广东省深圳市2020届高考数学理科模拟考试卷新课标人教A版

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2020年深圳市高三一模理科数学试卷(含答案及解析)

2020年广东深圳高三一模理科数学试卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分。

）1. A.B.C.D.已知集合，，则（）．2. A.B.C.D.设，则的虚部为（）．3. A.B.C.D.某工厂生产的个零件编号为，，，，，现利用如下随机数表从中抽取个进行检测．若从表中第行第列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第个零件编号为（）．4. A.B.C.D.记为等差数列的前项和，若，，则为（）．5. A.B.C. D.若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）．6. A.B.C.D.已知，则（）．7.A.B.C.D.的展开式中的系数为（）．8. A.B.C. D.函数的图像大致为（）．9. A. B. C. D.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为（）．10.A.B.C.D.已知动点在以，，为焦点的椭圆，动点在以为圆心，半径长为的圆上，则的最大值为（）．11.A.B.C.D.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是的外心、垂心，且为中点，则（）．12.A.B. C. D.已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个数最多为（）．二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。

）13.若，满足约束条件，则的最小值为．14.设数列的前项和为，若，则．15.很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全．某马拉松赛事报名网站的登录验证码由，，，，中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”（如），已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是的概率为．16.已知点和点，若线段上的任意一点都满足：经过点的所有直线中恰好有两条直线与曲线：相切，则的最大值为．三、解答题（本大题共5题，每小题12分，共计60分。

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)

（2）是否存在实数，使得为定值？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由．
某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．
（1）规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求恰有人预赛成绩优良的概率；
④函数的最小正周期是．
其中所有正确结论的编号是（）
A.②③B.①④C.②③④D.①②
12.将边长为的菱形沿对角线折起，顶点移动至处，在以点，，为顶点的四面体中，棱、的中点分别为、，若＝，且四面体的外接球球心落在四面体内部，则线段长度的取值范围为（）
A. B. C. D.
A. B. C. D.
10.已知过抛物线＝焦点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，连接，则的最小面积为（）
A. B. C. D.
11.已知定义在上的函数在上有且仅有个零点，其图象关于点和直线对称，给出下列结论：
① ；
②函数在上有且仅有个极值点；
③函数在上单调递增；
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，集合＝，则＝（）
A. B. C. D.
2.下列函数中为奇函数的是（）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D.
3.已知复数＝，则的共轭复数
（2）已知的内角，，的对边分别为，，，若，且＝，求的面积．

2020届深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)参考答案

函数 f (x) 在区间[−1,3] 上有两个零点，
f (−1) = 2t 0
则

f
(3)
=
8
−
−1 t 3
6t

0
，解得
0

t

4 3
，
V= 4t 2 + 4 0
0 m n 4 ， | m − n | 的最大值为 4 ，故应填 4 ．
3
3
3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
sin A
2
2
（法二） acos B + bsin A = c ，
又 acos B + bcos A = c ，
acos B + bsin A = acos B + bcos A ， …………………………………………………8 分
即 sin A = cos A，又 A(0, π) ， A = π . ……………………………………………9 分 4
a2 + b2 − c2 = absin C ， …………………………………………………………………2 分
在△ ABC 中，由余弦定理得 cosC = a2 + b2 − c2 = absin C = sin C ，
2ab
2ab
2
sin C=2cosC ， …………………………………………………………………………4 分
在 Rt NAD 中， sin = AN = 1 = 2 ， …………11 分 ND 2 2
= π ， = π ，
4
2
二面角 N − BD − M 的正弦值为1 .
…………………12ຫໍສະໝຸດ 分（法二）由余弦定理得 BD2 = AD2 + AB2 − 2AD ABcosDAB = 3，

2020广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)(带解析)

2020广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）（带解析）一、选择题：1.若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A. {2，4}B. {4，6}C. {6，8}D. {2，8}2.若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）A. 2B. 3C. ﹣2D. ﹣33.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A. B. C. D.4.等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b，则=（）A. ﹣3B. ﹣1C. 1D. 35.直线l：kx+y+4=0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A. B. C. D. 26.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A. 4πB. πh2C. π（2﹣h）2D. π（4﹣h）27.函数f（x）= •cosx的图象大致是（）A. B.C. D.8.已知a＞b＞0，c＜0，下列不等关系中正确的是（）A. ac＞bcB. a c＞b cC. log a（a﹣c）＞log b（b﹣c）D. ＞9.执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（）A. 335B. 336C. 337D. 33810.已知F是双曲线E：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A. B. 2 C. 3 D. 411.已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）= ，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+ ﹣λ=0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A. （0，）B. （2 ，+∞）C. （e+ ，+∞）D. （+ ，+∞）二、填空题：13.已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则| + |=________．14.（﹣）5的二项展开式中，含x的一次项的系数为________（用数字作答）．15.若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=________．16.已知数列{a n}满足na n+2﹣（n+2）a n=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若a n＜a n+1对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是________．三、解答题：17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a= csinA﹣acosC．（1）求C；（2）若c= ，求△ABC的面积S的最大值．18.如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE= ，∠EAD=∠EAB．（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；（2）若AE与平面ABCD所成角为60°，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b 的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．20.已成椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1、A2，上下顶点分别为B2/B1，左右焦点分别为F1、F2，其中长轴长为4，且圆O：x2+y2= 为菱形A1B1A2B2的内切圆．（1）求椭圆C的方程；（2）点N（n，0）为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点F2在l上的射影为H，若△F1HN 的面积不小于n2，求n的取值范围．21.已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．（1）求曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程；（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的值；（3）关于x的方程f（x）=a有两个实根x1，x2，求证：|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2．22.在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点P（1，），其参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E的极坐标方程；（2）若直线l交E于点A、B，且OA⊥OB，求证：为定值，并求出这个定值．23.已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x，记关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为M．（1）若a﹣3∈M，求实数a的取值范围；（2）若[﹣1，1]⊆M，求实数a的取值范围．答案解析部分一、选择题：1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】B11.【答案】D12.【答案】C二、填空题：13.【答案】514.【答案】-515.【答案】316.【答案】[0，+∞）三、解答题：17.【答案】（1）∵2a= csinA﹣acosC，∴由正弦定理可得：2sinA= sinCsinA﹣sinAcosC，∵sinA≠0，∴可得：2= sinC﹣cosC，解得：sin（C﹣）=1，∵C∈（0，π），可得：C﹣∈（﹣，），∴C﹣= ，可得：C=（2）∵由（1）可得：cosC=﹣，∴由余弦定理，基本不等式可得：3=b2+a2+ab≥3ab，即：ab≤1，（当且仅当b=a时取等号）∴S△ABC= absinC= ab≤ ，可得△ABC面积的最大值为18.【答案】（1）证明：连接EG，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，在△EAD和△EAB中，AD=AB，AE=AE，∠EAD=∠EAB，∴△EAD≌△EAB，∴ED=EB，则BD⊥EG，又AC∩EG=G，∴BD⊥平面ACEF，∵BD⊂平面ABCD，∴平面ACEF⊥平面ABCD（2）解法一：过G作EF的垂线，垂足为M，连接MB，MG，MD，易得∠EAC为AE与面ABCD所成的角，∴∠EAC=60°，∵EF⊥GM，EF⊥BD，∴EF⊥平面BDM，∴∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角，可求得MG= ，DM=BM= ，在△DMB中，由余弦定理可得：cos∠BMD= ，∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为；解法二：如图，在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（1）可知，平面ACEF⊥平面ABCD，∵MG⊥平面ABCD，∴直线GM、GA、GB两两互相垂直，分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，可得∠EAC为AE与平面ABCD所成的角，∴∠EAC=60°，则D（0，﹣1，0），B（0，1，0），E（），F（），，，设平面BEF的一个法向量为，则，取z=2，可得平面BEF的一个法向量为，同理可求得平面DEF的一个法向量为，∴cos＜＞= = ，∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为．19.【答案】（1）解：当0≤x≤200时，y=0.5x；当200＜x≤400时，y=0.5×200+0.8×（x﹣200）=0.8x﹣60，当x＞400时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）=x﹣140，所以y与x之间的函数解析式为：y=（2）解：由（1）可知：当y=260时，x=400，则P（x≤400）=0.80，结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，∴a=0.0015，b=0.0020（3）解：由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．当x=50时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，当x=150时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，当x=250时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，当x=350时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，当x=450时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，当x=550时，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．故Y的概率分布列为：所以随机变量Y的数学期望EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.520.【答案】（1）解：由题意知2a=4，所以a=2，所以A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），则直线A2B2的方程为，即bx+2y﹣2b=0，所以= ，解得b2=3，故椭圆C的方程为（2）解：由题意，可设直线l的方程为x=my+n，m≠0，联立，消去x得（3m2+4）y2+6mny+3（n2﹣4）=0，（*）由直线l与椭圆C相切，得△=（6mn）2﹣4×3×（3m2+4）（n2﹣4）=0，化简得3m2﹣n2+4=0，设点H（mt+n，t），由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），则• =﹣1，解得：t=﹣，所以△F1HN的面积= （n+1）丨﹣丨= ，代入3m2﹣n2+4=0，消去n化简得= 丨m丨，所以丨m丨≥ n2= （3m2+4），解得≤丨m丨≤2，即≤m2≤4，从而≤ ≤4，又n＞0，所以≤n≤4，故n的取值范围为[ ，4]21.【答案】（1）解：对函数f（x）求导得f′（x）=lnx+1，∴f′（e﹣2）=lne﹣2+1=﹣1，又f（e﹣2）=e﹣2lne﹣2=﹣2e﹣2，∴曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程为y﹣（﹣2e﹣2）=﹣（x﹣e﹣2），即y=﹣x﹣e﹣2；（2）解：记g（x）=f（x）﹣λ（x﹣1）=xlnx﹣λ（x﹣1），其中x＞0，由题意知g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，下面求函数g（x）的最小值，对g（x）求导得g′（x）=lnx+1﹣λ，令g′（x）=0，得x=eλ﹣1，当x变化时，g′（x），g（x）变化情况列表如下：min极小值=g（eλ﹣1）=（λ﹣1）eλ﹣1﹣λ（eλ﹣1﹣1）=λ﹣eλ﹣1，∴λ﹣eλ﹣1≥0，记G（λ）=λ﹣eλ﹣1，则G′（λ）=1﹣eλ﹣1，令G′（λ）=0，得λ=1，当λ变化时，G′（λ），G（λ）变化情况列表如下：（）max（λ）极大值=G（1）=0，故λ﹣eλ﹣1≤0当且仅当λ=1时取等号，又λ﹣eλ﹣1≥0，从而得到λ=1（3）解：先证f（x）≥﹣x﹣e﹣2，记h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣e﹣2）=xlnx+x+e﹣2，则h′（x）=lnx+2，令h′（x）=0，得x=e﹣2，当x变化时，h′（x），h（x）变化情况列表如下：。

深圳市2020届普通高中高三年级模拟测试(理数试题)含答案

深圳市2020届普通高中高三年级统一模拟测试数学（理科）本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 }3210{，，，=A }032|{2<--=x x x B A B = A ． )3,1(-B ．]3,1(-C ．)3,0(D ．]3,0(2．设，则的虚部为 23i32iz +=-z 3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 4．记为等差数列的前项和，若，，则为n S {}n a n 23a =59a =6S 5．若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心22221x y a b-=0a >0b >(1,2)-率为6．已知，则tan 3α=-πsin 2()4α+=7．的展开式中的系数为 7)2(xx -3x A ．1-B ．1C ．2-D ．2A ．25B ．23C ．12 D.07A ．36B ．32C ．28 D. 24ABC D.2A ．35B ．35-C ．45D ．45-A ．168B ．84C ．42 D.218．函数的图像大致为()2ln |e 1|xf x x =--9．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体 1的三视图，则该四面体的外接球表面积为AB ． 32πC ．36πD ．48π10．已知动点在以，为焦点的椭圆上，动点在以为圆心，半径长M 1F 2F 2214yx +=N M 为的圆上，则的最大值为 1||MF 2||NF 11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则O H ABC M BC A ． 33AB AC HM MO +=+B ．33AB AC HM MO +=- C ． 24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-12．已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的π[04，π()sin()(0)6f x x ωω=->3ωω取值个数最多为二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．13．若满足约束条件，则的最小值为 ___________．y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+101022x y x y x y x z 2-=14．设数列的前项和为，若，则___________． {}n a n n S n a S n n -=2=6aA BC DA ．2B ．4C ．8D ．16A ．4B ．3C ． 2 D.1 （第9题图）15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由，，，，中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验012…9证码称为“递增型验证码”(如)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码0123的首位数字是的概率为___________．116．已知点和点，若线段上的任意一点都满足：经1(,)2M m m -1(,2N n n -()m n ≠MN P 过点的所有直线中恰好有两条直线与曲线相切，则P 21:2C y x x =+(13)x -≤≤的最大值为___．||m n -三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）已知△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，ABC A B C a b c ABC S .222+2a b c S -=（1）求；cos C （2）若，，求. cos sin a B b A c +=a =b18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点，分别1111ABCD A B C D -ABCD M N 在棱，上，且，.1C C 1A A 12C M MC =12A N NA =（1）求证：平面；1//NC BMD （2）若，，， 13A A =22AB AD ==π3DAB ∠=求二面角的正弦值. N BD M --19．（本小题满分12分）已知以为焦点的抛物线过点，直线与交于，两点，F 2:2(0)C y px p =>(1,2)P -l C A B 为中点，且.M AB OM OP OF λ+=u u u r u u u r u u u r （1）当时，求点的坐标；3λ=M （2）当时，求直线的方程. 12OA OB ⋅=u u r u u u rl 20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天6≤潜伏期天6>总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？20附：0.05 0.025 0.0103.8415.0246.635，其中. ))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=d c b a n +++=)(02k K P ≥0k21．（本小题满分12分）已知函数.（其中常数，是自然对数的底数） ()e ln(1)xf x a x =--e=2.718 28⋅⋅⋅（1）若，求函数的极值点个数；a ∈R ()f x （2）若函数在区间上不单调，证明：. ()f x (1,1+e )a-111a a a +>+（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为倾斜xOy 1C ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x t α角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C ．θρsin 4=（1）求的直角坐标方程；2C（2）直线与相交于两个不同的点，点的极坐标为，若1C 2C F E ,P π)，求直线的普通方程．PF PE EF +=21C23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知为正数，且满足证明： ,,a b c 1.a b c ++=（1）； 1119a b c++≥（2） 8.27ac bc ab abc ++-≤理科数学试题答案及评分参考一、选择题1.B2.B3.C4.A5.C6.D7.B8.A9.D10.B11.D12.C12.解析：当πππ462ω->时，即83ω>时，max ()13f x ω==，解得3ω=；当πππ462ω-≤时，即803ω<≤时，max ππ()sin()463f x ωω=-=，令ππ()sin()46g ωω=-，()3h ωω=，如图，易知()y g ω=，()y h ω=的图象有两个交点11(,)A y ω，22(,)B y ω，所以方程ππsin()463ωω-=有两个实根12ωω，，又888()1()393g h =>=，所以易知有1283ωω<<，所以此时存在一个实数1ωω=满足题设，综上所述，存在两个正实数ω满足题设，故应选C.二、填空题：13.3-14.6315.41516.4316.解析：由对称性不妨设m n <，易知线段MN 所在直线的方程为12y x =-，又21122x x x +>-，∴点P 必定不在曲线C 上，不妨设1(,)2P t t -，()m t n ≤≤，且过点P 的直线l 与曲线C 相切于点20001(,)2Q x x x +，易知0|x x PQ y k ='=，即2000011()()221x x t x x t +--+=-，整理得200210x tx --=，（法一）显然00x ≠，所以0012t x x =-，令1()f x x x=-，[1,0)(0,3]x ∈-U ，如图，直线2y t =和函数()y f x =的图象有两个交点，又(1)0f -=，且8(3)3f =，∴8023t ≤≤，即403t ≤≤，∴403m n ≤<≤，∴||m n -的最大值为43，故应填43．（法二）由题意可知013x -≤≤，令2()21f x x tx =--，∴函数()f x 在区间[1,3]-上有两个零点，则2(1)20(3)86013440f t f t t t -=≥⎧⎪=-≥⎪⎨-<<⎪⎪=+>⎩V ，解得403t ≤≤，∴403m n ≤<≤，∴||m n -的最大值为43，故应填43．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S -=.（1）求cos C ；（2）若cos sin a B b A c +=，a =，求b .解：（1）2221=sin 22S ab C a b c S +-= ，，222sin a b c ab C ∴+-=，…………………………………………………………………2分在△ABC 中，由余弦定理得222sin sin cos 222a b c ab C CC ab ab +-===，sin =2cosC C ∴，…………………………………………………………………………4分又22sin +cos C=1C，25cos C=1cosC=5∴±，，由于(0,π)C ∈，则sin 0C >，那么cosC>0，所以cosC=5.………………………6分（2）（法一）在△ABC 中，由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=，……………7分sin sin[π()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+ ，………………………8分sin cos sin sin sin cos cos sin A B B A A B A B ∴+=+，即sin sin cos sin B A A B =，又,(0,π)A B ∈ ，sin 0B ∴≠，sin =cosA A ，得4A π=.……………………………9分sin sin[π()]sin()B A C A C =-+=+，……………………………………………10分sin sin cos cos sin 252510B AC A C ∴=+=⨯+⨯=，………………11分在△ABC中，由正弦定理得310sin 103sin 22a Bb A==.……………………………12分（法二）cos sin a B b A c += ，又cos cos a B b A c += ，cos sin cos cos a B b A a B b A ∴+=+，…………………………………………………8分即sin cos A A =，又(0,π)A ∈ ，π4A ∴=.……………………………………………9分在△ABC中，由正弦定理得25sin 5sin 22a Cc A===………………………10分cos cos b C A a C =+，325c ∴==.………………………………………………………12分（法三）求A 同法一或法二在△ABC中，由正弦定理得25sin 5sin 22a Cc A===………………………10分又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2230b b --=，解得1b =-或3b =.所以3b =.……………………………………………………………………………12分（余弦定理2222cos a b c b A =+-，得2430b b -+=，解得1b =或3b =.因为当1b =时，222+-20a b c -=<，不满足cosC>0(不满足222+22a b c S -=-≠)，故舍去，所以3b =）【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题，检验学生的数学知识运用能力.E GMDN 1D 1C 1B 1A CBAGEMDN1D 1C 1B 1A CBAMDN1D 1C 1B 1A CBA （第18题图）18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点M ，N 分别在棱1C C ，1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.（1）求证：1//NC 平面BMD ；（2）若1322A A AB AD ===，，π3DAB ∠=，求二面角N BD M --的正弦值.解：（1）证明：（法一）如图，连接AC 交BD 于点G ，连接MG ．设1C M 的中点为E ，连接AE ．………2分,G M 是在△ACE 边,CA CE 的中点，∴//MG AE ，……………………………………3分又 12C M MC =，12A N NA =，11//AA CC ，∴四边形1ANC E 是平行四边形，故1//NC AE ，∴1//NC GM ，…………………………………4分 GM ⊂平面BMD ，∴1//NC 平面BMD .…………………………………5分（法二）如图，设E 是1BB 上一点，且12BE B E =，连接1EC .设G 是BE 的中点，连接GM .……………………1分11//BE MC BE MC =，，∴四边形1BEC M 是平行四边形，故1//EC BM ，……2分又 BM ⊂平面BMD ，∴1//EC 平面BMD ，…………………………………3分同理可证//NE AG ，//AG DM ，故//NE DM ，MDN1D 1C 1B 1A CBA ∴//NE 平面BMD ，…………………………………4分又 1EC NE ⊂，平面1NEC ，且1NE C E E = ，∴平面1//NEC 平面BMD ，又1NC ⊂平面1NEC ，所以1//NC 平面BMD .……………5分（2）（法一）设二面角N BD M --为α，二面角N BD A --为β，根据对称性，二面角M BD C--的大小与二面角N BD A --大小相等，故π2αβ=-，sin sin(π2)sin 2αββ=-=.下面只需求二面角M BD C --的大小即可.………7分由余弦定理得2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，故222AB AD BD =+，AD BD ⊥.……………………8分四棱柱1111ABCD A B C D -为直棱柱，∴1DD ⊥底面ABCD ，1DD BD ⊥，……………………9分又 1,AD D D ⊂平面11ADD A ，1AD D D D = ，BD ∴⊥平面11BDD B ，…………………………………10分ND ⊂ 平面11ADD A ，ND BD ∴⊥，所以二面角N BD A --的大小为NDA ∠，即NDA β∠=，在Rt NAD ∆中，sin 2AN ND β===，…………11分∴π4β=，π2α=，∴二面角N BD M --的正弦值为1.…………………12分（法二）由余弦定理得2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，故222AB AD BD =+，AD BD ⊥.……………………6分以D 为坐标原点O ，以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.zyxMDN1D 1C 1B1A CBA依题意有(0,0,0)D ，B ，(M -，N ，DB = ，(DM =-，DN =，……7分设平面MBD 的一个法向量为(,,)n x y z=，00n DB n DM⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，00x z=∴-+=⎪⎩，令1x =，则1z =，0y =，(1,0,1)n∴=，……………9分同理可得平面NBD 的一个法向量为(1,0,1)m=-，……10分所以cos ,0||||m nm n m n ⋅<>===，……………11分所以二面角N BD M --的大小为π2，正弦值为1.…12分【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力，考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19．（本小题满分12分）已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r.（1）当=3λ时，求点M 的坐标；（2）当12OA OB ⋅=uur uu u r时，求直线l 的方程.解：（1）因为(1,2)P -在22y px =上，代入方程可得2p =，所以C 的方程为24y x =，焦点为(1,0)F ，…………………………………2分设00(,)M x y ，当=3λ时，由3OM OP OF +=uuu r uu u r uu u r，可得(2,2)M ，………………4分（2）（法一）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r，可得00(1,2)(,0)x y λ+-=，所以0=2y ，所以l 的斜率存在且斜率121212042=1y y k x x y y y -===-+，……………7分可设l 方程为y x b =+，联立24y x by x=+⎧⎨=⎩得22(24)0x b x b +-+=，2244=16160b b b ∆=--->（2），可得1b <，………………………………9分则1242x x b +=-，212x x b =，2121212()4y y x x b x x b b =+++=，所以21212=412OA OB x x y y b b ⋅=++=uur uu u r，…………………………………11分解得6b =-，或2b =（舍去），所以直线l 的方程为6y x =-.……………………………………………12分（法二）设l 的方程为x my n =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩得2440y my n --=，216160m n ∆=+>，………………6分则124y y m +=，124y y n =-，21212()242x x m y y n m n +=++=+，所以2(2,2)M m n m +，…………………………………………………………7分由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r，得2(21,22)(,0)m n m λ++-=，所以1m =，…………8分所以l 的方程为x y n =+，由16160n ∆=+>可得，1n >-，……………………………………………9分由124y y n =-得221212()16y y x x n ==，所以21212=412OA OB x x y y n n ⋅=+-=uu r uu u r，………………………………………11分解得6n =，或2n =-（舍去），所以直线l 的方程为6y x =-.……………………………………………12分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位:天）]2,0[]4,2(]6,4(]8,6(]10,8(]12,10(]14,12(人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期6≤天潜伏期6>天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，．．．．（即概率最大其中潜伏期超过6天的人数最有可能．．．．．）是多少？附：)(02k K P ≥0.050.0250.0100k 3.8415.0246.635))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.解：（1） 5.45131511130925073105205385110001=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=）（x 天.……………………………………………………………………………2分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期6<天潜伏期6≥天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200则212510001080120200)35554565(22=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯=K 2.083≈，………………………………………5分经查表，得 3.8412 2.083<≈K ，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.……6分（3）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为521000400=，……7分设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X ，则)52,02(~B X ,kk k C k X P -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==02025352)(，0=k ，1，2，…，20，………8分由⎩⎨⎧-=≥=+=≥=)1()()1()(k X P k X P k X P k X P 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-----++-k k k k k k kk k kk k C C C C 121102020291110202025352535253525352，…………10分化简得⎩⎨⎧≥--≥+kk k k 3)12(2)02(2)1(3，解得542537≤≤k ,又N ∈k ,所以8=k ,即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.…12分【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养.21．（本小题满分12分）已知函数()e ln(1)xf x a x =--.（其中常数e=2.71828⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，证明：111a a a +>+.解：（1）易知(1)e ()1x x af x x --'=-，1x >，………………………………………1分①若0a ≤，则()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，∴函数()f x 无极值点，即函数()f x 的极值点个数为0；……………………2分②若0a >，（法一）考虑函数(1)e (1)x y x a x =--≥，Q 1(1)e 0a y a a a a a ++=->-=，(1)0y a =-<，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥有零点0x ，且011x a <<+，Q e 0x y x '=>，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥为单调递增函数，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥有唯一零点0x ，∴(1)e ()1x x af x x --'=-亦存在唯一零点0x ，…………………………………4分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………5分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（法二）易知函数e x y =的图象与1ay x =-(0)a >的图象有唯一交点00(,)M x y ，∴00e 1x ax =-，且01x >，…………………………………………………………………3分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………4分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣1分，即总分不得超过4分）（法三）对于0a ∀>，必存在*n N ∈，使得2ln an a->，即2ln na a -<，Q e 1na -<，∴1e 2ln e e e 0nana na a a a a --+--<-<-=，∴1e e e (1e )0e nana nanaa f --+---'+=<，又11e (1)=e 10a aa a f a a++-'+=->，∴函数(1)e ()1x x af x x --'=-有零点，不妨设其为0x ，显然()e (1)1xa f x x x '=->-为递增函数，∴0x 为函数()f x '的唯一零点，…………………………………………………………4分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………5分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（2）Q 函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，∴存在0(1,1+e )a x -∈为函数()f x 的极值点，……………………………………6分∴由（1）可知0a >，且1+e e e (1+e )0eaa aaa f ----⋅-'=>，即1+e e aa a -->，两边取对数得1+e ln a a a -->，即1+e ln a a a -->，………………………………7分（法一）欲证111a a a +>+，不妨考虑证111+e ln 1a a a a -+≥-+，先证明一个熟知的不等式：e 1x x ≥+，令g()e 1x x x =--，则g ()e 1x x '=-，∴g (0)0'=，不难知道函数g()x 的极小值（即最小值）为g(0)0=，∴e 10x x --≥，即e 1x x ≥+，……………………………………………………8分（思路1：放缩思想）∴11e =e 1a a a -≤+，即1e 1a a -≥+，………………………9分又111eaa-≥，∴11e a a -≤，∴11ln a a -≤，即11ln a a ≥-，………………………11分∴111+e ln 1a a aa -+≥-+，∴111a a a +>+.…………………………12分（思路2：构造函数）令1()ln 1a a a ϕ=+-，则22111()a a a a aϕ-'=-=，不难知道，函数()a ϕ有最小值(1)0ϕ=，∴()0a ϕ≥，…………………………10分当0a >时，1e 1e 01(1)ea aaa a a ----=>++，…………………………………………11分∴11ln 1e 01a a a a -+-+->+，即111+e ln 1a a a a -+≥-+，∴111a a a +>+.…………………………………………………………………12分（法二）令()1+e ln x F x x x -=--，则1()e 10x F x x-'=---<，∴函数()F x 为单调递减函数，显然(2)2ln 220F <--<，且()0F a >，∴02a <<，①若01a <<，则1111a a a a +>>+，即111a a a +>+成立；…………………………8分②若12a ≤<，只需证111+e ln 1a a a a -+≥-+，不难证明1114173a a a +≥++，只需证明141+e ln 73a a a -≥-+，…………………………9分令14()e ln 173a G a a a -=-+-+，12a ≤≤，则22198198()e (73)(73)a G a a a a a -'=+->-++，当12a ≤≤时，22219849569(73)(73)a a a a a a -+-=++，显然函数249569y a a =-+在[1,2]上单调递增，且(1)20y =>，∴()0G a '>，即函数()G a 为单调递增函数，………………………………………10分∴当12a ≤<时，212e 5()(1)05e 5eG a G -≥=-=>，即()0G a >，………………11分141+e ln 73a a a -∴≥-+，即111a a a +>+，综上所述，必有111a a a +>+成立.…………………………………………………12分（法三）同（法二）得02a <<，①若01a <<，则1111a a a a +>>+，即111a a a +>+成立；…………………………8分②若12a ≤<，只需证111+e ln 1a a a a -+≥-+，令11()e ln 11a G a a a a -=+-+-+，12a ≤≤，则222111()e e (1)(1)a a a G a a a a ---'=-+≥-++，下证当12a ≤≤时，21e 0(1)aa -->+，即证2e (1)a a <+，即证2e 1aa <+，………9分令2()e 1a H a a =--，12a ≤≤，则21()e 12aH a '=-，当2ln 2a =时，()0H a '=，不难知道，函数()H a 在[1,2ln 2)上单调递减，在(2ln 2,2]上单调递增，∴函数()H a 的最大值为(1)H ，或(2)H 中的较大值，显然(1)20H =-<，且(2)e 30H =-<，∴函数()H a 的最大值小于0，即()0H a <，亦即2e 1a a <+，…………………………10分∴21e 0(1)a a -->+，即()0G a '>，∴函数11()e ln 11a G a a a a -=+-+-+，12a ≤≤单调递增，易知11(1)02eG =->，∴()0G a >，即111+e ln 1a a a a -+≥-+，………………………11分∴当12a ≤<时，有111a a a +>+成立，综上所述，111a a a +>+.…………………………………………………………12分【命题意图】本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．解：（1）由题意得，2C 的极坐标方程为θρsin 4=，所以θρρsin 42=，………………1分又θρθρsin ,cos ==y x ，………………2分代入上式化简可得，0422=-+y y x ，………………3分所以2C 的直角坐标方程4)2(22=-+y x ．………………4分（2）易得点P 的直角坐标为)0,32(-，将⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x 代入2C 的直角坐标方程，可得012)sin 4cos 34(2=++-t t αα，………………5分22π4sin )48=[8sin()]4803ααα∆=+-+->，解得πsin()3α+>πsin()3α+<，不难知道α必为锐角，故π3sin()32α+>，所以ππ2π333α<+<，即π03α<<,………………6分设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则ααsin 4cos 3421+=+t t ，1221=⋅t t ，………………7分所以1t 与2t 同号，由参数t 的几何意义可得，1212π8sin()3PE PF t t t t α+=+=+=+，12EF t t =-==，………………8分所以π28sin()3α⨯=+，两边平方化简并解得πsin()13α+=，所以π2π6k α=+，k ∈Z ,因为π03α<<，所以π6α=，………………9分所以直线1C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,21,2332t y t x 消去参数t ，可得直线1C 的普通方程为0323=+-y x ．………………10分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++=证明：（1）1119a b c++≥；（2）8.27ac bc ab abc ++-≤证明：（1）因为()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭3b a c a c ba b a c b c=++++++3≥++（当且仅当13a b c ===时，等号成立）.………………5分（2）（法一）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =--，且10a ->，10b ->，10c ->，所以ac bc ab abc++-()a b ab c ab =+-+()1a b ab a b ab=+---+（）(1)(1)()b a a b =--+(1)(1)(1)a b c =---3(1)(1)(1)8327a b c -+-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦，所以8.27ac bc ab abc ++-≤（当且仅当13a b c ===时，等号成立）.………………10分（法二）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =--，且10a ->，10b ->，10c ->，()1ac bc ab abc a b c ac bc ab abc ++-=-+++++-()()()()1111a b a c a bc a =-+-+-+-()()11a b c bc =--++⎡⎤⎣⎦()()()111a b c =---()338327a b c -++⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦所以8.27ac bc ab abc ++-≤（当且仅当13a b c===时，等号成立）.………………10分【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．深圳市2020年普通高中高三年级统一测试数学（理科）试题参考答案第16页共16页。

广东深圳市2020年高考数学（理）模拟试卷

广东深圳市2020年高考数学（理）模拟试卷年高考数学（理）模拟试卷一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U = R ，A =10x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，则U A=（）． A ．10x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B.｛x | x > 0｝ C.｛x | x ≥0｝ D.1x x ⎧⎨⎩≥0⎭⎬⎫ 2．是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的”的 ( ) ( )． A ．充分不必要条件．充分不必要条件 B B ．必要不充分条件．必要不充分条件 C C ．充要条件．充要条件 D D ．既不充分也不必要条件．既不充分也不必要条件3 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为项为（）． A ．25B ．6C ．7D ．84.4.设两个非零向量设两个非零向量12,e e v v 不共线，若12ke e +v v 与12e ke +v v也不共线，则实数k 的取值范围为的取值范围为（）．A ．(,)-∞+∞B ．(,1)(1,)-∞-⋃-+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞ 5.5.曲线曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则，…，则|P |P 2P 4|等于（等于（）． A ．π B ．2π C ．3π D ．4π6．右图为函数log n y m x =+ 的图象，其中m ，n 为常数，为常数，则下列结论正确的是（则下列结论正确的是（）．A ．m < 0 , n >1B ．m > 0 , n > 1C ．m > 0 , 0 < n <1D ．m < 0 , 0 < n < 1 7．一水池有2个进水口，个进水口，1 1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. .某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）（至少打开一个水口）给出以下3个论断：个论断：①0点到3点只进水不出水；②点只进水不出水；②33点到4点不进水只出水；③点不进水只出水；③ 4 4点到6点不进水不出水点不进水不出水..则一定能确定正确的论断是则一定能确定正确的论断是A ．①．①B B ．①②．①②C C ．①③．①③D D ．①②③．①②③ 8.下列程序执行后输出的结果是( C )A 、-1B 、0C 、1D 、2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案写在横线上）．9、某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图分）的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130-140分数段的人数为90人，则90-100分数段的人数为分数段的人数为n=5 s=0WHILE s<14 s=s+nn=n-1 WAND PRINT n END1010．．0000sin168sin 72sin102sin198+= ．1111．已知．已知i ， j为互相垂直的单位向量，a = i – 2j ， b = i + λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是的取值范围是． 12已知函数()f x ,对任意实数,m n 满足()()(),f m n f m f n +=⋅且 (1)(0),f a a =≠则()f n =()n N +∈. 13符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]208.1,3-=-=π，定义函数{}[]x x x -=，那么下列命题中正确的序号是那么下列命题中正确的序号是．（1）函数{}x 的定义域为R ，值域为[]1,0；（2）方程{}21=x ，有无数解；，有无数解；（3）函数{}x 是周期函数；是周期函数；（4）函数{}x 是增函数是增函数. . 14.14.在平面直角坐标系中，已知曲线在平面直角坐标系中，已知曲线c ：2cos sin xy θθ=-+⎧⎨=⎩，（3,[,]22ππθθ∈为参数）则曲线c 关于y=x 对称的曲线方程是对称的曲线方程是三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 1515．．（本题满分12分）分）已知02cos 22sin=-xx ，（Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求xx x sin )4cos(22cos ⋅+π的值．的值．16．（本题满分13分）分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．的分布列和数学期望．17．（本题满分13分）分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）（Ⅱ）求二面角C BD A --的大小；的大小；（Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．的距离． ABCD1A 1B 1C18．（本小题满分14分）分）一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；的坐标；（Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．的坐标．19．（本题满分14分）分）已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且*2,0]1)1[(22])1(3[N n a a n n n n ∈=--+--++．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；的通项公式；（Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；20．（本题满分14分）分）已知函数)0()(>+=t xt x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64, 2[nn +内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21Λ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g Λ成立，求m 的最大值．的最大值．参考答案一、选择题：一、选择题：1. 答案：答案：C. C. {}A |0,U x x C A =<∴=Q ｛x | x ≥0｝,故选C.2.C3. （理）对于(1)n n +中，当n ＝６时，有6721,⨯=所以第２５项是７．选C.4.D5.5.Ａ．Ａ．Ａ． ∵)4cos()4sin(2ππ-+=x x y ＝2sin()sin()1cos(2)1sin 2442x x x x πππ++=-+=+，∴根据题意作出函数图象即得．选A ．6. 答案：Ｄ．当x=1时，时，y y ＝m ,由图形易知由图形易知m<0, 又函数是减函数，所以0<n<1,0<n<1,故选Ｄ．故选Ｄ．故选Ｄ．7.A8.C二、填空题：二、填空题：9.810 1010．答案：．答案：12． 0sin168sin 72sin102sin198+=0sin12cos18cos12sin18sin30+=1.2=11. 答案：),2()2,(21---∞Y .2221+(-2)12121cos , 2.2515(1)5(1)λλλθθλλλλλ⋅--==⇒<≠-⋅+++由是锐角得是锐角得0<0<<1且12.na13. （2）、（3）14.22(2)1(32)x y y ++=-≤≤- 1515．．（本题满分12分）分）已知02cos 22sin=-xx ，（Ⅰ）求x tan 的值；的值；（Ⅱ）求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．的值．解：（Ⅰ）由02cos 22sin =-xx , 22tan =⇒x，………………………2分 342122tan12tan2tan 22-=-⨯=-=∴x xx ． …………………5分（Ⅱ）（Ⅱ）原式＝原式＝ x x x xx sin )sin 22cos 22(2sin cos 22--xx x x x x x sin )sin (cos )sin )(cos sin (cos -+-= xx x sin sin cos +=…………………10分1cot +=x 1)43(+-= 41=．…………………12分 16．（本题满分13分）分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）x Θ、y 可能的取值为1、2、3， 12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． ……………3分因此，随机变量ξ的最大值为3．Θ有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，种，92)3(==∴ξP ．答：随机变量ξ的最大值为4，事件“ξ取得最大值”的概率为91． ………5分（Ⅱ）ξ的所有取值为3,2,1,0．0=ξΘ时，只有2,2==y x 这一种情况，这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况，四种情况，2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．两种情况．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ．…………11分则随机变量ξ的分布列为：的分布列为：ξ0 1 2 3P91 94 92 92 因此，数学期望914923922941910=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………13分17．（本题满分13分）分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）（Ⅱ）求二面角C BD A --的大小；的大小；（Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．的距离．解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x ．取BC 中点E ，连AE ．ABC ∆Θ是正三角形，AE BC ∴⊥．又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC ．AE ∴⊥侧面11BB C C ．连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=o． …………………………22分在AED Rt ∆中，23tan 4514AE EDx ==+o ，解得22x =．……………………33分 ∴此正三棱柱的侧棱长为22． …………………………………………44分注：也可用向量法求侧棱长．注：也可用向量法求侧棱长．（Ⅱ）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，⊥AE Θ侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥．AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角．的平面角．…………………………………………………………66分在BEF Rt ∆中，sin EF BE EBF =∠，又，又22231,sin 32(2)CD BE EBF BD =∠===+， ∴33EF =． A BCD 1A 1B 1C EFGH I又3,AE =∴在AEF Rt ∆中，tan 3AEAFE EF∠==．……………………………………………………88分故二面角C BD A --的大小为arctan3． ……………………………………………………99分解法2：（向量法，见后）（向量法，见后）（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ，且交线为AF ，∴过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥平面ABD ．……………………1010分在AEF Rt ∆中，2233303103(3)()3AE EF EG AF⨯⨯===+．……………………1212分Q E 为BC 中点，∴点C 到平面ABD 的距离为230210EG =．……………………1313分解法2：（思路）取AB 中点H ，连CH 和DH ，由,CA CB =DA DB =，易得平面ABD ⊥平面CHD ，且交线为DH ．过点C 作CI DH ⊥于I ，则CI 的长为点C 到平面ABD 的距离．离．解法3：（思路）等体积变换:由C ABDA BCDVV--=可求．可求．解法4：（向量法，见后）（向量法，见后）题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：（Ⅲ）的向量解法：（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系xyz o -．则(0,0,3),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0)A B C D --．设1(,,)n x y z =r为平面ABD 的法向量．的法向量．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,021AD n AB n ρρ 得3230y z x y z ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩．取1(6,3,1).n =--u r……………………66分又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n =u u r……………………77分ABCD 1A 1B 1C x yzo∴10101)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-⨯⋅--=⋅>=<n n n n n n ρρρρρρ． ……………………88分结合图形可知，二面角C BD A --的大小为10arccos10． ……………………99分（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，1(6,3,1),n =--u r (0,1,3).CA =-u u u r……………………1010分∴点C 到平面ABD 的距离11nn CA dρρ⋅=2221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---⋅-=＝10302．13分18．（本小题满分14分）分）一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；的坐标；（Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．的坐标．解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n且032212=+--⋅n m ．……2分解得52,59=-=n m ，因此，点因此，点 1F '的坐标为)52,59(-． …………………4分（Ⅱ）11PF F P ='Θ，根据椭圆定义，，根据椭圆定义，得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)052()159(22=-+--=，……………5分 2=∴a ，112=-=b ．∴所求椭圆方程为1222=+y x ．………………………………7分（Ⅲ）22=ca Θ，∴椭圆的准线方程为2±=x ．…………………………8分设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离．的右准线的距离．则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ． 22221)2(225210105-++⋅=-++=t t t t t t d d ，……………………………10分令22)2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则3422)2()86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--⋅++--⋅+='t t t t t t t t t f ， Θ当0)(,342<'-<<-t f t ，0)(,234>'<<-t f t ，34-=t ，0)(='t f ． ∴ )(t f 在34-=t 时取得最小值．时取得最小值．………………………………13分因此，21d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ，此时点Q 的坐标为)31,34(-．…………14分注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．说明：求得的点Q )31,34(-即为切点P ，21d d 的最小值即为椭圆的离心率．的最小值即为椭圆的离心率．19．（本题满分14分）分）已知数列}{na 满足：,21,121==a a 且0]1)1[(22])1(3[2=--+--++n nn n a a，*N n ∈．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；的通项公式；（Ⅱ）设nn na ab 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；解：（Ⅰ）经计算33=a，414=a ，55=a ，816=a ．当n 为奇数时，22+=+nn a a ，即数列}{na 的奇数项成等差数列，的奇数项成等差数列，122)1(112-=⋅-+=∴-n n a an ；当n 为偶数，nn a a 212=+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列，的偶数项成等比数列， n n n a a )21()21(122=⋅=∴-．因此，数列}{n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧=)()21()( 2为偶数为奇数n n n a n n ．（Ⅱ）Θnn n b )21()12(⋅-=，n n n n n S )21()12()21()32()21(5)21(3211132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=∴-Λ……（……（11） 1432)21()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S Λ…（…（22）（1）、（2）两式相减，）两式相减，得132)21()12(])21()21()21[(2211 21+⋅--++++⋅=n n nn S Λ 11)21()12(211])21(1[2121+-⋅----⋅+=n n n 1)21()32(23+⋅+-=n n ． n n n S )21()32(3⋅+-=∴．20．（本题满分14分）分）已知函数)0()(>+=t xtx x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 ,0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64, 2[n n +内总存在1+m 个实数个实数 m a a a ,,,21Λ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g Λ成立，求m 的最大值．值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，Θ 21)(x t x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t xy--=+-，又Θ切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x--=+-，即02121=-+t tx x，………………………………………………（………………………………………………（11） ………… 2分同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x．…………（．…………（22）由（由（11）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴.,22121t x x t x x ………………（………………（ * * ） ……………………………………………… 4分 22211221)()(x tx x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x tx x -+-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=，把（把（ * * ）式代入）式代入）式代入,,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴01111--+x x t x ＝1222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ， 21x x ≠Θ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（………………（33） ………………………… 7 7分把（把（**）式代入（）式代入（33），解得21=t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且三点共线，且21=t ． ……………………9分（Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[n n +上为增函数，上为增函数，∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i Λ，则)64()()()()2(21nn g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅Λ．依题意，不等式)64()2(n n g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立，恒成立， …………11分 )64(20)n6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅，即)]64()n64[(n 612n n m +++<对一切的正整数n 恒成立，．1664≥+n n Θ， 3136]1616[61)]64()n64[(n 6122=+≥+++∴n n ， 3136<∴m ．由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分又当6=m 时，存在221====ma a a Λ，161=+m a，对所有的n 满足条件．满足条件．因此，m 的最大值为6． ……………………………14分解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值．最大值，即是所求值．1664≥+nn Θ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分当]16,2[∈ia)1,,2,1(+=m i Λ时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅，解得3136<m ． ……………………………13分后面解题步骤与解法1相同（略）．。

2020广东深圳高考一模真题+答案解析—理数

，S
ABC
1 b c sin A 2
由双曲线定义可知： 2a =| NF1 | − | NF2 |=| MN | + | MF1 | − | NF2 | ，
| MN |=| NF2 | + | OF2 | ，且| OF2 |= c ， 2a = b + c ， b = c − 2a ，
b2 = (c − 2a)2 = c2 − 4ac + 4a2 ，
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试题类型：A
2020 年深圳市高三第一次调研考试
理科数学试题答案及评分参考
一、选择题
1. C
2. D
3. C
4. A
5. D
6. A
7. D
8. B
9. C
10. B
11. A
12. B
11. 解析：
曲线
y
=
f
(x) 关于点 ( 1 ,0) 4
对称，
1 4
+
=
k1π ，（k1 Z)
1 12
(k
Z)
，
令0
k 3
+
1 12
1 ，则可取
k
=Leabharlann 0,1, 2 ，x0=
1,5, 12 12
3 4
，结论②正确；
令−
π 2
+ 2kπ
3πx
+
π 4
π 2
+ 2kπ
，则
f
(
x)
的递增区间为
−
1 4
+
2 k, 1 3 12
+
2 3
k
(k Z)

2020届广东省深圳市高三二模数学(理)试题

2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设z 21(1)ii +=-,则|z |＝（）A.12B.2C. 1D.2.已知集合{}|2xA y y ==，{}2|320B x xx =-+≤则（）A. AB =∅ B. AB R =C. A B ⊆D. B A ⊆3.设α为平面，m ，n 为两条直线，若m α⊥，则“m n ⊥”是“n ⊂α”的（） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.已知双曲线C ：22221y x a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（）B. 2D. 35.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当01x ≤≤时，()13f x x =，则17()8f =（）A12B. 2C.18D. 86.若1x ，2x ，…，n x 平均数为a ，方差为b ，则123x +，223x +，…，23n x +的平均数和方差分别为（）A. 2a ，2bB. 2a ，4bC. 23a +，2bD. 23a +，4b7.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，42S =，则6S =（） A. 6-B. 4-C. 2-D. 08.函数f （x ）()142xxsinx -=的部分图象大致为（）A.B.C.D.9.已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足OF FP =，则C的方程为（）A. 221123x y +=B. 22183x y +=C. 22163x y +=D. 22143x y +=10.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A ,B ,C ,D 是其中四个圆的圆心,则AB •CD =（）A. 32B. 28C. 26D. 2411.意大利数学家斐波那契（1175年—1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，.的该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即21n n n a a a ++=+()n +∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为1122n nn a ⎡⎤⎛⎛⎫+⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（设n是不等式(1x+-(1211xx ->+的正整数解，则n 的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D. 712.已知直线y ω=与函数()()sin f x x ωϕ=+（01ω<<）的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足AC nBC =()*N n ∈有下列结论：①n 值可能为2②当3n =，且ϕπ<时，()f x 的图象可能关于直线x ϕ=-对称 ③当6π=ϕ时，有且仅有一个实数ω，使得()f x 在,11ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦上单调递增； ④不等式1n ω>恒成立其中所有正确结论的编号为（） A. ③B. ①②C. ②④D. ③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线ln y x x =⋅在点(1,0)处的切线的方程为__________．14.若x ，y 满足约束条件20030y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则y z x =的最大值为__________. 15.2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有__________种分配方案.16.已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动（E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合），将AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A EBCDF -体积的最大值为__________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，的每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.ABC 中，D 为BC 上的点，AD 平分BAC ∠，5AD =，8AC =，ACD 的面积为（1）求CD 的长；（2）求sin B .18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等边三角形，E ，F 分别为AB ，1AA 的中点，1CE FB ⊥，113AB EB ==.（1）证明：EF ⊥平面1CEB ；（2）求直线EF 与平面1CFB 所成角的大小.19.足球运动被誉为“世界第一运动”.为推广足球运动，某学校成立了足球社团由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：（1）下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为ξ，求()E ξ；（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，接到第n 次传球的人即为第1n +次触球者()n N +∈，第n 次触球者是甲的概率记为n P .（i ）求1P ，2P ，3P （直接写出结果即可）；（ii ）证明：数列13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列.20.在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线0l ：4x =-上的动点，动点Q 满足0PQ l ⊥，且原点O 在以PQ 为直径的圆上.记动点Q 的轨迹为曲线C （1）求曲线C 的方程：（2）过点()2,0E 的直线1l 与曲线C 交于A ，B 两点，点D （异于A ，B ）在C 上，直线AD ，BD 分别与x 轴交于点M ，N ，且3AD AM =，求BMN △面积的最小值. 21.已知函数()()1cos 0ax f x ex a -=⋅>．（其中常数 2.71828e =，是自然对数的底数）（1）若a =()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的极大值点；（2）（i ）证明()f x在⎛⎫⎝上单调递增；（ii ）求关于x 的方程()1a f x e =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4－4：坐标系与参数方程22.椭圆规是用来画椭圆一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A ，B ，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M 的轨迹C 是一个椭圆，其中|MA |＝2，|MB |＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O ，横槽所在直线为x 轴，建立直角坐标系.（1）将以射线Bx 为始边，射线BM 为终边的角xBM 记为φ（0≤φ＜2π），用ϕ表示点M 的坐标，并求出C 的普通方程；（2）已知过C 的左焦点F ，且倾斜角为α（0≤α2π＜）的直线l 1与C 交于D ，E 两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点.当1FE ，|GH |，1FD依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程.选修4－5：不等式选讲23.已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1.证明：（1）|a 12-|+|b +c ﹣1|12≥；（2）（a 3+b 3+c 3）（222111a b c++）≥3.。

2020届广东省深圳高中高考数学模拟试卷(6月份)(含解析)

2020届广东省深圳高中高考数学模拟试卷(6月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 集合A ={x|x 2−4x +3<0}，集合B ={y|y =2x2+1}，则A ∩B =( )A. (1,3)B. ⌀C. (2,3)D. [2,3)2. 设复数z 的共轭复数为z ，且满足z −z =1+i1−i ，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是( )A. 12B. 2C. −12D. −23. 等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3=7，S 6=63，则a 6=( )A. 32B. 16C. 4D. 644. 已知tanθ=2，则2sin(θ+π)+3cos(π−θ)sin(π2+θ)−cos(3π2−θ)=( )A. 7B. −13C. −73D. 15. 如图，随机地在圆内取一点，则该点落到圆内接正三角形内(阴影区域不包括边界)的概率为( )A. π3B. 3√34πC. √34D. 以上全错6. 设i 为虚数单位，则(x −i)6的展开式中含x 4的项为( )A. −15x 4B. 15x 4C. −20ix 4D. 20ix 47. 某养老院在统计不同年龄面的老人对养老院服务的满意情况时，得到具体数据如表所示：年龄满意程度 60～8080～100满意 12 12 不满意818则下列说法正确的是( )A. 在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为老人的年龄与对服务的满意程度有关B. 在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为老人的年龄与对服务的满意程度无关C. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为老人的年龄与对服务的满意程度有关D. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为老人的年龄与对服务的满意程度无关8. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在x 轴上，又抛物线上的点A(−1,a)与焦点F 的距离为2，则a =( )A. 4B. 4或−4C. −2D. −2或29. 已知△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60°，BD =2DC ，AE =EC ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 1B. −2C. 12 D. −1210. 若方程x 2a −y 2b=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则下列关系成立的是 ( )A. √−b >√aB. √−b <√aC. √b >√−aD. √b <√−a11. 设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则( )A. 2x <3y <5zB. 5z <2x <3yC. 3y <5z <2xD. 3y <2x <5z12. 在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cosC =19，且acosB +bcosA =2，则△ABC 面积的最大值为( )A. √5B. 8√59 C. 4√39 D. √52二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知数列{a n }满足a n +a n−1=(−1)n(n+1)2⋅(n +1)(n ≥2)，S n 是其前n 项和，若S 2017=−1007−b ，(其中a 1b >0)，则2a 1+3b 的最小值是______．14. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2−c 2=2b 且tanA =3tanC ，则b = ______ ． 15. 一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，圆锥圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r.则两个圆锥的体积之和与球的体积之比为______ ．16.已知函数f(x)的周期为4，且x∈(−1,3]时，f(x)={√1−x2,x∈(−1,1]1−|x−2|,x∈(1,3]，若方程mf(x)=x恰有5个实数解(其中m>0)，则m的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB与E.求证(Ⅰ)AB⋅AC=BC⋅AD(Ⅱ)AD3=BC⋅CF⋅BE．18.如图1中矩形ABCD中，已知AB=2，AD=2√2，MN分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60°，如图2(1)求证：BO⊥DO；(2)求AO与平面BOD所成角的正弦值．19. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B两点，|AF 1|=3|BF 1|，且|AB|=4，△ABF 2的周长为16 (1)求|AF 2|；(2)若直线AB 的斜率为1，求椭圆E 的方程．20. 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；(2)求y 关于x 的线性回归方程．可能用到公式：{b =i i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=∑x i n i=1y i −nxy∑x i 2n i=1−nx2a =y −bx．21. 水以20米 3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是{x =−1+4ty =3t (t 为参数)，求直线l 与曲线C 相交所截的弦长．23. 如图，有一段长为18米的屏风ABCD(其中AB =BC =CD =6米)，靠墙l 围成一个四边形，设∠DAB =α．(1)当α=60°，且BC ⊥CD 时，求AD 的长；(2)当BC//l ，且AD >BC 时，求所围成的等腰梯形ABCD 面积的最大值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：由集合A ={x|x 2−4x +3<0}，集合B ={y|y =2x 2+1}，可得A ={x|1<x <3}，B ={y|y ≥2}， ∴A ∩B =[2,3)．故选：D ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了一元二次不等式的解法，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．设z =a +bi(a,b ∈R)，z =a −bi ，则z −z =2bi ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简1+i1−i ，再由复数相等的充要条件即可得到b 的值，则答案可求．解：设z =a +bi(a,b ∈R)，z =a −bi ，则z −z =2bi ．1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=2i 2=i ，即2bi =i ，b =12．则复数z 的虚部是：12．故选：A ．3.答案：A解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，由题设条件知q ≠1，∵S 3=7=a 1(1−q 3)1−q，S 6=63=a 1(1−q 6)1−q，可解得：a 1=1，q =2 ∴a 6=a 1q 5=32．故选：A ．先由S 3=7，S 6=63求出首项与公比，再求a 6．本题主要考查等比数列基本量的运算，属于基础题．解析：解：∵tanθ=2， ∴2sin(θ+π)+3cos(π−θ)sin(π2+θ)−cos(3π2−θ)=−2sinθ−3cosθcosθ+sinθ=−2tanθ−31+tanθ=(−2)×2−31+2=−73．故选：C ．由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简化简求值得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.答案：B解析：解：设落在阴影部分内接正三角形上的概率是P ，圆的半径为R ， ∵S 圆=πR 2，正三角形的面积S A =3×12×R 2×sin120°=3√34R 2∴P =S A S 圆=3√34．故选B ．先明确是几何概型中的面积类型，分别求三角形与圆的面积，然后求比值即可．本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A 的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．6.答案：A解析：解：(x −i)6的展开式的通项为T r+1=C 6r⋅x 6−r ⋅(−i)r ，令6−r =4，求得r =2，故展开式中含x 4的项为C 62⋅(−i)2⋅x 4=−15x 4，故选：A ．在二项式展开式的通项中，令x 的幂指数等于4，求得r 的值，可得展开式中含x 4的项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项，属于基础题．7.答案：A解析：解：依题意，K 2的观测值k =50×(12×18−12×8)220×30×26×24≈1.923>1.323，故在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为老人的年龄与对服务的满意程度有关，计算K 的观测值K 2，对照参照值，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．8.答案：D解析：解：∵抛物线以x 轴为对称轴，原点为顶点，∴设抛物线方程为y 2=−2px ，(p >0)，其准线方程为x =p2， ∵抛物线上的一点A(−1,a)到焦点的距离为2， ∴点A(−1,a)到准线的距离为2， ∴p2+1=2，解得p =2， ∴抛物线方程为y 2=−4x ． x =−1时，a =2或−2．故选D ．由已知条件，设抛物线方程为y 2=−2px ，(p >0)，且抛物线上的一点A(−1,a)与焦点F 的距离为2，由此能求出抛物线的标准方程，即可求出a 的值．本题考查抛物线的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线定义的灵活运用．9.答案：C解析：解：∵△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60°，BD =2DC ，AE =EC ，得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13×9−12×4−16×3×2×cos60°=12．故选：C ．根据所给数量关系可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入进行化简即可．本题考查平面向量基本定理，属于中档题．10.答案：A解析：解：方程x 2a−y 2b=1化为方程x 2a+y 2−b=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a >0，−b >0，且−b >a ，∴√−b >√a >0，故选A ．把方程x 2a−y 2b=1化为方程x 2a+y 2−b=1，根据焦点在y 轴上的条件可判断答案．本题考查了椭圆的标准方程．11.答案：D解析：本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1，lgk >0，可得x =lgk lg2，y =lgk lg3，z =lgk lg5，可得3y =lg √33，2x =lg 2，5z =lg √55，比较分母大小即可得出大小关系．另解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1，lgk >0.可得x =lgk lg2，y =lgk lg3，z =lgklg5，作商比较可得三个数之间的大小关系．解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1，则lgk >0，则x =lgk lg2，y =lgk lg3，z =lgklg5． ∴3y =lg √33，2x =lg √2，5z =lg √55． ∵√33=√96>√86=√2，√2=√3210>√2510=√55．∴lg √33>lg √2>lg √55>0． ∴3y <2x <5z ．故选：D ．另解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1，lgk >0，则x =lgklg2，y =lgklg3，z =lgklg5．∴2x3y =23×lg3lg2=lg9lg8>1，可得2x >3y ，5z 2x =52×lg2lg5=lg25lg52>1，可得5z>2x．综上可得：5z>2x>3y．故选：D．12.答案：D解析：本题考查三角函数关系式的恒等变换，余弦定理和三角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于一般题．首先利用同角三角函数的关系式求出sin C的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用求出结果．解析：解：△ABC中角A，B，C的对边分别为a、b、c，cosC=19，则．利用同角三角函数的关系式sin2C+cos2C=1，解得sinC=4√59．由于acosB+bcosA=2，利用余弦定理a⋅a2+c2−b22ac +b⋅b2+c2−a22bc=2，解得c=2．所以c2=a2+b2−2abcosC，整理得4=a2+b2−29ab，由于a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，取等号，故4≥169ab，所以ab≤94．则S△ABC=12absinC≤12×94×4√59=√52，所以△ABC面积的最大值为√52．故选D．13.答案：5+2√6解析：解：根据题意，由已知得：a3+a2=3，a5+a4=−5，…a2017+a2016=−2017，把以上各式相加得：S2017−a1=−1008，即：a1−1008=−1007−b，∴a1+b=1，则则2a1+3b=(2a1+3b)(a1+b)=5+2ba1+3a1b≥5+2√2ba1×3a1b=5+2√6，即2a1+3b的最小值是5+2√6，故答案为：5+2√6．由已知递推式得到：a3+a2=3，a5+a4=−5，…a2017+a2016=−2017，累加可求S2017−a1，结合S2017=−1007−b，求得a1+b=1，将其代入2a1+3b中，由基本不等式的性质分析可得答案．本题考查了数列递推式和累加法求数列的和，涉及基本不等式的性质以及应用，属于综合题．14.答案：4解析：解：∵tanA=3tanC，∴sinAcosA =3sinCcosC，即sinA3sinC=cosAcosC，∴a3c =b2+c2−a22bca2+b2−c22ab，整理得：b2=2(a2−c2)，∵a2−c2=2b，∴b2=4b，解得：b=4或b=0(舍去)，则b=4．故答案为：4．已知第二个等式利用同角三角函数间的基本关系化简，再利用正弦、余弦定理化简，整理得到关系式，把第一个等式代入求出b的值即可．此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．15.答案：38 解析：解：球的半径为：R ；则球的表面积为：4πR 2，圆锥的底面积为：316×4πR 2=34πR 2，两个圆锥的体积和为：13×(34πR 2)×(BO 1+O 1A)=13×(34πR 2)×2R =12πR 3，球的体积为：43πR 3，故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：12πR 343πR 3=38．故答案为：38．利用球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出两个圆锥体积的和及球的体积，可得答案．本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中熟练掌握球和圆锥的体积公式，是解答的关键． 16.答案：(√15,6)解析：解：方程mf(x)=x 恰有5个实数解，就是方程f(x)=1m x 恰有5个实数解，在同一个坐标系中画出y =f(x)与y =1m x 的图象如图：当直线y =1m x 过点(6,1)和直线y =1m x 与半圆(x −4)2+y 2=1相切，可得m ∈(√15,6)．故答案为：(√15,6)．画出函数的图象，利用已知条件转化求解直线与半圆的位置关系，推出结果即可．本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是基本知识的考查，中档题． 17.答案：证明：(Ⅰ)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，∴S △ABC =12AB ⋅AC =12BC ⋅AD∴AB ⋅AC =BC ⋅AD(Ⅱ)在Rt △ADB 中，DE ⊥AB 与E ，由射影定理得：BD 2=BE ⋅AB ，同理在Rt △ADC 中，CD 2=CF ⋅AC ，又∵在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，∴AD 2=BD ⋅CD ，∴AD 4=BD 2⋅CD 2=BE ⋅AB ⋅CF ⋅AC ，又由(I)中AB ⋅AC =BC ⋅AD∴AD 4=BE ⋅BC ⋅CF ⋅AD∴AD 3=BC ⋅CF ⋅BE ．解析：(I)在Rt △ABC 中，根据S △ABC =12AB ⋅AC =12BC ⋅AD ，可得结论；(Ⅱ)根据射影定理可得BD 2=BE ⋅AB ，CD 2=CF ⋅AC ，AD 2=BD ⋅CD ，故AD 4=BD 2⋅CD 2=BE ⋅AB ⋅CF ⋅AC ，结合(I)中结论，可得结论．本题考查的知识点是三角形等积法，射影定理，难度不大，属于基础题．18.答案：方法一：(1)证明：由题设，M ，N 是矩形的边AD 和BC 的中点，所以AM ⊥MN ，BC ⊥MN ， ∵折叠垂直关系不变，∴∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，依题意，所以∠AMD =60°，…(2分)由AM =DM ，可知△MAD 是正三角形，所以AD =√2，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =2√2，所以，BD =√6，由题可知BO =OD =√3，由勾股定理可知△BOD 是直角三角形，所以BO ⊥DO …(5分)(2)解：如图1(2)设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD ，OF ⊥CD ，所以CD ⊥面OEF ，OE ⊥CD 又BO =OD ，所以OE ⊥BD ，OE ⊥面ABCD ，OE ⊂面BOD ，平面BOD ⊥平面ABCD过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理，可得AH ⊥平面BOD ，连接OH ，…(8分)所以OH 是AO 在平面BOD 的投影，所以∠AOH 为所求的角，即AO 与平面BOD 所成角．…(11分)AH 是RT △ABD 斜边上的高，所以AH =2√33，BO =OD =√3，所以sin∠AOH =23(14分)方法二：空间向量：取MD ，NC 中点P ，Q ，如图2建系，则Q(0,0，0)，B(√62,0，0)，D(0,√22,2)，O(0,−√22,1)，所以BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√62,−√22,1)，DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,−1) 所以BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即BO ⊥DO(5分)(2)设平面BOD 的法向量是n⃗ =(x,y,z)，可得−√62x −√22y +z =0−√2y −z =0，令y =√2可得x =−√6,z =−2所以A n ⃗ =(−√6,√2,−2)又AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√62,−√22,−1)，设AO 与平面BOD 所成角为θ则sinθ=|cos <AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23(14分)解析：方法一：(1)先判断∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，进一步证明△BOD 是直角三角形，即可知BO ⊥DO ；(2)设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD ，OF ⊥CD ，所以CD ⊥面OEF ，OE ⊥CD ，过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理，可得AH ⊥平面BOD ，连接OH ，则可证∠AOH 为AO 与平面BOD 所成角；方法二：(1)建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可； (2)求出平面BOD 的法向量是n ⃗ =(x,y,z)，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√62,−√22,−1)，再利用向量夹角公式即可求得结论．本题以平面图形的翻折为载体，考查线线垂直，考查线面角，既用传统方法，又用向量方法，两法并举，细细体会．19.答案：解：(1)由|AF 1|=3|F 1B|，|AB|=4，得：|AF 1|=3，|F 1B|=1，因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a =16，|AF 1|+|AF 2|=2a =8，故|AF 2|=2a −|AF 1|=8−3=5，(2)由(1)可设椭圆方程为x 216+y 2b 2=1，F 1(−c,0)，其中c =√16−b 2，设直线AB 的方程为y =x +c ，即x =y −c ，代入椭圆方程得：b2(y−c)2+16y2=16b2，整理得：(b2+16)y2−2b2cy−b4=0，△=4b4c2+4b4(b2+16)=128b4，y1=2b2c+8√2b22(b2+16)，y2=2b2c−8√2b22(b2+16)，由|AF1|=3|BF1|知y1=−3y2，得2b2c+8b2√2=−3(2b2c−8b2√2)，又由于c=√16−b2解得c=2√2，b2=8所以椭圆的方程为x216+y28=1．解析：(1)利用|AF1|=3|BF1|，且|AB|=4，求出：|AF1|=3，|F1B|=1，根据△ABF2的周长为16，结合椭圆的定义，即可求|AF2|；(2)若直线AB的斜率为1，设直线AB的方程为y=x+c，代入椭圆方程，利用|AF1|=3|BF1|知y1=−3y2，即可求椭圆E的方程．本题考查椭圆的方程与定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.答案：解：(1)散点图如图：(2)x=2+4+5+6+85=5，y=30+40+60+50+705=50，b=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70−5×5×5022+42+52+62+82−5×52=6.5，a=50−6.5×5=17.5．回归直线方程为y=6.5x+17.5．解析：(1)根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图．(2)先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．本题考查了线性回归方程的求法及应用，解题的关键是利用最小二乘法求回归直线方程的系数．21.答案：解：设容器中水的体积在t分钟时为V，水深为h则V=20t又V =13πr 2ℎ 由图知r ℎ=630 ∴r =15ℎ ∴V =13π⋅(15)2⋅ℎ3=π75ℎ3∴20t =π75ℎ3， ∴ℎ=31500πt于是ℎ′=31500π⋅ 13⋅t −23．当ℎ=10时，t =23π，此时ℎ′=5π．∴当ℎ=10米时，水面上升速度为5π米/分．解析：利用平行线分线段成比例定理得到水面的半径与水高的关系；利用圆锥的体积公式求出水深与时间的函数关系；对水深求导数即为水上升的速度．本题考查圆锥的体积公式、平行线分线段成比例定理、对水深求导即为水上升的速度．22.答案：解：曲线C 的极坐标方程是ρ=1，转化为：x 2+y 2=1．直线l 的参数方程是{x =−1+4t y =3t(t 为参数)，转化为：3x −4y +3=0，则：点(0,0)到直线的距离为d =35，所以：2l =2√12−(35)2=85．即弦长为：85解析：首先把方程进行转化，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用． 23.答案：解：(1)连接BD ，作BO ⊥AD ，垂足为O ，则AO =3，BO =3√3，BD =6√2，∴OD =√27+72=3√11，∴AD=AO+OD=3+3√11；(2)由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，∴所围成的等腰梯形ABCD面积S=6+6+12cosα2×6sinα=36sinα(1+cosα)，S′=36(2cosα−1)(cosα+1)，∴0<α<π3，S′>0，π3，<α<π，S′<0，∴α=π3，S取得最大值27√3．解析：(1)连接BD，作BO⊥AD，垂足为O，利用三角函数，结合勾股定理，求AD的长；(2)由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，所围成的等腰梯形ABCD面积S=6+6+12cosα2×6sinα=36sinα(1+cosα)，利用导数确定单调性，即可求出所围成的等腰梯形ABCD面积的最大值．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2020届深圳市高三二模理科数学答案

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2
显然与 | | π 矛盾，从而可知结论②错误；
对于结论③， [1 ,1) ，且 f (x) 在区间[− π , π ] 上单调递增，
2
+1 +1
（ −π+1π++16π）+
π 2 π 6
−
π 2
，
=
1 2
，故结论③正确；
对于结论④，下证不等式 n cos π 1(n 3) ， n
（法一）当 n 3 时， cos π cos π = 1 ， n cos π 3 1(n 3) ，即 n cos π 1(n 3) ，
令 g() = 2 cos sin2 ， ( π , π ) ， 42
则[g( )]2 = 2cos2 sin4 = (2 − 2sin2 )sin2 sin2
[(2 − 2sin2 ) + sin2 + sin2 ]3 = 8 ，
3
27
（当且仅当 2 − 2sin2 = sin2 ，即 sin =
CE ⊥ FB1 ， AB =
2 AA1
=
23 3
EB1 .
（1）证明： EF ⊥平面 CEB1 ；
A1
C1
B1 F
（2）求直线 EF 与平面 CFB1 所成角的大小.
A
C
E
B （第 18 题图）
理科数学试题答案及评分参考第5页（共19页）
解：（1）证明：（法一）设 AA1 = 2a ，
∵ AB =
5 )n
− (1− 2
5 )n ]，则数列{an} 即为斐波那契数列，
an (
2 )11 5
，即 an2
211 5

广东深圳市2020年高考数学(理)模拟试卷

广东深圳市2020年高考数学（理）模拟试卷一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设全集U = R ，A =10xx ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，则U A=（）． A ．10xx ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B.｛x | x > 0｝ C.｛x | x ≥0｝ D.1x x ⎧⎨⎩≥0⎭⎬⎫ 2．是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为（）． A ．25B ．6C ．7D ．84.设两个非零向量12,e e v v 不共线，若12ke e +v v 与12e ke +v v也不共线，则实数k 的取值范围为（）．A ．(,)-∞+∞B ．(,1)(1,)-∞-⋃-+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞ 5.曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于（）．A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．右图为函数log n y m x =+ 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是（）．A ．m < 0 , n >1B ．m > 0 , n > 1C ．m > 0 , 0 < n <1D ． m < 0 , 0 < n < 17．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③ 4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是A．① B．①② C．①③ D．①②③8.下列程序执行后输出的结果是( C )n=5s=0WHILE s<14s=s+nn=n-1WANDPRINT nENDA、-1B、0C、1D、2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案写在横线上）．9、某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130-140分数段的人数为90人，则90-100分数段的人数为10．0000sin168sin 72sin102sin198+= ．11．已知i ， j 为互相垂直的单位向量，a = i – 2j ， b = i + λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是．12已知函数()f x ,对任意实数,m n 满足()()(),f m n f m f n +=⋅且 (1)(0),f a a =≠则()f n = ()n N +∈.13符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]208.1,3-=-=π，定义函数{}[]x x x -=，那么下列命题中正确的序号是．（1）函数{}x 的定义域为R ，值域为[]1,0；（2）方程{}21=x ，有无数解；（3）函数{}x 是周期函数；（4）函数{}x 是增函数.14.在平面直角坐标系中，已知曲线c ：2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（3,[,]22ππθθ∈为参数）则曲线c 关于y=x 对称的曲线方程是三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）已知02cos 22sin=-xx ，（Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求xx x sin )4cos(22cos ⋅+π的值．16．（本题满分13分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本题满分13分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角C BD A --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．ABCD1A 1B 1C18．（本小题满分14分）一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；（Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．19．（本题满分14分）已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且*2,0]1)1[(22])1(3[N n a a n n n n ∈=--+--++．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；20．（本题满分14分）已知函数)0()(>+=t xtx x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64, 2[nn +内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21Λ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g Λ成立，求m 的最大值．参考答案一、选择题：1. 答案：C. {}A |0,U x x C A =<∴=Q ｛x | x ≥0｝,故选C.2.C3. （理）对于(1)2n n +中，当n ＝６时，有6721,2⨯=所以第２５项是７．选C.4.D5.Ａ． ∵)4cos()4sin(2ππ-+=x x y ＝2sin()sin()1cos(2)1sin 2442x x x x πππ++=-+=+， ∴根据题意作出函数图象即得．选A ．6. 答案：Ｄ．当x=1时，y ＝m ,由图形易知m<0, 又函数是减函数，所以0<n<1,故选Ｄ．7.A8.C二、填空题： 9.810 10．答案：12． 0000sin168sin 72sin102sin198+=00000sin12cos18cos12sin18sin30+=1.2=11. 答案：),2()2,(21---∞Y.1cos 2.2θθλλ==⇒<≠-由是锐角得且12.na13. （2）、（3）14.22(2)1(32)x y y ++=-≤≤- 15．（本题满分12分）已知02cos 22sin=-xx ，（Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．解：（Ⅰ）由02cos 22sin =-x x , 22tan =⇒x， ………………………2分3421222tan12tan2tan 22-=-⨯=-=∴x x x ． …………………5分（Ⅱ）原式＝x x x x x sin )sin 22cos 22(2sin cos 22--xx x x x x x sin )sin (cos )sin )(cos sin (cos -+-=x xx sin sin cos +=…………………10分1cot +=x1)43(+-= 41=． …………………12分16．（本题满分13分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）x Θ、y 可能的取值为1、2、3， 12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． ……………3分因此，随机变量ξ的最大值为3．Θ有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ．答：随机变量ξ的最大值为4，事件“ξ取得最大值”的概率为91． ………5分（Ⅱ）ξ的所有取值为3,2,1,0．0=ξΘ时，只有2,2==y x 这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况， 2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ． …………11分则随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………13分17．（本题满分13分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角C BD A --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x ．取BC 中点E ，连AE ．ABC ∆Θ是正三角形，AE BC ∴⊥．又底面ABC ⊥侧面11BB CC ，且交线为BC ．AE ∴⊥侧面11BB C C ．连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=o． ……………2分在AED Rt ∆中，tan 45AEED==o，解得x =． …………3分∴此正三棱柱的侧棱长为． ……………………4分注：也可用向量法求侧棱长．（Ⅱ）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，⊥AE Θ侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥．AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角． ……………………………6分在BEF Rt ∆中，sin EF BE EBF =∠，又1,sin CD BE EBF BD =∠=== ∴EF =．A BCD 1A 1B 1C EFG H I又AE =∴在AEF Rt ∆中，tan 3AEAFE EF∠==． …………………………8分故二面角C BD A --的大小为arctan3． …………………………9分解法2：（向量法，见后）（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ，且交线为AF ，∴过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥平面ABD ． …………10分在AEF Rt ∆中，10AE EFEG AF⨯===． …………12分 Q E 为BC 中点，∴点C 到平面ABD的距离为2EG =． …………13分解法2：（思路）取AB 中点H ，连CH 和DH ，由,CA CB =DA DB =，易得平面ABD ⊥平面CHD ，且交线为DH ．过点C 作CI DH ⊥于I ，则CI 的长为点C 到平面ABD 的距离．解法3：（思路）等体积变换:由C ABD A BCD V V --=可求．解法4：（向量法，见后）题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系则(0,1,0),(0,1,0),(A B C D -设1(,,)n x y z =r为平面ABD 的法向量．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,021AD n n ρρ 得0y y ⎧=⎪-=取1(n =u r…………6分又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n =u u r…………7分1∴10101)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-⨯⋅--=⋅>=<n n n n n n ρρρρρρ． …………8分结合图形可知，二面角C BD A --的大小为． …………9分（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，1(n =ur (0,CA =-u u u r …………10分∴点C 到平面ABD的距离d =2221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---⋅-=＝10302．13分 18．（本小题满分14分）一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；（Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n 且032212=+--⋅n m ．……2分解得52,59=-=n m ，因此，点 1F '的坐标为)52,59(-． …………………4分（Ⅱ）11PF F P ='Θ，根据椭圆定义，得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)052()159(22=-+--=，……………5分 2=∴a ，112=-=b ． ∴所求椭圆方程为1222=+y x ． ………………………………7分（Ⅲ）22=ca Θ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． …………………………8分设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离．则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ．22221)2(225210105-++⋅=-++=t t t t t t d d ， ……………………………10分令22)2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则3422)2()86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--⋅++--⋅+='t t t t t t t t t f ， Θ当0)(,342<'-<<-t f t ，0)(,234>'<<-t f t ， 34-=t ，0)(='t f ． ∴ )(t f 在34-=t 时取得最小值． ………………………………13分因此，21d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ，此时点Q 的坐标为)31,34(-．…………14分注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．说明：求得的点Q )31,34(-即为切点P ，21d d 的最小值即为椭圆的离心率． 19．（本题满分14分）已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且0]1)1[(22])1(3[2=--+--++n n n n a a ，*N n ∈．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；解：（Ⅰ）经计算33=a ，414=a ，55=a ，816=a ．当n 为奇数时，22+=+n n a a ，即数列}{n a 的奇数项成等差数列，122)1(112-=⋅-+=∴-n n a a n ；当n 为偶数，n n a a 212=+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列， n n n a a )21()21(122=⋅=∴-．因此，数列}{n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧=)()21()( 2为偶数为奇数n n n a n n ．（Ⅱ）Θnn n b )21()12(⋅-=， n n n n n S )21()12()21()32()21(5)21(3211132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=∴-Λ ……（1） 1432)21()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S Λ…（2）（1）、（2）两式相减，得132)21()12(])21()21()21[(2211 21+⋅--++++⋅=n n n n S Λ 11)21()12(211])21(1[2121+-⋅----⋅+=n n n 1)21()32(23+⋅+-=n n ． n n n S )21()32(3⋅+-=∴．20．（本题满分14分）已知函数)0()(>+=t xt x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64 , 2[nn +内总存在1+m 个实数 m a a a ,,,21Λ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g Λ成立，求m 的最大值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，Θ 21)(x t x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t x y --=+-，又Θ切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-，即02121=-+t tx x ， ......................................................（1） ...... 2分同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ． (2)由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根， ⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分 22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-= ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=，把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴01111--+x x t x ＝01222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠Θ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（3） …………… 7分把（*）式代入（3），解得21=t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． ……………………9分（Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[nn +上为增函数， ∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i Λ，则)64()()()()2(21n n g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅Λ．依题意，不等式)64()2(nn g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分 )64(20)n 6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅，即)]64()n 64[(n 612nn m +++<对一切的正整数n 恒成立，． 1664≥+nn Θ， 3136]1616[61)]64()n 64[(n 6122=+≥+++∴n n ， 3136<∴m ．由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分又当6=m 时，存在221====m a a a Λ，161=+m a ，对所有的n 满足条件．因此，m 的最大值为6． ……………………………14分解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值． 1664≥+nn Θ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i Λ时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅，解得3136<m ． ……………………………13分后面解题步骤与解法1相同（略）．。

2020深圳一模理数

23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知 a, b, c 为正数，且满足 a + b + c = 1. 证明：（1） 1 + 1 + 1 9 ；
abc （2） ac + bc + ab − abc 8 .
27
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试题类型：A
深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试
A． (−1,3)
B． (−1,3]
C． (0,3)
D． (0,3]
2．设 z = 2 + 3i ，则 z 的虚部为 3 − 2i
A． −1
B．1
C． − 2
D． 2
3．某工厂生产的 30 个零件编号为 01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取 5 个进行检
测. 若从表中第 1 行第 5 列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第 5 个零件编号为
34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
A． 25
B． 23
C．12
D. 07
4．记 Sn 为等差数列{an} 的前 n 项和，若 a2 = 3， a5 = 9 ，则 S6 为
A． 36
B． 32
C． 28
D. 24
5．若双曲线 x2 − y2 = 1（ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线经过点 (1, −2) ，则该双曲线的离心率为 a2 b2