高等数学1.3- 函数的极限(三)

第三节 函数的极限（三）教学目的：（1）会用两个重要极限求极限；（2）了解无穷小阶的概念；（3）掌握常用等价无穷小，会用等价无穷小替换求极限．教学重点：两个重要极限，无穷小比较的理解，等价无穷小 教学难点：重要极限证明 教学方法：讲练结合 教学时数：2课时一、两个重要极限1. 1sin lim=→xx x ──00型证明：①当20π<<x 时，作一单位圆，如图设圆心角x x AOB ,=∠取弧度)20π<<x （因为AOD AOB AOB S S ∆∆<<扇形S ，故得))2,0(( tan 2121sin 21π∈<<x x x x即 sin tan x x x <<)20π<<x （．由0sin >x ，两端同时除以x sin ，xxx cos 1sin 1<<，或1sin cos <<xx x ．从而，222sin 011cos 2sin2()222x xxxx x<-<-=<⋅=，)20π<<x （ （*） 当02<<-x π时，20π<-<x ,由（*）式，得2)()cos(1)sin(102x x xx -<--<---<，即2cos 1sin 102xx xx <-<-<.故，当20π<<x 时，有2cos 1sin 102xx xx <-<-<．由夹逼原理得 1s i n l i m=→xx x ， 1cos lim 0=→x x ．说明：①函数()xx x f sin =在0=x 无定义，但极限仍然存在，此极限属于0型的极限；②当0)(→x ϕ时，1)()(sin lim=x x ϕϕ．例1．求xx x tan lim 0→解：1cos 1limsin limtan lim00=⋅=→→→xxx xx x x x ．例2．求2cos 1limxxx -→解：2122sin 2122sin lim 212sin 2cos 1lim22220222=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==-→→x x x xxxxxx x ．例3．求xxx arcsin lim→解：令arcsin , 00,u x x u =→→当时，有于是1sin limarcsin lim==→→uu xxu x ．例4．求2cos lim2πθθπθ→-．解：因为)2sin(cos θπθ-=，可设θπ-=2t ，当2πθ→时，0→t ，所以，2cos lim2πθθπθ→-=0sin 1limt t t→=．2．lim x xx e →∞+⎛⎝ ⎫⎭⎪=11──1∞型证明：先证e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→11lim ．当0x >时，设1,n x n ≤<+则有不等式 11111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++n x n n x n ．由于 e e n n n n n n n n nn n n =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→+∞→111lim 11lim 1111lim 11lim 1， 1111111lim 1lim 11 lim 1lim 1,111111nn n n n n n e e n n n n n ++→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因此，由夹逼原理得 e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→11lim ．再证：e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→11lim ．令t x =-,则有 lim lim lim lim x xt tt t t t x t t t t t e →-∞→+∞-→+∞→+∞-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪⋅+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=111111111111综上，lim x xx e →∞+⎛⎝ ⎫⎭⎪=11.说明：（1）公式的另一形式：利用代换1y x=,则当x →∞时，0y →.于是，又可写成()lim lim .y yx xy x e →→∞+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=01111（2）推广：若lim (),x v x →∞=∞则e x v x v x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→)()(11lim ；若lim ()0 (()0),x u x u x →∞=≠则()e x u x u x=+)(1)(1lim ．例5．求1lim (1).xx x→∞-解：1])11[(lim --∞→-+=xx x原式xx x-∞→-+=)11(1lim.1e=例6．求1lim (12)x x x →+．解：1220lim[(12)]xx x →=+原式2.e =例7．求23lim ().2xx x x→∞++解：422)211(])211[(lim -+∞→++++=x x x x 原式.2e =或：62362442233(1)(1)limlim.22(1)(1)xxxx x xe xx e exx⋅→→⋅++====++原式练习：求下列极限： 1. 0sin 4limsin 5x x x→ 2. 1lim sin2x x x→∞3. 0arctan limx xx→ 4. ∞→x lim3(1)xx+5.∞→x lim xx x ）（21-+二、无穷小的比较观察0→x 时，函数极限x sin ，2x ，x cos 1-极限，易知，三个函数均为无穷小．但是∞=→2sin limxx x ；21cos 1lim2=-→xxx ；0sin cos 1lim=-→xx x ，反映了不同的无穷小趋向于零的“速度”有“快”、“慢”之分．1.定义3.5 在同一极限过程中，设()x αα=，()x ββ=均为无穷小，则 （1）如果0lim =αβ，称β是比α高阶的无穷小；记作()o βα=；或称α是比β低阶的无穷小； （2）如果c =αβlim)0(≠c ，称β与α为同阶无穷小；记作()αβO =；特别当1=c 时，即1lim=αβ称β与α为等价无穷小，记作αβ~；（3）如果c k=αβlim )0,0(>≠k c ，称β是α的k 阶无穷小．若0lim 0()kc x x α=≠-，则称α是当0x x →时的k 阶无穷小．因1sin lim 0=→xxx ，根据定义，x sin 与x 是0→x 时的等价无穷小，即x x ~sin ； 又21cos 1lim 2=-→x xx ，x cos 1-与2x 为同阶无穷小，或x cos 1-是x 的二阶无穷小；由0sin cos 1lim=-→xx x ，=-x cos 1()x o sin ，（0→x ）；2.等价无穷小替换求极限定理3.8 设在同一自变量的同一变化过程中，ββαα,,,是无穷小，且ββαα~,~，如果βαlim存在，那么βαβαlimlim=．证明：αβαβββαβααββαβααβαlim 1lim 1lim lim lim lim=⋅⋅=⋅⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=． ▲常见的等价无穷小：① 当x →0时，2sin ~~tan ,1cos ~,2xx x x x - ln(1)~ , 1~ , xx x e x +-（以后证明）arcsin ~~arctan ,x x x nx x n~11-+．②一般若0)(→x ϕ，则有推广的等价关系：)(~)(sin x x ϕϕ, 2)(~)(cos 12x x ϕϕ-, ())(~)(1ln x x ϕϕ+......例8．求xx nx 11lim-+→．解：令 t x n =-+11，则()11-+=nt x ．当0→x 时，0→t ，则xx nx 11lim-+→()11lim-+=→nt t t()11lim332210-+++++=→nn nn nnt t c t c t c t ctntc t c n n n n n t 11lim12=+++=-→或 111lim=-+→nx nx x ，即：nx x n ~11-+（0→x ）．例9．求x x x 2tan 5sin lim→解：当0→x 时，x x x x 2~2tan 5~5sin 故2525lim2tan 5sin lim==→→xx xx x x ．说明：若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小的代换，而不会改变原式的极限．例10．求极限 2201sin1limxx x -+→．解：利用等价代换公式，nx x n~11-+（0→x ），1si n 12-+x 2s i n ~2x，221s i n 1limxx x -+→212s i n lim22==→xx x例11．.2si nsi n tan l i m3xx x x -→求错解：.~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→所以，3)2(limx x x x -=→原式.0=解：,0时当→x ,2~2sin x x)cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 33)2(21limx xx →=原式.161= 注意：等价无穷小的代换只能对分子或分母中的无穷小进行，而对于加、减中的每一项不能分别作代换．例12．求xx x sinh lim→． 解：0sinh (1)(1)11limlimlimlimlim2222xxx xxxx x x x x x e e e ee exxxxx---→→→→→------===+-x 0limlim22x x x xx→→-=+-11122=+=0 sinh ~x x x →即时内容小结:1. 两个重要极限2. 无穷小的比较3. 等价无穷小替换求极限。