2020-2021学年河南省鹤壁高级中学高三(上)第一次模拟数学试卷(文科) (解析版)
河南省鹤壁市高级中学2020_2021学年高一数学上学期第一次段考试题
河南省鹤壁市高级中学2020-2021学年高一数学上学期第一次段考试题一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.下列各项中，能组成集合的是（ ）A ．高一（3）班的好学生B ．嘉兴市所有的老人C ．不等于0的实数D ．我国著名的数学家2.已知集合{}()(){}2,1,0,1,2,|120A B x x x =--=-+<,则A B ⋂=( )A.{}1,0-B.{}0,1C.{}1,0,1-D.{}0,1,23.已知函数y=()f x ,部分x 与y 的对应关系如表：x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 321-1-2-3则((4))f f =( )A ．-1B ．-2C ．-3D ．34．设全集，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ）A. 3B. 4C. 7D. 8 5.已知全集{}0,1,2,3,4,5U =,集合{}{}0,3,5,0,3UM M N =⋂=,则满足条件的集合N 共有( )A.4个B.6个C.8个D.16个 6.已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则()()21f xg x x =-的定义域为( )A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,47.设集合{}2A=230x x x +->，集合{}2B=210,0x x ax a --≤>.若A B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞ 8.已知函数25,(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩，是R 上的增函数，则a 的取值范围是( )A ．30a -≤<B ．2a ≤-C ．0a <D ．32a -≤≤-9.若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x -≥的x 的取值范围是( ) A.[1,1][3,)-+∞B.[3,1][0,1]--C.[1,0][1,)-+∞D.[1,0][1,3]-10.已知定义域为R 的函数121()2x x f x m +-+=+是奇函数，则不等式()(1)0f x f x ++>解集为( )A ．12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭B ．{|2}x x <-C ．122x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ D.{}0x x <11.已知()f x 是一个定义在R 上的函数,对任意x R ∈,都有()()2211f x f x +-=,则(f = ( )A. 0B.112 C. 13D.以上答案都不对12.如果函数 ()23011x x f x a a a a a --=>≠）（且（） 在区间 [)0+∞，上是增函数,那么实数a 的取值范围是( )A. 203⎛⎤ ⎥⎝⎦，B. ⎫⎪⎪⎣⎭C. (D. 0⎛ ⎝⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合}{}{1,2,10,A B x mx =-=+=若AB=A ,则m 的值为__________.14.函数()()2212f x x a x =+-+在(,4)-∞上是减函数,则实数a 的取值范围是__________.15.已知函数()y f x =是R 上的偶函数,对于x R ∈都有()()()63f x f x f +=+成立,且()42f -=,当[]12,0,3x x ∈,且12x x ≠时,都有()()12120f x f x x x -<-.则给出下列几种说法:①()20202f =;②函数()y f x =图象的一条对称轴为6x =-; ③函数()y f x =在[]9,6--上为减函数; ④方程()0f x =在[]9,9-上有4个根; 其中正确的说法的序号是__________16.已知1()42x x f x m +=-⋅，设21()21x x g x -=+，若存在不相等的实数,a b 同时满足方程()()0()()0g a g b f a f b +=+=和，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若集合{}{}2260,0A x x x B x x x a B A =+-==++=⊆,且,求实数a 的取值范围．18.(本小题满分12分)已知函数xx x f 2)(+=． （1）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明：函数)(x f在)∞上是增函数．19.(本小题满分12分)已知定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足()()1122x f f x f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,且当1x >时, ()0f x <.(1) 求()1f 的值，判断()f x 的单调性; (2）若()31f =-,求()f x 在[]2,9上的最小值.20.(本小题满分12分)设()f x 为定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时y x =，当x >2时，()y f x =的图象是顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的一部分. (1)求函数()f x 在(－∞，－2)上的解析式； (2)求出函数()f x 的值域.21.(本小题满分12分)设函数121() (1)2()+2 (12)38 (2)x x f x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩＋．(1) 请在下列直角坐标系中画出函数()f x 的图象；根据函数的图象，试分别写出关于x 的方程()f x t =有2，3，4个实数解时，相应的实数t 的取值范围；(2) 记函数()g x 的定义域为D ，若存在D x ∈0，使()00g x x =成立，则称点),(00x x 为函数()g x 图象上的不动点．试问，函数()f x 图象上是否存在不动点，若存在，求出不动点的坐标，若不存在，请说明理由．22.(本小题满分12分)已知函数1()2xf x =，2()23g x ax x =+-. （1）当1a =时，求函数[()]f g x 的单调递增区间、值域；（2）求函数[()]g f x 在区间[2,)-+∞的最大值()h a鹤壁市高中2023届数学第一次段考试卷答案1.答案C解：∵对于A 、B 、D “高一（3）班的好学生”、“嘉兴市所有的老人”、“我国著名的数学家”标准不明确，即元素不确定．∴A 、B 、D 不能构成集合．故选C 2.答案：A解析：由题意知{}|21B x x =-<<,所以{}1,0A B ⋂=-,故选A.3.答案D先求，再求 通过表格可以得到，4【答案】D 5.答案：C 解析：{}{}0,30,3,5,UM M N ⋂==,0,3,5UUN N ∴∈∉, 0N,3N,5N ∉∉∈∴,而全集U 中的1,2,4不能确定,故满足条件的集合N 有328=(个).6.答案：C 解析：由题意可知，02210x x ≤≤⎧⎨-≠⎩,解得01x ≤<，故()()21f x g x x =-的定义域为[)0,17.答案B{}2A=230{13}x x x x x x +->=><-或，因为函数2()21y f x x ax ==--的对称轴为0x a =>，(0)10f =-<，根据对称性可知要使A B 中恰含有一个整数，则这整数解为2，所以有(2)0f ≤且(3)0f >，即44109610a a --≤⎧⎨-->⎩，所以3443a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩。
2020-2021学年河南省鹤壁高级中学高二(下)第一次段考数学试卷(文科)(附答案详解)
2020-2021学年河南省鹤壁高级中学高二（下）第一次段考数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|0<x −1<9}，B ={1,2，6，10}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {2,6}C. {1,2，6}D. {2,6，10}2. 若复数z 满足iz −2=i ，则|z|=( )A. √2B. √3C. 2D. √53. 已知a >0且a ≠1，函数f(x)={log a x +a,x >03x+1−1,x ≤0，若f(a)=3，则f(−a)=( )A. 2B. 23C. −23D. −894. 已知向量a ⃗ =(√3,1)，b ⃗ =(√3,−1)，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π65. 函数f(x)=cosx2x +2−x 的部分图象大致为( )A.B.C.D.6. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√33x B. y =±√3xC. y =±12xD. y =±2x7. “sin2α=45”是“tanα=2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身．古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为( )A. 15B. 25C. 35D. 459. 已知函数f(x)=−bx(a >0,b >0)的一个极值点为1，则ab 的最大值为( )A. 1B. 12C. 14D. 11610. 正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=√2AB ，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C所成的角为( )A. π6B. π4C. π3D. π211. 已知直线l ：√3x +y +2=0与圆O ：x 2+y 2=4交于A ，B 两点，与l 平行的直线l 1与圆O 交于M ，N 两点，且△OAB 与△OMN 的面积相等，给出下列直线l 1：①√3x +y −2√3=0，②√3x +y −2=0，③x −√3y +2=0，④√3x +y +2√3=0.其中满足条件的所有直线l 1的编号有( )A. ①②B. ①④C. ②③D. ①②④12. 函数f(x)={e x−1,x ≤1ln(x −1),x >1，若函数g(x)=f(x)−x +a 只一个零点，则a 的取值范围是( )A. (−∞,0)∪{2}B. [0,+∞)∪{−2}C. (−∞,0]D. [0,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2，则该圆柱的底面半径为______．14. 已知x ，y 满足约束条件{x ≥0,x +y ≥1,2x +y ≤2,则z =x −y 的最大值为______．15. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，a =√2，sinA =√33，b =√6，则△ABC 的面积为______． 16. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若∠ABF 2=90°，且△ABF 2的三边长|BF 2|，|AB|，|AF 2|成等差数列，则C 的离心率为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的各项均为正数，且满足a n 2−(n +1)a n −2n 2−n =0．(1)求a 1，a 2及{a n }的通项公式； (2)求数列{2a n }的前n 项和S n ．18.语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱．主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求．某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如表：(1)若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？(2)根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=π．3(1)求证：C1B⊥平面ABC；(2)求点B1到平面ACC1A1的距离．20.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+1(k≠0)与抛物线C：x2=4py(p>0)交于A，B两点，且当k=1时，|AB|=8．(1)求p的值；(2)设线段AB的中点为M，抛物线C在点A处的切线与C的准线交于点N，证明：MN//y轴．21.已知函数f(x)=x+a(1−e x)，a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a≥1时，证明：f(x)−alna+a≤1．22.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ={√32sin(θ+π6),0≤θ<π2,1,π2≤θ≤π.(1)求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；(2)设曲线C与曲线ρsinθ=12交于A，B两点，求|AB|．23.已知f(x)=−|x+a|−|x−3|．(Ⅰ)当a=−1时，画出函数y=f(x)的图象；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥−a2−1有解，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A ={x|1<x <10}，B ={1,2，6，10}， ∴A ∩B ={2,6}． 故选：B ．可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵iz −2=i ，∴iz =2+i ，∴z =2+i i =(2+i )i i 2=2i −1−1=1−2i∴|z|=|1−2i |=√5， 故选：D ．把已知等式变形，先求出z ，再求模可得结论．本题考查复数的模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵f(a)=log a a +a =3， ∴a =2，∴f(−a)=f(−2)=3−1−1=−23． 故选：C ．先根据f(a)=3求得a ，进而求得结论．本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ， 向量a ⃗ =(√3,1)，b ⃗ =(√3,−1)， 则|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =3−1=2， 则cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=3−12×2=12，又由0≤θ≤π，则θ=π3；故选：B．根据题意，设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，由a⃗、b⃗ 的坐标可得|a⃗|=2，|b⃗ |=2，a⃗⋅b⃗ =3−1=2，进而由夹角公式可得cosθ的值，由θ的范围分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的图象，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手考虑，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．先利用函数奇偶性的定义证明函数f(x)=f(−x)，所以f(x)为偶函数，排除选项C和D，再对比选项A和B，发现当x∈[0,π2]时，f(x)≥0，即可求解．【解答】解：易知2−x+2x>0，故函数的定义域是R，关于原点对称．∵f(−x)=cos(−x)2−x+2x =cosx2x+2−x=f(x)，∴f(x)为偶函数，排除选项C和D，而当x∈[0,π2]时，f(x)≥0，排除选项B，故选：A．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．利用已知条件推出a，b的比值，然后得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：由已知可得c=2b，∴c2=4b2=a2+b2，a2=3b2，ba =√33，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．7.【答案】B【解析】 【分析】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查充分必要条件的判定方法，是基础题． 由sin2α=45化弦为切求得tanα，再由充分必要条件的判定得答案． 【解答】解：sin2α=45⇔2sinαcosαsin 2α+cos 2α=45⇔2tanαtan 2α+1=45⇔tanα=2或12，即由sin2α=45不一定得到tanα=2，反之，由tanα=2一定得到sin2α=45． ∴“sin2α=45”是“tanα=2”的必要不充分条件． 故选：B ．8.【答案】C【解析】解：基本事件总数C 52=10，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数m =4， ∴6和28不在同一组的概率P =10−410=35．故选：C ．基本事件总数n =10，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数m =4，由此能求出6和28不在同一组的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查利用导数研究函数的极值，基本不等式的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．求出f(x)的导函数，由题意可得f′(1)=0，可得a +b =12，再根据基本不等式即可求得ab 的最大值． 【解答】解：由题意f′(x)=12x 2−ax −b ，因为函数f(x)的一个极值点为1，所以f′(1)=0，即12−a−b=0，即a+b=12，所以ab≤(a+b2)2=116，当且仅当a=b=14时等号成立，所以ab的最大值为116．故选：D．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了异面直线所成角的定义及求法，正三棱柱的定义，线面垂直的判定定理，考查了计算能力，属于基础题．可取B1C1的中点E，连接A1E，CE，则可得出A1E//AD，并且∠A1EC=90°，∠CA1E为异面直线AD与A1C所成的角，然后可设AB=2，从而可求出tan∠CA1E的值，进而得出∠CA1E的值．【解答】解：如图，取B1C1中点E，连接A1E，CE，则A1E//AD，∠A1EC=90°，∴∠CA1E即为异面直线AD与A1C所成角，设AB=2，则AA1=2√2，A1E=√3，CE=3，tan∠CA1E=√3=√3，∴∠CA1E=π3．故选：C．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识要点：直线和园的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．直接利用点到直线的距离公式的应用求出直线的方程．【解答】解：由已知圆O：x2+y2=4，圆心(0,0)到直线√3x+y+2=0的距离d=√(√3)2+12=1可求得圆心O 到直线l 的距离d =1=12r ， 所以S =12×2√3×1=√3①圆心(0,0)到直线√3x +y −2√3=0的距离d =|0+0−2√3|√(√3)2+12=√3所以弦长为l =2√22−(√3)2=2， 所以S =12×2×√3=√3，故正确．②：圆心(0,0)到直线√3x +y −2=0的距离d =|0+0−2|√(√3)2+12=1，所以S =12×2√3×1=√3，故正确③直线x −√3y +2=0与√3x +y +2=0不平行，故错误． ④圆心(0,0)到直线√3x +y +2√3=0的距离d =|0+0+2√3|√(√3)2+12=√3，所以弦长为l =2√22−(√3)2=2， 所以S =12×2×√3=√3，故正确． 故选：D ．12.【答案】A【解析】解：∵g(x)=f(x)−x +a 只有一个零点， ∴函数y =f(x)与函数y =x −a 有一个交点， 作函数函数f(x)={e x−1,x ≤1ln(x −1),x >1与函数y =x −a 的图象如下，结合图象可知，a ≤0；函数y =f(x)与函数y =x −a 有一个交点；当a >0时，y =ln(x −1)，可得y′=1x−1，令1x−1=1可得x =2，所以函数在x =2时，直线与y =ln(x −1)相切，可得a =2．故选：A．g(x)=f(x)−x−a只有一个零点可化为函数f(x)与函数y=x+a有一个交点，作函数f(x)={e x−1,x≤1ln(x−1),x>1与函数y=x+a的图象，结合图象可直接得到答案．本题考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．13.【答案】√3【解析】解：在圆柱底面圆周上任取一点A，设球心为O，圆柱的底面圆心为O′，则OA=2，OO′=1，∴O′A=√OA2−OO′2=√3，即圆柱底面半径为√3．故答案为：√3．根据勾股定理计算底面半径．本题考查了圆柱和外接球的结构特征，属于基础题．14.【答案】1【解析】解：不等式对应的平面区域如图：(阴影部分)．由z=x−y得y=x−z，平移直线y=x−z，由平移可知当直线y=x−z，经过点A(1,0)时，直线y=x−z的截距最小，此时z取得最大值，代入z=x−y得z=1−0=1，即z=x−y的最大值是1，故答案为：1．根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z=x−y得y=x−z，利用平移即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．15.【答案】√2【解析】解：∵a<b，∴A<B，cosA=√63，由余弦定理得√63=b2+c2−a22bc，代入a=√2，b=√6，解得c=2，∴△ABC的面积S=12×2×√6×√33=√2．故答案为：√2．先根据条件求得cos A，结合余弦定理求得c，进而得到结论．本题考查三角形的解法，考查余弦定理的应用，是基础题．16.【答案】√22【解析】解：由已知，△ABF2的三边长|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，设|BF2|=x，|AB|=x+d，|AF2|=x+2d，∠ABF2=90°，据勾股定理：x2+(x+d)2=(x+2d)2，可得：x2=2dx+3d2，解得x=3d；由椭圆定义知△ABF2的周长为4a，|BF2|=x=3d，|AB|=x+4d，|AF2|=x+2d=5d，所以3d+4d+5d=4a，所以a=3d，|BF2|=a=|BF1|；在直角△BF2F1中，由勾股定理，a2+a2=(2c)2，即2a2=4c2，∴离心率e=ca =√22．故答案为：√22．设|BF2|=x，|AB|=x+d，|AF2|=x+2d，利用勾股定理结合椭圆的定义，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系，以及椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．17.【答案】解：(1)当n=1时，a12−2a1−3=0，∴a1=3；当n=2时，a22−3a2−10=0，∴a2=5；由已知可得(a n+n)[a n−(2n+1)]=0，且a n>0，∴a n=2n+1．(2)设b n=2a n，∴b n=22n+1，{b n}是公比为4的等比数列，S n=23+25+⋯+22n+1=8(1−4n)1−4=83(4n−1)．【解析】(1)通过n=1求出数列的首项，n=2求出第二项，然后求解数列的通项公式．(2)化简数列的通项公式，利用等比数列求和公式求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和公式的应用，是中档题．18.【答案】解：(1)根据题意，估计购买“小爱同学”的女性有13000100×55=7150(人)，估计购买“天猫精灵”的女性有12000100×40=4800(人)，由7150−4800=2350，所以估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人；(2)根据列联表，计算K2=200×(45×40−55×60)2100×100×105×95≈4.511>3.841，所以有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关．【解析】(1)根据题意利用分层抽样法计算所求的数据，再估计对应的结果；(2)根据列联表计算K2，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验问题，也考查了分析问题与解决问题的能力，是基础题．19.【答案】解：(1)因为侧面AB⊥BB1C1C，BC1⊂侧面BB1C1C，故AB⊥BC1，在△BCC1中，BC=1,CC1=BB1=2,∠BCC1=π3由余弦定理得：BC12=12+22−2×1×2×cosπ3=3所以BC1=√3故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC1，而BC∩AB=B，所以BC1⊥平面ABC(2)点B1转化为点B，V C1−ABC =√36，S△ACC1=√72又V C1−ABC =V B1−ACC1所以点B1到平面ACC1A1的距离为√217【解析】(1)由已知得AB⊥BC1，C1B⊥BC，由此能证明C1B⊥平面ABC．(2)点B1转化为点B，利用等体积，即可求点B1到平面ACC1A1的距离．本题考查线面垂直、线线垂直，考查点B1到平面ACC1A1的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定定理是关键．20.【答案】解：(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线l：y=x+1代入C中整理得：x2−4px−4p=0，∴x1+x2=4p，x1x2=−4p，∴|AB|=√2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√2⋅√16p2+16p=8，解得p=1．(2)证明：同(1)假设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=14x2得y′=12x，从而抛物线在点A点处的切线方程为y−14x12=12x1(x−x1)，即y=12x1x−14x12，令y=−1得x N=x12−42x1，由(1)知−4=x1x2，从而x N=x12+x1x22x1=x1+x22=x M，这表明MN//y轴．【解析】(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线l：y=x+1代入C中整理得：x2−4px−4p= 0，利用韦达定理以及弦长公式，求解即可．(2)同(1)假设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=14x2得y′=12x，利用切线的方程，求出N的横坐标，推出结果．本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21.【答案】解：(1)f′(x)=1−ae x．当a≤0时，f′(x)>0，此时f(x)在R上递增；当a>0时，由f′(x)=0解得x=−lna，x∈(−∞,−lna)时，f′(x)>0；x∈(−lna,+∞)时，f′(x)<0．此时f(x)在(−∞,−lna)递增，在(−lna,+∞)上递减．(2)证明：由(1)知f(x)在x =−lna 处取得最大值f(−lna)=−lna +a(1−1a )=a −lna −1，设g(a)=a −lna −1−alna +a ，则g′(a)=1−1a −lna ，令ℎ(a)=1−1a −lna ，则ℎ′(a)=1a 2−1a ≤0，故ℎ(a)在[1,+∞)上单调递减， ∴ℎ(a)≤ℎ(1)=0，即g′(a)≤0， ∴g(a)≤g(1)=1， ∴f(−lna)−alna +a ≤1， ∴f(x)−alna +a ≤1．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论即可求解； (2)结合要证的不等式，可转化为求解函数的最值，结合(1)的结论及导数与单调性关系可证．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及证明不等式，体现了分类讨论思想及转化思想的应用．22.【答案】解：(1)由曲线C 的极坐标方程ρ={√32sin(θ+π6),0≤θ<π21,π2≤θ≤π，可知曲线C 与极轴所在直线围成图形是一个半径为1的14圆和一个直角边分别为1与√3的直角三角形，∴围成图形的面积S =14π+√32．(2)由{ρ=1ρsinθ=12得A(1,5π6)，其直角坐标为(−√32,12)， ρsinθ=12化直角坐标方程为y =12， ρ=√32sin(θ+π6)化直角坐标方程为x +√3y =√3，∴B(√32,12)，∴|AB|=|√32+√32|=√3．【解析】(1)根据条件可知曲线C 与极轴所在直线围成图形是一个半径为1的14圆和一个直角边分别为1与√3的直角三角形，然后求出其面积即可；(2)根据条件求出曲线C 与曲线ρsinθ=12的两交点A ，B 的坐标，然后求出|AB|的长．本题考查了简单曲线的极坐标方程和极坐标方程转化为直角坐标方程，考查了转化思想，属中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)当a=−1时，f(x)=−|x−1|−|x−3|={2x−4,x≤1−2,1<x<3−2x+4,x≥3，其图象如图所示．(Ⅱ)f(x)=−|x+a|−|x−3|≤−|(x+a)−(x−3)|=−|a+3|，因为关于x的不等式f(x)≥−a2−1有解，则−|a+3|≥−a2−1，当a≥−3时，不等式即为−a−3≥−a2−1，即a2−a−2≥0，解得−3≤a≤−1或a≥2；当a<−3时，不等式即为a+3≥−a2−1，即a2+a+4≥0，△=1−16=−15<0，所以a2+a+4≥0恒成立，所以a<−3，综上可得，实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[2,+∞)．【解析】(Ⅰ)写出f(x)的分段函数的形式，即可作出f(x)的图象；(Ⅱ)由绝对值三角不等式可得f(x)≤−|a+3|，则不等式有解等价于−|a+3|≥−a2−1，解之即可得到a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式有解问题，考查转化思想和运算能力，属于基础题．。
河南省鹤壁市2021届高三一模数学(文)答案
河南省鹤壁市2021届高三一模数学（文）试题参考答案1．A 【思路点拨】化简集合,A B ，再根据集合的交集运算可得结果. 【解析】由题意可得{}22,023M x x N y x ⎧⎫=-<<=≤≤⎨⎬⎩⎭， 故{}02M N x x ⋂=≤<. 故选：A2．C 【思路点拨】化简22z i =+，即得解. 【解析】由题得(3)(1)241122(1)(1)2i i i z i i i +++=+=+=+-+，所以||z =故选：C3．B 【思路点拨】借用0，1进行比较大小，简单计算即可得到结果.【解析】由题可知：1a =>，33223log log 104b =<=，40201233c <⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭故a c b >> 故选：B4．C 【思路点拨】由已知结合等比数列的性质可得262610m nm +=+⎧⎨=+⎩，解方程组可求得结果【解析】由等比数列的性质知262610m n m +=+⎧⎨=+⎩，解得84m n =⎧⎨=⎩，所以12m n +=. 故选：C5．A 【思路点拨】先判断函数的奇偶性可排除CD ，然后根据()0,1x ∈，0y <，可知结果. 【解析】由题可知函数定义域为{}0x x ≠，则()sin ln y f x x x ==⋅， 又()()()sin ln sin ln f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-所以sin ln y x x =⋅是奇函数，且()0,1x ∈时，0y <，故选项A 正确.故选：A6．B 【思路点拨】按照等距系统抽样的定义进行分组抽样即可求得第26个学生的编号. 【解析】按照等距系统抽样的定义，2000名学生分50组，即40人一组，第1组1~40，第2组41~80，…，第50组1961~2000；若第一个编号为7，则后面每组的编号都比前一组多40，可以求得第26个学生的编号为：(261)4071007-⨯+=，故选：B7．D 【思路点拨】将坐标代入计算可得2221||a b xxa ⋅=+，然后讨论x 的大小并结合基本不等式计算可得结果. 【解析】由题意可得2221||a b xxa ⋅=+，当0x ≤时，上式小于等于0， 当0x >时，原式211x x=≤+，当且仅当1x =时等号成立，故最大值为1.故选：D8．D 【思路点拨】画出不等式组表示的平面区域，由z 的几何意义求解即可. 【解析】画出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示z ax y =+可化为y ax z =-+，结合图象可知，直线y ax z =-+过直线220x y -+=与直线240x y +-=的交点()0,2A ，z 取得最大值，max 022z =+=.故选：D【名师指导】关键点睛：解决本题的关键在于利用z 表示的几何意义进行求解.9．C 【思路点拨】根据向量之间关系，得到122F AF A =，再由题中条件，得到()2c a c a +=-，从而可求出结果.【解析】由1232PA PF PF =+可得1222PA PF PF PA -=-，即122F AF A =， 所以122F AF A =，又(),0A a 为双曲线右顶点，所以()2c a c a +=-，即3c a =， 所以离心率为3ce a==. 故选：C.10．A 【思路点拨】作出曲线243y x x =-+-（上半圆），直线10kx y k -+-=过定点(1,1)--，求出图中两条的斜率可得所求范围．【解析】解：曲线243y x x =-+-整理得22(2)1(0)x y y -+=≥，则该曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的圆的上半部分，直线10kx y k -+-=过定点(1,1)--，如图，当[)12,k k k ∈时，曲线与直线有两个不同的交点，由22111k k k +-=+，得34k =或0k =，所以234k =， 1101112k --==--， 所以实数k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：A ．【名师指导】方法点睛：本题考查直线与曲线的位置关系，解题方法是数形结合思想，即作出曲线（半圆），而直线是过定点的动直线，由直线与半圆的交点个数可得直线的位置，求出临界点直线的斜率后可得结论．11．C 【思路点拨】依据函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可知2ω≤，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知76ππω≥，最后计算可知结果. 【解析】因为()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以T π≥，则2ππω≥，由此可得2ω≤. 因为当32x k ππωπ+=+，即()6k x k Z ππω+=∈时，函数取得极值，欲满足在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值点，因为周期T π≥，故在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值，故第一个极值点63x ππω=<，得12ω>.又第二个极值点776122x πππω=≥>， 要使()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，必须76ππω≥，得76ω≤.综上可得，ω的取值范围是17,26⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：C【名师指导】思路点点睛：第一步：先根据函数在所给区间单调判断ω；第二步：计算对称轴；第三步：依据函数在所给区间存在极值点可得63ππω<，76ππω≥即可. 12．B 【思路点拨】由题意可知，点P 在ABC 所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为A 、BAB 的中点O 为坐标原点，直线AB 所在直线为x 轴，以CO 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得PD 的最大值.【解析】如图所示，在平面ABC 内，4323PA PB +=>， 所以点P 在平面ABC 内的轨迹为椭圆，取AB 的中点为点O ，连接CO ，以直线AB 为x 轴，直线OC 为y 建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则椭圆的半焦距1c =，长半轴233a =，该椭圆的短半轴为2233b a c =-=，所以，椭圆方程为()2233104x y z +==. 点D 在底面的投影设为点E ，则点E 为ABC 的中心，1133333OE OC ===， 故点E 正好为椭圆短轴的一个端点，2233CE OC ==2226DE CD CE =-=， 因为222PD DE EP =+，故只需计算EP 的最大值.设(),,0P x y ，则3E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则2222223423123543333EP x y y y y y y ⎛=+=-++=--+ ⎝⎭， 当333y ⎡=⎢⎣⎦时，2EP 取最大值， 即22max3233516339EP ⎛⎛=-⨯+= ⎝⎭⎝⎭，因此可得2241640999PD ≤+=，故PD 210. 故选：B.【名师指导】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，根据椭圆的定义得知点P 的轨迹是椭圆，并结合二次函数的基本性质求解EP 的最大值是解题的关键，在求解时也要注意椭圆有界性的应用.13．2【思路点拨】先对函数求导，根据导数的几何意义，求出()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线斜率，根据题中条件，列出方程求解，再验证，即可得出结果.【解析】由()()22xf x x ax e =++可得()()()()222222x x xf x x a e x ax e x a x a e '⎡⎤=++++=++++⎣⎦，则()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线斜率为()02k f a '==+， 因为该切线与直线430x y -+=平行，所以24a +=，则2a =， 此时()02f =，所以切线方程为42y x =+，显然与430x y -+=平行.14．4【思路点拨】先由球的表面积为100π，求出球的半径，再利用勾股定理可求得结果 【解析】解：设球的半径为r ，由题可知24100r ππ=，=5r .所以球心到这个平面的距离为226542⎛⎫-= ⎪⎝⎭.15．31184π-【思路点拨】由题意可得，点M 与A ，B 的距离均小于BC 长度时的位置，求其面积，在根据几何概型即可求得结果.【解析】当点M 与A ，B 的距离均小于BC 长度时，点M 在如图所示的阴影区域内部， 设两圆弧交点为E ，过E 作EF AB ⊥，连接AE ，假设2BC =，则323AB BC == 在AEF 中，∵1122EF AD AE ==，∴6EAF π∠=，则2112=223132623S ππ⎛⎫⨯⨯⨯-=⎪⎝⎭阴影∴所求概率21184P π-==-. 16．2【思路点拨】本题首先可设等差数列{}n a 的公差为d ，然后根据60S =得出1250a d +=，根据77a =得出167a d +=，两式联立，即可得出27n a n =-，再然后令23m t -=，则1286m m m a a t a t++=+-，根据t 为8的约数以及t 是奇数得出t 的可能取值为±1，最后分为1t =、1t =-两种情况进行讨论，即可得出结果. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为60S =，所以16602a a +⨯=，即160a a +=，1250a d +=， 因为77a =，所以167a d +=，联立1125067a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得15a =-，2d =，27n a n =-，()()12272523m m m m m a a a m ++--=-， 令23m t -=，则()()124286m m m t t a a t a t t++--==+-，t 为8的约数， 因为t 是奇数，所以t 的可能取值为±1， 当1t =时，2m =，2343257a a a ==⨯-，是数列{}n a 中的第5项； 当1t =-时，1m =，()12315247a a a =-=⨯--，不是数列{}n a 中的项， 故答案为：2.【名师指导】关键点点睛：本题考查判断数是否是数列中的项，考查等差数列通项公式的求法，能够根据1286m m m a a t a t++=+-判断出t 的可能取值为±1是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.17．【思路点拨】（I ）先由正弦定理，将所给条件化为222bc b c a =+-，再由余弦定理，即可得出结果；（Ⅱ）根据题中条件，得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，推出22244a b =-，再由余弦定理得到2242a b b =-+，两式联立求出b ，进而可求出a .【解析】（I ）根据正弦定理，由sin sin sin sin b C a A b B c C +=+可得222bc a b c +=+， 即222bc b c a =+-，由余弦定理可得，2221cos 22b c a A bc +-==，因为A 为三角形内角，所以3A π=； （Ⅱ）因为D 是线段BC 的中点，2c =，AD = 所以ADB ADC π∠+∠=，则cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，所以222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⋅⋅，即22221321344022a ab a a +-+-+=，整理得22244a b =-； 又22222cos 42a bc bc A b b =+-=+-，所以2242244b b b +-=-，解得6b =或8b =-（舍）， 因此2224428a b =-=，所以a =【名师指导】思路点睛：求解三角形中的边长或面积等问题时，一般需要根据正弦定理，或余弦定理，将题中条件进行转化，得出对应的方程求解即可.18．【思路点拨】（I ）根据表格中数据，由题意，可直接得出结果； （Ⅱ）根据表格分别求出分类前后的成本，进而可求出结果. 【解析】（I ）由题意可得：有害垃圾的比例为42%200=； 有利用价值的垃圾的比例为5411082%200+=；（Ⅱ）由题意，实行生活垃圾分类以前，每天处理垃圾的综合成本为502000100000⨯=元；实行生活垃圾分类后，2000吨垃圾中包含可回收垃圾540吨，厨余垃圾1100吨，有害垃圾40吨，其他垃圾320吨；综合成本为()()54016015011003003404010003205017400⨯-+⨯-+⨯+⨯=元， 因此每天处理垃圾的综合成本能节省1000001740082600-=元.19．【思路点拨】（1）由已知得PD BD PD CD ⊥⊥，，求解三角形证明BD CD ⊥，即可得到AB BD ⊥，由直线与平面垂直的判定可得答案；（2）求出三棱锥A BDE -的体积，设点B 到平面DAE 的距离为h ，由等体积法求出h 即可．【解析】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BD CD ⊂、平面ABCD ，所以PD BD PD CD ⊥⊥，，在Rt PBD 中，PB =1PD BD ==，在Rt PCD 中，可得1CD =，于是，222BD DC BC +=，得BD CD ⊥，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//AB CD ，所以AB BD ⊥，由于PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD AB ⊥，又PD BD D ⋂=，AB ⊥平面PBD .（2）因为E 是BP 的中点，所以11112224BDE PBDSS PD BD ==⨯⨯⨯=， 由（1）知，AB ⊥平面BDE ，所以三棱锥A BDE -的体积为11312BDE V S AB =⨯=，由于AD BC ==2DE =，AE ==，所以222AE DE AD +=，即AE DE ⊥，故12ADESAE DE =⨯=，设点B 到平面DAE 的距离为h ，由A BDE B ADE S S --=得11123=，即h B 到平面DAE 的距离3．【名师指导】本题主要考查线面垂直的证明，几何体体积的求法，解题的关键点是利用等体积转化求点到平面的距离，考查了学生的空间想象能力和计算能力.20．【思路点拨】（Ⅰ）先由解析式，得到函数定义域，求出其导函数，再由题中条件，得到()110f a '=+=，求出a ，根据导数的方法即可求出函数单调性区间；（Ⅱ）根据题意，构造函数()()()ln 1xh x f x g x x x xe =-=+-+，()0,x ∈+∞，对其求导，利用导数的方法判定函数单调性，求出其最大值，即可证明不等式成立. 【解析】（Ⅰ）由已知可得，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()1af x x'=+； 因为1x =是()f x 的极值点，所以()110f a '=+=，解得1a =-， 此时()111x f x x x-'=-+=； 故当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>； 所以()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1； （Ⅱ）若1a =，则()ln f x x x =+，()1xg x xe =-，设()()()ln 1xh x f x g x x x xe =-=+-+，()0,x ∈+∞；则()()()11111x x h x x e x e x x ⎛⎫'=+-+=+- ⎪⎝⎭； 令()1xt x e x =-，()0,x ∈+∞， 则()210xt x e x '=--<对任意()0,x ∈+∞恒成立，所以()1xt x e x=-在()0,∞+上单调递减；又1202t e ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110t e =-<，所以01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00010x t x e x =-=，即001x e x =，则001ln ln x e x =，即00ln x x -=；因此，当00x x <<时，()0t x >，即()0h x '>，则()h x 单调递增；当0x x >时，()0t x <，即()0h x '<，则()h x 单调递减；故()()00000ln 10110xh x h x x x x e ≤=+-+=-+=，即()()f x g x ≤. 【名师指导】利用导数的方法证明不等式时，通常需要直接构造函数，利用导数的方法求出函数的最值即可；有时也需要对不等式变形，构造两个不同的函数，分别求出一个函数的最大值与另一函数的最小值进行比较即可.21．【思路点拨】（1）由焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，求得点,A B 的坐标，然后根据AOB 的面积为2求解；（2）设直线()1:l x t y a =-，联立方程可得()24y x x t y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，结合韦达定理，利用弦长公式求得MN ，以及焦点F 到直线1l 的距离，求得FMN S ，将t 用t -替换，得到FPQ S ，由FMN FPQ S S =△△，可得t 与a 的关系，然后再结合判别式大于零求解.【解析】（1）因为焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以点,A B 的坐标分别为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 所以12222AOB p S p =⋅⋅=△，故2p =. 故抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题意可知直线12,l l 的斜率存在，且不为0，设直线()1:l x t y a =-.点()11,M x y ，()22,N x y .联立方程可得()24y x x t y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去x ，可得2440y ty at -+=. 则2116160t at ∆=->.因为1212 4,4y y t y y at +==，所以12MN y =-==焦点F 到直线1l的距离d =所以1|2FMN S ta =⨯=+△. 设直线2:()l x t y a =--，与抛物线方程联立可得2216160t at ∆=+>，将t 用t-替换，可得1FPQ S =-△由FMN FPQ S S =△△可得1ta +=-，11ta ta +=-，两边平方并化简可得2212t a =-， 所以220a ->，解得0a <<又由10∆>且20∆>得t a <-或t a >，可知22t a >，所以2212a a >-，即()222102a a ->-，所以1a ≠， 所以实数a 的取值范围是(0,1)(1,2).【名师指导】方法点睛：（1）解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．（2）解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ==(k 为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．22．【思路点拨】（1）曲线C 化为普通方程可得与y 轴负半轴的交点坐标，由直线l 的斜率得tan α可得答案；（2）由tan 2α=得直线l 的普通方程，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质可得答案. 【解析】（1）曲线C 2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩的普通方程为2214x y +=，令0x =，1y =±， 所以曲线C 与y 轴负半轴的交点为(0,1)-，因为直线l 恒过点()1,0，又点(0,1)-在直线l 上，所以直线l 的斜率为10101--=-， 所以tan 1α=，所以4πα=. （2）若tan α=，得直线l的普通方程为1)y x =-，20y -=，C 上的点到l的距离d == 当52()6k k πϕπ=+∈Z 时，d 取最大值，此时12cos 2ϕϕ==，所以所求点的坐标为12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【名师指导】本题主要考查参数方程与普通方程的转化以及三角恒等变换，解题的关键是要熟练掌握参数方程与普通方程的互化及三角函数的性质，考查了学生的转化能力和计算能力.23．【思路点拨】（1）根据自变量的范围去掉绝对值，然后分段画出在所给范围的函数图象即可.（2）讨论0a =，0a <，0a >的情况，根据平移知识，以及题干要求简单计算和判断可知结果.【解析】（1）由条件知33,15()1,125311,2x x f x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=---≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， ()y f x =的图象如下：（2）0a =显然不符合条件.当0a <时，()y f x =的图象向右平移a -个单位得到() y f x a =+的图象， 此时对任意1x <，() y f x a =+总在()y f x =的上方，不符合条件.当0a >时，()y f x =的图象向左平移a 个单位得到() y f x a =+的图象，如图所示；() y f x a =+的图象最多平移到与()y f x =的图象交于点()1,2-的位置，此时2a =，因此a 的取值范围是(0,2].【名师指导】关键点点睛：第（1）问关键在于使用零点分段法去掉绝对值，然后分段画出函数图象；第（2）问在于数形结合结合平移的知识，同时利用关键点()1,2-.。
河南省鹤壁市高级中学2020_2021学年高一数学上学期第一次段考试题
河南省鹤壁市高级中学2020-2021学年高一数学上学期第一次段考试题一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.下列各项中，能组成集合的是（ ）A ．高一（3）班的好学生B ．嘉兴市所有的老人C ．不等于0的实数D ．我国著名的数学家2.已知集合{}()(){}2,1,0,1,2,|120A B x x x =--=-+<,则A B ⋂=( )A.{}1,0-B.{}0,1C.{}1,0,1-D.{}0,1,23.已知函数y=()f x ,部分x 与y 的对应关系如表：x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 321-1-2-3则((4))f f =( )A ．-1B ．-2C ．-3D ．34．设全集，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ）A. 3B. 4C. 7D. 8 5.已知全集{}0,1,2,3,4,5U =,集合{}{}0,3,5,0,3UM M N =⋂=,则满足条件的集合N 共有( )A.4个B.6个C.8个D.16个 6.已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则()()21f xg x x =-的定义域为( )A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,47.设集合{}2A=230x x x +->，集合{}2B=210,0x x ax a --≤>.若A B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞ 8.已知函数25,(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩，是R 上的增函数，则a 的取值范围是( )A ．30a -≤<B ．2a ≤-C ．0a <D ．32a -≤≤-9.若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x -≥的x 的取值范围是( ) A.[1,1][3,)-+∞B.[3,1][0,1]--C.[1,0][1,)-+∞D.[1,0][1,3]-10.已知定义域为R 的函数121()2x x f x m +-+=+是奇函数，则不等式()(1)0f x f x ++>解集为( )A ．12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭B ．{|2}x x <-C ．122x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ D.{}0x x <11.已知()f x 是一个定义在R 上的函数,对任意x R ∈,都有()()2211f x f x +-=,则(f = ( )A. 0B.112 C. 13D.以上答案都不对12.如果函数 ()23011x x f x a a a a a --=>≠）（且（） 在区间 [)0+∞，上是增函数,那么实数a 的取值范围是( )A. 203⎛⎤ ⎥⎝⎦，B. ⎫⎪⎪⎣⎭C. (D. 0⎛ ⎝⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合}{}{1,2,10,A B x mx =-=+=若AB=A ,则m 的值为__________.14.函数()()2212f x x a x =+-+在(,4)-∞上是减函数,则实数a 的取值范围是__________.15.已知函数()y f x =是R 上的偶函数,对于x R ∈都有()()()63f x f x f +=+成立,且()42f -=,当[]12,0,3x x ∈,且12x x ≠时,都有()()12120f x f x x x -<-.则给出下列几种说法:①()20202f =;②函数()y f x =图象的一条对称轴为6x =-; ③函数()y f x =在[]9,6--上为减函数; ④方程()0f x =在[]9,9-上有4个根; 其中正确的说法的序号是__________16.已知1()42x x f x m +=-⋅，设21()21x x g x -=+，若存在不相等的实数,a b 同时满足方程()()0()()0g a g b f a f b +=+=和，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若集合{}{}2260,0A x x x B x x x a B A =+-==++=⊆,且,求实数a 的取值范围．18.(本小题满分12分)已知函数xx x f 2)(+=． （1）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明：函数)(x f在)∞上是增函数．19.(本小题满分12分)已知定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足()()1122x f f x f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,且当1x >时, ()0f x <.(1) 求()1f 的值，判断()f x 的单调性; (2）若()31f =-,求()f x 在[]2,9上的最小值.20.(本小题满分12分)设()f x 为定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时y x =，当x >2时，()y f x =的图象是顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的一部分. (1)求函数()f x 在(－∞，－2)上的解析式； (2)求出函数()f x 的值域.21.(本小题满分12分)设函数121() (1)2()+2 (12)38 (2)x x f x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩＋．(1) 请在下列直角坐标系中画出函数()f x 的图象；根据函数的图象，试分别写出关于x 的方程()f x t =有2，3，4个实数解时，相应的实数t 的取值范围；(2) 记函数()g x 的定义域为D ，若存在D x ∈0，使()00g x x =成立，则称点),(00x x 为函数()g x 图象上的不动点．试问，函数()f x 图象上是否存在不动点，若存在，求出不动点的坐标，若不存在，请说明理由．22.(本小题满分12分)已知函数1()2xf x =，2()23g x ax x =+-. （1）当1a =时，求函数[()]f g x 的单调递增区间、值域；（2）求函数[()]g f x 在区间[2,)-+∞的最大值()h a鹤壁市高中2023届数学第一次段考试卷答案1.答案C解：∵对于A 、B 、D “高一（3）班的好学生”、“嘉兴市所有的老人”、“我国著名的数学家”标准不明确，即元素不确定．∴A 、B 、D 不能构成集合．故选C 2.答案：A解析：由题意知{}|21B x x =-<<,所以{}1,0A B ⋂=-,故选A.3.答案D先求，再求 通过表格可以得到，4【答案】D 5.答案：C 解析：{}{}0,30,3,5,UM M N ⋂==,0,3,5UUN N ∴∈∉, 0N,3N,5N ∉∉∈∴,而全集U 中的1,2,4不能确定,故满足条件的集合N 有328=(个).6.答案：C 解析：由题意可知，02210x x ≤≤⎧⎨-≠⎩,解得01x ≤<，故()()21f x g x x =-的定义域为[)0,17.答案B{}2A=230{13}x x x x x x +->=><-或，因为函数2()21y f x x ax ==--的对称轴为0x a =>，(0)10f =-<，根据对称性可知要使A B 中恰含有一个整数，则这整数解为2，所以有(2)0f ≤且(3)0f >，即44109610a a --≤⎧⎨-->⎩，所以3443a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩。
河南省鹤壁市高级中学2020_2021学年度高一上学期第三次段考试题 数学【含答案】
河南省鹤壁市高级中学2020_2021学年度高一上学期第三次段考试题数学【含答案】一、单选题(每小题5分，12小题共60分)1．已知集合，集合，则( )A．B．C．D．2．下列说法中正确的是( )A．棱柱的面中，至少有两个互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中各条棱长都相等D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形3．已知水平放置的的平面直观图是边长为的正三角形，则的面积为( ) A．B．C．D．4．若为两条异面直线外的任意一点，则( )A．过点有且仅有一条直线与都平行B．过点有且仅有一条直线与都垂直C．过点有且仅有一条直线与都相交D．过点有且仅有一条直线与都异面5．已知函数，则的零点所在的区间为( )A．B．C．D．6．将正方体（如图一所示）截去两个三棱锥，得到图二所示的几何体，则该几何体的左视图为 ( )A．B．C．D．7．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中真命题是( )A．若与所成角相等，则B．若，则C．若，则D．若，则8．若，则( )A．B．C．D．9．如图，长方体中，，，，，分别是，，的中点，则异面直线与所成角是( )A．30°B．45°C．60°D．90°10．卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院拿破仑庭院，由美籍华人建筑师设计，已成为巴黎的城市地标｡金字塔为正四棱锥造型，四个侧面由几乎大小相同的玻璃块拼装而成，能为地下设施提供良好的采光，创造性地解决了把古老宫殿改造成现代美术馆的一系列难题，取得极大成功，金字塔塔高21米，底宽34米，如果每块玻璃面积为2.72平方米，不计安装中的损耗，请你估算，建造这座玻璃金字塔需要玻璃块的块数最接近的数为( )A．575 B．625 C．675 D．72511．已知矩形中，，F为线段上一动点（不含端点），现将沿直线进行翻折，在翻折的过程中不可能．．．成立的是( )A．存在某个位置，使直线与垂直B．存在某个位置，使直线与垂直C．存在某个位置，使直线与垂直D．存在某个位置，使直线与垂直12．定义域是上的函数满足，当时，，若时，有解，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，4小题共20分）13．已知幂函数的图象关于原点对称，则________.14．如图，在三棱锥中，，，，，，则与平面所成角的大小为__________.15．若与在区间上都是减函数，则的取值范围是______．16．在正三棱锥中，M是SC的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为_______________.三、解答题（第17题10分，18-22题每题12分）17．（10分）已知集合集合.(1)求(2)若集合,且,求实数的取值范围.18．（12分）如图，正方体中，，分别是，的中点．求证：（1），，，四点共面；（2），，三线共点．19．（12分）已知函数．（）判断并证明函数在的单调性．（）若时函数的最大值与最小值的差不大于，求m的取值范围．20．（12分）如图，在直三棱柱中，D，E分别为，的中点，．求证：（1）平面；（2）．21．（12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为元，该厂为鼓励销售商订购，订购的服装单价与订购量满足函数，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过件．（1）将利润表示为订购量的函数；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？最大利润是多少？22．（12分）已知函数的图象关于原点对称.（1）求的值；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.答案1．D 2．A 3．A 4．B 5．C6．B【详解】由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，在右侧的射影是正方形的对角线，在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．7．D【详解】对于A，如正三棱锥的侧棱与底面所成的角都相等，但侧棱不平行，故A错误；对于B，若，则或，故B错误；对于C，如图，，但与相交，故C错误；对于D，若，则或，又，则，故D正确.8．D【详解】令，根据指数函数的性质，可得单调递增，单调递减，因此在上单调递增；又可化为，即，所以，当，时，，故A错；当，时，，故B错；当，时，，故C错；因为是减函数，由可得，即，故D正确. 9．D【详解】如图所示：连接，由长方体的结构特征得，所以是异面直线与所成角，因为，,所以，即，所以，故异面直线与所成角.10．C【详解】正四棱锥如图所示，根据题意，平面ABCD，，，，在中，，则正四棱锥的侧面积，所以需要玻璃块的块数为，所以建造这座玻璃金字塔需要玻璃块的块数最接近的数为675.故选：C.11．C【详解】对于A，连接，作于，延长交于点，则，翻折过程中，这个垂⊥保持不变，当直关系保持不变（始终有平面），A正确；对于B，在翻折过程中，AD DF时，有平面，所以，此时，，满足题意；B正确；对于C，在翻折过程中，保持不变，若成立，则由，有，则平面，从而,得，在翻折过程中，，⊥保持不变，若成立，即，所以不成立，C错误．对于D，在翻折过程中，AD DF则平面，从而，此时，设，则，，只要，就存在．D正确；12．B【解析】∵,∴当时，,∴,由分段函数的最值得，当时，.∵当时，有解，∴，整理得，解得或.∴实数的取值范围是.二、填空题13．【分析】是幂函数，，解得：或，又函数的图象关于原点对称，.故答案为：14．45°【分析】如图，作平行四边形，连接，由可得平行四边形是矩形.∵，∴平面，又平面，∴，同理可得，又，∴平面.∴是与平面所成的角.由得，又，∴.∴与平面所成角的大小是45°.15．【分析】根据与在区间上都是减函数，又的对称轴为，所以，又在区间上是减函数，所以,所以，即的取值范围为．16．【分析】取中点，连接，三棱锥为正三棱锥,，,，，平面，,平面，平面, ，又，平面，,平面，平面，，由正棱锥侧面全等可知：，即两两互相垂直，可将三棱锥放入如下图所示的正方体中，其中，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球，,正方体外接球半径：，所求外接球的表面积：，故答案为：【点睛】本题考查几何体外接球表面积的求解问题，关键是能够根据线面垂直的关系找到三条棱两两互相垂直的关系，从而将问题转化为正方体外接球表面积的求解问题，属于中档题.三、解答题17．解：(1),……………………………………2分………………………………………………4分所以…………………………………………………………5分(2)当时，，即，满足；………………………….7分当时,解得；……………………………………………9分综上：且. ……………………………………………………………………10分18．证明：（1）连接，，,，分别是，的中点，，………2分，又，四边形为平行四边形，……………………………………4分从而,. (5)由两条平行线确定一个平面，得到，，，四点共面．………6分（2）由（1）知四边形为梯形，分别延长梯形两腰，，交于点，………………………………………………………………8分，…………………9分，……………………10分在与平面的交线上，，，三线共点于．……………12分19．解：（1）函数在上单调递增. …………………………1分证明如下：任取，且，……………2分因为，则，………4分因为，所以，，，所以，即，所以函数在上单调递增；………6分（2）由（1）知函数在上单调递增，…………………………7分所以函数的最大值为，最小值为，…………………………8分所以，即，解得，…………………………10分又,所以…………………………12分20．解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE AB，AB A1B1，∴DE A1B1，…………………………2分∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，…………………………4分∴A1B1平面DEC1．…………………………6分（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．…………7分∴BE⊥AC，…………8分∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴BE⊥AA1，…………10分又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，………………………11分∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．………………………12分21．解：（1）当时，当时，所以. …………6分（2）当时，，即，……………………8分当时，，即时，…………11分故一次订购件时，利润最大，最大利润为6050. ……………………………………12分22．解：（1）因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，所以，即，解得；……3分（2）易知的定义域为，令，易证得在上单调递增，根据复合函数的性质知在上单调递增.又因为为奇函数，所以在上单调递增. ……………………4分在上恒成立，等价于在上恒成立，即（*）在上恒成立. ……………………6分令，显然是增函数，则. …7分，（*）式可化为，……………………8分令，其图象对称轴的方程为.①当，即时，在上递增，则，解得，故；……………………9分②当，即时，，解得，故；……………………10分③当，即时，在上递减，则，解得，故. ……………………11分综上所述，的取值范围为. ……………………12分。
2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析
三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（ ） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是 ． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列； （2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2． （1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围． 【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点， 又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为， 又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032． 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +， 当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣， 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1， 由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列． （2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|， 即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。
2020-2021鹤壁市高中高一数学上期中第一次模拟试题(附答案)
2020-2021鹤壁市高中高一数学上期中第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，4．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则AB =A ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 6．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-7．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）8．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．20199．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>>10．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．11．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞- B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞ 12．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．函数232x x --的定义域是 .14．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________.15．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．16．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．17．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则AB =__________．18．已知函数(1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________. 19．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 20．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．三、解答题21．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤> （Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.22．已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围.23．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y 表示为x 的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）24．已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若方程()0f x =两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,－1).求()0f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(2,1)-. （ⅰ）求解关于x 的不等式20cx bx a ++>（ⅱ）设函数2(1)(),(1)(1)b x cg x x a x +-=<-，求函数()g x 的最大值 25．一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10﹪衰减. （Ⅰ）求t 年后，这种放射性元素质量ω的表达式；（Ⅱ）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需要的时间）．（精确到0.1；参考数据：）26．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断．【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．2．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.3．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.4．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．5．A解析：A 【解析】 由题意{1,2,3,4}AB =，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．6．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.7．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数； ∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．9．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log abb aa b a b >>>；故选D.10．B解析：B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．11．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.12．C解析：C 【解析】 【分析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可．【详解】 若函数在上单调递减，则，解得. 故选C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值． 二、填空题13．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域14．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】 【分析】设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．15．-7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需解析：-7 【解析】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.16．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值17．【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可【详解】因为集合两个集合的公共元素为所以故答案为【点睛】研究集合问题一定要抓住元素看元素应满足的属性研究两集合的关系时关键是将两集合的关系转化为元素间的解析：{}12－，【解析】 【分析】直接利用集合交集的定义求解即可. 【详解】因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=- 两个集合的公共元素为1,2- 所以{}1,2AB =-．故答案为{}1,2-.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.18．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点 解析：2()23(1)f x x x x =--≥【解析】 【分析】利用换元法求解析式即可令11t x =+≥，则()21x t =-故()()214f t t =--=223(1)t t t --≥故答案为2()23(1)f x x x x =--≥【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点 19．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7【解析】【分析】【详解】设， 则， 因为11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7. 20．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意 解析：(1,4)；【解析】【分析】分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围．【详解】∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间，∴40a ->，求得14a <<，当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意，综上可得a 取值范围为(1,4)，故答案为：(1,4)．本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．三、解答题21．（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）()20,32{42,2a m a a a a ≤≤=-+->．（ⅱ）()348,34{2,4a a a a -≤<M =≥． 【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->， 当1x >时，()()()22422122x ax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ． （Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-， 所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+-> （ⅱ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=． 所以，()348,34{2,4a a M a a -≤<=≥．【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ．22．（1）2；（2）(]1,3.【解析】【分析】（1）设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；（2）作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可.【详解】 （1）()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩为奇函数， 当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+⨯-=--，则()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=； （2）由（1）可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，作出函数()y f x =如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，则121a -<-≤，解得13a.因此，实数a 的取值范围是(]1,3.【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.23．（1）()()2140,4060150,60802x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）30名员工（3）销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求出当4060x ≤≤和6080x <≤时的解析式，进而可得所求结果；（2）设该店有职工m 名，根据题意得到关于m 的方程，求解可得所求；（3）由题意得到利润的函数关系式，根据分段函数最值的求法可得所求．【详解】（1）当4060x ≤≤时，设y ax b =+，由题意得点()()40,60,60,20在函数的图象上，∴40606020a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得2140a b =-⎧⎨=⎩， ∴当4060x ≤≤时，2140y x =-+． 同理，当6080x <≤时，1502y x =-+． ∴所求关系式为()()2140,4060150,6080.2x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩ （2）设该店有职工m 名，当x=50时，该店的总收入为()()()4010010021404040000y x x x -⨯=-+-=元， 又该店的总支出为1000m+10000元，依题意得40000=1000m+10000,解得：m=30.所以此时该店有30名员工．（3）若该店只有20名职工，则月利润()()()()()21404010030000,40601504010030000,60802x x x S x x x ⎧-+-⨯-≤≤⎪=⎨⎛⎫-+-⨯-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ ①当4060x ≤≤时，()225515000S x =--+，所以x=55时，S 取最大值15000元；②当6080x <≤时，()2170150002S x =--+， 所以x=70时，S 取最大值15000元；故当x=55或x=70时，S 取最大值15000元，即销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大．【点睛】解决函数应用问题重点解决以下几点：（1）阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域； （3）求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值；（4）回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．24．（1）{}13x x ≤≤；（2）（ⅰ）1(,)(1,)2-∞-⋃+∞；（ⅱ）2-.【解析】【分析】 （1）由韦达定理及函数过点(2,－1)，列方程组()432421b a c a f a b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩求解即可； （2）（ⅰ）由不等式的解集与方程的根可得012a b ac a⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，则20cx bx a ++>可化为2210x x -->，再解此不等式即可；（ⅱ）由（ⅰ）得()g x =4(1)()21x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦，再利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，得解.【详解】（1）由题意可得()432421b a c a f a b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩，解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，()243f x x x ∴=-+， 解不等式()0f x ≤，即2430x x -+≤，即()()130x x --≤，解得13x ≤≤， 因此，不等式()0f x ≤的解集为{}13x x ≤≤；（2）（ⅰ）由题意可知012a b ac a⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以20cx bx a ++>可化为210c b x x a a ++<， 即2210x x -++<，得2210x x -->，解得21x <-或1x > 所求不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞. （ⅱ）由（ⅰ）可知22(1)(1)2()(1)(1)b x c a x a g x a x a x +-++==--=231x x +=- 2(1)2(1)41x x x -+-+=-=4(1)()21x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦ , 因为1,x <所以10x ->，所以4(1)()41x x -+≥-，当且仅当411x x -=-时即1x =-时取等号 , 所以4(1)()41x x ⎡⎤-+≤-⎢⎥-⎣⎦，4(1)()221x x ⎡⎤-≤-++≤-⎢⎥-⎣⎦ 所以当1x =-时，()max 2g x =- .【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法及不等式的解集与方程的根的关系，重点考查了利用均值不等式求函数的最大值及取等的条件，属中档题.25．（Ⅰ）ω=500×0.9t . （Ⅱ）6.6年【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）最初的质量为500g ，经过1年，ω=500（1-10﹪）=500×10.9，经过2年，ω=500×20.9，……，由此推出，t 年后，ω=500×0.9t ．（Ⅱ）解方程500×0.9t =250．0.9t =0.5，lg 0.9lg 0.5t =，lg 0.5 6.6lg 0.9t =≈， 所以，这种放射性元素的半衰期约为6.6年．考点：指数函数应用题及只属于对数的互化点评：本题第一问由经过一年，二年……的剩余质量归纳出t 年后的剩余含量，第二问涉及到指数式与对数式的转化x a b =转化为log a x b =26．（1）A ∪(B ∩C )＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B )∪(∁U C )＝{1,2,6,7,8}．【解析】试题分析：（1）先求集合A,B,C ；再求B ∩C ，最后求A ∪(B ∩C )（2）先求∁U B ，∁U C ；再求(∁U B )∪(∁U C )．试题解析：解：(1)依题意有：A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}，C ＝{3,4,5,6,7,8}，∴B ∩C ＝{3,4,5}，故有A ∪(B ∩C )＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)由∁U B ＝{6,7,8}，∁U C ＝{1,2}；故有(∁U B )∪(∁U C )＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．。
河南省鹤壁市高级中学2021届高三上学期第一次模拟测试(8月段考)数学(文)试题
① a 的值可以为 2； ② a 的值可以为 2 ； ③ a 的值可以为 2 2 ；
三、解答题（17 题 10 分,18-22 每题 12 分）
17．设集合 A {x | x2 4x 0}, B {x | x2 2(a 1)x a2 1 0} ，若 A∩B=B，求 a 的
B．1
C． 2
D． 4
12．已知函数
f
x
a 2ex1, x 1
x
ln
x
2x
a,
x
，若函数
1
y
f
x 与
y
f
f x 相同的值
域，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． a 0
B． a 1
C． a 2e
D． a 3e
二、填空题（每题 5 分） 13．命题“∀x＞0，x2+x＞1”的否定是_____．
B． f x1 0 , f x2 0
C． f x1 0 , f x2 0
D． f x1 0 , f x2 0
9．若 x 1 为函数 f x ex 的一个极值点，则下列图象一定不可能为函数 f x 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯( Hipparchus ，又名依
A．向右平移
6
个单位，可得到函数
y
sin
2
x
的图像
D．2,
D. 2
B． y f (x) 的图像关于 (0,1) 中心对称
C． y f (x) 的图像关于直线 x 5 对称 12
D． y f (x) 在 ( , 2 ) 上为增函数 63
2020-2021学年河南省鹤壁市第一高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析
2020-2021学年河南省鹤壁市第一高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为（）A． B．C． D．参考答案：A 解析：先从双鞋中任取双，有，再从只鞋中任取只，即，但需要排除种成双的情况，即，则共计2. 在线性回归模型中，下列说法正确的是( ).A．是一次函数B．因变量y是由自变量x唯一确定的C．因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e 的产生D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e的产生参考答案：C3. 下列说法：正态分布在区间内取值的概率小于0.5；正态曲线在一定时，越小，曲线越“矮胖”；若随机变量，且，则其中正确的命题有（）A. B. C. D.参考答案：D略4. ①；②设，命题“的否命题是真命题；③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件；则其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2D．3参考答案：B5. 为了解某校高三学生的视力状况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力状况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频率成等比数列，设视力在到之间的学生数为，最大频率为，则的值分别为（）A． B．C． D．参考答案：B6. 函数的定义域是(A) (B) (C)(D)参考答案：C7. 已知向量（其中为坐标原点），则向量与夹角的取值范围为（ ）A.B.C.D.参考答案： D8. 将函数的图象按向量a ＝平移后,可得的图象,则的表达式为( )A .B .C .D .参考答案：B9. 如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则.( )(A) 34 (B) 35 (C) 36 (D) 37参考答案：B 略10. “a＞b＞0”是“a 2＞b 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据充分必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“a＞b ＞0”能推出“a 2＞b 2”，是充分条件，由“a 2＞b 2”推不出“a＞b ＞0”，不是必要条件， 故选：A ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 渐近线为且过点的双曲线的标准方程是_______ ____参考答案：12. 如图所示，已知双曲线﹣=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A ，B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为 ．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出直线l的方程为y=（x﹣c），与y=±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±x，∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，∴k l=，∴直线l的方程为y=（x﹣c），与y=±x联立，可得y=﹣或y=，∵，∴=2?，∴a=b，∴c=2b，∴e==．故答案为．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．13. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为.参考答案：1614. 右图是正方体平面展开图，在这个正方体中①BM与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN与BM成60o角；④EM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是_____________.参考答案：③④略15. 已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中，常数项等于______.（用数字作答）参考答案：135【分析】令，可以求出的展开式中，各项系数的和，二项式系数之和为，由题意可以得到等式，这样可以求出，利用二项式展开式的通项公式，可以求出常数项.【详解】令，所以的展开式中，各项系数的和为，而二项式系数之和为，由题意可知：，所以展开式的通项公式为：，令，所以展开式中常数项为：.16. 设，，全集，则右图中阴影表示的集合中的元素为。
河南省鹤壁市高级中学2020-2021学年高一上学期9.13周测数学试题 含答案
D. A = B
9.已知非空集合 P 满足：(1) P {1, 2,3, 4,5} ；(2)若 a P ,则 6 a P ,符合上述要求 的集合 P 的个数是( )
A.4
B.5
C.7
D.31
10.已知集合 A x | x2 3x 2 0, x R , B x | 0 x 5, x N ,则满足条件 A C B
2012 2011
__________.
鹤壁市高中 2023 届数学试卷 参考答案
-6-
1.答案：C 解析：由集合 A {3, 1}, B {m2 2m, 1}, Q A B , m2 2m 3 ,即 m2 2m 3 0 ,解得 m 3 或 m 1 . 故选：C. 2.答案：D
A. a b 3
B. a b 3
C. a b 3
D. a b 3
-3-
20.
若函数
f
x 满足
f
a b f (a) f (b)
1 f (a) f (b)
,且
f
(2)
1, 2
f
(3)
1 ,则 3
f
(7)
()
A. 1
B. 8 3
C. 4 3
D. 3
21.集合 M { x, y | xy 0, x R, y R}的意义是( )
A．（0，4]
B． 뉀 똀 뉀
C．
D．
24.设函数
f
x
x, x
x2
,
x
0 0
，若
f
a
4 ，则实数
a
(
)
A.-4 或-2 B.-4 或 2 C.-2 或 4 D.-2 或 2
25.若函数 y f 3 2x 的定义域为1, 2,则函数 y f x 的定义域是( )
2020-2021学年河南省鹤壁市高级中学高三(上)第一次模拟化学试卷
2020-2021学年河南省鹤壁市高级中学高三（上）第一次模拟化学试卷一、选择题（本题包括24小题，每小题2分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 生活离不开化学。
某种金属制成的器皿，放置于空气中，其表面会逐渐交黑，如将表面变黑的上述器皿放入盛有食盐水的铝制容器中浸泡，一段时间后，黑色完全褪去。
下列成语与该金属有关的是（）A.衣紫腰银B.点石成金C.铜驼荆棘D.铁杵成针2. 下列化学用语对事实的表述正确的是（）A.碳酸比苯酚酸性强：2C6H5ONa+CO2+H2O=2C6H5OH+Na2CO3B.实验室用氯化铝溶液和氨水制备氢氧化铝：Al3++30H−=Al(OH)3↓C.向硫化钠溶液中通入过量SO2:2S2−+5SO2+2H2O=3S↓+4HSO3−D.向NaOH溶液中通入过量的二氧化硫：SO2+2NaOH=Na2SO3+H2O3. 向新制氯水中加入少量下列物质，能增强溶液漂白能力的是（）A.碳酸钙粉末B.稀硫酸C.氯化钙溶液D.二氧化硫水溶液4. 下列有关物质的性质与用途具有对应关系的是（）A.铁粉具有还原性，可用作抗氧化剂B.Si硬度大，可用作半导体材料C.浓硫酸具有脱水性，可用作干燥剂D.NaHCO3易溶于水，可治疗胃酸过多5. 将下列气体通入溶有足量SO2的BaCl2溶液中，没有沉淀产生的是（）A.HClB.NH3C.Cl2D.NO26. N A是阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是（）A.若1mol FeCl3跟水完全反应转化为氢氧化铁胶体后，其中胶体粒子的数目为N AB.将一定量的Cl2通人FeBr2溶液中，当有1mol Br−转化为Br2时，转移的电子数为N AC.44.0 g环氧乙烷中含有6.0 N A个极性键D.1mol CaO2晶体中含离子总数为3N A7. 下列反应中，反应后固体物质增重的是（）A.氢气通过灼热的CuO粉末B.二氧化碳通过Na2O2粉末C.铝与Fe2O3发生铝热反应D.将锌粒投入Cu(NO3)2溶液8. 下列说法不正确的是（）A.二氧化硫可以使石蕊试液褪色B.雷雨天气有助于空气中的N2转化为可供植物吸收的NO3−C.氧化镁熔点高，是一种优良的耐火材料D.配制Hg(NO3)2溶液时，将Hg(NO3)2溶于较浓硝酸中，然后加水稀释9. 元素铬(Cr)的几种化合物存在下列转化关系：已知：2CrO42−+2H+⇌Cr2O72−+H2O．下列判断不正确的是（）A.反应①表明Cr2O3有酸性氧化物的性质B.反应②利用了H2O2的氧化性C.反应③中溶液颜色变化是由化学平衡移动引起的D.反应①②③中铬元素的化合价均发生了变化10. 排水法收集气体实验中，用饱和食盐水代替水收集氯气，可降低氯气的溶解损失。
2020-2021鹤壁市高中高三数学上期末第一次模拟试题(附答案)
2020-2021鹤壁市高中高三数学上期末第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足（ ） A ．()1nn T n =-⨯ B ．n T n = C ．n T n =-D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数2．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年4．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，则正实数a 的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4017．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．858．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，………则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．29．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A ．33- B ．33- C ．338+ D ．33+ 10．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且223tan 2S B =+，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 11．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．5C ．10D ．10-12．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知实数，且，则的最小值为____14．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.15．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++L ________16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，且2cos 3C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________．17．若正数,a b 满足3ab a b =++，则+a b 的取值范围_______________。
2021届河南省鹤壁市高级中学高三上学期第一次模拟测试(8月段考)数学(文)试题(解析版)
2021届河南省鹤壁市高级中学高三上学期第一次模拟测试（8月段考）数学（文）试题一、单选题1．设集合122A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}21B x x =≤，则A B =（ ）A ．{}12x x -≤< B ．112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}2x x < D ．{}12x x ≤<【答案】A【解析】先解不等式，化简集合B ，再由并集的概念，即可得出结果. 【详解】因为{}{}2111B x x x x =≤=-≤≤，122A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭， 所以{}12A B x x ⋃=-≤<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求集合的并集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型. 2．“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ．1m【答案】A【解析】根据“不等式x 2﹣x +m ＞0在R 上恒成立”，令f （x ）＝x 2﹣x +m ，开口向上，根据判别式△＜0，求出m 的范围，根据充要条件的定义，进行求解； 【详解】∵“不等式x 2﹣x +m ＞0在R 上恒成立”， ∴△＝（﹣1）2﹣4m ＜0，解得m 14＞， 又∵m 14＞⇒△＝1﹣4m ＜0， 所以m 14＞是“不等式x 2﹣x +m ＞0在R 上恒成立”的充要条件，故选A ． 【点睛】本题考查充要条件的判断，涉及一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是条件转化的等价性，属于基础题．3．函数()()13,2log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨--≥⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为（ ）A ．1,2B ．4(,)3-∞C ．4(1,)3D ．[)2,+∞【答案】A【解析】根据()1f x >，利用指数、对数函数在定义域内的单调性，列不等式组求解集，即可 【详解】 由()1f x >，知121x x e -<⎧⎨>⎩或()32log 11x x ≥⎧⎨-->⎩∴210x x <⎧⎨->⎩或21013x x ≥⎧⎪⎨<-<⎪⎩，解得12x <<或x ∈∅ ∴12x << 故选:A 【点睛】本题考查了指数、对数函数的性质，由不等式条件，结合指数、对数函数在对应区间内的单调性求解集 4．函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4π B ．2π C ．πD ．2π【答案】C 【解析】【详解】 分析:将函数()2f 1tanxtan xx =+进行化简即可详解：由已知得()221f sin2,1221()sinxtanx cosx sinxcosx x x k k Z sinx tan x c x osxππ⎛⎫====≠+∈ ⎪+⎝⎭+()f x 的最小正周期2T π2π== 故选C.点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 5．函数()sin(2)13f x x π=-+，下列结论正确的是（ ）A ．向右平移6π个单位，可得到函数sin 2y x =的图像 B ．()y f x =的图像关于(0,1)中心对称 C ．()y f x =的图像关于直线512x π=对称 D ．()y f x =在2(,)63ππ上为增函数【答案】C【解析】利用三角函数的图像与性质逐一判断即可. 【详解】 将()sin(2)13f x x π=-+向右平移6π个单位得到的函数为2sin 21sin 21633y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==--+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 错误；因为(0)sin()113f π=-+=，所以()y f x =的图像不关于(0,1)中心对称，故B 错误； 因为55()sin(2)1212123f πππ=⨯-+=，所以()y f x =的图像关于直线512x π=对称，故C 正确；当2(,)63x ππ∈时，2(0,)3x ππ-∈，故D 错误故选：C 【点睛】本题考查的是三角函数的图像和性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单. 6．在ABC 中，,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()28cos 2cos 2702AB C -+-=，2a =，则ABC 面积的最大值为（ ）A B 1C D【答案】D【解析】根据()28cos2cos 2702AB C -+-=，结合二倍角的余弦公式化简得到()22cos 10A -=，解得1cos 2A =，从而得到sin A =，再根据2a =，利用余弦定理结合基本不等式得到bc 的范围即可. 【详解】 因为()28cos2cos 2702AB C -+-=， 所以()()41cos 2cos270π+---=A A ， 所以24cos 4cos 10A A -+=， 即()22cos 10A -=， 解得1cos 2A =所以sin A =又因为2a =，由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥， 所以4bc ≤，当且仅当b c =时，取等号，则ABC 面积11sin 422ABC S bc A =≤⨯=△，所以ABC 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用以及基本不等式的应用和二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．如果函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点（43π，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A【解析】先根据函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，令x 43π=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值. 【详解】∵函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称. ∴4232k ππϕπ⋅+=+∴13()6πϕπ=-∈k k Z 当2k =时，有min ||6πϕ=.故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的简单性质，考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力，属基础题. 8．已知0x 是函数1()21xf x x=+-的一个零点，若()()10201,,x x x x ∈∈+∞，则（ ） A ．1()0f x <，()20f x < B ．1()0f x <，()20f x > C ．()10f x >，()20f x < D ．()10f x >，()20f x >【答案】B【解析】转化0x 是函数1()21xf x x=+-的一个零点为0x 是函数2xy =与11y x =-的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可 【详解】因为0x 是函数1()21xf x x=+-的一个零点，则0x 是函数2xy =与11y x =-的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，则当()101,x x ∈时，2xy =在11y x =-下方，即()10<f x ；当()20,x x ∈+∞时，2x y =在11y x =-上方，即()20f x >， 故选：B 【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想9．若1x =-为函数()xf x e 的一个极值点，则下列图象一定不可能为函数()f x 的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据极值的定义逐项判断可得正确的选项. 【详解】由于()()()()()x x f x e f x f x e ''=+，()()()g x f x f x '=+，则1x =-为函数()xf x e 的一个极值点等价条件为：()10g -=，且()g x 在1x =-的左右两侧取值异号.对于选项A ，()10f '-=，()10f -=，()10g -=，且()g x 在1x =-的左右两侧取值可能异号，图象可能为函数()f x 的图象.对于选项B ，()10f '-=，()10f -=，()10g -=，且()g x 在1x =-的左右两侧取值可能异号，图象可能为函数()f x 的图象.对于选项C ，()10f '->，()10f -<，()10g -=，在1x =-的左右两侧可取异号，故可能符合条件.对于选项D ，()10f '->，()10f ->，因此()10g -≠，不满足条件. 故选：D . 【点睛】本题考查函数的极值，一般地，若()f x 在0x x =及其附近可导，且在0x x =取得极值，那么()00f x '=且在0x x =的两侧附近导数异号.10．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++)A ．1.24B ．1.25C ．1.26D ．1.27【答案】C【解析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果. 【详解】 根据题意可得：()211 1.25 2.5lgE lgE -=-可得12110E lgE =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26. 故选：C. 【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.11．设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )A ．1-B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】【详解】试题分析：设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知（,y x --）在函数2x ay +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即2()log ()f x x a =--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C ． 【考点】函数求解析式及求值12．已知函数()12,1ln 2,1x a e x f x x x x a x -⎧-≤=⎨-+>⎩，若函数()y f x =与()()y f f x =相同的值域，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．1a ≤C ．2a e ≤D ．3a e ≤【答案】C【解析】利用导数研究函数()f x 的单调性，得出函数()f x 的值域，结合()f x 的图象可得()()ff x 的值域，从而得出结论．【详解】 解：12x y a e-=-在(,1]-∞上是减函数，1x >时，()ln 2f x x x x a =-+，()ln 1f x x '=-，(1,]x e ∈时，()0f x '≤，(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，可知()f x 在[1,]e 递减，[),e +∞递增，又函数()f x 是连续的． ∴()f x 在(,]e -∞递减，[),e +∞递增，所以()f x 值域为[),a e -+∞，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的值域，即需满足a e e -≤即可，则2a e ≤， 故选：C.【点睛】本题考查用导数求函数的值域，解题关键是确定函数的单调性，才能通过()()y f f x =的值域得出不等关系．二、填空题13．命题“∀x ＞0，x 2+x ＞1”的否定是_____． 【答案】20000,1∃>+x x x【解析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可； 【详解】解：命题“20,1x x x ∀>+>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“20000,1∃>+x x x ”故答案为：20000,1∃>+x x x【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题. 14．已知函数()()2ln 11f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________.【答案】2-【解析】令()()1g x f x =-，判定其奇偶性，再由题中条件，即可得出结果. 【详解】 ∵()()2ln11f x x x =++，令()())21ln1g x f x x x =-=+，则()())22ln 11ln10g x g x x xx x ⎡⎤+-=++==⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因此()()()()20g a g a f a f a +-=+--=， 又()4f a =， ∴()2f a -=-. 故答案为：2-. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，属于基础题型.15．在ABC 中，6AB =，4AC =，BC 边上的中线19AD =，则ABC 的面积为_________． 【答案】63【解析】利用cos cos ADB ADC ∠=-∠，直接根据余弦定理以及面积公式计算即可. 【详解】设BD CD x ==，利用cos cos ADB ADC ∠=-∠，可得2222219219x x=-⨯⨯，解得7x =或7x =-（舍）所以27BC =，cos 2197ADC ∠=⨯⨯，123sin 2197ADC ∠=⨯⨯．所以11231973322197ADC S =⨯⨯⨯=⨯⨯△． 所以263ABC ADC S S ==△△． 故答案为：63 【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式以及同角三角函数关系，着重考查计算，属基础题. 16．集合{}(,),0A x y x y a a =+=>，{}(,)1B x y xy x y =+=+，若A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________①a 的值可以为2；②a 的值可以为2； ③a 的值可以为22+； 【答案】②③【解析】根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算AC ：()21y x =-，得到()1,21A -，()21,1C+，得到答案.【详解】如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，集合B ：1xy x y +=+，故()()110x y --=，即1x =或1y =， 集合A ：x y a +=，AB 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，故AC 所在的直线的倾斜角为22.5︒，tan 22.521AC k =︒=-，故AC ：()21y x =-，解得()1,21A -，此时2a =，()21,1C+，此时22a =+.故答案为：②③.【点睛】本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.三、解答题17．设{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x ∈R ，如果A B B =，求实数a 的取值范围.【答案】1a =或1a ≤- 【解析】由AB B =得B A ⊆，讨论方程222(1)10x a x a +++-=的判别式，根据集合间的包含关系，得出实数a 的取值范围. 【详解】 由AB B =得B A ⊆，{}4,0A =-，224(1)4(1)88a a a ∆=+--=+当880a ∆=+<，即1a <-时，B =∅，符合B A ⊆； 当880a ∆=+=，即1a =-时，{}0B =，符合B A ⊆；当880a ∆=+>，即1a >-时，B 中有两个元素，而B A ⊆{}4,0=-； ∴{}4,0B =-则402(1)a -+=-+，解得1a = ∴1a =或1a ≤- 【点睛】本题主要考查了根据交集的结果求参数的范围，属于中档题.18．设a R ∈，命题p ：∃[]1,2x ∈，满足()11>0a x --，命题q ：∀x R ∈，2++1>0ax x . （1）若命题p q ∧是真命题，求a 的范围；（2）()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真，求a 的取值范围.【答案】（1）322a <<；（2）3(,2],22⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由命题p q ∧是真命题，则需命题p 为真命题且q 为真命题，建立关于a 的不等式组，可得答案；（2）由()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真p ⇒、q 同时为假或同时为真，分p 假q 假和p 真q 真，建立关于a 的不等式组，可得a 的取值范围； 【详解】（1）命题p 真时，则()1>0211>0a a -⎧⎨--⎩或()10111>0a a -<⎧⎨⨯--⎩， 得3>2a ；q 真，则240a -<，得22a -<<，所以p q ∧真，322a <<； （2）由()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真p ⇒、q 同时为假或同时为真，若p 假q 假，则3222a a a ⎧≤-⎪⎨⎪≤-≥⎩或，得2a ≤-， 若p 真q 真，则3>222a a ⎧⎪⎨⎪-<<⎩，所以，322a <<， 综上2a ≤-或322a <<. 故a 的取值范围是3(,2],22⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数的范围的问题，属于基础题.19．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【答案】（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665. 【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果.【详解】详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-， 所以()4sin πsin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-， 由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=. 点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 20．已知()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =()0x π<<的单调递增区间；（2）设ABC 的内角A 满足()0f A =，若3AB AC ⋅=，求BC 边上的高AD 长的最大值.【答案】（1）单调递增区间为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）2. 【解析】（1）方法一：利用两角差的正弦公式、二倍角公式化简可得()2sin 226f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；方法二：积化和差公式可得()2sin 226f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；再利用三角函数的单调性即可得到结果；（2）由()0f A =，可解得3A π= ；由于3AB AC ⋅=，可得6bc =．利用余弦定理和基本不等式可得a ≥=11sin 22ABCSbc A a AD ==⋅，即可求出BC 边上的高AD 长的最大值． 【详解】（1）方法一：三角变换+三角函数图象及性质 由题意，得()14cos sin 14cos cos 12cos 2262f x x x x x x x x π⎫⎛⎫=--=--=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 226x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.由222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈.所以在0πx <<时，函数()y f x =的单调递增区间为0,3π⎛⎤⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 方法二：积化和差公式 由题意，得()4cos sin 12sin sin 12sin 226666f x x x x x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=+---+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈.所以在0πx <<时，函数()y f x =的单调递增区间为0,3π⎛⎤⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭； （2）由()0f A =，即2sin 2206A π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得3A π=. 由3AB AC ⋅=，即cos33bc π=，得6bc =.由余弦定理，得a =≥.由面积公式，知11sin 22ABCSbc A a AD ==⋅，即116222a AD ⋅⋅=⋅.所以AD ≤=所以BC 边上的高AD 长的最大值为2. 【点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数的单调性、余弦定理、基本不等式的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知点1(,2)2D -，过点D 作抛物线21:C x y =的两切线，切点为,A B . （1）求两切点,A B 所在的直线方程；（2）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>（1）中直线AB 与椭圆交于点P ，Q ，直线,,PQ OP OQ 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k k +=，求椭圆的方程.【答案】（1）2y x =+；（2）2214812x y +=.【解析】（1）设出切点，利用切点处的导数是斜率，表示出切线方程，1(,2)2D -在切线上，求出两解，分别对应切点,A B 坐标，则方程可求.（2）离心率为32确定a b 、的一个关系；联立直线和椭圆方程，用上韦达定理，结合123k k k +=，再建立a b 、的一个关系，则椭圆方程可求.【详解】 解：（1）设切点11(,)A x y 22(,)B x y ，则221122,x y x y ==切线的斜率为2y x '=，所以抛物线上过11(,)A x y 点的切线的斜率为12x ，切线方程为()2111112,2y y x x x y x x x -=-=-，1(,2)2D -在切线上，所以21120x x --=，12x =或11x =-， 当12x =时，2114y x ==；当11x =-，2111y x ==，不妨设()(2,4),1,1A B -，1AB k =， 所以两切点,A B 所在的直线方程2y x =+.（2）由3e =2234c a =，又222c a b =-，所以224a b =.222244y x x y b=+⎧⎨+=⎩，得225161640x x b ++-=，21651645P Q P Q x x b x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 21,Q PP Qk k y y x x ==， 1k =，又因为123k k k +=，()()3,3,223P Q P Q Q P Q Q P P P Q P Q P Qx x x x y y x y x y x x x x x x ++++===+， ()2P Q P Q x x x x +=，22161642,1255b b --⨯==，248a =，所以椭圆的方程2214812x y +=.【点睛】以直线和抛物线、椭圆的位置关系为载体，考查求直线方程、椭圆方程的方法；中档题. 22．已知函数()1xf x ae x =-+.（1）若()f x 在()0,3上只有一个零点，求a 的取值范围； （2）设0x 为()f x 的极小值点，证明：()021234f x a a >-++. 【答案】（1）32211,e e ⎛⎫⎧⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；（2）证明见解析. 【解析】（1）()f x 在()0,3上只有一个零点，方程1x x a e-=在()0,3上只有一个解，设()1x x h x e -=，则()2xxh x e -'=，求解函数的最值，推出结果即可. （2）()1xf x ae '=-，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，()f x 无极值，故0a >，令()10x f x ae '=-=，得ln x a =-，()f x 的极小值为()ln 2ln f a a -=+，只需证2125ln 04a a a +-+>，设函数()1ln 1x g x x =+-，()21x g x x -'=（0x >），判断函数的单调性，求解函数的最大值，然后转化证明即可. 【详解】（1）解：因为()f x 在()0,3上只有一个零点.所以方程1x x a e-=在()0,3上只有一个解. 设()1x x h x e -=，则()2xxh x e-'=， 当()0,2x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当()2,3x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减； 所以()()2max 12h x h e ==，()01h =-，()323h e=， 作出()h x 的大致图像，如图：故a 的取值范围为32211,e e ⎛⎫⎧⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭. （2）()1xf x ae '=-则()0010xf x ae '=-=，得0ln x a =-.故()f x 的极小值为()()ln 0ln ln 12ln af x f a ae a a -=-=++=+.证明()021234f x a a >-++， 只需证2125ln 04a a a +-+>， 设函数()1ln 1x g x x =+-，()21x g x x-'=（0x >）， 令()0g x '>，解得1x >；()0g x '<，解得01x <<， 所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 故()()min 10g x g ==.于是2221251139113ln ln 1ln 10442a a a a a a a a a a ⎛⎫+-+=+-+-+=+-+-≥ ⎪⎝⎭，则2125ln 04a a a +-+≥， 从而()021234f x a a >-++，即证. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式，考查了转化与划归的思想，属于难题.。
2020-2021学年河南省鹤壁高级中学高三(下)模拟数学试卷(文科)(九)(附答案详解)
2020-2021学年河南省鹤壁高级中学高三（下）模拟数学试卷（文科）（九）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1<x<5}，B={x|x≥0}，则A∩B=()A. {x|−1<x<5}B. {x|0<x<5}C. {x|0≤x<5}D. {x|x>−1}2.已知复数z=13+4i，则下列说法正确的是()A. 复数z的实部为3B. 复数z的虚部为425iC. 复数z的共轭复数为325+425i D. 复数的模为13.已知命题p：∃x≥0，2x=5，则()A. ￢p：∀x<0，2x≠5B. ￢p：∀x≥0，2x≠5C. ￢p：∃x≥0，2x≠5D. ￢p：∃x<0，2x≠54.将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+π6)的图象，则函数f(x)的一个单调减区间为()A. [−π12,5π12] B. [−π6,5π6] C. [−π3,5π6] D. [π6,2π3]5.如图，是3世纪汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图，它也被2002年在北京召开的国际数学家大会选定为会徽，正方形ABCD内有四个全等的直角三角形，在正方形内随机取一点，则此点取自中间小正方形部分的概率是()A. 14B. 125C. 34D. 24256.已知双曲x2a2−y2b2=1(a>b>0)的渐近线与圆x2−2x+y2+34=0相切，则此双曲线的离心率等于()A. √2B. √3C. 2√33D. 27.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 8π−163B. 4π−163C. 8π−4D. 4π+838.函数f(x)=lnx2x的大致图象是()A. B.C. D.9.已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和S n，a1+a5=10，a4是a1和a5的等比中项，则S na n()A. 有最大值9B. 有最大值25C. 没有最小值D. 有最小值−2410.执行如图所示程序框图后，若输入的a值为log25，b值为log520，则输出的a值为()A. 10B. 2+log 25C. −15D. 211. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是底面ABCD 上的动点，则(CE⃗⃗⃗⃗⃗ −CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ( )A. √22B. 1C. √2D. √612. 若曲线y =14sin2x +√32cos 2x 在A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1−x 2|的最小值为( )A. π3B. π2C. 2π3D. π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 设a =2−0.6，b =0.53.1，c =sin5π6，则a ，b ，c 的大小关系是______(用“<”连接)14. 设不等式组{1≤x ≤3x −y ≥02x +y +a ≥0表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是______．15. 数列{a n }的前项和记为S n ，若a 1=12，2a n+1+S n =0，n =1，2，3，…，若S n ≤k 恒成立，则k 的最小值是______．16. 已知点PQ 是抛物线x 2=1a y(a >0)上的两点，过PQ 的切线交于点M ，若△MPQ 是等边三角形，则△MPQ 的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知△ABC 中acosB +bcosA =2csinC ．(1)求∠C 的大小；(2)若b=2√3，c=√19，求△ABC的面积S．18.已知等腰梯形ADCE中，AD//EC，EC=2AD=2AE=4，∠E=π，B为EC的中3点，如图1，将三角形ABE沿AB折起到ABE(E⊄平面而ABCD)，如图2(1)点F为线段AE的中点，判断直线DF与平面面BCE′的位置关系，并说明理由(2)当△BCE的面积最大时，求DE的长．19.日前，《北京传媒蓝皮书：北京新闻出版广电发展报告(2016～2017)》公布，其中提到，2015年9月至2016年9月，北京市年度综合阅读率较上，年增长1%且数学媒体阅读率首次超过了纸质图书阅读率．为了调查某校450名高一学生(其中女生210名)对这两种阅读方式的时间分配情况，该校阅读研究小组通过按性别分层抽样的方式随机抽取了15名学生进行调查，得到这15名学生分别采用这两种阅读方式的平均每周阅读时间，数据如下(单位：小时)：(1)求被调查的15名学生中男生的人数；(2)请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对这两种阅读方式进行比较，写出两个统计结论；(3)平均每周纸质阅读时长超过数字阅读时长的学生中，随机抽取两名学生，求这两名学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40小时的概率．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=32，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−34，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α+β=π2；证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．21. 已知函数f(x)=acosx x+b(a,b ∈R)．(Ⅰ)当a =1，b =0时，判断函数f(x)在区间(0,π2)内的单调性； (Ⅱ)已知曲线f(x)=acosx x+b 在点(π2,f(π2))处的切线方程为y =−6πx +2．(ⅰ)求f(x)的解析式；(ⅰ)判断方程f(x)=32π−1在区间(0,2π]上解的个数，并说明理由．22. 已知圆C 的参数方程为{x =1+3cosθy =3sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)． (1)写出点C 的极坐标及圆C 的极坐标方程；(2)点A 、B 分别是圆C 和直线l 上的点，且∠ACB =π3.求线段段AB 长的最小值23. 已知a >0，b >0，λa+b ≤1a +2b (∗)，λ为常数．(1)当λ=6时，是否存在a ，b ，使得不等式(∗)不成立？并说明理由； (2)若不等式(∗)对任意的正实数a ，b 恒成立．求λ的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={x|−1<x <5}，B ={x|x ≥0}； ∴A ∩B ={x|0≤x <5}． 故选：C ．进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】 【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案． 【解答】 解：∵z =13+4i =3−4i 25=325−425i ，∴z 的实部为325，虚部为−425， z 的共轭复数为325+425i ，模为√(325)2+(425)2=15，故选：C ．3.【答案】B【解析】【解析】本题考查命题的否定，存在量词命题与全称量词命题的否定关系，是基本知识的考查． 利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可． 【解答】解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题p ：∃x ≥0，2x =5，则￢p ：∀x ≥0，2x ≠5． 故选：B ．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．利用三角函数的平移变换的应用和正弦型函数的整体思想的应用求出结果．【解答】解：函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+π6)的图象，即：把函数g(x)=sin(2x+π6)的图象，向左平移π4个单位，即得到f(x)的图象，故：g(x)=sin(2x+π2+π6)=sin(2x+2π3)，令：π2+2kπ≤2x+2π3≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得：−π12+kπ≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，当k=0时，−π12≤x≤5π12，故选A．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了几何概型问题，考查数形结合思想，是一道基础题．求出大正方形的面积，从而求出满足条件的概率即可．【解答】解：假设小正方形边长为1，则其面积为1，而正方形ABCD边长为√32+42=5，所以大正方形面积为25，故选：B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于简单题．求出圆的圆心坐标，半径，渐近线方程，然后求解离心率即可． 【解答】解：圆x 2−2x +y 2+34=0化简为：(x −1)2+y 2=14， 圆心(1,0)，半径为：12，双曲线的渐近线方程为：y =±ba x ， 由圆与双曲线的渐近线相切，可得：12=|±b a|√1+(±a )2，又a >b >0， 解得ba=√33，即b 2a 2=13，c 2−a 2a 2=13，可得e =c a=2√33． 故选：C ．7.【答案】A【解析】解：该几何体为一个半圆柱中间挖去一个四面体，∴体积V =12π×22×4−13×12×2×4×4=8π−163．故选：A ．判断几何体的形状，画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积． 本题考查三视图求解几何体的体积，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：函数是奇函数，排除选项A ，C ； 当x →+∞时，f(x)→0，排除选项D ， 故选：B ．利用函数的奇偶性，排除选项，利用特殊点的位置求解即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的图象的变化趋势是判断函数的图象的常用方法．9.【答案】D【解析】解：公差d 不为0的等差数列{a n }的前n 项和S n ，a 1+a 5=10， 可得2a 1+4d =10， a 4是a 1和a 5的等比中项，可得a 42=a 1a 5，即(a 1+3d)2=a 1(a 1+4d)， 化为2a 1d +9d 2=0 即2a 1+9d =0， 又2a 1+4d =10， 解得a 1=9，d =−2，∴a n =a 1+d (n −1)=9−2(n −1)=11−2nS n =na 1+12n (n −1)d =9n −12n (n −1)·2=10n −n 2，则Sn a n=10n−n 211−2n，可令t =11−2n ，可得2n =11−t ，t ≤9且t 为不等于0的整数． 则f(t)=5(11−2t)−(11−t 2)2t=−14(t −99t−2)，当n =1，t =9，f(t)=1；当n =5，t =1，f(t)=25， 可得f(t)在n =1到n =5递增； 当n =6，t =−1，f(t)=−24， n =7，t =−3，f(t)=−7， 可得f(t)在n ≥6递增，则S na n有最小值−24，而无最大值，故选：D ．设公差d ，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式、求和公式，再由数列的单调性，即可得到所求最值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的单调性和最值，以及方程思想和运算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由a =log 25，b =log 520， 由于a >2>b ，则可得：2 log 25−5 log 520=5−20=−15． 故选：C ．由循环结构的特点，先判断，再执行，计算出a 的值，即可得到结论．本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：如图，由图可知，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 则(CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 在D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影最长为1， ∴(CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 1． 故选：B ．由题意画出图形，可知CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则(CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 在D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影最长为1得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上投影的概念，是中档题．12.【答案】B【解析】 【分析】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线斜率，考查三角函数的恒等变换、两直线垂直的条件，考查了数学转化思想方法，属于中档题．运用二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简函数y ，求得导数，可得切线的斜率范围，进而得到所求切线的斜率，由余弦函数的值域，即可得到所求切点的横坐标，进而得到所求最小值． 【解答】解：y=14sin2x+√32cos2x=14sin2x+√32⋅1+cos2x2=√34+12sin(2x+π3)，可得导数为y′=12⋅2cos(2x+π3)=cos(2x+π3)，即切线的斜率在[−1,1]内，可得在A(x1,y1)，B(x2,y2)两点处的切线斜率一个为−1，一个为1，不妨设A处的切线的斜率为1，可得：2x1+π3=2k1π，k1∈Z，2x2+π3=2k2π+π，k2∈Z，即有|x1−x2|=|k1π−k2π−12π|，可得|x1−x2|的最小值为π2，故选：B．13.【答案】b<c<a【解析】解：b=0.53.1<12=sin5π6=c<120.6=a，∴b<c<a，故答案为：b<c<a，利用指数函数的单调性、三角函数求值即可得出．本题考查了指数函数的单调性、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】[−9,−3)【解析】解：不等式组{1≤x ≤3x −y ≥02x +y +a ≥0表示的平面区域是一个三角形如图：如图，a <−9时形成四边形，a >=3时并没有满足条件的区域， 故a ∈[−9,−3)． 故答案为：[−9,−3)，画出约束条件的可行域，利用可行域是三角形，转化求解a 的范围即可． 本题考查线性规划的简单应用，画出约束条件的可行域是解题的关键．15.【答案】12【解析】解：a 1=12，2a n+1+S n =0，n =1，2，3，…， ∴n ≥2时，2a n +S n−1=0， 可得：2a n+1−2a n +a n =0， 可得：a n+1=12a n ，又2a 2+12=0，解得a 2=−14，可得a 2=−12×12=−12a 1，不满足上式． ∴数列{a n }从第二项起为等比数列，公比为12，a 2=−14． ∴a n =−14×(12)n−2=−12n．∴n =1时，S n 取得最大值12．∴若S n ≤k 恒成立，则k 的最小值为12． 故答案为：12．a 1=12，2a n+1+S n =0，n =1，2，3，…，n ≥2时，2a n +S n−1=0，相减可得：a n+1=12a n ，再利用等比数列的通项公式与数列的单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】3√34a2【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，直线与抛物线的位置关系，直线的倾斜角与斜率，三角形面积公式，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．判断P、Q两点的位置关系，判断M的位置，利用导数求出切线的斜率，推出切点的横坐标，然后求解正三角形的面积即可．【解答】解：由抛物线的对称性可知：点P、Q是抛物线x2=1ay(a>0)上关于y轴对称的两点，过P、Q的切线交于点M，若△MPQ是等边三角形，则M必须在y轴上，则此时PM与QM的斜率分别为：±√3，设P(m,n)，抛物线x2=1ay，可得抛物线y=ax2，y′=2ax，可得2am=±√3，m=±√32a，故PQ=√3a，则△MPQ的面积：√34×(√3a)2=3√34a2．故答案为：3√34a2．17.【答案】解：(1)根据题意，△ABC中，有acosB+bcosA=2csinC，则有acosB+bcosA=a×a2+c2−b22ac +b×b2+c2−a22bc=2c22c=c，则有c=2csinC，变形可得：sinC=12，又由0<C<π，则C=π6或5π6；(2)根据题意，b=2√3，c=√19，分2种情况讨论：①当C=π6时，有19=a2+12−2a×2√3cosπ6，解可得a=7，此时S=12absinπ6=7√32；②当C=5π6时，有19=a2+12−2a×2√3cos5π6，解可得a=1，此时S=12absin5π6=√32．【解析】本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理与和余弦定理的应用，注意求出C的值有2种情况，属于中档题．(1)根据题意，由余弦定理分析可得acosB+bcosA=a×a2+c2−b22ac +b×b2+c2−a22bc=2c2 2c =c，进而可得c=2csinC，变形可得：sinC=12，由C的范围分析可得答案；(2)根据题意，有(1)的结论，分C=π6或5π6讨论，分别求出a的值，进而由三角形面积公式计算可得答案．18.【答案】解：(1)直线DF与平面BCE′相交．理由如下：∵E′⊄平面ABCD，∴D⊄平面BCE′．若DF//平面BCE′，设平面DCF∩BCE′=CM，则DF//CM，∴CM与CD不重合，∵AD//BC，∴平面ADE′//平面BCE′，矛盾，∴直线DF与平面BCE′相交．证明：(2)取AB的中点O，连结E′O，BD，由等腰梯形ADCE中，AD//EC，EC=2AD=2AE=4，∠E=π3，得E′O⊥AB，DO⊥AB，AB//DC，∴AO⊥平面E′OD，∴E′D⊥AO，∴E′D⊥DC，∵△BCE′的面积为12⋅BE′⋅BC⋅sin∠E′BC=2sin∠E′BC，∴当△BCE′的面积最大时，∠E′BC=90°，∴E′C=√E′B2+BC2=2√2，∴E′D=√E′C2−DC2=2．【解析】(1)若DF//平面BCE′，设平面DCF∩BCE′=CM，则DF//CM，CM与CD不重合，由此推导出直线DF与平面BCE′相交．(2)取AB的中点O，连结E′O，BD，则E′O⊥AB，DO⊥AB，AB//DC，AO⊥平面E′OD，E′D⊥AO，E′D⊥DC，由此能求出当△BCE的面积最大时，DE的长本题考查线面关系的判断，考查三角形面积最大时线段长求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.【答案】解：(1)根据题意，=8(名)；15×450−210450所以被调查的15名学生中共有8名男生；(2)被调查的15名学生分别采用两种阅读方式的平均每周阅读时间，用茎叶图表示如下；通过观察茎叶图可知，平均每周的数字阅读时间比纸质阅读时间长，且纸质阅读时间数据更集中些；(3)由表中数据可知，平均每周纸质阅读时长超过数字阅读时长的学生编号分别是1，2，3，5，6，其中数字阅读时间不超过40小时的学生编号是1，3；从这5名学生中随机抽取两名学生，所有可能的抽取结果为12，13，15，16，23，25，26，35，36，56共10个基本事件；设“从这5名学生中随机抽取两名学生，这两名学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40小时”为事件A，则A共有7个基本事件，分别为12，13，15，16，23，35，36；．故所求的概率为P(A)=710【解析】(1)根据题意求出被调查的15名学生中的男生人数；(2)利用茎叶图表示两种阅读方式的平均每周阅读时间，通过观察茎叶图得出统计结论；(3)由表中数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了茎叶图与列举法求古典概型的概率问题，是中档题．20.【答案】解：(1)设P(m,n)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，由|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=32，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−34可得m 2+n 2=94，(−c −m,−n)⋅(c −m,−n)=m 2−c 2+n 2=94−c 2=−34， 即有c 2=3，即c =√3，又e =ca =√32，可得a =2，b =√a 2−c 2=1，则椭圆的方程为x 24+y 2=1；(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由题意可得M(−2,0)，若直线AB 的斜率不存在，即x 1=x 2，y 1=−y 2，由题意可得直线MA ，MB 的斜率大于0，即y 1y 2>0，矛盾；因此直线BA 的斜率存在，设其方程为y =kx +m.联立椭圆方程x 2+4y 2=4，化为：(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0，∴△=64k 2m 2−16(1+4k 2)(m 2−1)>0，化为：1+4k 2>m 2． ∴x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k 2.由α+β=π2，可得tanα⋅tanβ=1，∴y 1x1+2⋅y 2x2+2=1，∴(kx 1+m)(kx 2+m)=(x 1+2)(x 2+2)，化为：(k 2−1)x 1x 2+(mk −2)(x 1+x 2)+m 2−4=0， ∴(k 2−1)⋅4(m 2−1)1+4k 2+(mk −2)(−8km1+4k 2)+m 2−4=0，化为3m 2−16km +20k 2=0，解得m =2k ，或m =103k.∴直线AB 的方程可以表示为y =kx +2k(舍去)，或y =kx +103k ，则直线AB 恒过定点(−103,0)．【解析】(1)设P(m,n)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，运用两点的距离公式和向量数量积的坐标表示，以及椭圆的离心率公式，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，判断直线AB 的斜率不存在不成立，设直线AB 的方程为y =kx +m ，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理，结合直线方程和恒过定点的求法，可得所求．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，主要考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(I)当a=1，b=0时，f(x)=cosxx ，f′(x)=−sinx−cosxx，x∈(0,π2)时，f′(x)<0，函数单调递减，(II)(i)f(x)=acosxx+b(a,b∈R)，∴f′(x)=−a(xsinx+cosx)x2，由曲线f(x)=acosxx +b在点(π2,f(π2))处的切线方程为y=−6πx+2的斜率−6π且过(π2,−1)，∴f(π2)=b=−1，f′(π2)=−2aπ=−6π，∴a=3，b=−1，f(x)=3cosxx−1，(ii)方程f(x)=32π−1在区间(0,2π]上解有3个，理由如下：设F(x)=f(x)+1−32π=3cosxx−32π，则F′(x)=−3(xsinx+cosx)x2，当x∈(0,π2]时，F′(x)<0，F(x)单调递减，又F(π3)=3π>0，F(π2)=−32π<0，∴F(x)在(0,π2]上有一个零点，当x∈(π2,3π2)时，cosx<0，F(x)<0，没有零点，当x∈[3π2,2π]时，令ℎ(x)=xsinx+cosx，ℎ′(x)=xcosx≥0，又ℎ(3π2)<0，ℎ(2π)>0，∴存在x0∈(3π2,2π)，使得ℎ(x0)=0，当x∈(3π2,x0)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，当x∈(x0,2π)时，F′(x)<0，F(x)单调递减，又F(2π)=0，∴F(x)在[3π2,2π]上有2个零点，综上F(x)在(0,2π]上有3个零点，f(x)=32π−1在区间(0,2π]上有3个零点．【解析】(I)把a=1，b=0代入，然后对函数求导，结合导数与单调性的关系可求；(II)(i)由已知结合导数的几何意义及已知切线方程可求；(ii)设F(x)=f(x)+1−32π=3cosx x−32π，对函数求导，然后结合函数的性质及导数进行求解即可．本题考查了利用导数与单调性关系及导数的几何意义的应用，还考查了利用导数及函数性质求解函数零点，属于中档试题．22.【答案】解：(1)由圆C 的参数方程为{x =1+3cosθy −3sinθ(θ为参数)，可得圆C 的普通方程为(x −1)2+y 2=9．∴点C 的极坐标为(1,0)，圆C 的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−8=0． (2)在△ABC 中，AB 2=9+BC 2−2×3×BC ×cos60°=(BC −32)2+274．∵C 到直线l 的距离为1×cos450=√2， ∴BC ≥√22，∴BC =32时，线段AB 长的最小值为3√32．【解析】(1)可得圆C 的普通方程为(x −1)2+y 2=9.点C 的极坐标为(1,0)，即可得圆C 的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−8=0．(2)在△ABC 中，AB 2=9+BC 2−2×3×BC ×cos60°=(BC −32)2+274.又C 到直线l的距离为1×cos450=2，可得BC ≥√22，∴BC =32时，线段AB 长的最小值为3√32．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，余弦定理，属于基础题23.【答案】解：(1)当λ=6时，令a =3，b =4， 则6a+b =63+4=67， 1a +2b =13+24=56， 因为67>56， 所以6a+b >1a +2b ，即不等式(∗)不成立．…………………………(5分) (2)不等式(∗)对任意的正实数a ，b 恒成立，即是对任意的正实数a ，b ，λ≤(1a +2b )(a +b)恒成立． 因为当a >0，b >0时，(1a +2b )(a +b)=3+ba +2a b≥3+2√2，其中，当b =√2a 时，等号成立，所以λ的最大值为3+2√2.…………………………(10分)【解析】(1)令a=3，b=4，代入检验即可；(2)问题转化为λ≤(1a +2b)(a+b)恒成立，根据基本不等式的性质求出λ的最大值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题．第21页，共21页。
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2020-2021学年河南省鹤壁高级中学高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x＜2}B．C．{x|x＜2}D．{x|1≤x＜2} 2．“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的充要条件是（）A．m＞B．m＜C．m＜1D．m＞13．函数，则不等式f（x）＞1的解集为（）A．（1，2）B．C．D．[2，+∞）4．函数f（x）＝的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π5．函数f（x）＝sin（2x﹣）+1，下列结论正确的是（）A．向右平移个单位，可得到函数y＝sin2x的图象B．y＝f（x）的图象关于（0，1）中心对称C．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称D．y＝f（x）在（，）为增函数6．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足8cos2﹣2cos2（B+C）﹣7＝0，a＝2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．7．如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．8．已知x0是函数f（x）＝2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0B．f（x1）＜0，f（x2）＞0C．f（x1）＞0，f（x2）＜0D．f（x1）＞0，f（x2）＞09．若x＝﹣1为函数f（x）e x的一个极值点，则下列图象一定不可能为函数f（x）的是（）A．B．C．D．10．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M．R．Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）（）A．1.24B．1.25C．1.26D．1.2711．设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a＝（）A．﹣1B．1C．2D．412．已知函数，若函数y＝f（x）与y＝f（f（x））相同的值域，则实数a的取值范围是（）A．a≤0B．a≤1C．a≤2e D．a≤3e二、填空题（每题5分）13．命题“∀x＞0，x2+x＞1”的否定是．14．已知函数f（x）＝，f（a）＝4，则f（﹣a）＝．15．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC边上的中线，则△ABC的面积为．16．集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+．三、解答题（17题10分，18-22每题12分）17．设集合A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}，若A∩B＝B，求a的值．18．设a∈R，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0．（1）若命题p∧q是真命题，求a的取值范围；（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．19．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）＝，求cosβ的值．20．已知f（x）＝4cos x sin﹣1．（1）求函数y＝f（x）（0＜x＜π）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A满足f（A）＝0，若，求BC边上的高AD长的最大值．21．已知点D（，﹣2），过点D作抛物线C1：x2＝y的两切线，切点为A，B．（Ⅰ）求两切点A，B所在的直线方程；（Ⅱ）椭圆，离心率为，（Ⅰ）中直线AB与椭圆交于点P，Q，直线PQ，OP，OQ的斜率分别为k，k1，k2，若k1+k2＝3k．求椭圆的方程．22．已知函数f（x）＝ae x﹣x+1．（1）若f（x）在（0，3）上只有一个零点，求a的取值范围；（2）设x0为f（x）的极小值点，证明：．参考答案一、单选题（每题5分）1．设集合，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x＜2}B．C．{x|x＜2}D．{x|1≤x＜2}【分析】根据题意，分析集合B，解x2≤1，可得集合B，再求AB的并集可得答案．解：∵，B＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}∴A∪B＝{x|﹣1≤x＜7}，故选：A．2．“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的充要条件是（）A．m＞B．m＜C．m＜1D．m＞1【分析】由不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立，结合二次函数的图象可得△＜0，可解得m的范围．解：由不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立，可得△＝（﹣1）2﹣4×7×m＜0，解得，m＞，故选：B．3．函数，则不等式f（x）＞1的解集为（）A．（1，2）B．C．D．[2，+∞）【分析】原不等式即①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．解：∵函数，不等式f（x）＞2，即①，或②，故原不等式的解集为（1，2），故选：A．4．函数f（x）＝的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．解：函数f（x）＝＝＝sin2x的最小正周期为＝π，故选：C．5．函数f（x）＝sin（2x﹣）+1，下列结论正确的是（）A．向右平移个单位，可得到函数y＝sin2x的图象B．y＝f（x）的图象关于（0，1）中心对称C．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称D．y＝f（x）在（，）为增函数【分析】根据正弦函数的性质进行判断．解：将f（x）的图象向右平移个单位，可得y＝f（x﹣）＝sin[2（x﹣）﹣]+1＝sin（5x﹣）+1，故A错误；故f（x）的图象不关于点（0，1）对称，故B错误；故f（x）的图象关于直线x＝对称，故C正确；故y＝f（x）在（，）上不单调，故D错误．故选：C．6．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足8cos2﹣2cos2（B+C）﹣7＝0，a＝2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式进行化简可求cos A，然后结合余弦定理及基本不等式可求bc的范围，代入三角形的面积公式可求．解：因为8cos2﹣﹣2cos2（B+C）﹣7＝0，所以8×﹣2cos2A﹣7＝0，所以4cos2A﹣4cos A+6＝0，由A为三角形的内角可得A＝，此时bc≤4故选：D．7．如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先根据函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x＝代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．解：∵函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．8．已知x0是函数f（x）＝2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0B．f（x1）＜0，f（x2）＞0C．f（x1）＞0，f（x2）＜0D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【分析】因为x0是函数f（x）＝2x+的一个零点可得到f（x0）＝0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．解：∵x0是函数f（x）＝2x+的一个零点∴f（x0）＝0∵f（x）＝6x+是单调递增函数，且x1∈（5，x0），x2∈（x0，+∞），故选：B．9．若x＝﹣1为函数f（x）e x的一个极值点，则下列图象一定不可能为函数f（x）的是（）A．B．C．D．【分析】设g（x）＝f'（x）+f（x），依题意，g（﹣1）＝0，且g（x）在x＝﹣1的左右两侧取值异号．然后分选项讨论判断即可．解：由于（f（x）e x）′＝（f'（x）+f（x））e x，g（x）＝f'（x）+f（x），则x＝﹣1为函数f（x）e x的一个极值点等价条件为：g（﹣1）＝0，且g（x）在x＝﹣1的左右两侧取值异号．对于选项A，f'（﹣2）＝0，f（﹣1）＝0，g（﹣1）＝0，且g（x）在x＝﹣2的左右两侧取值异号，符合条件．对于选项C，f'（﹣1）＞0，f（﹣1）＞0，g（﹣7）＝0，在x＝﹣1的左右两侧可取异号，故可能符合条件．综合上述，选D．故选：D．10．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M．R．Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）（）A．1.24B．1.25C．1.26D．1.27【分析】根据题意，结合对数的运算性质即可求出结果．解：设“心宿二”的星等是m1，“天津四”的星等是m2，“心宿二”的亮度是E1，“天津四”的亮度是E2，则m1＝1.00，m3＝1.25，E1＝rE2，∴1﹣3.25＝2.5（lgE2﹣lgrE2），∴r＝100.7≈1+2.3×0.4+2.7×（0.1）5＝1+0.23+0.027＝1.257，故选：C．11．设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a＝（）A．﹣1B．1C．2D．4【分析】先求出与y＝2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y＝2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决．解：∵与y＝2x+a的图象关于y＝x对称的图象是y＝2x+a的反函数，y＝log2x﹣a（x＞0），∵函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，∵f（﹣2）+f（﹣4）＝1，解得，a＝2，故选：C．12．已知函数，若函数y＝f（x）与y＝f（f（x））相同的值域，则实数a的取值范围是（）A．a≤0B．a≤1C．a≤2e D．a≤3e【分析】根据题意，由f（x）的解析式分析f（x）的单调性，据此可得f（x）的草图，结合函数的草图分析y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域的条件，即可得答案．解：根据题意，函数，当x≤1时，f（x）＝a﹣2e x﹣1，为减函数，f（x）的草图如图：故选：C．二、填空题（每题5分）13．命题“∀x＞0，x2+x＞1”的否定是．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x＞0，x2+x＞1”的否定是：．故答案为：．14．已知函数f（x）＝，f（a）＝4，则f（﹣a）＝﹣2．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）+f（﹣x）＝2，即有f（a）+f（﹣a）＝2，又由f（a）＝4，分析可得答案．解：根据题意，f（x）＝，则f（﹣x）＝，则f（x）+f（﹣x）＝2，即有f（a）+f（﹣a）＝2，故答案为：﹣215．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC边上的中线，则△ABC的面积为．【分析】利用cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，直接根据余弦定理以及面积公式计算即可．解：设BD＝CD＝x，利用cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，可得，所以，所以，故答案为：．16．集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为②③．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+．【分析】根据曲线性质求出集合A，B对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即可．解：A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，x≥0，y≥0时，即x+y＝a表示在第一象限内的线段|x|+|y|＝a关于x轴对称，也关于y轴对称表示点集为正方形，∴|xy|﹣|x|﹣|y|+1＝0∴|x|＝6或|y|＝1B＝{（x，y）|x＝±1，或x＝±1}，表示2组平行线，①如图1，∠AOB＝45°tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝1，∵a＞0，∴a＝②如图2，∠AOB＝45°又A（a﹣1，5）tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝＝1，∴a7﹣4a+2＝0，综上a＝或a＝2+．故答案为：②③．三、解答题（17题10分，18-22每题12分）17．设集合A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}，若A∩B＝B，求a的值．【分析】根据题意，求出集合A，由A∩B＝B，分析可得B是A的子集，分4种情况讨论：①、B＝∅，②、B＝{0}，③、B＝{﹣4}，④、B＝{0、﹣4}，分别求出每一种情况下a的取值，综合即可得答案．解：根据题意，集合A＝{x|x2+4x＝0}＝{5，﹣4}，若A∩B＝B，则B是A的子集，分4种情况讨论：①、B＝∅，△＝[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）＝8a+8＜0，即a＜﹣1时，方程无解，满足题意；②、B＝{0}，即x2+2（a+1）x+a5﹣1＝0有两个相等的实根0，③、B＝{﹣6}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1＝5有两个相等的实根﹣4，④、B＝{0、﹣4}，即x2+4（a+1）x+a2﹣1＝0有两个的实根0或﹣4，综合可得：a＝6或a≤﹣1．18．设a∈R，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0．（1）若命题p∧q是真命题，求a的取值范围；（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．【分析】（1）根据题意，p∧q是真命题，即p真q真，求出不等式的交集即可；（2）由（￢p）∧q为假，（﹣p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，分情况讨论，最后求出并集．解：（1）p真，则，或得；q真，则a2﹣7＜0，得﹣2＜a＜2，（2）由（￢p）∧q为假，（﹣p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，得a≤﹣2；所以，；故a的取值范围是．19．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）＝，求cosβ的值．【分析】（Ⅰ）由已知条件即可求r，则sin（α+π）的值可得；（Ⅱ）由已知条件即可求sinα，cosα，cos（α+β），再由cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cosα+sin（α+β）sinα代值计算得答案．解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x＝﹣，y＝，r＝|OP|＝，（Ⅱ）由x＝﹣，y＝，r＝|OP|＝1，又由sin（α+β）＝，则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝，∴cosβ的值为或．20．已知f（x）＝4cos x sin﹣1．（1）求函数y＝f（x）（0＜x＜π）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A满足f（A）＝0，若，求BC边上的高AD长的最大值．【分析】（1）结合正弦的两角差公式、二倍角公式和辅助角公式将函数f（x）化简为f（x）＝，令，k∈Z，解出x的范围后，在0＜x＜π的限定条件下，即可得函数y＝f（x）的单调递增区间．（2）由f（A）＝0可解出A的值，再由，可得bc的值，根据余弦定理a＝可推出a≥，最后利用正弦面积公式，即可求出AD的取值范围，从而得解．解：（1）f（x）＝4cos x sin﹣1＝4cos x（sin x﹣cos x）﹣1＝sin5x﹣cos2x ﹣2＝．令，解得，k∈Z．（2）由f（A）＝0，即，解得．由余弦定理得，．∴，故BC边上的高AD长的最大值为．21．已知点D（，﹣2），过点D作抛物线C1：x2＝y的两切线，切点为A，B．（Ⅰ）求两切点A，B所在的直线方程；（Ⅱ）椭圆，离心率为，（Ⅰ）中直线AB与椭圆交于点P，Q，直线PQ，OP，OQ的斜率分别为k，k1，k2，若k1+k2＝3k．求椭圆的方程．【分析】（1）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），求导得y′＝2x，由导数的几何意义可得切线的斜率，进而可得切线方程DA，DB，联立解得D点坐标，又因为D（，﹣2），即可解得A，B坐标，再由两点式，即可写出直线AB方程．（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），由和c2＝a2﹣b2，得a2＝4b2．联立直线AB 与椭圆，得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x3+x4，x3x4，又因为k1+k2＝3k，所以+＝3，化简，即可解得b2＝12，进而得椭圆方程．解：（1）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），因为y′＝2x，所以抛物线A（x1，y2）点的切线的斜率为2x1，切线方程为y＝3x1x﹣x12两切线交点（，x1x2）所以A（﹣1，1），B（2，4），（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），由得又c2＝a2﹣b2，所以椭圆方程为，所以，所以+＝5，所以3++＝3，所以2（x3+x8）＝x3x4，所以椭圆方程为：．22．已知函数f（x）＝ae x﹣x+1．（1）若f（x）在（0，3）上只有一个零点，求a的取值范围；（2）设x0为f（x）的极小值点，证明：．【分析】（1）f（x）在（0，3）上只有一个零点．方程在（0，3）上只有一个解．设，则，求解函数的最值，推出结果即可．（2）f'（x）＝ae x﹣1，当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）无极值，故a＞0．令f'（x）＝ae x﹣1＝0，得x＝﹣lna．f（x）的极小值为f（﹣lna）＝2+lna．只需证．设函数，（x＞0）．判断函数的单调性，求解函数的最大值，然后转化证明即可．【解答】（1）解：因为f（x）在（0，3）上只有一个零点．所以方程在（0，3）上只有一个解．所以．故a的取值范围为．令f'（x）＝ae x﹣1＝3，得x＝﹣lna．故f（x）的极小值为f（﹣lna）＝2+lna．设函数，（x＞0）．故g（x）max＝g（1）＝0．于是，则，从而．。