天大2002年运筹学考研真题

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天津大学运筹学基础考研真题-考研资料-笔记讲义

在天津大学运筹学基础复习中，资料、真题及讲义是必不可少的。

很多同学，特别是跨专业考生，在复习中没办法掌握重点，所以走了很多弯路。

而考研资料和讲义就可以让考生们在复习中迅速找到重点范围，掌握复习技巧。

另外、真题可以让考生掌握近几年的出题方向，测试自己的复习结果。

针对同学的复习情况，天津考研网独家推出了天津大学运筹学基础考研复习资料，以下为资料相关介绍。

【适用对象】2014年报考天津大学且初试科目为832运筹学基础的专业课基础不扎实、对院系内部信息了解甚少的同学，适合跨校考生使用【推荐理由】由天津考研网签约的天津大学在读本硕博团队搜集整理精心编制成套，严格依照天津大学最新考研大纲及考研参考书目整理，目前为市面上最全面的资料，作为基础强化及冲刺全程使用，分售600余元，全套购买享受大幅优惠并有赠品【使用方法】基础阶段使用讲义、本科笔记配合教材交叉感受天大课堂氛围，梳理知识点；强化阶段使用考研辅导班笔记课件配合指定教材复习，总结分析总结天大授课重点；冲刺阶段使用历年试题等试题资料进行测试，同时可以分析出题思路及重点【包含资料】第一部分天津大学运筹学基础考研真题及答案：1、天津大学832运筹学基础1992-2013年考研真题（市场独家最全，全国独家推出，2012、2013年为特约考生考场记录完整版，其他均为原版试卷，掌握最新试题动向先人一步），众所周知天大出题重复率高，一般多年的试题就是一个小题库，所以历年试题一定要仔细研究，通过多年试卷可总结出出题重点及思路；2、天津大学832运筹学基础1996－2011年考研试题参考答案（含详细解题过程），本套答案为签约团队独家主创，保证极高正确率，市面上的答案基本都有错误或模糊不清，请同学认真分辨市面一些低价劣质的资料，以免耽误考研；3、天津大学832运筹学基础2005-2009年考研真题解析，由本院资深团队主创，视频格式，光盘发送，对考研真题进行了详细讲解并做深度分析，总结出题规律，进行必要的答题技巧点拨，同时在关键时刻做考点预测，全国独家研发；第二部分天津大学运筹学基础核心资料：1、天津大学运筹学基础出题老师上课讲义，打印版50余页，含有授课内容及例题，可以感受天大课堂重点；2、天津大学运筹学本科课堂笔记，手写版40余页，字迹工整，主次分明，附有重点勾画，配合老师讲义使用立体交叉感受授课氛围，进而分析总结天大授课侧重点；3、天津大学运筹学基础考研辅导资料系列（说明：由于近几年校方不允许开办辅导，故以前的辅导材料就具有重要的参考价值），以下多年资料对比使用，效果更好：①天津大学运筹学06年考研笔记，天大在职老师讲授，手写版，字迹工整，提供电子版；②天津大学运筹学07年考研笔记，天大在职老师讲授，手写版，字迹工整，据称命中一道大题非常有效；③天津大学运筹学08年考研辅导班最新笔记，由天大资深教授讲授，手写版27页字迹清晰，要点鲜明，极具参考价值，结合以前笔记多年对比分析总结重点变化趋势，运筹帷幄；④天津大学运筹学09年考研辅导班老师授课课件，ppt格式，电子版，例题丰富，重点明确；4、天津大学运筹学140+高分考生总结笔记，突出了考试中重点考点，附有重点勾画，主次分明，考点鲜明，手写版字迹工整；5、天津大学运筹学全程授课音频课件，名师主讲，图文并茂，非常适合配合教材强化复习，聆听名师授课理清思路，电子版光盘发送；6、天津大学运筹学在职考研试卷1份，因出题老师相同故具有一定参考价值；7、天津大学运筹学考博试卷（包括99-1、99-2、00-1、01-1、01-2、02-1、02-2、03-1、03-2、04-1、04-2、05-1、05-2、06及07年两次回忆版），由于出题老师相同，所以具有重要参考价值；8、天津大学运筹学2007-2013年考研大纲，打印版，通过历年大纲对比可以更深入了解历年考试考点及参考书目变化情况从而预测趋势，独家提供；9、天津大学运筹学期末试卷系列（由于本科授课与考研出题老师一致的特殊缘故，期末考试卷与考研题相同在天大已成不争的事实）：①天津大学研究生运筹学两个学期期末试卷4份，打印版；②运筹学2003年本科期末试卷（电子版）；③运筹学本科期末试卷48学时、64学时、96学时共3份，电子版；④天津大学研究生管理运筹学期末试卷1份，打印版；10、胡运权版本科笔记一套，电子版；11、天津大学运筹学基础期末考试习题课课件，众所周知天大本科期末考试前有画范围的惯例，此资料即老师发授习题课内容，为期末考试范围，并附有学生勾画；第三部分天津大学运筹学基础考研参考书及习题集部分：天津大学运筹学基础考研参考书因版本问题较难收集，考虑到部分同学购买不便，天津考研网提供了参考书及配套习题集电子版供同学们参考使用，如需纸质版请于书店购买：1、运筹学习题集第三版-胡运权主编电子版，主创硕博团队力荐辅导用书，e-mail发送；2、《管理科学基础》2004年版-电子版，天津大学运筹学考研必备参考书；3、《管理科学基础(附光盘学习要点习题案例英汉词汇教学课件)》，与考研指定书杜纲那本配套的习题册，为运筹学考研必备书，历届高分考研生推荐，提供电子版；4、考研指定参考书目《运筹学教程(第二版)》(胡运权著)课后答案；5、胡运权《运筹学（第三版）》教材及其课后答案，清华大学出版社；第四部分天津大学运筹学基础考研辅导班视频：天津大学运筹学基础考研辅导精讲班完整视频，权威师资，共24课时，具体内容包括：1课时：复习冲刺方法+考点预测，线性规划的模型及图解法2-19课时：运筹学重点、难点、考点专题分析，明确复习范围，讲解典型例题，全面提升考生能力20课时：题型分析，选择题或填空题常考知识点串讲21课时：选择题或填空题常考知识点串讲（二）22课时：每年必考的一道证明题出题形式预测23课时：大题常考知识点，经典提要24课时：考试做题易出错点，答题注意事项，常丢分点第五部分天津大学运筹学基础考研红宝卷独家品牌《考研红宝卷》，包含天津大学832运筹学基础的全真模拟预测卷3套并含参考答案及解析过程，与历年考研真题出题趋势、思路、侧重点一脉相承，在天津考研学子圈中享有极高声誉，非常适合在冲刺阶段作为全真模拟使用，可以起到摸底测试、查漏补缺的作用，同时具有极高的押题性质。

天大运筹学5组参考资料

运筹学第一组：计算题1、某企业生产三种产品A1、A2、A3。

每种产品在销售时可能出现销路好(S1)，销路一般(S2)和销路差(S3)三种状态，每种产品在不同销售状态的获利情况(效益值)如表1所示，请按乐观法则进行决策，选取生产哪种产品最为合适。

表1答：2、已知运输问题的运价表和发量和收量如表2所示，请用最小元素法求出运输问题的一组解。

表2状态效益值产品S1S2S3A150 40 -6A220 15 9A318 13 12B1B2B3B4A1 2 9 12 7 9A2 1 3 5 2 4A310 4 2 6 53 54 6解：3、下列表3是一个指派问题的效率表(工作时间表)，其中A i 为工作人员(i=1, 2, 3, 4)、B j 为工作项目(j=1, 2, 3, 4)，请作工作安排，使总的工作时间最小。

表3解：4、有一化肥厂用两种原料A,B 生产C,D,E 三种化肥，根据市场调查某地区各种化肥每天最少B 1 B 2 B 3 B 4A 1A 2 A 3 A 4需求分别为100吨，26吨，130吨。

该厂每天可供的原料分别为200吨和240吨。

单位成品化肥所耗费的原料及销售利润如下表。

问每天应生产多少各类化肥，使该厂利润最大。

要求建立线性规划模型，不作具体计算。

解：设成品化肥的产量分别为x1、x2、x3吨，则线性规划模型为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≥≥≥++=3,2,1,02402.1220045.113026100111510321321321321j x x x x x x x x x x x x x MaxZ j第二组：计算题1.A 、B 两人分别有10分(1角)、5分、1分的硬币各一枚，双方都不知道的情况下各出一枚，规定和为偶数，A 赢得8所出硬币，和为奇数，8赢得A 所出硬币，试据此列出二人零和对策模型，并说明此游戏对双方是否公平。

解：用1,5,10分别代表A 或B 出1分、5分、和1角硬币的策略，则对A 的赢得见表Y=(10/11，0，1/11),对策值V=0，即该项游戏公平合理。

运筹学试卷及答案(2)

运筹学试卷及答案(2)一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共20分)1．线性规划闯题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加___的方法来产生初始可行基。

2．线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、___和___。

3．原问题的第1个约束方程是“=”型，则对偶问题相应的变量是___变量。

4．求最小生成树问题，常用的方法有：避圈法和___。

5．排队模型M／M／2中的M，M，2分别表示到达时间为___分布，服务时间服从负指数分布和服务台数为2。

6．如果有两个以上的决策自然条件，但决策人无法估计各自然状态出现的概率，那么这种决策类型称为____型决策。

7．在风险型决策问题中，我们一般采用___来反映每个人对待风险的态度。

8．目标规划总是求目标函数的___信，且目标函数中没有线性规划中的价值系数，而是在各偏差变量前加上级别不同的____。

二、单项选择题(本大题共l0小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

多选无分。

9．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数非零的人工变量，表明该线性规划问题【】A．有唯一的最优解B．有无穷多最优解C．为无界解D．无可行解10．对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中【】A．b列元素不小于零B．检验数都大于零C．检验数都不小于零D．检验数都不大于零11．已知某个含10个结点的树图，其中9个结点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，则另一个结点的次为【】A．3B．2C．1D．以上三种情况均有可能12．如果要使目标规划实际实现值不超过目标值。

则相应的偏离变量应满足【】在基变量中仍含有13．在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目【】A．等于m+nB．等于m+n-1C．小于m+n-1D．大于m+n-114．关于矩阵对策，下列说法错误的是【】A．矩阵对策的解可以不是唯一的C．矩阵对策中，当局势达到均衡时，任何一方单方面改变自己的策略，都将意味着自己更少的赢得和更大的损失D．矩阵对策的对策值，相当于进行若干次对策后，局中人I的平均赢得或局中人Ⅱ的平均损失值【】A．28．—lC．—3D．116．关于线性规划的原问题和对偶问题，下列说法正确的是【】A．若原问题为元界解，则对偶问题也为无界解B．若原问题无可行解，其对偶问题具有无界解或无可行解c．若原问题存在可行解，其对偶问题必存在可行解D．若原问题存在可行解，其对偶问题无可行解17．下列叙述不属于解决风险决策问题的基本原则的是【】A．最大可能原则B．渴望水平原则C．最大最小原则D．期望值最大原则18．下列说法正确的是【】A．线性规划问题的基本解对应可行域的顶点也必是该问题的可行解D．单纯形法解标准的线性规划问题时，按最小比值原则确定换出基变量是为了保证迭代计算后的解仍为基本可行解三、多项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共l0分)在每小题列出的四个备选项中至少有两个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

历年运筹学考研试题及答案

历年运筹学考研试题及答案试题：一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 线性规划问题的标准形式是：A. 所有变量非负B. 目标函数为最小化C. 约束条件为等式D. 所有变量非负，约束条件为等式和不等式2. 在单纯形法中，如果某个非基变量的检验数为负，则：A. 该变量不能进入基B. 该变量可以进入基C. 该变量必须进入基D. 以上都不对3. 对于运输问题，当供应量等于需求量时，我们称其为：A. 平衡运输问题B. 不平衡运输问题C. 线性运输问题D. 非线性运输问题4. 在动态规划中，最优子结构性质意味着：A. 问题的最优解包含子问题的最优解B. 问题的所有解都包含子问题的最优解C. 问题的一个解包含子问题的最优解D. 以上都不对5. 网络最大流问题中，Ford-Fulkerson算法的核心思想是：A. 寻找增广路径B. 寻找最短路径C. 寻找最长路径D. 寻找最小割二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述线性规划的几何意义及其在实际问题中的应用。

2. 解释什么是灵敏度分析，并说明其在解决线性规划问题中的作用。

三、计算题（每题15分，共30分）1. 假设有以下线性规划问题：Max Z = 3x + 4ySubject to:2x + y ≤ 6x + 2y ≤ 7x, y ≥ 0请用图解法找到该问题的最优解。

2. 给定一个网络流问题，网络中有三个节点A, B, C，以及三条边(A,B), (B, C), (A, C)，每条边的容量分别为10, 5, 8。

要求从节点A到节点C的最大流量。

使用Ford-Fulkerson算法求解。

四、论述题（每题20分，共20分）1. 论述动态规划与分治法在解决组合优化问题时的异同，并给出一个适合使用动态规划法解决的实际问题例子。

答案：一、单项选择题1. D2. C3. A4. A5. A二、简答题1. 线性规划的几何意义是在n维空间中寻找一个多边形的顶点，这个多边形由约束条件定义，而目标函数则定义了一个目标方向。

天津大学研究生运筹学B试题

天津大学研究生运筹学B 试题学院年级_________________ 姓名____________ 学号_____________ 成绩__________一、填空(25%)1. 无约束优化方法中下降类算法的一般步骤为__________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________。

无约束极值问题的DFP 法中每次的搜索方向P k =_____________________________________。

2. 一维搜索中黄金分割（0.618）法的基本思想是逐次缩小含_____________的区间，每次缩小所得区间长与上次区间长之比是_____________。

3．二次规划模型的一般形式（矩阵式）是__________________________________；它可用K －T 条件求解的条件是_____________________________________；可用K －T 条件求解时相应的线性规划模型（矩阵式）是：__________________________________________。

4. 多目标优化问题有效解(非劣解)的定义是：______________________________________________________________________________________。

))(,),((min 1x f x f V p Dx ∈−5．记多目标优化问题绝对最优解集为，有效解集为，弱有效解集为，单目标的最优解集为，若≠))(,),((min 1x f x f V p Dx ∈−*abR*paR*wpRif *iR*abRΦ，则上述4种解之间的关系是：_________________________________________________________________________。

考研运筹学真题及答案

考研运筹学真题及答案考研运筹学真题及答案考研运筹学是管理学专业的一门重要课程，也是考研中的一项难点。

为了帮助考生更好地备考运筹学，本文将介绍一些常见的考研运筹学真题及答案，供考生参考。

一、线性规划线性规划是运筹学中的重要概念，也是考研运筹学中的常见考点。

下面是一道典型的线性规划题目：题目：某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为3万元，每单位产品B的利润为4万元。

生产一个单位产品A需要1小时的人工时间和2小时的机器时间，生产一个单位产品B需要2小时的人工时间和1小时的机器时间。

公司每天可用的人工时间为8小时，机器时间为10小时。

问如何安排生产，使得利润最大化？解答：首先，设生产产品A的单位数为x，生产产品B的单位数为y。

根据题目中的条件，我们可以列出以下的约束条件：1x + 2y ≤ 8 （人工时间的约束条件）2x + 1y ≤ 10 （机器时间的约束条件）x ≥ 0 （产品A的非负约束条件）y ≥ 0 （产品B的非负约束条件）同时，我们需要定义一个目标函数，即利润的表达式。

根据题目中的条件，利润的表达式为：Max Z = 3x + 4y将约束条件和目标函数综合起来，我们可以得到线性规划问题的标准形式：Max Z = 3x + 4ys.t.1x + 2y ≤ 82x + 1y ≤ 10x ≥ 0y ≥ 0求解这个线性规划问题，可以使用单纯形法或者其他求解方法。

最终得到的解就是使得利润最大化的生产安排。

二、排队论排队论是运筹学中的另一个重要概念，也是考研运筹学中的考点之一。

下面是一道典型的排队论题目：题目：某银行有两个窗口，每个窗口的服务时间服从指数分布，服务率分别为μ1和μ2。

假设到达银行的客户服从泊松分布，到达率为λ。

求客户等待时间的期望。

解答：根据排队论的基本原理，客户等待时间的期望可以通过利用排队模型中的公式来计算。

在这个题目中，我们可以使用M/M/2模型来进行求解。

M/M/2模型是指到达过程和服务过程都服从泊松分布，且有两个服务通道。

天大2002年硕士研究生入学试题及答案

天津大学研究生院2002年招收硕士生入学试题答案二、1．⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1052/52/53/106/12/121211b b b b b B 又由δj =C j -C B B -1P j ，设⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-10263/10)(026/12/1)(042/12/1)(43211313132C C C C C C C C C C ⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛3/106/12/1012/12/110 ⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛2011023160 ∽⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛200122216∽⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛100112113初表：∴⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛1001121130对应得到a 11=0,a 12=1,a 13=2,a 21=3,a 22=-1,a 23=12．t 1变化，将影响各检验数的变化，检验各非基变量检验数，若δj ≤0，则最优解不变8603/10)610(006/12/1)610(002/12/1)610(21151412≤≤-⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=t t t t δδδ 3．t 2变化即b 变化，要使最优基不变则B -1b ≥0，因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3/106/12/11 B ，所以153/50)10(3/1)35(6/10)35(2/1010353/106/12/12222221≤≤-⇒⎩⎨⎧≥+++-≥+⇒≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-t t t t t t b B 三、解：设三种防寒服分别生产x 1,x 2,x 3件。

z 表示获得的利润,y 1,y 2,y 3分别表示0-1变量，y i =1表示做第x i 种防寒服（i=1,2,3）321321200150100131210max y y y x x x z ---++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤≤≤≤++≤++≤++≤++10,,0,,10000100001000030002.48.38.2400055.4410006.15.13.115009.18.16.1..321321332211321321321321或y y y x x x y x yx y x x x x x x x x x x x x x t s 四、（1）最大流量：2+3+3=8（2）{}{}()()()()(){}集中各弧的输送状况。

运筹学考研真题及答案

运筹学考研真题及答案运筹学考研真题及答案一、选择题1. 在线性规划中，若最优化问题的对偶问题有最优解，则原始问题也有最优解。

（正确）解析：线性规划理论中对偶定理：“若原始问题的对偶问题有可行解，且存在最优解，则原始问题也有最优解。

”2. 若在线性规划的单纯形法中，某一回路上的所有非基变量（非基变量为0）均为0，则这一问题无有限最优解。

（错误）解析：所有非基变量为0时，相应的基变量可以任意非负，问题有无穷多最优解。

3. 在线性规划中，若某元组在原始问题和对偶问题下都是可行解，则该元组是原始问题和对偶问题的最优解。

（错误）解析：若某元组在原始问题和对偶问题下都是可行解，则该元组满足原始问题的可行性和对偶问题的可行性，但并不一定是最优解。

4. 线性规划的最优性条件是原始问题的可行解和对偶问题的可行解所对应的目标函数值相等。

（正确）解析：线性规划理论中最优性条件：“若原始问题的可行解与对偶问题的可行解所对应的目标函数值相等，则解是原始问题和对偶问题的最优解。

”5. 线性规划的可行性要求约束条件为不等式约束。

（错误）解析：线性规划的可行性要求是所有约束条件都满足，包括等式约束和不等式约束。

二、填空题1. 与线性规划的相对论证法相对应的是（单纯形法）。

解析：线性规划的相对论证法和单纯形法是互为相对的两种求解方法。

2. 在线性规划中，若最优差异为0，则最优解是（非唯一）。

解析：最优差异为0意味着最优解是非唯一的，有多个最优解。

3. 线性规划的最优性条件是（对偶定理）与最优条件相对应。

解析：线性规划的最优性条件是对偶定理，而最优条件是原始问题的可行解和对偶问题可行解所对应的目标函数值相等。

4. 在线性规划中，若一个可行解在原始问题和对偶问题下都是最优解，则称为（互补性）条件。

解析：若一个可行解在原始问题和对偶问题下都是最优解，则满足互补性条件。

三、应用题1.某公司生产两种产品A和B，每个产品的制造工序及所需时间如下表，在一天内，公司有8小时的工时可用，每个工序只能由一名员工负责完成。

天大2002年运筹学硕士研究生入学考试试题

天津大学研究生院2002年招收硕士生入学试题考试科目：运筹学基础一、填空（20%）1．线性规划原问题中约束的个数与其对偶问题中的变量个数相等。

若原问题第j 个约束为等式，则对偶问题第j 个变量自由。

2．设线性规划问题max:{cx|Ax ≤bx ≥0}有最优解，且最优解值z>0；如果c 和b 分别被v>1所乘，则改变后的问题也有（也有、不一定有）最优解；若有最优解，其最优解大于 (大于、小于、等于)z 。

3．目标规划模型的一个主要特点是引入了偏差变量，模型的目标就是这些变量的极小（大还是小化），模型的约束中也要包括用这些变量表示的目标约束。

4．无权的连通图称为树。

求出右图网络的最小部分树（用粗线在图上标出），最小权和为 16 。

5．网络计划方法中关键路径法的实质是求网络图中耗时最长（长、短）的路径。

6．货船按泊松流到达某港口，平均到达率为每天50条，平均卸货率为μ。

又知船在港口停泊一天的费用为1货币单位，平均卸货费为2μ货币单位，则使总费用最少的平均卸货率μ*= 条/天。

7．矩阵对策的研究对象是对策问题。

它在纯策略意义下有解的充要条件是：该解是点；如果它在纯策略意义下无解，则它在意义下必有解。

二、（17%）已知线性规划问题max z = (c 1+t 1) x 1 + c 2x 2 + c 3x 3 + 0x 4 + 0x 5⎪⎩⎪⎨⎧⋯=≥+=++++=+++)51(03..225323222112214313212111，，j x t b x x a x a x a t b x x a x a x a t s j当t 1=t 2=0时，用单纯形法求得最终表如下：X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 3 5/2 01/2 1 1/2 0 X 1 5/2 1 -1/2 0 -1/6 1/3 C j -Z j442要求：1.确定c 1,c 2,c 3,b 1,b 2,a 11,a 12,a 13,a 21,a 22,a 23的值；2．当t 2=0时，t 1在什么范围内变化上述最优解不变； 3．当t 1=0时，t 2在什么范围内变化上述最优基不变。

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及详解

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及详解试题部分一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,e ,0,2arcsine 1)(2tan x a x xx f xx在0=x 处连续，则=a ______．（2）位于曲线xxey -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件10==x y，21|0='=x y 的特解是______．（4）++++∞→n n n n π2cos 1πcos 1[1lim=++]πcos 1nn Λ______．（5）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（）（A ）－1．（B ）0.1．（C ）1．（D ）0.5．（2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）（A ）.d )(20t t f x⎰（B ）.d )(20t t f x⎰（C ）.d )]()([0t t f t f t x--⎰（D ）.d )]()([0t t f t f t x-+⎰（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程xqy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)()1ln(2x y x +的极限（）（A ）不存在．（B ）等于1．（C ）等于2．（D ）等于3．（4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（）（A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0='+→x f x（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0='+→x f x（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（）（A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关．（B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关．（C ）321,,ααα21,ββk +线性无关．（D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分7分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)1e (e,01,232)(22x x x x x x f x x求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式．五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim ,0)(=>+∞→x f x f x ，且满足,e ))()((lim 110x hh x f hx x f =+→ 求)(x f ．六、（本题满分7分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？八、（本题满分8分）设),2,1()3(,3011Λ=-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．九、（本题满分8分）设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222十、（本题满分8分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．十一、（本题满分6分）已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵．（1）证明：矩阵E A 2-可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ．十二、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．详解部分一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,e ,0,2arcsine 1)(2tan x a x xx f xx在0=x 处连续，则=a ______．【答案】2-【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若函数)(x f 在0x x =处连续，有)()(lim )(lim 00x f x f x f x x x x ==+-→→解析：tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin22x x x x e xf x x x+++→→→--=-== 20lim ()lim ,(0),xx x f x ae a f a --→→===()f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +-⇔==即 2.a =- （2）位于曲线xxe y -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．【答案】1【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★【详解】解析：所求面积为1)(00=-=+-=-==+∞-∞+-+∞--∞+∞+-⎰⎰⎰xx xx xedx e xee xd dx xe S ．其中，()01lim lim lim =--=-+∞→+∞→-+∞→xx xx xx e e x xe洛必达.（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件10==x y，21|0='=x y 的特解是______．【答案】y =【考点】可降阶的高阶微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：可降阶的高阶微分方程,若缺x ，则令dydp py p y =''=',. 解析：方法1：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=.以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =+y =再以初值代入，1=""+且21C =.于是特解y =方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====. 原方程20yy y '''+=化为20dp ypp dy +=，得0p =或0dpy p dy+= 0p =即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之，由0dp yp dy +=按分离变量法解之，得1.C y 由初始条件11,'002y y x x ====可将1C 先定出来：1111,212C C ==.于是得12dy dx y =,解之，得22,y x C y =+=以01x y ==代入，得1=，所以应取“+”号且21C =.于是特解是y =（4）++++∞→n n n n π2cos 1πcos 1[1lim=++]πcos 1nn Λ______．【考点】定积分的概念【难易度】★★★【详解】解析：记1n u n =11n i n == 所以011lim lim n n n n i u n →∞→∞===⎰11coscos22xxdx dx ππ===⎰12sin2x πππ==.（5）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．【答案】4【考点】矩阵的特征值的计算【难易度】★★【详解】解析：22222220222222E A λλλλλλλλ-=--=--200011(4)222λλλλλ==--故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0λ=(二重)）二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（）（A ）－1．（B ）0.1．（C ）1．（D ）0.5．【答案】D【考点】导数的概念、复合函数的求导法则【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①dy 为y ∆的线性主部； ②)()]([))]([(x g x g f x g f ''='；解析：在可导条件下，0()x x dyy x o x dx=∆=∆+∆.当00x x dy dx =≠时0x x dyx dx =∆称为y ∆的线性主部，现在2()2dyx f x x x dx'∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-代入得(1)0.2dyx f dx'∆=⨯，由题设它等于0.1，于是(1)0.5f '=，应选（D ）. （2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）（A ）.d )(20t t f x⎰（B ）.d )(20t t f x⎰（C ）.d )]()([0t t f t f t x--⎰（D ）.d )]()([0t t f t f t x-+⎰【答案】D【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】解析：[()()]t f t f t +-为t 的奇函数，[()()]xt f t f t dt +-⎰为x 的偶函数，（D ）正确，（A ）、（C ）是x 的奇函数，（B ）可能非奇非偶.例如()1f t t =+，均不选.（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程xqy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)()1ln(2x y x +的极限（）（A ）不存在．（B ）等于1．（C ）等于2．（D ）等于3．【答案】C【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式【难易度】★★【详解】解析：方法1：220000ln(1)222limlim lim lim 2()()()()1x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+==='''洛洛方法2：由(0)(0)0,(0)1y y y '''===.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有22()00()2x y x o x =+++，代入，有222000222ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x→→→+==++=. （4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（）（A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0='+→x f x（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0='+→x f x【答案】B【考点】导数的概念【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：排斥法（A ）的反例21()sin ,f x x x =它有界，221()sin 2cos ,lim ()0x f x x x f x x→+∞'=-+=，但lim ()x f x →+∞'不存在.(C)与(D)的反例同（A ）的反例.0lim ()0x f x →+=,但0lim ()10x f x →+'=≠，（C ）不成立；0lim ()10x f x →+'=≠，（D ）也不成立.（A ）、（C ）、（D ）都不对，故选（B ）．方法2：证明（B ）正确.设lim ()x f x →+∞'存在，记为A ，求证0A =.用反证法，设0A ≠.若0A >，则由保号性知，存在00x >，当0x x >时()2Af x '>,在区间0[,]x x 上对()f x 用拉格朗日中值定理知,有00000()()()()()(),.2Af x f x f x x f x x x x x ξξ'=+->+-<<,x →+∞，从而有()f x →+∞，与()f x 有界矛盾.类似可证若0A <亦矛盾.（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（）（A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关．（B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关．（C ）321,,ααα21,ββk +线性无关．（D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．【答案】A【考点】向量的线性表示【难易度】★★★【详解】解析：方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关.用反证法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出.设12112233k ββλαλαλα+=++,因已知1β可由123,,ααα线性表出，设为1112233l l l βααα=++代入上式，得2111222333()()()l l l βλαλαλα=-+-+-这和2β 不能由123,,ααα线性表出矛盾.故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关，应选（A ）.方法2：用排除法取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，排除（B ）.取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，排除（C ）.0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立（证法与方法1类似，当1k =时，选项（A ）、（D ）向量组是一样的，但结论不同，其中（A ）成立，显然（D ）不成立.）排除（D ）.三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线与法线的直角坐标方程．【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①切线方程：)(000x x y y y -'=- ②法线方程：)(1000x x y y y -'-=- 解析：极坐标曲线1cos r θ=-化成直角坐标的参数方程为(1cos )cos (1cos )sin x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩ 即2cos cos sin cos sin x y θθθθθ⎧=-⎨=-⎩ 曲线上6πθ=的点对应的直角坐标为31,,42- 22666cos sin cos 1.sin 2cos sin dy dyd dx dxd ππθθπθθθθθθθθθ===+-===-+于是得切线的直角坐标方程为13()24y x -=-，即504x y -=法线方程为113()(()),24124y x --=---即104x y +-=. 四、（本题满分7分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)1e (e ,01,232)(22x x x x x x f x x求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式．【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数【难易度】★★★ 【详解】解析：当10x -≤<时2233213111()(2)().12222xx F x t t dt t t x x -=+=+=+--⎰ 当01x ≤<时，011()()()()xxF x f t dt f t dt f t dt --==+⎰⎰⎰23200000111()12(1)2(1)11021121111ln(1)ln(1)ln 202121t x x t t tx x t t x tt x x x te t t dt tde e x t dt xe dt e e e e x x x e e e e ----=++=---++=--+=--+++++=---+=---++++⎰⎰⎰⎰所以3211,1022()1ln ln 2,01112xx x x x x F x e x x e e ⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪-+-≤<⎪++⎩当当五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim ,0)(=>+∞→x f x f x ，且满足,e ))()((lim 110x hh x f hx x f =+→ 求)(x f ．【考点】导数的概念、一阶线性微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：e =∆+∆→∆10)1(lim ；∆-∆+='→∆)()(lim)(0x f x f x f ，其中∆可以代表任何形式；解析：11()ln h ()()()f x hx hf x f x hx ef x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭，001()1()()lim ln lim ln(1)()()h h f x hx f x hx f x h f x h f x →→⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭001()()()()lim ln()lim ()()()()(),0.()h h f x hx f x x f x hx f x h f x f x f x x f x x f x →→+-+-=='=≠从而得到 1()1()0()lim ()xf x hf x x h f x hx e ef x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭由题设于是推得()1()xf x f x x '=，即 2()1()f x f x x '= 解此微分方程，得 11ln ()f x C x=-+ 改写成 1()xf x Ce-=再由条件lim ()1x f x →+∞=，推得1C =，于是得1().xf x e -=六、（本题满分7分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值与最小值【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：dx x fV bax ⎰=)(2π解析：一阶线性微分方程21y y x'-=-，由通解公式有 22[]dx dx x x y eedx C ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰=-+⎰221[]x dx C x =-+⎰221(),12x C x Cx x x=+=+≤≤ 由曲线2y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2222131157()()523V x Cx dx C C ππ=+=++⎰,令6215()052dV C dC π=+=,得75.124C =- 又()0V C ''>，故75124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为275.124y x x =-七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？【考点】定积分的物理应用—压力【难易度】★★★★【详解】解析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元2dA xdy =，因此压力微元 2(1)dp gx h y dy ρ=+- 平板ABCD 上所受的总压力为 1102(1)hP gx h y dy ρ+=+-⎰其中以1x =代入，计算得 21P gh ρ=.抛物板AOB 上所受的总压力为 1202(1),P gx h y dy ρ=+-⎰其中由抛物线方程知x y =2124()315P g h ρ=+，由题意12:5:4P P =，即，251244()315h h =+ 解之得2h =（米）（13h =-舍去），即闸门矩形部分的高应为2m . 八、（本题满分8分）设),2,1()3(,3011Λ=-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．【考点】数列的极限【难易度】★★★【详解】解析：方法1：考虑（1）19(3)3343222n n n x x x ----==222933()4203322n n n x x x -+---==≤+ 所以132n x +≤（当1,2,n =L ），即32n x ≤（当2,3,n =L ），数列{}2,3,n x n =L 有上界32.再考虑（2）21n n n x x x --==0.=≥ 2,3,n =L .所以{}n x 单调增加.单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为.a(3)由1n x +a 2230,a a -=得32a =或0a =，但因0n x >且单调增，故0a ≠，所以3lim 2n n x →∞=.方法2：由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故)211130(3).22x x x *<≤+-= 设302k x <≤，则113(3).22k k k x x x +≤+-= 由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有302n x <≤.210.n n n x x x +≤=≥-所以{}n x 单调增，单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为a .再由1n x +=两边命n →∞取极限，得a =32a =或0a =，但因0n x >且单调增加，故0a ≠，所以32a =. 九、（本题满分8分）设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】解析：左、右两个不等式分别考虑先证左边不等式，方法1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.ln ln 1(ln ),0.x b ax a b b aξξξ=-'==<<<-而22112a b a bξ>>+. 其中第二个不等式来自不等式222a b ab +>（当0a b <<时），这样就证明了要证明的左边. 方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命222()()ln ln a x a x x a a x ϕ-=--+，有()0a ϕ=.22222124()()()a ax x a x x a x a x ϕ-'=-+++222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++（当0a x <<），而推知当0x a >>时()0x ϕ>，以x b =代入即得证明.再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命()ln ln ),x x a x aφ=---有()0a φ=，及21()0,x x φ'==<所以当0x a >>时，()0x φ<，再以x b =代入，便得ln ln ),b a b a-<-即ln ln b a b a -<-右边证毕.十、（本题满分8分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．【考点】无穷小的比较，洛必达法则【难易度】★★★【详解】解析：方法1：由题目，去证存在唯一的一组123,,λλλ,1232()(2)(3)(0)lim0h f h f h f h f L h λλλ→++-==由此知，分子极限应为0，由()f x 在0x =连续，于是推知，应有123 1.λλλ++= （1）由洛必达法则，1232()(2)(3)(0)limh f h f h f h f L h λλλ→++-=1230()2(2)3(3)lim 2h f h f h f h hλλλ→'''++= （2）分子的极限为1231230lim(()2(2)3(3))(23)(0)h f h f h f h f λλλλλλ→''''++=++，若不为0，则式（1）应为∞，与原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即 123230λλλ++= （3）对（2）再用洛必达法则，1231230()4(2)9(3)1lim(49)(0)22h f h f h f h L f λλλλλλ→''''''++''==++ 由(0)0f ''≠，故应有 123490λλλ++= （4）将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式11112320,149=≠由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 方法2：由佩亚诺余项泰勒公式2211()(0)(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 222(2)(0)2(0)2(0)(),f h f f h f h o h '''=+++2239(3)(0)3(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 代入1232()(2)(3)(0)0limh f h f h f h f hλλλ→++-=2123123123201(1)(0)(23)(0)(49)(0)2lim h f f h f h h λλλλλλλλλ→⎡'''++-++++++⎢=⎢⎢⎣2221122332()()()o h o h o h h λλλ⎤+++⎥⎦，上面[]中第二项极限为0，所以第一项中应有1231231231230490λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于系数行列式11112320,149=≠ 由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 十一、（本题满分6分）已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵．（1）证明：矩阵E A 2-可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ．【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若有E AB =则称B A ,互逆.解析：（1）由题设条件124A B B E -=-两边左乘A ，得 24B AB A =- 即 24AB B A -=(2)4884(2)8A E B A E E A E E -=-+=-+ (2)(4)8A E B E E --=1(2)(4)8A EB E E --=得证2A E -可逆（且11(2)(4)8A EB E --=-）.(2) 方法1：由（1）结果知111(2)(4)8(4)8A E B E B E --⎡⎤-=-=-⎢⎥⎣⎦18(4)2A B E E -=-+1204003204120040120002004002B E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]3201001200104120010320100002001002001B E E ⎡--⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥-=-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦M0101200101201308013001008800110011000022⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦11044100130100880011002⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故 11104413(4)0881002B E -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦10208(4)2110002A B E E -⎡⎤⎢⎥=-+=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.方法2：由题设条件 124A B B E -=- 等式两边左乘A ，得 2(4)B A B E =-则12(4)A B B E -=-（求1(4)B E --过程见方法1）11044120120220131212001201308840020020041002⎡⎤-⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦08002014401104008002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 十二、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++知[][][]12341234,,,()3,,,,r r A r A r ααααβααααβ====M故Ax β=有解，且其通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解,因 123420,αααα=-+故 []123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系.又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是Ax β=的一个特解，故方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1TTk -+.（其中k是任意常数）方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =则线性非齐次方程为[]112233441234,,,x x x x x ααααααααβ+++==已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++将1232ααα=-代入上式，得12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-=由已知234,,ααα线性无关，上式成立当且仅当1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 取自由未知量3x k =，则方程组有解431321,,,23x x k x x k x k =====-+即方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（其中k 是任意常数）。

天津大学运筹学期末试卷回忆版(11-12第一学期)

天津大学运筹学期末试卷回忆版（11-12第一学期）
一、选择
a) 运筹学的定义技术……
b) M*N个变量 M+N-1个约束
c) 最小支撑树
d) 求鞍点
e) 1999年考研的那道期末复习的题是什么问题——背包问题
f) 智猪问题是什么问题——二人非零和对策问题
g) 报童模型收益/(收益+损失)
h) MMC模型的空闲率
i)影子价格为0的资源是否有剩余，机会成本和利润的关系（大于小于等于）；
j)排队论系统容量有限模型中的无法进入系统的概率
二、大题
第一题线性规划
1.求对偶模型并图解
2.为对偶添加松弛变量
3.利用对偶松弛性求一个满足制定条件的最优解
第二题存储论
先是模型1（不许缺货立即补充）后是模型3（允许缺货立即补充）求两方案的费用差
第三题网络工程给出了时间最短时间直接费用
1.给已经做好的图改错并用标记法标出关键路径
2.写出指定工序的最早开始，最早结束，最晚开始，最晚结束，
总时间差，自由时间差
3.给出了四个压缩方案，为哪个可行且费用最低
第四题决策问题——移民美国有无传染病
同书上拿到施工不施工，天气好坏的例题同类型，步骤完全一样。

（别忘了决策树）
第五题动态规划——题目二选一
1．根据题目的字母表示就是写出K S K X K v f等（就是书上写的那些）2. 离散型的资源分配问题3个物品分给ABC求最大收益
第六题 MM1模型的P N=(1-ρ) ρn证明。

天津大学考研运筹学832真题及解析（09-13）

天津⼤学考研运筹学832真题及解析（09-13）.2009~2013 年天津⼤学招收硕⼠学位研究⽣⼊学考试试题—832运筹学基础.⽬录天津⼤学招收2009年硕⼠学位研究⽣⼊学考试试题 (2)天津⼤学招收2010年硕⼠学位研究⽣⼊学考试试题 (8)天津⼤学招收2011年硕⼠学位研究⽣⼊学考试试题 (14)天津⼤学招收2012年硕⼠学位研究⽣⼊学考试试题 (19)天津⼤学招收2013年硕⼠学位研究⽣⼊学考试试题 (23)天津⼤学招收2009年硕⼠学位研究⽣⼊学考试试题共七题。

所有答案必须写在答题纸上，并写清楚题号，答案写在试题上⽆效。

⼀、单项选择题（共24分，每题3分）1、根据线性规划的互补松弛定理，影⼦价格⼤于零的资源⼀定剩余；安排⽣产的产品机会成本⼀定利润。

A、没有，⼩于B、没有，⼤于C、没有，等于D、有，等于2、⽬标线性规划模型的⼀个主要特点是引⼊了变量，模型的⽬标就是这些变量的极化。

A、正偏差，⼤B、负偏差，⼩C、正或负偏差，⼤D、正或负偏差，⼩3、线性规划模型中，若某⼀变量的⽬标函数系数发⽣变化，以下结果中不可能出现的是A、可⾏域改变B、可⾏域不变C、最优基不变，⽬标函数值改变D、最优基不变，⽬标函数值也不变4、将⾮平衡运输问题化为平衡运输问题，在表上相当于增加⼀个虚设的，在模型中相当于增加若⼲个变量A、产地，松弛B、销地，剩余C、产地或销地，松弛D、产地或销地，松弛或剩余5、⽹络最⼤流问题标号法的理论基础是： A、贝尔曼最优性原理B、K-T定理C、单纯性原理D、最⼤流最⼩截定理6、矩阵对策⼜称对策，它在纯策略意义下有解的充要条件是：该解为.A、⼆⼈有限，鞍点B、⼆⼈有限零和，鞍点C、⼆⼈有限零和，驻点D、⼆⼈有限零和，K-T点7、某⼈收益为x的效⽤为u(x)，若u(x)对x边际递减，则他对风险的态度是。

A、风险中⽴B、厌恶风险C、追求风险D、⽆法确定8、基于蒙特卡洛法的系统模拟技术主要适⽤于对系统进⾏模拟。

天津大学运筹学考研历年试题分类.docx

一、线性规划二、运输问题三、多目标规划四、动态规划五、图论六、网络计划技术七、决策论八、存储论九、排队论十、对策论十一、模拟技术一、线性规划(-)选择填空题 (二)线性规划建模(三)互补松弛应用(四)灵敏度分析(五〉证明題C B X B B-«b X] X2X3心X5 X6X22/501/10 01/513/10 0X610-1/2 19(1)初表的出基变虽为,进基变虽为(2)最优基逆訂=[](3)填完终表。

(4)最优解X* =⑸对偶问题最优解h =(6)若原问題増加一个新的非负变虽.则对偶问题的最优目标值将(变大、不变、变小) o (2007)解：1. （1）出基变坦：为2：进基变虽为X3。

『2 1 J—— 0510⑵沪= 1—0o5101-i 12(3)C B X B B-«b X】X：»X3X4 x5Xft1 x242/5 10 1/10 4/5 0-3 x351/5 0 1 3/10 2/5 00 11 1 00 -1/2 10 1Oj1/5 00 4/5 12/5 0⑷心（4 5 ll)r⑸y* =G 1 0)（6）变小1. 用图解法解线性规划时，以下几种情况中不可能出现的是（）。

A. 可行域（约束集合）有界，无有限最优解（或称无解界）B. 可行域（约束集合）无界，有唯一垠优解C. 可行域（约束集合）是空集，无可行解D. 可行域（约束集合）有界，有多重垠优解（2006）解：1. A2. 根据线性规划的互补松弛定理，安排生产的产品机会成本一定（）利润。

A. 小于B. 等于C.大于D. 大于等于（2006）解：2. B1. ____ 用大M法求解Max型线形规划时，人工变呈在目标函数中的系数均为，若最优解的________中含有人工变虽，则原问题无解。

（2005）解：1、-M 基变虽1. 设线性规划问題m ax&|4Y"xno｝有最优解x•和影子价格八则线性规划问题nwc&A|4r = bxno｝的最优解= _____________________ ,影子价格= _______________ 。

运筹学试题及答案4套汇总

《运筹学》试卷一一、（15分）用图解法求解下列线性规划问题二、（20分）下表为某求极大值线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表，、为松弛变量，试求表中到的值及各变量下标到的值。

-1311611 -2 002 -111/21/214 07三、（15分）用图解法求解矩阵对策，其中四、（20分）（1）某项工程由8个工序组成，各工序之间的关系为工序 a b c d e f g h —— a a b,c b,c,d b,c,d e 紧前工序试画出该工程的网络图。

（2）试计算下面工程网络图中各事项发生的最早、最迟时间及关键线路（箭线下的数字是完成该工序的所需时间，单位：天）五、（15分）已知线性规划问题其对偶问题最优解为，试根据对偶理论求原问题的最优解。

六、（15分）用动态规划法求解下面问题：七、（30分）已知线性规划问题用单纯形法求得最优单纯形表如下，试分析在下列各种条件单独变化的情况下，最优解将如何变化。

2-11 02311311111610-3-1-2（1）目标函数变为；（2）约束条件右端项由变为；（3）增加一个新的约束：八、（20分）某地区有A、B、C三个化肥厂向甲、乙、丙、丁四个销地供应同一种化肥，已知产地产量、销地需求量和各产地运往不同销地单位运价如下表，试用最小元素法确定初始调运方案，并调整求最优运输方案销地甲乙丙丁产量产地A 4 12 4 11 16B 2 10 3 9 10C 8 5 11 6 22 需求量8 14 12 14 48《运筹学》试卷二一、（20分）已知线性规划问题：（a）写出其对偶问题；（b）用图解法求对偶问题的解；（c）利用（b）的结果及对偶性质求原问题的解。

二、（20分）已知运输表如下：销地B1B2B3B4供应量产地A1 3 2 7 6 50A2 7 5 2 3 60A3 2 5 4 5 25需求量60 40 20 15（1）用最小元素法确定初始调运方案；（2）确定最优运输方案及最低运费。

一、单项选择题(共10分,每题2分) 二、填空题(共10 …

课程名称：管理运筹学课程编号：S209RC03 （A卷）学院名称：专业名称：班学号：姓名：
课程名称：管理运筹学课程编号：S209RC03 （A 卷）学院名称：专业名称：班学号：姓名：
B 三、计算与应用题（共68分）
1．（15分）有一个供需平衡的问题，供需表、单位运价表如下
供需平衡表单位运价表
B 1 B 2 B 3
需求量
1
B 2
B 3
A 1 12 8 9
A 1 A 2 A 3
20 30 50 A 2 7 4 3 供应量 25 50 25
100
A 3 6 5 2 （1）用最小元素法求一初始可行方案；
（2）判断初始可行方案是否最优？若不是，应如何调整？
2.（8分）某单位现有四名临时工，共同完成十项任务，不同临时工可完成不同任务的情况见表。

该单位考虑是否可辞去一名临时工，保证十项任务仍能得以完成。

请建立优化决策模型。

（不解）
临时工完成任务代码
张 1、2、3、4、7、8
王 1、2、8、9 李 4、5、6、10 杨
6、7、8、9、10
课程名称：管理运筹学课程编号：S209RC03 （A卷）学院名称：专业名称：班学号：姓名：
课程名称：管理运筹学课程编号：S209RC03 （A卷）学院名称：专业名称：班学号：姓名：
课程名称：管理运筹学课程编号：S209RC03 （A卷）学院名称：专业名称：班学号：姓名：。

天津大学研究生运筹学A 试题

天津大学研究生运筹学A 试题学院班级_________ ___ 姓名_____ _______ 学号___ __ _______ 成绩____________ 一、填空(15%)1. 设有线性规划问题[min]f =CX , X ∈D={X |AX =b , X ≥0}，有一可行基B (为A 中的前m 列)，记相应基变量为X B ，价格系数为C B ；相应于非基N 的非基变量为X N ，价格系数为C N ，则相应于B 的基本可行解为X =_____________，用非基变量来表示基变量的表达式为X B =___________，用非基变量表示目标函数的表达式为f =___________，B 为最优基的条件是_____________。

2. 某足球队要从1、2、3、4、5号五名队员中挑选若干名上场，令，请用x i 的线性表达式表示下列要求：(1) 若5号上场，则2号不上场：______ ________⎩⎨⎧=号不上场第号上场第i i x i 015,,1"=i ；(2) 只有3号上场，4号才上场：_________ __________。

3. 动态规划的研究对象是______ ______决策问题，其递推求解的理论基础是_____ _______最优性原理。

v 1v 2 v 3v 4 v 5v 6v 756347 35 632414. 求右图网络的最小部分树 (用粗线在图上标出)，最小权和为____________。

5. 运筹学中定量分析的一般过程用图示表示为：___________________________________________________________________________________。

二 (30%)、某电冰箱厂生产单、双门两种冰箱，每台所需组装时间、调试时间、销售收入及该厂的组装、调试能力如下表，电机每月进货最多50个（每台冰箱用1台电机），令x 1、x 2分别为单、双门冰箱的月产量。

天津大学运筹学与控制论考研资料含参考书及真题解析

天津大学运筹学与控制论考研资料（含参考书及真题解析）一本好的复习资料，可以帮助你在复习的道路上，走的更平稳，更顺利，大家在选择复习资料的时候要选择那种带解析的复习资料，千万不要选择那种只有试题和答案的资料，推荐天津考研网的《天津大学理学院数学专业(602数学分析+836高等代数)考研全套复习资料》首先这套资料中包含一些免费的视频帮助你分析这个专业、考试科目、重点对比、以及历年真题和答案解析。

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三、602数学分析+836高等代数考研历年真题解析1、天津大学602数学分析96－09、2011、2012、2013、2014、2015 年考研真题（2012 年为本站特约考生团队回忆，2013、2014、2015年为特约考生考场记录完整版，其余试卷均为原版，市场最全，全国独家推出，掌握最新试题动向先人一步），众所周知天大出题重复率高，一般多年的试题就是一个小题库，所以历年试题一定要仔细研究，通过多年试卷可总结出出题重点及思路；2、天津大学602数学分析01-06、08年考研试题参考答案，解决学生答题后勘误的困惑，本套答案为签约团队独家主创，保证极高正确率，市面上的答案基本都有错误或模糊不清，请同学认真分辨市面一些低价劣质的资料，以免耽误考研；3、天津大学602数学分析2009-2014年考研试题综合解析视频，由本院资深团队主创，视频格式（已加密，仅在购买者电脑中播放使用），光盘发送，对考研真题进行了详细讲解并做深度分析，总结出题规律，进行必要的答题技巧点拨，同时在关键时刻做考点预测，全国独家研发；4、天津大学836高等代数1996－2015年考研真题（2013年为本站特约考生团队回忆，2012、2014、2015年为特约考生考场记录完整版，其余试卷均为原版，市场最全，全国独家推出，掌握最新试题动向先人一步），众所周知天大出题重复率高，一般多年的试题就是一个小题库，所以历年试题一定要仔细研究，通过多年试卷可总结出出题重点及思路；5、天津大学836高等代数01-06、08、09年考研试题参考答案，解决学生答题后勘误的困惑，本套答案为签约团队独家主创，保证极高正确率，市面上的答案基本都有错误或模糊不清，请同学认真分辨市面一些低价劣质的资料，以免耽误考研；6、天津大学836高等代数2009-2014年考研试题综合解析视频，由本院资深团队主创，视频格式（已加密，仅在购买者电脑中播放使用），光盘发送，对考研真题进行了详细讲解并做深度分析，总结出题规律，进行必要的答题技巧点拨，同时在关键时刻做考点预测，全国独家研发；四、602数学分析+836高等代数考研参考书本科目考研参考书因版本问题较难收集，考虑到部分同学购买不便，天津考研网提供了参考书及配套习题集电子版供同学们参考使用，如需纸质版请于书店购买：1、《数学分析解题精粹》、《高等代数解题精粹》钱吉林，此套书为本团队推荐用书，公认的数学专业经典辅导书，供专业课成绩希望超过135的同学参考使用，仅提供电子版；2、考研指定参考书目复旦大学陈传璋等编《数学分析》课后习题答案；3、考研指定参考书目北京大学数学系主编《高等代数》课后习题答案；准备好参考书目和相关教材后，接下来要一边解析大纲一边进行复习了。

研究生运筹学考试题及其考试答案

一、解： 121284x x x +=⎧⎨=⎩ ⇒ 1242x x =⎧⎨=⎩ *243214Z =⋅+⋅= 1212233x x x x +=⎧⎨+=⎩ ⇒ 123212x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ *33192224Z =+⋅=二、（10分）证明：若ˆX 、ˆY 分别是原问题和对偶问题的可行解。

那么ˆˆ0s s YX Y X ==,当且仅当ˆX、ˆY 为最优解。

证明：min ,0,0S S S S max z CX Yb AX X b YA Y C X X Y Y ω==+=-=≥≥设原问题和对偶问题的标准关系是原问题对偶问题将原问题目标函数中的系数向量C 用C=Y A-YS 代替后，得到 z =(YA − YS )X =YAX − YSX将对偶问题的目标函数中系数列向量b ，用b =AX +XS 代替后，得到 w =Y (AX +XS )=YAX +YXSˆˆˆˆˆˆˆˆ;,4,4ˆˆ2152160,0S SSSY X 0,YX 0Yb YAX CX X Y CX YAX YbYXY X ======--==若则由性质（），可知是最优解。

又若分别是原问题和对偶问题的最优解，根据性质（），则有由（），（）式可知，必有三、1）（5分）写出下列线性规划问题的对偶问题123123123123123Min z x x 2x 2x 3x 5x 23x x 7x 3s.t x 4x 6x 5x ,x ,x 0=++++≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩解：123123123123123Max w 2y 3y 5y 2y 3y y 13y y 4y 1s.t 5y 7y 6y 2y 0,y ,y 0=++++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪≥≤⎩ 2）（5分）试写出下述非线性规划的Kuhn-Tucker 条件并求解2()(4)15Minf x x x =-≤≤解：先将该非线性规划问题写成以下形式212min ()(4)()10()50f x x g x x g x x ⎧=-⎪=-≥⎨⎪=-≥⎩写出其目标函数和约束函数的梯度：12()2(4),()1, ()1f x xg x g x ∇=-∇=∇=-对第一个和第二个约束条件分别引入广义拉格朗日乘子，设K-T 点为X*，则可以得到该问题的K-T 条件。

运筹学考研真题与答案

运筹学考研真题与答案运筹学是一门研究如何通过数学模型和优化方法来解决实际问题的学科。

它在现代管理、工程、经济等领域中扮演着重要的角色。

对于想要深入研究运筹学的学生来说，考研是一个很好的机会。

在这篇文章中，我将介绍一些运筹学考研的真题和答案，希望能够对考生有所帮助。

首先，我们来看一道经典的线性规划问题。

题目如下：某公司有两种产品A和B，每种产品的生产时间分别为2小时和3小时。

产品A的利润为200元，产品B的利润为300元。

公司每天有16小时的生产时间可用，最多能生产产品A 4个单位，产品B 6个单位。

问如何安排生产，使得利润最大化？这是一个典型的线性规划问题，可以通过建立数学模型来解决。

我们可以设产品A的生产量为x，产品B的生产量为y。

根据题目中的限制条件，我们可以列出以下不等式：2x + 3y ≤ 16x ≤ 4y ≤ 6同时，我们还需要考虑到生产量不能为负数的限制条件：x ≥ 0y ≥ 0最终，我们的目标是最大化利润，即最大化200x + 300y。

综合以上条件，我们可以得到以下线性规划模型：Maximize 200x + 300ySubject to2x + 3y ≤ 16x ≤ 4y ≤ 6x ≥ 0y ≥ 0接下来，我们需要通过运筹学的方法来求解这个线性规划模型。

常见的方法有单纯形法、对偶理论、内点法等。

在考研中，单纯形法是最常用的方法。

通过单纯形法，我们可以得到最优解为x=4，y=4，利润最大化为200*4 + 300*4 = 2000元。

除了线性规划，运筹学考研中还会涉及到其他的优化问题，比如整数规划、非线性规划等。

这些问题的求解方法有时会更加复杂。

但是，通过建立适当的数学模型和运用适当的方法，我们仍然可以得到满意的解。

总结一下，运筹学考研真题与答案是帮助考生更好地了解运筹学的方法和应用的重要资源。

通过学习和掌握这些真题和答案，考生可以更好地应对考试，并在实际问题中灵活运用所学知识。