九上数学第22章二次函数测试题(新人教版含答案)
第二十二章 二次函数 单元试卷(含答案)人教版数学九年级上册
第二十二章二次函数单元试卷一、选择题1．已知抛物线y=―(x―1)2+4，下列说法错误的是（ ）A．开口方向向下B．形状与y=x2相同C．顶点(-1，4)D．对称轴是直线x=12．已知二次函数y=(x-1)2+h的图象上有三点A(0，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）A．y1=y2<y3B．y1<y2<y3C．y1<y2=y3D．y3<y1=y23．已知一个直角三角形两直角边长的和为10，设其中一条直角边长为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是（ ）A．y=-12x2+5x B．y=-x2+10x C．y=12x2+5x D．y=x2+10x4．函数y=a x2-1与y=ax(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．5．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=―112x2+23x+53，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）A．6m B．12m C．8m D．10m6．下表列出了函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解在（ ）x-2-1012y121-2-7A．1与2之间B．-2与-1之间C．-1与0之间D．0与1之间7．二次函数y=a x2+bx的图象如图所示，若一元二次方程a x2+bx―m=0有实数根，则m的取值范围是（ ）A．m≤3B．m≥3C．m≤―3D．m≥―38．在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现给以下结论：①abc<0；②c+2a<0；③9a―3b+c=0；④4ac―b2>0；⑤a―b≥m(am+b)（m为任意实数）．其中错误结论的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题时有最大值6，则a= ．9．y关于x的二次函数y=a x2+a2，在―1≤x≤1210．在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+2ax+a―1的图象经过四个象限，则a的取值范围为 ．11．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1）、B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c ≥﹣kx+m的解集是 ．12．如图是公园的一座抛物线型拱桥，建立坐标系得到函数y=―14x2，当拱顶到水面的距离为4米时，水面宽AB= 米.13．如图所示是某校一名女生在抛实心球时，实心球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，实心球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=―112x2+23x+53，则实心球推出的水平距离OA的长是 m．三、解答题14．已知二次函数的图象经过点(-1，8)，(0，1)，(2，1)．（1）求该二次函数的表达式．（2）求这个二次函数图象的顶点坐标．15．对于向上抛的物体，当空气阻力忽略不计时，有这样的关系式：h=v0t―12g t2（h是物体离起点的高度，v是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间），一学生以8m/s的初速度把小球向上抛出．（1）球抛出几秒时离起点的高度达到3m．（2）求小球离起点的最大高度．16．山西醋文化距今已有数千年的历史，山西醋以其独特的工艺和风味而著称，其中老陈醋名列山西四大名醋之首．某超市出售某品牌老陈醋，每瓶进价为4元，在销售过程中发现，月销售量y(瓶)与销售单价x (元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不少于6元，且不高于12元，其部分对应数据如下表所示：销售单价x(元)…789…月销售量y(瓶)…180016001400…（1）求y与x之间的函数关系式．（2）当该老陈醋销售单价定为多少元时，超市每月出售这种老陈醋所获利润最大？最大月利润为多少元？17．如图，二次函数y=a x2+bx+c的图象交x轴于A(―1，0)，B(2，0)，交y轴于C(0，-2).（1）求二次函数的解析式；（2）若点M为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点M运动过程中，四边形ACMB面积的最大值.（3）点P在该二次函数图象的对称轴上，且使|PB―PC|最大，求点P的坐标；18．如图，抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A(―1，0)，点B(3，0)，抛物线与y轴交于点C(0，-3)，点D为抛物线顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是BC下方异于点D的抛物线上一动点，若S△PBC=S△EBC，求此时点P的坐标；（3）点Q是抛物线上一动点，是否存在以点B、C、Q为顶点的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．答案1．C 2．A 3．A 4．B 5．D 6．D 7．D 8．B 9．2或 -610．0<a <111．﹣1≤x ≤312．813．1014．（1）解：设该二次函数的表达式为y =a x 2+bx +c (a ≠0){a ―b +c =8c =14a +2b +c =1解得：{a =73b =―143c =1∴该二次函数的表达式为y =73x 2-143x +1（2）解：y =73x 2-143x +1=73(x 2―2x)+1=73(x ―1)2-43∴顶点坐标为(1，-43)15．（1）解：h =8t ―12×10t 2=-5t 2+8t当h =3时，-5t 2+8t =3解得t 1=1，t 2=0.6答：球抛出0.6秒或1秒时离起点的高度达到3m ．（2）解：h =―5t 2+8t=-5(t 2-85t +1625-1625)=-5(t ―45)2+165则h 的最大值为165，答：小球离起点的最大高度为165m ．16．（1）解：设y 与x 的函数关系式为y =kx +b{7k +b =18008k +b =1600解得：{k =―200b =3200所以y 与x 的函数关系式为y =―200x +3200（2）解：设每月出售这种老陈醋所获利润w 元．w =(x ―4)(―200x +3200)=-200x 2+4000x ―12800=-200(x ―10)2+7200∵-200<0， 6≤x ≤12∴当x =10时，w 最大为7200答：当该老陈醋销售单价为10元时，超市每月出售这种老陈醋所获利润最大，最大月利润为7200元17．（1）解：将A(―1，0)，B(2，0)，C(0，-2)代入y =a x 2+bx +c ，∴{a ―b +c =04a +2b +c =0c =―2，解得{a =1b =―1c =―2，∴y =x 2―x ―2（2）解：连接BC ，过点M 作MN ∥y 轴交BC 于点N ，∵B(2，0)，C(0，-2)，∴直线BC 的解析式为y =x ―2，设M(t ，t 2―t ―2)，则N(t ，t ―2)，∴MN =t ―2―(t 2―t ―2)=―t 2+2t ， ∴S △BCM =12×2×(-t 2+2t)=―t 2+2t ，∵S △ABC =12×3×2=3，∴S 四边形ACMB =3-t 2+2t =―(t ―1)2+4， 当t =1时，四边形ACMB 的面积最大值为4，此时M(1，-2)．（3）解：∵y =x 2―x ―2=(x ―12)2-94，∴抛物线的对称轴为直线x =12，作C 点关于对称轴的对称点C '，连接B C '并延长与对称轴交于点P ，∵CP =C 'P ，∴|PB ―PC|=|PB ―P C '|≤B C '，此时|PB ―PC |有最大值，∵C(0，-2)，∴C '(1，-2)，设直线B C '的解析式为y =kx +m ，∴{k +m =―22k +m =0，解得{k =2m =―4，∴y =2x ―4，∴P(12，-3)18．（1）由题意得：{a ―b +c =0c =―39a +3b +c =0，解得{a =1b =―2c =―3，故抛物线的表达式为y =x 2―2x ―3；（2）在x 轴上取点H ，使BH =BE =2，过点H (5，0)作BC 的平行线交抛物线于点P ，则点P 为所求点，理由：点H、E和直线BC的间隔相同，则到BC的距离相同，故SΔPBC=SΔEBC，设直线BC的表达式为y=mx+n，则{n=―33m+n=0，解得{m=1n=―3，故直线BC的表达式为y=x―3，∵PH//BC，故设PH的表达式为y=x+s，将点H的坐标代入上式并解得s=―5，故直线PH的表达式为y=x―5，联立{y=x2―2x―3y=x―5解得{x=2y=―3（不合题意的值舍去），故点P的坐标为(2，-3)；（3）当∠CBQ=90°时，∵直线BC的表达式为y=x―3，设直线BQ的解析式为y=―x+t，∵把B(3，0)代入得―3+t=0，，解得t=3，∴直线BQ的解析式为y=―x+3．联立{y=―x+3y=x2―2x―3，x2―x―6=0解得：x=3（舍去）或x=―2，当x=―2时，y=5，∴Q1(-2，5)；当∠BCQ=90°时，设直线CQ的解析式为y=―x+m，把C(0，-3)代入得0+s=―3解得s=―3，∴直线CQ的解析式为y=―x―3．联立{y=―x―3y=x2―2x―3，x2―x=0解得：x=1或x=0（舍去），当x=1时，y=―4，∴Q2(1，-4)；当∠BQC=90°时，设Q(n，n2―2n―3)设BQ的解析式为y=k1x+b则{3k1+b=0k1n+b=n2―2n―3解得k=n2―2n―3n―3设CQ的解析式为y=k2x+b则{b=―3k2n+b=n2―2n―3解得k2=n―2∵∠BQC=90°∴k1k2=-1，即n2―2n―3n―3⋅(n―2)=-1化简得n2―n―1=0，解之得n1=1+52，n2=1-52∴Q3(1+52，-5-52)，Q4(1-52，-5+52)．综上所述，ΔBCQ为直角三角形时，点Q的坐标为：(1，-4)或(2，5)或(1+52，-5-52)或(1-52，-5+52)。
人教版(2024)数学九年级上册第二十二章 二次函数 单元测试(含答案)
第二十二章二次函数一、选择题1. 关于二次函数y=x2与y=−x2的图象，下列说法错误的是( )A．对称轴都是y轴B．顶点都是坐标原点C．与x轴都有且只有一个交点D．它们的开口方向相同2. 如图，关于抛物线y=(x−1)2−2，下列说法错误的是( )A．顶点坐标为(1,−2)B．对称轴是直线x=1C．开口方向向上D．当x>1时，y随x的增大而减小3. 将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( )A．y=3(x+2)2+3B．y=3(x−2)2+3C．y=3(x+2)2−3D．y=3(x−2)2−34. 如图是二次函数y=−x2+2x+4的图象，使y≤4成立的x的取值范围是( )A ． 0≤x ≤2B ． x ≤0C ． x ≥2D ． x ≤0 或 x ≥25. 一抛物线的形状、开口方向与 y =12x 2−2x +3 相同，顶点为 (−2,1)，则此抛物线的解析式为 A ． y =12(x−2)2+1 B ． y =12(x +2)2−1 C ． y =12(x +2)2+1D ． y =12(x +2)2−16. 心理学家发现：学生对概念的接受能力 y 与提出概念的时间 x (min) 之间是二次函数关系，当提出概念 13 min 时，学生对概念的接受能力最大，为 59.9；当提出概念 30 min 时，学生对概念的接受能力就剩下 31，则 y 与 x 满足的二次函数表达式为 ( )A ．y =−(x−13)2+59.9B ．y =−0.1x 2+2.6x +31C ．y =0.1x 2−2.6x +76.8D ．y =−0.1x 2+2.6x +437. 已知点 (−1,y 1)，(−312,y 2)，(12,y 3) 在函数 y =3x 2+6x +12 的图象上，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系为 ( ) A ． y 1>y 2>y 3B ． y 2>y 1>y 3C ． y 2>y 3>y 1D ． y 3>y 1>y 28. 在某建筑物上从 10 m 高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，如图所示，如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m ，离地面403 m ，则水流落在点 B 与墙的距离 OB 是 ( )A ． 2 mB ． 3 mC ． 4 mD ． 5 m9. 二次函数 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的大致图象如图所示，顶点坐标为 (−2,−9a )，下列结论：① 4a +2b +c >0；② 5a−b +c =0；③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1<x2，则−5<x1<x2<1；④若方程∣ax2+bx+c∣=1有四个根，则这四个根的和为−4．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题10. 如果y=(m2−1)x m2−m是二次函数，则m=．11. 若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx的函数值为．12. 若抛物线y=x2−2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为．13. 如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−3,−6)，点B(1,−2)，则关于x的不等式ax2+bx<mx+n的解集为．14. 如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，那么一元二次方程ax2+bx=0的根是．15. 已知抛物线：y=ax2+bx+c(a<0)经过A(2,4)，B(−1,1)两点，顶点坐标为(ℎ,k)，则下列正确结论的序号是．①b>1；②c>2；③ℎ>1；④k≤1．216. 物体自由下落的高度 ℎ（单位：m ）与下落时间 t （单位：s ）之间的关系是 ℎ=4.9t 2，有一个物体从 44.1m 高的建筑物上自由下落，到达地面需要s ．17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =13x 2 经过平移得到抛物线 y =13x 2−2x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为．三、解答题18. 已知二次函数 y =a (x−1)2+4 的图象经过点 (−1,0)．(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．19. 已知二次函数 y =x 2+4x +3．(1) 用配方法将二次函数的表达式化为 y =a (x−ℎ)2+k 的形式；(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数的图象；(3) 根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C(1,2)，且与直线y=x交于点B(32,32)；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P作PQ∥y轴交线段OB于点Q．(1) 求抛物线的解析式；(2) 当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；(3) 点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+3a−2(a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．(1) 当抛物线过原点时，求实数a的值；(2) ①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；(3) 当AB≤4时，求实数a的取值范围．22. 如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．(1) 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2) 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）(3) 为了施工方便，现需计算出点O，P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O，P之间的距离是多少？（请写出求解过程）23. 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1) 求y与x之间的函数表达式．(2) 当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？(3) 若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？24. 如图所示抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．(1) 求抛物线的解析式及其对称轴．(2) 点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长最小值．(3) 点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标．答案一、选择题1. D2. D3. A4. D5. C6. D7. C8. B9. B二、填空题10. 211. 612. m>113. x<−3或x>114. x1=−1，x2=315. ①②③16. 317. 9三、解答题18.(1) 把(−1,0)代入二次函数解析式得：4a+4=0，即a=−1，则函数解析式为y=−(x−1)2+4．(2) ∵a=−1<0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,4)，对称轴为直线x=1．19.(1) y=x2+4x+3=x2+4x+22−22+3 =(x+2)2−1.(2) 略(3) 当x<−2时，y随x的增大而减小，当x>−2时，y随x的增大而增大．（答案不唯一）20.(1) ∵抛物线顶点为C(1,2)，∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+2(a≠0)．∵点B(32,32)在抛物线上，∴32=a(32−1)2+2，∴a=−2，∴抛物线的解析式为y=−2(x−1)2+2，即y=−2x2+4x．(2) 设点P的坐标为(x,−2x2+4x)(0<x<32)，则点Q的坐标为(x,x)，∴PQ=−2x2+4x−x=−2x2+3x=−2(x−34)2+98，∵−2<0，∴当x=34时，PQ的长度取最大值，∴当PQ的长度为最大值时，点Q的坐标为(34,34)．(3) (12,12)21.(1) ∵点O(0,0)在抛物线上，∴3a−2=0，a=23．(2) ①对称轴为直线x=2；②顶点的纵坐标为−a−2．(3) （i）当a>0时，依题意，{−a−2<0,3a−2≥0.解得a≥23．（ii）当a<0时，依题意，{−a−2>0,3a−2≤0,解得a<−2．综上，a<−2或a≥23．22.(1) 以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax2，由题意知点A的坐标为(4,8)．∵点A在抛物线上，∴8=a×42，解得a=12，∴所求抛物线的函数解析式为：y=12x2．(2) 找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A，D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．(3) 由题意知点B的横坐标为2，∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为(2,2)，又∵点A的坐标为(4,8)，∴点D的坐标为(−4,8)，设直线BD的函数解析式为y=kx+b，∴{2k+b=2,−4k+b=8,解得：k=−1，b=4．∴直线BD的函数解析式为y=−x+4，把x=0代入y=−x+4，得点P的坐标为(0,4)，两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是4米．23.(1) y=300+30(60−x)=−30x+2100．(2) 设每星期的销售利润为W元，则W=(x−40)(−30x+2100)=−30(x−55)2+6750.所以当x=55时，W取最大值，为6750．所以每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6750元．(3) 由题意得(x−40)(−30x+2100)≥6480，解得52≤x≤58．当x=52时，销售量为300+30×8=540（件）；当x=58时，销售量为300+30×2=360（件）．所以若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．24.(1) ∵OB=OC，∴点B(3,0)，则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)=ax2−2ax−3a，故−3a=3，解得a=−1，故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3 ⋯⋯①，对称轴为：直线x=1．(2) ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=10，DE=1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点Cʹ(2,3)，则CD=CʹD，取点Aʹ(−1,1)，则AʹD=AE，故：CD+AE=AʹD+DCʹ，则当Aʹ，D，Cʹ三点共线时，CD+AE=AʹD+DCʹ最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=10+1+AʹD+DCʹ=10+1+AʹCʹ=10+1+13.(3) 如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，又∵S△PCB:S△PCA=12EB×(y C−y P):12AE×(y C−y P)=BE:AE,则BE:AE=3:5或5:3，则AE=52或32，即：点E的坐标为(32,0)或(12,0)，将点E，C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=−6或−2，故直线CP的表达式为：y=−2x+3或y=−6x+3 ⋯⋯②，联立①②并解得：x=4或8（不合题意已舍去），故点P的坐标为(4,−5)或(8,−45)．。
人教版数学九年级上册第二十二章 二次函数达标测试卷(含答案)
二次函数自我评估（本试卷满分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. y =2x ＋lB. y =（x ﹣l ）2﹣x 2C. y =5x 2D. y =22x 2. 在平面直角坐标系中，将二次函数y =x 2的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ） A. y =（x +3）2+1B. y =（x ﹣3）2﹣1C. y =（x +3）2﹣1D. y =（x ﹣3）2+13. 某抛物线的形状、开口方向与y =12x 2﹣4x +3相同，顶点坐标为（﹣2，1），则该抛物线的解析式为（ ） A ．y =12（x ﹣2）2+1 B ．y =12（x +2）2﹣1C ．y =12（x +2）2+1D ．y =-12（x +2）2+14. 二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，可知关于x 的方程ax 2+bx +c =0的所有根的积为（ ） A ．﹣4 B ．4 C ．﹣5 D ．5第4题图 第8题图 第9题图 第10题图 5. 关于二次函数y =3（x +1）2﹣7的图象及性质，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是x =1 B. 当x =﹣1时，y 取得最小值，且最小值为﹣7 C. 顶点坐标为（﹣1，7） D. 当x <﹣1时，y 随x 的增大而增大6. 某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x 元出售，可卖出（100﹣x ）件．若想获得最大利润，则售价x 应定为（ ）A ．35元B ．45元C ．55元D ．65元7. 一次函数y =bx +a （b ≠0）与二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D8. 板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动.如图是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A 处击出，落地前的点B 处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其解析式为y =132x 2+14x +1，则板球运行中离地面的最大高度为（ ）A. 1B.32C.83D. 49. 如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4 cm ，BC =8 cm ，动点P 从点A 出发，沿边AB 向点B 以1 cm/s 的速度移动（不与点B 重合），同时动点Q 从点B 出发，沿边BC 向点C 以2 cm/s 的速度移动（不与点C 重合）.当四边形APQC 的面积最小时，经过的时间为（ ） A. 1 s B. 2 s C. 3 s D. 4 s 10. 已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的顶点坐标是（﹣1，m ），与x 轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②关于x 的方程ax 2+bx +c ﹣m =2没有实数根；③3a +c ＞0.其中正确的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 抛物线y =x 2+2x +c 的对称轴是 . 12. 当a = 时，函数y =（a ﹣1）21a x＋x ﹣3是二次函数.13. 若二次函数y =x 2﹣4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则实数n = .14. 点P 1（1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y =﹣x 2+2x +c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 .15. 如图，将抛物线y 1=（x +1）2﹣3向右平移2个单位长度得到抛物线y 2，则阴影部分的面积为 .第15题图 第16题图16. 圆形喷水池中心O 处有一雕塑OA ，从点A 向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x 轴，O 为原点建立平面直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的C ，D 为水柱的落水点.已知雕塑OA 的高为116米，水柱最高点与OA 的水平距离为5米，落水点C ，D 之间的距离为22米，则喷出水柱的最大高度为 米．三、解答题（本大题共8小题，共66分）17.（6分）已知二次函数y =x 2﹣4x +c 的图象经过点（3，0）． （1）求该二次函数的解析式；（2）点P （4，n ）向上平移2个单位长度得到点P '，若点P ′落在该二次函数的图象上，求n 的值． 18.（6分）已知二次函数y =x 2-4mx +3m 2（m ≠0）．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴总有两个公共点； （2）若m>0，且两交点间的距离为2，求m 的值．19.（8分）购进一款防护PM 2.5的口罩，每件成本是5元，为了合理定价，投放市场试销，经调查可知，销售单价是10元时，每天的销量是50件，而销售单价每降低0.1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数解析式； （2）求出销售单价定为多少元时，每天的利润最大，并求出最大利润. 20.（8分）如图，抛物线y =2x 2+bx ﹣2过点A （﹣1，m ）和B （5，m ）． （1）求b 和m 的值；（2）若抛物线与y 轴交于点C ，求△ABC 的面积．第20题图 第21题图 21.（8分）如图，已知抛物线L 1：y 1=34x 2，将抛物线平移后经过点A （﹣1，0），B （4，0）得到抛物线L 2，与y轴交于点C．（1）求抛物线L2的解析式；（2）已知P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.（8分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点坐标为（2，7）．（1）求b，c的值；（2）已知点A，B落在抛物线上，点A在第二象限，点B在第一象限.若点B的纵坐标比点A的纵坐标大3，设点B的横坐标为m，求m的取值范围．23.（10分）图①是一座抛物线形拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均为24 m，在到点D的距离为6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m.以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O离水面的距离；（2）如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m．①求出其中一条钢缆抛物线的解析式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．①②①②第23题图第24题图24.（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，顶点为C（1，﹣1），E为对称轴上一点，D，F为抛物线上的点（点D位于对称轴左侧），且四边形CDEF为正方形．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，求正方形CDEF的面积；（3）如图②，连接DF，与CE交于点M，与y轴交于点N.若P为抛物线上一点，Q为直线BN上一点，且P，Q两点均位于直线DF下方，当△MPQ是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P的坐标．题报第②期 二次函数自我评估参考答案答案详解三、17. 解：（1）将（3，0）代入y =x 2﹣4x +c ，得9﹣12+c =0，解得c =3. 所以该二次函数的解析式为y =x 2﹣4x +3.（2）点P （4，n ）向上平移2个单位长度得到点P '（4，n +2）. 将P ′（4，n +2）代入y =x 2﹣4x +3，得16﹣16+3= n +2，解得n =1．18.（1）证明：令y =0，则x 2-4mx +3m 2=0（m ≠0）.因为Δ=（-4m ）2﹣4×3m 2=4m 2>0，所以方程x 2-4mx +3m 2=0（m≠0）有两个不等的实数根.所以无论m 取何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点. （2）解：解方程x 2-4mx +3m 2=0，得x 1=m ，x 2=3m .所以函数y =x 2-4mx +3m 2的图象与x 轴两个交点的坐标为（m ，0），（3m ，0）.因为m >0，两交点间距离为2，所以3m-m =2，解得m =1． 19. 解：（1）根据题意，得y =（x ﹣5）105050.1x -⎛⎫+⨯⎪⎝⎭=﹣50x 2+800x ﹣2750（5≤x ≤10）.所以每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数解析式是y =﹣50x 2+800x ﹣2750（5≤x ≤10）. （2）由（1），知y =﹣50x 2+800x ﹣2750=﹣50（x ﹣8）2+450.因为﹣50<0，5≤x ≤10，所以当x =8时，y 有最大值，最大值为450. 所以销售单价定为8元时，每天的利润最大，最大利润是450元．20. 解：（1）因为A （﹣1，m ），B （5，m ）是抛物线y =2x 2+bx ﹣2上的两点，所以对称轴为x=15222b -+-=⨯，得b =﹣8.所以抛物线的解析式为y =2x 2﹣8x ﹣2.将A （﹣1，m ）代入y =2x 2﹣8x ﹣2，得m =2+8﹣2=8.（2）令x=0，得y =﹣2，所以点C 的坐标为（0，﹣2）.所以OC =2. 因为A （﹣1，8），B （5，8），所以AB =6.所以S △ABC =12×6×（2+8）=30． 21. 解：（1）设抛物线L 2的解析式为y=34x 2+bx+c. 将A （﹣1，0），B （4，0）代入，得3041240b c b c ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，，解得943.b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以抛物线L 2的解析式为y=34x 294-x-3.（2）存在PD =2OC ． 理由：设P 239344a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，D 234a a ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以PD=223933444a a a ---=934a +，OC=3．由934a +=2OC=6，解得a=43或a=-4.所以点P 的坐标为41433⎛⎫ ⎪⎝⎭，-或（﹣4，18）． 22. 解：（1）因为抛物线y =﹣x 2+bx +c 的顶点坐标为（2，7），所以对称轴为x=()21b-⨯-=2，解得b =4.所以y =﹣x 2+4x +c.将（2，7）代入y =﹣x 2+4x +c ，得﹣4+8+c =7，解得c =3.所以b 的值是4，c 的值是3. （2）因为y =﹣x 2+4x +3的顶点坐标为（2，7），所以抛物线开口向下，对称轴为x =2.令x =0，得y =3，所以抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）.所以点（0，3）关于对称轴的对称点为（4，3）. 因为点A ，B 落在抛物线上，点A 在第二象限，点B 在第一象限，点B 的纵坐标比点A 的纵坐标大3，所以将y =6代入y =﹣x 2+4x +3，得﹣x 2+4x +3=6，解得x =1或x =3.所以m 的取值范围是0<m <1或3<m <4.第22题图（共享2021-2022学年第二学期答案页第8期大报第20期“专项五”3题答案） 23. 解：（1）由题意，得F （6，-1.5）. 设抛物线的解析式为y 1=a 1x 2.将F （6，-1.5）代入，得62·a 1=-1.5，解得a 1=124-. 所以抛物线的解析式为y 1=124-x 2.当12x =时，y 1=-6，所以桥拱顶部离水面的距离为6 m ． （2）①由题意，得右侧抛物线的顶点为（6，1）.设右侧抛物线的解析式为y 2=a 2（x-6）2+1.将H （0，4）代入，得a 2（0-6）2+1=4，解得a 2=112. 所以右侧抛物线的解析式为y 2=112（x-6）2+1. ②设彩带的长度为h m ，则h =y 2-y 1=112（x-6）2+1-2124x ⎛⎫-⎪⎝⎭=18x 2–x+4=18（x–4）2+2. 因为18>0，所以h 有最小值.当x=4时，h 取得最小值，为2.所以彩带长度的最小值是2 m ．24. 解：（1）设抛物线的解析式为y =a （x ﹣1）2﹣1.将A （﹣1，0）代入，得a =14，所以y =14x 2-12x -34.（2）如图①，过点F 作FR ⊥EC 于点R . 设F 2113424t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，则R 2113424t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1，，所以RC =2111424t t -+，RF =t ﹣1. 因为四边形CDEF 是正方形，所以RF =RC .所以2111424t t -+=t ﹣1.所以t =1（舍去）或t =5.所以F （5，3）.所以RF =4.所以CF 2=32.所以正方形CDEF 的面积是32. （3）令y=0，则14x 2-12x -34=0，解得x=-1或x=3.所以B （3，0）. 由（2）可得N （0，3），M （1，3），所以直线BN 的解析式为y =﹣x +3.设Q （m ，3﹣m ），如图②，过点Q 作QG ⊥DF 于点G ，作PT ⊥DF 于点T .因为△MPQ 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，所以MP =QM ，∠TMP +∠GMQ =90°，∠TMP +∠TPM =90°.所以∠TPM =∠GMQ .所以△MTP ≌△QGM .所以PT =MG ，MT =QG .所以PT =MG =m ﹣1，MT =QG =m.所以P （1﹣m ，4﹣m ）.因为点P 在抛物线上，所以4﹣m =14（1﹣m ）2-12（1﹣m ）-34，解得m =﹣2±因为m ＞0，所以m =﹣2+所以P (3--.所以当△MPQ 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形时，点P 的坐标为(3--．① ② 第24题图。
人教新版九年级数学上学期 第22章 二次函数 单元训练 ( 含答案)
第22章二次函数(hánshù)一．选择题（共14小题）1．下列各式中，一定是二次函数的有（）①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y＝﹣3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．A．1个B．2个C．3个D．4个2．对于抛物线y＝﹣2（x+5）2+4，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，4）B．开口向上，顶点坐标（5，4）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，4）D．开口向上，顶点坐标（﹣5，4）3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：x…0100400…y…2﹣22…则方程ax2+bx+4＝0的根是（）A．x1＝x2＝200 B．x1＝0，x2＝400C．x1＝100，x2＝300 D．x1＝100，x2＝5004．对于题目“一段抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确5．已知函数y＝，当y＝5时，x的值是（）A．6 B．﹣C．﹣或6 D．±或66．二次函数(hánshù)y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．7．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），则抛物线对应的函数解析式为（）A．y＝x2﹣2x+2 B．y＝x2﹣2x﹣2 C．y＝﹣x2﹣2x+1 D．y＝x2﹣2x+1 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20y﹣0.03﹣0.010.020.04 A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.209．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（）A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.410．设函数y＝x2+2kx+k﹣1（k为常数），下列说法正确的个数是（）（1）对任意实数k，函数与x轴有两个交点（2）当x≥﹣k时，函数(hánshù)y的值都随x的增大而增大（3）k取不同的值时，二次函数y的顶点始终在同一条抛物线上（4）对任意实数k，抛物线y＝x2+2kx+k﹣1都必定经过唯一定点A．1 B．2 C．3 D．411．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、B（0，0）、C（﹣3，y）、D（2，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）1A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定12．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a（1+x）2B．y＝a（1﹣x）2C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a 13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＜0；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y＝3x2B．y＝4x2C．y＝8x2D．y＝9x2二．填空题（共6小题(xiǎo tí)）15．二次函数y＝a（x+1）（x﹣4）的对称轴是．16．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m ＝．17．已知直线y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x＝1，那么这个二次函数的解析式是．18．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x（x＞0），十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是．19．如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是．20．如图，已知函数y＝与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P 的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+＝0的解为．三．解答题（共4小题）21．已知二次函数y＝﹣x2+x+（1）将y＝﹣x2+x+成y＝a（x﹣h）2+k的形式：（2）在坐标系中利用(lìyòng)描点法画出此抛物线x……y……（3）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．（4）将该抛物线在x上方的部分（不包含与x的交点）记为G，若直线y＝x+b与G只有一个公共点，则b的取值范围是．22．如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x+3）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，∠BAC＝45°．（1）求a的值；（2）点D为第三象限内抛物线上的一点，当△DAC的面积为3时，求D点的坐标．23．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y 元．（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？（2）如果商场销售这批衬衫要保证(bǎozhèng)每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点，（1）试求抛物线的解析式．（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）将直线y＝﹣x向上平移b个单位，所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，请求出b的取值范围．参考答案一．选择题（共14小题(xiǎo tí)）1．解：①y2＝2x2﹣4x+3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；②y＝4﹣3x+7x2，是二次函数；③y＝﹣3x+5，分母中含有自变量，不是二次函数；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x+6，是二次函数；⑤y＝ax2+bx+c，含有四个自变量，不是二次函数；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3，含有两个自变量，不是二次函数；⑦y＝m2x2+4x﹣3，含有两个自变量，不一定是二次函数．∴只有②④一定是二次函数．故选：B．2．解：∵抛物线y＝﹣2（x+5）2+4，∴抛物线的开口方向向下，顶点坐标为（﹣5，4）．故选：C．3．解：由抛物线经过点（0，2）得到c＝2，因为抛物线经过点（0，2）、（400，2），所以抛物线的对称轴为直线x＝200，而抛物线经过点（100，﹣2），所以抛物线经过点（300，﹣2），所以二次函数解析式为y＝ax2+bx+2，方程ax2+bx+4＝0变形为ax2+bx+2＝﹣2，所以方程ax2+bx+4＝0的根理解为函数值为﹣2所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+4＝0的根为x1＝100，x2＝300．故选：C．4．解：∵抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点∴①如图1，抛物线与直线相切，联立解析(jiě xī)式得x2﹣2x+2﹣c＝0△＝（﹣2）2﹣4（2﹣c）＝0解得：c＝1，当c＝1时，相切时只有一个交点，和题目相符所以不用舍去；②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上∴c的最小值＝2，但取不到，c的最大值＝5，能取到∴2＜c≤5又∵c为整数∴c＝3，4，5综上，c＝1，3，4，5，所以甲乙合在一起也不正确，故选：D．5．解：∵函数y＝，∴当x≤2时，x2﹣1＝5，得x1＝﹣，x2＝（舍去），当x＞2时，x﹣1＝5，得x＝6，故当y＝5时，x的值是或6，故选：C．6．解：由一次函数y＝ax+a可知(kě zhī)，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．7．解：A、y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，顶点坐标为（1，1），不合题意；B、y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，顶点坐标为（1，﹣3），符合题意；C、y＝﹣x2﹣2x+2＝﹣（x+1）2+3，顶点坐标为（﹣1，3），不合题意；D、y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，顶点坐标为（1，0），不合题意．故选：B．8．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故选：C．9．解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3.4，0），又抛物线的对称轴为：x ＝﹣1，∴另一个交点坐标为：（1.4，0），则方程的另一个近似根为1.4，故选：D．10．解：（1）△＝b2﹣4ac＝4k2﹣4k+4＝（2k﹣1）2+3＞0，故对任意实数k，函数与x轴有两个交点，符合题意；（2）函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣k，a＞1，故当x≥﹣k时，函数y的值都随x的增大而增大，符合题意；（3）函数的对称轴为：x＝﹣k，则顶点坐标为：（﹣k，﹣k2+k﹣1），故顶点在抛物线：y＝﹣x2﹣x﹣1上，k取不同的值时，二次函数y的顶点始终在同一条抛物线上，符合题意；（4）y＝x2+2kx+k﹣1＝x2+k（2x+1）﹣1，当x＝﹣时，y＝﹣，故对任意实数k，抛物线y＝x2+2kx+k﹣1都必定经过唯一定点，符合题意；故选：D．11．解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、B（0，0），则函数(hánshù)的对称轴为：x＝﹣1，x＝﹣3比x＝2离对称轴近，故y＞y2，1故选：C．12．解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．故选：A．13．解：（1）当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故①符合题意；（2）函数的对称轴为：x＝﹣＞﹣1，故b＞2a，故②符合题意；（3）ab同号，c＞0，故③不符合题意；（4）顶点纵坐标大于2，故＞2，故④符合题意；故选：C．14．解：设正方形的边长为2a，∴BC＝2a，BE＝a，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF∥CE，∵EG⊥AF，FH⊥CE，∴四边形EHFG是矩形，∵∠AEG+∠BEC＝∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠AEG＝∠BCE，∴tan∠AEG＝tan∠BCE，∴＝，∴EG＝2x，∴由勾股定理可知：AE＝x，∴AB＝BC＝2x，∴CE＝5x，易证：△AEG≌△CFH，∴AG＝CH，∴EH＝EC﹣CH＝4x，∴y＝EG•EH＝8x2，故选：C．二．填空题（共6小题(xiǎo tí)）15．解：令y＝a（x+1）（x﹣4）＝0，解得：x＝﹣1或x＝4，∴y＝a（x+1）（x﹣4）与x轴交与点（﹣1，0），（4，0）∴对称轴为：x＝＝．故答案为：x＝．16．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x轴有两个不同的交点，于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，解得，（m﹣）2＜，解得m＜或m＞．将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与Y轴交于交于另一点，这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，解得：m＝．故答案为：1或0或．17．解：直线y＝x﹣3中，令y＝0，求得x＝3；令x＝0，则y＝﹣3，∴A（3，0），B（0，﹣3），设二次函数(hánshù)的解析式为y＝ax2+bx+c，∵二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x＝1，∴，解得，∴这个二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3，故答案为y＝x2﹣2x﹣3．18．解：根据题意得：y＝10（x+1）2，故答案为：y＝10（x+1）219．解：作MG⊥DC于G，如图所示：设MN＝y，PC＝x，根据题意得：GN＝5，MG＝|10﹣2x|，在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2＝MG2+GN2，即y2＝52+（10﹣2x）2．∵0＜x＜10，∴当10﹣2x＝0，即x＝5时，y2最小值＝25，∴y最小值＝5．即MN的最小值为5；故答案为：5．20．解：∵P的纵坐标为1，∴1＝﹣，∴x＝﹣3，∵ax2+bx+＝0化为于x的方程ax2+bx＝﹣的形式，∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，∴x＝﹣3．故答案(dáàn)为：x＝﹣3．三．解答题（共4小题）21．解：（1）y＝﹣x2+x+＝（x2﹣2x）+＝（x2﹣2x+1﹣1）+＝（x﹣1）2+＝（x﹣1）2+2（2）列表得：用描点画图象得：（3）x＝﹣3时，y＝﹣5，x＝3时，y＝0当﹣3＜x＜1时，y随x的增大而增大，且x＝1时，y＝2故答案为：﹣5＜y≤2（4）整理得：x2＝3﹣2b当方程只有一个解时，即对应的两函数图象只有一个交点∴3﹣2b＝0，解得：b＝把x＝﹣1，y＝0代入y＝x+b，得b＝1把x＝3，y＝0代入y＝x+b，得b＝﹣3∴b≤﹣3时，直线(zhíxiàn)y＝x+b与G没有交点；﹣3＜b＜1时，直线y＝x+b与G有一个交点；1≤b＜时，直线y＝x+b与G有两个交点；b＝时，直线y＝x+b与G有一个交点，b＞，直线y＝x+b与G无交点．故答案为：﹣3＜b＜1或b＝22．解：（1）当y＝0时，a（x﹣1）（x+3）＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0），∵∠BAC＝45°，∴△OAC为等腰直角三角形，∴OC＝OA＝3，∴C（0，﹣3），把C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）（x+3）得﹣3＝a（0﹣1）（0+3），解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+3），即y＝x2+2x﹣3；（2）在y轴取点E使S△ACE＝3，过点E作AC的平行线交第三象限的抛物线于点D，如图，设E（0，t），∵×（﹣3﹣t）×3＝3，解得t＝﹣5，∴E（0，﹣5），易得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，解方程组得或，∴D点坐标为（﹣1，﹣4），（﹣2，﹣3）．23．解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，∵20+2x≥44，∴x≥12，∵y随x的增大(zēnɡ dà)而减小，∴当x＝12时，获利最大值1232；答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴x＝10或x＝20，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，当10≤x≤20时，y≥1200，答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元；24．解：（1）把B（﹣2，6），C（2，2）两点坐标代入得：，解这个方程组，得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣x+2＝（x﹣1）2+，∴顶点D（1，），∴△BCD的面积＝4×﹣×3×﹣×1×﹣×4×4＝3．（3）由消去y得到(dé dào)x2+x+4﹣2b＝0，当△＝0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）＝0，∴b＝，当直线y＝﹣x+b经过点C时，b＝5，当直线y＝﹣x+b经过点B时，b＝3，∵直线y＝﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，∴＜b≤3．内容总结（1）第22章二次函数一．选择题（共14小题）1．下列各式中，一定是二次函数的有（）①y2＝2x2﹣4x+3（2）（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元。
第22章 二次函数 初中数学人教版九年级上册单元检测(含答案)
检测内容：第二十二章二次函数得分________卷后分________评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数关系中，y是x的二次函数的是( C )A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝1 x2C．y＝50＋x2D．y＝(x＋2)(2x－3)－2x22．将二次函数y＝x2－2x－2化成y＝a(x－h)2＋k的形式为( B )A．y＝(x－2)2－2 B．y＝(x－1)2－3C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x－2)2－33．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是( D )A．－3 B．－1 C．2 D．34．将抛物线y＝2x2－1向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是( D )A．y＝2x2＋8x＋9 B．y＝2x2－8x＋9C．y＝2x2＋8x＋8 D．y＝2x2－8x＋85．对于二次函数y＝x2－6x＋11的图象，下列叙述正确的是( B )A．开口向下B．对称轴为直线x＝3C.顶点坐标为(－3，2) D．当x≥3时，y随x增大而减小6．已知函数y＝3x2－6x＋k(k为常数)的图象经过点A(0.8，y1)，B(1.1，y2)，C( 2 ，y3)，则有( C )A．y3>y2>y1B．y1>y2>y3C．y3>y1>y2D．y1>y3>y27．在平面直角坐标系中，直线y＝ax＋h与抛物线y＝a(x－h)2的图象不可能是( C )A B C D8．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，点C距灯柱AB的水平距离为1.6 m，点C距水平地面的距离为2.5 m，灯罩D距灯柱AB的水平距离为3.2 m，灯柱AB＝1.5 m，则灯罩D到水平地面的距离为( A )A．1.5 m B．1 m C．1.2 m D．1.4 m第8题图第9题图第10题图9．如图①，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图②所示，则边BC的长是( A )A ．33B ．30C ．35D ． 610．(遂宁中考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b 2＜4ac ；③2c ＜3b ；④a ＋b ＞m(am ＋b)(m ≠1)；⑤若方程|ax 2＋bx ＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的结论有( A )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题(每小题3分，共18分)11．如果抛物线y ＝(a －3)x 2－2有最低点，则a 的取值范围为____a ＞3____．12．(兰州中考)点A(－4，3)，B(0，k)在二次函数y ＝－(x ＋2)2＋h 的图象上，则k ＝__3__．13．已知二次函数y ＝－14(x －2)2＋5，y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围__x ≥2__． 14．如图，过点(0，1)且平行于x 轴的直线与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)图象的交点坐标为(1，1)，(3，1)，则不等式ax 2＋bx ＋c －1＞0的解集为__x ＜1或x ＞3__．第14题图 第15题图 第16题图15．(沈阳中考)如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长度为900 m (篱笆的厚度忽略不计)，当AB ＝__150__m 时，矩形土地ABCD 的面积最大．16．(黔东南州中考)如图，抛物线L 1：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴只有一个公共点A(1，0)，与y 轴交于点B(0，2)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L 2，则图中两个阴影部分的面积和为__2__．三、解答题(共72分)17．(6分)用配方法把二次函数y ＝12x 2－4x ＋5化为y ＝a(x ＋m)2＋k 的形式，并指出该函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y ＝12 x 2－4x ＋5＝12(x －4)2－3，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)18．(8分)(宁波中考)如图，已知二次函数y ＝x 2＋ax ＋3的图象经过点P(－2，3).(1)求a 的值和图象的顶点坐标；(2)若点Q(m ，n)在该二次函数的图象上，则：①当m ＝2时，求n 的值；②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围．解：(1)把点P(－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3中，得a ＝2，∴y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，∴顶点坐标为(－1，2)(2)①当m ＝2时，n ＝11；②点Q 到y 轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴－2＜m ＜2，∴2≤n ＜1119．(9分)已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋2m －1.(1)求证：二次函数的图象与x 轴总有交点；(2)若二次函数的图象与x 轴的一个交点为原点，求方程x 2－2mx ＋2m －1＝0的解． 解：(1)证明：∵Δ＝4m 2－4(2m －1)＝4m 2－8m ＋4＝4(m －1)2≥0，∴二次函数的图象与x 轴总有交点(2)把(0，0)代入y ＝x 2－2mx ＋2m －1得2m －1＝0，解得m ＝12，方程化为x 2－x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1，即方程x 2－2mx ＋2m －1＝0的解为x 1＝0，x 2＝120．(10分)如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是(0， 3 )，以点C 为顶点的抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 恰好经过x 轴上A ，B 两点．(1) 求A ，B ，C 三点的坐标；(2) 求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点D ，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位长度．解：(1)A ，B ，C 三点的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(2， 3 )(2)设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2＋ 3 ，代入点A 的坐标(1，0)，得a ＝－ 3 ，∴抛物线的解析式为y ＝－ 3 (x －2)2＋ 3(3)设平移后的抛物线的解析式为y ＝－ 3 (x －2)2＋k ，代入点D 的坐标(0， 3 )，得k ＝5 3 ，∴平移后的抛物线的解析式为y ＝－ 3 (x －2)2＋5 3 ，∴平移了5 3 － 3 ＝4 3 个单位长度21．(12分)(营口中考)某超市销售一款免洗洗手液，这款免洗洗手液的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价)，若设这款免洗洗手液的销售单价为x(元)，每天的销售量为y(瓶).(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，销售这款免洗洗手液每天的销售利润最大，最大利润为多少元？解：(1)由题意，得y ＝80＋20×20－x 0.5，∴y ＝－40x ＋880(x ＞16) (2)设每天的销售利润为w 元，则w ＝(－40x ＋880)(x －16)＝－40(x －19)2＋360，∵a ＝－40＜0，∴二次函数图象开口向下，∴当x ＝19时，w 有最大值，最大值为360元．答：当销售单价为19元时，销售这款免洗洗手液每天的销售利润最大，最大利润为360元22．(12分)(衢州中考)如图①是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24 m ，在距离点D6 m 的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5 m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．(1)求桥拱顶部O 离水面的距离；(2)如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．解：(1)根据题意可知点F的坐标为(6，－1.5)，可设拱桥侧面所在二次函数表达式为y1＝a1x2.将F(6，－1.5)代入y1＝a1x2有－1.5＝36a1，解得a1＝－124，∴y1＝－124x2，当x＝12时，y1＝－124×122＝－6，∴桥拱顶部O离水面高度为6 m(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6，1)，可设其表达式为y2＝a2(x－6)2＋1，将H(0，4)代入其表达式有4＝a2(0－6)2＋1，解得a2＝112，∴右边钢缆所在抛物线表达式为y2＝112(x－6)2＋1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为y3＝112(x＋6)2＋1；②设彩带的长度为L m，则L＝y2－y1＝112(x－6)2＋1－(－124x2)＝18x2－x＋4＝18(x－4)2＋2，∴当x＝4时，L最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2 m23．(15分)(眉山中考)如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(3，0)，点C坐标为(0，3).(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；(3)如图②，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－x2＋2x＋3(2)∵点B(3，0)，点C(0，3)，∴直线BC解析式为y＝－x＋3，如图，过点P作PH⊥x 轴于点H，交BC于点G,设点P(m ，－m 2＋2m ＋3)，则点G(m ，－m ＋3)，∴PG ＝(－m 2＋2m ＋3)－(－m ＋3)＝－m 2＋3m ，∵S △PBC ＝12 ×OB ×PG ＝12 ×3×(－m 2＋3m)＝－32 (m －32 )2＋278.∵0<m<3，∴当m ＝32 时，S △PBC 有最大值，此时点P(32 ，154) (3)存在N 满足条件，理由如下：∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，∴点A(－1，0).∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴顶点M 为(1，4).∵点M 为(1，4)，点C(0，3)，∴直线MC 的解析式为y ＝x ＋3.如图，设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ ⊥MC 于点Q, ∴点E(－3，0)，∴DE ＝4＝MD ，∴∠NMQ ＝45°.∵NQ ⊥MC ，∴∠NMQ ＝∠MNQ ＝45°，∴MQ ＝NQ ＝22MN.设点N(1，n)，∵点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离，∴NQ ＝AN ，∴NQ 2＝AN 2，∴(22 MN)2＝AN 2，∴(22|4－n|)2＝4＋n 2，∴n 2＋8n －8＝0，∴n ＝－4±2 6 ，∴存在点N 满足要求，点N 的坐标为(1，－4＋2 6 )或(1，－4－2 6 )。
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版(含答案)
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版（含答案）考试范围:全章综合测试 参考时间:120分钟 满分:120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.对于函数y ＝5x 2，下列结论正确的是（ ）A . y 随x 的增大而增大B . 图象开口向下C .图象关于y 轴对称D .无论x 取何值，y 的值总是正的 【答案】C .详解：a ＝5＞0，开口向上，对称轴为y 轴，在y 轴左侧，y 随x 的增大而减小，在y 轴的右侧， y 随x 的增大而增大，当x ＝0时，y ＝0. 故A 错，B 错，C 对，D 错，∴答案选C . 2.二次函数y ＝x 2－4x 的图象的对称轴是（ ）A . x ＝4B . x ＝－4C . x ＝－2D . x ＝2 【答案】D .详解：a ＝1，b ＝－4，由对称轴公式，对称轴为x ＝－2ba＝2，故选D . 3.二次函数y ＝2(x ＋1)2－3的图象的顶点坐标是（ ）A . (1，3)B . (－1，3)C . (1，－3)D .(－1，－3) 【答案】D .详解：知识点：抛物线的顶点式为y ＝a (x －h )2＋k ，顶点坐标为(h ，k ).4.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价. 若设平均每次降价的 百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A . y ＝2a (x －1) B . y ＝2a (1－x ) C . y ＝a (1－x 2) D . y ＝a (1－x )2 【答案】D .详解：第一次降价后的价格为a (1－x )元，第二次降价后的价格为a (1－x )2，故选D . 5.用配方法将函数y ＝x 2－2x ＋2写成y ＝a (x －h )2＋k 的形式是（ ）A . y ＝(x －1)2＋1B . y ＝(x －1)2－1C . y ＝(x －1)2－3D . y ＝(.x ＋1)2－1 【答案】A .详解：y ＝x 2－2x ＋2＝(x 2－2x ＋1)＋1＝(x －1)2＋1，故选A .6.把抛物线y ＝2x 2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，所得 的抛物线的函数表达式为（ ）A . y ＝2(x －1)2－2B . y ＝2(x ＋1)2－2C . y ＝－2(x －1)2－2D . y ＝－2(.x ＋1)2－2 【答案】C .详解：原抛物线的顶点为(0，0)，旋转180°后，开口向下，顶点为(0，0)，两次平移后的 顶点为(1，－2)，故答案为y ＝－2(x －1)2－2.7. 在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－14x2＋bx＋c的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（）A. y＝－14x2＋34x＋1 B. y＝－14x2＋34x－1C. y＝－14x2－34x＋1 D. y＝－14x2－34x－1【答案】A.详解：依题意，点B的坐标为(0，1)，点A的坐标为(4，0)，把A( 4，0)，B(0，1)代入y＝－14x2＋bx＋c，解得b＝34，c＝1，故选A.另法：由B(0，1)，可排除B、D，根据“左同右异”的规律，可排除C.8.抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点A(2，4)，若其顶点在第四象限，则a的取值范围为（）A. a＞4B. 0＜a＜4C. a＞2D. 0＜a＜2【答案】A.详解：把A(2，4)代入，得c＝4，∴y＝ax2－2ax＋4＝a(x－1)2＋4－a，顶点为(1，4－a)，∵顶点在第四象限，∴4－a＜0，∴a＞4.9.飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数解析式是y＝60t－32t2，飞机着陆至停下来共滑行（）A. 20米B. 40米C. 400米D. 600米【答案】D.详解：配方得y＝－32(t－20)2＋600，∴当t＝20时，y取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来.10. 如图，抛物线y＝－2x2＋mx＋n与x轴交于A、B两点. 若线段AB的长度为4，则顶点C到x轴的距离为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C.详解：令y＝0，得－2x2＋mx＋n＝0，解得x＝284m m n ±+.∴AB＝|x1－x2|＝282m n+=4，∴m2＋8n＝64.∴244ac ba-＝24(2)4(2)n m---＝288m n+＝8，故答案选C.二、填空题(每小题3分，共18分)11.抛物线y ＝2x 2－4的顶点坐标是___________. 【答案】(0，－4).详解：a ＝2，b ＝0，c ＝－4，开口向上，对称轴为y 轴，顶点为(0，－4).12. 若方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝－2，x 2＝4，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为______. 【答案】直线x ＝1. 详解：x ＝242-+＝1. 13.如图，抛物线y ＝a (x －2)2＋k (a 、k 为常数且a ≠0)与x 轴交于点A 、B 两点， 与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴与抛物线交于点D . 若点A 坐标为 (－2，0)，则OBCD的值为_________. 【答案】32.详解：抛物线的对称轴为x ＝2，C 在y 轴上，∴CD ＝4.又∵A (－2，0)，∴B (6，0)，∴OB ＝6. ∴6342OB CD ==. 14.如图，Rt △OAB 的顶点A (－2，4)在抛物线y ＝ax 2上，将Rt △OAB 向右 平移得到△O 1AB 1，平移后的O 1A 1与抛物线交于点P ，若P 为线段A 1O 1 的中点，则点P 的坐标为________. 【答案】P (2，2).详解：把A (－2，4)代入y ＝ax 2得a ＝1，∴y ＝x 2. ∵A (－2，4)，∴点A 1的纵坐标为4， ∵P 为O 1A 1的中点，∴点P 的纵坐标为2， 把y ＝2代入y ＝x 2，得x ＝±2. 取x ＝2，∴P (2，2).15.下列关于二次函数y ＝x 2－2mx ＋1(m 为常数)的结论： ①该函数的图象与函数y ＝－x 2＋2mx 的图象的对称轴相同； ②该函数的图象与x 轴有交点时，m ＞1；③该函数的图象的顶点在函数y ＝－x 2＋1的图象上；④点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)在该函数的图象上，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＜2m ，则y 1＜y 2· 其中正确的结论是________________(填写序号). 【答案】①③.详解：对于①，根据对称轴公式，两抛物线对称轴均为x ＝m ，故①正确； 对于②，Δ＝b 2－4ac ＝4m 2－4≥0，∴m ≥1或m ≤－1，故②错； 对于③，y ＝x 2－2mx ＋1的顶点为(m ，－m 2＋1)，显然③正确； 对于④，抛物线的开口向上，对称轴为x ＝m ，∵x 1＋x 2＜2m ，∴122x x +＜m ，P O 1A 1B 1又∵x1＜x2，∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，∴y1＞y2，故④错；综上，正确的有①③.16.如图，抛物线y＝x2＋2x与直线y＝2x＋1交于A、B两点，与直线x＝2交于点D，将抛物线沿着射线AB方向平移25个单位. 在整个平移过程中，点D经过的路程为___________.【答案】738.详解：平移前，D(2，8)，∴直线AB的解析式为y＝2x ＋1，∴抛物线沿射线AB方程平移25个单位时，相当于抛物线向右平移了4个单位，向上平移了2个单位. ∵原抛物线顶点为M(－1，－1)，平移后的顶点为M′(3，1)，平移后的抛物线为y＝(x－3)2＋1，此时D′(2，2)，直线MM′的解析式为y＝12x－12，平移过程中，抛物线的顶点始终在y＝12x－12上，设顶点为(a，12a－12)，－1≤a≤3，抛物线的解析式为y＝(x－a)2＋12a－12，当x＝2时，y＝(2－a)2＋12a－12＝a2－72a＋72，即在平移过程中，抛物线与直线x＝2的交点的纵坐标为y＝a2－72a＋72，∵y＝a2－72a＋72＝(a－74)2＋716，∴当a＝74时，点D到达最低点，此时D(2，716)当a＝3时，y＝(x－3)2＋1，此时D(2，2)；观察图形，可知点D的运动路径为D(2，8)→D(2，716)→D(2，2)，路径长为(8－716)＋(2－716)＝738.三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1) y＝x2－4x＋6；(2) y＝－4x2＋4x.【答案】(1) y＝x2－4x＋6＝x2－4x＋4＋2＝(x－2)2＋2，开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，2).(2) y＝－4x2＋4x＝－4(x2－x)＝－4(x2－x＋14－14)＝－4(x－12)2＋1，yxM‘MBAD2O开口向下，对称轴为x ＝12，顶点坐标为(12，1).18.(8分)二次函数的最大值为4，其图象的对称轴为x ＝2，且过点(1，2)，求此函数的解析式. 【答案】∵函数的最大值为4，图象的对称轴为x ＝2， ∴可设函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋4，把(1，2)代入，得：a (1－2)2＋4＝2，解得a ＝－2， ∴函数的解析式为y ＝－2(x －2)2＋4.19.(8分)二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 图象上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表： (1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的示意图，结合函数图象， 直接写出y ＜0时自变量x 的取值范围. 【答案】(1) 把(0，3)，(1，0)代入y ＝x 2＋bx ＋c ， 得：310c b c =⎧⎨++=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3；(2) 函数的图象如图所示，由图象，可知当1＜x ＜3时，y ＜0.20.(8分)二次函数的图象与直线y ＝x ＋m 交于x 轴上一点A (－1，0)， 图象的顶点为C (1，－4). (1)求这个二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x 轴交于另一点B ，与直线 y ＝x ＋m 交于另一点D ，求△ABD 的面积. 【答案】(1)∵图象的顶点为C (1，－4)，可设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2－4， 把(－1，0)代入，得：4a －4＝0，∴a ＝1. ∴抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－4， 即y ＝x 2－2x －3.(2)令y ＝0，得x 2－2x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3. ∴B (3，0). 把A (－1，0)代入y ＝x ＋m ，得m ＝1，∴y ＝x ＋1. 联立2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得1110x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩，∴D (4，5). ∵A (－1，0)，B (3，0)，∴AB ＝4，x… 0 1 2 3 … y … 3 0 －1 0 …yx123O∴△ABD 的面积S ＝12×4×5＝10.21.(8分)如图，抛物线y ＝－12x 2＋52x －2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C . (1)求△ABC 各顶点的坐标及△ABC 的面积；(2)过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D . 若点P 在线段AB 上以 每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在线 段CD 上以每秒1.5个单位长度的速度由点D 向点C 运动，问： 经过几秒时，PQ ＝AC ?【答案】(1)令y ＝0，得－12x 2＋52x －2＝0，得x 1＝1，x 2＝4. ∴A (1，0)，B (4，0).令x ＝0，得y ＝－2，∴C (0，－2).△ABC 的面积为S ＝12AB ·OC ＝12×3×2＝3.(2) 设经过t 秒后，PQ ＝AC . 则AP ＝t ，P (1＋t ，0) 抛物线的对称轴为x ＝2.5，∵C (0，－2)，∴D (5，－2). DQ ＝1.5t ，∴CQ ＝5－1.5t ，∴Q (5－1.5t ，－2).过P 作PH ⊥CQ 于H ，则PH ＝OC ，∵PQ ＝AC ，∴HQ ＝OA ＝1. 即|(1＋t )－(5－1.5t )|＝1，化简得|2.5t －4|＝1，解得t ＝2或65.所以，经过2秒或65秒时，PQ ＝AC .22. (10分)如图，有一面长为a m 的墙，利用墙长和30m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形 花圃，设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2. (1)当a ＝10时；①求S 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围； ②如果要围成面积为48m 2的花圃，AB 的长是多少m ? (2)求长方形花圃的最大面积.【答案】(1) ①AB ＝CD ＝x ，BC ＝30－3x ， ∴S ＝x (30－3x )＝－3x 2＋30x ， 由0＜BC ≤a ，得0＜30－3x ≤10，∴203≤x ＜10. ② 令S ＝48，得－3x 2＋30x ＝48，即x 2－10x ＋16＝0，H30－3xxxx解得：x ＝8或2(舍)，∴AB 的长为8m . (2) S ＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75， ∵0＜30－3x ≤a ，∴10－3a≤x ＜10.∵抛物线开口向下，对称轴为x ＝5，1°当10－3a≤5时，即a ≥15，此时当x ＝5时，S 取得最大值75；2°当10－3a＞5，即0＜a ＜15，此时S 随x 的增大而减小，则当x ＝10－3a 时，S 的最大值为10a －13a 2.答：当a ≥15时，长方形花圃的最大面积为75m 2；当0＜a ＜15，长方形花圃的最大面积为(10a －13a 2)m 2.23.(10分)某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间，两周内标价为10元/斤的某种水果，经过两次 降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同. (1)求该种水果每次降价的百分率；(2)①从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的 相关信息如表所示：已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x (天)的利润为y (元)， 求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大.②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果. 【答案】(1) 设该种水果每次降价的百分率为x ，依题意，得： 10(1－x )2＝8.1，解得x ＝0.1或1.9(舍去). 答：该种水果每次降价的百分率为10%.(2) ① 当1≤x ＜9时，第一次降价后的价格为10(1－10%)＝9(元)， ∴y ＝(9－4.1)(80－3x )－(40＋3x )＝－17.7x ＋352，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝1时，y 取得最大值为334.3(元)； 当9≤x ＜15时，第二次降价后的价格为8.1(元)，∴y ＝(8.1－4.1)(120－x )－(3x 2－64x ＋400)＝－3x 2＋60x ＋80＝－3(x －10)2＋380， 图象的开口向下，当x ＝10时，y 取得最大值为380(元)＞334.3(元).时间x (天) 1≤x ＜9 9≤x ＜15 售价(元/斤) 第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤) 80－3x 120－x 储存和损耗费用(元)40＋3x3x 2－64x ＋400综上，第10天时销售利润最大. ②7天.提示：当1≤x ＜9时，y ＝－17.7x ＋352≥330，解得x ≤220177， ∵x 为正整数，∴x ＝1；当9≤x ＜15时，y ＝－3(x －10)2＋380≥330，解得10－563≤x ≤10＋563， ∵x 为正整数，9≤x ＜15，∴x ＝9，10，11，12，13，14，共6天； 1＋6＝7，故一共有7天.24.(12分)直线y ＝kx ＋k ＋2与抛物线y ＝12x 2交于A 、B 两点(A 在B 的左侧). (1)直线AB 经过一个定点M ，直接写出M 点的坐标；(2)如图1，点C (－1，m )在抛物线上，若△ABC 的面积为3，求k 的值；(3)如图2，分别过A 、B 且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于点P ，求OP 的最小值. 【答案】(1) M (－1，2)；提示：y ＝k (x ＋1)＋2， 直线AB 过定点，令x ＋1＝0， 得y ＝2，∴定点为M (－1，2). (2) 过C 作CD ∥y 轴交AB 于D ，把C (－1，m )代入y ＝12x 2，得C (－1，12).把x ＝－1代入y ＝kx ＋k ＋2，得D (－1，2)， ∴CD ＝2－12＝32.联立2212y kx k y x =++⎧⎪⎨=⎪⎩，得x 2－2kx －(2k ＋4)＝0， 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a 、b 为上述方程的根， ∴a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4).∵△ABC 的面积为3，由铅垂法，得12CD (b －a )＝3，即12×32(b －a )＝3，∴b －a ＝4. 两边平方，得(a ＋b )2－4ab ＝16，∴(2k )2＋4(2k ＋4)＝16， 整理，得：k 2＋2k ＝0，解得k ＝0或－2. (3) 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a ≠b . 由(2)，a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4)，∴设直线P A 的解析式为y ＝px ＋q ，联立212y px qy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得 x 2－2px －2q ＝0，D∵P A 与抛物线只有唯一公共点，∴上述方程有两个相等的实数根(x 1＝x 2＝a )， 由根与系数的关系，得a ＋a ＝2p ，a ·a ＝－2q ，∴p ＝a ，q ＝－12a 2.∴直线P A 的解析式为y ＝ax －12a 2.同理，直线PB 的解析式为y ＝bx －12b 2.联立221212y ax a y bx b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得x ＝2a b +＝k ，y ＝2ab ＝－(k ＋2). ∴P (k ，－k －2).∴OP 2＝k 2＋(－k －2)2＝2k 2＋4k ＋4＝2(k ＋1)2＋2， 当k ＝－1时，OP 2.。
人教新版九年级上册数学第22章 《二次函数》单元测试卷【含答案】
人教新版九年级上册数学第22章《二次函数》单元测试卷一．选择题1．下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣32．函数y＝（m﹣n）x2+mx+n是二次函数的条件是（）A．m、n是常数，且m≠0B．m、n是常数，且m≠nC．m、n是常数，且n≠0D．m、n可以为任何常数3．若函数y＝a是二次函数且图象开口向上，则a＝（）A．﹣2B．4C．4或﹣2D．4或34．若y＝2是二次函数，则m等于（）A．﹣2B．2C．±2D．不能确定5．在同一坐标系中，作y＝x2，y＝﹣x2，y＝x2的图象，它们的共同特点是（）A．抛物线的开口方向向上B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点6．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c7．关于二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象，下列判断正确的是（）A．图象开口向上B．图象的对称轴是直线x＝1C．图象有最低点D．图象的顶点坐标为（﹣1，2）8．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+m，则m的值是（）A．1或7B．﹣1或7C．1或﹣7D．﹣1或﹣79．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．10．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．二．填空题11．若y＝（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为．12．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是．13．当m＝时，函数y＝（m﹣1）是关于x的二次函数．14．如果y＝（m﹣2）是关于x的二次函数，则m＝．15．抛物线y＝ax2﹣3x+a2﹣1如图所示，则a＝．16．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）和B（2，0），当y＜0时，x的取值范围是．17．已知抛物线y＝x2+4x+5的对称轴是直线x＝．18．在正方形的网格中，抛物线y1＝x2+bx+c与直线y2＝kx+m的图象如图所示，请你观察图象并回答：当﹣1＜x＜2时，y1y2（填“＞”或“＜”或“＝”号）．19．如图是二次函数y＝a（x+1）2+2图象的一部分，该图在y轴右侧与x轴交点的坐标是．20．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是．三．解答题21．画出函数y＝x2﹣2x﹣8的图象．（1）先求顶点坐标：（，）；（2）列表x……y……（3）画图．22．函数是关于x的二次函数，求m的值．23．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？24．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？25．已知是x的二次函数，求出它的解析式．26．已知二次函数y＝ax2+bx+c．（1）当a＝1，b＝﹣2，c＝1时，请在图上的直角坐标系中画出此时二次函数的图象；（2）用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标．27．下图是数值转换机的示意图，小明按照其对应关系画出了y与x的函数图象．（1）分别写出当0≤x≤4与x＞4时，y与x的函数关系式；（2）小明说：“所输出y的值为3时，输入x的值为0或5．”你认为他说的对吗？试结合图象说明．答案与试题解析一．选择题1．解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故A错误；B、y＝3x2﹣1是二次函数，故B正确；C、y＝（x+1）2﹣x2不含二次项，故C错误；D、y＝x3+2x﹣3是三次函数，故D错误；故选：B．2．解：根据二次函数的定义可得：m﹣n≠0，即m≠n．故选：B．3．解：∵函数y＝a是二次函数且图象开口向上，∴a2﹣2a﹣6＝2，且a＞0，解得a＝4．故选：B．4．解：由y＝2是二次函数，得m2﹣2＝2，解得m＝±2，故选：C．5．解：因为y＝ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，所以它们的共同特点是：关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点．故选：D．6．解：由函数图象已知a＞0，c＜0，∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴b＞a，∴b＞a＞c，故选：D．7．解：∵﹣1＜0，∴函数的开口向下，图象有最高点，∵这个函数的顶点是（﹣1，2），∴对称轴是直线x＝﹣1，故选：D．8．解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+m，∴这条抛物线的顶点为（2，m+4），∴关于x轴对称的抛物线的顶点（2，﹣m﹣4），∵它们的顶点相距6个单位长度．∴|m+4﹣（﹣m﹣4）|＝6，∴2m+8＝±6，当2m+8＝6时，m＝﹣1，当2m+8＝﹣6时，m＝﹣7，∴m的值是﹣1或﹣7．故选：D．9．解：A、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A 选项不合题意；B、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，，∴二次函数的图象开口向下，且对称轴在x轴的正半轴，故B选项不合题意；C、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y ＝﹣4k＞0，故C选项符合题意；D、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y ＝﹣4k＞0，故D选项不合题意；故选：C．10．解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．二．填空题11．解：根据题意得，m2﹣3＝2，解得m＝±，∵开口向上，∴2﹣m＞0，解得m＜2，∴m＝﹣．故﹣．12．解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，解得k＝0或k＝3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴k的值是0时．故0．13．解：依题意可知m2+1＝2得m＝1或m＝﹣1又因为m﹣1≠0∴m≠1∴当m＝﹣1时，这个函数是二次函数．14．解：根据二次函数的定义：m2﹣m＝2，m﹣2≠0，解得：m＝﹣1，故﹣1．15．解：∵二次函数的图象过原点（0，0），代入抛物线解析式，得a2﹣1＝0，解得a＝1或a＝﹣1，又∵抛物线的开口向下，故a＜0，∴a＝﹣1．16．解：观察图象可知，抛物线与x轴两交点为（﹣1，0），（2，0），y＜0，图象在x轴的下方，所以答案是x＜﹣1或x＞2．17．解：由对称轴公式：对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝﹣2，故﹣2．18．解：根据图示知，①当x≤﹣1时，y2≤y1；②当﹣1＜x＜2时，y2＜y1；③当x≥2时，y2≥y1；故＜．19．解：由y＝a（x+1）2+2可知对称轴x＝﹣1，根据对称性，图象在对称轴左侧与x轴交点为（﹣3，0），所以该图在对称轴右侧与x轴交点的坐标是（1，0）．20．解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故（2，3）三．解答题21．解：（1）y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9∴其顶点坐标为（1，﹣9）故1，﹣9（2）列表x…﹣2﹣101234…y…0﹣5﹣8﹣9﹣8﹣50…（3）画图：22．解：由题意可知解得：m＝2．23．解：（1）依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0，∴m≠0且m≠1．24．解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m＝0解得m＝0或m＝1又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m＝0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0解得m1≠0，m2≠1∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．25．解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1又因为m2﹣2m﹣1＝2，m2﹣2m﹣3＝0解得m＝3或m＝﹣1（不合题意，舍去）所以m＝3故y＝12x2+9．26．解：（1）当a＝1，b＝﹣2，c＝1时，y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴该二次函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝1，利用函数对称性列表如下：x…﹣10123…y…41014…在给定的坐标中描点，画出图象如下．（2）由y＝ax2+bx+c是二次函数，知a≠0y＝a（x2+x）+c＝a[x2+x+（）2]+c﹣a×（）2＝a（x+）2+∴该二次函数图象的顶点坐标为．27．解：（1）当0≤x≤4时，y＝x+3；当x＞4时，由图表可知y＝（x﹣6）2+k，由函数图象可知，当x＝4时，y＝x+3＝6，此时（4﹣6）2+k＝6，解得k＝2，所以，当x＞4时，y＝（x﹣6）2+2；（2）他说的错误．把y＝3代入y＝x+3中，得x+3＝3，解得x＝0，把y＝3代入y＝（x﹣6）2+2中，得（x﹣6）2+2＝3，解得x＝5或7，正确说法是：所输出y的值为3时，输入x的值为0或5或7．。
人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数 》测试卷-带参考答案
人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数》测试卷-带参考答案一、单选题1．将二次函数化为顶点式正确的是（）A．B．C．D．2．若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．B．C．D．3．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．4．如图，小强在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮筐底的距离l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m5．函数，当时，此函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（）A．B．C．D．6．二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．7．如图，抛物线与轴交于点，点的坐标为，在第四象限抛物线上有一点，若是以为底边的等腰三角形，则点的横坐标为（）A．B．C．D．或8．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（）．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．抛物线的顶点在轴上，则.10．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水面宽度增加m．11．函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决实际问题，如飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式形，则飞机着陆后滑行的最大距离是m．12．已知点、和都在函数的图象上，则、和的大小关系为（用“”连接）．13．如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D 在抛物线上，当轴时，．三、解答题14．如图，一辆宽为米的货车要通过跨度为米，拱高为米的单行抛物线隧道从正中通过，抛物线满足表达式保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离，求货车的限高应是多少．15．电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？16．教科书中例1：有一个窗户形状如图①所示，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这道例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05 m2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形(如图②)，材料总长仍为6 m，利用图②，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积．（2）与教科书中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．17．某杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板的右端处弹跳起经过最高点后下落到右端的椅子处，其身体看成一点运动的路线是一条抛物线的一部分，如图，已知，演员起跳点的高度，演员离开地面的最大高度是，此时，演员到起跳点的水平距离为．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知人梯高，为了成功完成此次表演，那么人梯到起跳点的水平距离应为多少18．如图，抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C.（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值.（3）点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1．B2．A3．A4．D5．C6．C7．A8．B9．2510．2 ﹣411．60012．13．414．解：当时米．答：货车的限高应是米．15．（1）解：设y与x之间的函数关系式为由已知得解得因此y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）；（2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W由题意得W关于x的二次函数图象开口向上，且x为整数当时，W取最大值，最大值为1800即当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．16．（1）解：由已知可得：AD==则S=1×=；（2）解：设AB= xm，则AD=（3-x）m，AF=（3-x）m∵AB＞0，AD＞0，AF＞0∴0<x<设窗户的面积为S由已知可得：S= AB×AD= x(3-x)=-x2+3x=-（x-）2+当x=时，S有最大值，为∵＞1.05∴现在窗户透光的最大值变大.17．（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为设抛物线的解析式为把代入得：解得：抛物线的解析式为（2）解：当时解得：不符合题意，舍去答：人梯到起跳点的水平距离应为．18．（1），和（2）解：如图，连接设点当时，即点P的坐标为时，有最大值；（3）解：存在.①如图，当四边形为时抛物线对称轴为直线的坐标为②如图，当四边形为时，作于点G和和综上所述，点F的坐标为或或。
人教版九年级上册数学第二十二章二次函数综合训练题(含简单答案)
人教版九年级上册数学第二十二章二次函数综合训练题（含简单答案）人教版九年级上册数学第二十二章二次函数综合训练题一、单选题1．在下列表达式中，x是自变量，是二次函数的是（）A．B．C．D．2．下列二次函数的图象与x轴没有交点的是（）A．B．C．D．3．对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则满足条件的m的取值范围是（）A．B．C．D．4．已知二次函数的图像上有三点，则的大小关系为（）A．B．C．D．5．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（）A．B．C．D．6．抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（）A．B．，C．，D．，7．根据下列表格的对应值，判断方程（，、、为常数）一个解的范围是（）A．B．C．D．8．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．抛物线与y轴的交点坐标为．10．已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则二次函数的解析式为．11．抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线顶点坐标是．12．抛物线的二次项系数是；一次项系数是．13．已知函数的图象过原点，则a的值为14．若抛物线的图象与坐标轴只有两个公共点，则m的值为．15．一名学生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则该学生推铅球的水平距离为．16．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上存在点Q使得的周长最小，则的周长的最小值为．三、解答题17．抛物线经过点．(1)求这个二次函数的关系式；(2)为何值时，的值随着的增大而增大？18．抛物线的对称轴是直线，且过点．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标．19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．(1)求A点和点B的坐标；(2)判断的形状，证明你的结论；(3)直接写出当时，自变量x的取值范围．20．如图，抛物线与x轴交于，两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上运动到什么位置时，满足，并求出此时P点的坐标；(3)点Q是直线下方抛物线上一点，当Q运动到什么位置，的面积最大，求出面积的最大值和此时点Q的坐标．21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：… 0 1 2 …… 0 5 …(1)直接写出表格当中的m值：_________；(2)直接写出这个二次函数的表达式_________；(3)在图中画出这个二次函数的图象．(4)直接写出当时，y的取值范围是_________．(5)直接写出当时，x的取值范围是_________．22．有一长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃，花圃的宽为，面积为．(1)求S关于x的函数解析式；(2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少m？(3)能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．23．某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件.调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件.(1)请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）间的函数关系式；(2)单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？24．如图是二次函数的图象，其顶点坐标为．(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在y轴上存在一点Q，使得周长最小，求此时构成的的面积．参考答案：1．D2．B3．D4．B5．D6．D7．C8．D9．10．11．12． 1 413．214．15．16．/17．(1)(2)18．(1)；(2)；19．(1)A、B的坐标分别为：，，(2)是直角三角形，(3)有图像可得：时，或．20．(1)(2)或(3)当轴时，的面积最大，最大值为1，此时点Q的坐标为21．(1)0(2)(4)(5)22．(1)(2)花圃的长为(3)能；围法：花圃的长为，宽为，这时有最大面积23．(1)(2)当售价为65元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元．24．(1)，(2)存在，或(3)3。
人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试题(含答案)
人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试题（含答案）一、单选题1．下列函数中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ．22(1)y x x =--B ．(2)y x x =-+C ．21y x=D ．2x y =2．若函数2221()m m y m m x --=+是二次函数，则m 的值是（ ） A ．2B ．-1或3C ．-1D ．33．已知二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x +a 2﹣1图象经过原点，则a 的取值为（ ） A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝﹣1D ．无法确定4．苹果熟了，从树上落下所经过的路线s 与下落的时间t 满足s=212gt （g 是不为0的常数），则s 与t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若二次函数y=ax 2+1的图象经过点（-2，0），则关于x 的方程a （x-2）2+1=0的实数根为（ ） A ．1x 0=，2x 4= B ．1x 2=-，2x 6= C ．132x =，25x 2=D ．1x 4=-，2x 0=6．由二次函数22(3)1y x =-+可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为3x =- C ．其最大值为1D ．当3x <时，y 随x 的增大而减小7．二次函数y ＝﹣2x 2+4x +1的图象如何平移可得到y ＝﹣2x 2的图象（ ） A ．向左平移1个单位，向上平移3个单位 B ．向右平移1个单位，向上平移3个单位 C ．向左平移1个单位，向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，向下平移3个单位8．如果二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，那么（ ）A ．a 0,b 0,c 0<>>B ．0,0,0a b c >>>C ．0,0,0a b c ><<D ．0,0,0a b c >><9．已知函数y ＝kx 2﹣7x ﹣7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．74k >-B ．74k ≥-C ．74k ≥-且k ≠0D ．74k >-且k ≠010．根据表格中代数式ax 2+bx +c ＝0与x 的对应值，判断方程ax 2+bx +c ＝0（其中a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的一个根x 的大致范围是（ ）x 6.17 6.18 6.19 6.20 ax 2+bx +c ﹣0.03﹣0.010.020.06A ．6＜x ＜6.17B ．6.17＜x ＜6.18C ．6.18＜x ＜6.19D ．6.19＜x ＜6.2011．老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足函数关系式5550y x =-+，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ） A ．90元，4500元 B ．80元，4500元 C ．90元，4000元 D ．80元，4000元二、填空题13．若二次函数y ＝（m +2）23mx -的图象开口向下，则m ＝______．14．点P （m ，n ）在以y 轴为对称轴的二次函数y =x 2+ax +4的图象上，则m -n 的最大值为_________．15．抛物线223(0)y ax ax a =--≠与x 轴交于两点，分别是()0m ,，(),0n ，则m n +的值为_______．16．如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c --=的解为______．17．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A ，B 两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为8m ，24m AB =，D ，E 为拱桥底部的两点，且//DE AB ，若DE 的长为36m ，则点E 到直线AB 的距离为______．三、解答题18．已知抛物线y =ax 2-2ax -6+a 2（a ≠0） （1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其对应的函数的解析式．19．已知二次函数2y x px q +=+的图象经过(0,1),(2,1)A B -两点． （1）求,p q 的值．（2）试判断点(1,2)P -是否在此函数的图象上．20．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为区域ABCD 的面积为y m 2． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？21．已知二次函数2123y x x =--的图像与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A 、B 、D 的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图像； （2）设一次函数()20y kx b k =+≠的图像经过B 、C 两点，请直接写出满足12y y <的x 的取值范围．22．已知，如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（﹣1，0），点C （0，5），另抛物线经过点（1，8），M 为它的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求①MCB 的面积．23．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y ＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45．(1)求一次函数的表达式；(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？24．国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（x≥24），每天销售利润为y（元）．（1）直接写出y与x的函数关系式为：；（2）若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；（3）若每件小商品的售价不超过36元，求该商场每天销售此商品的最大利润．参考答案1．BA . 22(1=)2+1y x x x =---是一次函数，不合题意；B ． 2(2)=2y x x x x =-+--是二次函数，合题意；C ． 21y x =不是二次函数，不合题意； D ． 2x y =不是函数，不合题意； 故选：B . 2．D根据题意得：22212m m m m ⎧+≠⎨--=⎩解得：m=3． 故选：D ． 3．C解：①二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x +a 2﹣1 的图象经过原点， ①a 2﹣1＝0， ①a ＝±1， ①a ﹣1≠0， ①a ≠1， ①a 的值为﹣1． 故选：C 4．B 解：由21,2s gt =可得：s 是t 的二次函数，且函数图像经过原点，图像的开口向上， 所以：A 错误，B 正确，,C D 错误， 故选：.B 5．A解：①二次函数y=ax 2+1的图象经过点（-2，0）， ①4a+1=0，①a=-14，①方程a （x-2）2+1=0为：方程-14（x-2）2+1=0，解得：x 1=0，x 2=4，故选：A ． 6．D解：22(3)1y x =-+，∴抛物线开口向上，对称轴为3x =，顶点坐标为(3,1)， ∴函数有最小值1，当3x <时，y 随x 的增大而减小， 故选：D ． 7．C解：二次函数y ＝﹣2x 2+4x +1的顶点坐标为（1，3），y ＝﹣2x 2的顶点坐标为（0，0）， 只需将函数y ＝﹣2x 2+4x +1的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位即可． 故选：C ． 8．C解：①图象开口方向向上， ①a ＞0；①图象的对称轴在y 轴的右边上， ①2ba-＞0， ①a ＞0， ①b ＜0；①图象与y 轴交点在y 轴的负半轴上， ①c ＜0；①a ＞0，b ＜0，c ＜0． 故选：C ． 9．B解：当0k =时，函数为77y x =--，为一次函数，与x 轴有交点，符合题意； 当0k ≠，函数为277y kx x =--，为二次函数， 因为图像与x 轴有交点所以，2(7)470k ∆=-+⨯≥，解得74k ≥-且0k ≠综上，74k ≥-故选B 10．C解：①当x =6.18时，y =-0.01＜0；当x =6.19时，y =0.02＞0，①当x 在6.18＜x ＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax 2+bx +c =0，①方程ax 2+bx +c =0（其中a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的一个根x 的大致范围为6.18＜x ＜6.19． 故选：C ． 11．C解：①抛物线过（1,0），对称轴是x ＝2，① 30b 22a a b ++=⎧⎪⎨-=⎪⎩ ，解得a ＝1，b ＝－4，①y ＝x 2－4x ＋3，当x ＝3时，y ＝0，所以小华正确， 当x ＝4时，y ＝3，小彬正确， a ＝1，小明也正确，抛物线被x 轴截得的线段长为2，已知过点(1,0)，则可得另一点为(－1,0)或(3,0)，所以对称轴为y 轴或x ＝2，此时答案不唯一，所以小颖也错误， 故答案为：C ． 12．B解：设每月总利润为w ， 依题意得：(50)w y x =-(5550)(50)x x =-+- 2580027500x x =-+-25(80)4500x =--+50-<，此图象开口向下，又50x ≥，∴当80x =时，w 有最大值，最大值为4500元．故选：B ． 13．5①y ＝（m +2）23m x -是二次函数，①m 2-3=2， 解得：5m =± ①二次函数y ＝（m +2）23m x -的图象开口向下，①m +2＜0， ①2m <-，52>-，52--， ①5m =- 故答案为：5-14．154-解：二次函数y =x 2+ax +4以y 轴为对称轴 02a∴-= ，即0a = ， ∴ 二次函数解析式为24y x =+ ，点P （m ，n ）在二次函数y =x 2+ax +4的图象上， 24n m ∴=+ ，()2221154424m n m m m m m ⎛⎫∴-=--=---=--- ⎪⎝⎭ ，∴ m -n 的最大值为154-． 故答案为：154-． 15．2解：①抛物线y =ax 2-2ax -3与x 轴交于两点，分别是（m ，0），（n ，0）， ①2.2am n a-+=-=． 故答案是：2． 16．12x =-，21x =解：①抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，①方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，即关于x 的方程20ax bx c --=的解为12x =-，21x =． 故答案为x 1=-2，x 2=1． 17．10m解：根据题意，以C 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B （12，﹣8）， 设该抛物线的表达式为y =ax 2，将B （12，﹣8）代入，得：﹣8=a ·122， 解得：a =118-， ①该抛物线的表达式为y =118-x 2， 当x =18时，y =118-×182=﹣18，①E （18，﹣18）， ①点E 到直线AB 的距离为﹣8﹣（﹣18）=10m ，故答案为：10m ．18．（1）222226(1)6y ax ax a a x a a =--+=-+--， ∴对称轴为直线1x =；（2）由题可知，当抛物线顶点在x 轴上时， 260a a --=， (3)(2)0a a -+=，解得：3a =或2a =-，当3a =时，函数解析式为2363y x x =-+； 当2a =-时，函数解析式为2242y x x =-+-． 19．解：（1）把A （0，1），B （2，-1）代入y =x 2+px +q ，得1421q p q =⎧⎨++=-⎩， 解得：31p q =-⎧⎨=⎩，①p ，q 的值分别为-3，1；（2）把x =-1代入y =x 2-3x +1，得y =5， ①点P （-1，2）不在此函数的图象上． 20．解：（1）设BC 的长度为x m ，则AB =13（40﹣x ）m ，则矩形区域ABCD 的面积y =13x （40﹣x ）=﹣13x 2+403x ；（2）①y =﹣13x 2+403x =13-（x ﹣20）2+4003 ，①当x =20时，y 有最大值，最大值是4003m 2． 21．解：（1）令y=0时，则有2023x x -=-，解得：121,3x x =-=， ①()1,0A -；()3,0B ；由二次函数2123y x x =--可得顶点式为()2114y x =--， ①()1,4D -，图像如图所示：（2）由题意画出直线()20y kx b k =+≠的图像，如图所示，则由图像可得：当12y y <时，03x <<．22．（1）①A （﹣1，0），C （0，5），（1，8）三点在抛物线y=ax 2+bx+c 上， ①058a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解方程组，得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故抛物线的解析式为y=﹣x 2+4x+5；（2）①y=﹣x 2+4x+5=﹣（x ﹣5）（x+1）=﹣（x ﹣2）2+9，①M （2，9），B （5，0），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，550b k b =⎧⎨+=⎩，解得,15k b =-⎧⎨=⎩则直线BC 的解析式为：y=﹣x+5.过点M 作MN①y 轴交BC 轴于点N ，则①MCB 的面积=①MCN 的面积+①MNB 的面积=12MN OB ⋅． 当x=2时，y=﹣2+5=3，则N （2，3），则MN=9﹣3=6， 则165152MCB S =⨯⨯=． 23．(1)解：根据题意，得65557545k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1120k b =-⎧⎨=⎩， ①所求一次函数的表达式为y =-x +120；(2)解：W =(x -60)•(-x +120)=-x 2+180x -7200=-(x -90)2+900，①抛物线的开口向下，①当x ＜90时，W 随x 的增大而增大，①60≤x ≤60×（1+45%），①60≤x ≤87，①当x =87时，W 有最大值，此时W =-(87-90)2+900=891．答：销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． 24．解：（1）由题意得：y 与x 的函数关系式为：()()2202001024106408800y x x x x =---=-+-⎡⎤⎣⎦；故答案为2106408800y x x =-+-；（2）由题意得：21064088001400x x -+-=，解得：1230,34x x ==；答：此时的销售单价为30元或34元．（3）由()2210640880010321440y x x x =-+-=--+可得100-<， ①该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线32x =，①每件小商品的售价不超过36元，①当32x =时，该商场每天销售此商品的利润为最大，最大值为1440； 答：该商场每天销售此商品的最大利润为1440元．。
人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数》单元测试卷-附含答案
人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数》单元测试卷-附含答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题 1．若二次函数图象的顶点坐标为2,1，且过点()0,3，则该二次函数的解析式为（ ） A ．()21122x y --= B ．()221y x =+- C ．()221y x =-- D ．()221y x =---2．平面直角坐标系中，抛物线y ＝12（x ＋2）（x ﹣5）经变换后得抛物线y ＝12（x ＋5）（x ﹣2），则这个变换可以是（ ）A ．向左平移7个单位B ．向右平移7个单位C ．向左平移3个单位D ．向右平移3个单位 3．已知二次函数()2213y x =--，则下列说法正确的是( ) A ．y 有最小值0，有最大值－3 B ．y 有最小值－3，无最大值 C ．y 有最小值－1，有最大值－3 D ．y 有最小值－3，有最大值0 4．二次函数()2y x k h =++的图象与x 轴的交点的横坐标分别为-1和3，则()22y x k h =+++的图象与x 轴的交点的横坐标分别为（ ）A ．-3和1B ．1和5C ．-3和5D ．3和5 5．若二次函数2y a x bx c =++的图象经过不同的六点()1,A n -、()5,1B n -和()6,1C n +、()14,D y 和()22,E y 、()32,F y 则1y 、2y 和3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．213y y y <<D ．321y y y << 6．已知二次函数()24119y x =--上的两点()()1122,,,P x y Q x y 满足123x x =+，则下列结论中正确的是（ ） A ．若112x <-，则121y y >>- B ．若1112x -<<，则210y y >> C ．若112x <-，则120y y >> D ．若1112x -<<，则210y y >> 7．已知抛物线()2<0y ax bx c a =++的对称轴为=1x -，与x 轴的一个交点为()2,0．若关于x 的一元二次方程()20ax bx c p p ++=>有整数根，则P 的值有多少个？（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，直线y=x 与抛物线y=x 2﹣x ﹣3交于A 、B 两点，点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作直线PQ⊥x轴，交直线y=x 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，则线段PQ 的长度随m 的增大而减小时m 的取值范围是（ ）﹣1或1＜m ＜3 9．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为20m ，水池中心O 处立着一个圆柱形实心石柱OM ，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心4m 处到达最大高度为6m ，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M 处101110．如图，在ABC 中90,3cm,6cm B AB BC ∠=︒==，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则PBQ 的面积S 随出发时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．二、填空题11．抛物线22(1)3y x =---与y 轴交点的纵坐标为12．已知实数x 、y 满足x 2﹣2x +4y =5，则x +2y 的最大值为 ．13．今年三月份王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝等进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，当销售单价是 元时，王大伯获得利润最大．14．已知抛物线224y mx mx c =-+ 与x 轴交于点()1,0A -、()2,0B x 两点，则B 点的横坐标2x ＝ ．15．已知抛物线的函数关系式：()22212y x a x a a =+-+-（其中x 是自变量）．（1）若点()1,3P 在此抛物线上，则a 的值为 ．（2）设此抛物线与x 轴交于点()1,0A x 和()2,0B x ，若122x x <<，且抛物线的顶点在直线34x =的右侧，则a 的取值范围为 ．16．设二次函数2y ax bx c =++（,a b c ,是常数，0a ≠），如表列出了x ，y 的部分对应值． x … 5- 3- 1 2 3 …y … 2.79- m 2.79- 0n … 则不等式20ax bx c ++<的解集是 ．17．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴为1x =，图象过点A ，且930a b c ++=，以下结论：⊥420a b c -+<；⊥关于x 的不等式220ax ax c -+->的解集为：13x -<<；⊥3c a >-；⊥()21(1)0m a m b -+-≥（m 为任意实数）；⊥若点()1,B m y ，()22,C m y -在此函数图象上，则12y y =．其中错误的结论是 ．三、解答题设该超市在第x 天销售这种商品获得的利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)在这30天中，该超市销售这种商品第几天的利润最大？最大利润是多少？21．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,0-、()3,0和()03-，三点．(1)求二次函数的解析式；(2)方程2++=有两个实数根，m的取值范围为__________．ax bx c m(3)不等式23++>-的解集为__________；ax bx c x22．一次足球训练中，小明从球门正前方12m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为8m时，球达到最高点，此时球离地面4m．已知球门高OB为2.58m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.56m处？参考答案：1．C2．C3．B4．A5．D6．B。
九年级数学上册《第二十二章 二次函数》单元测试卷附答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章二次函数》单元测试卷附答案(人教版)一、单选题1．下列各式中表示二次函数的是（）+1B．y=2−x2A．y=x2+1x−x2D．y=(x−1)2−x2C．y=1x22．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x+2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x−2)2+3D．y=5(x−2)2−33．抛物线y=x2−2x−3与x轴的两个交点间的距离是（）A．-1 B．-2 C．2 D．44．已知(2，5)、 (4，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是（）B．x=2 C．x=4 D．x=3A．x=−ab5．不论m取何实数，抛物线y=2（x+m）2+m的顶点一定在下列哪个函数图象上（）A．y=2x2B．y=-x C．y=-2x D．y=x6．已知函数y=1x2-x-12，当函数y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）2A．x＜1 B．x＞1 C．x＞-4 D．-4＜x＜67．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x …−20 1 3 …y … 6 −4−6−4…下列选项中，正确的是（）A．这个函数的开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．当x>2时，y的值随x的增大而减小D．这个函数的最小值小于68．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列判断中错误的是 ( )A．图象的对称轴是直线x＝1B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－1，3D．当－1＜x＜3时，y＜09．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是（）A．5 B．10 C．1 D．210．如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面上升1m时，水面的宽为（）A．2 m B．2m C． m D．3m二、填空题11．不论m取任何实数，抛物线y=x2+2mx+m2+m−1的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析式是．12．若二次函数y＝2x2﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a b（填“＜”或“＝”或“＞”）．13．抛物线y=x2−6x+c与x轴只有一个交点，则c=．14．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（4，0），则关于x的一元二次方程：a（x ﹣h+3）2+k＝0的解为.15．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为元．三、解答题16．已知二次函数的图象经过（－6，0），（2，0），（0，－6）三点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求这个二次函数的顶点坐标．17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+1 .（1）若抛物线过点A(−1,6)，求二次函数的表达式；（2）指出（1）中x为何值时y随x的增大而减小；（3）若直线y=m与（1）中抛物线有两个公共点，求m的取值范围.18．如图，抛物线y=a x2 +c与直线y=3相交于点A，B，与y相交于点C(0，－1)，其中点A的横坐标为－4．（1）计算a，c的值；（2）求出抛物线y=ax 2 +c与x轴的交点坐标；19．如图一，抛物线y=ax2+bx+c过A(−1,0)B(3.0),C(0,√3)三点（1）求该抛物线的解析式；（2）P(x1,y1),Q(4,y2)两点均在该抛物线上，若y1≤y2，求P点横坐标x1的取值范围；（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD,CB，点F为线段CB的中点，点M,N分别为直线CD和CE上的动点，求ΔFMN周长的最小值．20．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x（元/千克）55 60 65 70销售量y（千克）70 60 50 40（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？21．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于A(−1，0)，B(4，m)两点,且抛物线经过点C(5，0)（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点(不与点A．点B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB 于点E.当PE=2ED时，求P点坐标；（3）点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求ΔABP的面积最大时的P点坐标.参考答案1．B2．B3．D4．D5．B6．A7．D8．D9．D10．A11．y=−x−112．＜13．914．x1=−515．2516．（1）解：设抛物线y=ax2+bx+c把（－6，0），（2，0），（0，－6）三点代入解析式，得{36a+6b+c=0 4a+2b+c=0c=−6解得∴抛物线的解析式为：y=12x2+2x−6（2）解：y=12x2+2x−6=12（x+2)2−8∴抛物线的顶点坐标为：（-2，-8）．17．（1）解：把点A（-1，6），代入y=ax2−4ax+1得：6=a×(−1)2−4a×(−1)+1解得a=1∴二次函数的表达式y=x2−4x+1（2）解：二次函数y=x2−4x+1对称轴x=2∵a=1>0∴二次函数在对称轴左边y随x的增大而减小∴当x≤2是y随x的增大而减小；（3）解：∵直线y=m与y=x2−4x+1有两个公共点∴一元二次方程m=x2−4x+1有两不等根即一元二次方程x2−4x+1−m=0有两不等根∴Δ>0∴42−4×1×(1−m)>0解得m>−318．（1）解：设y=a x2 -1把(－4，3)代入得：3=a(-4) 2 -1∴a= 14∴y= 14x 2 -1∴a= 14，c=－1（2）解：y= 14x 2 -1=0∴x=±2∴(－2，0)，(2，0)19．（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c过A(−1,0)B(3,0) C(0,√3)三点∴{a−b+c=09a+3b+c=0c=√3解得：a=−√33,b=2√33,c=√3；∴抛物线的解析式为：y=−√33x2+2√33x+√3（2）解：抛物线的对称轴为x=1，抛物线上与Q(4,y2)相对称的点Q′(−2,y2) P(x1,y1)在该抛物线上y1≤y2，根据抛物线的增减性得：∴x1≤−2或x1≥4答：P点横坐标x1的取值范围：x1≤−2或x1≥4．（3）解：∵C(0,√3)，B(3,0)∴OC=√3，OB=3∵F是BC的中点∴F(32,√3 2)当点 F 关于直线 CE 的对称点为 F ′ ，关于直线 CD 的对称点为 F ′′ ，直线 F ′F ′′ 与 CE 、 CD 交点为 M,N ，此时 ΔFMN 的周长最小，周长为 F ′F ′′ 的长，由对称可得到： F ′(32,3√32) ， F ′′(0,0) 即点 O F ′F ′′=F ′O =(32)(3√32)=3即： ΔFMN 的周长最小值为320．（1）解：设y 与x 之间的函数表达式为 y =kx +b （ k ≠0 ），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：{55k +b =7060k +b =60解得： {k =−2b =180∴y 与x 之间的函数表达式为 y =−2x +180 ；（2）解：由题意得： (x −50)(−2x +180)=600整理得 ：x 2−140x +4800=0解得 x 1=60，x 2=80答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；（3）解：设当天的销售利润为w 元，则：w =(x −50)(−2x +180)=−2(x ﹣70)2+800∵﹣2＜0∴当 x =70 时w 最大值=800.答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元.21．（1）解：∵点B （4，m ）在直线y ＝x ＋1上∴m ＝4＋1＝5∴B （4，5）把A 、B 、C 三点坐标代入抛物线解析式可得{a −b ＋c ＝016a ＋4b ＋c ＝025a ＋5b ＋c ＝0解得{a ＝−1b ＝4c ＝5∴抛物线解析式为y ＝−x 2＋4x ＋5；（2）解：设P （x ，−x 2＋4x ＋5），则E （x ，x ＋1），D （x ，0）则PE ＝|−x 2＋4x ＋5−（x ＋1）|＝|−x 2＋3x ＋4|，DE ＝|x ＋1|∵PE ＝2ED∴|−x 2＋3x ＋4|＝2|x ＋1|当−x 2＋3x ＋4＝2（x ＋1）时，解得x ＝−1或x ＝2，但当x ＝−1时，P 与A 重合不合题意，舍去 ∴P （2，9）；当−x 2＋3x ＋4＝−2（x ＋1）时，解得x ＝−1或x ＝6，但当x ＝−1时，P 与A 重合不合题意，舍去 ∴P （6，−7）；综上可知P 点坐标为（2，9）或（6，−7）；（3）解：∵点P 是直线上方的抛物线上的一个动点设（x ，−x 2＋4x ＋5），则E （x ，x ＋1），D （x ，0）则PE ＝−x 2＋4x ＋5−（x ＋1）＝−x 2＋3x ＋4∴ΔABP = S ΔAEP + S ΔEBP = 12×PE ×(x B −x A ) = 12×(−x 2+3x +4)×5= −52(x −32)2+1258 ∴当x= 32 ， ΔABP 的面积最大把x= 32 代入y ＝−x 2＋4x ＋5，解得y= 354故P （ 32 ， 354 ）.。
人教版九年级上册数学第二十二章 二次函数含答案(必刷题)
人教版九年级上册数学第二十二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、将二次函数的图像先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得图像的解析式为（）A. B. C. D.2、坐标平面上，若移动二次函数y=2(x-175)(x-176)+6的图形，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为下列哪一种（）A.向上移动3单位B.向下移动3单位C.向上移动6单位D.向下移动6单位3、如图，抛物线与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（）A.3B.−3C.−4D.−54、抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是( )A.直线x＝1B.直线x＝－1C.直线x＝－2D.直线x＝25、已知二次函数，一次函数，有下列结论：①当时，随的增大而减小；②二次函数的图象与轴交点的坐标为和；③当时，；④在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立，则.其中，正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.36、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点为（﹣2，0），对称轴为直线x=1，则y＜0时x的范围是（）A.x＞4或x＜﹣2B.﹣2＜x＜4C.﹣2＜x＜3D.0＜x＜37、某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出；若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出……为了投资少而获利大，每个每天应提高( )A.4元或6元B.4元C.6元D.8元8、将抛物线向上平移个单位后得到的抛物线恰好与轴有一个交点，则的值为（）A. B. C. D.9、已知函数①y=5x-4，②t=x2-6x，③y=2x3-8x2+3，④y=x2-1，⑤y=+2，其中二次函数的个数为（）A.1B.2C.3D.410、抛物线 y=﹣（x﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（）A.（1，2）B.（﹣1，﹣2）C.（﹣1，2）D.（1，﹣2）11、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（-1，0）、（0，3），下列结论中错误的是（）A.abc＜0B.9a+3b+c=0C.a-b=-3D.4ac﹣b 2＜012、如图，抛物线与直线交于两点，刘星同学观察图象得出了下面四条信息：① ；② ；③的两根是和1；④ 时，．你认为正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个13、已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A.﹣1＜x＜4B.﹣1＜x＜3C.x＜﹣1或x＞4D.x＜﹣1或x＞314、二次函数的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③ ；④.其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.415、关于抛物线：，下列说法正确的是（）.A.它的开口方向向上B.它的顶点坐标是C.当时，y 随x的增大而增大D.对称轴是直线二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是，小亮通过观察得出了下面四条信息：①c＜0，②abc＜0，③a－b＋c＞0，④2a－3b＝0。
人教版数学九年级上册第22章测试题附答案
人教版数学九年级上册第22章二次函数测试题（时间：120分钟分值：100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列五个结论中：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③2a﹣b＜0；④abc＜0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点的坐标为（，1），下列结论：①c＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b=0；④4ac﹣b2＞4a，其中错误的是（）A．①B．②C．③D．④4．如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），对于下列结论：①2a+b=0；②abc＜0；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．6．（3分）若y=mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数，则（）A．m，n，p均不为0B．m≠0，且n≠0C．m≠0D．m≠0，或p≠07．（3分）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．8．（3分）下列抛物线的顶点坐标为（0，1）的是（）A．y=x2+1B．y=x2﹣1C．y=（x+1）2D．y=（x﹣1）2 9．（3分）二次函数y=﹣x2+2x的图象可能是（）。
人教版九年级数学上册 第22章 二次函数 基础测试题(含答案)
人教版九年级数学第22章基础测试题（含答案）22.1 二次函数的图象和性质一、选择题（本大题共8道小题）1. 已知直线y＝bx－c与抛物线y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系中的图象可能是()2. 将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是() A．向左平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度3. (2019•岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1<1<x2，则c的取值范围是A．c<-3 B．c<-2C．c<14D．c<14. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动．过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP 的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是()5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象可能是()6. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是()7. 如图，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝6 cm，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝10 cm，点C和点M重合，点B，C(M)，N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1 cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止．设移动x s 后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y cm2，则y关于x的大致图象是()8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x …－2 －1 0 1 2 …y＝ax2＋bx＋c …t m －2 －2 n …且当x ＝－12时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：(1)abc>0；(2)－2和3是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝t 的两个根；(3)0<m ＋n<203.其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共8道小题）9. 抛物线y ＝12(x ＋3)2－2是由抛物线y ＝12x 2先向________(填“左”或“右”)平移________个单位长度，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位长度得到的.10. 函数y ＝－4x 2－3的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x ________0时，y 随x 的增大而减小，当x ________时，y 有最________值，是________，这个函数的图象是由y ＝－4x 2的图象向________平移________个单位长度得到的．11. 二次函数y ＝－x 2＋6x －5的图象开口________，对称轴是________，顶点坐标是________；与x 轴的两个交点坐标分别是________，与y 轴的交点坐标是________；在对称轴左侧，即x ________时，y 随x 的增大而________，在对称轴右侧，即x ________时，y 随x 的增大而________，当x ＝________时，y 有最________值为________；抛物线y ＝－x 2＋6x －5是由抛物线y ＝－x 2向________(填“左”或“右”)平移________个单位长度，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位长度得到的．12. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a (x －2)2交于点B ，抛物线y ＝a (x －2)2交y 轴于点E ，过点B 作x 轴的平行线与两条抛物线分别交于D ，C 两点．若A 是x 轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD ，AC ，EC ，ED ，则四边形ACED 的面积为________．(用含a 的代数式表示)14. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)与x 轴交于A ，B 两点，顶点为P(m ，n)．给出下列结论：①2a ＋c ＜0；②若(－32，y 1)，(－12，y 2)，(12，y 3)在抛物线上，则y 1＞y 2＞y 3；③若关于x 的方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，则k ＞c －n ；④当n ＝－1a 时，△ABP 为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)15. 如图，平行于x 轴的直线AC 与函数y 1＝x 2(x ≥0)，y 2＝13x 2(x ≥0)的图象分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC 交y 2的图象于点E ，则DEAB ＝________．16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＞0)的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于点B .若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．(1)求这条抛物线对应的函数解析式；(2)求直线AB对应的函数解析式．18. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(5，－6)，C(6，0)．(1)求抛物线的解析式．(2)在直线AB下方的抛物线上是否存在点P，使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19. 已知：如图所示，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)．(1)求抛物线的解析式．(2)设点P在该抛物线上滑动，则满足条件S△PAB＝1的点P有几个？求出所有点P的坐标．(3)设抛物线交y轴于点C，该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20. (2019·山西)综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A (–2，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，D C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.人教版 九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质 培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】C【解析】在A 中，抛物线的对称轴在y 轴右边，∴－b2a ＞0，∵a＞0，∴b ＜0；而从一次函数图象知b ＞0，∴选项A 错误；在B 中，抛物线对称轴－b2a ＞0，∵a ＜0，∴b ＞0；而从一次函数图象知b ＜0，∴选项B 错误；在C 中，抛物线的对称轴在y 轴左边，∴－b2a ＜0，∵a ＞0，∴b ＞0；抛物线与y 轴负半轴相交，∴c ＜0；而从一次函数图象知b ＞0，－c ＞0，∴c ＜0，∴选项C 正确；在D 中，抛物线与y 轴的正半轴相交，c ＞0，由一次函数图象知－c ＞0，即c ＜0，∴选项D 错误．2. 【答案】D [解析] A ．将函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位长度得到函数y ＝(x ＋1)2的图象，它经过点(1，4)；B.将函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位长度得到函数y ＝(x －3)2的图象，它经过点(1，4)；C.将函数y ＝x 2的图象向上平移3个单位长度得到函数y ＝x 2＋3的图象，它经过点(1，4)；D.将函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位长度得到函数y ＝x 2－1的图象，它不经过点(1，4)．故选D.3. 【答案】B【解析】由题意知二次函数y=x2+2x+c 有两个相异的不动点x1、x2， 所以x1、x2是方程x2+2x+c=x 的两个不相等的实数根， 整理，得：x2+x+c=0， 所以∆=1–4c>0，又x2+x+c=0的两个不相等实数根为x1、x2，x1<1<x2， 所以函数y=x2+x+c=0在x=1时，函数值小于0， 即1+1+c<0，综上则140110c c ->⎧⎨++<⎩，解得c<-2， 故选B ．4. 【答案】B【解析】∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°.(1)当0≤x ≤2时，点P 在AB 边上，△BDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝BD ＝x ，y ＝12x 2 (0≤x ≤2)，其图象是抛物线的一部分； (2)当2＜x ≤4时，点P 在AC 边上，△CDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝CD ＝4－x ，∴y ＝12BD ·PD ＝12x (4－x ) (2＜x ≤4)，其图象也是抛物线的一部分．综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B 的图象能大致反映y 与x 之间的函数关系．5. 【答案】C 【解析】抛物线开口向上，所以a ＞0，对称轴在y 轴右侧，所以a 、b 异号，所以b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，所以c ＜0，所以直线y ＝ax ＋b过第一、三、四象限，反比例函数y ＝cx 位于第二、四象限，故答案为C.6. 【答案】D [解析] 由一次函数y ＝ax ＋a 可知，其图象与x 轴交于点(－1，0)，排除A ，B ；当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向上，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第一、二、三象限；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向下，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第二、三、四象限．排除C.7. 【答案】A [解析] (1)当点D 位于PM 上时，x ＝2.当0≤x ＜2时，重叠部分是等腰直角三角形，y ＝12x2，图象是顶点为(0，0)且开口向上的抛物线的一部分．(2)当点D 位于PN 上时，x ＝4.当2≤x≤4时，重叠部分是直角梯形，y ＝12×(x －2＋x)×2＝2x －2，图象是直线的一部分；(3)当4＜x≤6时，重叠部分是一个五边形，y ＝12×(2＋6)×2－12(6－x)2＝8－12(6－x)2，图象是顶点为(6，8)且开口向下的抛物线的一部分．故选A.8. 【答案】C [解析] (1)因为当x ＝－12时，与其对应的函数值y>0，由表格可知x ＝0时，y＝－2，x ＝1时，y ＝－2，可以判断在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，图象开口向上，a>0；由表格可知x ＝0时，y ＝－2，x ＝1时，y ＝－2，可得对称轴为直线x ＝12，所以b<0；当x ＝0时，y ＝－2，所以c ＝－2<0，故abc>0，(1)正确．(2)由于对称轴是直线x ＝12，x ＝－2和x ＝3关于对称轴对称，当x ＝－2时，y ＝t ，所以当x ＝3时，y ＝t ，即－2和3是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝t 的两个根，所以(2)正确．(3)依题意可得c ＝－2，a ＋b ＝0，当x ＝－12时，与其对应的函数值y>0可得a>83，当x ＝－1时，m ＝a －b －2＝2a －2>103.因为x＝－1和x ＝2关于对称轴对称，所以m ＝n ，所以m ＋n>203，故(3)错误．故选C.二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】左3 下 2 [解析] 抛物线y ＝12x 2的顶点坐标为(0，0)，而抛物线y ＝12(x ＋3)2－2的顶点坐标为(－3，－2)，所以把抛物线y ＝12x 2先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，就得到抛物线y ＝12(x ＋3)2－2.10. 【答案】下y 轴 (0，－3) ＞ ＝0 大 －3 下 311. 【答案】向下直线x ＝3 (3，4) (1，0)，(5，0) (0，－5) ＜3 增大 ＞3 减小 3 大4 右 3 上 412. 【答案】0 [解析] ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一交点的坐标为(1，0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.13. 【答案】8a[解析] ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a(x －2)2交于点B ，∴BD ＝BC ＝2， ∴DC ＝4.∵y ＝a(x －2)2＝ax 2－4ax ＋4a ， ∴E(0，4a)，∴S 四边形ACED ＝S △ACD ＋S △CDE ＝12DC·OE ＝12×4×4a ＝8a.14. 【答案】②④ [解析] (1)当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0.由x ＝－b 2a ＜12和a ＞0可得－b＜a.∴0＜a －b ＋c ＜a ＋a ＋c ＝2a ＋c ，即2a ＋c ＞0，①错误； (2)结合图象易知②正确；(3)方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，即ax 2＋bx ＋c ＝c －k 有实数解．∵y ＝ax 2＋bx ＋c≥n ，∴c －k≥n ，即k≤c －n ，③错误；(4)设抛物线的解析式为y ＝－1n (x －m)2＋n(n ＜0)．令y ＝0，得－1n (x －m)2＋n ＝0.∴n 2－(x －m)2＝0，∴(n －x ＋m)(n ＋x －m)＝0.∴x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n.AB ＝|x 1－x 2|＝－2n.设对称轴交x 轴于点H ，则AH ＝BH ＝PH ＝－n ，∴△ABP 为等腰直角三角形，④正确．15. 【答案】3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，b)，则B(b ，b)，C(3b ，b)，D(3b ，3b)，E(3 b ，3b)．所以AB ＝b ，DE ＝3 b －3b ＝(3－3) b.所以DE AB ＝（3－3）bb＝3－ 3.16. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋1与x 轴仅有一个交点， ∴b 2－4ac ＝(2a)2－4a ＝0，解得a ＝1，a ＝0(舍去)， ∴抛物线的解析式：y ＝x 2＋2x ＋1.(3分)(2)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ， ∵抛物线解析式y ＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2， ∴A(－1，0)，(4分)过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，如解图， ∵OC ⊥x 轴， ∴OC ∥BD ，∵C 是AB 中点， ∴O 是AD 中点， ∴AO ＝OD ＝1，(6分) ∴点B 的横坐标为1，把x ＝1代入抛物线中，得y ＝(x ＋1)2＝(1＋1)2＝4， ∴B 的坐标为(1，4)．(7分)把点A(－1，0) ，B(1，4)代入y ＝kx ＋b ， 得⎩⎨⎧0＝－k ＋b 4＝k ＋b ， 解得⎩⎨⎧k ＝2b ＝2，∴直线AB 的解析式为： y ＝2x ＋2.(8分)18. 【答案】解：(1)设y ＝a(x ＋1)(x －6)，把(5，－6)代入解析式，得a(5＋1)(5－6)＝－6， 解得a ＝1，∴y ＝(x ＋1)(x －6)＝x2－5x －6. (2)存在．如图，分别过点P ，B 向x 轴作垂线，垂足为M ，N.设P(m ，m2－5m －6)，其中－1＜m ＜5，设四边形PACB 的面积为S ，则PM ＝－m2＋5m ＋6，AM ＝m ＋1，MN ＝5－m ，CN ＝6－5＝1，BN ＝6，∴S ＝S △AMP ＋S 梯形PMNB ＋S △BNC ＝12(－m2＋5m ＋6)(m ＋1)＋12(6－m2＋5m ＋6)(5－m)＋12×1×6＝－3m2＋12m ＋36＝－3(m －2)2＋48，当m ＝2时，S 有最大值为48，这时m2－5m －6＝22－5×2－6＝－12， ∴P(2，－12)．19. 【答案】解：(1)将(1，0)，(3，0)分别代入y ＝－x2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b ＋c ＝0，－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－3.∴该抛物线的解析式为y ＝－x2＋4x －3. (2)设点P 的坐标为(x ，y)．∵AB ＝2，S △PAB ＝12AB·|y|＝1，∴y ＝±1.当y ＝1时，有1＝－x2＋4x －3， 即x2－4x ＋4＝(x －2)2＝0， 解得x1＝x2＝2；当y ＝－1时，有－1＝－x2＋4x －3，即x2－4x ＋2＝0，解得x1＝2－2，x2＝2＋ 2. ∴满足条件的点P 有3个，坐标分别为(2，1)， (2＋2，－1)，(2－2，－1)． (3)存在．作点C 关于抛物线的对称轴的对称点C′，连接AC′交抛物线的对称轴于点M ，连接MC ，任取抛物线对称轴上除点M 外的任意一点N ，连接NA ，NC ，NC′，如图所示．∵NA ＋NC ＝NA ＋NC′＞AC′＝MA ＋MC′＝MA ＋MC ， ∴当点A ，M ，C′共线时，△MAC 的周长最小． ∵抛物线的解析式为y ＝－x2＋4x －3，∴点C 的坐标为(0，－3)，抛物线的对称轴为直线x ＝－42×（－1）＝2，∴C′(4，－3)．设直线AC′的解析式为y ＝mx ＋n. ∵点A(1，0)，C′(4，－3)在直线AC′上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝0，4m ＋n ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，∴直线AC′的解析式为y ＝－x ＋1. 当x ＝2时，y ＝－x ＋1＝－1，∴直线AC′与抛物线对称轴的交点的坐标为(2，－1)，即M(2，－1)． ∴存在点M(2，－1)，使得△MAC 的周长最小．20. 【答案】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(–2，0)，B(4，0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(–2，0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0，6)，∴OC=6，∴S △OAC=1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=，∵S△BCD=34S△AOC，∴S△BCD=39642⨯=，设直线BC的函数表达式为y kx n=+，由B，C两点的坐标得406k nn+=⎧⎨=⎩，解得326kn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的函数表达式为362y x=-+，∴点G的坐标为3(,6)2m m-+，∴2233336(6)34224DG m m m m m=-++--+=-+，∵点B的坐标为(4，0)，∴OB=4，∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅，∴S△BCD=22133346242m m m m-+⨯=-+（），∴239622m m-+=，解得11m=(舍)，23m=，∴m的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，∵D点坐标为15(3,)4，∴点N点纵坐标为±154，当点N的纵坐标为154时，如点N2，此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)，∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N3，N4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x =-=+∴315(114,)4N +-，415(114,)4N --， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合， ∵115(1,)4N -，D(3，154)，∴N1D=4， ∴BM1=N1D=4， ∴OM1=OB+BM1=8， ∴M1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(140)(140)M M M M -，，，，，，，.【名师点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.【22.2二次函数与一元二次方程】一．选择题1．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴只有一个交点，则m的值为（）A．﹣6B．6C．3D．92．已知某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，若该二次函数图象的对称轴是直线x ＝3，且点A的坐标是（8，0），则AB的长为（）A．5B．8C．10D．113．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜2B．x＞2C．x＜﹣1D．x＜﹣1或x＞2 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：x…0100400…y…2﹣22…则方程ax2+bx+4＝0的根是（）A．x1＝x2＝200B．x1＝0，x2＝400C．x1＝100，x2＝300D．x1＝100，x2＝5005．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，m）（2，m）（m＞0），与x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0．则下列结论：①若点（，y）是函数图象上一点，则y＞0；②若点（﹣），（）是函数图象上一点，则y2＞y1；③（a+c）2＜b2．其中正确的是（）A．①B．①②C．①③D．②③6．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c ＝0的一个解的范围是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20y﹣0.03﹣0.010.020.04A．﹣0.01＜x＜0.02B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.208．已知函数y＝3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b 9．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0），则b和c的值为（）A．b＝4，c＝﹣3B．b＝﹣4，c＝3C．b＝﹣4，c＝﹣3D．b＝4，c＝﹣3 10．如图，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x 轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（）A．或B．或C．或D．或二．填空题11．抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，则a的取值范围为．12．已知函数y＝（m+3）x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为13．已知二次函数y＝x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围内时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是．14．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过点A（﹣2，0），B（3，0）两点．若关于x的一元二次方程a（x﹣h+m）2+k＝0的一个根是1，则m的值为．15．抛物线y＝ax2﹣3x+2与x轴正半轴交于A、B两点，且AB＝2，则a＝．三．解答题16．已知关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点，求k的取值范围．17．抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点D为顶点，对称轴l交x轴于点E，点P是抛物线上一点，AP交对称轴于点M，BP交对称轴于点N．求点D坐标及对称轴l．18．如图，已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y 轴于C点．（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值．19．已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣101234…y…50﹣3﹣4﹣30m…（1）二次函数图象的开口方向，顶点坐标是，m的值为；（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函数图象上，y1y2（填＜、＞、＝）；（3）当y＜0时，x的取值范围是；（4）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为．20．如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝1，请你解答下列问题：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求出抛物线与x轴的交点；（Ⅲ）当y随x的增大而减小时x的取值范围是．（Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是．参考答案一．选择题1．解：根据题意得△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9．故选：D．2．解：∵某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，该二次函数图象的对称轴是直线x ＝3，且点A的坐标是（8，0），∴点B的坐标为（﹣2，0），∴AB＝8﹣（﹣2）＝8+2＝10，故选：C．3．解：由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2，故选：D．4．解：由抛物线经过点（0，2）得到c＝2，因为抛物线经过点（0，2）、（400，2），所以抛物线的对称轴为直线x＝200，而抛物线经过点（100，﹣2），所以抛物线经过点（300，﹣2），所以二次函数解析式为y＝ax2+bx+2，方程ax2+bx+4＝0变形为ax2+bx+2＝﹣2，所以方程ax2+bx+4＝0的根理解为函数值为﹣2所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+4＝0的根为x1＝100，x2＝300．故选：C．5．解：∵抛物线经过点（0，m）（2，m）（m＞0），（x1，0）（﹣1＜x1＜0），∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，∴当x＝时，y＞0，则①正确；∵点（）到直线x＝1和点（）到直线x＝1的距离相等，∴y1＝y2，所以②错误；∵x＝1，y＞0；x＝﹣1，y＜0，即a+b+c＞0，a﹣b+c＜0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2，则③正确．故选：C．6．解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，∴方程kx2﹣6x+3＝0（k≠0）有实数根，即△＝36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．故选：D．7．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故选：C．8．解：由3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0变形得（x﹣m）（x﹣n）＝3，∴x﹣m＞0，x﹣n＞0或x﹣m＜0，x﹣n＜0，∴x＞m，x＞n或x＜m，x＜n，∵a，b是方程的两个根，将a，b代入，得：a＞m，a＞n，b＜m，b＜n或a＜m，a＜n，b＞m，b＞n，观察选项可知：a＜b，m＜n，只有D可能成立．故选：D．9．解：抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．所以b＝﹣4，c＝3．故选：B．10．解：∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x+1）2﹣4a，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B（1，0），点D（﹣1，﹣4a），∴D′（3，4a），C（5，0），∵△CDD′是直角三角形，∴当∠DD′C＝90°时，4a＝×（5﹣1）＝2，得a＝，当∠D′CD＝90°时，CB＝DD′，∴5﹣1＝，解得，a1＝，a2＝﹣（舍去），由上可得，a的值是或，故选：A．二．填空题21．解：∵抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，∴，解得，a＞﹣1且a≠0，故答案为：a＞﹣1且a≠0．22．解：∵函数y＝（m+3）x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，∴或（m+3）＝0，解得，m＝﹣1或m＝﹣3，故答案为：m＝﹣1或m＝﹣3．23．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，若抛物线与x轴有一个交点，则当x＝﹣1，y＝0；当x＝1，y≥0时，在﹣2≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，即1+2+n≥0且4﹣4+n＜0，解得﹣3≤n ＜0；所以，n的取值范围是n＝1或﹣3≤n＜0．故答案为n＝1或﹣3≤n＜0．24．解：由已知可得：对称轴为x＝，∴h＝，∴y＝a（x﹣）2+k，将点A（﹣2，0）代入y＝a（x﹣）2+k，∴k＝﹣a，∵a（x﹣h+m）2+k＝0，∴a（x﹣+m）2﹣a＝0，∵a≠0，∴（x﹣+m）2＝，∵方程的一个根为1，∴（1﹣+m）2＝，故答案为m＝2或m＝﹣3．25．解：当y＝0时，ax2﹣3x+2＝0，∵a＞0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，解得x1＝，x2＝，∴A、B两点的坐标为（，0），（，0），∵AB＝2，∴﹣＝2，解得a＝．故答案为．三．解答题31．解：∵关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点，∴或，解得，k≤2且k≠1或k＝1，由上可得，k的取值范围是k≤2．32．解：把A（﹣3，0），C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，因为y＝﹣（x﹣1）2+4，所以D点坐标为（1，4），抛物线的对称轴l为直线x＝1．33．解：（1）令y＝0，得：﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴点A（﹣3，0），点B（1，0）；令x＝0，得：y＝3，∴点C（0，3）；设直线AC的解析式为：y＝kx+b，点A（﹣3，0），点C（0，3）在直线AC上，，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝x+3．（2）如图所示，设点P的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），由PM∥x轴，可知点M的纵坐标为﹣a2﹣2a+3，∴x＝﹣a2﹣2a，∴PM＝﹣a2﹣2a﹣a＝﹣a2﹣3a（﹣3＜a＜0），＝．当a＝时，PM最大34．解：（1）由表格可见，函数的对称轴为x＝1，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4），根据函数的对称性m＝5；故答案为：向上；（1，﹣4）；5；（2）从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故y1＞y2；故答案为：＞；（3）从表格看，当y＜0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3；（4）从表格看，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为：x＝﹣2或4，故答案为：x＝﹣2或4．35．解：（Ⅰ）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴m＝3；（Ⅱ）∵m＝3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；（Ⅲ）∵a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y的值随x的增大而减小，故答案为x＞1；（Ⅳ）当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，故答案为x＜﹣1或x＞3．22.3 实际问题与二次函数一、选择题（本大题共10道小题）1. 小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是()A．4 cm2B．8 cm2C．16 cm2D．32 cm22. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()A．50 m B．100 mC．160 m D．200 m3. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．有下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.其中正确的是()A．①④B．①②C．②③④D．②③4. 如图，利用一面墙，其他三边用80米长的篱笆围成一块矩形场地，墙长为30米，则围成矩形场地的最大面积为()A．800平方米B．750平方米C ．600平方米D ．2400平方米5. 如图，△ABC 是直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，点P 从点A出发，沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1 cm/s 的速度向点C 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则四边形BCQP 面积的最小值是( )A ．8 cm 2B ．16 cm 2C ．24 cm 2D ．32 cm 26. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB ＝90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为( )A ．y ＝26675x 2 B ．y ＝－26675x 2 C ．y ＝131350x 2D ．y ＝－131350x 27. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从点A 沿AC向点C 以1 cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2 cm/s 的速度运动(点Q 运动到点B 时，两点同时停止运动)，在运动过程中，四边形P ABQ 的面积的最小值为 ( )A ．19 cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 28. 在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的一部分(如图)，其中出球点B 离地面点O 的距离是1 m ，球落地点A 到点O 的距离是4 m ，那么这条抛物线的解析式是( )A ．y ＝－14x 2＋34x ＋1B ．y ＝－14x 2＋34x －1C ．y ＝－14x 2－34x ＋1D ．y ＝－14x 2－34x －19. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m ，在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )A ．此抛物线的解析式是y ＝－15x 2＋3.5 B ．篮圈中心的坐标是(4，3.05) C ．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D ．篮球出手时离地面的高度是2 m10. 一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD 是边长为80 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四点重合于图中的点O ，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE ＝CF ＝x cm ，要使包装盒的侧面积最大，则x 应取( )A．30 B．25 C．20 D．15二、填空题（本大题共7道小题）11. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________ m2.12. 已知一个直角三角形两直角边长的和为30，则这个直角三角形的面积最大为________．13. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.14. 某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t·为正整数．．．．)的增大而增大，a 的取值范围应为________．15. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．16. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．17. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________m.三、解答题（本大题共4道小题）18. 某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若每件售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价x元．(1)每件衬衫的盈利为多少？(2)用含x的代数式表示每天可售出的衬衫件数．(3)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？(4)这次降价活动中，1920元是最高日盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高日盈利值．19. 如图，工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)．(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕，并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形的边长；(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低为多少元？20. 如图，某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的长为x(m)，占地面积为y(m2)．(1)如图②，当饲养室的长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图③，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室的长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．21. 有一块形状如图所示的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B ＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．(1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．人教版 九年级数学 22.3 实际问题与二次函数同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A [解析] 设矩形的一边长为x cm ，则另一边长为()4－x cm ，故矩形的面积S ＝x ()4－x ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，所以当x ＝2时，S 最大值＝4.故矩形的最大面积为4 cm2.2. 【答案】C [解析] 以2 m 长线段所在直线为x 轴，以其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的长度．3. 【答案】D [解析] ①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m ，故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确；③∵小球抛出3秒时达到最高点，∴速度为0，故③正确； ④设函数解析式为h ＝a(t －3)2＋40， 把O(0，0)代入得0＝a(0－3)2＋40. 解得a ＝－409，∴函数解析式为h ＝－409(t －3)2＋40.把h ＝30代入解析式，得30＝－409(t －3)2＋40，解得t ＝4.5或t ＝1.5，∴小球的高度h ＝30 m 时，t ＝1.5 s 或4.5 s ，故④错误．故选D.4. 【答案】B[解析] 设矩形场地中平行于墙的边长为x 米，则垂直于墙的边长为80－x2米，围成矩形场地的面积为y 平方米， 则y ＝x ·（80－x ）2＝－12x 2＋40x ＝－12(x －40)2＋800.∵a <0，∴x <40时，y 随x 的增大而增大，由于墙长为30米，∴0<x ≤30，∴当x ＝30时，y 取得最大值，为－12×(30－40)2＋800＝750.5. 【答案】A[解析] 设运动时间为t s ，四边形BCQP 的面积为S m 2，。
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试-人教版(含答案)
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试-人教版（含答案）一．选择题1．若y＝（2﹣m）是二次函数，则m等于（）A．±2B．2C．﹣2D．不能确定2．下列函数不属于二次函数的是（）A．y＝（x﹣1）（x+2）B．y＝（x+1）2C．y＝1﹣x2D．y＝2（x+3）2﹣2x23．下列函数中是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1B．y＝x3﹣2x﹣3C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝3x2﹣14．二次函数y＝﹣x2+2x的图象可能是（）A．B．C．D．5．抛物线y＝x2﹣2x+3的对称轴为（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝26．若函数y＝（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为（）A．﹣2B．1C．2D．﹣17．在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（）A．B．C．D．8．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．9．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＝3B．m＞3C．m≥3D．m≤310．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．二．填空题11．若是二次函数，则m＝．12．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是．13．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）．14．若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，则m＝．15．已知y＝（a+1）x2+ax是二次函数，那么a的取值范围是．16．若y＝（m2+m）是二次函数，则m的值等于．17．小颖同学想用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，取自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表：x…﹣2﹣1012…y…112﹣125…由于粗心，小颖算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x＝．18．已知抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是．19．已知抛物线y＝ax2与y＝2x2的形状相同，则a＝．20．二次函数y＝x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x＝．三．解答题21．函数是关于x的二次函数，求m的值．22．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？23．画出二次函数y＝x2的图象．24．已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x与二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．（1）求m，c的值；（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．25．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？26．已知是x的二次函数，求出它的解析式．27．抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？参考答案一．选择题1．解：根据二次函数的定义，得：m2﹣2＝2解得m＝2或m＝﹣2又∵2﹣m≠0∴m≠2∴当m＝﹣2时，这个函数是二次函数．故选：C．2．解：A、整理为y＝x2+x﹣3，是二次函数，不合题意；B、整理为y＝x2+x+，是二次函数，不合题意；C、整理为y＝﹣x2+1，是二次函数，不合题意；D、整理为y＝12x+18，是一次函数，符合题意．故选：D．3．解：二次函数的一般式是：y＝ax2+bx+c，（其中a≠0）（A）最高次数项为1次，故A错误；（B）最高次数项为3次，故B错误；（C）y＝x2+2x+1﹣x2＝2x﹣1，故C错误；故选：D．4．解：∵y＝﹣x2+2x，a＜0，∴抛物线开口向下，A、C不正确，又∵对称轴x＝﹣＝1，而D的对称轴是直线x＝0，∴只有B符合要求．故选：B．5．解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴对称轴为x＝1，故选：C．6．解：∵函数y＝（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，∴，解得m＝﹣2．故选：A．7．解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．故选：A．8．解：∵二次函数y＝x2+a∴抛物线开口向上，∴排除B，∵一次函数y＝ax+2，∴直线与y轴的正半轴相交，∴排除A；∵抛物线得a＜0，∴排除C；故选：D．9．解：∵二次函数的解析式y＝（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1，∴该二次函数的开口方向是向上；又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1），∴该二次函数图象在[﹣∞，m]上是减函数，即y随x的增大而减小；而已知中当x≤3时，y随x的增大而减小，∴x≤3，∴x﹣m≤0，∴m≥3．故选：C．10．解：解得或．故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；故选：D．二．填空题11．解：∵是二次函数，∴，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．12．解：由图形观察可知，把x轴上边的阴影部分的面积对称到下边就得到一个半圆阴影面积，则阴影部分的面积s＝＝2π．故答案为：2π．13．解：①y＝3x2，②y＝x2，③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1，∵3＞1＞，∴抛物线②y＝x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．故依次填：①③②．14．解：由y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，得，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．15．解：根据二次函数的定义可得a+1≠0，即a≠﹣1．故a的取值范围是a≠﹣1．16．解：根据二次函数的定义，得：，解得：m＝2．故答案为：2．17．解：根据表格给出的各点坐标可得出，该函数的对称轴为直线x＝0，求得函数解析式为y＝3x2﹣1，则x＝2与x＝﹣2时应取值相同．故这个算错的y值所对应的x＝2．18．解：已知抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴为x＝1，根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（3，0），观察图象，当y＞0时，﹣1＜x＜3．19．解：∵抛物线y＝ax2与y＝2x2的形状相同，∴|a|＝2，∴a＝±2．故答案为±2．20．解：∵点（3，4）和（﹣5，4）的纵坐标相同，∴点（3，4）和（﹣5，4）是抛物线的对称点，而这两个点关于直线x＝﹣1对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．故答案为﹣1．三．解答题21．解：由题意可知解得：m＝2．22．解：（1）依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0，∴m≠0且m≠1．23．解：函数y＝x2的图象如图所示，24．解：（1）∵点A（﹣1，m）在函数y＝﹣2x的图象上，∴m＝﹣2×（﹣1）＝2，∴点A坐标为（﹣1，2），∵点A在二次函数图象上，∴﹣1﹣2+c＝2，解得c＝5；（2）∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+5，∴y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，6）．25．解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m＝0解得m＝0或m＝1又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m＝0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0解得m1≠0，m2≠1∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．26．解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1又因为m2﹣2m﹣1＝2，m2﹣2m﹣3＝0解得m＝3或m＝﹣1（不合题意，舍去）所以m＝3故y＝12x2+9．27．解：（1）由抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）得：m＝3．∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．列表得：X﹣10123y03430图象如右．（2）由﹣x2+2x+3＝0，得：x1＝﹣1，x2＝3．∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴抛物线顶点坐标为（1，4）．（3）由图象可知：当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．（4）由图象可知：当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．。
九年级数学上册 第22章 二次函数章节同步检测(含解析)(新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级
第22章一、单选题1．已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值X 围是() A ．2a <B ．1a >-C ．12a -<≤D ．12a -≤<2．为了响应“足球进校国”的目标，某某市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h （m ）可以用公式h ＝﹣5t 2+v 0t 表示，其中t （s ）表示足球被踢出后经过的时间，v 0（m /s ）是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m ，那么足球被踢出时的速度应该达到（ ） A ．5m /sB ．10m /sC ．20m /sD ．40m /s3．二次函数2241y x x =--+在自变量21x -≤≤的取值X 围内，下列说法正确的是（ ） A ．最大值为3 B ．最大值为1 C ．最小值为1D ．最小值为04．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论： ①因为0a >，所以函数y 有最大值；②该函数的图象关于直线1x =-对称；③0a b c -+>；④当3x =-或1x =时，函数y 的值都等于0．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．二次函数y=ax 2+bc+c 的图象如图所示，则下列判断中错误的是（ ）A ．图象的对称轴是直线x=﹣1B ．当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小C ．当﹣3＜x ＜1时，y ＜0D ．一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根是﹣3，16．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=12cm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以1cm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以2cm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC 的面积最小．A ．1B ．2C ．3D ．47．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax 2＋b 与y ＝bx 2＋ax 的图象可能是( )A ．AB ．BC ．CD ．D8．抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数），0a >，顶点坐标为1(,)2m .给出下列结论：①若点1(,)n y 与点23(2)2n y -，在该抛物线上，当12<n 时，则12y y <；②关于x 的一元二次方程210-+-+=ax bx c m 无实数解，那么（）A ．①正确，②正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误 9．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值X 围是（）A ．m 1≥B ．0m ≤C ．01m ≤≤D ．m 1≥或0m ≤10．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．11．已知二次函数22(2)(21)1y k x k x =-+++与x 轴有交点，则k 的取值X 围在数轴上表示正确的是() A ． B ．C ．D ．12．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数 y 1=x 2（x≥0）与 y 2=13x 2（x≥0）的图象于 B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1=x 2（x≥0）的图象于点D ，直线DE ∥AC 交 y 2=13x 2（x≥0）的图象于点E ，则DEAB =（ ）A ．3B ．1C ．2D ．3﹣二、填空题13．已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式m²-m+2019的值为_______14．a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b____c （用“＞”或“＜”号填空） 15．已知二次函数y ＝(x ﹣2)2﹣3，当x_____时，y 随x的增大而减小．16．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB 、BC 两边）.设AB m =，若在P 处有一棵树与墙CD 、AD 的距离分别是18m 和6m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S 的最大值为___2m .17．二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=﹣1，与x 轴的一个交点是A （﹣3，0）其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①2a=b；②abc ＞0，③若点B （﹣2，y 1），C （﹣52，y 2）是图象上两点，则y 1＜y 2；④图象与x 轴的另一个交点的坐标为（1，0）．其中正确的是_____（把正确说法的序号都填上）18．已知方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1，则抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点间距离为_________．三、解答题19．如图，在直角坐标系xOy 中有一梯形ABCO ，顶点C 在x 正半轴上，A 、B 两点在第一象限；且AB ∥CO ，AO ＝BC ＝2，AB ＝3，OC ＝5．点P 在x 轴上，从点（﹣2，0）出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向正方向运动；同时，过点P 作直线l ，使直线l 和x 轴向正方向夹角为30°．设点P 运动了t 秒，直线l 扫过梯形ABCO 的面积为S 扫．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）当t＝2秒时，求S扫的值；（3）求S扫与t的函数关系式，并求出直线l扫过梯形ABCO面积的34时点P的坐标．20．某工厂制作,A B两种手工艺品，B每天每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B数量相等．（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式．（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．21．已知关于x的二次函数y=ax2-(2a+2)x+b(a≠0)在x=0和x=6时函数值相等.(1)求a的值;(2)若该二次函数的图象与直线y=-2x的一个交点为(2,m),求它的解析式;(3)在(2)的条件下,直线y=-2x-4与x轴,y轴分别交于A,B,将线段AB向右平移n(n>0)个单位,同时将该二次函数在2≤x≤7的部分向左平移n个单位后得到的图象记为G,请结合图象直接回答,当图象G与平移后的线段有公共点时,n的取值X围.22．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为，球场的边界距O点的水平距离为18m．（1）当时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值X围）（2）当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值X围．23．已知反比例函数kyx=的图象与直线y x1=+都过点()3,n-．()1求n，k的值；()2若抛物线22y x2mx m m1=-+++的顶点在反比例函数kyx=的图象上，求这条抛物线的顶点坐标．24．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么X围内？25．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第8个月公司所获利润为多少万元?26．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？参考答案1．D 【解析】 【分析】由抛物线与x 轴没有公共点，可得∆<0，求得2a <，求出抛物线的对称轴为直线x a =，抛物线开口向上，再结合已知当1x <-时，y 随x 的增大而减小，可得1a ≥-，据此即可求得答案. 【详解】(1)(1)37y x a x a a =---+-+22236x ax a a =-+-+，抛物线与x 轴没有公共点，22(2)4(36)0a a a ∴∆=---+<，解得2a <，抛物线的对称轴为直线22ax a -=-=，抛物线开口向上， 而当1x <-时，y 随x 的增大而减小，1a ∴≥-，∴实数a 的取值X 围是12a -≤<，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与x 轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 2．C 【解析】 【分析】因为-5＜0，抛物线开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式表示函数的最大值，根据题目对最大值的要求，求待定系数v 0． 【详解】解：h=-5t 2+v 0•t，其对称轴为t=010V ，当t=010V 时，h 最大=-5×（010V ）2+v 0•010V=20，解得：v 0=20，v 0=-20（不合题意舍去），故选C ．【点睛】本题考查的是二次函数的应用，关键是利用当对称轴为t=-010V 时h 将取到最大值． 3．A 【解析】 【分析】把函数解析式变成顶点式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】∵y =﹣2x 2﹣4x +1=﹣2（x +1）2+3，∴在自变量﹣2≤x ≤1的取值X 围内，当x =﹣1时，有最大值3，当x =1时，有最小值为y =﹣2﹣4+1=﹣5． 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键． 4．C 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质，对结论一一判断即可. 【详解】①a ＞0，二次函数的图像开口向上，y 有最小值，此结论错误；②对称轴为x =132+-（）=﹣1，此结论正确；③令x =﹣1，y =a ﹣b +c ，由图像可得，x =﹣1时，y ＜0，所以a ﹣b +c ＜0，此结论错误；④由图像可得，x =﹣3或x =1时，函数y 的值都为0，此结论正确，正确的结论有2个. 故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，需熟记相关结论. 5．B 【解析】 【分析】直接根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A选项：∵抛物线与x轴的交点分别为-3，1，∴图象的对称轴是直线x=312-+=-1，故本选项正确；B选项：∵抛物线开口向上，对称轴是直线x=-1，∴当x＜-1时，y随x的增大而减小，故本选项错误；C选项：由函数图象可知，当-3＜x＜1时，y＜0，故本选项正确；D选项：∵抛物线与x轴的交点分别为-3，1，∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-3，1，故本选项正确．故选B．【点睛】考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．6．C【解析】【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：S=S△ABC-S△PBQ=12×12×6-12（6-t）×2t=t2-6t+36=（t-3）2+27．∴当t=3s时，S取得最小值．故选C．【点睛】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．7．D【解析】【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象．【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；B 、两个函数的开口方向都向下，那么a ＜0，b ＜0，可得第一个函数的对称轴是y 轴，与y 轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y 轴的左侧，故本选项错误；C 、D 、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a ，b 异号，可得第二个函数的对称轴在y 轴的右侧，故C 错误，D 正确． 故选D ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y 轴的左侧，异号在y 轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y 轴；常数项是二次函数与y 轴交点的纵坐标． 8．A 【解析】 【分析】①根据二次函数的增减性进行判断便可；②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m ，再把m 代入一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误． 【详解】解：①∵顶点坐标为1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭,12n <∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x=12的对称点为（1-n ，y 1）， ∴点（1-n ，y 1）与2322n y ⎛⎫-⎪⎝⎭，在该抛物线的对称轴的右侧图像上, 31(1)2022n n n ⎛⎫---=-< ⎪⎝⎭3122n n ∴-<- ∵a ＞0，∴当x ＞12时，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，故此小题结论正确； ②把1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭代入y=ax 2+bx+c 中，得1142m a b c =++,∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0中，△=b 2-4ac+4am-4a 2211444()4042b ac a a b c a a b a ⎛⎫=-+++-=+-<⎪⎝⎭∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确；故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负． 9．C 【解析】 【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的X 围可知. 【详解】 解：如图1所示， ∵2(1)4y x =--， ∴顶点坐标为(1,4)-， 当0x =时，3y =-， ∴(0,3)A -， 当4x =时，5y =， ∴(4,5)C ， ∴当0m =时，(4,5)D -，∴此时最大值为0，最小值为5-； 如图2所示，当1m =时， 此时最小值为4-，最大值为1． 综上所述：01m ≤≤， 故选C ．【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键．10．B【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣22a-＞0．故选项正确；C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣22a-＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．故选B．点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．11．C【解析】【分析】直接利用根的判别式得到△=（2k+1）2-4×（k-2）2≥0，再利用二次函数的定义得到k-2≠0，然后解两不等式得到k的X围，从而对各选项进行判断．【详解】解：∵二次函数y=（k-2）2x 2+（2k+1）x+1与x 轴有交点， ∴△=（2k+1）2-4（k-2）2≥0，解得34k ， ∵（k-2）2≠0，∴k≠2， ∴k 的取值X 围为:34k 且2k ≠． 故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值X 围． 12．D 【解析】 【分析】设点A 的纵坐标为b, 可得点B 的坐标为,b), 同理可得点C 的坐标为b,b)，D 3b ），E 点坐标(，可得DEAB的值. 【详解】解:设点A 的纵坐标为b, 因为点B 在21y x =的图象上, 所以其横坐标满足2x =b, 根据图象可知点B 的坐标为,b), 同理可得点C 的坐标为∴所以点D 因为点D 在21y x =的图象上, 故可得y=2=3b ，所以点E 的纵坐标为3b, 因为点E 在2213y x =的图象上, ∴213x =3b ，因为点E 在第一象限, 可得E 点坐标为(故DE==(3所以DEAB=3 故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质. 13．2020【解析】【分析】把点（m，0）代入抛物线y=x²-x-1求出m²-m的值，再代入所求代数式进行计算即可．【详解】∵抛物线y=x²−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，∴m²−m−1=0，∴m²−m=1，∴原式=1+2019=2020.故答案为2020.【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于利用待定系数法求解.14．＜【解析】试题分析：将二次函数y＝x2－2ax＋3转换成y＝(x-a)2-a2＋3,则它的对称轴是x=a,抛物线开口向上，所以在对称轴右边y随着x的增大而增大，点A点B均在对称轴右边且a+1<a+2,所以b<c.15．＜2【解析】【分析】根据二次函数的性质,找到解析式中的a为1和对称轴,由a的值可判断出开口方向,在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．【详解】解:在y=（x-2）2-3中,a=1,∵a＞0,∴开口向上,由于函数的对称轴为x=2,当x＜2时,y的值随着x的值增大而减小,当x＞2时,y的值随着x的值增大而增大,故答案为:＜2．【点睛】本题考查了二次函数的性质,找到的a的值和对称轴,对称轴方程是解题的关键．16．180【解析】【分析】根据长方形的面积公式可得S 关于m 的函数解析式，由树与墙CD ，AD 的距离分别是18m 和6m 求出m 的取值X 围，再结合二次函数的性质可得答案． 【详解】 解：∵AB =m 米， ∴BC =（28-m ）米．则S =AB •BC =m （28-m ）=-m 2+28m ． 即S =-m 2+28m （0＜m ＜28）． 由题意可知，62818m m ≥⎧⎨-≥⎩， 解得6≤m ≤10．∵在6≤m ≤10内，S 随m 的增大而增大， ∴当m =10时，S 最大值=180， 即花园面积的最大值为180m 2． 故答案为180．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S 与m 的函数关系式是解题关键． 17．①②④ 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴方程得到﹣2ba=﹣1，则可对①进行判断；利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用对称轴位置得到b ＜0，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得c ＞0，则可对②进行判断；根据二次函数的性质对③进行判断；利用抛物线的对称性对④进行判断． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线x =﹣2ba=﹣1，∴b =2a ，所以①正确； ∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∴b =2a ＜0．∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＞0，所以②正确；∵x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∴y1＞y2，所以③错误；∵抛物线对称轴是直线x=﹣1，抛物线与x轴的一个交点是A（﹣3，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），所以④正确．故答案为①②④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了二次函数的性质．18．7 2【解析】试题分析：根据一元二次方程与二次函数的关系可知抛物线与x轴两交点的横坐标，再根据距离公式即可得出答案.解：∵方程2x2﹣3x﹣5=0两根为52，﹣1，∴抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点的横坐标分别为52，﹣1，∴两个交点间距离为57(1)22 --=.故答案为72.19．（1）（1），（4）；（2（3）22(02)4=3)7)t tS tt≤<-≤<⎪-≤≤⎪⎩扫；P的坐标为（5﹣，0）．【解析】【分析】（1）两底的差的一半就是A 的横坐标；过A 、B 作x 轴的垂线，在构建的直角三角形中根据OA 的长及两底的差便可求出梯形的高即A 点的纵坐标．得出A 点坐标后向右平移3个单位就是B 点的坐标．（2）当t ＝2时，P 、O 两点重合，如果设直线l 与AB 的交点为D ，那么AD ＝2，而AD 边上的高就是A 点的纵坐标，由此可求出△ADO 的面积及直线l 扫过的面积． （3）本题要分三种情况进行讨论：①当P 在原点左侧，即当0≤t ＜2时，重合部分是个三角形，如果设直线l 与AO ，AB 分别交于E ，F ，可根据△AEF ∽△AOD ，用相似比求出其面积．即可得出S ，t 的函数关系式．②当P 在O 点右侧（包括和O 重合），而F 点在B 点左侧时，即当2≤t ＜3时，扫过部分是个梯形，可根据梯形的面积计算方法即可得出直线l 扫过部分的面积．也就能得出S ，t 的函数关系式．③当P 点在C 点左侧（包括和C 点重合），F 点在B 点右侧（包括和B 点重合），即当3≤t ≤7时，扫过部分是个五边形，可用梯形ABCO 的面积减去△MPC 的面积来得出S ，t 的函数关系式． 【详解】（1）过A 作AD ⊥OC 于D ，过B 作BE ⊥OC 于E ，则ADEB 是矩形． ∵ADEB 是矩形，∴AD =BE =3．∵AO =BC ，∴△AOD ≌△BCE ，∴OD =CE =（OC －AB ）÷2=1．∵AO =2，∴AD ，∴A （1．∵OE =OD +DE =1+3=4，BE =AD B （4． ∵BC =2EC ，∴∠EBC =30°，∴∠OCB =60°．（2）当t ＝2时，P 、O 两点重合，如果设直线l 与AB 的交点为D ，那么AD ＝2，而AD 边上的高就是A 点的纵坐标，∴S 扫=122⨯．（3）分三种情况讨论：①当0≤t ＜2时，如图1，△AEF ∽△AOD，222AEF AODS SAE t SAO ===（）（），∴S 扫=t 2；②当2≤t ＜3时，如图2，S 扫＝S △AOD +S □DOPF =t ﹣2），∴S 扫= ③当3≤t ≤7时，如图3，过B 作直线EB ∥直线l 交OC 于E ． ∵∠BEC =30°，∠OCB=60°，∴∠CBE =90°，∴EC =2BC=4，∴S △CEB =122⨯⨯=CP =7－t ． ∵MP ∥BE ，∴27423CPM CPM CEB S S tS （）-==，∴S △CPM ＝274t -（），∴S 扫＝S △CPM ＝4274t -（），∴S扫=2综上所述：22(02)4=3)7)t S t t ≤<⎪≤<⎪+≤≤⎪⎩扫．∵-234=⨯t 2﹣14t +41＝0，t 1＝7﹣，t 2＝7（舍），∴P的坐标为（5﹣0）．【点睛】本题考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的综合应用等知识点．主要考查了学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．20．（1）制作一件A 获利15元，制作一件B 获利120元（2）16533y x =-+（3）此时制作A 产品的13人，B 产品的26人，C 产品的26人，获利最大，最大利润为2198元 【解析】 【分析】（1）设制作一件A 获利x 元，则制作一件B 获利（105x +）元，由题意得：30240105x x =+；（2）设每天安排x 人制作B ，y 人制作A ，则2y 人制作C ，于是有：265y x y ++=；（3）列出二次函数，2221652130902130902100195033W x x y x x x x x ⎛⎫=-++=-++-+=-++ ⎪⎝⎭，再求函数最值即可.【详解】（1）设制作一件A 获利x 元，则制作一件B 获利（105x +）元，由题意得：30240105x x =+，解得：15x =， 经检验，15x =是原方程的根， 当15x =时，105120x +=，答：制作一件A 获利15元，制作一件B 获利120元．（2）设每天安排x 人制作B ，y 人制作A ，则2y 人制作C ，于是有：265y x y ++=，∴16533y x =-+ 答：y 与x 之间的函数关系式为∴16533y x =-+． （3）由题意得：2152[1202(5)]230213090W y x x y x x y =⨯⨯+--+⨯=-++，又∵16533y x =-+ ∴2221652130902130902100195033W x x y x x x x x ⎛⎫=-++=-++-+=-++ ⎪⎝⎭， ∵221001950W x x =-++，对称轴为25x =，而25x =时，y 的值不是整数，根据抛物线的对称性可得：当26x =时，22261002619502198W =-⨯+⨯+=最大元．此时制作A 产品的13人，B 产品的26人，C 产品的26人，获利最大，最大利润为2198元．【点睛】考核知识点：分式方程，二次函数应用.根据题意列出方程，把实际问题转化为函数问题是关键.21．(1) x=3,a=12(2) y=12x 2-3x(3)n=1或2≤n ≤4, 【解析】【分析】(1)可得二次函数x=3，可求得a 的值；（2）先求出交点为(2,-4)，代入（1）解析式可得二次函数的解析式；(3)可先求得A 、B 点坐标及直线y=-2x-4向右平移n(n>0)个单位的表达式，二次函数在2≤x ≤7的部分向左平移n 个单位后得到的图象记为G ，可得G 的函数表达式，两者联立的方程有解，可得n 的取值X 围.【详解】(1)∵二次函数在x=0和x=6时函数值相等,∴该二次函数的对称轴为x=3∴x=()2232a a -+-=,解并检验得:a=12. (2)∵直线y=-2x 过点(2,m),∴m=-2×2=-4,由题意,点(2,-4)在抛物线上,且由(1)a=12,抛物线为y=12x 2-3x+b,可得:2-6+b=-4,解得b=0,∴抛物线的解析式为y=12x 2-3x. (3)①如图：当n=1时，一次函数为22y x =--(-1≤x ≤1),G 为20.52 2.5y x x =--(1≤x ≤6)，有公共交点（1，-4），故n=1满足条件;②当n=2时, 2y x =-(0≤x ≤2), G 为20.54y x x =--(0≤x ≤5), 有公共交点（2，-4），故n=2满足条件 ③当n=4时, 24y x =-+(2≤x ≤4), G 为20.54y x x =+-(-2≤x ≤3),此时有公共点（2，0） 故：n=1或2≤n ≤4,【点睛】本题主要考查平移的性质，根的判别式及二次函数的综合.22．（1）y=160-(x －6)2 （2）球能越过网；球会过界（3）h≥83【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）利用将点（0，2），代入解析式求出即可；（2）利用当x=9时，y=﹣160（x ﹣6）2，当y=0时，21(6) 2.6060x --+=，分别得出即可； （3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a （x ﹣6）2+h 还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，），抛物线y=a （x ﹣6）2+h 还过点（0，2）时分别得出h 的取值X 围，即可得出答案． 试题解析：解：（1），球从O 点正上方2m 的A 处发出，∴抛物线y=a （x ﹣6）2+h 过点（0，2），∴2=a（0﹣6）2，解得：a=﹣160， 故y 与x 的关系式为：y=﹣160（x ﹣6）2， （2）当x=9时，y=﹣160（x ﹣6）2＞， 所以球能过球网；当y=0时，21(6) 2.6060x --+=， 解得：x 1＞18，x 2=6﹣（舍去）故会出界；（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a （x ﹣6）2+h 还过点（0，2），代入解析式得：236{0144a h a h=+=+， 解得：154{83a h =-=， 此时二次函数解析式为：y=﹣154（x ﹣6）2+83， 此时球若不出边界h≥83， 当球刚能过网，此时函数解析式过（9，），抛物线y=a （x ﹣6）2+h 还过点（0，2），代入解析式得：222.43=a 9-6+h 2=a 0-6+h⎧⎨⎩（）（）解得：432700{19375a h =-=， 此时球要过网h≥19375故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值X 围是：h≥．考点：二次函数的应用23．（1）k 6=（2）()2,1--，()3,4【解析】【分析】（1）根据反比例函数y=k x的图象与直线y=x+1都过点（-3，n ），直接代入一次函数解析式求出即可，进而得出k 的值；（2）利用抛物线y=x 2-2mx+m 2+m+1的顶点在反比例函数y=k x 的图象上，表示出二次函数的顶点坐标，代入反比例函数解析式求出即可.【详解】()1∵反比例函数k y x=的图象与直线y x 1=+都过点()3,n -， ∴将点()3,n -，代入y x 1=+，∴n 31=-+，n 2=-，∴点的坐标为：()3,2--，将点代入k y x=， ∴xy k =， k 6=；()2∵抛物线22y x 2mx m m 1=-+++的顶点为：2b 4ac b ,2a 4a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ∴b m 2a-=，()2224m m 14m 4ac b m 14a 41++--==+⨯， ∴抛物线22y x 2mx m m 1=-+++的顶点为：()m,m 1+，∵抛物线22y x 2mx m m 1=-+++的顶点在反比例函数k y x=的图象上， ∴()m m 16+=，∴()()m 2m 30-+=，∴1m 2=-，2m 3=，∴抛物线22y x 2mx m m 1=-+++的顶点为：()2,1--，()3,4． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及二次函数顶点坐标的求法,求出二次函数顶点坐标再利用图象上点的性质得出()m m 16+=是解题关键.24．（1）y=﹣5x 2+800x ﹣27500（50≤x≤100）；（2）当x=80时，y 最大值=4500；（3）70≤x≤90.【解析】【分析】(1) 根据题目已知条件, 可以判定销量与售价之间的关系式为一次函数, 并可以进一步写出二者之间的关系式; 然后根据单位利润等于单位售价减单位成本, 以及销售利润等于单位利润乘销量, 即可求出每天的销售利润与销售单价之间的关系式.(2) 根据开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值, 即可计算出每天的销售利润及相应的销售单价.(3) 根据开口向下的抛物线的图象的性质,满足要求的x 的取值X 围应该在﹣5（x ﹣80）2+4500=4000的两根之间,即可确定满足题意的取值X 围.【详解】解：（1）y=（x ﹣50）[50+5（100﹣x ）]=（x ﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x 2+800x ﹣27500，∴y=﹣5x 2+800x ﹣27500（50≤x≤100）；（2）y=﹣5x 2+800x ﹣27500=﹣5（x ﹣80）2+4500，∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y 最大值=4500；（3）当y=4000时，﹣5（x ﹣80）2+4500=4000，解得x 1=70，x 2=90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用.25．(1) 2122s t t =- ；(2) 截止到10月末，公司累积利润可达到30万元；(3) 第8个月公司获利润万元．【解析】【分析】（1）本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出S 与t 之间的函数关系式； （2）把S =30代入累计利润S =12t 2﹣2t 的函数关系式里，求得月份； （3）分别t =7，t =8，代入函数解析S =12t 2﹣2t ，再把总利润相减就可得出． 【详解】（1）由图象可知其顶点坐标为（2，﹣2），故可设其函数关系式为：S =a （t ﹣2）2﹣2．∵所求函数关系式的图象过（0，0），于是得：a （0﹣2）2﹣2=0，解得：a =12，∴所求函数关系式为：S =12（t ﹣2）2﹣2，即S =12t 2﹣2t ． 答：累积利润S 与时间t 之间的函数关系式为：S =12t 2﹣2t ； （2）把S =30代入S =12（t ﹣2）2﹣2，得：12（t ﹣2）2﹣2=30． 解得：t 1=10，t 2=﹣6（舍去）．答：截止到10月末公司累积利润可达30万元．（3）把t=7代入关系式，得：S=12×72﹣2×7=10.5，把t=8代入关系式，得：S=12×82﹣2×8=16，16﹣10.5=5.5．答：第8个月公司所获利是万元．【点睛】本题主要考查了二次函数在实际生活中的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给的信息是解决问题的关键．26．（1）205（万元）；（2）3175（万元）；（3）有很大的实施价值.【解析】【分析】（1）由P=-（x-60）2＋41知，每年只需从100万元中拿出60万元投资，即可获得最大利润41万元，则不进行开发的5年的最大利润P1=41×5（万元）（2）若实施规划，在前2年中，当x=50时，每年最大利润为：P=-（50-60）2+41=40万元，前2年的利润为：40×2=80万元，扣除修路后的纯利润为：80-50×2=-20万元.设在公路通车后的3年中，则其总利润W=［-（x-60）2＋41＋（-x2＋x＋160］×3=-3（x-30）2＋3195,当x=30时，W的最大值为3195万元，（3）规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值.【详解】解：（1）由P=-（x-60）2＋41知，每年只需从100万元中拿出60万元投资，即可获得最大利润41万元，则不进行开发的5年的最大利润P1=41×5=205（万元）（2）若实施规划，在前2年中，当x=50时，每年最大利润为：P=-（50-60）2+41=40万元，前2年的利润为：40×2=80万元，扣除修路后的纯利润为：80-50×2=-20万元.设在公路通车后的3年中，每年用x万元投资本地销售，而用剩下的（100-x）万元投资外地销售，则其总利润W=［-（x-60）2＋41＋（-x2＋x＋160］×3=-3（x-30）2＋3195当x=30时，W的最大值为3195万元，∴5年的最大利润为3195-20=3175（万元）（3）规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值.。
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试-人教版(含答案)
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试-人教版（含答案）一、单选题(共48分)1．(本题4分)抛物线23y x =-与y 轴的交点坐标为（ ）A ．(-3，0)B ．(0，-3)C ．(3,0)-D ．(3,0) 2．(本题4分)已知：抛物线y =a （x +1）2的顶点为A ，图象与y 轴负半轴交点为B ，且OB =OA ，若点C （-3，b ）在抛物线上，则△ABC 的面积为（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.53．(本题4分)二次函数y ＝﹣x 2﹣4的图象经过的象限为（ ）A ．第一象限、第四象限B ．第二象限、第四象限C ．第三象限、第四象限D ．第一象限、第三象限、第四象限4．(本题4分)在平面直角坐标系中，将二次函数2y x 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）A ．()221y x =-+B ．()221y x =++C ．()221y x =+-D ．()221y x =-- 5．(本题4分)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（ ）A ．小球在空中经过的路程是40mB ．小球运动的时间为6sC ．小球抛出3s 时，速度为0D ．当 1.5t =s 时，小球的高度30h =m 6．(本题4分)关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根1x 、2x ，若212x x =，则49b ac -的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．27．(本题4分)二次函数21y ax bx =++的图象与一次函数2y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．(本题4分)已知二次函数()222y x =--，关于该函数在13x -≤≤的取值范围内，下列说法正确的是（ ）．A ．有最大值－1，有最小值－2B ．有最大值0，有最小值－1C ．有最大值7，有最小值－1D ．有最大值7，有最小值－2 9．(本题4分)记某商品销售单价为x 元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y 元，且y 是关于x 的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y 与x 的函数关系式是（ ）A ．y ＝﹣（x ﹣60）2+1825B ．y ＝﹣2（x ﹣60）2+1850C ．y ＝﹣（x ﹣65）2+1900D ．y ＝﹣2（x ﹣65）2+200010．(本题4分)已知二次函数2202020212022y x x =++的图象上有两点A （x 1，2023）和B （x 2，2023），则当12x x x =+时，二次函数的值是（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023 11．(本题4分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2﹣2x ＋c 的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B （0，﹣3），若P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连接PD 2＋PC 的最小值是（ ）A ．4B ．2＋22C ．22D ．32223+ 12．(本题4分)抛物线2222y x mx m =-+-+与y 轴交于点C ，过点C 作直线l 垂直于y 轴，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，组成图形G ，点()11,M m y -，()21,N m y +为图形G 上两点，若12y y <，则m 的取值范围是（ ） A ．1m <-或0m > B ．1122m -<< C ．02m ≤< D ．11m -<<二、填空题(共20分)13．(本题5分)若22(2)32m y m x x -=++-是二次函数，则m 的值是 ________. 14．(本题5分)若点1(1,)A y -，2(2,)B y 在抛物线22y x =上，则1y ，2y 的大小关系为：1y ________2y （填“＞”，“=”或“＜”）．15．(本题5分)如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD 的长）为______．16．(本题5分)如图，已知抛物线y 1=﹣x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．三、解答题(共52分)17．(本题6分)二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为 ；（3）方程ax 2+bx +c ＝m 有两个实数根，m 的取值范围为 ．18．(本题6分)已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式．19．(本题6分)已知：二次函数2142y x x =-++． (1)通过配方，将其写成()2y a x h k =-+的形式；(2)求出函数图象与x y 、轴的交点、、A B C 的坐标；(3)当0y >时，直接写出x 的取值范围；(4)当x ________时，y 随x 的增大而减少．20．(本题6分)某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y 是销售价格x （单位：元）的一次函数．(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．21．(本题6分)一隧道内设双行公路，隧道的高MN 为6米．下图是隧道的截面示意图，并建立如图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF 的三条边围成的，矩形的长DE 是8米，宽CD 是2米．（1）求该抛物线的解析式；（2）为了保证安全，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离．若行车道总宽度PQ （居中，两边为人行道）为6米，一辆高3.2米的货运卡车（设为长方形）靠近最右边行驶能否安全？请写出判断过程；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG ，使H 、G 两点在抛物线上，A 、B 两点在地面DE 上，设GH 长为n 米，“脚手架”三根木杆AG 、GH 、HB 的长度之和为L ，当n 为何值时L 最大，最大值为多少？22．(本题6分)如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（1）求该抛物线的解析式； （2）若直线y ＝kx 23+（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22＝10时，求k 的值；（3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值43m ，求m 的值． 23．(本题8分)如图，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，1,0A ，4AB =，点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ //BC 交AC 于点Q ．(1)求该抛物线的解析式；(2)求CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．24．(本题8分)已知抛物线y＝ax2+3ax+c(a≠0)与y轴交于点A(1)若a＞0①当a=1，c=－1，求该抛物线与x轴交点坐标；②点P(m，n)在二次函数抛物线y＝ax2+3ax+c的图象上，且n－c＞0，试求m的取值范围；(2)若抛物线恒在x轴下方，且符合条件的整数a只有三个，求实数c的最小值；(3)若点A的坐标是(0，1)，当－2c＜x＜c时，抛物线与x轴只有一个公共点，求a的取值范围.参考答案1．B2．A3．C4．B5．A6．D7．A8．D9．D10．C11．A12．D13．214．＜15．40米16．②③17．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）x ＜﹣1或x ＞3；（3）m ≥﹣4．18．224233y x x =-- 19．(1)()219122x --+ (2)A （-2，0），B （4，0），C （0，4）(3)-2＜x ＜4(4)＞120．(1)()y 309601032x x =-+≤≤(2)价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元21．（1）y=-14x 2+4；（2）能安全通过，见解析；（3）n=4时，L 有最大值，最大值为14 22．（1）()21233y x =--+；（2）1222,,3k k ==；（3）95.4m =-或 23．(1)223y x x =+-(2)2；P （-1，0）24．(1)①，0)，0)②m>0或m<－3 (2)-9(3)49a=或12a≥或14a-≤。
初中数学人教版九年级上册 第二十二章 二次函数单元测试(含简单答案)
第二十二章二次函数一、单选题1．下列函数关系中，不属于二次函数的是（ ）A．y＝1﹣x2B．y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2C．y＝ax2+bx+c（a≠0）D．y＝（x﹣2）2+22．抛物线y=−3(x+2)2的对称轴是直线（）A．x=3B．x=−3C．x=2D．x=−23．抛物线y=−(x−3)2−5的顶点坐标是（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）4．二次函数y=x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是（ ）A．（1，0）B．（2，0）C．（﹣1，0）或（﹣2，0）D．（﹣1，0）或（1，0）5．已知A(2,y1)，B(2,y2)，C(−2,y3)是二次函数y=3(x−1)2+k图象上三点，则y1,y2,y3的大小关系为（）A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y3>y2>y1D．y2>y3>y1 6．长方形的周长为24cm，其中一边为x cm（其中x 0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）A．y=x2B．y=12x2C．y=(12−x)x D．y=2x(12−x)7．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为(−2,3)，(1,3)，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）A．−1B．−3C．−5D．−78．雁门关，位于我省忻州市雁门山中，是长城上的重要关隘，以“险”著称，被誉为“中华第一关”，由于地理环境特殊，行车高速路上的隧道较多，如图①是雁门关隧道，其截面为抛物线型，如图②为截面示意图，线段OA 表示水平的路面，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，以过点O 垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直直角坐标系．经测量OA =10m ，抛物线的顶点P 到OA 的距离为9m ，则抛物线的函数表达式为（ ）A ．y =−19(x +5)2B ．y =−125(x−5)2C ．y =−125(x +5)2+9D ．y =−925(x−5)2+99．如图，已知二次函数y 1=ax 2+bx +c 与一次函数y 2=kx +m 的图像相交于点A （-3,5），B （7，2），则能使y 1≤y 2 成立的x 的取值范围是（ ）A ．2≤x ≤5B ．x ≤−3或x ≥7C ．−3≤x ≤7D ．x ≥5或x ≤210．抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x…−2−1012…y …04664…从上表可知，下 列说法：①抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)；②函数y =ax 2+bx +c 的最大值为6；③抛物线的对称轴是x =12④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④二、填空题11．二次函数y＝（m+1）x2的图象开口向下，则m ．12．已知二次函数y=−x2+4x+5，若﹣3≤x≤8，则y的取值范围是．13．已知点A(1,y1)，B(2,y2)在抛物线y=x2−3上，则y1y2．（填“<”或“>”或“=”）14．请写出一个开口向下，对称轴为直线x=−3，且与y轴的交点为(0，2)的二次函数的解析式：．15．已知：在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(4,0)，抛物线y=x2−2x+n与线段AB有唯一公共点，则n可以取（写出所有正确结论的序号）．①n=1；②n=2；③n≤−8；④−8≤n<−3；⑤−8≤n≤−3，16．已知抛物线y=ax2−4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是−2，那么a=. 17．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0），且与y轴交于负半轴，给出六个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c=0；⑤b2﹣4ac ＞0；⑥2a﹣b＞0，其中正确结论序号是．三、解答题18．已知二次函数的图象以A(−1,4)为顶点，且过点B(2,−5)．(1)求该函数的表达式；(2)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标．19．某厂生产一种玩具，成本价是8元∕件，经过调查发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）存在一次函数关系y=−10x+600．（1）销售单价定为多少时，该厂每天获得的利润最大？最大利润是多少？（2）若物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，那么销售单价如何定位才能获得最大利润？20．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图像经过点A(1,0),B(−2,3)．(1)求该二次函数的表达式；(2)当x取何值时，该二次函数取得最大值？最大值是多少？(3)当y>3时，请写出x的取值范围．21．为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边露墙，可利用的墙长不超过16m，另外三边由36m长的栅栏围成，设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=x m，面积为y m2（如图）．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若矩形空地的面积为160m2，求x的值；(3)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点；①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，过点Q作QD∥y轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．23．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧，A 为(−1,0)，抛物线与y轴交于点C(0,4)，对称轴为x=1，连接BC．(1)求抛物线的解析式；(2)若点G为直线BC上方的抛物线上的一动点，试计算以A，B，G，C为顶点的四边形的面积的最大值；(3)若点H为对称轴上的一个动点，点P为抛物线上的一个动点，当以H，P，B，C四点为顶点的四边形为平行四边形时，求出点H的坐标．参考答案：1．B2．D3．A4．D5．C6．C7．C8．D9．C10．B11．＜﹣112．﹣27≤y ≤913．<14．y =-（x +3）2-7（答案不唯一）15．①④16．1217．①④⑤⑥18．(1)y =−x 2−2x +3(2)与x 轴的交点坐标(−3,0),(1,0)，与y 轴的交点坐标(0,3)19．（1）34，6760元；（2）当销售单价定为30元时，才能获得最大利润．20．(1)y =−x 2−2x +3(2)x =−1，最大值为4(3)−2<x <021．(1)y =−2x 2+36x (10≤x <18)(2)x =10(3)x =10，y 有最大值，最大值是16022．（1）点B 的坐标为（1，0）；（2）①点P 的坐标为（4，21）或（﹣4，5），②9423．(1)y =−43x 2+83x +4(2)252(3)(1,−323)、(1,−83)或(1,0)。
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九上数学第22章二次函数测试题（新人教版含答案）22．1 二次函数的图象和性质第1课时 二次函数及y ＝ax 2的图象和性质1．下列各式中，y 是x 的二次函数的个数为( )①y ＝2x 2＋2x ＋5；②y ＝－5＋8x －x 2；③y ＝(3x ＋2)(4x －3)－12x 2；④y ＝ax 2＋bx＋c ；⑤y ＝mx 2＋x ；⑥y ＝bx 2＋1(b 为常数，b ≠0)．A ．3B ．4C ．5D ．62．把160元的电器连续两次降价后的价格为y 元，若平均每次降价的百分率是x ，则y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝320(x －1)B ．y ＝320(1－x )C ．y ＝160(1－x 2)D ．y ＝160(1－x )23．若函数y ＝226a a ax －－是二次函数且图象开口向上，则a ＝( ) A ．－2 B ．4 C ．4或－2 D ．4或34．关于函数y ＝x 2的性质表达正确的一项是( ) A ．无论x 为任何实数，y 值总为正 B ．当x 值增大时，y 的值也增大 C ．它的图象关于y 轴对称 D ．它的图象在第一、三象限内5．已知函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3(m 为常数). (1)当m __________时，该函数为二次函数； (2)当m __________时，该函数为一次函数．6．二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象是______，当a >0时，开口向______；当a <0时，开口向______，顶点坐标是______，对称轴是______．7．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (－2，－8)． (1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B (－1，－4)是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．8．如图2212，半圆O 的直径AB ＝4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM ＝x ，则y 关于x 的函数关系式是( )图2212A ．y ＝－14x 2＋xB ．y ＝－x 2＋xC ．y ＝－14x 2－xD ．y ＝14x 2－x9．已知函数y ＝(m ＋2)226m m x ＋－是关于x 的二次函数．(1)求m 的值．(2)当m 取什么值时，此函数图象的顶点为最低点？ (3)当m 取什么值时，此函数图象的顶点为最高点？10．正方形的周长是C cm ，面积为S cm 2. (1)求S 与C 之间的函数关系式； (2)画出图象；(3)根据图象，求出S ＝1 cm 2时，正方形的周长；(4)根据图象求出C 取何值时，S ≥4 cm 2.第2课时 二次函数y ＝a (x －h )2＋k ，y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质1．抛物线的解析式为y ＝(x －2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(2,1) C ．(2，－1) D ．(1,2)2．函数y ＝－x 2－1的开口方向和对称轴分别是( ) A ．向上，y 轴 B ．向下，y 轴C ．向上，直线x ＝－1D ．向下，直线x ＝－13．将抛物线y ＝3x 2平移得到抛物线y ＝3(x －4)2－1 的步骤是( ) A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位4．抛物线y ＝12x 2－4x ＋3的顶点坐标和对称轴分别是( )A ．(1,2)，x ＝1B ．(1－，2)，x ＝－1C ．(－4，－5)，x ＝－4D ．(4，－5)，x ＝45．如图2213，抛物线顶点坐标是P (1,2)，函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是( )图2213A ．x >2B ．x <2C ．x >1D ．x <16．若二次函数y ＝x 2＋bx ＋5配方后为y ＝(x －2)2＋k ，则b ，k 的值分别为( ) A ．0,5 B ．0,1 C ．－4,5 D ．－4,17．指出下列函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标：(1)y ＝12x 2＋x －32；(2)y ＝－34x 2＋15x ；(3)y ＝－(x －1)(x －2)；(4)y ＝x 2＋bx ＋c .8．如图2214，在平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )图2214A．m＝n，k＞h B．m＝n，k＜hC．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图2215，则下列结论中正确的是( )图2215A．a>0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c>010．如图2216，直线l经过A(3,0)，B(0,3)两点且与二次函数y＝x2＋1的图象在第一象限内相交于点C.图2216(1)求△AOC的面积；(2)求二次函数图象的顶点D与点B，C构成的三角形的面积．*第3课时用待定系数法求二次函数的解析式1．过坐标原点，顶点坐标是(1，－2)的抛物线的解析式为____________．2．已知二次函数的图象经过(0,0)，(1,2)，(－1，－4)三点，那么这个二次函数的解析式是__________．3．将抛物线y＝x2－2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线解析式是____________．4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1,10)和(2,7)，且3a＋2b＝0，则该抛物线的解析式为________．5．已知二次函数的图象关于直线x＝3对称，最大值是0，与y轴的交点是(0，－1)，这个二次函数解析式为____________________．6．如图2218，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1,0)，(1，－2)，该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为________.图22187．如图2219，A(－1,0)，B(2，－3)两点都在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．(1)求m的值和二次函数的解析式；(2)请直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．图22198．如果抛物线y ＝x 2－6x ＋c －2的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于( ) A ．8 B ．14 C ．8或14 D ．－8或－149．已知双曲线y ＝k x与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A (2,3)，B (m,2)，c (－3，n )三点，求双曲线与抛物线的解析式．10．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图22110)．(1)写出A ，B ，C ，D 及AD 的中点E 的坐标；(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B ，C 的抛物线的解析式．图2211022．2 二次函数与一元二次方程1．抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴的交点有______个．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是____________．3．根据图2226填空：图2226(1)a ______0； (2)b ______0； (3)c ______0；(4)b 2－4ac ______0.4．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为( )A ．k >－74B ．k <－74且k ≠0C ．k ≥－74D ．k ≥－74且k ≠05．如图2227，将二次函数y ＝31x 2－999x ＋892的图形画在平面直角坐标系上，判断方程式31x 2－999x ＋892＝0的两根，下列叙述正确的是( )A ．两根相异，且均为正根B ．两根相异，且只有一个正根C ．两根相同，且为正根D ．两根相同，且为负根图2227 图2228 6．二次函数y ＝x 2－2x －3的图象如图2228.当y ＜0时，自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜3 B ．x ＜－1C ．x ＞3D ．x ＜－1或x ＞37．利用二次函数的图象求一元二次方程x 2＋2x －10＝3的根．8.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2229，则下列结论：图2229①a ，b 同号；②当x ＝1和x ＝3时，函数值相等；③4a ＋b ＝0；④当y ＝－2时，x 的值只能为0，其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知抛物线y ＝12x 2＋x ＋c 与x 轴没有交点．(1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx ＋1经过的象限，并说明理由．10．已知抛物线y ＝x 2－2x －8.(1)试说明抛物线与x 轴一定有两个交点，并求出交点坐标；(2)若该抛物线与x 轴两个交点分别为A ，B (A 在B 的左边)，且它的顶点为P ，求S △ABP的值．22．3 实际问题与二次函数1．一个正方形的面积是25 cm 2，当边长增加a cm 时，正方形的面积为S cm 2，则S 关于a 的函数关系式为__________．2．某品牌服装原价173元，连续两次降价x %后售价为y 元，则y 与x 的关系式为____________．3．小敏用一根长为8 cm 的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是________ cm 2. 4．小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，设矩形面积为S (单位：平方米)，一边长为x (单位：米)．(1)S 与x 之间的函数关系式为____________，自变量x 的取值范围为____________； (2)当x ＝________时，矩形场地面积S 最大？最大面积是________平方米．5．消防员的水枪喷出的水流可以用抛物线y ＝－12x 2＋bx 来描述，已知水流的最大高度为20米，则b 的值为( )A ．210B ．±210C ．－210D ．±10 26．已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图2234.关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )图2234A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值－1，有最大值0C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值7．如图2235，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8 m 、宽AB 为2 m ．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6 m.(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m 、宽2.4 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．图22358．我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看成是抛物线．如图2236所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m,2.5 m处，绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为( )图2236A．1.5 m B．1.625 m C．1.66 m D．1.67 m9．(改编题)某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润y(单位：元/千度)与电价x(单位：元/千度)的函数关系式为y＝－15x＋300(x≥0)．(1)当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？(2)为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(单位：元/千度)与每天用电量m(单位：千度)的函数关系为x＝10m＋500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？10．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐助给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元/个)之间的对应关系如图2237所示：(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)若许愿瓶的价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w(单位：元)与销售单价x(单位：元/个)之间的函数关系式；(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．图2237第二十二章 二次函数22．1 二次函数的图象和性质第1课时 二次函数及y ＝ax 2的图象和性质 【课后巩固提升】 1．A 2.D 3.B 4.C 5．(1)≠2 (2)＝26．抛物线 上 下 (0,0) y 轴7．解：(1)把(－2，－8)代入y ＝ax 2，得－8＝a (－2)2.解得a ＝－2，故函数解析式为y ＝－2x 2.(2)∵－4≠－2(－1)2，∴点B (－1，－4)不在抛物线上．(3)由－6＝－2x 2，得x 2＝3，x ＝± 3.∴纵坐标为－6的点有两个，它们分别是(3，－6)与(－3，－6)． 8．A 解析：连接O 1M ，OO 1，可得到直角三角形OO 1M ， 依题意可知⊙O 的半径为2.则OO 1＝2－y ，OM ＝2－x ，O 1M ＝y .在Rt △OO 1M 中，由勾股定理得(2－y )2－(2－x )2＝y 2.解得y ＝－14x 2＋x .故选A.9．解：(1)220262m m m ≠⎧⎨⎩＋，＋－＝，解得m 1＝2，m 2＝－4.(2)若函数图象有最低点，则y ＝ax 2中，a >0.即22026 2.m m m >⎧⎨⎩＋，＋－＝解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－2，m 1＝2，m 2＝－4.∴m ＝2.(3)若函数图象有最高点，则y ＝ax 2中，a <0.即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2<0，m 2＋2m －6＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m 1＝2，m 2－4，且m <－2，∴m ＝－4. 10．(1)解：依题意，得S ＝116C 2(C >0)． (2)列表如下：描点连线如图图D2(3)根据图象，得S ＝1 cm 2时，正方形周长是4 cm.(4)根据图象知，当C ≥8时，S ≥4 cm 2.第2课时 二次函数y ＝a (x －h )2＋k ，y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质 【课后巩固提升】1．B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.D7．解：(1)图象开口向上，对称轴为直线x ＝－1，顶点坐标为(－1，－2)． (2)图象开口向下，对称轴为直线x ＝10，顶点坐标为(10,75)．(3)图象开口向下，对称轴为直线x ＝32，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，14. (4)图象开口向上，对称轴为直线x ＝－b 2，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2，4c －b 24.8．B9．D 解析：由图象开口向下，得a <0，故A 错；由图象知，－b2a>0，又a <0，所以b >0，故B 错；因为抛物线与y 轴的交点为(0，c )，由图象知c >0，故C 错；由图象知当x ＝1时，y >0，所以a ＋b ＋c >0.故选D.10．解：(1)由A (3,0)，B (0,3)两点可求出一次函数的解析式为y ＝－x ＋3.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝x 2＋1，并根据图中点C 的位置，得C 点坐标为(1,2)． ∴S △AOC ＝12·|OA |·|y C |＝12×3×2＝3.(2)二次函数y ＝x 2＋1的顶点坐标为D (0,1)．∴S △BCD ＝12·|BD |·|x C |＝12×|3－1|×1＝1.*第3课时 用待定系数法求二次函数的解析式 【课后巩固提升】1．y ＝2x 2－4x .2．y ＝－x 2＋3x 解析：设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＋b ＝2，a －b ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，c ＝0.∴所求解析式为y ＝－x 2＋3x .3．y ＝x 2－10x ＋274．y ＝2x 2－3x ＋55．y ＝－19(x －3)2解析：由图象的对称轴和函数的最大值，可知顶点坐标是(3,0)，设y ＝a (x －3)2，把(0，－1)代入，得9a ＝－1 ，a ＝－19.∴y ＝－19(x －3)2.6．3 解析：由条件求得二次函数的解析式为y ＝x 2－x －2，所以点C 坐标为(2,0)，所以AC 长为2－(－1)＝3.7．解：(1)由于点A (－1,0)在一次函数y 1＝－x ＋m 的图象上，得－(－1)＋m ＝0，即m ＝－1；已知点A (－1,0)，点B (2，－3)在二次函数y 2＝ax 2＋bx －3的图象上，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. ∴二次函数的解析式为y 2＝x 2－2x －3.(2)由两个函数的图象知：当y 1＞y 2时，－1＜x ＜2. 8．C9．解：把点A (2,3)代入y ＝k x，得k ＝6. ∴反比例函数的解析式为y ＝6x.把点B (m,2)，C (－3，n )分别代入y ＝6x，得m ＝3，n ＝－2.把点A (2,3)，B (3,2)，C (－3，－2)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝2，9a －3b ＋c ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝23，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋23x ＋3.10．解：(1)根据题意，可知：A (0,1)，B (0，－1)，C (4，－1)，D (4,1)，E (2,1)． (2)∵抛物线顶点坐标是E (2,1)，且经过B (0，－1)，∴设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋1.把B (0，－1)代入解析式y ＝a (x －2)2＋1，得a ＝－12.∴抛物线的解析式为y ＝－12(x －2)2＋1.22．2 二次函数与一元二次方程 【课后巩固提升】1．2 2.(－3,0)，(1,0)3．(1)> (2)< (3)> (4)> 4.B 5．C 6.A7．解：方法一：将一元二次方程整理，得x 2＋2x －13＝0.画出函数y ＝x 2＋2x －13的图象，其与x 轴的交点即为方程的根．方法二：分别画出函数y ＝x 2＋2x －10的图象和直线y ＝3，它们的交点的横坐标即为x 2＋2x －10＝3的根(图象略)．方程x 2＋2x －10＝3的近似根为x 1≈－4.7，x 2≈2.7. 8．B9．解：(1)∵抛物线与x 轴没有交点，∴Δ＜0，即1－2c ＜0.解得c ＞12.(2)∵c ＞12，∴直线y ＝cx ＋1随x 的增大而增大． ∵b ＝1，∴直线y ＝cx ＋1经过第一、二、三象限．10．解：(1)∵Δ＝(－2)2－4×1×(－8)＝4＋32＝36>0， ∴抛物线与x 轴一定有两个交点．当y ＝0，即x 2－2x －8＝0时，解得x 1＝－2，x 2＝4. 故交点坐标为(－2,0)，(4,0)． (2)由(1)，可知：|AB |＝6.y ＝x 2－2x －8＝x 2－2x ＋1－1－8＝(x －1)2－9.∴点P 坐标为(1，－9)．过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，则|PC |＝9.∴S △ABP ＝12|AB |·|PC |＝12×6×9＝27.22．3 实际问题与二次函数 【课后巩固提升】1．S ＝a 2＋10a ＋25 2.y ＝173(1－x %)23．44．(1)－x 2＋30x 0<x <30 (2)15 225 5．B 6.D7．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋6，又∵抛物线过点(4,2)，则16a ＋6＝2，∴a ＝－14.抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋6.(2)当x ＝2.4时，y ＝－14x 2＋6＝－1.44＋6＝4.56>4.2，故这辆货运卡车能通过隧道．8．B9．解：(1)当电价x ＝600元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润y ＝－15×600＋300＝180(元/千度)．(2)设工厂每天消耗电产生利润为W 元，由题意，得W ＝my ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15x ＋300＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15 10m ＋500 ＋300. 化简配方，得W ＝－2(m －50)2＋5000. 由题意，m ≤60，∴当m ＝50时，W 最大＝5000.即当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生最大利润为5000元． 10．解：(1)y 是x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ， ∵图象过点(10,300)，(12,240)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10k ＋b ＝300，12k ＋b ＝240.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－30，b ＝600. ∴y ＝－30x ＋600.当x ＝14时，y ＝180；当x ＝16时，y ＝120.即点(14,180)，(16,120)均在函数y ＝－30x ＋600图象上． ∴y 与x 之间的函数关系为y ＝－30x ＋60.(2)w ＝(x －6)(－30x ＋600)＝－30x 2＋780x －3600.即w 与x 之间的函数关系式为w ＝－30x 2＋780x －3600. (3)由题意，得6(－30x ＋600)≤900，解得x ≥15.x ＝－30x 2＋780x －3600图象对称轴为x ＝－7802× －30＝13.∵a ＝－30<0.∴抛物线开口向下． 当x ≥15时，w 随x 增大而减小． ∴当x ＝15时，w 最大＝1350，即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．。