四川省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(10)圆锥曲线
2013年全国高考(理科)数学试题分类汇编：圆锥曲线
全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 （高考江西卷（理））过点引直线l与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ）A ．y EB BC CD=++3 B． C． D． B 2 （福建数学（理）试题）双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25B ．45CDC 3 （广东省数学（理）卷）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A．2214x = B ．22145x y -=C ．22125x y -=D．2212x =*B4 （高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±*C5 （高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 （ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等*D6 （高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）A ．12B．2C ．1 DB7 （浙江数学（理）试题）如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23D ．26*D8 （天津数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3*C9 （大纲版数学（理））椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，*B10（大纲版数学（理））已知抛物线2:8C yx =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12B C D ．2*D11（高考北京卷（理））若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（ ）。
四川省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编-三角函数(学生)
一、选择题:5. (四川省成都市2013届高三第三次诊断理）巳知角a 的终边与单位圆交于点6．(四川省凉山州2013届高三第三次诊断理)若点A (,0)6π、(,0)3B π是函数y =f （x ）=sin（x ωϕ+）的两个相邻零点，则()3f π-=A ．-1B ．1C ．0D ．125. (四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试文) 平面向量a 与b 的夹角为600,a=(2, 0)，b =(cosa, sina),则|a+2b|=A. C. 4D. 128. (四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试文) 己知函数.)|)(|2sin(2)(πθθ<+=x x f ，若函数f(x )在区间)85,6(ππ 上单调递增，则0的取值范围是5、(四川省内江市2013届高三第一次模拟文)设向量a ＝（1，sin θ），a ＝（3sin θ,1），且a ∥b ，则cos2θ= A.23 B.13 C.－13 D.－234. (四川省南充市高2013届第三次高考适应性考试理)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222()tan a c b B ac +-=，则角B 的值为A ．6π或56π B ．3π或23π C ．3π D ． 6π8．(四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试文)下列不等式成立的是（A ）3sin()sin()105ππ->- （B ）sin sin 1810ππ> （C ）9tan()tan()86ππ> （D ）723cos()cos()45ππ->- 5、(四川省眉山市高中2013届高三第二次诊断性考试理)设()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如图1所示，EFG ∆是边长为2的等边三 角形，则)1(f 的值为 A ．23-B ．26- C ．3 D ． 3- 4、(四川省成都十二中2013届高三3月考理)在直角坐标系内，角α的始边在x 轴的正半轴上，顶点在坐标原点，其终边过点(3,4)(0)A a a a -≠，则cos 2α的值等于（ ）A ．725 B ．725- C ．2425D ．2425-二、填空题:12．(四川省凉山州2013届高三第三次诊断理)在边长为3的正方形ABCD 中，点P ，Q 分别在边CD 、BC 上，满足DP= 1，CQ=QB,则∠PAQ的大小是_____________． 14.(四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试文)己知11、(四川省内江市2013届高三第一次模拟文)已知(,)2παπ∈，且1sin cos5αα+=-，则tan α＝＿＿＿三、解答题:19. (四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试文)(本小题满分12分）函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图示，将y =f(x )的图象向右平移4π个单位后得到函数y=f(x)的 图象.(I )求函数y =g(x)的解析式；(II)已知ΔABC 中三个内角A ，B ， C 的对边分别为a, b ，c ，且满足)122(π+A g +)122(π+B g ＝26c=3，求ΔABC 的面积.16、(四川省内江市2013届高三第一次模拟文)（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C所对的边分别为a ，b ，c ，12,cos 2a b A ===- （1）求角B 的大小；（2）若2()cos 2sin ()f x x b x B =++，求函数f （x ）的最小正周期和单调递区间。
2013年全国各地高考数学试题汇编理科数学(四川卷) 试题及答案
2012年全国各地高考数学试题汇编汇总(四川卷)数 学(理工类)本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页．考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上大题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后,将本试题卷和答题卡上一并交回．第Ⅰ卷 (选择题 共50分)注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．设集合{|20}A x x =+=,集合2{|40}B x x =-=,则A B =( )(A){2}- (B){2} (C){2,2}- (D)∅2．如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( ) (A)A (B)B (C)C (D)D 3．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是()4．设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则( ) (A):,2p x A x B ⌝∃∈∉ (B):,2p x A x B ⌝∀∉∉ (C):,2p x A x B ⌝∃∉∈ (D):,2p x A x B ⌝∃∈∈ 5．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是()(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π6．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是( )(A)12 (C)1 7．函数231x x y =-的图象大致是( )8．从135,79这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是( )(A)9 (B)10 (C)18 (D)209．节日 家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) (A)14 (B)12 (C)34 (D)7810．设函数()f x =a R ∈,e 为自然对数的底数)．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )(A)[1,]e (B)1[,1]e - (C)[1,1]e + (D)1[,1]e e -+第二部分 (非选择题 共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效． 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分．11．二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是____________．(用数字作答)12．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=____________．13．设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是____________．14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是____________． 15．设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点,在平面α内的所有点中,若点P 到12,,,n P P P 点的距离之和最小,则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”．例如,线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题：①若,,A B C 三个点共线,C 在线段上,则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线,则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中,218a a -=,且4a 为2a 和3a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和．17．(本小题满分12分) 在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin 25A B B A B B ---=-． (Ⅰ)求cos A 的值；(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影．18．(本小题满分12分) 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生．(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率(1,2,3)iP i=；(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为(1,2,3)i i=的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分) 乙的频数统计表(部分)当2100n=时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为(1,2,3)i i=的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分) 如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 的中点．(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N --的余弦值．20．(本小题满分13分) 已知椭圆C ：22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P ．(Ⅰ)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程．21．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,其中a 是实数．设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <．(Ⅰ)指出函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,求21x x -的最小值； (Ⅲ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围．1C。
2013年理科全国各省市高考真题——圆锥曲线(带答案)
2013年全国各省市理科数学—圆锥曲线1、2013山东理T9.过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 （A ）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C ）4x-y-3=0 （D ）4x+y-3=0 2、2013重庆理T7.已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（ ）A 、4 B1 C 、6-3、2013全国理T8．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4、2013新课标I 理10.已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点。
若AB 的中点坐标为)11(-,，则E 的方程为A1364522=+y x B 1273622=+y x C 1182722=+y x D 191822=+y x 5、2013浙江理T9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点。
若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是A. 2B. 3C.23 D.266、2013辽宁理T15.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,6,cos ABF ,5AF BF AB AF C e ==∠=连接若则的离心率= .7、2013上海理T9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________8、2013福建理14. 椭圆()01:2222>>=+Γb a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2，若直线()c x y +=3与椭圆的一个交点满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于_____9、2013江苏T12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ．10、2013新课标I 理T4.已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为25，则C的渐近线方程为（A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 21±= （D ）x y ±=11、2013北京理T6.若双曲线22221x y a b-=A. y =±2xB. y =C.12y x =±D.y x = 12、2013福建理T3.双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（ ）A. 52B.54C. 552D.55413、2013广东理T7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x =14、2013天津理T5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 315、2013湖北理T5.已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等16、2013江苏T3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 17、2013陕西理T11. 双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 .18、2013湖南理T14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ，则C 的离心率为___。
2013年全国各地高考数学试题汇编汇总文科数学四川卷试题及参考答案
2013年全国各地高考数学试题(四川卷)数 学(文史类)本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。
第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页。
考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后,将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)注意事项: 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1、设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则AB =( )(A)∅ (B){2} (C){2,2}- (D){2,1,2,3}- 2、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( ) (A)棱柱 (B)棱台 (C)圆柱 (D)圆台3、如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( ) (A)A (B)B (C)C (D)D4、设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集。
若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则( ) (A):,2p x A x B ⌝∃∈∈ (B):,2p x A x B ⌝∃∉∈ (C):,2p x A x B ⌝∃∈∉ (D):,2p x A x B ⌝∀∉∉5、抛物线28y x =的焦点到直线0x =的距离是( ) (A)216、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π7、某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示。
以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( )8、若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ,最小值为b ,则a b -的值是( )(A)48 (B)30 (C)24 (D)169、从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )(A)4 (B)12(C)210、设函数()f x =a R ∈,e 为自然对数的底数)。
2013年高考数学试题(10)圆锥曲线
1.（安徽理科第2题、文科第3题）双曲线x y 222-=8的实轴长是 （A ） 2 (B)22 (C) 4 (D) 42答案：C 解：双曲线的方程可化为18422=-y x ，则,2=a 所以42=a 。
2.(安徽理科第21题）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2=上运动，点Q满足BQ QA λ=uu u r uu r ，经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=uuu r uuu r ,求点P的轨迹方程。
解：由MP QM λ=知，P M Q ,,三点在垂直x 轴的直线上，可设),(),,(),,(202x x Q x x M y x P ，则)(202x y y x -=-λ，即y x y λλ-+=20)1(设),(211x x B 由QA BQ λ=可得：⎩⎨⎧-+=-+=λλλλ0211)1(1y x x x ）（，消去0y 可得：⎩⎨⎧-+-+=-+=λλλλλλy x x x x )1()1(122211）（，两式消去1x 可得 222222)1(2)1(])1[()1()1(λλλλλλλλλλ++-+=-+=-+-+x x x y x整理并消去λ，所求曲线方程为：012=--y x 。
3.（安徽文科第17题）设直线11221212:x+1:y=k x 1k k k k +20l y k l =-=，，其中实数，满足，（I ）证明1l 与2l 相交；（II ）证明1l 与2l 的交点在椭圆222x +y =1上.解：(1)若21k k =，则0221≠+k k ，所以21k k ≠，此时1l 与2l 相交。
(2)设1l 与2l 相交于),(y x M ，则M 点既在直线1l 上，又在直线2l 上，x k y x k y 211,1=+=-∴ 两式相乘得：221)1)(1(x k k y y =+-，将221-=k k 代入式中有：2221x y -=-，整理即得：222x +y =1，即1l 与2l 的交点在椭圆222x +y =1上.3.（北京理科第14题）曲线C 是平面内与两个定点)0,1(),0,1(21F F -的距离的积等于常数2a )1(>a 的点的轨迹.给出下列三个结论：① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于221a 。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线-推荐下载
（ ）
1与
7
8
9
1
A．
2
【答案】B
．（2013
3
B．
2
年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））如图, F1, F2 是椭圆 C1
C．1
共焦点, A, B 分别是 C1 , C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是
y
A． 2
【答案】D
F1
A
O
（第 9 题图）
12．（2013
A． y 2x
【答案】B
C2
:
2
B．
2
B． y = 2x
年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））已知抛物线 C1
x2 3
近线,则 p
3 A． 16
【答案】D
13．（2013 年高考新课标
y2
1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点
3 B． 8
1（理））已知椭圆 E :
圆于 A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, 1) ,则 E 的方程为
A． x2 y2 1 45 36
B． x2 y2 1 36 27
y2 b2
x2 a2
C． 2
1的离心率为
C． y 1 x 2
23 C． 3
y2 b2
1(a
C． x2 y2 1 27 18
C． y 1 x 2
C．焦距相等
6 ．（2013 年高考四川卷（理））抛物线 y2 4x 的焦点到双曲线 x2 y 2 1的渐近线的距离是 （ ） 3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
福建省各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(10) 圆锥曲线
某某省各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（10） 圆锥曲线一、选择题:2. (某某省某某市2013年3月高三质量检查理)双曲线2214x y -=的渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．4y x =± C ．12y x =± D ．14y x =± 【答案】C7.(某某省某某市2013年3月高三质量检查理)过点M (-2,0)作斜率为1k (1k ≠0)的直线与双曲线2213y x -=交于A 、B 两点，线段AB 的中点为P ，O 为坐标原点，OP 的斜率为2k ，则12k k 等于 A.13B.3C. -13D. -3【答案】B7．(某某省某某市2013年3月高三质量检查文)已知双曲线的渐近线为3y x =±，且双曲线的焦点与椭圆192522=+y x 的焦点相同，则双曲线方程为 A ．221824x y -= B ．221124x y -= C ．221248x y -= D ．221412x y -=【答案】D15．（某某省某某市2013年3月高三教学质量检查理）已知P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上异于顶点的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，M 是12PF F 的内切圆的圆心。
若121212MPF MPF MF F S SS -=，则ba=。
312．(某某省某某市2013年1月高三质量检查理)已知双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则此双曲线的离心率为。
23三、解答题:20. (某某省某某市2013年3月高三质量检查理)（本小题满分14分）已知椭圆221:12x C y +=. （Ⅰ）我们知道圆具有性质：若E 为圆O ：222(0)x y r r +=>的弦AB 的中点，则直xyCO BD线AB 的斜率AB k 与直线OE 的斜率OE k 的乘积AB OE k k ⋅为定值。
2013年全国高考数学试题分类汇编 圆锥曲线的综合问题
10.5圆锥曲线的综合问题考点一定点与定值问题1.(2013北京,19,14分)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W:＋y2＝1相交于A,C两点,O是坐标原点.(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.解析(1)因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A,代入椭圆方程得＋＝1,即t＝±.所以|AC|＝2.(2)假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点,且AC⊥O B,所以k≠0.由消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1,y1),C(x2,y2),则＝－,＝k·＋m＝.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点,且m≠0,k≠0,所以直线OB的斜率为－.因为k·≠－1,所以AC与OB不垂直.所以OABC不是菱形,与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.2.(2013安徽,21,13分)已知椭圆C:＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4,且过点P(,).(1)求椭圆C的方程;(2)设Q(x0,y)(xy≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连结AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.解析(1)因为焦距为4,所以a2－b2＝4.又因为椭圆C过点P(,),所以＋＝1,故a2＝8,b2＝4,从而椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意,E点坐标为(x0,0),设D(xD,0),则＝(x,－2),＝(xD,－2),再由AD⊥AE知,·＝0,即x0xD＋8＝0.由于x0y≠0,故xD＝－.因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G. 故直线QG的斜率kQG＝＝.又因Q(x0,y)在椭圆C上,所以＋2＝8.①从而kQG＝－.故直线QG的方程为y＝－.②将②代入椭圆C的方程,得(＋2)x2－16xx＋64－16＝0.③再将①代入③,化简得x2－2xx＋＝0.解得x＝x0,y＝y,即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.考点二参变量的取值范围与最值问题3.(2013湖北,22,14分)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m＞n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ＝,△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时,若S 1＝λS 2,求λ的值;(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1＝λS 2?并说明理由.解析 依题意可设椭圆C1和C 2的方程分别为C 1:＋＝1,C 2:＋＝1.其中a ＞m ＞n ＞0,λ＝＞1.(1)解法一:如图1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为x ＝0,则S 1＝|BD|·|OM|＝a|BD|,S 2＝|AB|·|ON|＝a|AB|,所以＝.在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0,可得y A ＝m,y B ＝n,y D ＝－m, 所以＝＝＝.若＝λ,即＝λ,化简得λ2－2λ－1＝0.由λ＞1,解得λ＝＋1. 故当直线l 与y 轴重合时,若S 1＝λS 2,则λ＝＋1.解法二:如图1,若直线l 与y 轴重合,则|BD|＝|OB|＋|OD|＝m ＋n,|AB|＝|OA|－|OB|＝m －n;S 1＝|BD|·|OM|＝a|BD|, S 2＝|AB|·|ON|＝ a|AB|.所以＝＝＝.若＝λ,即＝λ,化简得λ2－2λ－1＝0.由λ＞1,解得λ＝＋1. 故当直线l 与y 轴重合时,若S 1＝λS 2,则λ＝＋1.(2)解法一:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1＝λS 2.根据对称性,不妨设直线l:y ＝kx(k ＞0),点M(－a,0),N(a,0)到直线l 的距离分别为d 1,d 2. 因为d 1＝＝,d 2＝＝, 所以d 1＝d 2.又因为S 1＝|BD|d 1,S 2＝|AB|d 2,所以＝＝λ, 即|BD|＝λ|AB|.由对称性可知|AB|＝|CD|,所以|BC|＝|BD|－|AB|＝(λ－1)|AB|,|AD|＝|BD|＋|AB|＝(λ＋1)|AB|, 所以＝.①将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得xA＝,xB＝.根据对称性可知xC ＝－xB,xD＝－xA,所以＝＝＝.②从而由①②可得＝.③令t＝,则由m＞n,可得t≠1,所以由③解得k2＝.因为k≠0,所以k2＞0.所以③式关于k有解,当且仅当＞0,等价于(t2－1)<0.由λ＞1,解得<t<1,即<<1,由λ＞1,解得λ＞1＋,所以当1<λ≤1＋时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1＝λS2;当λ＞1＋时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1＝λS2.解法二:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1＝λS2.根据对称性,不妨设直线l:y＝kx(k＞0),点M(－a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,因为d1＝＝,d2＝＝,所以d1＝d2.又S1＝|BD|d1,S2＝|AB|d2,所以＝＝λ.因为＝＝＝λ,所以＝.由点A(xA ,kxA),B(xB,kxB)分别在C1,C2上,可得＋＝1,＋＝1,两式相减可得＋＝0,依题意xA ＞xB＞0,所以＞.所以由上式解得k2＝.因为k2＞0,所以由＞0,解得1<<λ.从而1<<λ,解得λ＞1＋,所以当1<λ≤1＋时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1＝λS2;当λ＞1＋时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1＝λS2.。
2013年高考真题理数分类解析10-圆锥曲线
2013年高考真题理科数学解析分类汇编10 圆锥曲线一选择题1.陕西11. 双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 9 .【答案】9【解析】9161694522=⇒==⇒=m mab a c2.安徽理（13）已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点。
若该抛物线上存在点C ，使得ABC ∠为直角，则a 的取值范围为___ ),1[+∞_____。
【答案】 ),1[+∞【解析】 x x C m m B m m A ⊥-则根据题意不妨),,(),,(),,(222)()12(0)(),(),(42224222222222=+++-⇒=-+-=-+⋅--x x m x m m x m x m x m x m x m x ),1[10)1(-222222+∞∈+=⇒=--x m x m x m ）（.所以),1[+∞∈a3.新课标I ，4、已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>C 的渐近线方程为A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =± D .y x =±【解析】由题知，2c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C . 4.新课标I 10、已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。
若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( ) A 、x 245＋y 236＝1 B 、x 236＋y 227＝1C 、x 227＋y 218＝1 D 、x 218＋y 29＝1 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b += ① 2222221x y a b+= ②① ②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选D. 5.新课标II 11、设抛物线)0(22≥=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，｜MF ｜＝5，若以MF 为直径的圆过点（0,2），则C 的方程为（ ）（A ）x y 42= 或x y 82= （B ）x y 22= 或x y 82= （C ）x y 42= 或x y 162= （D ）x y 22= 或x y 162= 【答案】C6.四川6、抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ） （A ）12 （B（C ）1 （D）答案B解析; 、抛物线24y x =的焦点坐标为，双曲线2213y x -=的渐近线为,d ==27.山东11、抛物线211:(0)2=>C y x p p的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p(A)16 (B) 8 (C) 3 (D) 38.全国（8）椭圆22122:1,,46x y C A A P C PA +=的左、右顶点分别为点在上且直线斜率的取值范围是[]12,1,PA --那么直线斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 答案B9.天津(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 3答案C 解析：10.全国（11）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==两点,若则（A ）12 （B ）2（C （D ）2 【答案】D 【解析】设A 由题意知抛物线C 的焦点坐标为，则直线AB的方程为y=K （x-2），与抛物线联立得=， =−16⋯由得=0解得k=211.福建3.双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（ ）A.52 B.54 C.552 D.55412.北京7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A.43 B.2 C.8313.北京6.若双曲线22221x y a b-=A. y =±2xB. y =C.12y x =±D.2y x =±14.广东7.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点F(3,0)，离心率等于32，则C 的方程是 A. 2214x = B. 22145x y -= C. 22125x y -= D.2212x -=解析：由题意得33,2,2c c e a b a ===∴== 故C 的方程是：B. 22145x y -= 15.16.17.二填空题18.上海9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =则Γ的两个焦点之间的距离为________答案解析：如图： AB=4⟹OB=2，又4CBA π∠=，BC 所以三角形OCB 为直角三角形所以C 点坐标为代入椭圆方程得 又a=2所以⟹⟹2c=19.[江苏] 3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 【答案】x y 43±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 431692±=±=． 20.[江苏] 9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ． 【答案】[—2，12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z 2 ． 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12 ．21.[江苏]12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，x右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ． 【答案】33 【解析】如图，l ：x ＝c a 2，2d ＝c a 2－c ＝cb 2，由等面积得：1d ＝a bc。
2013年文科全国各省市高考真题——圆锥曲线(解答题带答案)
2013年全国各省市文科数学—圆锥曲线1、2013大纲文T22．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列2、2013新课标1文T21.(本小题满分12分)已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C 。
（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长是，求||AB 。
3、2013新课标Ⅱ文T20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为y 轴上截得线段长为（Ⅰ）求圆心P 的轨迹方程；（Ⅱ）若P 点到直线y x =，求圆P 的方程。
4、2013辽宁文T20．（本小题满分12分）如图，抛物线()()2212002:4,:20.,C x y C x py p M x y C ==->点在抛物线上，1M C 过作()0,,.1A B M O A B O x =的切线，切点为为原点时，重合于当1-.2MA 切线的斜率为（I ）P 求的值； （II ）2M C AB N 当在上运动时，求线段中点的轨迹方程(),,.A B O O 重合于时中点为5、2013山东文T22.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，(I)求椭圆C 的方程(II)A,B 为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 与点P ，设OP tOE =，求实数t 的值6、2013北京文T19．（本小题共14分）直线y kx m =+（0m ≠）W ：2214x y +=相交于A ，C 两点，O 是坐标原点 （1）当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长。
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:
y
C．1: 5
1 2p
线交 C1 于第一象限的点 M,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p =（ ）
3
A．
16
3
B．
8
x2(p
23
C．
3
【答案】D x2
19.．（2013 年高考浙江卷（文））如图 F1.F2 是椭圆 C1: 4 +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点（ ） A．B 分别是 C1.C2 在第二.四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是
A． 6
【答案】D
3
10.．（2013 年高考大纲卷（文））
B．3
1
已知 F1 1, 0, F2 1, 0是椭圆C的两个焦点过, 且F垂2 直于轴的x直线交于
C 的方程为（ ）
A． x2 y2 1 2
【答案】C
11.．（2013
B． x2 y2 1 32
年高考辽宁卷（文））已知椭圆 C :
．（2013 年高考课标Ⅰ卷（文）） O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y2 4 2x 的焦点, P 为 C 上一点,若
| PF | 4 2 ,则 POF 的面积为（ ）
A． 2
【答案】C
．（2013
程为（ ）
A． y 1 x 4
【答案】C
B． 2 2
年高考课标Ⅰ卷（文））已知双曲线 C
A．1
B．2
C ．4
【答案】C 17.．（2013 年高考江西卷（文））已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与
其准线相交于点 N,则|FM|:|MN|=（ ）
四川省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(10)圆锥曲线
一、选择题:4．(四川省凉山州2013届高三第三次诊断理)若y=2x 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线,则该双曲线的离心率为A BC ．2D 【答案】D2. (四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试文)抛物线x 2=-4y 的准线方程是 A. x=-1 B. x=2 C.y=1 D. y=-2【答案】C9. (四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试文)0(122>>=+b a b y)0,0(122>>=+n m ny 的公共焦点 是F 1 F 2,点P 是两曲线的一个公共点，若cos 21=∠PF FA.22 C.1010 D. 510【答案】D8. (四川省南充市高2013届第三次高考适应性考试理)已知抛物线()022>=p px y 与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为 （ ） A.12+ B.13+C.215+ D.2122+【答案】A8. (四川省宜宾市高中2013届高三二诊考试理)设直线的斜率为2且过抛物线)0(2≠=a ax y 的焦点F ，又与y 轴交于点A ，O 为坐标原点，若OAF ∆的面积为4，则抛物线的方程为：（A ）x y 42= （B ）x y 82= （C ）x y 42±= （D ） x y 82±=【答案】D5．(四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试文)以抛物线24y x =的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是（A ）22(2)4x y -+= （B ）22(1)4x y -+= （C ）22(2)2x y -+=（D ）22(1)2x y -+=【答案】B10. (四川省宜宾市高中2013届高三二诊考试理) 如图，轴截面为边长为34等边三角形的圆锥，过底面圆周上任一点作一平面α，且α与底面所成二面角为6π，已知α与圆锥侧面交线的曲线为椭圆，则此椭圆的离心率为（ ）（A ）43 （B ）23（C ）33 （D ） 22 【答案】C6、(四川省成都十二中2013届高三3月考理)设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ B ） A. 340x y ±= B. 430x y ±=C. 350x y ±=D. 540x y ±=二、填空题:14. (四川省成都市2013届高三第三次诊断理）已知双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 与抛物线y 2=8x 有公共的焦点F ，它们在第一象限内的交点为M.若双曲线C 的离心率为2，则 |MF|=_____. 【答案】514. (四川省南充市高2013届第三次高考适应性考试理) P 点在椭圆22143x y +=上运动,Q ，R 分别在两圆22(1)1x y ++=和22(1)1x y -+=上运动，则|PQ|+|PR|的最大值为 【答案】612．(四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试文)双曲线2216416y x -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离等于 ． 【答案】1714、(四川省眉山市高中2013届高三第二次诊断性考试理)已知点M 是抛物线x y 42=上的一点，F 为抛物线的焦点，点A 在圆1)1()4(:22=-+-y x C 上，则||||MF MA +的最小值为 . 【答案】412. (四川省成都十二中2013届高三3月考理)双曲线21(0)x y a a-=>,则a三、解答题:20. (四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试文) (本小题满分13分）已知椭圆C:0(12222>>=+b a b y a x 原点为圆心，椭圆c 的短半轴长为半径的圆与直线02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直，如图.(I )求椭圆的标准方程；(II)设G 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，GH 丄x 轴，H 为垂足，延长HG 到点Q 使得HG=GQ,连接AQ 并延长交直线l 于点M,点N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论. 20．解：（Ⅰ）由题可得：e =c a =∵ 以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y+2=0相切，，解得b =1．再由a =b +c ，可解得：a =2．∴ 椭圆的标准方程：2214x y +=．……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A (-2，0)，B (2，0)，直线l 的方程为：x =2． 设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是H (x 0，0)，Q (x 0，2y 0)，且有220014x y +=，即4y 02=4-x 02．设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为：k AQ ，k BQ ，∵220000220000224412244AQ BQ y y y x k k x x x x -⋅=⋅===-+---，即AQ ⊥BQ ，∴ 点Q 在以AB 为直径的圆上．∵ 直线AQ 的方程为：002(2)2y y x x =++， 由002(2)22y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，， 解得：00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，，即008(2)2y M x +，，∴ 004(2)2yN x +，．∴ 直线QN 的斜率为：0000000220000422222442QN y y x x y x y x k x x y y -+---====--，∴ 0000212OQ QN y xk k x y -⋅=⋅=-，于是直线OQ 与直线QN 垂直，∴直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． …………………………………13分20. (四川省南充市高2013届第三次高考适应性考试理)（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为：3+-（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P 在椭圆上，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，且满足t PF PF =⋅21，求实数的范围； （Ⅲ）过点Q(1,0 )作直线l (与x 轴不垂直）与椭圆交于M,N 两点，与y 轴交于点R ，若NQ RN MQ RM μλ==,，求证：μλ+为定值.20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+223223c a c a ，得⎪⎩⎪⎨⎧==223c a ，1222=-=c a b ，所以椭圆方程为1922=+y x ………………4分（Ⅱ）设12(,),(P x y F F -12(22,),(22,)PF x y PFx y ∴=---=--122222(,,)88PF PF x y x y x y x y ⋅=----=-+=+-P 在椭圆1922=+y x 上 2219x y ∴=-222128879t PF PF x y x ∴=⋅=+-=- 209x ≤≤ 71t ∴-≤≤故所求实数的范围为[]7,1-………………8分（Ⅲ）依题意，直线的斜率存在，则设直线的方程为)1(-=x k y ，设11223(,),(,),(0,)M x y N x y R y ，则N M ,两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=19)1(22y x x k y ， 消去y 整理得09918)91(2222=-+-+k x k x k ，所以221212221899,1919k k x x x x k k-+==++，① ………………10分 因为MQ RM λ=，所以()11311(,)1,0(,)x y y x y λ-=-⎡⎤⎣⎦，即11131(1)x x y y y λλ=-⎧⎨-=-⎩，因为l 与x 轴不垂直，所以11x ≠，则111x x λ=-，又NQ RN μ=，同理可得221x x μ=-， 所以1212121212122111()x x x x x x x x x x x x λμ+-+=+=---++ 由①式代人上式得49-=+μλ ………………13分 20．(四川省宜宾市高中2013届高三二诊考试理)（本小题满分13分）已知椭圆的中心在坐标原点O, 焦点在x 轴上,形为正方形, 两准线间的距离为4. (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线过点P(0, 2)且与椭圆相交于A.、B 两点, 当△AOB 面积取得最大值时, 求直线的方程. 20．解：(Ⅰ) 设椭圆方程为 )0(12222>>=+b a by a x ……（ 1 分）20题图由已知得⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===112422222222c b a c b a c ac b ……（ 3 分） ∴. 所求椭圆方程为1222=+y x . ………………（ 4 分）(Ⅱ)解法一:由题意知直线的斜率存在, 设直线的方程为2+=kx y ,),(),,(2211y x B y x A , ………………（ 5 分）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222y x kx y ，消去y 得关于x 的方程: 068)21(22=+++kx x k , ………………（ 7 分）由直线与椭圆相交于A 、B 两点, ∴0)21(2464022>+-⇒>∆k k解得232>k . …………（ 8 分） 又由韦达定理得⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅+-=+221221216218k x x k k x x ………………（ 9 分） ∴2121x x k AB -⋅+=24162114)(1222212212-++=-++=k k k x x x x k原点O 到直线的距离为212kd +=………………（ 10 分）∴222221322221241621k k k k d AB S AOB+-=+-=⋅=∆………………（ 11 分）对22212416kk S +-=两边平方整理得:024)4(4422242=++-+S k S k S∵0≠S ,∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>-≥+⨯--⨯0424040)24(44)4(1622222222S S S S S S S 整理得:212≤S , 又0>S , ∴220≤<S . 从而AOB S ∆的最大值为22=S ,………………（ 12 分） 此时代入方程(*)得04928424=+-k k ∴ 214±=k , 所以, 所求直线方程为04214=+-±y x .………………（13 分） 解法二: 令)0(322>-=m k m ,则3222+=m k ∴ 224224222≤+=+=mm m m S ,………………（ 12 分） 当且仅当mm 4=即2=m 时, 22max =S ,此时214±=k , 所以, 所求直线方程为04214=+-±y x .………………（ 13 分） 20．(四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试文)（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x ya b+=(0a b >>)经过(1,1)与两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MA MB =．求证：222112||||||OA OB OM ++为定值． 20．解析（Ⅰ）将(1,1)与代入椭圆C 的方程， 得2222111,331,24a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得23a =，232b =．∴椭圆C 的方程为222133x y +=． ·······························································6分（Ⅱ）由||||MA MB =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．①若点A 、B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点，此时 222112||||||OA OB OM ++22222112112()2b b a a b =++=+=． 同理，若点A 、B 是椭圆的长轴顶点，则点M 在椭圆的一个短轴顶点，此时 222112||||||OA OB OM ++22222112112()2a a b a b=++=+=． ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y kx =（0k ≠）， 则直线OM 的方程为1y x k=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22,21,33y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得212312x k =+，2212312k y k =+， ∴222221123(1)||||12k OA OB x y k +==+=+，同理2223(1)||2k OM k +=+，所以222112||||||OA OB OM ++22222212122(2)23(1)3(1)3(1)k k k k k k +++=++=+++， 故222112||||||OA OB OM ++为定值2． ························································13分 20、(四川省眉山市高中2013届高三第二次诊断性考试理)（本小题13分）设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)是椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 上的两点，已知),(),,(2211a yb x n a y b x m ==，若0=∙，椭圆的离心率23=e ，短轴长为2，O 为坐标原点。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线
2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年高考江西卷（理））过点引直线l与曲线y =,A B 两点, O 为坐标原点,当AOB ∆的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ）A ．B．C．D．【答案】B2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25B ．45CD【答案】C3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 （ ）A．2214x -= B ．22145x y -=C ．22125x y -=D．2212x =【答案】B4 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>),则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D6 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是 （ ）A ．2B ．2C ．1 D【答案】B7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）A ．2 B ．3C ．23D ．26 【答案】D8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的则p = （ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 （ ） A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B10．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知抛物线2:8C yx =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k = （ ）A ．2B ．2CD ．2【答案】D11．（2013年高考北京卷（理））若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y= C ．12y x =±D．2y x =±【答案】B12．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））已知抛物线()211:>02C y x p p=的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A．B． C． D．【答案】D13．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 【答案】D14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））设抛物线2:2(0)C ypx p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为 （ ）A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】C15．（2013年上海市春季高考数学试卷）已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】C16．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为 （ ）A ．4B ．1C ．6-D【答案】A 二、填空题17．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________.【答案】x y 43±= 18．（2013年高考江西卷（理））抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B两点,若ABF ∆为等边三角形,则P =_____________【答案】619．（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___.【答案】320．（2013年高考上海卷（理））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π∠=,若AB=4,BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为________【答案】.21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为___ _____.【答案】),1[+∞22．（ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）抛物线2x y=在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,223．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为_______.【答案】324．（2013年普通高等学校招生统一考试福建）椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________【答案】1-25．（2013年高考陕西卷（理））双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于___9_____.【答案】926．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______.【答案】5727．（2013年上海市春季高考数学）抛物线28yx =的准线方程是_______________【答案】2x =-28．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy 1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.【答案】1-或1029．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.【答案】1± 三、解答题30．（2013年上海市春季高考数学）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程; (2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程.【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=.设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则 2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++ ，，，，， 因为11F P FQ ⊥ ,所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021k k -==+,解得217k =,即7k =±.故直线l 的方程为10x -=或10x -=.31．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.【答案】解:122a PF PF =+==所以,a =又由已知,1c =,所以椭圆C 的离心率2c e a ===()II 由()I 知椭圆C 的方程为2212x y +=.设点Q 的坐标为(x,y).(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q 点坐标为0,2⎛ ⎝⎭(2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+.因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++,则22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQ x y k x =+-=+由222211AQAMAN=+,得()()()22222212211111k x k x k x =++++,即 ()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2212x y +=中,得()2221860kx kx +++= ②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k >. 由②可知12122286,,2121k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得2218103x k =- ③因为点Q 在直线2y kx =+上,所以2y k x-=,代入③中并化简,得()22102318y x --=.由③及232k >,可知2302x <<,即0,22x ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.又0,2⎛ ⎝⎭满足()22102318y x --=,故x ⎛∈ ⎝⎭. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤,又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤,则1,225y ⎛∈- ⎝⎦. 所以点Q 的轨迹方程是()22102318y x --=,其中,x ⎛∈ ⎝⎭,1,22y ⎛∈ ⎝⎦ 32．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,离心率为,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值. 【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =± 由题意知221b a =,即22a b = 又c e a ==2 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2214x y +=量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为24x ≠,001200114()8x x kk kk x x +=-+=-为定值.33．（2013年高考上海卷（理））如图,已知曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”;(3)求证:圆221 2x y+=内的点都不是“C1—C2型点”.【答案】:(1)C1的左焦点为(0)F,过F的直线x=与C1交于(),与C2交于(1))±+,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为x=(2)直线y kx=与C2有交点,则(||1)||1||||1y kxk xy x=⎧⇒-=⎨=+⎩,若方程组有解,则必须||1k>;直线y kx=与C2有交点,则2222(12)222y kxk xx y=⎧⇒-=⎨-=⎩,若方程组有解,则必须212k<故直线y kx=至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”.(3)显然过圆2212x y+=内一点的直线l若与曲线C1有交点,则斜率必存在;根据对称性,不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(,1)(0)t t t+≥,则:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt=+=-⇒-++-=直线l与圆2212x y+=内部有交点,<化简得,221(1)(1)2t tk k+-<+............①若直线l与曲线C1有交点,则2222211()2(1)(1)10212y kx kt tk x k t kt x t ktxy=-++⎧⎪⇒-++-++-+=⎨-=⎪⎩22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2k t kt k t kt t kt k∆=+---+-+≥⇒+-≥-化简得,22(1)2(1)t kt k+-≥-.....②由①②得,222212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<+⇒< 但此时,因为2210,[1(1)]1,(1)12t t k k ≥+-≥+<,即①式不成立;当212k =时,①式也不成立综上,直线l 若与圆2212x y +=内有交点,则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点,即圆2212x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” .34．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)iP i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程; (2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.【答案】解:(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,) i B i ,∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆= OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅< x x ,∴124=-x x 分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y,解得32=±k 直线的方程为3+102=±y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 35．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线2:2(0)E xpy p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .(I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P < ;(II)若点M 到直线l,求抛物线E 的方程. 【答案】解: (Ⅰ)，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A pF02,221211=++-+=p x pk x E px k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121p k p k FM p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒),(2,2,222223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理.)1(2121222221221+=+=⋅⇒k k k k p p k k p k k FN FM222121221212121212)11(1)1(,122,,0,0p p k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>> 所以,22p FN FM <⋅成立. (证毕) (Ⅱ),)]2(2[21)]2()2[(21,212121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆,2同理,221211p p k r p p k r +=+=⇒.,21r r N M 的半径分别为、设圆则21212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、,的方程为：，直线l r y y x x 22234234)()(=-+-0-)(2)(2222123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .0))(-())(())(()(2)(212123412341234123412212212=++--+--+-+-⇒r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p2))((1))(()(2)(2)(2222121222222122212212212212=++-+++-+-+-+-⇒k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒y x k k p k k p p y x55758751)41()41(2|512||52|),(212112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为.36．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D(1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=; (Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y k x k x y =-⇒--=,直线21:10l y x x k y k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==;（第21题图）由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以28||44D P k x x DP k k +=-∴==++所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ∆====++++23232==≤=++当252k k =⇒=⇒=,此时直线1:12l y x =±-37．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程.【答案】38．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））设椭圆2222:11x y E a a +=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上.【答案】解: (Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： .(Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .⎩⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c ycx c m F F QF F m c F y c x F 得：由 解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c xy x y x y x yx y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 所以动点P 过定直线01=-+y x .39．（2013年高考新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【答案】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R.(Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4,由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,的椭圆(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-. (Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为090时,则l 与y 轴重合,可得|AB|=当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则||||QP QM =1Rr ,可求得Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M1=,解得k =. 当k=时,将y =代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x12|x x -=187.当k,由图形的对称性可知|AB|=187, 综上,|AB|=187或|AB|= 40．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为过点F 且与x.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.【答案】41．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b+= ①依题设知2a c =,则223b c = ② ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ 在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y yk x x ==--. 所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++ ⑤④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++, 又312k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--, 令4x =,求得003(4,)1y M x -, 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---,则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-,直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-,所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---,故存在常数2λ=符合题意.42．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24xcy =,=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F作直0x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】44．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S .(I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.【答案】解:(I)12S S λ=()m n m n λ⇒+=-,1111m n m n λλλ++∴==--解得:1λ=+(舍去小于1的根)(II)设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n+=,直线l :ky x =22221ky x x y a m =⎧⎪⎨+=⎪⎩2222221a m k y a m +⇒=A y ⇒= 同理可得,B y =又 BDM ∆和ABN ∆的的高相等12B D B A A B A BS BD y y y y S AB y y y y -+∴===-- 如果存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B y y λλ-=+,即:()()222222222211a n k a n k λλλλ-+=++,解得()()2222232114a k n λλλλ--+=∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .第21题图45．（2013年高考北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O 是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.【答案】解:(I)椭圆W :2214x y +=的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,m ),代入椭圆方程得2114m +=,即m =. 所以菱形OABC 的面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=(II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk+). 因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形. 46．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ) 点B (-1,0), 222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y yy y x y x y 直线PQ方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=-1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)47．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））如图,抛物线()2212:4,:20C xy C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-.(I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】48．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C(I)求,;a b ;(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF =,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.【答案】49．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知抛物线24C y x =： 的焦点为F .(1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程; (2)在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，, 因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1)A A FA x y =- ，, 由2AP FA =-得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，. 即2(1)2A A A A x x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩ 解得2A A x xy y=-⎧⎨=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.(2)设点Q 的坐标为( 0)t ，.点Q 关于直线2y x =的对称点为( )Q x y '，,则122yx t y x t ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=+⎪⎩ 解得3545x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩若Q '在C 上,将Q '的坐标代入24y x =,得24150t t +=,即0t =或154t =-. 所以存在满足题意的点Q ,其坐标为(0 0)，和15( 0)4-，.。
2013高考 数学(理)真题专业解析(四川卷)汇总
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（四川卷）解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ ）A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．∅ 答案：A 思路分析：考点解剖：本题主要考查解方程与集合的基本运算.解题思路：此题准确的求出集A 、B 至关重要，产生两集合后，再求交集即可。
解答过程：易得{}2A =-，{}2,2B =-于是{}2A B =-规律总结：求集合的交与并，首先要正确的求出集合的具体元素或元素所满足的关系式，然后再交或并.2、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D 答案：B 思路分析：考点解剖：本题主要考查共轭复数的概念.解题思路：此题通过两共轭复数之间的关系即可产生结论。
解答过程：由两共轭复数的实部相同，虚部互为相反数，因此答案为B.规律总结：共轭复数的实部相同，虚部互为相反数，在复平面上关于x对称.3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）答案：D思路分析：考点解剖：本题主要考查三视图转化为几何体.解题思路：此题理解好三视图与几何体之间的关系即可。
解答过程：注意到俯视的两个圆，就可以产生结论.规律总结：对于由三视图产生几何体，一定要认真分析图形的特征，仔细分析每个面的形状的特点，然后产生最后结论.4、设x Z∈，集合A是奇数集，集合B是偶数集。
若命题:,2∀∈∈，则（）p x A x B A．:,2p x A x B⌝∀∈∉B．:,2⌝∀∉∉p x A x BC．:,2⌝∃∉∈p x A x BD．:,2⌝∃∈∉p x A x B答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查含有一个量词的命题的否定.解题思路：此题理解好含有一个量词的命题与其否定之间的形式转化即可。
2013年高考理科数学四川卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共28页）数学试卷 第2页（共28页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学(理工类)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|20}A x x =+=,集合2{|40}B x x =-=,则A B =( )A .{2}-B .{2}C .{2,2}-D .∅2.如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( )A .AB .BC .CD .D3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )A .B .C .D .4.设x ∈Z ,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则 ( )A .,2p x A xB ∈⌝∀∉： B .,2p x A x B ∉⌝∀∉：C .,2p x A x B ∉⌝∃∈：D .,2p x A x B ∈⌝∃∉：5.函数ππ()2sin()(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象 如图所示,则,ωϕ的值分别是( )A .π2,3-B .π2,6- C .π4,6-D .π4,36.抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是( )A .12B .32C .1D .3 7.函数231x x y =-的图象大致是( )A .B .C .D .8.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是( )A .9B .10C .18D .209.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是 ( )A .14B .12C .34D .7810.设函数()e x f x x a =+-(a ∈R ,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )A .[1,e]B .1[e1,1]-－C .[1,e 1]+D .1[e 1,e 1]-+－-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第3页（共28页）数学试卷 第4页（共28页）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色 墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是 （用数字作答）. 12.在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ= . 13.设sin 2sin αα=-,π(,π)2α∈,则tan 2α的值是 .14.已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是 . 15.设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点,在平面α内的所有点中,若点P 到点12,,,n P P P 的距离之和最小,则称点P 为点12,,,n P P P 的一个“中位点”.例如,线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点.现有下列命题：①若三个点,,A B C 共线,C 在线段AB 上,则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线,则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.17.(本小题满分12分)在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且22cos cos sin()sin 2A BB A B B ---3cos()5A C +=-＋.（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若42a =,5b =,求向量BA 在BC 方向上的 投影.18.(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生. （Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）运行 次数n 输出y 的值 为1的频数 输出y 的值 为2的频数 输出y 的值 为3的频数 30 14 6 10 2 100 1 027 376 697运行次数n 输出y 的值 为1的频数 输出y 的值 为2的频数 输出y 的值 为3的频数30 12 11 7 2 1001 051 696 353当2100n =时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示）,并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大； （Ⅲ）将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 的中点.（Ⅰ）在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线 l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N--的余弦值.20.(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.21.(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,,,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <. （Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,求21x x -的最小值； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围.3 / 142013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】{+2=0}A x x =，{2}A ∴=-，2{40}B x x =-=，{2,2}B ∴=-，{2}A B ∴=-.【提示】分别求出集合A 和集合B 的解集，即可求交集. 【考点】集合的基本运算 2.【答案】B【解析】设+i(,)z a b a b =∈R ，且0a <，0b >，则z 的共轭复数为i a b -，其中0a <，0b -<. 【提示】复数z 表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称. 【考点】复平面 3.【答案】D【解析】由俯视图的圆环可排除A ，B ，进一步将已知三视图还原为几何体. 【提示】由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体. 【考点】平图形的直观图，三视图 4.【答案】D【解析】命题p 是全称命题：,2x A x B ∀∈∈，则p ⌝是特称命题：,2x A x B ∃∉∉. 【提示】全称命题的否定，将∀改为∃，将2x B ∈改为2x B ∈. 【考点】全称量词，存在量词 5.【答案】A 【解析】35π3ππ41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，πT ∴=，2ππω∴=，2ω∴=.由图象知当5π12x =时， 5π2π+=2π+()122k k ϕ⨯∈Z ，即π2π()3k k ϕ=-∈Z ，π3ϕ∴=-. 【提示】由图象可得35π3ππ41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得πT =，求得ω的值，由图象知当5π12x =时，5π2π+=2π+()122k k ϕ⨯∈Z ，即可求ϕ的值. 【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其变化数学试卷 第7页（共28页）6.【答案】B【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，则焦点到渐近线的距离122|310|32(3)(1)d ⨯-==+-或22|310|32(3)1d ⨯+==+. 【提示】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离.【考点】双曲线，抛物线的基本性质 7.【答案】C【解析】由310x-≠得0x ≠，所以函数331x x y =-的定义域{0}x x ≠，可排除A ；当1x =-时，1301213y -==>-，可排除B ；当2x =时，1y =，当4x =时，6480y =，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0,)+∞上是单调增函数，两者矛盾，故选C .【提示】由函数解析式可得该函数定义域；取1x =-代入函数，与图象比较；取两点代入函数，观察函数单调性，与图象相比较即可得出答案. 【考点】函数图象的判断 8.【答案】C【解析】从1，3，5，7，9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数2520A =，但lg1lg3lg3lg9-=-，lg3lg1lg9lg3-=-，所以不同值的个数为20218-=.【提示】从1，3，5，7，9五个数中每次取出两个不同数的排列个数2520A =，相同值的个数为2个，即可求不同值的个数.【考点】排列组合及其应用 9.【答案】C【解析】设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则04x ≤≤，04y ≤≤，而事件发生的概率为||2x y -≤，可行域如图阴影部分所示，由几何概型得22142(22)3244P -⨯⨯⨯==.5 / 14【提示】设第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，由题意可知x ，y 的取值范围，而事件发生的概率为||2x y -≤，画出可行域，可求概率. 【考点】几何概型 10.【答案】A【解析】由已知点00(,)x y 在曲线sin y x =上，得000sin ,[0,1]y x y =∈，即存在0[0,1]y ∈使00(())f f y y =成立，则点00(,())A y f y ，00((),)A f y y '都在的图象上，又()e x f x x a =+-在[0,1]上单调递增，所以()()0A A A A x x y y ''--≥，0000[()][()]0f y y y f y ∴--≥，200[()]0f y y ∴-≤，∴00()f y y =，所以()f x x=在[0,1]上有解，2e ,[0,1]x a x x x ∴=+-∈，令2()e ,[0,1]x x x x x ϕ=+-∈，()x ϕ在[0,1]上单调递增，又(0)1ϕ=，(1)e ϕ=，()[1,e]x ϕ∴∈即[1,e]a ∈.【提示】由题意得得000sin ,[0,1]y x y =∈，即存在0[0,1]y ∈使00(())f f y y =成立，则点00(,())A y f y ，00((),)A f y y '都在的图象上，又()e x f x x a =+-在[0,1]上单调递增，所以()f x x =在[0,1]上有解，令2()e ,[0,1]x x x x x ϕ=+-∈，根据()x ϕ的单调性，即可求a 的范围.【考点】函数零点的应用第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】10【解析】323234510T C x y x y ==，故填10.【提示】由二项式展开式的通项公式或直接展开可得. 【考点】二项式展开式 12.【答案】2【解析】由向量加法的平行四边形法则，得AB AD AC +=又O 是AC 的中点，2AC AO ∴=，2AC AO ∴=，AB AD AO λ∴+=，2λ∴=.【提示】由向量加法的平行四边形法则得AB AD AC +=，由中点向量公式得2AC AO =，即可求λ的值. 【考点】平面向量的四则运算数学试卷 第11页（共28页）13.【答案】3【解析】由题意得1cos 2α=-而π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2π3α∴=，4πtan2tan πtan 333α∴===.【提示】由题意可得1cos 2α=-，根据α的取值范围可求出α的值，利用二倍角正切公式可求. 【考点】二倍角公式 14.【答案】73x -<<【解析】设0x <，则0x ->，当0x ≥时，2()4f x x x =-，2()4f x x x ∴-=-，故()f x 为在定义域上的偶函数，224,0()+4,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨<⎩，由()5f x =得5x =或5x =-，所以()5f x <得55x -<<，由(2)5f x +<得73x -<<，所以不等式的解集为73x -<<.【提示】由()f x 为在定义域上的偶函数得出函数解析式，令()5f x =得到x 的取值范围，根据偶函数性质即可求出(2)5f x +<的解集. 【考点】解不等式 15.【答案】①④【解析】||+||||CA CB AB =当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，所以点C 是中位点，故①为真命题；②③为假命题；若P 为点A ，C ，则点P 在线段AC 上，若点P 是B ，D 的中位点，则点P 在线段BD 上，所以若点P 是A ，B ，C ，D 的中位点，则P 是AC ，BD 的交点.所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题.【提示】由“中位点”可知，若C 在线段AB 上，则线段AB 上任一点都为“中位点”，C 也不例外；若P 为点A ，C ，则点P 在线段AC 上，若点P 是B ，D 的中位点，则点P 在线段BD 上，所以若点P 是A ，B ，C ，D 的中位点，则P 是AC ，BD 的交点. 【考点】新定义 三、解答题16.【答案】数列{}n a 的首项为4，公差为0；或首项为1，公差为3；前n 项和4n S n =或232n n nS -=【解析】设该数列公差为d ，前n 项和为n S .由已知，可得1228a d +=，2111(3)()(8)a d a d a d +=++，所以14a d +=，1(3)0d d a -=， 解得14a =，0d =，或11a =，3d =，即数列{}n a 的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.7 / 14所以数列的前n 项和4n S n =或232n n nS -=.【提示】设该数列公差为d ，前n 项和为n S ，由已知，可得1228a d +=，2111(3)()(8)a d a d a d +=++，解除1a 与d ，由前n 项和公式可求n S . 【考点】等差数列的性质 17.【答案】（Ⅰ）3cos 5A =-（Ⅱ）2||cos 2BA B = 【解析】（Ⅰ）由232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-，得3[cos()1]cos sin()sin cos 5A B B A B B B -+---=-，即3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-，则3cos()5A B B -+=-，即3cos 5A =-.（Ⅱ）由3cos ,0π5A A =-<<，得4sin 5A =，由正弦定理，有sin sin a bA B=， 所以，sin 2sin 2b A B a ==. 由题知a b >，则A B >，故π4B =. 根据余弦定理，有2223(42)5255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得1c =或7c =-（舍去）.故向量BA 在BC 方向上的投影为2||cos 2BA B =. 【提示】（Ⅰ）根据三角形中角的关系利用公式化简可得； （Ⅱ）由3cos ,0π5A A =-<<，得4sin 5A =，根据正弦定理求得B 的值，根据余弦定理求得c 的值，即可求投影.【考点】正弦定理，余弦定理18.【答案】（Ⅰ）变量x 是在1，2，3，……24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能. 当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故112P =；数学试卷 第15页（共28页）当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故213P =； 当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故316P =. （Ⅱ）当2100n =时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为(123)i i =,,的频率如下： 输出y 的值为1的频率输出y 的值为2的频率输出y 的值为3的频率甲 10272100 3762100 6972100 乙10512100 6962100 3532100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. （Ⅲ）随机变量ξ可能取值为0，1，2，3.030031283327P C ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12113124339P C ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21223122339P C ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，303331213327P C ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故ξ的分布列为ξ0 1 2 3P 82749 29 127 所以8421()01+2+3=1279927E ξ=⨯+⨯⨯⨯ 即ξ的数学期望为1.【提示】（Ⅰ）当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 的值为1，当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 的值为2，当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y 的值为3，从而得出输出y 的值为1的概率为12；输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16； （Ⅱ）当2100n =时，列出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大；（Ⅲ）随机变量ξ可能取值为0，1，2，3，求出相应取值的概率，列出分布列，即可求期望值. 【考点】选择结构的程序框图19.【答案】（Ⅰ）如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l BC ∥，因为l 在平面1A BC 外，BC 在平面1A BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面1A BC .9 / 14由已知，AB AC =，D 是BC 中点，所以BC AD ⊥，则直线l AD ⊥， 又因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA l ⊥，又因为AD ，1AA 在平面11ADD A 内，且AD 与1AA 相交， 所以直线l ⊥平面11ADD A .（Ⅱ）解法一：连接1A P ，过A 作1AE A P ⊥于E ，过E 作1EF A M ⊥于E ，连接AF . 由（Ⅰ）知，MN ⊥平面1AEA ，所以平面1AEA ⊥平面1A MN ， 所以AE ⊥平面1A MN ，则1A M AE ⊥， 所以1A M ⊥平面AEF ，则1A M ⊥AF ，故AFE ∠为二面角1A A M N --的平面角（设为θ）. 设11AA =，则由12AB AC AA ==，120BAC ∠=， 有60BAD ∠=，2AB =，1AD =.又P 为AD 的中点，所以M 为AB 的中点，且1AM =，12AP =， 在1Rt AA P △中，152A P =；在1Rt A AM △中，12A M =， 从而，1115AA AP AE A P ==，1112AA AM AF A M ==， 所以2sin 5AE AF θ==， 所以22215cos 1sin 155θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故二面角1A A M N --的余弦值为155. 解法二：设11AA =，如图，过1A 作1A E 平行于11B C ，以1A 为坐标原点，分别以1A E ，11A D ，1AA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz （点O 与点1A 重合），则1(0,0,0)A ，(0,0,1)A . 因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点，故31,,122M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以131 ,,1 22A M⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,0,1A A=，(3,0,0)NM=.设平面1AA M的一个法向量为1111(,,)n x y z=，则1111n A Mn A A⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即1111n A Mn A A⎧=⎪⎨=⎪⎩，故有11111131(,,),,1022(,,)(0,0,1)0x y zx y z⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，从而11113122x y zz⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取11x=，则13y=-，所以1(1,3,0)n=-.设平面1A MN的一个法向量为2222(,,)n x y z=，则212n A Mn NM⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即212n A Mn NM⎧=⎪⎨=⎪⎩，故有22222231(,,),,1022(,,)(3,0,0)0x y zx y z⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，从而2222312230x y zx⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取22y=，则21z=-，所以2(0,2,1)n=-.设二面角1A A M N--的平面角为θ，又θ为锐角，则1212(1,3,0)(0,2,1)15cos5||||25n nn nθ--===.故二面角1A A M N--的余弦值为155.【提示】（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l BC∥，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面1A BC平行.等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD BC⊥，故l AD⊥.再由1AA⊥底面ABC，可得1AA l⊥.再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面11ADD A；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）的结论得出平面1AEA⊥平面1A MN，从而证得AFE∠为二面角1A A M N--的平数学试卷第19页（共28页）11 / 14面角，设11AA =，可求出AB 、AD 、A 1M 、A 1P 、AE 和AF 的长，最后余弦定理，算出二面角1A A M N --的余弦值；解法二：分别以1A E ，11A D ，1AA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，求出平面1AA M 和平面1A MN 的法向量，即可求出两法向量所成角的余弦值.【考点】二面角平面角的基本知识20.【答案】（Ⅰ）22（Ⅱ）Q 的轨迹方程是2210(2)318y x --=，135,225y ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）22221241412||||11223333a PF PF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2a =.又由已知，1c =，所以椭圆C 的离心率22c e a ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C 的方程为2212x y +=，设点Q 的坐标为(,)x y . （1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0,1)-两点，此时Q 点坐标为350,25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭； （2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为2y kx =+，因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为11(,2)x kx +，22(,2)x kx +，则2221||(1)AM k x =+，2222||(1)AN k x =+，22222||+(2)(1)AQ x y k x ==+-由222211||||||AQ AM AN =+， 得22222212211(1)(1)(1)k x k x k x =++++， 即21212222221211()2212x x x x x x x x x +-=+=① 将2y kx =+代入2212x y +=中， 得22(21)860k x kx +++=②由22(8)4(21)60k k ∆=-⨯+⨯>，得232k >. 由②可知122821k x x k +=-+，122621x x k =+代入①中并化简，得2218103x k =-③， 因为点Q 在直线2y kx =+上，所以2y k x -=， 代入③中并化简，得2210(2)318y x --=.由③及232k >，可知302x <<，即66,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又350,25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭满足2210(2)318y x --=，故66,22x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭. 由题意，(,)Q x y 在椭圆C 内部，所以11y -≤≤，又由22210(2)3183y x x --=+有299(2),54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤， 则135,225y ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以点Q 的轨迹方程是2210(2)318y x --=，其中135,225y ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭.【提示】（Ⅰ）由椭圆的定义得出122||||22a PF PF =+=，求出2a =，由已知得1c =，可求离心率； （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C 的方程，设点Q 的坐标为(,)x y ，当直线l 与x 轴垂直时，求出Q 的坐标；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为2y kx =+，M 、N 的坐标分别为11(,2)x kx +、22(,2)x kx +，将直线代入椭圆方程得22(21)860k x kx +++=，求出12x x +，12x x 的值.将坐标代入222211||||||AQ AM AN =+可得21212222221211()2212x x x x x x x x x +-=+=，化简得2218103x k =-，将k 代入，求得2210(2)318y x --=，可出Q 的轨迹方程.【考点】圆锥曲线中的轨迹问题21.【答案】（Ⅰ）函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，单调递增区间为[1,0)-，(0,)+∞（Ⅱ）1（Ⅲ）(ln 21,)--+∞【解析】（Ⅰ）函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，单调递增区间为[1,0)-，(0,)+∞；（Ⅱ）由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为1()f x '，点B 处的切线斜率为2()f x '，13 / 14故当点A 处的切线与点B 处的切垂直时，有12()()1f x f x ''=-.当0x <时，对函数()f x 求导，得()22f x x '=+，因为120x x <<，所以12(22)(22)1x x ++=-，所以1(22)0x +<，2(22)0x +>，因此2112121[(22)(22)](22)(22)12x x x x x x -=-+++≥-++=，当且仅当12(22)(22)1x x ++=-，即1231=22x x =-且时等号成立.所以函数()f x 的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，21x x -的最小值为1.（Ⅲ）当120x x <<或210x x >>时，12()()f x f x ''≠，故120x x <<.当10x <时，函数()f x 的图象在点11(,())x f x 处的切线方程为 21111(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，即211(22)y x x x a =+-+；当20x >时，函数()f x 的图象在点22(,())x f x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-. 两切线重合的充要条件是12221122ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①②，由①及120x x <<知，110x -<<，由①②得，2211111+ln 1ln(22)122a x x x x =-=-+-+. 设211111()ln 1(10)22h x x x x =+--<<+， 则1111()201h x x x '=-<+， 所以11()(10)h x x -<<是减函数，则1()(0)ln 21h x h >=--，所以ln 21a >--.又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时，1()h x 无限增大，所以a 的取值范围是(ln 21,)--+∞.故当函数()f x 的图象在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(ln 21,)--+∞.【提示】（Ⅰ）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）由导数的几何意义知，点A 处的切线的斜率为1()f x '，点B 处的切线的斜率为2()f x '，再利用()f x 的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，斜率之积等于1-，得出12(22)(22)1x x ++=-，后利用基本不等式可求21x x -的最小值；（Ⅲ）先根据导数的几何意义写出函数()f x 在点A ，B 处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出211ln(22)1a x x =-+-，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a 的取值范围.【考点】不等式的综合应用。
2013年全国高考(理科)数学试题分类汇编：圆锥曲线
2013全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1（高考江西卷（理））过点引直线l与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于（ ）A ．y EB BC CD=++3B．3-C．3±D． B2（福建数学（理）试题）双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25B ．45CC3（广东省数学（理）卷）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A．2214x =B ．22145x y -=C ．22125x y -=D．2212x =*B4（高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±*C5（高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等*D6（高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ） A ．12B．1D*B 7（浙江数学（理）试题）如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23D ．26*D8（天津数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3*C9（大纲版数学（理））椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，*B 10（大纲版数学（理））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12B ．2CD ．2*D11（高考北京卷（理））若双曲线22221x y a b-=,则其渐近线方程为（ ）A ．y =±2xB ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±*B 12（山东数学（理）试题）已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A．B．C．D．*D13（高考新课标1（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=*D 14（新课标Ⅱ卷数学（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ） A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =*C15（上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线*C16（重庆数学（理）试题）已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ） A．4B1C．6-A二、填空题17（江苏卷（数学））双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________.*x y 43±= 18（高考江西卷（理））抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF ∆为等边三角形,则P =_____________*619（高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___.*320（高考上海卷（理））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π∠=,若AB=4,BC =则Γ的两个焦点之间的距离为________*3. 21（安徽数学（理）试题）已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为________.*),1[+∞22（江苏卷（数学））抛物线2x y =在1=x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.*⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,223（江苏卷（数学））在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为_______. 24（福建数学（理）试题）椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________1-25（高考陕西卷（理））双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于___9_____.*926（辽宁数学（理）试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =____*5727（上海市春季高考数学试卷(含答案)）抛物线28y x =的准线方程是______________*2x =- 28（江苏卷（数学））在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为______*1-或1029（浙江数学（理）试题）设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.*1±三、解答题30（上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程.*[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则 因为11F P FQ ⊥,所以110F P FQ ⋅=,即 2271021k k -==+, 解得217k =,即7k =±. 故直线l的方程为10x -=或10x -=.31（高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.*解:122a PF PF =+==所以,a =又由已知,1c =,所以椭圆C的离心率2c e a ===()II 由()I 知椭圆C 的方程为2212x y +=.设点Q 的坐标为(x,y).(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q 点坐标为0,25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+.因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++,则22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQ x y k x =+-=+由222211AQAMAN=+,得()()()22222212211111k x k x k x =++++,即 ()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+=① 将2y kx =+代入2212x y +=中,得 ()2221860kx kx +++=②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k >. 由②可知12122286,,2121k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得2218103x k =-③因为点Q 在直线2y kx =+上,所以2y k x-=,代入③中并化简,得()22102318y x --=.由③及232k >,可知2302x <<,即60,22x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又0,2⎛-⎝⎭满足()22102318y x --=,故22x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤, 又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤,则1,225y ⎛∈-⎝⎦. 所以点Q 的轨迹方程是()22102318y x --=,其中,22x ⎛∈-⎝⎭,1,22y ⎛∈- ⎝⎦ 32（山东数学（理）试题）椭圆2222:1xy C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值. *解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =±由题意知221b a =,即22a b =又c e a ==2所以2a =,1b =所以椭圆方程为2214x y +=(Ⅱ11||||PF PMPF PM ⋅=22||||PF PM PF PM ⋅,11||PF PM PF ⋅=22||PF PM PF ⋅,设P 204x ≠,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为204x ≠, (2,2)∈-,所以33(,)22m ∈-为椭圆的在p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:001200114(8x x kk kk x x ++=-+=-为定值. 33（高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”; (3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”. *:(1)C 1的左焦点为(F ,过F 的直线x =与C 1交于()2±,与C 2交于(1))±,故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”,且直线可以为x =(2)直线y kx =与C 2有交点,则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩,若方程组有解,则必须||1k >; 直线y kx =与C 2有交点,则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩,若方程组有解,则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点,即原点不是“C 1-C 2型点”.(3)显然过圆2212x y +=内一点的直线l 若与曲线C 1有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥,则直线l 与圆2212x y +=内部有交点,2<化简得,221(1)(1)2t tk k +-<+............① 若直线l 与曲线C 1有交点,则化简得,22(1)2(1)t kt k +-≥-.....②由①②得,222212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<+⇒< 但此时,因为2210,[1(1)]1,(1)12t t k k ≥+-≥+<,即①式不成立;当212k =时,①式也不成立综上,直线l 若与圆2212x y +=内有交点,则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点,即圆2212x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” .34（福建数学（理）试题）如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.*解:(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤i A i Ni 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ,∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x又120⋅<x x ,∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y,解得32=±k直线的方程为3+102=±y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 35（高考湖南卷（理））过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l . (I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P <; (II)若点M 到直线l的距离的最小值为5,求抛物线E 的方程. *解: (Ⅰ) ，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A pF ),(2,20,2211211212112221121p k p k FM p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒),(2,2,222223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理.222121221212121212)11(1)1(,122,,0,0p p k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>> 所以,22p FN FM <⋅成立. (证毕) (Ⅱ),)]2(2[21)]2()2[(21,212121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆.,21r r N M 的半径分别为、设圆则21212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、,0-)(2)(2222123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .55758751)41()41(2|512||52|),(212112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为.36（浙江数学（理）试题）如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D(1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.*解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=; (Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以 28||44D P k x x DP k k +=-∴==++,所以 （第21题图）11||||22444313ABDS AB DP k k k ∆==⨯==++++2323213==≤=++当252k k =⇒=⇒=时等号成立,此时直线1:12l y x =±- 37（重庆数学（理）试题）如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率2e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=. (1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程.*38（安徽数学（理）试题）设椭圆2222:11x y E a a+=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P F Q ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上.*解:(Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为：. (Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x P F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a . 所以动点P 过定直线01=-+y x .39（高考新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.*由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R. (Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4,由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-.(Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R ≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为090时,则l 与y 轴重合,可得|AB|=当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则||||QP QM =1Rr ,可求得Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M1=,解得k =. 当k=时,将y x =+代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x,∴12||x x -=187.当k时,由图形的对称性可知|AB|=187, 综上,|AB|=187或|AB|= 40（天津数学（理）试题）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,, 过点F 且与x.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.*41（高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.*解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b +=① 依题设知2a c =,则223b c =② ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =-③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=,设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y yk x x ==--. 所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++⑤④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++, 又312k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--, 令4x =,求得003(4,)1y M x -, 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---, 则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-,直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-,所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---,故存在常数2λ=符合题意.42（广东省数学（理）卷）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为322.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.*(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,由023222c --=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.43（新课标Ⅱ卷数学（理））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直0x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.*44（高考湖北卷（理））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S . (I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.*解:(I)12S S λ=()m n m n λ⇒+=-,1111m n m n λλλ++∴==--解得:1λ=+(舍去小于1的根)(II)设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n+=,直线l :ky x =同理可得,又BDM ∆和ABN ∆的的高相等如果存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B y y λλ-=+,即:()()222222222211a n k a n k λλλλ-+=++,解得()()2222232114a k n λλλλ--+=∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .45（高考北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O 是坐标原点. (I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.*解:(I)椭圆W :2214x y +=的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1,m ),代入椭圆方程得2114m +=,即2m =±. 所以菱形OABC 的面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=. (II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠.第21题图由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414kmk -+,214m k +).因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形. 46（高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.*解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ)点B (-1,0),222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y yy y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=-所以,直线PQ 过定点(1,0)47（辽宁数学（理）试题）如图,抛物线()2212:4,:20C xy C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-.(I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为*48（大纲版数学（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C(I)求,;a b ;(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF =,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.*49（上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知抛物线2 4C y x =：的焦点为F . (1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程;(2)在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.*(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，,因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =-，, 由2AP FA =-得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，. 即2(1)2A A A Ax x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩解得2A A x x y y =-⎧⎨=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.(2)设点Q 的坐标为( 0)t ，.点Q 关于直线2y x =的对称点为( )Q x y '，, 则122yx t y x t⎧=-⎪⎪-⎨⎪=+⎪⎩解得3545x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 若Q '在C 上,将Q '的坐标代入24y x =,得24150t t +=,即0t =或154t =-. 所以存在满足题意的点Q ,其坐标为(0 0)，和15( 0)4-，.。
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一、选择题:4．(四川省凉山州2013届高三第三次诊断理)若y=2x 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线,则该双曲线的离心率为A BC ．2D 【答案】D2. (四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试文)抛物线x 2=-4y 的准线方程是 A. x=-1 B. x=2 C.y=1 D. y=-2【答案】C9. (四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试文)0(122>>=+b a b y 与离心率为2)0,0(122>>=+n m ny 的公共焦点 是F 1 F 2,点P 是两曲线的一个公共点，若cos ∠A.C.510【答案】D8. (四川省南充市高2013届第三次高考适应性考试理)已知抛物线()022>=p px y 与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为 （ ） A.12+B.13+C.215+ D.2122+【答案】A8. (四川省宜宾市高中2013届高三二诊考试理)设直线的斜率为2且过抛物线)0(2≠=a ax y 的焦点F ，又与y 轴交于点A ，O 为坐标原点，若OAF ∆的面积为4，则抛物线的方程为： （A ）x y 42= （B ）x y 82= （C ）x y 42±= （D ） x y 82±= 【答案】D5．(四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试文)以抛物线24y x =的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是（A ）22(2)4x y -+= （B ）22(1)4x y -+= （C ）22(2)2x y -+=（D ）22(1)2x y -+=【答案】B10. (四川省宜宾市高中2013届高三二诊考试理) 如图，轴截面为边长为34等边三角形的圆锥，过底面圆周上任一点作一平面α，且α与底面所成二面角为6π，已知α与圆锥侧面交线的曲线为椭圆，则此椭圆的离心率为（ ） （A ）43 （B ）23 （C ）33 （D ） 22 【答案】C6、(四川省成都十二中2013届高三3月考理)设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ B ）A. 340x y ±=B. 430x y ±=C. 350x y ±=D. 540x y ±=二、填空题:14. (四川省成都市2013届高三第三次诊断理）已知双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 与抛物线y 2=8x有公共的焦点F ，它们在第一象限内的交点为M.若双曲线C 的离心率为2，则 |MF|=_____. 【答案】514. (四川省南充市高2013届第三次高考适应性考试理) P 点在椭圆22143x y +=上运动,Q ，R 分别在两圆22(1)1x y ++=和22(1)1x y -+=上运动，则|PQ|+|PR|的最大值为【答案】612．(四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试文)双曲线2216416y x -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离等于 ． 【答案】1714、(四川省眉山市高中2013届高三第二次诊断性考试理)已知点M 是抛物线x y 42=上的一点，F 为抛物线的焦点，点A 在圆1)1()4(:22=-+-y x C 上，则||||MF MA +的最小值为 . 【答案】412. (四川省成都十二中2013届高三3月考理)双曲线21(0)x y a a-=>,则a 的值为三、解答题:20. (四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试文)(本小题满分已知椭圆C:0(12222>>=+b a b y a x 原点为圆心，椭圆c 的短半轴长为半径的圆与直线 02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直，如图.(I )求椭圆的标准方程；(II)设G 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，GH 丄x 轴，H 为垂足，延长HG 到点Q 使得HG=GQ,连接AQ 并延长交直线l 于点M,点N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论.20．解：（Ⅰ）由题可得：e =c a =． ∵ 以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y +2=0相切，，解得b =1．再由a 2=b 2+c 2，可解得：a =2．∴ 椭圆的标准方程：2214x y +=．……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A (-2，0)，B (2，0)，直线l 的方程为：x =2． 设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是H (x 0，0)，Q (x 0，2y 0)，且有220014x y +=，即4y 02=4-x 02．设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为：k AQ ，k BQ ， ∵220000220000224412244AQ BQy y y x k k x x x x -⋅=⋅===-+---，即AQ ⊥BQ ， ∴ 点Q 在以AB 为直径的圆上． ∵ 直线AQ 的方程为：002(2)2y y x x =++， 由002(2)22y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，， 解得：00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，，即008(2)2y M x +，，∴ 004(2)2y N x +，． ∴ 直线QN 的斜率为：0000000220000422222442QN y y x x y x y x k x x y y -+---====--，∴ 0000212OQ QN y x k k x y -⋅=⋅=-，于是直线OQ 与直线QN 垂直， ∴直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． …………………………………13分20. (四川省南充市高2013届第三次高考适应性考试理)（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为：3+-（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P 在椭圆上，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，且满足t PF PF =⋅21，求实数的范围； （Ⅲ）过点Q(1,0 )作直线l (与x 轴不垂直）与椭圆交于M,N 两点，与y 轴交于点R ，若NQ RN MQ RM μλ==,，求证：μλ+为定值.20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+223223c a c a ，得⎪⎩⎪⎨⎧==223c a ，1222=-=c a b ，所以椭圆方程为1922=+y x ………………4分（Ⅱ）设12(,),(P x y F F -12(,),,)PF x y PF x y ∴=--=-122222(,,)88PF PF x y x y x y x y ⋅=----=-+=+-P 在椭圆1922=+y x 上 2219x y ∴=-222128879t PF PF x y x ∴=⋅=+-=-209x ≤≤ 71t ∴-≤≤故所求实数的范围为[]7,1-………………8分（Ⅲ）依题意，直线的斜)1(-=x k y ，设11223(,),(,),(0,)M x y N x y R y ，则N M ,两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=19)1(22y x x k y ， 消去y 整理得09918)91(2222=-+-+k x k x k ，所以221212221899,1919k k x x x x k k -+==++，① ………………10分 因为MQ RM λ=，所以()11311(,)1,0(,)x y y x y λ-=-⎡⎤⎣⎦，即11131(1)x x y y y λλ=-⎧⎨-=-⎩，因为l 与x 轴不垂直，所以11x ≠，则111x x λ=-，又NQ RN μ=，同理可得221x x μ=-， 所以1212121212122111()x x x x x x x x x x x x λμ+-+=+=---++ 由①式代人上式得49-=+μλ ………………13分 20．(四川省宜宾市高中2013届高三二诊考试理)（本小题满分13分）已知椭圆的中心在坐标原点O, 焦点在x 轴上,, 两准线间的距离为4. (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线过点P(0, 2)且与椭圆相交于A.、B 两点, 当△AOB 面积取得最大值时, 求直线的方程.20．解：(Ⅰ) 设椭圆方程为 )0(12222>>=+b a by a x ……（ 1 分）由已知得⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===112422222222c b a c b a c ac b ……（ 3 分） ∴. 所求椭圆方程为1222=+y x . ………………（ 4 分）(Ⅱ)解法一:由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为2+=kx y ,),(),,(2211y x B y x A , ………………（ 5 分）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222y x kx y ，消去y 得关于x 的方程: 068)21(22=+++kx x k , ………………（ 7 分）由直线与椭圆相交于A 、B 两点, ∴0)21(2464022>+-⇒>∆k k解得232>k . …………（ 8 分） 又由韦达定理得⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅+-=+221221216218k x x k k x x ………………（ 9 分） ∴2121x x k AB -⋅+=24162114)(1222212212-++=-++=k k k x x x x k原点O 到直线的距离为212kd +=………………（ 10 分）对22212416kk S +-=两边平方整理得:024)4(4422242=++-+S k S k S ∵0≠S ,∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>-≥+⨯--⨯0424040)24(44)4(1622222222S S S S S S S 整理得:212≤S , 又0>S , ∴220≤<S . 从而AOB S ∆的最大值为22=S ,………………（ 12 分） 此时代入方程(*)得04928424=+-k k ∴ 214±=k , 所以, 所求直线方程为04214=+-±y x .………………（13 分） 解法二: 令)0(322>-=m k m ,则3222+=m k ∴ 224224222≤+=+=mm m m S ,………………（ 12 分） 当且仅当mm 4=即2=m 时, 22max =S ,此时214±=k ,20．(四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试文)（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)经过(1,1)与两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MA MB =．求证：222112||||||OA OB OM ++为定值．20．解析（Ⅰ）将(1,1)与代入椭圆C 的方程， 得2222111,331,24a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得23a =，232b =．∴椭圆C 的方程为222133x y +=． ··············································································· 6分（Ⅱ）由||||MA MB =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称． ①若点A 、B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点，此时 222112||||||OA OB OM ++22222112112()2b b a a b =++=+=． 同理，若点A 、B 是椭圆的长轴顶点，则点M 在椭圆的一个短轴顶点，此时 222112||||||OA OB OM ++22222112112()2a a b a b =++=+=． ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y kx =（0k ≠）， 则直线OM 的方程为1y x k=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22,21,33y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得212312x k =+，2212312k y k =+， ∴222221123(1)||||12k OA OB x y k +==+=+，同理2223(1)||2k OM k +=+，所以222112||||||OA OB OM ++22222212122(2)23(1)3(1)3(1)k k k k k k +++=++=+++， 故222112||||||OA OB OM ++为定值2． ······································································· 13分 20、(四川省眉山市高中2013届高三第二次诊断性考试理)（本小题13分）设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)是椭圆)0(12222>>=+b a bxa y 上的两点，已知),(),,(2211a y b x a y b x ==，若0=∙，椭圆的离心率23=e ，短轴长为2，O 为坐标原点。