等比数列，所以213k k a a S +=，从而22(22)6()k k k +=+，即 220k k --=，*k N ∈,解得2k = 或1k =-（舍去） ∴ 2k =考点：1.等差数列的性质及求和公式；2.等比数列的定义及性质.12．（Ⅰ）详见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可知PO ⊥AD ，又ABCD 为菱形且∠DAB=60°，所以OB ⊥AD ，根据线面垂直的判定定理可得AD ⊥面POB ，然后再根据面面平行的判定定理可证面POB ⊥面PAD ；（Ⅱ）∵面PAD ⊥面ABCD 且面PAD ∩面ABCD=AD ∴PO ⊥面ABCD 以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，然后再利用空间向量在立体几何中的应用，即可求出结果．试题解析：解：（Ⅰ）∵PA=PD O 为AD 中点 ∴PO ⊥AD又∵ABCD 为菱形且∠DAB=60° ∴OB ⊥AD∵PO ∩OB=O ∴AD ⊥面POB∵AD ⊂面PAD ∴面POB ⊥面PAD（Ⅱ）∵面PAD ⊥面ABCD 且面PAD ∩面ABCD=AD ∴PO ⊥面ABCD以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系∴O （0,0,0）、P （、B （）、C （）设PM =PC λ（0<λ<1） ∴M （-2λ1-λ））∵平面CBO 的法向量为n 1=（设平面MOB 的法向量为n 2=（x,y,z ）∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n OB n OM 取n 2= ∵二面角M —BO —C 的大小为60°解得λ∴存在M 点使二面角M —BO —C 等于60 考点：1．面面垂直的判定定理；2．空间向量在立体几何中的应用．13．（1（2）7,8b c ==. 【解析】oy试题分析：本题主要考查诱导公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.A 的大小判断sin A 的正负，用诱导公式求出cosB ，利用角B 的取值范围确定角B 的值；第二问，由正弦定理求出边b ，再利用余弦定理解出边c 的值.试题解析：，又∵0πA <<，另由2222cos b a c ac B =+-得249255c c =+-，解得8c =或3c =-（舍去），7b ∴=，8c =. 12分考点：诱导公式、正弦定理、余弦定理.14．（1）证明详见解析；（2）点D 为11A B 中点.【解析】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、向量法、二面角等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，用空间向量法证明，要证DF AE ⊥，需证0DF AE ⋅=，先通过11AE A B ⊥，11//A B AB ，通过传递性证明AB AE ⊥，再由线面垂直的判定得11AB ⊥面A ACC ，再通过线面垂直的性质得AB AC ⊥，所以找到两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用坐标证明0DF AE ⋅=；第二问，利用向量法，先求出平面DEF 和平面ABC 的法向量，再通过夹角公式解出λ的值，从而得到点D 的位置.试题解析：（Ⅰ）证明：11AE A B ⊥ ，11//A B AB ,AB AE ∴⊥, 又1AB AA ⊥, 1AE AA A ⋂=,AB ∴⊥面11A ACC ， 又AC ⊂面11A ACC ,AB AC ∴⊥, 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -,则()0,0,0A ,,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B ,设(),,D x y z ，111AD AB λ= ,且[0,1]λ∈,即：()(),,11,0,0x y z λ-=,(),0,1D λ∴ , 1DF ⎛∴=- 0,1,AE ⎛∴= ∴1DF AE ⋅=-, DF AE ∴⊥. 6分 （Ⅱ）设面DEF 的法向量为 (),,n x y z = ，则 00n FE n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 1FE ⎛=- ⎝ 1DF ⎛=- 11022x y z -++= 即：3z 令()21z λ=-, ()()3,12,21n λλ∴=+- .由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m = , 9分 平面DEF 与平面ABC 所成锐二面的余弦值为 ()14,14m nm nm n ⋅==λ∈,.又[0,1]A B中点. 12分∴点D为11考点：线线垂直、线面垂直、向量法、二面角.15．（1）a3=（2）T n==2﹣21﹣n．（3）见解析【解析】试题分析：（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前 n项和T n；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．解：（1）∵a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=4﹣，n∈N+．两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前 n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b 1=a 1，b 2=+（1+）a 2，b 3=（1++）a 3，∴S n =b 1+b 2+…+b n =（1+++…+）（a 1+a 2+…+a n ）=（1+++…+）T n =（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f （x ）=lnx+﹣1，x ＞1，则f′（x ）=﹣．即f （x ）在（1，+∞）上为增函数， ∵f （1）=0，即f （x ）＞0， ∵k≥2，且k ∈N •时，，∴f （）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln ，，…， 即=lnn ，∴2×（1+++…+）＜2+lnn ，即S n ＜2（1+lnn ）=2+2lnn ．点评：本题主要考查数列通项公式以及前n 项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．16．（Ⅰ）详见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）由侧面C C BB 11为菱形得11B C BC ⊥，结合C B AB 1⊥得1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥，且O 为1B C 的中点．故AO 垂直平分线段1B C ，则1AB AC =；（Ⅱ）求二面角大小，可考虑借助空间直角坐标系．故结合已知条件寻找三条两两垂直相交的直线是解题关键．当1AC AB ⊥且1AB AC =时，三角形1ACB 为等腰直角三角形，故AO CO =，结合已知条件可判断BOA BOC ∆≅∆，故090AOC BOC ∠=∠=，从而1OA OB OB ，，两两垂直．故以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点的坐标．分别求半平面11AA B 和111A B C 的法向量，将求二面角问题转化为求法向量夹角处理．试题解析：（I ）连接1BC ，交1B C 于O ，连接AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥．又1B O CO =,故1AB AC =．（II ）因为1AC AB ⊥，且O 为1B C 的中点，所以AO CO =，又因为BC AB =，BOA BOC ∆≅∆．故O A O B ⊥，从而1OA OB OB ，，两两垂直．以O 为坐标原点，OB 的方向为x OB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又AB BC =,(1,0,0)B，(0,AB =,(1,0,A B AB ==,(1,B C BC ==- 设(,,)n x y z =是平面11AA B 的法向量，则1110,0,n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3y ⎧⎪(1,3,n =设m 是平面111A B C 的法向量，则11110,0,m A B m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩同理可取(1,m =-1,7n m n m n m⋅<>==．所以二面角111C B A A --的余弦值为z yOAA 1BB 1CC 1【考点定位】1、直线和平面垂直的判定和性质；2、二面角求法．17．（I（II ）函数()y g x =的单调递增区间为【解析】试题分析：（1）由题意知()sin 2cos2f x a b m x n x =∙=+.根据()y f x=的图象过点（2）由（依题意知到点0,3（）的距离为1的最高点为0,2（）.由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，得得到()y g x =的单调递增区间为2试题解析：（1）由题意知：()sin 2cos2f x a b m xn x =∙=+. 因为()y f x =的图象过点（2）由（设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x ，由题意知：2011x +=，所以00x =，即到点0,3（）的距离为1的最高点为0,2（）.由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，得所以，函数()y g x =的单调递增区间为考点：平面向量的数量积，三角函数的化简，三角函数的图象和性质.18．（1）证明见解析；（2 【解析】试题分析：（1）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD ===由题设，BC ∥面EFGH ，面EFGH面BDC FG =，面EFGH面ABC EH =，所以BC ∥FG ，BC ∥EH ，所以FG ∥EH ，同理可得EF ∥HG ，即得四边形EFGH 是平行四边形，同时可证EF FG ⊥，即证四边形EFGH 是矩形；（2）以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(0,0,1)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C (0,0,1)DA =，(2,2,0)BC =-，(2,2,0)BC =-，设平面EFGH 的一个法向量(,,)n x y z =因为BC ∥FG ,EF ∥AD ，所以0,0n DA n BC ⋅=⋅=，列出方程组，即可得到平面EFGH 的一个法向量n ，AB 与n 的夹角的余弦值的绝对值即为所求.试题解析：（1）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD ===由题设，BC ∥面EFGH 面EFGH 面BDC FG = 面EFGH 面ABC EH =BC ∴∥FG ，BC ∥EH ， FG ∴∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ， EF ∴∥HG . ∴四边形EFGH 是平行四边形又,,BD AD AD DC BD DC D ⊥⊥=∴AD ⊥平面BDC AD BC ∴⊥BC ∥FG ,EF ∥ADEF FG ∴⊥∴四边形EFGH 是矩形（2）如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(0,0,1)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C(0,0,1)DA =，(2,2,0)BC =-，(2,2,0)BC =-设平面EFGH 的一个法向量(,,)n x y z =BC ∥FG ,EF ∥AD0,0n DA n BC ∴⋅=⋅=即得z =0-2x+2y =0⎧⎨⎩，取(1,1,0)n =,|||||||5BA n BA n BA n ⋅==⋅考点：面面平行的性质；线面角的求法.19．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ） 由已知，有()()()()34234534a a a a a a a a +-+=+-+，即4253a a a a -=-，所以23(1)(1)a q a q -=-，又因为1q ≠，故322a a ==，由31a a q =，得2q =， 当21(*)n k n N =-∈时，当2(*)n k n N =∈时，所以{}n a 的通项公式为 （Ⅱ） ，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则12n n -++⨯ 12n n ++⨯两式相减得112n -++-考点：等差数列定义、等比数列及前n 项和公式、错位相减法求和.20．（I ）证明：见解析；（II ）平面11C D M 和平面ABCD 【解析】试题分析：（I ）由四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =， 可得//CD MA 且CD MA =.连接1AD ，可得1111//,C D MA C D MA =， 从而得到四边形11AMC D 为平行四边形， 进一步可得1//C M 平面11A ADD .（II ）本题解答可有两种思路，一是向量法，二是几何法. 思路一：连接AC ，MC ，可得BC AD MC ==，得到CA CB ⊥.以C 为坐标原点，建立直角坐标系C xyz -.15,5||||CD n CD n CD n ∙<>==求角的余弦值. 思路二：按照“一作，二证，三计算”. 过C 向AB 引垂线交AB 于N ，连接1D N ， 由1CD ⊥平面ABCD ，可得1D N AB ⊥， 得到1D NC ∠为二面角1C AB C --的平面角，利用直角三角形中的边角关系计算平面11C D M 和平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值.试题解析：（I ）证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形， 且2AB CD =，所以//AB CD ，又由M 是AB 的中点， 因此//CD MA 且CD MA =. 连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A BC D -中， 因为1111//,CD C D CD C D =， 可得1111//,C D MA C D MA =， 所以，四边形11AMC D 为平行四边形， 因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11A ADD ，1D A ⊂平面11A ADD ， 所以1//C M 平面11A ADD .（II ）解法一： 连接AC ，MC ，由（I ）知CD//AM 且CD=AM ， 所以四边形AMCD 为平行四边形， 可得BC AD MC ==， 由题意060ABC DAB ∠=∠=， 所以MBC ∆为正三角形，因此CA CB ⊥.以C 为坐标原点，建立直角坐标系C xyz -.所以(MD =-，(D C MB ==- 设平面11C D M 的一个法向量(,,)n x y z =，由11100n D C n MD ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得可得平面11C D M 的一个法向量(1,3,1)n = 又(0,0,CD =ABCD 的一个法向量，15,5||||CD n CD n CD n ∙<>==所以平面11C D M 和平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值为 解法二：由（I ）知，平面11DC M平面ABCD=AB ，过C 向AB 引垂线交AB 于N ，连接1D N ， 由1CD ⊥平面ABCD ，可得1D N AB ⊥， 因此1D NC ∠为二面角1C AB C --的平面角，在Rt BNC ∆中，01,60BC NBC =∠=，在1Rt D CN ∆中，所以平面11C D M 和平面ABCD考点：立体几何的平行关系、垂直关系，几何体的几何特征，二面角的计算，空间向量的应用.21．（1-1. （2【解析】试题分析：（1合基本三角函数性质求最值：因为[0,]x π∈，从而，故()f x 在[0,]π上-1.（2）两个独立条件求两个未知数，联立方程组求解即可. 由得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩，又知cos 0,θ≠试题解析：解（1因为[0,]x π∈，从而故()f x 在[0,]π上的最大值为-1. （2）由得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩，又知cos 0,θ≠解得考点：三角函数性质 22．(1)参考解析【解析】 试题分析：(1)由AB BD ⊥,将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ,即可得AB 垂直于平面BCD.从而得到结论.(2)依题意,可得0DBC=45∠,又由AB ⊥平面BCD.如图建立直角坐标系. 求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.等价于求出直线AD 与平面MBC 的法向量所成的角的余弦值.写出相应的点的坐标以及相应的向量,求出法向量即可得到结论.。

高三三角函数习题练习-含解析

高三三角函数习题练习-含解析

三角函数习题练习一、单选题（共12题）1.若则( )A. B. C. D.2.将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，则（）A. B. C. D.3.若，则的值为A. B. C. D.4.（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）（4题）（5题）A. B. C. D.5.（2016•全国）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A.y=2sin（2x﹣）B.y=2sin（2x﹣）C.y=2sin（x+ ）D.y=2sin（x+ ）6.（2018•天津）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减7.（2018•卷Ⅰ）已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则（）A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为48.（2018•卷Ⅲ）若，则=（）A. B. C.- D.-9.若锐角满足，则（）A. B. C. D.10.（2013•浙江）已知，则tan2α=（）A. B. C. D.11.（2013•辽宁）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA= b，且a＞b，则∠B=（）A. B. C. D.12.设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.c＞a＞b二、填空题（共4题；共0分）13.函数（）的部分图象如图所示，则________；函数在区间上的零点为________．（13题）（14题）14.函数的图象如右图所示，则的表达式是________.15.函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，则________.16.在中，角所对的边分别为，，的面积，则的周长为________．三、解答题（共6题；共0分）17.已知函数（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象．（2）先将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的对称中心．18.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式;（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数，当时，求函数的值域.19.如图四边形中，分别为的内角的对边，且满足．（1）证明：；（2）若，设, 求四边形面积的最大值.20.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的值及的单调增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．21.函数的部分图象如图所示.（1）求及图中的值；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.22.已知函数的部分图象如图所示.（1）将函数的图象保持纵坐标不变,横坐标向右平移个单位后得到函数的图象,求函数在上的值域;（2）求使的x的取值范围的集合.三角函数习题练习答案第 1 题:【答案】C【解析】【解答】，所以，第 2 题:【答案】A【解析】【解答】横坐标伸长到原来的2倍，说明周期变成原来的2倍，则，再把图象向左平移个单位长度，说明，而关于y轴对称，则，结合，计算得到，故答案为：A。

三角函数练习题

三角函数练习题

三角函数练习题一、选择题1. 已知角α的终边经过点P(3, 4)，则sinα的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 4/5D. 3/52. 若cosθ = 1/2，且θ为第三象限角，则sinθ的值为（）A. √3/2B. √3/2C. 1/2D. 1/23. 已知tanα = 2，求cos2α的值为（）A. 1/5B. 3/5C. 3/5D. 1/54. 若sin^2α + cos^2α = 1，则下列等式成立的是（）A. sinα = cosαB. sinα= tanαC. cosα = cotαD. tanα = cotα二、填空题1. 已知sinα = 1/2，且α为第一象限角，则cosα = ______。

2. 若tanθ = √3，且θ为第四象限角，则sinθ = ______。

3. 已知cosβ = √2/2，且β为第二象限角，则tanβ =______。

4. 若sin^2α + cos^2α = 1，则sinαcosα = ______。

三、解答题1. 已知sinα = 3/5，求cosα的值。

2. 已知tanθ = 4/3，求sinθ和cosθ的值。

3. 已知cosβ = 1/2，求sinβ和tanβ的值。

4. 已知sin^2α + cos^2α = 1，证明：(1 cosα)/(1 + cosα) = sin^2α/(1 + cosα)。

5. 已知tanθ = √3，求sin2θ和cos2θ的值。

6. 已知sinα + cosα = 1，求sinα和cosα的值。

四、应用题1. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A的度数为30°，BC边长为6cm，求AB和AC的长度。

2. 一个物体从A点出发，沿直线向正北方向移动了100米后到达B点，然后转向正东方向移动了150米到达C点。

求物体从A点到C点的直线距离。

3. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(3, 4)，求点P到原点O的距离及点P与x轴的夹角。

三角函数练习题(含答案)

三角函数练习题(含答案)

点后观察到原点 O 在它的南偏东 60°的方向上，则原来 A 的坐标为 ___________结果保留根号）． 7．求值：sin260°+cos260°=___________． 8．在直角三角形 ABC 中，∠A= 900 ，BC=13，AB=12，那么
tan B ___________．
9．根据图中所给的数据，求得避雷针 CD 的长约为_______m（结果精 确的到 0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据 求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈ 0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°
地，此时王英同学离 A 地 （ ）
（A） 50 3 m （B）100 m （C）150m （D）100 3 m
11、如图 1，在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为 300，向高楼前进 60 米到 C 点，又测得仰角
为 450，则该高楼的高度大约为（
）
A.82 米 B.163 米
C.52 米 D.70 米
≈0.8391）
10．如图，自动扶梯 AB 段的长度为 20 米，倾斜 角 A 为α，高度 BC 为___________米（结果用含 α的三角比表示）．
11．如图 2 所示，太阳光线与地面成 60°角，一 棵倾斜的大树与地面成 30°角，这时测得大树在 地面上的影子约为 10 米，则大树的高约为________米．（保
6 2
据供解题使用：sin15°=，cos15°= 4 )
5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的 走向是北偏东 48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接 通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．

高中数学基础强化天天练必修1第6练

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第44练 任意角的三角函数（2）目标：会用角α的正弦线、余弦线、正切线分别表示任意角α的正弦、余弦、正切函数值；掌握正弦、余弦、正切函数的定义域．一、填空题1. y =tan x 的定义域是_______________________________． 【答案】{x |x ≠k π+2π,k ∈Z }2.函数y =tan （x + π3）的定义域是_______________________________．【答案】{x |x ≠k π + π6，k ∈Z}【解析】由x + π3≠k π + π2，k ∈Z 得x ≠k π + π6，k ∈Z ，所以定义域是{x |x ≠k π + π6，k ∈Z}．3.设α是第四象限角，则sinα和tanα的大小关系是____________． 【答案】sinα>tanα．4.角α（0<α<2π）的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，则α的值为____________． 【答案】π4或5π45.如果MP 和OM 分别是5π7的正弦线和余弦线，则MP 和OM 的大小关系是_____________．【答案】MP >OM【解析】因为5π7是第二象限角，所以sin 5π7>0，cos 5π7<0，所以MP >OM ．6.若角α满足1cos 2α≤-，则角α的集合是 . 【答案】{αZ k k k ∈+≤≤+,342322ππαππ} 【解析】先作出满足21cos -=α的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围.7.如果π4<α<π2，那么sin α，tan α，cos α按从小到大的顺序排列为________． 【答案】cos α<sin α<tan α【解析】在单位圆中画出三角函数线，则易知OM <MP <AP ，即cos α<sin α<tan α os1<sin1<tan1．（提示：π4<1<π2）8.函数y =sin x +-cos x 的定义域是_________________________． 【答案】{x |2k π+ π2≤x ≤2k π +π，k ∈Z }【解析】由题意得sin x ≥0且-cos x ≥0，即sin x ≥0且cos x ≤0，故定义域是{x |2k π+ π2≤x ≤2k π +π，k ∈Z }．9.已知1sin 2x >，且[]0,2x π∈，则x 的取值范围是 . 【答案】5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】作出直线12y =与单位圆的交点，观察图形可知x 的取值范围.10.点P 从（1，0）出发，沿单位圆x 2+y 2=1按逆时针方向运动5π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为______________． 【答案】（12，- 32）【解析】如图，设点P 按逆时针方向旋转的角度为α，则α=5π3，所以x =cosα=12，y =sinα=- 32，所以点Q 的坐标为（12，- 32）．二、解答题11.求函数y =lg(2cos x -1)的定义域．解：由2cos x -1>0得cos x >12，所以2k π - π3<x <2k π + π3，k ∈Z ，故定义域是{x |2k π - π3<x <2k π +π3，k ∈Z}．12.设α∈（0，π2）．（1）试比较α，sinα，tanα的大小； （2）试证明：sinα+cosα>1．解：（1）如图，设α的终边与单位圆交于点P ，则sinα=MP ，tanα=AT ，α为劣弧AP 的长．因为S △OPA <S 扇形OPA <S △OTA ，所以12OA ·MP <12OA ·α<12OA ·AT ，即MP <α< AT ，所以sinα<α<tanα；（2）在△OMP 中，因为OM +MP >OP ，所以sinα+cosα>1．。

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3.＝___________________.
4.若函数的最小正周期为
正数k的值是_____________.
5.函数＋1的最大值是__________;取最大值的的集合是_____________.
6.函数的值域是__________________;
7.函数的单调减区间是_______;单调增区间是____________________;最小值的x的集合是________________________________________.
12.若＝__________________________.
13.函数的单调增区间是______________;单调减区间是______________.
8.函数的定义域是____________________.
9.把函数的图象向右平移个单位
所得到的图象的函数解析式为_________________;
在将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍
所得到的图象的函数解析式为__________________.
10.已知 计算：＝________________________.
我凡事必有充分的预备然后才去做.一向以来,做生意处理事情都是如此.例如天文台说天气很好,但我经常问我自己,如5分钟后公布有台风,我会怎样,在香港做生意,亦要保持这种心理预备.
三角函数小题天天练（2）
1.的值是__________________.
2.的符是___________(填正或负).
14.设则的值是____________________.
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