2018年高三最新 福建省福州一中2018届高三数学(文科)中档题训练(4)附答案 精品
福建省福州市2018届高三上学期期末考试数学(文)试卷及答案
福州市2018届高三上学期期末考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合()(){}610A x x x =-+<，{}10B x x =->，则A B ⋂=（ ） A ．()1,6- B ．()1,1- C ．()1,6 D ．∅2.若复数11az i=++为纯虚数，则实数（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．23.已知()()1,2,1,1a b ==-r r ，2c a b =-r r r，则c =r （ ）A ．24sin 15cos15︒-︒︒= （ ）A ．12B C ．1 D5.已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在x 若点M 在C 上，且12MF MF ⊥，M C 的方程为（ ）A ．22148x y -= B ．22148y x -= C ．2212y x -= D ．2212x y -=6.已知圆柱的高为2表面积等于（ ） A ．4π B ．163π C ．323π D ．16π 7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.图中的(),Mod N m n =表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如()10,31Mod =.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）A ．23B ．38C ．44D ．58 8. 将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移12个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A ．sin 2cos y x x =- B ．2sin cos y x x =- C ．sin 2cos y x x =-+ D ．2sin cos y x x =--9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．24223+B ．22243+C ．263+．842+10.已知函数()22log ,0,41,0.x x a x f x x -+>⎧⎪=⎨-≤⎪⎩若()3f a =，则()2f a -=（ ）A ．1516-B ．3C ． 6364-或3D ．1516-或311.过椭圆()2222:10x y C a ba b =>>+的右焦点作x 轴的垂线，交C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点.若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭12.已知函数()2x x f x e e -=+，若关于x 的不等式()()20f x af x -≤⎡⎤⎣⎦恰有3个整数解，则实数a 的最小值为（ ）A ．1B ．2eC ．21e +D ．331e e+第Ⅱ卷（共90分）13、 填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是 ．14.曲线3222y x x x =-+在1x =处的切线方程为 ．15.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c )cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为 ．16.某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是 元.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且21n n S a =-. （1）证明数列{}n a 是等比数列；（2）设()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92. （1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在(),x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？（精确到0.1%) 参考数据：30 5.48,33 5.74,35 5.92≈≈≈.19.如图，在四棱锥E ABCD -中，//,90AB CD ABC ∠=︒,224CD AB CE ===，点F 为棱DE 的中点.（1）证明：//AF 平面BCE ；（2）若4,120,25BC BCE DE =∠=︒=，求三棱锥B CEF -的体积.20.抛物线2:24C y x x a =-+与两坐标轴有三个交点，其中与y 轴的交点为P . （1）若点() 14,()Q x y x <<在C 上，求直线PQ 斜率的取值范围； （2）证明：经过这三个交点的圆E 过定点.21.已知函数()()ln f x e x ax a R =-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a e =时，证明：()20x xf x e ex -+≤.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 4l πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；（2）若曲线C 上存在点到l t 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()1,f x x x R =-∈.（1）求不等式()()31f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式()()1f x f x x a ≤+--的解集为M ，若31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，求 实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: DADAA 11、12：AC二、填空题13.2314. y x = 15. 75︒ 16. 2100000 三、解答题17. 解：（1）当1n =时，11121a S a ==-，所以11a =， 当2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---， 所以12n n a a -=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）知，12n n a -=， 所以()1212n n b n -=-，所以()()22113252232212n n n T n n --=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L （1） ()()2121232232212n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅L （2）（1）-（2）得：()()12112222212n n n T n --=++++--⋅L()12221221212n n n --⨯=+⨯---()3223n n =--，所以()2323n n T n =-+.18.解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2）由（1）中的样本评分数据可得()1928486788974837877898310x =+++++++++=， 则有 ()()()()()()()222222221[928384838683788389837483838310s =-+-+-+-+-+-+-+ ()()()222788377838983]33-+-+-=（3）由题意知评分在(83之间，即()77.26,88.74之间，由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为5100%50.0%10⨯=.另解：由题意知评分在(83，即()77.26,88.74之间，，从调查的40名用户评分数据中在()77.26,88.74共有21人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为21100%52.5%40⨯=. 19.解法一：（1）证明：取CE 的中点M ，连接,FM BM . 因为点F 为棱DE 的中点， 所以//FM CD 且122FM CD ==，因为//AB CD 且 2AB =， 所以//FM AB 且FM AB =， 所以四边形ABMF 为平行四边形， 所以//AF BM ，因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ， 所以//AF 平面BCE .（2）因为//90AB CD ABC ∠=︒,， 所以CD BC ⊥.因为,254,2CD CE DE ===，所以222 C D CE DE +=， 所以CD CE ⊥，因为BC CE C ⋂=,BC ⊂平面BCE ，CE ⊂平面BCE , 所以CD ⊥平面BCE .因为点F 为棱DE 的中点，且4CD =， 所以点F 到平面BCE 的距离为2. 11sin 42sin1202322BCE S BC CE BCE ∆=⋅∠=⨯⨯︒=三棱锥B CEF -的体积123B CEF F BCE BCE V V S --∆==⨯1432323=⨯=.解法二：（1）证明：在平面ABCD 内，分别延长,CB DA ，交于点N . 因为//,2AB CD CD AB =， 所以A 为DN 中点.又因为F 为DE 的中点， 所以//AF EN .因为EN ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ， 所以//AF 平面BCE .（2）同解法一.解法三：（1）证明：取棱CD 的中点G ，连接,AG GF ， 因为点F 为棱DE 的中点， 所以//FG CE ，因为FG ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ， 所以//FG 平面BCE ；因为//,2AB CD AB CG ==， 所以四边形ABCG 是平行四边形， 所以//AG BC ，因为AG ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ， 所以//AG 平面BCE ；又因为FG AG G ⋂=,FG ⊂平面AFG ，AG ⊂平面AFG ， 所以平面//AFG 平面BCE ； 因为AF ⊂平面AFG ， 所以//AF 平面BCE .（2）同解法一.20.解法一：（1）由题意得()()()()20,0,,2414P a a Q x x x a x ≠-+<<. 故224PQx x ak x-+=24x =-()2,4∈-（2）由（1）知，点P 坐标为()()0,0a a ≠. 令2240x x a -+=，解得421ax -=±， 故42421,1a a A B ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故可设圆E 的圆心为()1,M t ， 由22MP MA =得，()2222421a t a t -+-=+⎝⎭， 解得124a t =+，则圆E 的半径为21142a r MP ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以圆E 的方程为()22211112442a a x y ⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以圆E 的一般方程为2212022a x y x a y ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭，即22112022x y x y a y ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由22120,210,2x y x y y ⎧+--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 得012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故E 都过定点110,,2,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解法二：（1）同解法一.（2）由（1）知，点P 坐标为()()0,0a a ≠，设抛物线C 与x 轴两交点分别为()()12,0,,0A x B x . 设圆E 的一般方程为：220x y Dx Fy G ++++=，则21122220,0,0.x Dx G x Dx G a Fa G ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩因为抛物线C 与x 轴交于()()12,0,,0A x B x ，所以12,x x 是方程2240x x a -+=，即2202a x x -+=的两根， 所以2,2a D G =-=， 所以212G a F a a --⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭， 所以圆E 的一般方程为2212022a x y x a y ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即22112022x y x y a y ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由22120,210,2x y x y y ⎧+--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 得012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故E 都过定点110,,2,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 21.解：（1）()()0e f x a x x'=->， ①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在()0,+∞上为増函数；②若0a >，则当e x a <时，()0f x '>；当e x a>时，()0f x '<.故在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 为増函数；在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 为减函数.（2）因为0x >，所以只需证()2xe f x e x≤-， 由（1）知，当a e =时，()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 所以()()max 1f x f e ==-.记()()20xe g x e x x =->，则()()21xx e g x x -'=， 所以，当1x <<0时，()0g x '<，()g x 为减函数；当1x >时，()0g x '>，()g x 为增函数， 所以()()min 1g x g e ==-.所以当 0x >时，()()f x g x ≤，即()2xe f x e x≤-，即()20x xf x e ex -+≤. 解法二：（1）同解法一.（2）由题意知，即证2ln 20x ex x ex e ex --+≤， 从而等价于ln 2xe x x ex-+≤. 设函数()ln 2g x x x =-+，则()11g x x'=-. 所以当()0,1x ∈)时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<， 故()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.从而()g x 在()0,+∞上的最大值为()11g =.设函数()xe h x ex=，则()()21x e x h x ex -'=. 所以当()0,1x ∈)时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>. 故()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递増.从而()h x 在()0,+∞上的最小值为()11h =.综上，当0x >时，()()g x h x <，即()20x xf x e ex -+≤.22. 解：（1）因为直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；因为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（α参数，0t >） 所以曲线C 的普通方程为2221x y t+=， 由2222,1,x y x y t +=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()2221440t y y t +-+-=， 所以()()22016414t t ∆-+-<=，解得 0t <<，故t的取值范围为(.（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l的距离d =， 故d=解得t =又因为0t >，所以t =23.解：（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--， 123x x ⇔-+-≤，1,323,x x <⎧⇔⎨-≤⎩或12,13,x ≤≤⎧⎨≤⎩或2,233x x >⎧⎨-≤⎩解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤，所以03x ≤≤， 故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3.（2）因为31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭， 所以当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立， 而()()1f x f x x a ≤+--101x x x a x a x x ⇔--+-≤⇔-≤--， 因为31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+， 由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 所以122a ≤≤，故实数a 的取值范围1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
福建省福州市2018届高三3月质量检测数学文试题
开始
i 1, S 0
SS
1 i
正整数 n 的值，那么在 以分别填入
和
两个空白框中，可
i i 1
否 是
（A） “ S 1 000 ”和“输出 i 1 ” （B） “ S 1 000 ”和“输出 i 2 ” （C） “ S 1 000 ”和“输出 i 1 ” （D） “ S 1 000 ”和“输出 i 2 ”
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 (1) 已知集合 A x x 2k 1, k Z , B x 1 x 4 ，则集合 A B 中元素的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 1 2i (2) 已知复数 z ，则 z 的虚部是 4 3i 2 1 1 2 （A） （B） （C） （D） 5 5 5 5
y 0， 则 z 2 x y 的最小值为 (3) 若 x, y 满足约束条件 x y 0， 2 x y 6 0， （A） 6 （B）0 （C）2 π (4) 已知单位向量 a, b 的夹角为 ，则 a a 2b 3
（D）6
3 （C）2 2 (5) 已知等差数列 an 的公差为 1，且 a2 , a4 , a7 成等比数列， （A）
2018 年福州市高中毕业班质量检测
文科数学试题
本试题卷共 4 页，23 题。全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是 否一致。 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上 书写作答。在试题卷上作答，答案无效。 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
2018年-福建数学(文科)高考试题
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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，
，，则A B = A ．{}02，
B ．{}12，
C ．{}0
D ．{}21012--，，，， 2．设1i 2i 1i
z -=++，则z =
A ．0
B ．12
C ．1 D
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A ．新农村建设后，种植收入减少
B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
福建省闽侯第一中学2018届高三上学期模拟考试 数学文
2018届高三第一学期模拟考试数学(文科)试卷（试卷共6页；完卷时间120分钟；满分150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1.集合{}0lg |>=x x M ，{}4|2≤=x x N ，则N M ⋂（ ）A.[]2,1B.()2,1C. [)2,1D. (]2,1 2.已知复数11z i i=++，则z ＝ （ ）A.12D.23.已知直线()12:210,:20l ax a y l x ay +++=++=，其中a R ∈，则“3a =-”是“12l l ⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．9盏B ．5盏C ．3盏D ．1盏 5.函数()sin y A x ωϕ=+，R x ∈，在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，为了得到这个 函数的图象，只要将sin y x =，R x ∈，的图象上的所有的点（ ）A.向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B.向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 D.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 6.有编号为1，2，...，700的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品 为样品进行检验。
2018年高三最新 福州一中2018年高三模拟考试文科数学
福州一中2001--2018年高三模拟考试文科数学试题参考公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-= 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.(1)复数1–i tg20°的辐角主值是A. 20°B.–20°C.160°D.340°(2)如果直线x +y =b 与圆x 2+y 2=b (b >0)相切，则实数b 的值为A.2B.2C. 1D.21 (3)设a 、b 为两条直线，α、β为两个平面，给出四个命题：①若α⊂a ,α⊂b ，且a ∥β,b ∥β,则α∥β;②若α∥β,a ⊥α,b ∥a ,则b ⊥β;③若a ∥α,a ⊥β,则α⊥β;④若α⊥β,,,A b a ==αβα b ⊥a ,则b ⊥β.上述命题中，正确的是A.①②③④B.①②③C.②③D.③④(4)抛物线的焦点坐标为(–2,2)，准线方程为y =4，则该抛物线的方程为A. (x +2)2= –4(y –2)B. (x +2)2= –4(y –3)C. (y –2)2= –4(x –2)D. (x +2)2= –8(y –3)(5)函数y =A sin(ωx +ϕ)(A >0,ω>0)满足下列条件①当x =0时，y 有最小值–3；②当x =43π时，y 有最大值； ③在区间[0，2π]内函数图象与x 轴有8个交点.则此函数的解析式为A.y =3sin(2x +23π) B.y =3sin(24π-x )C.y =3sin(4x –2π)D. y =3sin(234π-x ) (6)如图，正方体AC 1中，E 为棱AB 的中点，则直线C 1E 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为A.42B.1717C.62 D. 17 (7)设f (x )=cos )0,()3sin()6(>∈-+ωπωπωR x x x 的最小正周期为π，则f (x )的最小值为 A.–2 B.0 C. –21 D.–1 （8）从4名男生和3名女生中选出4位，其中至少2名男生，且至少1名女生，然后安排到4个工厂进行社会调查，每个工厂去1人，则不同的安排方案有A.720种B. 30种C. 72种D. 1728种(9)已知πθπ<<2，且0co s s i n >+θθ，则方程1cos sin 22=-θθy x 表示的曲线是 A.焦点在x 轴上的双曲线 B.焦点在y 轴上的双曲线C.长轴在x 轴上的椭圆D.长轴在y 轴上的椭圆(10)将函数f (x )=2x 的图象沿x 轴正方向平移2个单位，得到图象C ，又设图象C ′与C 关于直线x –y =0对称，则图象C ′对应的函数是A. y =2x +2B. y =2+log 2xC.y = –2+log 2xD.y =log 2(x –2)(11)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2(n ∈N ),记以（a n ,1-nS n ）为坐标的点为P n (n =1,2,3…)，则P n (n ∈N )都在A.直线x –2y –1=0上B.直线2x –y –2=0上C.直线x +2y +1=0上D.直线2x +y –2=0上(12)我们称映射f :A →B 为一个“满射”，如果集合B 中任意一个元素都有原象的话.已知集合A 中有4个元素，集合B 中有3个元素，那么从A 到B 的不同满射的个数为A.24B.6C. 36D.72第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题有4小题，每小题4分，共16分.请将答案填在题中的横线上.(13)如图，在△ABC 中，AC =BC =a ,∠C =90°,MN ⊥BC ,B 为垂足，且MN 和△ABC 在同一个平面内，将△ABC 绕MN 旋转一周，则所得旋转体的表面积是 .(14)设a 、b 是两个实数，给出下列条件：①a +b >1; ②a +b >2; ③a 2+b 2>2;④ab >1.其中能推出“a 、b 中至少有一个数大于1”的条件是 .(写出所有正确的条件的序号)(15)如果不等式ax x x >-24的解集为{x |0<x ≤4},那么实数a 的取值范围是 .(16)某工厂生产某种产品的产量，第二年比第一年增长的百分率为P 1，第三年比第二年增长的百分率为P 2，第四年比第三年增长的百分率为P 3(P 1、P 2、P 3均为正值)，且P 1+ P 2+ P 3为定值.则年平均增长率的最大值为 .三、解答题：本大题有6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知复平面上A 、B 两点分别与复数z 、z 53对应，O 为坐标原点，△AOB 是面积为56的直角三角形，arg z ∈(0,2π). (Ⅰ)若∠AOB =90°,求复数z ;(Ⅱ)若∠ABO =90°,求复数z ；(18)（本小题满分12分）如图，四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面SCD 为直角三角形,∠SCD =90°，二面角S —CD —B =60°，BC =a , AB =SC =2a .(Ⅰ)求证平面SAB ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求点C 到平面SAD 的距离.(19)(本小题满分12分)已知函数f (x )的定义域为R ，数列{a n }满足f (a n )=2 a n +1–a n (n ∈N ).若f (a n )=f (a n –1)(n ∈N ,n ≥2),且a 1=1,a 2=2.(Ⅰ)记b n =a n +1–a n (n ∈N ). 求证：{b n }是等比数列；(Ⅱ)求.lim n n a ∞→ (20)(本小题满分12分)渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量．．．y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0).(空闲率为空闲量与最大养殖量的比值).(Ⅰ)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(Ⅱ)求鱼群年增长量的最大值.(21)(本小题满分12分)已知0<a ≤3,函数f (x )=x 3–ax 的定义域为),1[+∞.(Ⅰ)求证:f (x )在区间),1[+∞上为增函数；(Ⅱ)设x 0≥1,f (x 0)≥1,且f [f (x 0)]=x 0,求证：f (x 0)=x 0.(22)（本小题满分14分）已知圆(x +4)2+y 2=25的圆心为M 1，圆(x –4)2+y 2=1的圆心为M 2，一动圆与这两个圆都外切.(Ⅰ)求动圆圆心P 的轨迹方程;(Ⅱ)若过点M 2的直线l 与(Ⅰ)中所求轨迹有两个交点A 、B ，求|AM 1|·|BM 1|的取值范围.。
福建省福州市第一中学2018届高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
福州一中2017—2018学年第一学期第一学段考试高三文科数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合{1234}A =，，，，{}260B x x x =--≤，则A B =I （ ） A. {1} B. {12}， C. {2,3} D. {12,3}， 【答案】D 【解析】{}60,23,1,2,3x x x A B Q --≤∴-≤≤⋂=,选D .2.已知x 、y R ∈，i 是虚数单位，若x yi +与21ii++互为共轭复数，则x y += A. 2 B. 1-C. 1D. 2-【答案】A 【解析】2(2)(1)33131,,1(1)(1)22222i i i i i x y i i i ++--===-∴==++-,则2x y +=.选D . 【点睛】复数问题的考查主要考查复数的概念、复数的运算及复数的几何意义，另外注意复数的模和共轭复数的考查，本题考查复数的除法和共轭复数的定义，此题简单，但要注意审题要清楚，运算要准确，小心失误.3.已知2AB =u u u v ，1CD =u u u v，且2AB CD -=u u u v u u u v AB u u u v 和CD uuuv 的夹角为A. 30°B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】C 【解析】22224412AB CD AB AB CD CD -=-⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则1AB CD ⋅=-u u u r u u u r，11cos ,212AB CD AB CD AB CD ⋅-〈〉===-⨯⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 和CD uuu r 的夹角为0120，选C. 【点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，借助向量的模方和模，求向量的夹角，本题属于基础题.解决向量问题有两种方法，第一种是借助向量的几何意义，利用加法、减法、数乘、数量积运算，借助线性运算解题，另一种方法是建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解题.4.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=，则C 的离心率为A.5B.5或5 C. 2D. 5【答案】D 【解析】由题2221145,5b e e a=+=+=∴=5.函数1()ln f x x x=+的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】当0x <时，函数()()1ln f x x x =+-，由函数的单调性，排除,C D ；当0x >时，函数()1ln f x x x=+，此时，代入特殊值验证，排除A ，只有B 正确. 【详解】当0x <时，函数()()1ln f x x x=+-， 由函数()1,ln y y x x ==-在()0,∞+上递减， 可得()()1ln f x x x=+-在()0,∞+上递减，排除,C D ；当0x >时，函数()1ln f x x x=+，此时()11ln111f =+=，而选项A最小值为2 ，故可排除A ，只有B 正确，故选B .【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6.已知α，β为锐角，且1tan 7α=，()5cos 5αβ+=，则cos 2β=A.35B.23C.45D.10【答案】C 【解析】π,(0,)(0,π)cos()sin()2αβαβαβαβ∈∴+∈+=+=Q Q1tan sin 7ααα=∴==Qcos cos()cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++== 294cos 22cos 121105ββ=-=⨯-= ,选C. 7.设数列{}n a的各项均为正数，且28164,)(),n a a p n N *+==∈其中p为正的实常数，则=A. 81B. 64C. 48D. 32【答案】D 【解析】p =，则数列是等差数列，32==，故选D.8.设O 为坐标原点，第一象限内的点(),M x y 的坐标满足约束条件26020x y x y --≤⎧⎨-+≥⎩， (),ON a b u u u v =（0a >,0b >）.若OM ON ⋅u u u u v u u u v的最大值为40，则51a b+的最小值为 A.256 B.94C. 1D. 4【答案】B 【解析】OM ON ax by ⋅=+u u u u v u u u vQ ，∴设z =ax +by ，则z 的最大值为40．作出不等式组的对应的平面区域如图：（阴影部分）由z =ax +by ，得a z y x b b =-+，由图象可知当直线a z y x b b =-+，经过点A 时，直线a zy x b b=-+的截距最大，此时z 最大（∵b ＞0），由26020x y x y ＝＝--⎧⎨-+⎩，解得810x y ＝＝⎧⎨⎩，即A （8，10），代入z =ax +by ，得40=8a +10b ，即154a b+＝， 51511555519)(12254445445424a b b a b a a b a b a b a b ∴+=++=+++≥+⋅+⨯（）＝＝， 当且仅当545b aa b＝，即4a 2=25b 2，2a =5b 时取等号，∴5a +1b 的最小值为94，本题选择B 选项.9.圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线叫做“等宽曲线”．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux ）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）：画一个等边三角形,,,ABC A B C 分别以为圆心，边长为半径，作圆弧»»»,,BCCA AB ,这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.在图2中的正方形内随机取一点，则这点落在鲁列斯曲边三角形内的概率是A.32π-B.2334π-C.22π- D.8π 【答案】A 【解析】【详解】设正方形的边长为1，则正方形的面积为1，鲁列斯曲边三角形的面积为13322ππ--⨯=，故选A.10.对任意的正数x ，都存在唯一的正数y ，使()22ln ln 0x y x ay --=成立，则实数a 的取值范围为A. 1{}(,0]2e⋃-∞ B. 1(,)2e-∞ C. 1{}2eD. (,0]-∞【答案】A 【解析】由()22ln ln 0x y x ay --=可得：2ln()yx a y x=，设0y t x =>，则2ln t a t =， 令2ln ()t g t t =，∴ 312ln ()tg t t-'=，故当0t e <<时，()0g t '>，当t e >时，()0g t '<，又1,()0t g t >>，当01t <<时，()0g t <，可得函数()g t 的图象：因此当12a e =或(,0]a ∈-∞时，存在唯一正数，使得2ln ta t=成立，即对任意的正数x ，都存在唯一一个正数y,使()22ln ln 0xy x ay --=成立，故选A.二.填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分.11.曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点,04M π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为______．【答案】12【解析】试题分析：()()()()22222cos sin cos sin (cos sin )cos sin 1'sin cos sin cos sin cos x x x x x x x xy x x x x x x +--+===+++所以2411'|2sin cos 44x y πππ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故填．考点：导数在曲线的切线中的应用．12.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________. 【答案】乙 【解析】四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知犯罪的是乙.【点评】本体是逻辑分析题，应结合题意，根据丁说“乙说的是事实”发现，乙、丁意见一致，从而找到解题的突破口，四人中有两人说的是真话，因此针对乙、丁的供词同真和同假分两种情况分别讨论分析得出结论.13.已知三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，且侧棱1AA ⊥平面ABC ，若123,,83AB AC BAC AA π==∠==，则球的表面积为________. 【答案】100π 【解析】∵ 3,120AB AC BAC ==∠=︒∴ 199233()332BC =+-⨯⨯⨯-=三角形ABC 外接圆直径3326,33r r ===， 1AA ⊥平面ABC ，18AA =，∴ 该三棱柱外接球的半径为5，所以外接球的表面积245100s ππ=⨯=，故填100π. 14.函数31()201720171.2x xf x x -+=+-+若(sin cos )(sin 2)2f f t θθθ++-< 对∀∈θR 恒成立，则t 的取值范围是___________.【答案】)+∞【解析】令3()20172017x x g x x -=+-，则31()201720171()12x xf x xg x -+=+-+=+，()()1111sin cos sin2(sin cos )(sin2)2222f f t f f t θθθθθθ++-=+-++--+11(sin cos )(sin2)2222g g t θθθ=+-+--+<，即11(sin cos )(sin2)022g g t θθθ+-+--<对R θ∀∈恒成立，因为3()20172017xxg x x -=+-是R 上的奇函数，也是增函数，所以11(sin cos )(sin2)22g g t θθθ+-<-++ 即sin cos sin21t θθθ++-<，令sin cos ,(m m θθ+=≤≤，则2sin cos sin212m m θθθ++-=+-，所以t >故填)+∞.点睛：本题综合考查了指数函数的增减性、幂函数的增减性，函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题.解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求函数最值问题.三．解答题：共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 的前n 项和585n n S n a =--， (Ⅰ)求{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 令12555666111log log log 181818n n a a a b L ---=+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】(Ⅰ)15115()6n n a -=-⋅(Ⅱ)21nn + 【解析】试题分析：(Ⅰ) 由585n n S n a =--① 可得：1111585a S a ==--114a ⇒=-． 同时11(1)585n n S n a ++=+--②②-①可得：1115()n n n a a a ++=--115166n n a a ++⇒=+151(1)6n n a a +⇒-=-． 从而{}1n a -等比数列，首项1115a -=-，公比为56．15115()6n n a -∴-=-⋅15115()6n n a -⇒=-⋅．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知55661155log log 186186n nn n a a n --⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()11211122211n n n n b n b n n n n +⎛⎫∴=+++=⇒==- ⎪++⎝⎭L 故11111122121223111n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ． 考点：数列求通项求和点评：第一问由数列的n S 求n a 时利用关系式()()11{2n n n n S n a S S n -==-≥，第二问求数列前n 项和时用到了裂项相消的方法，这种方法一般适用于通项为()11n n -形式的数列16.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面,,PAD AB CD E P 是PB 的中点，F 是DC 上的点且1,2DF AB PH =为PAD △中AD 边上的高.（1）证明：EF P 平面PAD ；（2）若3,3,1PH AD FC ===，求三棱锥E BCF -的体积.【答案】（1）见解析；（2）3【解析】试题分析：（1）利用平行四边形得到线线平行，从而可证线面平行；（2）求棱锥髙时，利用E 是中点，转化为求P 到底面距离的一半，而易证PH ⊥平面ABCD ，高即为PH. 试题解析：（1）取PA 中点G ，连接,.GE DG∵E 为PB 中点，∴//EG AB ，12EG AB =,∵1//,2DF AB DF AB =，∴//EG DF ， ∴四边形DGEF 是平行四边形，∴//EF DG ，∵DG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ∴//EF 平面PAD（2）∵AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，∴AB PH ⊥，∵,PH AD AB AD A ⊥⋂=，∴PH ⊥平面ABCD ，∵E 为PB 中点， ∴E 到平面ABCD 的距离13=22h PH =，又1131322BCF S CF AD ∆=⋅⋅=⨯=，11333332E BCF BCF V S h -∆=⋅==17.为迎接校庆，学校决定在体育馆大门左侧布置大型花盆，该圆形花盆半径为1米，内部划分为不同区域种植不同花草.如图所示，在蝶形区域内种植一串红，该蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，其中一个三角形OAB 的顶点O 为圆心，A 在圆周上，B 在半径OQ 上，设计要求23ABO π∠=.（1）设AOB x ∠=，写出该蝶形区域的面积S 关于x 的函数表达式； （2）x 为多少时，该蝶形区域面积S 最大？并求出最大值. 【答案】（1）43sin()sin ,(0,)33S x x x ππ=-∈；（2）6x π=时，S 3【解析】试题分析：（1）蝶形区域为四个全等三角形，利用三角形面积公式即可求出； （2）由（1）化简得233s )363x π=+-，由正弦型函数性质可求出最大值. 试题解析：（1）在AOB ∆中，由正弦定理得2sin 3sinsin 33ABOB AO xx ππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭4342sin sin 0,333AOB S S OA OB x x x x ππ∆⎛⎫⎛⎫∴==⋅⋅=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， （2）231=sin 3233S x sinx x π⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭31cos211233[sin(2)]=)4426436333x x x x ππ⎛⎫-=-=+-+-⎪⎪⎭， ∵0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴52,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴6x π=时，S 取最大值33（平方米） 点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.18.已知12,F F 是椭圆:C 22221x y a b+=的左右焦点，O 为坐标原点，3(1)2P -，在椭圆C 上，线段1PF 与y 轴的交点N 满足()112ON OP OF =+u u u v u u u v u u u v. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B 、两点， 34OA OB k k ⋅=-，判断AOB ∆的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2【解析】试题分析：（1）根据题目条件，可求出a,再根据a,b,c 三者关系求出b ，即可写出椭圆方程；（2）联立直线和椭圆方程，消元得二次方程，根据根与系数的关系，写出弦长，利用点到直线的距离公式求三角形的高，写出三角形的面积，化简即可得出是定值. 试题解析：（1）因为()112ON OP OF u u u r u u u r u u u r=+知,N 为1PF 中点，而O 又为12F F 中点，所以ON 为12F F P ∆的中位线，又由于12ON F F ⊥，所以212PF F F ⊥，由P 坐标可知()210F ，，所以()()1210,10,F F -，， 12Rt F F P ∆中，由勾股定理得112553,242,1,222PF a PF PF a c b ==∴=+=+=∴==∴=Q ∴椭圆C 标准方程为22143x y +=.（2）设()()1122,,A x y B x y ，由221{43x y y kx m+==+得，()()22348430k x mkx m +++-= 由()()()2228163430mk km∆=-+->得2234m k <+，且有()2121222438,3434m mk x x x x k k -+=-=++，且有()221223434m k y y k-=+ 因为34OA OBk k ⋅=-，得121234y y x x =-，即()2223434m k k -=+ ()22433434m k--⋅+化简得： 22243m k -=满足0∆>，AB ==点O 到直线l的距离d =，所以1122S AB d =⨯⨯== 点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立,,a b c 的方程，求出22,a b 即可，注意222,ca b c e a=+=的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出1212,x x x x +⋅，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用． 19.已知函数()()ln 1f x x a x =+-，其中a R ∈． （1）当1a =-时，求证：()0f x ≤；（2）对任意t e ≥，存在()0,x ∈+∞，使()()ln 10t t t f x a ⎡⎤+-+>⎣⎦成立，求a 的取值范围.（其中e 是自然对数的底数， 2.71828e =L ）【答案】（1）见解析；（2）11,e e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）求出函数()f x 的导数，解关于导函数的不等式，求出函数()f x 的最大值，证明结论即可；（2）问题转化为()()minminln 1t t f x a t ⎛⎫>-- ⎪-⎝⎭, 设()ln 1t t h t t =-，求导，利用单调性求范围即可. 试题解析：解：（1）当1a =-时，()ln 1(0)f x x x x =-+>， 则()111xf x x x-=-='，令()0f x '=，得1x =， 当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减， 故当1x =时，函数()f x 取得极大值，也为最大值，所以()()max 10f x f ==， 所以()0f x ≤，得证．（2）原题即对任意t e ≥，存在()0,x ∈+∞，使()ln 1t tf x a t >---成立， 只需()()min minln 1t t f x a t ⎛⎫>-- ⎪-⎝⎭，设()ln 1t t h t t =-，则()()21ln 1t t h t t ---'=， 令()1ln u t t t =--，则()1110t u t t t='-=->对于t e ≥恒成立， 所以()1ln u t t t =--为[),e +∞上的增函数， 于是()()1ln 20u t t t u e e =--≥=->，即()()21ln 01t th t t --=>-'对于t e ≥恒成立，所以()ln 1t th t t =-为[),e +∞上的增函数，则()()min minln 11t t e h t h e t e ⎛⎫=== ⎪--⎝⎭， 令()()p x f x a =--，则()()ln 1ln p x x a x a x ax =----=--，当0a ≥时，()ln p x x ax =--为()0,+∞的减函数，且其值域为R ，符合题意． 当0a <时，()1p x a x =--，由()0p x '=得10x a=->， 由()0p x '>得1x a >-，则()p x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为增函数；由()0p x '<得10x a <<-，则()p x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，所以()()min1ln 1p x p a a ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，从而由()ln 11e a e -+<-，解得110e ea --<<，综上所述，a的取值范围是11,e e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．点睛：利用导数解决不等式有解问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需()max f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需()min f x a ≤即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.。
福建省福州市2018届高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
福州市 2018 届高三上学期期末考试文科数学第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1. 已知会合 A x x6x 1 0，B x x 10，则 A B （）A．1,6B．1,1C．1,6D．2. 若复数 z a1为纯虚数，则实数a（）1iA．2B． 1C． 1D．23. 已知 a1,2, b1,1， c 2a b ，则c（）A． 26B． 3 2C． 10D． 6 4. 3 cos154sin 2 15 cos15（）A．1B．2C． 1D．2 225. 已知双曲线C的两个焦点 F1 , F2都在 x 轴上，对称中心为原点，离心率为3.若点M在C 上，且 MF1MF2，M到原点的距离为 3 ，则C的方程为（）A． x2y21B． y2x21C．x2y21D．y2x21 4848226.已知圆柱的高为 2，底面半径为 3 ，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（）A．4B．16C．32D．16 337.如图的程序框图的算法思路源于我国古代有名的《孙子节余定理》. 图中的Mod N, m n表示正整数N除以正整数m 后的余数为n ，比如Mod 10,31.履行该程序框图，则输出的 i 等于（）A． 23B． 38C． 44D． 588.将函数y2sin x cos x的图象向右平移 1 个周期后，所得图象对应的函数为（2）A．y sin x2cos x B． y2sin x cos xC．y sin x2cos x D． y2sin x cos x9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．24223B．2 22 43C．263D．84210. 已知函数 f x log 2 x a, x0,若 f a 3，则 f a 2 （）4 x 21,x0.A．15B． 3C．63或3 D．15或3 16641611. 过椭圆C :x2y2221 a b0 的右焦点作x轴的垂线，交C于A, B两点，直线l过C的左a b焦点和上极点 . 若以AB为直径的圆与l 存在公共点，则 C 的离心率的取值范围是（）A．5B．5C． 0,2D．2 0,,12,1 55212. 已知函数 fx 2 x，若对于 x 的不等式 f x20 恰有3个整数解，则实数x e e af xa 的最小值为（）A． 1B． 2e C． e21D． e31e3第Ⅱ卷（共 90 分）13、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.某商铺随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是．14.曲线 y x32x22x 在x 1处的切线方程为．15.ABC 的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知3 a cosC c cos A b, B 60 ，则A的大小为．16.某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木匠和漆工两道工序. 已知生产一把椅子需要木匠4个工作时，漆工 2 个工作时；生产一张桌子需要木匠8个工作时，漆工 1 个工作时 . 生产一把椅子的收益为1500 元，生产一张桌子的收益为2000 元 . 该厂每个月木匠最多达成 8000个工作时、漆工最多达成1300 个工作时 . 依据以上条件，该厂安排生产每个月所能获取的最大利润是元 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.已知数列a n前n项和为S n，且S n2a n 1 .（ 1）证明数列a n是等比数列；（ 2）设b n2n 1 a n，求数列 b n的前n项和T n.18. 跟着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在好多城市接踵出现. 某营运企业为了认识某地域用户对其所供给的服务的满意度，随机检查了40 个用户，获取用户的满意度评分以下：用系统抽样法从40 名用户中抽取容量为10 的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（ 1）请你列出抽到的10 个样本的评分数据；（ 2）计算所抽到的10 个样本的均值x 和方差s2；（ 3）在（ 2）条件下，若用户的满意度评分在x s, x s 之间，则满意度等级为“A级”.试应用样本预计整体的思想，预计该地域满意度等级为“ A 级”的用户所占的百分比是多少？（精准到 0.1% )参照数据：30 5.48,33 5.74,35 5.92 .19. 如图，在四棱锥E ABCD 中，AB //CD , ABC90 , CD2 AB 2CE 4，点F为棱DE 的中点 .（ 1）证明：AF / / 平面 BCE ；（ 2）若BC 4,BCE120 , DE 2 5 ，求三棱锥 B CEF的体积.20. 抛物线C : y24x a 与两坐标轴有三个交点，此中与y 轴的交点为 P . 2x（ 1）若点Q x, y(1 x 4) 在C上，求直线PQ 斜率的取值范围；（ 2）证明：经过这三个交点的圆E过定点.21. 已知函数f x eln x ax a R .（ 1）议论f x 的单一性；（ 2）当 a e 时，证明： xf xx2ex0 . e请考生在 22、23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线 C :x t cos, （为参数， t 0 ）.在以 O 为极点，x轴正半轴y sin为极轴的极坐标系中，直线l :cos42 .（ 1）若l与曲线C没有公共点，求t 的取值范围；（ 2）若曲线C上存在点到l距离的最大值为16 2 ，求t的值 . 223. 选修 4-5 ：不等式选讲设函数 f x x1, x R .（ 1）求不等式f x 3 f x 1 的解集；（ 2）已知对于 x 的不等式f x f x 1x a的解集为 M ，若1,3M ，求实数 a 的2取值范围 .参照答案一、选择题1-5: CABDC6-10: DADAA 11、12：AC 二、填空题13.214.y x15.7516. 2100000 3三、解答题17.解：（ 1）当n 1 时，a1S12a1 1 ，因此 a1 1 ，当 n 2时， a n S n S n 1 2a n 1 2a n 1 1 ，因此 a n2a n 1 ，因此数列a n是以 a1 1 为首项，以 2 为公比的等比数列 .（ 2）由（ 1）知，a n2n 1，因此 b n2n 1 2n 1 ，因此n2n 2n 1（ 1）T 132 5 2 2 n 3 2 2 n 1 22T n123222n 3 2n 12n 1 2n（ 2）（1） -（2）得：T n 1 221222n 12n 1 2n1 2 2 2n 1 22n 1 2n123 2 n 2n 3 ，因此T n 2 3 2n3. n18. 解：（ 1）由题意得，经过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.（ 2）由（ 1）中的样本评分数据可得x1848678 89 7483 787789 83，9210则有s21[928328322782892742832 848683838383831078277289233 838383 ]（ 3）由题意知评分在8333,8333之间，即77.26,88.74之间，由（ 1）中容量为10 的样本评分在77.26,88.74之间有 5 人，则该地域满意度等级为“ A级”的用户所占的百分比约为5100%50.0% .10另解：由题意知评分在8333,8333，即77.26,88.74 之间，，从检查的40 名用户评分数据中在77.26,88.74 共有21人，则该地域满意度等级为“ A 级”的用户所占的百分比约为21100% 52.5% . 4019.解法一：（ 1）证明：取CE的中点M，连结 FM , BM . 由于点 F 为棱 DE 的中点，因此FM //CD 且FM 1CD 2，2由于 AB//CD 且AB 2 ，因此 FM //AB且FM AB ，因此四边形ABMF 为平行四边形，因此 AF //BM ，由于 AF平面BCE，BM平面BCE，因此 AF//平面BCE .（ 2）由于AB / /CD,ABC90 ，因此CD BC.由于 CD4,CE 2,DE 2 5，因此 CD 2CE 2DE2，因此 CD CE ，由于 BC CE C, BC平面 BCE ， CE平面 BCE ,因此 CD平面 BCE .由于点 F 为棱 DE 的中点，且CD 4 ，因此点 F 到平面BCE的距离为 2.1BC CE sin BCE 12sin12023.SBCE4 22三棱锥 B CEF 的体积V B CEF V F12143 BCE S BCE 2 3 2.333解法二：（ 1）证明：在平面ABCD 内，分别延伸CB, DA，交于点 N .由于 AB / /CD ,CD 2AB ，因此 A为DN中点.又由于 F 为 DE 的中点，因此 AF //EN .由于 EN平面BCE，AF平面BCE，因此 AF//平面BCE .（ 2）同解法一 .解法三：（ 1）证明：取棱CD的中点G，连结 AG,GF ，由于点 F 为棱 DE 的中点，因此FG//CE，由于 FG平面 BCE ， CE平面 BCE ，因此FG//平面BCE ；由于 AB / /CD,AB CG 2，因此四边形 ABCG 是平行四边形，因此 AG//BC，由于 AG平面 BCE ， BC平面 BCE ，因此 AG//平面BCE ；又由于 FG AG G,FG平面 AFG ， AG平面 AFG ，因此平面 AFG / / 平面 BCE ；由于 AF平面 AFG ，因此 AF//平面BCE .（ 2）同解法一 .20. 解法一：（ 1）由题意得 P 0, a a 0 ,Q x,2 x 2 4x a 1 x 4 .故 k PQ 2x 2 4x ax2 x 42,4（ 2）由（ 1）知，点 P 坐标为 0,a a 0 .令 2 x 2 4 x a0 ，解得 x14 2 a ，2 故 A 14 2a4 2a2,0,B12 ,0 .故可设圆 E 的圆心为 M 1,t ，2由 MP222t2 4 2a t 2，MA 得， 1a2a 11 2解得 tMP1a.2，则圆 E 的半径为 r4242a 1 21a 2因此圆 E 的方程为 xy1，12 4 4 2因此圆 E 的一般方程为x 2 y 22 xa1 ya 0 ，22即 x 2y 2 2 x 1 ya 1 y0 .22x 2y22x1y 0,x 0x 2由2得1 或1 ，y1y 0,2y22故 E 都过定点0,1,2,1.22解法二：（ 1）同解法一 .（ 2）由（ 1）知，点 P 坐标为 0,a a 0，设抛物线 C 与 x 轴两交点分别为 A x 1 ,0 , B x 2 ,0 .设圆 E 的一般方程为：x 2 y 2 Dx FyG 0 ，则2x 1 Dx 1 G 0,x 2 2Dx 2G 0,a 2Fa G 0.由于抛物线 C 与 x 轴交于 A x 1 ,0 , B x 2 ,0 ，因此 x 1 , x 2 是方程 2 x 2 4 x a0 ，即 x 22xa 0 的两根，2因此 D 2, Ga，2因此 FG a 2 a 1 ，a2因此圆 E 的一般方程为x 2y 22 xa1 ya 0 ，22即 x 2y 22 x 1 ya1 y0 .22x2y22x1y 0,x 0x 2由2得1或1，1yy 0,2y22故E 都过定点 0,1,2,1.2221. 解：（ 1） fxe a x 0 ，x①若 a 0 ，则 f x 0 ， f x 在 0,上为増函数；②若 a0 ，则当 xe时， f x0 ；当 xe时， fx0 .aa故在 0,e上， f x 为増函数；在e , 上， fx 为减函数 .aa（ 2）由于 x0 ，因此只要证f xe x 2 ，xe由（ 1）知，当 a e 时， f x 在 0,1 上为增函数，在 1,上为减函数，因此 f x maxf 1e .记g xe x 2 0 ，则 gx x 1 e x ，xx 2e x因此，当 0 x 1 时， g x 0 ， g x 为减函数；当x1 时， g x 0 ， g x 为增函数，因此 gxming 1e .因此当 x0 时， f xg x ，即 f xex2x，即xf xe2ex0 .ex解法二：（ 1）同解法一 .（ 2）由题意知，即证exln x ex2e x2ex0，进而等价于ln x x2e x . ex设函数 g x ln x x 2 ，则 g x 11 . x因此当 x0,1) 时，g x0 ；当 x1,时， g x0，故 g x在0,1上单一递加，在1,上单一递减 .进而 g x 在 0,上的最大值为 g 11.设函数 h x e xxe x x1.，则 h2ex ex因此当 x0,1) 时，h x0 ；当 x1,时， h x0 .故 h x在0,1上单一递减，在1,上单一递増 .进而 h x在 0,上的最小值为 h 11.综上，当 x0 时，g( x)h x，即 xf x e x2ex0 .22.解：（ 1）由于直线l的极坐标方程为cos42 ，即 cos sin2 ，因此直线 l 的直角坐标方程为x y 2 ；由于x t cos,参数， t0 ）y sin（因此曲线 C 的一般方程为x2y21 ，t2x y2,由2消去 x 得，1t2y24y 4 t20 ，x y21,t 2因此16 4 1 t2 4 t 20 ，解得 0t 3 ，故 t 的取值范围为0,3.（ 2）由（ 1）知直线l的直角坐标方程为x y 2 0 ，故曲线 C 上的点 t cos,sint cossin 2 到 l 的距离 d2，故 d 的最大值为 t 2 122由题设得t 21 2 1 62 ，22解得 t 2 .又由于 t0 ，因此 t 2 .23. 解：（ 1）由于 f x 3 f x 1 ，因此 x 1 3 x 2 ，x 1 x 2 3 ，x 1, 或 1 x 2, 或 x 2,33 2x 3, 1 3, 2x 3解得 0 x 1或 1 x 2 或 2 x 3 ，因此 0x3 ，故不等式 f x 3 f x 1 的解集为 0,3 .（ 2）由于3 M ，1,2因此当 x1, 3时， f xf x1 x a 恒建立，2而 f xf x 1 x ax 1 x x a 0x a x x 1 ，由于 x1,3，因此 xa 1 ，即 x 1a x 1 ，2由题意，知 x1ax 1 对于 x1,3恒建立，2因此1a2 ，故实数 a 的取值范围1,2 .22。
2018年福建数学(文科)高考试题(免费版)
x2 4．已知椭圆 C ： a 2
y2 4
1的一个焦点为 (2 ，0) ，则 C 的离心率为
A． 1 3
1 B．
2
C． 2 2
D． 2 2 3
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1 ， O2 ，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为
方形，则该圆柱的表面积为
8 的正
A ． 12 2 π
C． f x 的 最小正周期为 2π，最大值为 3
D． f x 的最小正周期为 2π，最大值为 4
9．某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图．圆柱表面上的点 M 在 正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则 在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为
B ． 12π
C． 8 2π
D ． 10π
6．设函数 f x x3 a 1 x2 ax ．若 f x 为奇函数，则曲线 y f x 在点 0 ，0 处的切线方程为
A． y 2x
B． y x
C． y 2x
uuur 7．在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB
3 uuur A ． AB
2．设 z
1i 1i
2i ，则 z
A．0
1 B．
2
C． 1
D． 2
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经
济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
福建省福州市2018届高三上学期期末考试数学(文)
2
f x af x
0 恰有 3 个整数解，则实数 a 的
最小值为（ ）
31
A． 1
B
． 2e
C ． e2 1
D
e ．
e3
第Ⅱ卷（共 90 分）
13、 填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上， 则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是． 14. 曲线 y x3 2x2 2x 在 x 1 处的切线方程为．
为 1500 元，生产一张桌子的利润为 2000 元 . 该厂每个月木工最多完成 8000 个工作时、漆工最多完
成 1300 个工作时 . 根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是元
.
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤. ）
17. 已知数列 an 前 n 项和为 Sn ，且 Sn 2an 1 .
（）
A． 2 4 2 2 3
B
．2 2 2 4 3
C ． 2 6 3 D ．8 4 2
fx 10. 已知函数
log 2 x a, x 0,
x2
4 1,x
0.
若f a
3 ，则 f 16
63
15
B
． 3 C ． 64 或 3 D ． 16 或 3
· 2·
11. 过椭圆
C
:
x2 a2
（ 1）证明数列 an 是等比数列；
（ 2）设 bn 2n 1 an ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
18. 随着“互联网 +交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现
2018年福建高考数学(文科)试题答案
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．B9．B10．C11．B12．D二、填空题13．-714．615．16三、解答题17．解：（1）由条件可得a n +1=．2(1)n n a n+将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．121n na a n n+=+（3）由（2）可得，所以a n =n ·2n -1．12n na n-=18．解：（1）由已知可得，=90°，．BAC ∠BA AC ⊥又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ．又AB 平面ABC ，⊂所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由已知可得，DC =CM =AB =3，DA =．又，所以．23BP DQ DA ==BP =作QE ⊥AC ，垂足为E ，则．QE =P 13DC 由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE =1．因此，三棱锥的体积为Q ABP -．11113451332Q ABP ABP V QE S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=△19．解：（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m 3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48．（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为．11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为．21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=估计使用节水龙头后，一年可节省水．3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=20．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =或．112x +112y x =--（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．(2)(0)y k x k =-≠由得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=，y 1y 2=–4．2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，2k 直线BM ，BN 的斜率之和为．①1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++将，及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得112y x k =+222yx k=+．121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．21．解：（1）f （x ）的定义域为，f ′（x ）=a e x –．(0)+∞，1x由题设知，f ′（2）=0，所以a =．212e 从而f （x ）=，f ′（x ）=．21e ln 12e x x --211e 2e x x-当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥时，f （x ）≥．1e e ln 1exx --设g （x ）=，则 e ln 1e x x --e 1()e x g x x'=-．当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当时，．1ea ≥()0f x ≥22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）解：（1）由，得的直角坐标方程为cos x ρθ=sin y ρθ=2C ．22(1)4x y ++=（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．2C (1,0)A -2由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为1C (0,2)B y y 1l y 2l．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两B 2C 1C 2C 1l 2C 2l 2C 个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．2l 2C 1l 2C 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，故或．1l 2C A 1l 22=43k =-0k =经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共0k =1l 2C 43k =-1l 2C 2l 2C 点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，故或．2l 2C A 2l 22=0k =43k =经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．学.科网0k =1l 2C 43k =2l 2C 综上，所求的方程为．1C 4||23y x =-+23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）解：（1）当时，，即1a =()|1||1|f x x x =+--2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式的解集为．()1f x >1{|}2x x >（2）当时成立等价于当时成立．(0,1)x ∈|1||1|x ax x +-->(0,1)x ∈|1|1ax -<若，则当时；0a ≤(0,1)x ∈|1|1ax -≥若，的解集为，所以，故．0a >|1|1ax -<20x a <<21a≥02a <≤综上，的取值范围为．a (0,2]1。
福建省2018届高三毕业班质量检查测试数学试题(文)有答案AKUKqq
2018年福建省高三毕业班质量检查测试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--<，{}2,1,1,2B =--，则A B =I （ ） A ．{}1,2- B ．{}2,1- C ．{}1,2D ．{}1,2--2.已知向量()1,1AB =u u u r ，()2,3AC =u u u r，则下列向量中与BC uuu r 垂直的是（ ）A ．()3,6a =B ．()8,6b =-C ．()6,8c =D ．()6,3d =-3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12n n S λ+=+，则λ=（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 4.如图，曲线sin32xy π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．13C ．38 D ．345.若α是第二象限角，且3sin 5α=，则12sin sin 22παπα+--=（ ） A ．65-B ．45-C ．45D ．656.已知0.30.4a =，0.40.3b =，0.20.3c -=，则（ ） A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c b a << D ．a b c <<7. 程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A ．120B ．84C ．56D ．288.某校有A ，B ，C ，D 四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下： 甲说：“A 、B 同时获奖”； 乙说：“B 、D 不可能同时获奖”； 丙说：“C 获奖”；丁说：“A 、C 至少一件获奖”.如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（ ） A ．作品A 与作品B B ．作品B 与作品C C ．作品C 与作品D D ．作品A 与作品D9.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为（ ）A ．()2421π+B ．()24222π+C ．)2451π+D ．()24232π+-10.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且x R ∈时，均有()()32f x f x +=-，()28f x ≤≤，则满足条件的()f x 可以是（ ） A ．()263cos5x f x π=+ B ．()53cos 5xf x π=+C ．()2,8,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩ D ．()2,08,0x f x x ≤⎧=⎨>⎩11.已知1F ，2F 为双曲线C ：221169x y -=的左、右焦点，P 为C 上异于顶点的点.直线l 分别与1PF ，2PF 为直径的圆相切于A ，B 两点，则AB =（ ）A ．7B ．3C ．4D ．512.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2112n n n S a a ++=-，且29a a =，则所有满足条件的数列中，1a 的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知复数z 满足()3443z i i +=+，则z =．14.若x ，y 满足约束条件2300260x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的取值范围为．15.已知A ，B 分别为椭圆C 的长轴端点和短轴端点，F 是C 的焦点.若ABF ∆为等腰三角形，则C 的离心率等于．16.已知底面边长为42，侧棱长为25的正四棱锥S ABCD -内接于球1O .若球2O 在球1O 内且与平面ABCD 相切，则球2O 的直径的最大值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos sin 3b C c B a -=. （1）求B ；（2）若3a =，7b =，D 为AC 边上一点，且3sin 3BDC ∠=，求BD . 18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，133CC =，3BC =，23AC =.（1）试在线段1B C 上找一个异于1B ，C 的点P ，使得1AP PC ⊥，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，求多面体111A B C PA 的体积.19.某种常见疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型.为了解该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄（以下简称初次患病年龄）的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调查其疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据：（2）记“初次患病年龄在[)10,40的患者”为“低龄患者”，“初次患病年龄在[)40,70的患者”为“高龄患者”.根据表中数据，解决以下问题：（i ）将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与该疾病的类型有关联的可能性更大.（直接写出结论，不必说明理由） 表一：的类型与X 有关？”附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20.在平面直角坐标系xOy 中，点F 的坐标为0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，以MF 为直径的圆与x 轴相切. （1）求点M 的轨迹的方程；（2）设T 是E 上横坐标为2的点，OT 的平行线l 交E 于A ，B 两点，交E 在T 处的切线于点N .求证：252NT NA NB =⋅. 21.已知函数()12ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）讨论()f x 的单调区间； （2）若12a =，证明：()f x 恰有三个零点. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），1l ，2l 为过点O 的两条直线，1l 交M 于A ，B 两点，2l 交M 于C ，D 两点，且1l 的倾斜角为α，6AOC π∠=.（1）求1l 和M 的极坐标方程； （2）当0,6πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()2f x x =-，()1g x a x =-.（1）若不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4，求a 的值； （2）若当x R ∈时，()()f x g x ≥，求a 的取值范围.2018年福建省高三毕业班质量检查测试文科数学参考答案及评分细则一、选择题1-5:CDAAC 6-10:ABDBC 11、12：BB 二、填空题13．1 14．[]24， 15．1216．8 三、解答题17．解：（1cos sin C c B -=，得cos sin sin B C C B A -=，因为A B C π++=()cos sin sin B C C B B C -=+，cos sin sin cos sin B C C B B C B C -=，即sin sin sin C B B C -=，因为sin 0C ≠，所以sin B B =，所以tan B =又()0,B π∈，解得23B π=. （2）在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 又3a =，7b =，所以222173232c c ⎛⎫=+-⨯⨯-⎪⎝⎭， 整理得()()850c c +-=，因为0c >，所以5c =， 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b cB C =5sin C =，解得sin 14C =. 在BCD ∆中，由正弦定理sin sin BD aC BDC=∠，因为sin BDC ∠==4514BD =. 18．解：（1）当P 满足11C P B C ⊥时，1AP PC ⊥. 证明如下：在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1C C AC ⊥. 又因为AC BC ⊥，1C C BC C =I ，所以AC ⊥平面11BCC B . 因为1PC ⊂平面11BCC B ，所以1AC PC ⊥. 又因为11C P B C ⊥，且1B C AC C =I ，所以1PC ⊥平面1AB C ，因为AP ⊂平面1AB C ，所以1AP PC ⊥.（2）因为1CC ⊥平面111A B C ，11B C ⊂平面111A B C ， 所以111CC B C ⊥.在11Rt B C C ∆中，113B C BC ==，133CC =16B C =. 因为1111Rt Rt B PC B C C ∆∆:，所以111111B P B C B C B C =，所以132B P =. 在11Rt BC C ∆中，11111tan 3CC CB C B C ∠==113CB C π∠=， 所以11111111sin 2B PC S B C B P CB C ∆=⋅⋅∠13393322=⨯⨯=. 因为AC ⊥平面11BCC B ，且23AC = 所以111111939233384A B C P B PC V S AC -∆=⋅=⨯⨯=. 因为1AA ⊥平面111A B C ，且1133AA CC ==1123AC AC ==， 所以1111111111323339332A ABC A B C V S AA -∆=⋅=⨯⨯⨯=. 所以多面体111A B C PA 的体积为11111945944A B C P A A B C V V --+=+=. 19．解：（1）依题意，从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，其初次患病年龄小于40岁的概率估计值为15105408+=. （2）（i ）填写结果如下： 表一：疾病类型患者所在地域Ⅰ型 Ⅱ型 合计 甲地 23 37 60 乙地 17 23 40 合计4060100疾病类型初次患病年龄Ⅰ型 Ⅱ型 合计 低龄 25 15 40 高龄 15 45 60 合计4060100（ii ）根据表二的数据可得：25a =，15b =，15c =，45d =，100n =.则()221002545151514.06340604060K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.由于210.828K >，故有99.9%的把握认为该疾病类型与初次患病年龄有关. 20．解：（1）设点(),M x y ，因为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以MF 的中点坐标为21,24x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为以MF 为直径的圆与x 轴相切，所以2124MF y +=， 即212y MF +=， 故2221122y x y +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，化简得22x y =，所以M 的轨迹E 的方程为22x y =.（2）因为T 是E 上横坐标为2的点，由（1）得()2,2T ，所以直线OT 的斜率为1，因为l OT ∥，所以可设直线l 的方程为y x m =+，0m ≠. 由212y x =，得y x '=，则E 在T 处的切线斜率为22x y ='=，所以E 在T 处的切线方程为22y x =-. 由,22y x m y x =+⎧⎨=-⎩得2,22,x m y m =+⎧⎨=+⎩所以()2,22N m m ++，所以()()2222222225NTm m m =+-++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.由2,2y x m x y=+⎧⎨=⎩消去y 得2220x x m --=， 由480m ∆=+>，解得12m >-. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，122x x m =-.因为,,N A B 在l 上，所以()12NA m =-+，()22NB m -+，所以()()12222NA NB x m x m ⋅=-+⋅-+()()()21212222x x m x x m =-++++ ()()222222m m m =--+++22m =.所以252NTNA NB =⋅. 21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()2221221ax x a f x a x x x -+⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭. ①当0a ≤时，因为0x >，所以220ax x a -+<，所以()0f x '<， 所以()f x 的单调递减区间为()0,+∞.②当0a >时，令()0f x '=，得220ax x a -+=， 当1a ≥时，2440a ∆=-≤，()0f x '≥， 所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞， 当01a <<时，2440a ∆=->，由220ax x a -+=得1x =，2x =因为01a <<，所以210x x >>，所以，当10,x a ⎛∈ ⎪⎝⎭或1,x a ⎛⎫∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当x ∈⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间为11a a ⎛⎪⎝⎭. 综上，当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞； 当1a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当01a <<时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间为11a a ⎛⎪⎝⎭. （2）因为12a =，所以()112ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.由（1）知，()f x 的单调递增区间为(0,2，()2++∞，()f x 的单调递减区间为(2+.又()10f =，(12∈-，所以()f x 在(2有唯一零点，且(20f >，(20f +<，因为30e 2-<<-()333311e e 2ln e 2e f ----⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3331e e 6702e 22=-+<-<，所以()f x 在(0,2-有唯一零点.又()()33e e 0f f -=->，3e 2>+，所以()f x 在()2+∞有唯一零点.综上，当12a =时，()f x 恰有三个零点. 22．解：（1）依题意，直线1l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ， 由1cos ,1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩消去ϕ，得()()22111x y -+-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入上式， 得22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，故M 的极坐标方程为22cos 2sin 10ρρθρθ--+=.（2）依题意可设()1,A ρα，()2,B ρα，3,6C πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,6D πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 且1234,,,ρρρρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=， 得()22cos sin 10ρααρ-++=， 所以()122cos sin ρραα+=+， 同理可得，342cos sin 66ππρραα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以点O 到,,,A B C D 四点的距离之和为()12342cos sin ρρρραα+++=+2cos sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ((13sin 33cos αα=+ (213sin 3πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为0,6πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以当sin 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即6πα=时，1234ρρρρ+++取得最大值223+ 所以点O 到,,,A B C D 四点距离之和的最大值为223+23．解：（1）由()33g x -≥-，得32a x -≥-， 因为不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4，所以0a <，故不等式可化为23x a -≤-， 解得2233x a a+≤≤-， 所以232,234,a a⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2a =-.（2）①当0x =时，21x a x -≥-恒成立，所以a ∈R . ②当0x ≠时，21x a x -≥-可化为21x a x-+≤， 设()()210x h x x x-+=≠， 则()31,0,31,02,11, 2.x x h x x xx x ⎧-+<⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩所以当2x =时，()min 12h x =，所以12a ≤. 综上，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。
福建省福州一中2017-2018学年高三下学期期初数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年福建省福州一中高三（下）期初数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2} 2．“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x3．，是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1 C．D．5．执行如图所示的程序框图，输出的S的值是（）A．﹣6 B．10 C．﹣15 D．116．若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A． B．C．D．7．设a=0.23，b=log20.3，c=log0.32，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c8．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4C．D．169．在等差数列{a n}中，a9=a12+6，则该数列的前11项和为（）A．12 B．72 C．132 D．19210．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A． +1 B．C． +1 D．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈[﹣2016，2016]，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，且x＞0时，有f（x）＜2016，f（x）的最大值、最小值分别为M，N，则M+N的值为（）A．2015 B．2016 C．4030 D．4032二、填空题设复数z=﹣1﹣i，z的共轭复数为，则=．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m=．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acos A，则sin A：sin B：sin C为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足，其前n项和为T n，求T n．18．某商店计划每天购进某商品若干千件，商店每销售一件该商品可获利涧50元，供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外徘调剂，此时每件调剂商品可获利30元．（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N*）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）．整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润X的分布列及平均值．19．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是棱BC，B1C1上的动点，且EF∥CC1，CD=DD1=1，AB=2，BC=3．（Ⅰ）证明：无论点E怎样运动，四边形EFD1D都为矩形；（Ⅱ）当EC=1时，求几何体A﹣EFD1D的体积．20．已知椭圆E：（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求出该圆的方程．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE 的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．选修4-4：极坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是为参数，0≤α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线与曲线C2相交，交点分别为A，B，C（A，B，C均不与O重合）．（1）求证：；（2）当时，B，C两点在曲线C1上，求m与α的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年福建省福州一中高三（下）期初数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2}【考点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法．【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x 【考点】的否定．【分析】根据全称的否定是特称，利用特称写出的否定．【解答】解：根据全称的否定是特称，∴的否定是：∃x0∈R，=x0．故选：D．【点评】本题考查了全称的否定，要注意的否定与的否是两个完全不同的，全称的否定是特称．3．，是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．【分析】设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）=0，解得cosθ=﹣，可得θ的值．【解答】解：设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）=0，即+=1+1×2×cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴θ=120°，故选C．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，根据三角函数的值求角，属于中档题．4．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，即可得到线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：由于F是抛物线y2=x的焦点，则F（，0），准线方程x=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1++x2+=3，解得x1+x2=，∴线段AB的中点横坐标为．∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选C．【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．5．执行如图所示的程序框图，输出的S的值是（）A．﹣6 B．10 C．﹣15 D．11 【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，即可得出程序运行后输出的S值．【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；i=1，S=0，i＜6，i是奇数，S=0﹣12=﹣1；i=2，i＜6，i不是奇数，S=﹣1+22=3；i=3，i＜6，i是奇数，S=3﹣32=﹣6；i=4，i＜6，i不是奇数，S=﹣6+42=10；i=5，i＜6，i是奇数，S=10﹣52=﹣15；i=6，i≥6，输出S=﹣15．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．6．若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A． B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由条件可得y=，显然定义域为R，且过点（0，1），当x＞0时，y=，是减函数，从而得出结论．【解答】解：若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则得y=，显然定义域为R，且过点（0，1），故排除C、D．再由当x＞0时，y=，是减函数，故排除A，故选B．【点评】本题主要考查指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合应用，以及函数的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题，属于基础题．7．设a=0.23，b=log20.3，c=log0.32，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c【考点】对数值大小的比较．【分析】根据对数函数和指数函数比较a，b，c与0，﹣1，的关系，即可得到答案【解答】解：∵0＜0.23＜1，b=log20.3＜log20.5=﹣1，log0.32＞log0.3=﹣1，∴b＜c＜a，故选：B．【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，关键是找到和0，﹣1和关系，属于基础题8．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4C．D．16【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故选B【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．9．在等差数列{a n}中，a9=a12+6，则该数列的前11项和为（）A．12 B．72 C．132 D．192【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知求得a6，再由S11=11a6求得答案．【解答】解：由a9=a12+6，得2a9﹣a12=12，即2a1+16d﹣a1﹣11d=12，∴a1+5d=12，a6=12．则S11=11a6=11×12=132．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A． +1 B．C． +1 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出F1（﹣c，0），A（0，c），设B（x，y），根据=4，可得x=﹣，y=，代入双曲线方程，即可得出结论．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），A（0，c），设B（x，y），则∵=4，∴（﹣c，﹣c）=4（﹣c﹣x，﹣y），∴x=﹣，y=，代入双曲线方程可得，∴9e4﹣28e2+16=0，∴e=．故选B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定坐标之间的关系是关键．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4，∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a，则=，∴a=2，设小球的半径为r，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈[﹣2016，2016]，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，且x＞0时，有f（x）＜2016，f（x）的最大值、最小值分别为M，N，则M+N的值为（）A．2015 B．2016 C．4030 D．4032【考点】抽象函数及其应用．【分析】特殊值法：令x1=x2=0，得f（0）=2016，再令x1+x2=0，将f（0）=2016代入可得f（x）+f（﹣x）=4032．根据条件x＞0时，有f（x）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x1，x2∈[﹣2016，2016]，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，∴令x1=x2=0，得f（0）=2016，再令x1+x2=0，将f（0）=2016代入可得f（x）+f（﹣x）=4032．设x1＜x2，x1，x2∈[﹣2016，2016]，则x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题（2016春福州校级月考）设复数z=﹣1﹣i，z的共轭复数为，则=﹣3+i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：=（2+i）（﹣1+i）=﹣3+i，故答案为：﹣3+i．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m=2．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acos A，则sin A：sin B：sin C为6：5：4．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】设三边长分别为a、a﹣1、a﹣2．由余弦定理可得cosA=．再由3b=20acosA，可得cosA=，故有=，解得a的值，可得三边长．再由正弦定理可得sinA：sinB：sinC 的值．【解答】解：由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为a、a﹣1、a﹣2．由余弦定理可得 cosA===．再由3b=20acos A ，可得cosA==，故有=，解得 a=6，故三边分别为6，5，4．由正弦定理可得 sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c=a ：（a ﹣1）：（ a ﹣2）=6：5：4，故答案为 6：5：4．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，求出a=6是解题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足．（1）证明：数列{a n +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足，其前n 项和为T n ，求T n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用公式a n +1=S n +1﹣S n 即可得出a n +1+1=2（a n +1），故数列{a n +1}为等比数列，利用等比数列的通项公式得出a n +1，从而得出a n ；（2）化简b n =n2n ﹣n ，再使用分项求和和错位相减法求和得出T n ． 【解答】解：（1）∵S n +n=2a n ，∴S n +1+（n +1）=2a n +1，∴a n +1+1=2a n +1﹣2a n ，即a n +1+1=2（a n +1），又a 1+1=2a 1，∴a 1=1．∴{a n +1}是以2为首选，以2为公比的等比数列．∴a n +1=2n ，∴a n =2n ﹣1．（2）b n =（2n ﹣1）log 22n =n （2n ﹣1）=n2n ﹣n ．∴T n =12+222+323+…+n2n ﹣（1+2+3+…+n ）=12+222+323+…+n2n﹣．设12+222+323+…+n2n=A n，则122+223+324+…+n2n+1=2A n，两式相减得2+22+23+…+2n﹣n2n+1=﹣A n，∴﹣A n=﹣n2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2，∴A n=（n﹣1）2n+1+2，∴T n=（n﹣1）2n+1+2﹣．【点评】本题考查了等比关系的判断，数列通项公式的求法，错位相减法求和，属于中档题．18．某商店计划每天购进某商品若干千件，商店每销售一件该商品可获利涧50元，供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外徘调剂，此时每件调剂商品可获利30元．（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N*）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）．整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润X的分布列及平均值．【考点】离散型随机变量及其分布列；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据题意分段求解得出当1≤n≤10时，y利润，当n＞10时，y利润，由此能求出当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式．（2）由已知得X的可能取值为380，440，500，530，560，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和平均值．【解答】解：（1）当1≤n≤10时，y利润=50n+（10﹣n）×（﹣10）=60n﹣100，=50×10+（n﹣10）×30=30n+200，当n＞10时，y利润=．所以函数解析式y利润（2）∵日需求量为8，频数9天，利润为50×8﹣10×2=380，日需求量为9，频数11天，利润为50×9﹣10×1=440，日需求量为10，频数15，利润为50×10=500，日需求量为11，频数10，利润为50×10+30=530，日需求量为12，频数5，利润为50×10+30×2=560，∴X的可能取值为380，440，500，530，560，P（X=380）=，P（X=440）=，P（X=500）=，P（X=530）=，P（X=560）=，∴X的分布列为：平均值EX=+=477.2（元）．【点评】本题考查了运用概率知识求解实际问题的利润问题，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题19．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是棱BC，B1C1上的动点，且EF∥CC1，CD=DD1=1，AB=2，BC=3．（Ⅰ）证明：无论点E怎样运动，四边形EFD1D都为矩形；（Ⅱ）当EC=1时，求几何体A﹣EFD1D的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．【分析】（I）要证明无论点E怎样运动，四边形EFD1D都为矩形，我们可根据已知中直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是棱BC，B1C1上的动点，且EF∥CC1，先由线面平行的性质定理，判断出四边形EFD1D为平行四边形，再证明其邻边相互垂直，进而得到答案．（II）连接AE，我们易根据已知条件，结合直棱柱的几何特征和勾股定理，判断出AE到为四棱锥的高，根据CD=DD1=1，AB=2，BC=3及EC=1，我们计算出四棱锥底面面积的和高，代入棱锥体积公式即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1∥CC1，∵EF∥CC1，∴EF∥DD1，又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面EFD1D=ED，平面A1B1C1D1∩平面EFD1D=FD1，∴ED∥FD1，∴四边形EFD1D为平行四边形，∵侧棱DD1⊥底面ABCD，又DE⊂平面ABCD内，∴DD1⊥DE，∴四边形EFD1D为矩形；（Ⅱ）证明：连接AE，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，∴侧棱DD1⊥底面ABCD，又AE⊂平面ABCD内，∴DD1⊥AE，在Rt△ABE中，AB=2，BE=2，则；在Rt△CDE中，EC=1，CD=1，则；在直角梯形中ABCD，；∴AE2+DE2=AD2，即AE⊥ED，又∵ED∩DD1=D，∴AE⊥平面EFD1D；由（Ⅰ）可知，四边形EFD1D为矩形，且，DD1=1，∴矩形EFD1D的面积为，∴几何体A﹣EFD1D的体积为．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积公式及平面的基本性质及推论，其中求几何体A ﹣EFD1D的体积，关键是要找到棱锥的高，求出高和底面面积后，代入棱锥体积公式即可得到答案．20．已知椭圆E：（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求出该圆的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）通过|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a、b，即可求椭圆E的方程；（2）假设以原点为圆心，r为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），结合x1x2+y1y2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F1F2|=|MF1|+|MF2|，即2×2c=2a，得a=2c．①又由，得②且a2=b2+c2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx +m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即4（1+k 2）（m 2﹣3）﹣8k 2m 2+3m 2+4k 2m 2=0，化简得m 2=（k 2+1），②由①②求得r 2=．所求圆的方程为x 2+y 2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r 2=|x |=．综上，总存在以原点为圆心的圆x 2+y 2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．已知f （x ）=xlnx ，g （x ）=，直线l ：y=（k ﹣3）x ﹣k +2（1）函数f （x ）在x=e 处的切线与直线l 平行，求实数k 的值（2）若至少存在一个x 0∈[1，e ]使f （x 0）＜g （x 0）成立，求实数a 的取值范围（3）设k ∈Z ，当x ＞1时f （x ）的图象恒在直线l 的上方，求k 的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则kx0＞2lnx0⇒a＞，只需要k大于h（x）=的最小值即可．（3）分离参数，得到k＜，构造函数，求函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=1+lnx，∴f′（e）=1+lne=k﹣3∴k=5，（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则ax02＞x0lnx0，∴a＞设h（x）=则h′（x）=，当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号）∴h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=0，因此a＞0．（3）由题意xlnx＞（k﹣3）x﹣k+2在x＞1时恒成立即k＜，设F（x）=，∴F′（x）=，令m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣=＞0在x＞1时恒成立所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0（x0∈（3，4））使m（x）=0当1＜x＜x0时m（x）＜0即F′（x）＜0，当x＞＜x0时m（x）＞0即F′（x）＞0，所以F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，F（x）min=F（x0）===x0+2∈（5，6）故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5【点评】本题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE 的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．【考点】圆周角定理；与圆有关的比例线段．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB 的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2﹣14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．故AD=2，AB=12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12﹣2）=5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为5【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．选修4-4：极坐标系与参数方程23．（2016春福州校级月考）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是为参数，0≤α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线与曲线C2相交，交点分别为A，B，C（A，B，C均不与O重合）．（1）求证：；（2）当时，B，C两点在曲线C1上，求m与α的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）射线（Φ∈）分别与曲线C2联立解得：A（4cosΦ，Φ），B（4cos（Φ+），Φ+），C（4cos（Φ﹣），Φ），化简|OB|+|OC|=×4×cosΦ，即可证明．（2）曲线C1的参数方程是为参数，0≤α＜π），当时，B，C，可得直角坐标B，C．根据两点在曲线C1上，即可得出．【解答】（1）证明：射线（Φ∈）分别与曲线C2联立解得：A（4cosΦ，Φ），B（4cos（Φ+），Φ+），C（4cos（Φ﹣），Φ），则|OB|+|OC|=4cos（Φ+）+4cos（Φ﹣）=2×4×cosΦcos=×4×cosΦ=|OA|．∴；（2）解：曲线C1的参数方程是为参数，0≤α＜π），当时，B，C，可得直角坐标B，C．∵两点在曲线C1上，∴α=0，m∈R．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化公式、直线的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2016湖南四模）已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x≤﹣2，﹣2＜x＜1与x≥1三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；（2）在坐标系中，作出的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，分﹣a≥2与﹣a＜2讨论，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6}…（2），函数f（x）的图象如图所示：令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；…当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，∴a≥2+，即a≥4时成立，综上a≤﹣2或a≥4．…【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的性质及应用，考查等价转化思想与作图分析能力，突出恒成立问题的考查，属于难题．。
2018年高三数学试卷(文科)
2018年高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）设全集U={x ∈R |x ＞0}，函数f （x ）=√lnx−1的定义域为A ，则∁U A 为（ ）A ．（0，e ]B ．（0，e ）C ．（e ，+∞）D ．[e ，+∞）2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z=﹣2i ，i 为虚数单位，则z=（ ） A ．﹣1+iB ．﹣1﹣iC ．1+iD ．1﹣i3．（5分）已知A （1，﹣2），B （4，2），则与AB →反方向的单位向量为（ ）A ．（﹣35，45）B ．（35，﹣45）C ．（﹣35，﹣45）D ．（35，45）4．（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log 20.5，则（ ） A ．n ＞m ＞pB ．n ＞p ＞mC ．m ＞n ＞pD ．p ＞n ＞m5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n 的值为（ ）A ．19B ．20C ．21D ．226．（5分）已知p ：x ≥k ，q ：（x ﹣1）（x +2）＞0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2）B ．[﹣2，+∞）C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）7．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（ ）A ．056，080，104B ．054，078，102C ．054，079，104D ．056，081，1068．（5分）若直线x=54π和x=94π是函数y=sin （ωx +φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（ ）A ．3π4B ．π2C ．π3D ．π49．（5分）如果实数x ，y 满足约束条件{3x +y −6≤0x −y −2≤0x ≥1，则z=y+1x+1的最大值为（ ）A ．13B ．12 C ．2 D ．310．（5分）函数f （x ）={−x −1，x ＜121−x ，x ≥1的图象与函数g （x ）=log 2（x +a ）（a ∈R ）的图象恰有一个交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ≤﹣34 C ．a ≥1或a ＜﹣34 D ．a ＞1或a ≤﹣34二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知直线l ：x +y ﹣4=0与坐标轴交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则经过O 、A 、B 三点的圆的标准方程为 ．12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．13．（5分）在[0，a ]（a ＞0）上随机抽取一个实数x ，若x 满足x−2x+1＜0的概率为12，则实数a 的值为 ．14．（5分）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）上的一点M （1，t ）（t ＞0）到焦点的距离为5，双曲线x 2a ﹣y 29=1（a ＞0）的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为 ．15．（5分）已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）+g （x ）=2x ，若存在x 0∈[1，2]使得等式af （x 0）+g （2x 0）=0成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知向量m →=（sinx ，﹣1），n →=（cosx ，32），函数f （x ）=（m →+n →）•m →．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移π8个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（A2）=√66，sinB=cosA，求b的值．17．（12分）某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：物理及格物理不及格合计数学及格28836数学不及格162036合计442872（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；（2）从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．附：x2=n(n11n22−n21n12)2 n1⋅n2⋅n+1⋅n+2．P（X2≥k）0.1500.1000.0500.010k 2.072 2.706 3.841 6.63518．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．（1）求证：PA⊥平面CMN；（2）求证：AM∥平面PBC．19．（12分）已知等差数列{a n}的首项a1=2，前n项和为S n，等比数列{b n}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=b n+（﹣1）n a n，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣axx−1，a∈R．（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）＜0对任意x∈（0，1）成立．21．（14分）已知椭圆E：x2a+y2b=1（a＞b＞0）的离心率是√32，点P（1，√32）在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q（x Q，y Q）（点Q异于点P），若0＜x Q＜1，求直线l斜率k的取值范围；（3）若以点P为圆心作n个圆P i（i=1，2，…，n），设圆P i交x轴于点A i、B i，且直线PA i、PB i分别与椭圆E交于M i、N i（M i、N i皆异于点P），证明：M1N1∥M2N2∥…∥M n N n．2018年高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）设全集U={x ∈R |x ＞0}，函数f （x ）=√lnx−1的定义域为A ，则∁U A 为（ ）A ．（0，e ]B ．（0，e ）C ．（e ，+∞）D ．[e ，+∞） 【分析】先求出集合A ，由此能求出C U A ． 【解答】解：∵全集U={x ∈R |x ＞0}， 函数f （x ）=√lnx−1的定义域为A ，∴A={x |x ＞e }，∴∁U A={x |0＜x ≤e }=（0，e ]． 故选：A ．【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z=﹣2i ，i 为虚数单位，则z=（ ） A ．﹣1+iB ．﹣1﹣iC ．1+iD ．1﹣i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（1+i ）z=﹣2i ，则z=−2i 1+i =−2i(1−i)(1+i)(1−i)=﹣i ﹣1．故选：B ．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）已知A （1，﹣2），B （4，2），则与AB →反方向的单位向量为（ ）A ．（﹣35，45）B ．（35，﹣45）C ．（﹣35，﹣45）D ．（35，45）【分析】与AB →反方向的单位向量=﹣AB→|AB →|，即可得出．【解答】解：AB →=（3，4）． ∴与AB →反方向的单位向量=﹣AB→|AB →|=﹣√32+42=(−35，−45)．故选：C ．【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log 20.5，则（ ） A ．n ＞m ＞pB ．n ＞p ＞mC ．m ＞n ＞pD ．p ＞n ＞m【分析】利用指数函数对数函数的运算性质即可得出．【解答】解：m=0.52=14，n=20.5=√2＞1，p=log 20.5=﹣1，则n ＞m ＞p ． 故选：A ．【点评】本题考查了指数函数对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n 的值为（ ）A ．19B ．20C ．21D ．22【分析】模拟执行如图所示的程序框图知该程序的功能是 计算S=1+2+3+…+n ≥210时n 的最小自然数值，求出即可． 【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n ≥210时n 的最小自然数值，由S=n(n+1)2≥210，解得n ≥20，∴输出n 的值为20． 故选：B ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．6．（5分）已知p：x≥k，q：（x﹣1）（x+2）＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）【分析】利用不等式的解法、充分不必要条件的意义即可得出．【解答】解：q：（x﹣1）（x+2）＞0，解得x＞1或x＜﹣2．又p：x≥k，p是q的充分不必要条件，则实数k＞1．故选：C．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（）A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到006号，以后每隔60024=25个号抽到一个人，则以6为首项，25为公差的等差数列，即所抽取的编号为6，31，56，81，106，故选：D．【点评】本题主要考查系统抽样方法的应用，解题时要认真审题，是基础题．8．（5分）若直线x=54π和x=94π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（）A．3π4B．π2C．π3D．π4【分析】根据直线x=54π和x=94π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，可得周期T，利用x=54π时，函数y取得最大值，即可求出φ的取值．【解答】解：由题意，函数y的周期T=2×(94π−54π)=2π．∴函数y=sin （x +φ）．当x=54π时，函数y 取得最大值或者最小值，即sin （5π4+φ）=±1，可得：5π4+φ=π2+kπ．∴φ=kπ−3π4，k ∈Z ．当k=1时，可得φ=π4．故选：D ．【点评】本题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用，属于基础题．9．（5分）如果实数x ，y 满足约束条件{3x +y −6≤0x −y −2≤0x ≥1，则z=y+1x+1的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，z=y+1x+1的几何意义是区域内的点到定点（﹣1，﹣1）的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出约束条件{3x +y −6≤0x −y −2≤0x ≥1所对应的可行域（如图阴影），z=y+1x+1的几何意义是区域内的点到定点P （﹣1，﹣1）的斜率， 由图象知可知PA 的斜率最大， 由{x =13x +y −6=0，得A （1，3），则z=3+11+1=2，即z 的最大值为2， 故选：C ．【点评】本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题．10．（5分）函数f （x ）={−x −1，x ＜121−x ，x ≥1的图象与函数g （x ）=log 2（x +a ）（a ∈R ）的图象恰有一个交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1B ．a ≤﹣34C ．a ≥1或a ＜﹣34D ．a ＞1或a ≤﹣34【分析】作出f （x ）的图象和g （x ）的图象，它们恰有一个交点，求出g （x ）的恒过定点坐标，数形结合可得答案．【解答】解：函数f （x ）={−x −1，x ＜121−x ，x ≥1与函数g （x ）的图象它们恰有一个交点，f （x ）图象过点（1，1）和（1，﹣2），而，g （x ）的图象恒过定点坐标为（1﹣a ，0）．从图象不难看出：到g （x ）过（1，1）和（1，﹣2），它们恰有一个交点，当g （x ）过（1，1）时，可得a=1，恒过定点坐标为（0，0），往左走图象只有一个交点．当g （x ）过（1，﹣2）时，可得a=−34，恒过定点坐标为（74，0），往右走图象只有一个交点．∴a ＞1或a ≤﹣34．故选：D ．【点评】本题考查了分段函数画法和对数函数性质的运用．数形结合的思想．属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B 三点的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．【分析】根据题意，求出直线与坐标轴的交点坐标，分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，求出圆的半径与圆心，代入圆的标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于（4，0）、（0，4）两点，即A、B的坐标为（4，0）、（0，4），经过O、A、B三点的圆，即△AOB的外接圆，而△AOB为等腰直角三角形，则其外接圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，则有2r=|AB|=4√2，即r=2√2，圆心坐标为（2，2），其该圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．【点评】本题考查圆的标准方程，注意直角三角形的外接圆的性质．12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为163．【分析】由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积V=23−13×22×2=163． 故答案为：163．【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（5分）在[0，a ]（a ＞0）上随机抽取一个实数x ，若x 满足x−2x+1＜0的概率为12，则实数a 的值为 4 ．【分析】求解分式不等式得到x 的范围，再由测度比为测度比得答案．【解答】解：由x−2x+1＜0，得﹣1＜x ＜2． 又x ≥0，∴0≤x ＜2． ∴满足0≤x ＜2的概率为2a =12，得a=4．故答案为：4．【点评】本题考查几何概型，考查了分式不等式的解法，是基础的计算题．14．（5分）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）上的一点M （1，t ）（t ＞0）到焦点的距离为5，双曲线x 2a 2﹣y 29=1（a ＞0）的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为 2 ．【分析】设M 点到抛物线准线的距离为d ，由已知可得p 值，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则41+a =3a，解得实数a 的值． 【解答】解：设M 点到抛物线准线的距离为d ，则丨MF 丨=d=1+p 2=5，则p=8， 所以抛物线方程为y 2=16x ，M 的坐标为（1，4）；又双曲线的左顶点为A （﹣a ，0），渐近线为y=±3a， 直线AM 的斜率k=4−01+a =41+a ，由41+a =3a，解得a=3． ∴a 的值为3，故答案为：3．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，是抛物线与双曲线的综合应用，属于中档题．15．（5分）已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）+g （x ）=2x ，若存在x 0∈[1，2]使得等式af （x 0）+g （2x 0）=0成立，则实数a 的取值范围是 [−154，−32] ． 【分析】根据函数奇偶性，解出奇函数g （x ）和偶函数f （x ）的表达式，将等式af （x ）+g（2x ）=0，令t=2x ﹣2﹣x ，则t ＞0，通过变形可得a=t +2t，讨论出右边在x ∈[1，2]的最大值，可以得出实数a 的取值范围．【解答】解：解：∵g （x ）为定义在R 上的奇函数，f （x ）为定义在R 上的偶函数， ∴f （﹣x ）=f （x ），g （﹣x ）=﹣g （x ），又∵由f （x ）+g （x ）=2x ，结合f （﹣x ）+g （﹣x ）=f （x ）﹣g （x ）=2﹣x ，∴f （x ）=12（2x +2﹣x ），g （x ）=12（2x ﹣2﹣x ）． 等式af （x ）+g （2x ）=0，化简为a 2（2x +2﹣x ）+12（22x ﹣2﹣2x ）=0． ∴a=2﹣x ﹣2x∵x ∈[1，2]，∴32≤2x ﹣2﹣x ≤154，则实数a 的取值范围是[﹣154，﹣32]， 故答案为：[﹣154，﹣32]． 【点评】题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，属于难题．合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．属于中档题三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知向量m →=（sinx ，﹣1），n →=（cosx ，32），函数f （x ）=（m →+n →）•m →． （1）求函数f （x ）的单调递增区间；（2）将函数f （x ）的图象向左平移π8个单位得到函数g （x ）的图象，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别a ，b ，c ，若a=3，g （A 2）=√66，sinB=cosA ，求b 的值． 【分析】（1）运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；（2）运用图象变换，可得g （x ）的解析式，由条件可得sinA ，cosA ，sinB 的值，运用正弦定理计算即可得到所求值．【解答】解：（1）向量m →=（sinx ，﹣1），n →=（cosx ，32）， 函数f （x ）=（m →+n →）•m →=（sinx +cosx ，12）•（sinx ，﹣1） =sin 2x +sinxcosx ﹣12=12sin2x ﹣12（1﹣2sin 2x ）=12sin2x ﹣12cos2x=√22sin （2x ﹣π4）， 由2kπ﹣π2≤2x ﹣π4≤2kπ+π2，k ∈Z ， 可得kπ﹣π8≤x ≤kπ+3π8，k ∈Z ， 即有函数f （x ）的单调递增区间为[kπ﹣π8，kπ+3π8]，k ∈Z ； （2）由题意可得g （x ）=√22sin （2（x +π8）﹣π4）=√22sin2x ， g （A 2）=√22sinA=√66， 即sinA=√33，cosA=±√1−13=±√63， 在△ABC 中，sinB=cosA ＞0，可得sinB=√63， 由正弦定理a sinA =b sinB ， 可得b=asinB sinA =3×√63√33=3√2． 【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，以及图象变换，考查解三角形的正弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．17．（12分）某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：物理及格 物理不及格 合计 数学及格28 8 36 数学不及格16 20 36 合计 44 28 72（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；（2）从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．附：x 2=n(n 11n 22−n 21n 12)2n 1⋅n 2⋅n +1⋅n +2．P （X 2≥k ） 0.150 0.100 0.0500.010 k 2.072 2.7063.841 6.635 【分析】（1）根据表中数据，计算观测值X 2，对照临界值得出结论；（2）分别计算选取的数学及格与不及格的人数，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：（1）根据表中数据，计算X 2=72×(28×20−16×8)244×28×36×36=64877≈8.416＞6.635， 因此，有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”； （2）选取的数学及格的人数为7×825=2人， 选取的数学不及格的人数为7×2028=5人，设数学及格的学生为A 、B ， 不及格的学生为c 、d 、e 、f 、g ，则基本事件为：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、cd、ce、cf、cg、de、df、dg、ef、eg、fg共21个，其中满足条件的是AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg共11个，故所求的概率为P=11 21．【点评】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是基础题．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．（1）求证：PA⊥平面CMN；（2）求证：AM∥平面PBC．【分析】（1）推导出MN∥AD，PC⊥AD，AD⊥AC，从而AD⊥平面PAC，进而AD⊥PA，MN ⊥PA，再由CN⊥PA，能证明PA⊥平面CMN．（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，推导出MQ∥PC，从而MQ∥平面PBC，再求出AQ ∥平面，从而平面AMQ∥平面PCB，由此能证明AM∥平面PBC．【解答】证明：（1）∵M，N分别为PD、PA的中点，∴MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，∵PC⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PC⊥AD，又∵AD⊥AC，PC∩AC=C，∴AD⊥平面PAC，∴AD⊥PA，∴MN⊥PA，又∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，∵MN∩CN=N，MN⊂平面CMN，CM⊂平面CMN，∴PA⊥平面CMN．解（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，∵MQ是△PCD的中位线，∴MQ∥PC，又∵PC ⊂平面PBC ，MQ ⊄平面PBC ，∴MQ ∥平面PBC ，∵AD ⊥AC ，∠ACD=60°，∴∠ADC=30°．∴∠DAQ=∠ADC=30°，∴∠QAC=∠ACQ=60°，∴∠ACB=60°，∴AQ ∥BC ，∵AQ ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AQ ∥平面PBC ，∵MQ ∩AQ=Q ，∴平面AMQ ∥平面PCB ，∵AM ⊂平面AMQ ，∴AM ∥平面PBC ．【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．19．（12分）已知等差数列{a n }的首项a 1=2，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的首项b 1=1，且a 2=b 3，S 3=6b 2，n ∈N *．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）数列{c n }满足c n =b n +（﹣1）n a n ，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ．【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．根据a 1=2，b 1=1，且a 2=b 3，S 3=6b 2，n ∈N *．可得2+d=q 2，3×2+3×22d =6q ，联立解得d ，q ．即可得出．．（2）c n =b n +（﹣1）n a n =2n ﹣1+（﹣1）n •2n ．可得数列{c n }的前n 项和为T n =1+2+22+…+2n ﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n •2n ]=2n ﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n •2n ]．对n 分类讨论即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．∵a 1=2，b 1=1，且a 2=b 3，S 3=6b 2，n ∈N *．∴2+d=q 2，3×2+3×22d =6q ，联立解得d=q=2．∴a n =2+2（n ﹣1）=2n ，b n =2n ﹣1．（2）c n =b n +（﹣1）n a n =2n ﹣1+（﹣1）n •2n ．∴数列{c n }的前n 项和为T n =1+2+22+…+2n ﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n •2n ]=2n −12−1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n •2n ]=2n ﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n •2n ]．∴n 为偶数时，T n =2n ﹣1+[（﹣2+4）+（﹣6+8）+…+（﹣2n +2+2n ）]．=2n ﹣1+n ．n 为奇数时，T n =2n ﹣1+2×n−12﹣2n ．=2n ﹣2﹣n ．∴T n ={2n −1−n ，n 为偶数2n −2−n ，n 为奇数． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f （x ）=e x ﹣1﹣ax x−1，a ∈R ． （1）若函数g （x ）=（x ﹣1）f （x ）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a 的范围；（2）当a ≤﹣1时，证明：f （x ）＜0对任意x ∈（0，1）成立．【分析】（1）求出导函数，由题意可知f （x ）在（0，1）上有且只有一个极值点，相当于导函数有一个零点；（2）问题可转换为（x ﹣1）（e x ﹣1）﹣ax ＞0恒成立，构造函数G （x ）=（x ﹣1）（e x ﹣1）﹣ax ，通过二次求导，得出结论．【解答】解：（1）g （x ）=（x ﹣1）（e x ﹣1）﹣ax ，g'（x ）=xe x ﹣a ﹣1，g''（x ）=e x （x +1）＞0，∵f （x ）在（0，1）上有且只有一个极值点，∴g'（0）=﹣a ﹣1＜0，g'（1）=e ﹣a ﹣1＞0，∴﹣a ＜a ＜e ﹣1；（2）当a ≤﹣1时，f （x ）＜0，∴（x ﹣1）（e x ﹣1）﹣ax ＞0恒成立，令G （x ）=（x ﹣1）（e x ﹣1）﹣ax ，G'（x ）=xe x ﹣a ﹣1，G''（x ）=e x （x +1）＞0，∴G'（x ）在（0，1）单调递增，∴G'（x ）≥G'（0）=﹣a ﹣1≥0，∴G （x ）在（0，1）单调递增，∴G （x ）≥G （0）=0，∴（x ﹣1）（e x ﹣1）﹣ax ≥0，∴当a ≤﹣1时，f （x ）＜0对任意x ∈（0，1）成立．【点评】本题考查了极值点的概念和导函数的应用，难点是对导函数的二次求导．21．（14分）已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率是√32，点P （1，√32）在椭圆E 上． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点P 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于点Q （x Q ，y Q ）（点Q 异于点P ），若0＜x Q ＜1，求直线l 斜率k 的取值范围；（3）若以点P 为圆心作n 个圆P i （i=1，2，…，n ），设圆P i 交x 轴于点A i 、B i ，且直线PA i 、PB i 分别与椭圆E 交于M i 、N i （M i 、N i 皆异于点P ），证明：M 1N 1∥M 2N 2∥…∥M n N n ．【分析】（1）根据椭圆的离心率求得a 2=4b 2，将P 代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；（2）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求得x Q ，由0＜x Q ＜1，即可求得k 的取值范围；（3）由题意可知：故直线PA i ，PB i 的斜率互为相反数，分别设直线方程，代入椭圆方程，即可求得x i ，x i ′，根据直线的斜率公式，即可求得y i −y i ′x i −x i ′=√36，k M 1N 1=k M 2N 2=…=k M n N n ，则M 1N 1∥M 2N 2∥…∥M n N n ．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e=c a =√1−b 2a 2=√32，则a 2=4b 2， 将P （1，√32）代入椭圆方程：14b 2+34b 2=1，解得：b 2=1，则a 2=4， ∴椭圆的标准方程：x 24+y 2=1； （2）设直线l 的方程y ﹣√32=k （x ﹣1）， 则{y −√32=k(x −1)x 24+y 2=1，消去y ，整理得：（1+4k 2）x 2+（4√3k ﹣8k 2）x +（4k 2﹣4√3k ﹣1）=0，由x 0•1=4k 2−4√3k−11+4k 2，由0＜x 0＜1，则0＜4k 2−4√3k−11+4k 2＜1， 解得：﹣√36＜k ＜√3−22，或k ＞√3+22，经验证，满足题意， 直线l 斜率k 的取值范围（﹣√36，√3−22）∪（√3+22，+∞）； （3）动圆P 的半径为PA i ，PB i ，故PA i =PB i ，△PA i B i 为等腰三角形，故直线PA i ，PB i 的斜率互为相反数，设PA i 的斜率k i ，则直线PB i 的斜率为﹣k i ，设直线PA i 的方程：y ﹣√32=k i （x ﹣1），则直线PB i 的方程：y ﹣√32=﹣k i （x ﹣1）， {y −√32=k i (x −1)x 24+y 2=1，消去y ，整理得：（1+4k i 2）x 2+（4√3k i ﹣8k i 2）x +（4k i 2﹣4√3k i ﹣1）=0，设M i （x i ，y i ），N i （x i ′，y i ′），则x i •1=4k i 2−4√3k i −11+4k i 2，则x i =4k i 2−4√3k i −11+4k i2， 将﹣k i 代替k i ，则x i ′=4k i 2+4√3k i −11+4k i2， 则x i +x i ′=8k i 2−21+4k i 2，x i ﹣x i ′=﹣8√3k i 1+4k i 2，y i ﹣y i ′=k i （x i ﹣1）+√32+k i （x i ﹣1）﹣√32=k i （x i +x i ′）﹣2k i ， =k i ×8k i 2−21+4k i2﹣2k i ， =−4k i 1+4k i 2，则y i −y i ′x i −x i ′=−4k i1+4k i 2−8√3k i 1+4k i2=√36， 故k M 1N 1=k M 2N 2=…=k M n N n ，∴M 1N 1∥M 2N 2∥…∥M n N n ．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．。
2018年高三最新 福州市2018年高中毕业班质量检查数学试卷(文科)附答案 精品
福州市2018年高中毕业班质量检查数学试卷（文科）本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题），共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：①答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.②第Ⅰ卷第每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目睥答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上.参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P n(k)=C k n p k(1-p)n-k.球的表面积公式S=4πR2，其中R表示球的半径球的体积公式V=43πR3，其中R表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本小题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个项选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合I={0,1,2,3},A={1},B={0,2}，则A∪(1B)A.{1}B.{1,3}C.{0,3}D.{0,1,3}2．等差数列{a n} ，若a2+a8=16,a4=6，则公差d的值是A．1 B.2 C.-1 D.-23. 条件p:a≤2，条件q:a(a-2)≤0，则p是q的A．充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C．充要条件 D.既不充分又不必要条件4．若一个球的表面积为16π，一个平面与球心的距离为1，则这个平面截球所得的圆面面积为A．πB. C.3ππ复数3443ii-++等于A．i B.-i C.5i D.-5i5. 已知a=（t,-1），b=(1,1)，且2a与b的夹角是锐角，则实数t的取值范围是A.(1,+∞)B.[1,+∞]C.(-∞,1)D.(-∞,-1)6.P是双曲线22145x y-=右支上一点,F是该双曲线的右焦点,PF=8,则点P到双曲线左准线的距离为A．403 B.323 C.16 D.87.以下给出的函数中，以π为周期的偶函数是A.y=cos 2x-sin 2x B.y=tanx C.y=sinxcosx D.y=cos x26．函数f(x)=1xx --1的反函数为f (x),若f -1(x)＜0,则x 的取值范围是A.（-∞，0）B.(-1,1)C.(1,+ ∞)D.(-∞,-1)8.点M 、N 在圆x 2+y 2+kx+2y-4=0上，且点M 、N 关于直线x-y+1=0对称，则该圆的半径等于 A ．C.1D.3 9.对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是 A ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n ∥α B ．如果m ⊂α,n ∥α,n 与α相交，那么m 、n 异面直线 C.如果m ⊂α，n ∥α，m 、α共面，那么m ∥n D ．如果m ∥α,n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n10．某师范大学的2名男生和4名女生被分配到两所中学作实习教师，每所中学分配1名男生和2名女生，则不同的分配方法有A.6种B.8种C.12种D.16种11．已知函数f(x)=x ，g(x)是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时g(x)=lg x ，则函数y=f(x)·g(x)的大致图象为12．设x 1、x 2是函数f(x)=e x定义域内的两个变量,x 1＜x 2，若α=121(),2x x +那么下列不等式恒成立的是A ．|f(a)-f(x 1)| ＞|f(x 2)-f(a)| B.|f(a)-f(x 1)|＜|f(x 2)-f(a)|C.|f(a)-f(x 1)|=|f(x 2)-f(a)|D.f(x 1)f(x 2)＞f 2(a)第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，满分16分.请把答案填表在下面横线上13.不等式1x ＜1解集为_______14.已知(1-2x)7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7,则a 0+a 1+a 2+…+a 7=_______.15.若原点和点(0,1)在直线x+y-a=0的两侧,则实数a 的取值范围是______. 16.一只电子蚂蚁在如图2所示 的网络线上由原点(0,0)出发,沿和上或向右方向爬至点(m,n)(m,n ∈Ｎ)，记可能的爬行方法总数为f(m,n), 下列有４逐步形成结论： ①f(2,1)=f(1,2)=3; ②f(2,2)=6; ③f(3,3)=21;④f(n,n)= 2(2)!,(!)n n其中所有下确结论的序号是＿＿＿三、解答题：本大题共６小题，共７４分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分１２分）在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边的长，且sin(B+)sin()44B ππ--=(1)求角B 的大小；（2）若a 、b 、c 成等比数列，试判断△ABC 的形状. 18.（本小题满分１２分）狗年春节联欢晚会上，中央电视台为赠送台湾的一对熊猫举办了选乳名的观众投票活动.某家庭有6人在观看春节联欢晚会，他们每人参加投票活动的概率都为0.5，且各个人是否参加投票互不影响，问这个家庭中（1）恰好2人参加投票活动的概率是多少？ （2）至少有4人参加投票活动的概率是多少？ 19.（本小题满分１２分）如图３，在四棱锥Ｐ-AB ＣＤ中，底面ＡＢＣＤ是正方形，侧棱ＰＤ⊥面ＡＢＣＤ，ＰＤ＝ＤＣ.过BD 作与PA 平行的平面，交侧棱PC 于点E ，又作DF ⊥B ，交PB 于点F.1． 证明：点E 是PC 的中点； 2． 证明：PB ⊥平面EFD ； 3． 求二面角C-PB-D 的大小.20．（本小题满分12分）设各项均为正数的数列{a n }满足：lga1+32lg lg lg ().23n a a a n n N n *+++=∈(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{a n }的前n 项和为 s n ,证明：不存在正整数K ，使得S n-k ·S n+k =S 2n21.(本小题满分14分)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 0)是椭圆22221y x a b +=(a ＞b ＞0)上的两点,满足1122(,)(,)0,x y x y b a b a ⋅=椭圆的离心率短轴长为2,O 为坐标原点.(1) 求椭圆的方程; (2) 若直线AB 过椭圆的焦点F(0,C)(C 为半焦距),求直线AB 的斜率K 的值; (3) 试问:三角形AOB 的面积是否为定值?如果是,请写出推理过程;如果不是,请说明理由.22.（本小题满分14分）已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+1在区间(,2]-∞-上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减，且b ≥0.(1) 求f(x)的表达式； (2) 设0＜m ≤2，若对任意的x ′、x ″[2,],|()()|m m f x f x '''∈--不等式≤m 恒成立，求实数m 的最小值.福洲市2018年高中毕业班质量检查数学试卷(理科)参考答案及评分标准一、选择题1．B 2.C 3．B 4．C 5.A 6．D 7．A 8．D 9．C 10.C 11.C 12.B 二、填空题13．{x|x＜0或x＞-3 14.-1 15.0＜a＜1 16.①、②、④三、解答题t17．（1）sin()sin()44B Bππ+--=，sin coscos sinsin coscos sin4444B B B B ππππ∴+++=1cos ,01802B B B =∴=<∠< °,∴∠B=60°;（2）∵a 、b 成等比数列，∴b 2=ac, ∵b 2=a 2+c 2-2acosB=a 2+c 2-ac,∴ac=a 2+c 2-ac, ∴a 2+c 2-2ac=0,∴(a-c)2=0,∴a=c, ∵∠B=60°, ∴△ABC 是等边三角形. 18．（本小题满分12分）（1）设M 为事件“恰有2人参加投票活动”. 则P （M ）=C 26446(0.5)(0.5)-=15;64(2)设A 为事件“有6人参加投票活动”，B 为事件“有5人参加投票活动”，C 为事件“有4人参加投票活动”,则“至少有4人参加投票活动”这一事件为A+B+C ，且A 、B 、C 互斥. 因此，至少有4人参加投票活动的概率为： P （A+B+C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）=C665646666161511(0.5)(0.5)(0.5)0.2343756432C C ++++===.答：略. x19.方法一:)证明:连结AC,交BD 于0,连结EO.∵PA ∥平面BDE,平面PAC ∩平面BDE=OE,∴PA ∥OE. ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点， ∴点E 是PC 的中点;(2)证明:∵PD ⊥底面ABCD 且DC ⊂底面ABCD,∴PD ⊥DC,△PDC 是等要直角三角形,而DE 是斜边PC 的中线,∴DE ⊥PC ① 又由PD ⊥平面ABCD,得PD ⊥BC.∵底面ABCD 是正方形,CD ⊥BC,∴BC ⊥平面PDC. 而DE ⊂平面PDC,∴BC ⊥DE. ②由①和②推得DE ⊥平南PBC.面PB ⊂平面PBC, ∴DE ⊥PB,又DF ⊥PB 且DE ∩DF=D ， 所以PB ⊥平面EFD ；（3）解：由（2）知PB ⊥EF ，已知PB ⊥DF ，故∠ EFD 是二面角C —PB-D 的平面，由（2）知，DE ⊥EF ，PD ⊥DB.设正方形ABCD 的边长为a,则1,,.2PC DE PC =====在Rt △中,DF=.PD BD PB ⋅==在Rt △EFD 中,sinEFD=DE DF ==∴∠EFD=3π.所以,二面角C-PB-D 的大小为3π.方法二:(1)同方法一;(2)证明:如图所示建立空间直角坐标系, D 为坐标原点,设DC=a.依题意得P(0,0,a)B(a,a,0),(,,),(0,,),22a a PB a a a DE =-= 又 2200,,22a a PB DE PB DE ⋅=+-=∴⊥由已知DF ⊥PB,且DF ∩DE=D,所以PB ⊥平面EFD;(,,),(,0,0),(,,0),PB a a a CB a DB a a =-==设平面PBC 法同量为n =(x,y,z),由n ·0PB = 及0m DB ⋅=得 0,.0,x y z x ++=⎧⎨=⎩ 取x=1,y=-1,z=0,则m=(1,-1,0) cos<n ,m>=1,2||||n m n m ⋅==-二面角C-PB-D 为锐角，所以其大小为.3π20．（1）当n=1时，lga 1=1,∴a 1=10.∵lga 1+32lg lg lg ,23n a a a n n +++= ①当n ≥2时，lga 1+312lg lg lg 1,231n a a a n n -+++=-- ②①-②得lg 1,lg ,10,n nn n a a n a n =∴=∴=综上知，对于n ∈N *，a n =10n;（2）∵S n =*1(1)10(110)10(101)(),11109n n n a q n N q ⋅---==∈--∴若存在正整数k ，使得S n-k ·S n+k =S 2,n则2101010(101)(101)[(101)]999n k n k n -+-⋅-=-，即(10n-k-1)·(10n+k-1)=(10n-1)2,整理得10n-k +10n+k =2×10n,两边同除以10n-k ，得1+118k =2×10k,∵k 为正整数，∴1+118k =2×10k左边为奇数，右边为偶数，显然不成立. ∴不存在k 值，使得S n-k ·S n+k =S 2.n21.（1）由已知,2b=2,b=1,e=,,c cc aa a∴==代入a2=b2+c2，解得1, b=∴椭圆方程为221; 4yx+=(2)焦点F（0AB方程为(k2+4)x2∴Δ＞0且x1+x21221,4 x xk=-+y1y2=(kx12 kx+=k2x1x212()3x x++=k2(-21)(34k+++=224(3),4kk-+∵(1122121222,)()0,0, x y x y x x y yb a b a b a⋅⋅=∴+=∴x1x2+120, 4y y=∴-2222130,2,44kk k k k-+==∴= ++解得∴直线AB的斜率k为22．(1)f（x）=x3+bx2+cx+1,f′(x)=3x2+2bx+c.∵f(x)在区间(-∞,-2)上单调递增，在区间[-2,2]上单调递减，∴方程f′(x)=3x2+2bx+c=0有两个不等实根x1、x2，且x1=-2,x2≥2,∵x1+x2=-122,, 33 b cx x=∴x2=-222,20, 33b b+∴-+≥∴b≤0，已知b≥0，∴b=0,∴x2=2,c=-12,∴f(x)=x3-12x+1(2)对任意的x′、x″∈[m,-2,m]，不等式|f(x′)-f(x″)|≤16 m恒成立，等价于在区间[m,-2,m]上，[f(x)]min-[f(x)]min≤16 m.f(x)=x3-12x+f,f′(x)=3x2-12.由f′(x)=3x2-12＜0解得-2＜x＜2.∴f(x)的减区间为[-2,2].∵0＜m≤2,∴[m-2,m]⊂[-2,2].∴f(x)在区间[m-2,m]上单调递减，在区间[m-2,m]上，[f(x)]max=f(m-2)=(m-2)3-12(m-2)+1,[f(x)]min=f(m)= m3-12m+1,[f(x)]max-f(x)]min=[(m-2)3-12(m-2)+1]-(m3-12m+1)=-6m2+12m+16,∵[f(x)]max-f(x)]min≤16m,∴-6m2+12m+16≤16m,3m2+2m-8≥0,解得m≤-2,或m≥min4 02,m.3 m<≤∴=。
2018年福建数学(文科)高考试题(免费word版)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1 •答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2•回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A0 , 2 , B 2 , 1 ,0,1 , 2，贝V Al BA •0, 2B•1 , 2C. 0 D •2 , 1,0 ,1,22 •设z 1 i1 i2i ，贝U zA• 0B•1C. 1 D •223 •某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍•实现翻番•为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例•得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A •新农村建设后，种植收入减少B •新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C •新农村建设后，养殖收入增加了一倍D •新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半2 211.已知角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A 1 , a , B 2 , b ，且丫 1的一个焦点为（2 ,0），则C 的离心率为4方形，则该圆柱的表面积为已知圆柱的上、 F 底面的中心分别为 。
1 ,O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正A . y2xB . y xC . y 2x在厶 ABC 中，AD 为BC 边上的中线，, UJJE 为AD 的中点，贝U EB3 uun1 JJLT1 LULL 3 JUT A . -AB— AC B - AB - AC4 44 4 3 LJJU 1 uur 1 UJJ 3 JUT C . -AB -ACD . — AB AC为奇函数，则曲线设函数f x ax .若 f x7. 444 43x已知椭圆A . 12 2 n12nC . 8.2 nD . 10n1 x 2在点0,0处的切线方程为2已知函数f x 2cos xsin 2x 2,的最小正周期为 n 最大值为 的最小正周期为 n 最大值为 的最小正周期为 2n ,最大值为3 的最小正周期为2 n ,最大值为4某圆柱的高为 2，底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A . 2 17D .10.在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1 中，AB BC 2, AG 与平面BB 1C 1C 所成的角为30，则该长方体的体积为B .6,2C .,03则厶ABC 的面积为三、解答题：共70分。
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福建省福州一中2018届高三数学（文科）中档题训练（4）
班级姓名
7.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，
2,点E在PD上，且PE:ED=2:1.
∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a
（1）证明PA⊥平面ABCD；
（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角 的大小；
（3）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.
8.排球比赛的规则是5局3胜制，A 、B 两队每局比赛获胜的概率分别为23和13
． （Ⅰ）前2局中B 队以2:0领先，求最后A 、B 队各自获胜的概率； （Ⅱ）B 队以3:2获胜的概率．
训练（4）答案：
5．解答：（Ⅰ） 2()32f x x ax '=-+. …………………………………………………2分
（Ⅱ） 1a =时，2()32f x x x '=-+，令2()320f x x x '=-+=得：0,x =2
,3
x = 由于(0)f b =，24
()3
27
f b b =
+>， 所以函数()f x 的图象不能总在直线y b =的下方. ………………………………6分
（Ⅲ）因函数()f x 在[0,2]上是增函数，2
()320f x x ax '∴=-+≥在区间[0,2]上恒成
立，即3
2
a x ≥在区间[0,2]上恒成立，3a ∴≥，……………………………8分
又由(2)0f =得84b a =-， 而(1)173792f a b a =-++=-≤-=-， 即(1)2f ≤-.…………………………………………………………………………12分
6.解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A 、B 、C ，则P （A ）=0.9，
P （B ）=0.8，P （C ）=0.85 …………………………2分 （1）)()()()(C P B P A P C B A P ⋅⋅=⋅⋅
=[1－P （A ）]·[1－P （B ）]·[1－P （C ）] =（1－0.9）×（1－0.8）×（1－0.85）=0.018.
答：该生三科成绩均未获得第一名的概率是0.018.………………6分 （2）P （C B A C B A C B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅） = P （)()()C B A p C B A P C B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
=)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ =[1－P （A ）]·P （B ）·P （C ）+P （A ）·[1－P （B ）]·P （C ）+P （A ）·P （B ）·[1－P （C ）] =（1－0.9）×0.8×0.85+0.9×（1－0.8）×0.85+0.9×0.8×（1－0.85）
=0.329.
答：该生恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.……………………12分。