拓扑学课堂小练习(2011-11-27)

点集拓扑学练习题

一、单项选择题（每题1分）

1、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T

③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T

答案：②

7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）

①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d

答案：④

8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）

①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d

答案：④

9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）

①φ ② X ③ {}a ④ {}b

答案：②

10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）

①φ ② X ③ {}a ④ {}b

答案：④

14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真

子集的个数为（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

答案：②

16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为

（ ）

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3

答案：③

17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个

数为（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

答案：④

19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）

① φ ② Q ③ R -Q ④ R

答案：①

21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）

① φ ② Z ③ R -Z ④ R

答案：①

25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）

① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)

答案：④

26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是

（ ）

① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃

③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =

答案: ③

27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是

（ ）

① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-

③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =

答案: ①

29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的

是（ ）

① ()d A φ= ② ()d A X A =-

③ ()d A A = ④ ()d A X =

答案：①

30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确

的是（ ）

① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-

③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠

答案：④

32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d

=B ,则由B 产生的X 上的拓

扑是（ ）

① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}

② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}

③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}

④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}

答案：①

答案：③

34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.

① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}

③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }

答案：②

35、离散空间的任一子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭

答案：③

36、平庸空间的任一非空真子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭

答案：④

37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )

① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭

答案：②

38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ）

①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A

答案：③

39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）

① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集

答案：①

40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）

① 整数集Z ② 有理数集

③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '

答案：④

41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（

） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

答案：④

42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）

① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个

答案：④

44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )

①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈