2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高一(下)期末数学试卷

2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题5分共60分）1．（5分）下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．三条平行直线必共面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2．（5分）已知直线l过点（﹣1，8），（4，﹣2），则直线l的方程为（）A．2x+y﹣6=0 B．2x﹣y﹣6=0 C．x+2y﹣6=0 D．x﹣2y﹣6=03．（5分）已知直线方程l1：2x﹣4y+7=0，l2：x﹣2y+5=0，则l1与l2的关系（）A．平行B．重合C．相交D．以上答案都不对4．（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图是周长为16的一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．20π5．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．26．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，则异面直线BC1与AC 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．3x﹣4y+5=0 D．3x﹣4y﹣5=08．（5分）两条平行直线3x+4y﹣9=0和3x+4y+1=0的距离是（）A．B．2 C．D．9．（5分）直线2x﹣y+1=0与直线ax+2y+1=0的垂直，则a=（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣410．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x﹣1）2+y2=4 C．（x﹣1）2+y2=2 D．（x﹣1）2+y2= 12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法正确的是个数是（）①点F的轨迹是一条线段；②A1F与D1E不可能平行；③A1F与BE是异面直线；④；⑤当F与C1不重合时，平面A1FC1不可能与平面AED1平行．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（每小题5分共20分）13．（5分）圆C：x2+y2+2x+2y﹣2=0，l：x﹣y+2=0，求圆心到直线l的距离．14．（5分）已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC的面积是．15．（5分）直线l：xsinα+y﹣1=0（α∈R），则直线l的倾斜角的取值范围为．16．（5分）设l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列五个判断：①若l⊥α，m⊥l，m⊥β则α⊥β；②若m⊂β，n是l在β内的射影，n⊥m，则m⊥l；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的32倍；⑤若圆x2+y2=4上恰有3个点到直线：l：y=x+b的距离为1，则b=其中正确的为．三、解答题17．（10分）根据下列条件，分别求直线方程：（1）经过点A（3，0）且与直线2x+y﹣5=0垂直；（2）求经过直线x﹣y﹣1=0与2x+y﹣2=0的交点，且平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程．18．（12分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA∥平面BDE；（2）BD⊥平面PAC．19．（12分）已知圆C的圆心在直线3x﹣y=0上，与x轴相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为，求圆C的方程．20．（12分）如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．（I）证明：PQ∥平面ACD；（II）证明：平面ADE⊥平面ABE；（Ⅲ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．21．（12分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点．（1）求证：平面MNP∥平面CC1D1D．（2）求二面角N﹣B1C﹣B的正切值．22．（12分）在平面直角坐标系中，点M（﹣5，﹣4），N（﹣1，0），圆C的半径为2，圆心在直线上（1）若圆心C也在圆x2+y2﹣6x+4=0上，过点M作圆C的切线，求切线的方程．（2）若圆C上存在点R，使，求圆心C的纵坐标b的取值范围．2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分共60分）1．（5分）下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．三条平行直线必共面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面【解答】解：对于A，经过不在同一直线上的三点确定一个平面，∴A错误；对于B，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，∴B错误；对于C，三条平行直线可以确定一个或三个平面，∴C错误；对于D，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，D正确．故选：D．2．（5分）已知直线l过点（﹣1，8），（4，﹣2），则直线l的方程为（）A．2x+y﹣6=0 B．2x﹣y﹣6=0 C．x+2y﹣6=0 D．x﹣2y﹣6=0【解答】解：根据题意，直线l过点（﹣1，8），（4，﹣2），则直线l的方程为：=，即=，变形可得：2x+y﹣6=0；故选：A．3．（5分）已知直线方程l1：2x﹣4y+7=0，l2：x﹣2y+5=0，则l1与l2的关系（）A．平行B．重合C．相交D．以上答案都不对【解答】解：∵直线l1方程：2x﹣4y+7=0，∴直线l1的斜率k1=同理可得直线l2的斜率k2=∴k1=k2，∵两条直线在y轴上的截距分别为和，不相等∴l1与l2互相平行故选：A．4．（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图是周长为16的一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．20π【解答】解：由题意，几何体是两个底面半径相同的圆锥组合而成，正视图、侧视图是周长为16的一个内角为60°的菱形，可知棱长为4，即母线长为4，从而半径r=2．圆锥的侧S=πrl=2π×4=8π．∵圆锥组合而成，∴几何体的表面积为：8π×2=16π．故选：C．5．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2【解答】解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z取得最大值10．6．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，则异面直线BC1与AC 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵A1C1∥AC，∴异面直线BC1与AC所成角等于A1C1与BC1所成角．在△BA1C1中，BC1==，A1C1=，A1B=2，∴cos∠A1C1B==，故选：B．7．（5分）与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．3x﹣4y+5=0 D．3x﹣4y﹣5=0【解答】解：令x=0，则y=，可得直线3x﹣4y+5=0与y轴的交点．令y=0，可得x=﹣，可得直线3x﹣4y+5=0与x轴的交点，此点关于y 轴的对称点为．∴与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线经过两点：，．其方程为：=1，化为：3x+4y﹣5=0．故选：A．8．（5分）两条平行直线3x+4y﹣9=0和3x+4y+1=0的距离是（）A．B．2 C．D．【解答】解：两条平行直线3x+4y﹣9=0和3x+4y+1=0的距离是：=2．故选：B．9．（5分）直线2x﹣y+1=0与直线ax+2y+1=0的垂直，则a=（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【解答】解：由两条直线垂直可得：2×=﹣1，解得a=1．故选：A．10．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，∴三棱锥D1﹣ABC的底面ABC是直角边长为1的等腰直角三角形，高D1D=1，∴三棱锥D1﹣ABC的体积为．故选：C．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x﹣1）2+y2=4 C．（x﹣1）2+y2=2 D．（x﹣1）2+y2=【解答】解：圆心（1，0）到直线mx﹣y﹣2m﹣1=0的距离：d=====．当m=0时，d=1；当m＞0时，d=，当且仅当m=1时，“=”成立；当m＜0时，d=，当且仅当m=﹣1时，“=”成立．∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故选：C．12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法正确的是个数是（）①点F的轨迹是一条线段；②A1F与D1E不可能平行；③A1F与BE是异面直线；④；⑤当F与C1不重合时，平面A1FC1不可能与平面AED1平行．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：在①中，设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点，分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．故①正确．在②中，由①知，平面A1MN∥平面D1AE，∴A1F与D1E不可能平行，故②错误．在③中，∵平面A1MN∥平面D1AE，BE和平面D1AE相交，∴A1F与BE是异面直线，故③正确．在④中，设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ运动点F并加以观察，可知当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ==2，当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ==2，∴A1F与平面BCC1B1成角的正切取值范围为[2，2]，即tan成立．故④正确．在⑤中，当F与C1不重合时，平面A1FC1与平面AED1相交，故⑤正确．故选：C．二、填空题（每小题5分共20分）13．（5分）圆C：x2+y2+2x+2y﹣2=0，l：x﹣y+2=0，求圆心到直线l的距离．【解答】解：圆C：x2+y2+2x+2y﹣2=0，配方为：（x+1）2+（y+1）2=4，可得圆心C（﹣1，﹣1）．∴圆心到直线l的距离d==．故答案为：．14．（5分）已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC的面积是．【解答】解：因为=，且若△A′B′C′的面积为×2××=，那么△ABC的面积为，故答案为：．15．（5分）直线l：xsinα+y﹣1=0（α∈R），则直线l的倾斜角的取值范围为．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．则tanθ=﹣sinα∈[﹣1，1]，∴θ∈．故答案为：．16．（5分）设l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列五个判断：①若l⊥α，m⊥l，m⊥β则α⊥β；②若m⊂β，n是l在β内的射影，n⊥m，则m⊥l；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的32倍；⑤若圆x2+y2=4上恰有3个点到直线：l：y=x+b的距离为1，则b=其中正确的为①②．【解答】解：由l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，知：在①中，若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；在②中，若m⊂β，n是l在β内的射影，n⊥m，则由三垂直定理得m⊥l，故②正确；在③中，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，例如以底边为腰的两个等腰三角形侧面，第三侧面也是等腰三角形，但这样的三棱锥显然不是正三棱锥，故③错误；在④中，若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的64倍，故④错误；在⑤中，由圆C的方程：x2+y2=4，可得圆C的圆心为原点O（0，0），半径为2若圆C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：y=x+b的距离d等于1直线l的一般方程为：x﹣y+b=0，∴d==1，解得b=±，故⑤错误．故答案为：①②．三、解答题17．（10分）根据下列条件，分别求直线方程：（1）经过点A（3，0）且与直线2x+y﹣5=0垂直；（2）求经过直线x﹣y﹣1=0与2x+y﹣2=0的交点，且平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程．【解答】解：（1）由条件设所求直线方程为x﹣2y+c=0因为所求直线过点B（3，0）所以3+c=0，即c=﹣3所以所求直线方程为x﹣2y﹣3=0（2）由解得∴直线x﹣y﹣1=0与2x+y﹣2=0的交点为（1，0）与直线x+2y﹣3=0平行的直线一般式方程为x+2y+λ=0，把点（1，0）代入可得λ=﹣1故所求的直线方程为x+2y﹣1=0．18．（12分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA∥平面BDE；（2）BD⊥平面PAC．【解答】证明（1）连接OE，在△CAP中，CO=OA，CE=EP，∴PA∥EO，又∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）∵PO⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PO又∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC∴BD⊥平面PAC19．（12分）已知圆C的圆心在直线3x﹣y=0上，与x轴相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为，求圆C的方程．【解答】解：设圆心（t，3t），则由圆与x轴相切，可得半径r=3|t|．∵圆心到直线的距离d==|t|，由，解得t=±1．故圆心为（1，3）或（﹣1，﹣3），半径等于3．故圆C的方程为（x+1）2+（y+3）2=9 或（x﹣1）2+（y﹣3）2=9．20．（12分）如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．（I）证明：PQ∥平面ACD；（II）证明：平面ADE⊥平面ABE；（Ⅲ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．【解答】解：（I）证明：连接DP，CQ，在△ABE中，∵P，Q分别是AE，AB的中点，∴PQ，∵EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∴PQ DC，∵PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，∴PQ∥平面ACD．（II）在△ABC中，AC=BC=2，AQ=BQ，∴CQ⊥AB，∵DC⊥平面ABC，EB∥DC，∴EB⊥平面ABC，∴EB⊥CQ，∴EB⊥平面ABC．∴EB⊥CQ，∴CQ⊥平面ABE，∵CQ∥DP，∴DP⊥平面ABE，∵DP⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ABE．（Ⅲ）由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，∴DP∥CQ，∴DP⊥平面ABE，∴直线AD在平面ABE内的射影是AP，所以直线AD与平面ABE所成角是∠DAP在Rt△APD中，，DP=CQ=2sin∠CAQ=1，∴．故AD与平面ABE所成角的正弦值为．21．（12分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点．（1）求证：平面MNP∥平面CC1D1D．（2）求二面角N﹣B1C﹣B的正切值．【解答】（1）证明：连接AC，CD1，连接BC1，C1D，∵ABCD为正方形，N为BD中点，∴N为AC中点，又∵M为AD1中点，∴MN∥CD1，∵MN⊄平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D，∴MN∥平面CC1D1D．又∵BB1CC1为正方形，P为B1C中点，∴P为BC1中点，又∵N为BD中点，∴PN∥C1D．∵PN⊄平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，∴PN∥平面CC1D1D，又∵MN∩PN=N，∴平面MNP∥平面CC1D1D；（2）解：取BC的中点R，过R做B1C的垂线，垂足为E，连接NE，NR，则由NR⊥平面BCC1B1，可得NR⊥B1C，又RE⊥B1C，且NR∩RE=R，∴B1C⊥平面NRE，则NE⊥B1C，则∠NER为二面角N﹣B1C﹣B的平面角，设正方体的棱长为2，则NR=1，RE=．在Rt△NRE中，．22．（12分）在平面直角坐标系中，点M（﹣5，﹣4），N（﹣1，0），圆C的半径为2，圆心在直线上（1）若圆心C也在圆x2+y2﹣6x+4=0上，过点M作圆C的切线，求切线的方程．（2）若圆C上存在点R，使，求圆心C的纵坐标b的取值范围．【解答】解：（1）圆心C也在圆x2+y2﹣6x+4=0上，圆心C在直线上，联立解得，∴圆心（2，﹣2），设切线方程为y+4=k（x+5），即kx﹣y+5k﹣4=0，∵，解得k=0或，故得切线方程为y=4或28x﹣45y﹣40=0．（2）设圆C的方程为（x+2b+2）2+（y﹣b）2=4，设点R（x，y），∵，∴，化简得（x﹣3）2+（y﹣4）2=64，∴点R在以D（3，4）为圆心，以8为半径的圆上，由题意知点R在圆C上，可得：圆C与圆D有公共点，则6≤|CD|≤10，即，∴﹣5≤5b2+12b≤59，解得：或；。